\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 05.07.2017, nachal v Pitere

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   05.07.2017}

\begin{document}


\listok{3}{К3 поверхность 3: гиперкэлеровы структуры и пространства Фреше}
\lhead{\small К3 поверхность, листок 3: гиперкэлеровы структуры и пространства Фреше}

\subsection{Кватернионные структуры}

\определение
Пусть $h\in {\Bbb H}$ -- унитарный кватернион, а
$(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерово многообразие. Тогда
$(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ -- тоже гиперкэлерово
многообразие . Гиперкэлеровы многообразия
$(M,I,J,K,g)$  и  $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$
называются {\бф эквивалентными}.
\ео


\задача
Пусть $(M,g)$ -- 4-мерное риманово многообразие.
Докажите, что любые две гиперкэлеровы структуры
на $(M,g)$ эквивалентны, либо найдите контрпример.
\ез


\задача
Пусть на 4-мерном многообразии заданы симплектические
формы $\omega_1, \omega_2, \omega_3$, удовлетворяющие
$\omega_1\wedge \omega_2=\omega_1\wedge \omega_3 = \omega_2\wedge \omega_3=0$
и $\omega_1^2=\omega_2^2=\omega_3^2\neq 0$. Докажите, что
есть гиперкэлерова структура, для которой
$\omega_1=\omega_I$, $\omega_2=\omega_J$,
$\omega_3=\omega_K$.
\ез

\задача
Пусть на компактном 4-мерном многообразии задана гиперкэлерова
структура, а $\eta$ -- точная, кватернионно-инвариантная
2-форма. Докажите, что $\eta=0$.
\ез


\subsection{Многообразия Фреше}


\задача
Пусть $Z$ -- пространство
всех невырожденных комплексных
2-форм на компактном 4-мерном многообразии, удовлетворяющих $\Omega^2=0$,
с топологией, индуцированной с топологии Фреше на пространстве
всех 2-форм. Докажите, что $Z$ -- многообразие Фреше.
\ез


\задача
В условиях предыдущей задачи,
пусть $Z_0\subset Z$ -- пространство всех замкнутых
форм в $Z$. Постройте ретракцию некоторой
окрестности $Z_0\subset Z$ на $Z_0$.
\ез



\задача
Пусть $V$ -- пространство последовательностей вещественных
чисел с топологией почленной сходимости. Докажите, что
$V$ -- пространство Фреше. Докажите, что $V$ не
допускает никакой нормы, совместимой с этой топологией
({\ем полунормы} допускает, естественно).
\ез

\задача
Пусть $M$ комплексное многообразие, 
а $V$ -- пространство голоморфных функций,
с топологией равномерной сходимости на компактах.
Докажите, что $V$ -- пространство Фреше.
\ез



\end{document}