\contentsline {chapter}{Введение}{7}
\contentsline {section}{\numberline {2.1.\hskip .5em\relax }Краткое описание}{7}
\contentsline {section}{\numberline {2.2.\hskip .5em\relax }Матклассы: обучение по листочкам}{9}
\contentsline {section}{\numberline {2.3.\hskip .5em\relax }Как читать эту книгу}{12}
\contentsline {section}{\numberline {2.4.\hskip .5em\relax }Важное замечание}{13}
\contentsline {part}{I\hspace {1em}Основания математики}{15}
\contentsline {chapter}{Основания математики}{17}
\contentsline {section}{\numberline {1.1.\hskip .5em\relax }О математической строгости}{17}
\contentsline {section}{\numberline {1.2.\hskip .5em\relax }О формальном методе}{18}
\contentsline {section}{\numberline {1.3.\hskip .5em\relax }Теория множеств и ее аксиоматизация}{21}
\contentsline {section}{\numberline {1.4.\hskip .5em\relax }Терминология и библиография}{24}
\contentsline {chapter}{Основные понятия теории множеств}{25}
\contentsline {section}{\numberline {2.1.\hskip .5em\relax }Обозначения теории множеств}{25}
\contentsline {section}{\numberline {2.2.\hskip .5em\relax }Соответствия и отображения}{26}
\contentsline {section}{\numberline {2.3.\hskip .5em\relax }Отношения эквивалентности}{28}
\contentsline {section}{\numberline {2.4.\hskip .5em\relax }Аксиоматическая теория множеств}{29}
\contentsline {section}{\numberline {2.5.\hskip .5em\relax }Терминология и библиография}{33}
\contentsline {chapter}{Кардиналы и теорема Кантора}{34}
\contentsline {section}{\numberline {3.1.\hskip .5em\relax }Теорема Кантора-Бернштейна-Шредера}{34}
\contentsline {section}{\numberline {3.2.\hskip .5em\relax }Мощность множества}{35}
\contentsline {section}{\numberline {3.3.\hskip .5em\relax }Счетные множества}{36}
\contentsline {section}{\numberline {3.4.\hskip .5em\relax }Диагональный метод Кантора}{37}
\contentsline {section}{\numberline {3.5.\hskip .5em\relax }Континуум-гипотеза}{39}
\contentsline {section}{\numberline {3.6.\hskip .5em\relax }Замечания}{40}
\contentsline {chapter}{Аксиома выбора и ее приложения}{42}
\contentsline {section}{\numberline {4.1.\hskip .5em\relax }Сечение отображения}{42}
\contentsline {section}{\numberline {4.2.\hskip .5em\relax }Аксиоматическая теория множеств}{42}
\contentsline {section}{\numberline {4.3.\hskip .5em\relax }Аксиома выбора и ее конкуренты}{45}
\contentsline {section}{\numberline {4.4.\hskip .5em\relax }Вполне упорядоченные множества}{47}
\contentsline {section}{\numberline {4.5.\hskip .5em\relax }Лемма Цорна и теорема Цермело}{51}
\contentsline {part}{II\hspace {1em}Топология в задачах}{55}
\contentsline {chapter}{Листок 1: Метрические пространства и норма.}{58}
\contentsline {section}{\numberline {1.1.\hskip .5em\relax }Метрические пространства, выпуклые множества, норма.}{58}
\contentsline {section}{\numberline {1.2.\hskip .5em\relax }{Полные метрические пространства.}}{63}
\contentsline {chapter}{Листок 2: Топология метрических пространств.}{68}
\contentsline {section}{\numberline {2.1.\hskip .5em\relax }Локально компактные метрические пространства}{74}
\contentsline {chapter}{Листок 3: Теоретико-\discretionary {-}{}{}множественная топология}{78}
\contentsline {section}{\numberline {3.1.\hskip .5em\relax }Топология и сходимость}{86}
\contentsline {chapter}{Листок 4. Произведение пространств}{88}
