\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 05.07.2017, nachal v Pitere

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   05.07.2017}

\begin{document}


\listok{4}{К3 поверхность 4: теорема Лефшеца}
\lhead{\small К3 поверхность, листок 4: теорема Лефшеца}


\задача
Пусть $Z\subset \C P^n$ гладкое проективное многообразие,
трансверсальное гиперплоскости $H$, а $A= Z \backslash Z\cap H$.
Рассмотрим $A$ как подмногообразие в $\C P^n\backslash H$,
с обычной метрикой на $\C^n$, и пусть $f:=|z|^2$ -- функция
модуля на $\C^n$. Рассмотрим градиентный поток $e^{t \grad f}$.
Обозначим за $\{S_i^f\}$ множество всех стабильных многообразий
всех критических точек $f$.
Докажите, что $\Psi_f(a):=\lim\limits_{t\arrow \infty} e^{t \grad f}a$
определен для каждой точки $a\in A$, и задает непрерывное
отображение $A\backslash (\bigcup S_i^f)\times [0,t]\arrow Z$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- риманово многообразие.
Рассмотрим метрику $C^2$ на $C^\infty M$,
$|f|_{C^2}:= \sup_M \left( |f|+|df|+|\nabla df|\right)$.
В условиях предыдущей задачи, снабдим $A$ 
метрикой, которая получена ограничением
обычной метрики на $\C^n$. Докажите, что
для любой функции $f_1$ такой, что
$|f-f_1|_{C^2}< C$, отображение
$\Psi_{f_1}:=\lim\limits_{t\arrow \infty} e^{t \grad f}a:\; 
  A\backslash (\bigcup S_i^{f_1})\arrow  Z$
непрерывно вне стабильных многообразий $f_1$.
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи,
предположим, что у $f$ и $f_1$ нет критических точек
положительного индекса. Докажите, что отображения
$\Psi_f$ и $\Psi_{f_1}$ равны в их области определения.
\ез

\задача
Пусть $f$ -- дважды дифференцируемая
функция на римановом многообразии,
а $B_f(\epsilon)$ -- $\epsilon$-шар вокруг
$f$ в метрике, заданной $|\cdot|_{C^2}$.
Докажите, что для открытого, плотного
подмножества $U\subset B_f(\epsilon)$,
все функции $f_1\in U$ морсовские.
\ез

\задача
Пусть $Z_m$ -- стабильное многообразие критической
точки $m$ индекса $p$. Докажите, что $Z_m$ гладкое, $p$-мерное
подмногообразие в $M$.
\ез

\задача
Пусть $(M,I,J,K)$ полное, гиперкэлерово 
многообразие вещественной размерности 4, $N>0$ константа,
$z_1\in M$ отмеченная точка, а $f$ -- положительная функция на $M$ такая, что 
$|df|\restrict z < d(z,z_0)^N$. Предположим, что 
$f$ строго плюрисубгармонична относительно $I,J,K$
(строго - значит, что $dd^c(x,Ix)>\epsilon|x|^2$ для
какой-то функции $\epsilon:\; M \arrow R^{>0}$
и всех $x\in TM$). Докажите, что $\pi_1(M)$ -- свободная
группа. 
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи, 
приведите пример, когда $\pi_1(M)$ нетривиальна.
\ез

\задача
Пусть $S\subset \C ^n$ -- замкнутое, гладкое, голоморфное
подмногообразие. Докажите, что $H^i(S)=0$ для всех $i>\dim S$.
\ез

\задача
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие,
а $\phi:\; M \arrow \R^{>0}$ -- морсовская функция, такая, что
$dId\phi(x,Ix)\geq 0$ для любого $x\in TM$.
Докажите, что $H^i(M)=0$ для всех $i>\dim M$.
\ез

\end{document}