\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr, fancyhdr, russlh}

\def\arrow{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}


\addtolength{\topmargin}{-5mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-25mm}
\addtolength{\textwidth}{45mm}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} 
\lhead{\tiny НМУ, весна 2010, задачи к экзамену} 
\lfoot{\tiny Потоки Риччи, НМУ, задачи к экзамену} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny Весна 2010}
\rhead{{\tiny  Миша Вербицкий}}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\rk{\operatorname{\sf rk}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\def\Ric{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}}
\def\Der{\operatorname{Der}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}




\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[section]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}{Определение}[section]

\begingroup
\gdef\th@upshapenonumber{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ (##3).]}}
\endgroup

\theoremstyle{upshapenonumber}

\newtheorem{ukazanie}{Указание}[section]
\newtheorem{zamechanie}{Замечание}[section]

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}
\newcommand{\subs}[1]{{\bigskip \bf\large {\centerline {#1}}\bigskip}}
\newcommand{\sttr}{{\bf(*)}}
\newcommand{\shrk}{{\bf(!)}}
\newcommand{\doublesttr}{{\bf(**)}}

\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\lhead{ \scriptsize #2 }
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newwrite\Vedomost
\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{#1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{{ }}


\newcommand{\NewVedomost}%
{\writevedomost{\string\end{tabular} \string & \string\vedomostsize %
\string\begin{tabular}[t]{|c|c|@{}c@{}|@{}c@{}|} %
\string\hline %
\string\mc{$N^0$}\string&\string\dtt\string&\string\pdp\string\\ \string\hline %
}}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}


\makeatother

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string
      &\string & \string \\ \string \hline } 
}


\begin{document}

\listok{1}{Задачи к экзамену по курсу ``Дифференциальная
геометрия и потоки Риччи'', весна 2010.}

{\em \small Для сдачи экзамена с оценкой $5-k$
достаточно решить $9-2k$ задач из списка.}


\задача
{\бф Киллингово векторное поле} $X$ на римановом
многообразии $(M,g)$ это векторное поле,
удовлетворяющее $\Lie_X g=0$. 
Докажите, что $X$ киллингово тогда
и только тогда, когда $g(\nabla_Y X, Z) = 
- g(\nabla_Z X, Y)$ для любых векторных
полей $Y$ и $Z$.
\ез

\задача
Постройте на $(S^3,g)$ (с обычной метрикой) ортогональную 
связность $\nabla$, кручение которой удовлетворяет $g(T_\nabla(X,Y),Z)=-2\Vol_g$.
Докажите, что она единственна. Найдите кривизну.
\ез

\задача
{\бф Произведение Кулкарни-Номидзу} симметрических 2-форм
$h$ и $k$ записывается формулой
\[
(h\diamond k)(x,y,z, t) = h(x,z)k(y,t) + h(y,t)k(x,z) -
h(x,t)k(y,z) - h(y,z)k(x,t).
\]
Докажите, что $h\diamond k$ лежит в пространстве
алгебраических тензоров кривизны. Докажите, что
такие тензоры порождают пространство алгебраических 
тензоров кривизны.
\ез

\задача
Пусть $g$ есть метрический тензор.
Докажите, что $h \mapsto h\diamond g$ инъективно на
$\Sym^2 T^*M$, и сопряженное с этим отображение
есть естественная проекция алгебраических
тензоров кривизны на кривизну Риччи.
\ез

\задача
Докажите, что тензор кривизны $n$-мерной сферы
со стандартной метрикой $g$ равен $c g\diamond g$, $c\in \R$.
\ез

\задача
Пусть $\phi:\; M \arrow N$ -- гомеоморфизм связных римановых
многообразий, который является изометрией в хотя бы
одной точке, и сохраняет тензор кривизны. Докажите, что
это изометрия.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- полное, односвязное риманово многообразие,
причем в разложении Риччи тензора кривизны $M$ встречается
только скалярная кривизна. Докажите, что $M$ изометрично
сфере, гиперболическому пространству либо $\R^n$.
\ез

\задача
Пусть $G= SU(3)$ с метрикой $g$, которая инвариантна
относительно правого и левого действия $SU(3)$ на себе.
Докажите, что $g$ определено однозначно с точностью
до постоянного множителя. Рассмотрим подмножество
$T^2 \subset G$, состоящее из диагональных матриц.
Докажите, что это плоский тор, который лежит
в $G$ как вполне геодезическое подмногообразие.
\ез