\contentsline {section}{\numberline {4.1.\hskip .5em\relax }Тихоновский куб и гильбертов куб}{90}
\contentsline {section}{\numberline {4.2.\hskip .5em\relax }Нормальные топологические пространства}{92}
\contentsline {section}{\numberline {4.3.\hskip .5em\relax }Лемма Урысона и метризация топологических пространств}{93}
\contentsline {chapter}{Листок 5: Компактность}{96}
\contentsline {section}{\numberline {5.1.\hskip .5em\relax }Компакты и произведения}{100}
\contentsline {section}{\numberline {5.2.\hskip .5em\relax }Теорема Тихонова}{101}
\contentsline {section}{\numberline {5.3.\hskip .5em\relax }Основная теорема алгебры}{103}
\contentsline {chapter}{Листок 6: Поточечная и равномерная сходимость}{105}
\contentsline {section}{\numberline {6.1.\hskip .5em\relax }Кривая Пеано}{108}
\contentsline {chapter}{Листок 7: Связность}{112}
\contentsline {section}{\numberline {7.1.\hskip .5em\relax }Вполне несвязные пространства}{113}
\contentsline {chapter}{Листок 8: Фундаментальная группа и пространство петель}{117}
\contentsline {section}{\numberline {8.1.\hskip .5em\relax }Линейная связность}{117}
\contentsline {section}{\numberline {8.2.\hskip .5em\relax }Геодезическая связность}{118}
\contentsline {section}{\numberline {8.3.\hskip .5em\relax }Пространство петель}{121}
\contentsline {section}{\numberline {8.4.\hskip .5em\relax }Фундаментальная группа}{124}
\contentsline {section}{\numberline {8.5.\hskip .5em\relax }Односвязные пространства}{125}
\contentsline {section}{\numberline {8.6.\hskip .5em\relax }Накрытия}{129}
\contentsline {chapter}{Листок 9: Накрытия Галуа}{132}
\contentsline {section}{\numberline {9.1.\hskip .5em\relax }Накрытия Галуа}{133}
\contentsline {section}{\numberline {9.2.\hskip .5em\relax }Накрытия линейно связных пространств}{138}
\contentsline {section}{\numberline {9.3.\hskip .5em\relax }Существование универсального накрытия}{141}
\contentsline {chapter}{Листок 10: Фундаментальная группа и гомотопии}{146}
\contentsline {section}{\numberline {10.1.\hskip .5em\relax }Гомотопии}{146}
\contentsline {section}{\numberline {10.2.\hskip .5em\relax }Пространство путей на локально стягиваемых пространствах}{147}
\contentsline {section}{\numberline {10.3.\hskip .5em\relax }Свободная группа и букет}{150}
\contentsline {part}{III\hspace {1em}Лекции по топологии}{155}
\contentsline {chapter}{Лекция 1: метрика, пополнение, $p$-адические числа}{157}
\contentsline {section}{\numberline {1.1.\hskip .5em\relax }Метрические пространства и пополнение}{157}
\contentsline {section}{\numberline {1.2.\hskip .5em\relax }Нормирование на группах и кольцах}{161}
\contentsline {section}{\numberline {1.3.\hskip .5em\relax }Целые $p$-адические числа: неархимедова геометрия}{163}
\contentsline {section}{\numberline {1.4.\hskip .5em\relax }Арифметика $p$-адических чисел}{164}
\contentsline {section}{\numberline {1.5.\hskip .5em\relax }Библиография, замечания}{168}
\contentsline {chapter}{Лекция 2: нормирования в векторных пространствах}{169}
\contentsline {section}{\numberline {2.1.\hskip .5em\relax }Примеры нормированных пространств}{169}
\contentsline {section}{\numberline {2.2.\hskip .5em\relax }Непрерывные отображения}{173}
\contentsline {section}{\numberline {2.3.\hskip .5em\relax }Выпуклые множества и норма}{176}
