

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{Per}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{Null}}
\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{\sf grad}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{\sf supp}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small K3 на Фонтанке, лекция 5 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf K3 на Фонтанке, \\[15mm]
\small лекция 5: все К3 диффеоморфны}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf 
Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017
\\[2mm] 8 июля 2017
}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе  K3-поверхности (повторение)}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухдаль-Ламари).

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

\замечание
Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$,
значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова
характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$.

Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности:
\[\begin{array}{ccccc}
&&1&&\\
&0&&0&\\
1&&20&&1\\
&0&&0&\\
&&1&&\\
\end{array}
\]

\невпаге

{\бф \блуе  Классификация форм пересечения (повторение)}


\определение
Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется
{\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$,
{\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$,
и {\бф\блуе  нечетной} если нет.

\определение
Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной},
если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$.

\теорема\\ 
{\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\
 Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$.
{\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную прямую сумму} подпространств
с билинейной формой, которая имеет вид 
$\left [ \begin{smallmatrix}
0 &1\\
1&0
\end{smallmatrix}\right ]$
(такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств
$E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$:
{\small \[ 
\left [
\begin{smallmatrix}
 2 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
-1 &  2 & -1&  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
 0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 &  0 & -1 \\
 0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & 0 \\
 0 &  0 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 & 2
\end{smallmatrix}\right ],
\]}
или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака.

\теорема {\бф \ред Форма пересечения на $H^2(К3)$ это $U^3 \oplus (-E_8)^2$.}

\невпаге


{\бф \блуе  Гладкие квартики (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая
гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым
однородным полиномом степени 4.

\замечание
По формуле Эйлера, каноническое расслоение
на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения,
примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$,
дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$,
а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$,
{\бф \пурпле имеем $K_Z=\calo(m-n-1)$.}

\следствие
{\бф \пурпле Гладкая квартика в $\C P^3$ есть поверхность с тривиальным
каноническим классом.}

\замечание
В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду
подразумевать квартики размерности 2.}

\теорема {\бф \ред Любая гладкая квартика есть К3 поверхность.}

{\бф \греен (было на прошлой лекции)}

\невпаге

{\бф \блуе Формула Римана-Роха-Хирцебруха (повторение)}

\определение
Пусть $L$, $L'$ -- линейные расслоения на повекрхности $X$.
Число $\int_X c_1(L)\wedge c_1(L')$ обозначается $(L,L')$,
и называется {\бф \блуе индекс пересечения}.

\определение
{\бф \блуе Эйлерова характеристика} когерентного пучка $F$ есть
число $\chi(F):= \sum_i (-1)^i \dim H^i(F)$.


Напомним {\бф \блуе формулу Римана-Роха} для поверхности:

\теорема
Для любого линейного расслоения $L$ на поверхности,
$\chi(L)= \chi(\calo_X)+ \frac{(L-K_X,L)}2$.

Для К3-поверхности, 
$\chi(\calo_X)=h^{0,0}(X) - h^{0,1}(X)+ h^{0,2}(X)=2$,
а $c_1(K_X)=0$. Получаем:

\теорема
{\бф \ред Для любого линейного расслоения $L$ на К3,
$\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2$.}


\невпаге

{\бф \блуе Линейные расслоения на К3}

Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность.
Поскольку форма пересечения совместима
с разложением Ходжа, $(H^{2,0}(M)\oplus H^{0,2}(M))^\bot=H^{1,1}(M)$.
Пространство $H^{2,0}(M)\oplus H^{0,2}(M)$
есть комплексификация $\Per(I):=\langle \Re \Omega, \Im \Omega\rangle$,
где $\Omega$ обозначает класс голоморфной симплектической формы.


\утверждение
Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность,
а $W:=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$. {\bf \red Тогда $H^{1,1}_I(M,\R)=W^\bot$ }
(ортогональное дополнение).


\следствие
Для любой К3, {\бф \пурпле $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ --
множество целочисленных векторов, ортогональных 
$W=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$.}

\следствие
Для общей К3-поверхности, группа $\Pic(M,I)$ тривиальна.


