\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 04.07.2017, nachal zanovo v Pitere

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   04.07.2017}

\begin{document}


\listok{2}{К3 поверхность 2: билинейные формы}
\lhead{\small К3 поверхность, листок 2: билинейные формы}

%\subsection{Билинейные формы}

\определение
{\бф Решетка} есть конечно-порожденный $\Z$-модуль
без кручения. {\бф Билинейная форма} на решетке есть
билинейное симметричное отображение $L\otimes_\Z L \arrow Z$
\ео


\задача
Пусть $L$ -- решетка с неопределенной 
билинейной симметричной формой $q$. \енум
\итем Докажите, что группа $O(L,q)$
бесконечна, если $L$ унимодулярна.
\итем[*] Докажите, что группа $O(L,q)$
бесконечна, если  ранг $L$ больше $2$.
\итем Докажите, что $O(L,q)$ бесконечна, если $L$ двумерная
неопределенная решетка с невырожденным скалярным произведением,
причем $q(x,x)\neq 0$ для любого ненулевого вектора $x\in L$.
\итем Докажите, что $O(L,q)$ бесконечна, если $L$ двумерная
неопределенная решетка с вырожденным скалярным произведением.
\ее
\ез



\задача
Пусть $L$ -- решетка с неопределенной унимодулярной
билинейной симметричной формой $q$, которая нечетна.
Докажите, что $q$ диагонализуется в каком-то базисе.
\ез

\задача[*]
Докажите аналогичную классификационную
теорему для четных форм: в каком-то базисе,
$q$ будет выражаться как сумма блоков, состоящих
из двумерных гиперболических решеток и решетки $(\pm E_{8})^n$.
\ез

\задача
Верно ли, что $E_8\oplus -E_8$ есть прямая сумма 8 копий
решетки $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$?
\ез

\задача
Пусть $L$ -- унимодулярная решетка. Докажите, что
группа изометрий $O(L)$ действует на множестве $S_\lambda$ векторов
$x\in L$ с $q(x, x)=\lambda$ с конечным числом орбит.
\ез

\задача
Найдите алгебру когомологий многообразия $\C P^2\# \C P^2$.
\ез

\задача
Найдите алгебру когомологий многообразия $(S^2 \times S^3)\#(S^2 \times S^3)$.
\ез



\end{document}