\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 06.02.2012
% version 1.1, 13.02.2012 neskol'ko ispravlenij
% version 1.2, 03.07.2017, nachal zanovo v Pitere

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   03.07.2017}

\begin{document}


\listok{1}{К3 поверхность 1: классы Черна}
\lhead{\small К3 поверхность, листок 1: классы Черна}

\задача
Определите расслоенное произведение объектов в категории (в терминах
объектов и морфизмов). 
\ез

\определение
{\бф Произведение объектов категории} есть 
расслоенное произведение над терминальным (конечным) объектом.
\ео


\определение
Пусть $A$ есть категория с конечным объектом 1 и 
произведениями.  {\бф Групповой объект} в $A$
есть $X\in \Ob(A)$, снабженный морфизмом
$X \times X \stackrel \mu \arrow X$ ("умножения"), морфизмом 
$1 \stackrel \epsilon \arrow X$ ("единицей), и $a:\; X \arrow X$
("обращение"), удовлетворяющий аксиомам
асоциативности 
$(\mu \times \Id) \circ \mu = (\Id \times \mu) \circ \mu$
и обратного элемента $\mu \circ (1\times a) \circ \diag = \Pi_1 \circ \epsilon$,
где $\Pi_1$ есть морфизм в терминальный объект.
\ео

\замечание
Нетрудно проверить, что групповой объект в категории 
множеств это группа, а групповой объект объект в
категории топологических пространств - топологическая группа.
\еза

\задача
Что такое групповой объект в категории векторных пространств?
\ез

\задача
Докажите, что алгебра Хопфа -- то же самое, что коммутативный групповой
объект в категории ${\cal A}^\circ$, где ${\cal A}$ -- категория
коммутативных, ассоциативных алгебр с единицей над полем.
\ез


\задача
Докажите, что пространство петель $\Omega(BU)$
гомотопически эквивалентно группе $U$.
\ез

\задача
Рассмотрим 14-мерную компактную группу $G_2\subset GL(7,\R)$
матриц, сохраняющих общую 3-форму $\rho$ на $\R^7$. Верно ли, что
$G_2$ гомотопически эквивалентна какому-то пространству петель?
\ез

\задача[*]
Найдите рациональные когомологии бесконечномерного
вещественного многообразия Грассмана $Gr(\R, \infty)$.
\ез

\задача Пусть $Y\arrow X$ -- локально
тривиальное расслоение, слой которого стягиваем,
и база тоже стягиваема. Докажите, что $Y$ стягиваемо.
\ез

\задача
Пусть $X_\infty = \bigcup X_i$ -- счетное
объединение стягиваемых клеточных пространств
$X_1\subset X_2\subset ...$
Докажите, что $X_\infty$ тоже стягиваемо.
\ез

\задача
Докажите, что классы Черна единственным образом 
определяются функториальностью, формулой Уитни и нормализацией.
\ез



\end{document}