\contentsline {section}{\numberline {2.4.\hskip .5em\relax }История, замечания}{177}
\contentsline {chapter}{Лекция 3: Компакты в метрических пространствах}{179}
\contentsline {section}{\numberline {3.1.\hskip .5em\relax }Теорема Гейне-Бореля}{179}
\contentsline {section}{\numberline {3.2.\hskip .5em\relax }Историческое отступление: \\работы Хаусдорфа}{183}
\contentsline {section}{\numberline {3.3.\hskip .5em\relax }Расстояние Хаусдорфа}{186}
\contentsline {section}{\numberline {3.4.\hskip .5em\relax }$\varepsilon $-сети}{188}
\contentsline {section}{\numberline {3.5.\hskip .5em\relax }Историческое отступление: \\ расстояние Громова-Хаусдорфа}{189}
\contentsline {chapter}{Лекция 4: Внутренняя метрика}{192}
\contentsline {section}{\numberline {4.1.\hskip .5em\relax }Пространство с внутренней метрикой}{192}
\contentsline {section}{\numberline {4.2.\hskip .5em\relax }Локально компактные \\метрические пространства}{194}
\contentsline {section}{\numberline {4.3.\hskip .5em\relax }Геодезические в метрическом пространстве}{197}
\contentsline {section}{\numberline {4.4.\hskip .5em\relax }История, терминология, литература}{199}
\contentsline {chapter}{Лекция 5: Основы общей топологии}{202}
\contentsline {section}{\numberline {5.1.\hskip .5em\relax }Топологическое пространство}{202}
\contentsline {section}{\numberline {5.2.\hskip .5em\relax }Аксиомы Хаусдорфа}{203}
\contentsline {section}{\numberline {5.3.\hskip .5em\relax }Аксиомы счетности}{206}
\contentsline {chapter}{Лекция 6: Произведение пространств}{208}
\contentsline {section}{\numberline {6.1.\hskip .5em\relax }Свойства произведения}{208}
\contentsline {section}{\numberline {6.2.\hskip .5em\relax }Отображения в $M\times M'$}{209}
\contentsline {section}{\numberline {6.3.\hskip .5em\relax }Произведение метрических пространств}{210}
\contentsline {section}{\numberline {6.4.\hskip .5em\relax }Полуметрики и полунормы}{212}
\contentsline {section}{\numberline {6.5.\hskip .5em\relax }Тихоновская топология}{214}
\contentsline {section}{\numberline {6.6.\hskip .5em\relax }Пространства Фреше}{217}
\contentsline {section}{\numberline {6.7.\hskip .5em\relax }Тихоновский куб и гильбертов куб}{218}
\contentsline {section}{\numberline {6.8.\hskip .5em\relax }История, замечания}{220}
\contentsline {chapter}{Лекция 7: Теорема о метризации}{223}
\contentsline {section}{\numberline {7.1.\hskip .5em\relax }Нормальные топологические пространства}{223}
\contentsline {section}{\numberline {7.2.\hskip .5em\relax }Функции Урысона}{224}
\contentsline {section}{\numberline {7.3.\hskip .5em\relax }"Создатель советской топологии"}{226}
\contentsline {section}{\numberline {7.4.\hskip .5em\relax }Нормальные пространства \\и нуль-множества}{228}
\contentsline {section}{\numberline {7.5.\hskip .5em\relax }Теорема Урысона о метризации}{230}
\contentsline {section}{\numberline {7.6.\hskip .5em\relax }Теоремы о метризуемости}{231}
\contentsline {chapter}{Лекция 8: Компакты}{233}
\contentsline {section}{\numberline {8.1.\hskip .5em\relax }Компакты и слабо секвенциально компактные пространства}{233}
\contentsline {section}{\numberline {8.2.\hskip .5em\relax }Компакты и нормальные пространства}{236}
\contentsline {chapter}{Лекция 9: Произведение компактов}{238}
