\documentclass[11pt]{article} \usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr, fancyhdr, russlh} \def\arrow{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \addtolength{\topmargin}{-5mm} \addtolength{\textheight}{40mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-25mm} \addtolength{\textwidth}{45mm} \setlength{\headheight}{15pt} \pagestyle{fancy} \lhead{\tiny НМУ, весна 2010, задачи к экзамену} \lfoot{\tiny Потоки Риччи, НМУ, задачи к экзамену} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny Весна 2010} \rhead{{\tiny Миша Вербицкий}} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\rk{\operatorname{\sf rk}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \def\Ric{\operatorname{Ric}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}} \def\Der{\operatorname{Der}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string \\ \string \hline} }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3} \string & \string \grd \string & \string\grp \string \\ \string \hline} }} \endgroup \theoremstyle{upshape} \newtheorem{zadacha}{Задача}[section] \begingroup \gdef\th@generic{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{generic} \newtheorem{opredelenie}{Определение}[section] \begingroup \gdef\th@upshapenonumber{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ (##3).]}} \endgroup \theoremstyle{upshapenonumber} \newtheorem{ukazanie}{Указание}[section] \newtheorem{zamechanie}{Замечание}[section] \renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.} \newcommand{\subs}[1]{{\bigskip \bf\large {\centerline {#1}}\bigskip}} \newcommand{\sttr}{{\bf(*)}} \newcommand{\shrk}{{\bf(!)}} \newcommand{\doublesttr}{{\bf(**)}} \newcommand{\listok}[2]{% \setcounter{page}{1} \lhead{ \scriptsize #2 } \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % VEDOMOST GENERATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newwrite\Vedomost \immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm %\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{#1 }} \newcommand{\writevedomost}[1]{{ }} \newcommand{\NewVedomost}% {\writevedomost{\string\end{tabular} \string & \string\vedomostsize % \string\begin{tabular}[t]{|c|c|@{}c@{}|@{}c@{}|} % \string\hline % \string\mc{$N^0$}\string&\string\dtt\string&\string\pdp\string\\ \string\hline % }} \def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}} \def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}} \makeatother \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\задача{\begin{zadacha}} \def\ез{\end{zadacha}} \def\замечание{\begin{zamechanie}} \def\еза{\end{zamechanie}} \def\указание{\begin{ukazanie}} \def\еу{\end{ukazanie}} \def\eu{\end{ukazanie}} \def\определение{\begin{opredelenie}} \def\ео{\end{opredelenie}} \def\eo{\end{opredelenie}} \def\goth{\mathfrak} \def\енум{\begin{enumerate}} \def\ее{\end{enumerate}} \def\ee{\end{enumerate}} \def\итем{\item % \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } } \begin{document} \listok{1}{Задачи к экзамену по курсу ``Дифференциальная геометрия и потоки Риччи'', весна 2010.} {\em \small Для сдачи экзамена с оценкой $5-k$ достаточно решить $9-2k$ задач из списка.} \задача {\бф Киллингово векторное поле} $X$ на римановом многообразии $(M,g)$ это векторное поле, удовлетворяющее $\Lie_X g=0$. Докажите, что $X$ киллингово тогда и только тогда, когда $g(\nabla_Y X, Z) = - g(\nabla_Z X, Y)$ для любых векторных полей $Y$ и $Z$. \ез \задача Постройте на $(S^3,g)$ (с обычной метрикой) ортогональную связность $\nabla$, кручение которой удовлетворяет $g(T_\nabla(X,Y),Z)=-2\Vol_g$. Докажите, что она единственна. Найдите кривизну. \ез \задача {\бф Произведение Кулкарни-Номидзу} симметрических 2-форм $h$ и $k$ записывается формулой \[ (h\diamond k)(x,y,z, t) = h(x,z)k(y,t) + h(y,t)k(x,z) - h(x,t)k(y,z) - h(y,z)k(x,t). \] Докажите, что $h\diamond k$ лежит в пространстве алгебраических тензоров кривизны. Докажите, что такие тензоры порождают пространство алгебраических тензоров кривизны. \ез \задача Пусть $g$ есть метрический тензор. Докажите, что $h \mapsto h\diamond g$ инъективно на $\Sym^2 T^*M$, и сопряженное с этим отображение есть естественная проекция алгебраических тензоров кривизны на кривизну Риччи. \ез \задача Докажите, что тензор кривизны $n$-мерной сферы со стандартной метрикой $g$ равен $c g\diamond g$, $c\in \R$. \ез \задача Пусть $\phi:\; M \arrow N$ -- гомеоморфизм связных римановых многообразий, который является изометрией в хотя бы одной точке, и сохраняет тензор кривизны. Докажите, что это изометрия. \ез \задача Пусть $M$ -- полное, односвязное риманово многообразие, причем в разложении Риччи тензора кривизны $M$ встречается только скалярная кривизна. Докажите, что $M$ изометрично сфере, гиперболическому пространству либо $\R^n$. \ез \задача Пусть $G= SU(3)$ с метрикой $g$, которая инвариантна относительно правого и левого действия $SU(3)$ на себе. Докажите, что $g$ определено однозначно с точностью до постоянного множителя. Рассмотрим подмножество $T^2 \subset G$, состоящее из диагональных матриц. Докажите, что это плоский тор, который лежит в $G$ как вполне геодезическое подмногообразие. \ез \задача Пусть $M$ -- риманово многообразие, $\dim M \geq 4$. Докажите, что $M$ {\бф конформно плоско}, то есть у каждой точки $M$ есть окрестность, в которой метрика делается плоской после умножения на положительную функцию, тогда и только тогда, когда кривизна Вейля $W$ равна нулю (то есть когда зануляются все компоненты кривизны, кроме скалярной и кривизны Риччи). \ез \задача Пусть $(M,g)$ -- риманово многообразие, $\nabla_{LC}$ -- связность Леви-Чивита, а $\nabla$ -- ортогональная связность на $TM$. Рассмотрим форму $Т_1 \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1 M$, где $T_1(X,Y,Z)= g(T_\nabla(X,Y), Z)$, а $T_\nabla\in \Lambda^2 M\otimes TM$ есть тензор кручения $\nabla$. Предположим, что $T_1$ антисимметрично. Докажите, что $\Ric(\nabla)= \Ric(\nabla_{LC})$. \ез \определение 2-форма на векторном пространстве $V$ называется {\бф невырожденной}, если она симплектична. Для $i>2$, $i$-форма $\rho$ называется {\бф невырожденной}, если для каждого нигде не зануляющегося векторного поля $X$, контракция $\rho$ с $X$ невырождена на ортогональном дополнении к $X$. \ео \задача Найдите все $i$, $n$, для которых на $n$-мерном пространстве есть невырожденные $i$-формы. \ез \задача Пусть $\rho$ -- невырожденная в каждой точке $i$-форма на римановом многообразии $M$, $\nabla$ -- связность Леви-Чивита, а $\nabla(\rho)=0$. Пусть $2< i < \dim M$. Докажите, что $M$ Риччи-плоско. \ез \задача Пусть $M$ -- риманово многообразие, а объем шара радиуса $r$ в $M$ такой же, как в $\R^n$, для всех $r\in [0, \epsilon[$. Докажите, что $M$ риччи-плоско. \ез \задача Приведите пример последовательности полных двумерных римановых многообразий, которая не имеет подпоследовательности, сходящейся по Громову-Хаусдорфу. \ез \задача Пусть $B$ -- замкнутый трехмерный шар со стандартной метрикой. Найдите для каждого $\epsilon$ риманово многообразие $B_\epsilon$, гомеоморфное $B$ и удовлетворяющее $d_{GH}(B, B_\epsilon)< \epsilon$, таким образом, что $B_\epsilon$ лежит в $\epsilon$-окрестности своей границы. \ез \задача Постройте последовательность римановых метрик на трехмерной сфере, такую, что ее предел по Громову-Хаусдорфу -- трехмерный шар. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \задача Пусть $B$ -- векторное расслоение со связностью $\nabla$, $d^\nabla:\; B\otimes\Lambda^i M \arrow B \otimes \Lambda^{i+1} M$ ее продолжение, полученное по правилу Лейбница, а $R\in \Lambda^2 M \otimes \End B$ кривизна. Докажите {\бф дифференциальное тождество Бьянки}, $d^\nabla R=0$. Выведите из него, что на любом римановом многообразии имеет место равенство $d s = - 2 \delta \Ric$, где $s$ есть скалярная кривизна, а $\delta:\; \Sym^2 T^*M \arrow T^*M$ композиция $\nabla:\; \Sym^2 T^*M\arrow \Sym^2 T^*M\otimes \Lambda^1 M$ и спаривания $\Sym^2 T^*M\otimes \Lambda^1 M\arrow Т^*М$. \ез \задача Пусть $(M,g)$ -- $n$-многообразие, удовлетворяющее $\Ric = \lambda g$, где $\lambda \in C^\infty M$, а $n>2$. Докажите, что $\lambda$ постоянна. \ез \задача Рассмотрим функционал $S(g)= \int s \Vol_g$, сопоставляющий метрике интеграл от ее скалярной кривизны. Докажите, что $dS(h)=\int_M \langle\frac s 2 g -\Ric, h\rangle\Vol_g$. \ез \задача Рассмотрим пространство ${\cal M}_1$ метрик $g$ на компактном многообразии $M$, таких, что $\int_M \Vol_g=1$. Докажите, что критические точки $S$ на ${\cal M}_1$ -- это в точности эйнштейновы метрики.\footnote{Метрика называется {\бф эйнштейновой}, если удовлетворяет $\Ric_g=\lambda g$.} \ез \end{document}