\задача
Пусть $M$ -- риманово многообразие, $\dim M \geq 4$.
Докажите, что $M$ {\бф конформно плоско}, то есть у каждой точки
$M$ есть окрестность, в которой метрика делается
плоской после умножения на положительную функцию,
тогда и только тогда, когда кривизна Вейля $W$
равна нулю (то есть когда зануляются все компоненты
кривизны, кроме скалярной и кривизны Риччи).
\ез

\задача
Пусть $(M,g)$ -- риманово многообразие,
$\nabla_{LC}$ -- связность Леви-Чивита,
а $\nabla$ -- ортогональная связность на $TM$.
Рассмотрим форму $Т_1 \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1
M$, где $T_1(X,Y,Z)= g(T_\nabla(X,Y), Z)$, а
$T_\nabla\in \Lambda^2 M\otimes TM$ есть тензор кручения
$\nabla$. Предположим, что $T_1$ 
антисимметрично. Докажите, что $\Ric(\nabla)= \Ric(\nabla_{LC})$.
\ез


\определение
2-форма на векторном пространстве 
$V$ называется {\бф невырожденной}, если она
симплектична. Для $i>2$, $i$-форма $\rho$ называется
{\бф невырожденной}, если для каждого
нигде не зануляющегося векторного поля $X$,
контракция $\rho$ с $X$ невырождена на 
ортогональном дополнении к $X$.
\ео

\задача
Найдите все $i$, $n$, для которых
на $n$-мерном пространстве есть невырожденные $i$-формы.
\ез

\задача
Пусть $\rho$ -- невырожденная в каждой точке 
$i$-форма на римановом многообразии $M$, $\nabla$ --
связность Леви-Чивита, а $\nabla(\rho)=0$. Пусть $2< i < \dim M$.
Докажите, что $M$ Риччи-плоско.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- риманово многообразие, а объем
шара радиуса $r$ в $M$ такой же, как в $\R^n$, для
всех $r\in [0, \epsilon[$. Докажите, что $M$ риччи-плоско.
\ез

\задача
Приведите пример последовательности полных
двумерных римановых многообразий, которая не имеет
подпоследовательности, сходящейся по Громову-Хаусдорфу.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- замкнутый трехмерный шар со стандартной метрикой.
Найдите для каждого $\epsilon$ риманово многообразие
$B_\epsilon$, гомеоморфное $B$ и удовлетворяющее
$d_{GH}(B, B_\epsilon)< \epsilon$, таким образом,
что $B_\epsilon$ лежит в $\epsilon$-окрестности
своей границы.
\ез

\задача
Постройте последовательность римановых метрик на трехмерной 
сфере, такую, что ее предел по Громову-Хаусдорфу -- 
трехмерный шар.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу


\задача
Пусть $B$ -- векторное расслоение со связностью $\nabla$, 
$d^\nabla:\; B\otimes\Lambda^i M \arrow B \otimes \Lambda^{i+1} M$
ее продолжение, полученное по правилу Лейбница, а $R\in
\Lambda^2 M \otimes \End B$ кривизна. Докажите 
{\бф дифференциальное тождество Бьянки}, $d^\nabla R=0$.
Выведите из него, что на любом римановом многообразии
имеет место равенство $d s = - 2 \delta \Ric$,
где $s$ есть скалярная кривизна, а 
$\delta:\; \Sym^2 T^*M \arrow T^*M$ композиция
$\nabla:\; \Sym^2 T^*M\arrow \Sym^2 T^*M\otimes \Lambda^1 M$
и спаривания $\Sym^2 T^*M\otimes \Lambda^1 M\arrow Т^*М$.
\ез


\задача
Пусть $(M,g)$ -- $n$-многообразие, удовлетворяющее
$\Ric = \lambda g$, где $\lambda \in C^\infty M$, а $n>2$. Докажите,
что $\lambda$ постоянна.
\ез


\задача
Рассмотрим функционал $S(g)= \int s \Vol_g$,
сопоставляющий метрике интеграл от ее скалярной
кривизны. Докажите, что 
$dS(h)=\int_M \langle\frac s 2 g -\Ric, h\rangle\Vol_g$.
\ез

\задача
Рассмотрим пространство ${\cal M}_1$ метрик $g$
на компактном многообразии $M$, таких, 
что $\int_M \Vol_g=1$. Докажите, что 
критические точки $S$ на ${\cal M}_1$ -- 
это в точности эйнштейновы метрики.\footnote{Метрика
называется {\бф эйнштейновой}, если удовлетворяет $\Ric_g=\lambda g$.}
\ез



\end{document}