\contentsline {section}{\numberline {9.1.\hskip .5em\relax }Открытые, замкнутые, собственные отображения}{238}
\contentsline {section}{\numberline {9.2.\hskip .5em\relax }Конечные произведения компактов}{239}
\contentsline {section}{\numberline {9.3.\hskip .5em\relax }Максимальные идеалы в кольцах}{241}
\contentsline {section}{\numberline {9.4.\hskip .5em\relax }Лемма Цорна: история, замечания}{243}
\contentsline {section}{\numberline {9.5.\hskip .5em\relax }Кольцо подмножеств и ультрафильтры}{245}
\contentsline {section}{\numberline {9.6.\hskip .5em\relax }Теорема Александера о предбазе}{249}
\contentsline {section}{\numberline {9.7.\hskip .5em\relax }Теорема Тихонова о компактности}{252}
\contentsline {chapter}{Лекция 10: Равномерная сходимость}{254}
\contentsline {section}{\numberline {10.1.\hskip .5em\relax }Банаховы пространства}{254}
\contentsline {section}{\numberline {10.2.\hskip .5em\relax }Примеры пространств Фреше}{257}
\contentsline {section}{\numberline {10.3.\hskip .5em\relax }$\qopname \relax m{sup}$-метрика на пространстве отображений}{258}
\contentsline {section}{\numberline {10.4.\hskip .5em\relax }История, замечания}{260}
\contentsline {chapter}{Лекция 11: Пространство непрерывных отображений}{262}
\contentsline {section}{\numberline {11.1.\hskip .5em\relax }Топология равномерной сходимости на $C(X,Y)$}{262}
\contentsline {section}{\numberline {11.2.\hskip .5em\relax }Tопология, заданная окрестностями графика}{264}
\contentsline {section}{\numberline {11.3.\hskip .5em\relax }Замечания}{266}
\contentsline {chapter}{Лекция 12: Связные пространства}{268}
\contentsline {section}{\numberline {12.1.\hskip .5em\relax }Свойства связных подмножеств}{268}
\contentsline {section}{\numberline {12.2.\hskip .5em\relax }Компоненты связности}{269}
\contentsline {section}{\numberline {12.3.\hskip .5em\relax }Линейная связность}{272}
\contentsline {chapter}{Лекция 13: Вполне несвязные пространства}{274}
\contentsline {section}{\numberline {13.1.\hskip .5em\relax }Примеры вполне несвязных пространств}{274}
\contentsline {section}{\numberline {13.2.\hskip .5em\relax }Пространства Стоуна}{275}
\contentsline {chapter}{Лекция 14: Теорема Стоуна и теория категорий}{279}
\contentsline {section}{\numberline {14.1.\hskip .5em\relax }Категории}{279}
\contentsline {section}{\numberline {14.2.\hskip .5em\relax }Теория категорий: история, замечания}{283}
\contentsline {section}{\numberline {14.3.\hskip .5em\relax }Булевы кольца и булевы алгебры}{285}
\contentsline {section}{\numberline {14.4.\hskip .5em\relax }Спектр Зариского для булева кольца}{287}
\contentsline {section}{\numberline {14.5.\hskip .5em\relax }Булевы алгебры: история, замечания}{292}
\contentsline {chapter}{Лекция 15: Фундаментальная группа}{293}
\contentsline {section}{\numberline {15.1.\hskip .5em\relax }Гомотопные отображения}{293}
\contentsline {section}{\numberline {15.2.\hskip .5em\relax }Категория пространств с отмеченной точкой и пространства петель}{295}
\contentsline {section}{\numberline {15.3.\hskip .5em\relax }Фундаментальная группа}{297}
\contentsline {section}{\numberline {15.4.\hskip .5em\relax }Стягиваемые пространства, ретракты, гомотопическая эквивалентность}{302}
\contentsline {subsection}{\numberline {15.4.1.\hskip .5em\relax }История, замечания}{304}
\contentsline {chapter}{Лекция 16: Накрытия Галуа}{307}
\contentsline {section}{\numberline {16.1.\hskip .5em\relax }Факторпространства}{307}
\contentsline {section}{\numberline {16.2.\hskip .5em\relax }Категория накрытий}{308}
\contentsline {section}{\numberline {16.3.\hskip .5em\relax }Односвязные пространства}{312}
\contentsline {section}{\numberline {16.4.\hskip .5em\relax }Поднятие накрытия}{314}
\contentsline {section}{\numberline {16.5.\hskip .5em\relax }Накрытия и пути}{316}
\contentsline {section}{\numberline {16.6.\hskip .5em\relax }Произведение накрытий}{319}
\contentsline {section}{\numberline {16.7.\hskip .5em\relax }Накрытия Галуа и группа Галуа}{321}
\contentsline {section}{\numberline {16.8.\hskip .5em\relax }Теория Галуа для накрытий}{322}
\contentsline {section}{\numberline {16.9.\hskip .5em\relax }Универсальное накрытие}{324}
\contentsline {section}{\numberline {16.10.\hskip .5em\relax }Этальная фундаментальная группа}{327}
\contentsline {section}{\numberline {16.11.\hskip .5em\relax }История, замечания}{327}
\contentsline {chapter}{Лекция 17: Теорема Зейферта--ван Кампена}{331}
\contentsline {section}{\numberline {17.1.\hskip .5em\relax }Фундаментальная группа и универсальное накрытие}{331}
\contentsline {section}{\numberline {17.2.\hskip .5em\relax }Категория накрытий и фундаментальная группа}{334}
\contentsline {section}{\numberline {17.3.\hskip .5em\relax }Как восстановить фундаментальную группу по категории накрытий}{336}
\contentsline {section}{\numberline {17.4.\hskip .5em\relax }Свободная группа и свободное произведение групп}{337}
\contentsline {section}{\numberline {17.5.\hskip .5em\relax }Представимые функторы}{339}
\contentsline {section}{\numberline {17.6.\hskip .5em\relax }Лемма Ионеды: история, замечания}{340}
\contentsline {section}{\numberline {17.7.\hskip .5em\relax }Произведение и копроизведение в категории}{342}
\contentsline {section}{\numberline {17.8.\hskip .5em\relax }История свободной группы и копроизведений}{344}
\contentsline {section}{\numberline {17.9.\hskip .5em\relax }Теорема Зейферта--ван Кампена}{345}
\contentsline {section}{\numberline {17.10.\hskip .5em\relax }История, замечания}{347}
\contentsline {chapter}{Лекция 18: Подгруппы в свободных группах}{350}
\contentsline {section}{\numberline {18.1.\hskip .5em\relax }Фундаментальная группа букета окружностей}{350}
\contentsline {section}{\numberline {18.2.\hskip .5em\relax }Деревья}{352}
\contentsline {section}{\numberline {18.3.\hskip .5em\relax }Унициклические графы}{355}
\contentsline {section}{\numberline {18.4.\hskip .5em\relax }Фундаментальная группа графа}{357}
\contentsline {part}{IV\hspace {1em}Приложение. Вещественные числа}{359}
\contentsline {chapter}{Листок 0. Вещественные числа}{361}
\contentsline {section}{\numberline {0.1.\hskip .5em\relax }Фундаменальные последовательности.}{361}
\contentsline {section}{\numberline {0.2.\hskip .5em\relax }Дедекиндовы сечения.}{365}
\contentsline {section}{\numberline {0.3.\hskip .5em\relax }Супремум и инфимум.}{366}
\contentsline {section}{\numberline {0.4.\hskip .5em\relax }Корни многочленов нечетной степени.}{367}
\contentsline {section}{\numberline {0.5.\hskip .5em\relax }Пределы.}{368}
\contentsline {section}{\numberline {0.6.\hskip .5em\relax }Ряды.}{370}