\невпаге

{\бф \блуе Обильные расслоения}

\определение
{\бф \блуе Очень обильное расслоение} есть линейное
расслоение вида $\phi^*(\calo(1))$,
где $\phi:\; M \hookrightarrow \C P^n$ -- проективное вложение.
{\бф \блуе Обильное расслоение} есть линейное расслоение,
положительная степень которого обильна.

\теорема {\бф \блуе (Кодаира)}
{\бф \ред Расслоение $L$ обильно тогда и только тогда,
когда $c_1(L)$ -- кэлеров класс.}

\следствие Любое положительное (положительной степени, то есть
с положительным $c_1$) расслоение на комплексной кривой {\бф \ред обильно.}

\невпаге

{\бф\блуе Очень обильные расслоения}

\упражнение Докажите следующее. 
Пусть $L$ линейное расслоение над $X$, и для любых
двух точек $x, y\in X$ найдется сечение $L$, которое равно нулю в 
$x$, и ненулевое в $y$, и другое сечение, которое ненулевое в $x$, 
и нулевое в $y$. {\бф \ред Тогда $X$ биективно отображается в ${\Bbb P}H^0(X,L)^*$.}
Если, к тому же, для каждой точки $x\in X$ есть сечение $f\in H^0(L)$, зануляющееся в ней, и 
такое, что $df\restrict Т^*_xХ\neq 0$, то {\бф \пурпле естественное отображение
$X \hookrightarrow {\Bbb P}H^0(X,L)^*$ --- гладкое вложение,}
а {\бф \ред $L$ очень обильно}.

\определение 
Обозначим за $k_x$ {\бф \блуе пучок-небоскреб} в точке $x\in M$, то есть
пучок вида $\calo_M /I_x$, где $I_x$ идеал функций, зануляющихся в $x$.


\следствие
Пусть $L$ расслоение на многообразии $X$, такое, что
для любых двух точек $x, y \in X$, естественное отображение
\[ H^0(X,L) \arrow H^0(L\otimes_{\calo_X} k_x \oplus L\otimes_{\calo_X} k_y)\]
сюрьективно, и $H^0(X,L)\arrow H^0(L/L\otimes I^2_x)$ сюрьективно.
{\бф \ред Тогда $L$ очень обильно.}

\доказательство Сюрьективность \\
$H^0(X,L) \arrow H^0(L\otimes_{\calo_X} k_x \oplus L\otimes_{\calo_X} k_y)$
есть первое условие упражнения, сюрьективность 
$H^0(X,L)\arrow H^0(L/L\otimes I^2_x)$ --
второе условие. \ендпрооф

%\невпаге
%
%{\бф \блуе Обильные расслоения на кривой}
%
%
%\теорема {\бф \блуе (Кодаира)} Пусть $L$ -- линейное расслоение над $X$,
%такое, что $L\otimes K_X^{-1}$ обильно, где $K_X$ есть канонический класс $X$.
%{\bf \red Тогда $H^i(L)=0$ для всех $i>0$.}
%
%\следствие 
%Пусть $L$ -- линейное расслоение на кривой $C$ рода $g$, причем $\deg L >2g$.
%Тогда $L$ очень обильно.
%
%\дшаг Из точной последовательности
%\[
%0 \arrow L\otimes_{\calo_X} (I_x \cap I_y)\arrow L \arrow 
%L\otimes_{\calo_X} k_x \oplus L\otimes_{\calo_X} k_y\arrow 0
%\]
%и \[
%0 \arrow L\otimes_{\calo_X} (I_x ^2)\arrow L \arrow 
%L/L\otimes I^2_x \arrow 0
%\]
%следует, что для сюрьективности стрелочек достаточно,
%чтобы $H^1(L\otimes_{\calo_X} (I_x \cap I_y))=0$ и 
%$H^1(L\otimes_{\calo_X} (I_x ^2)=0$. 
%
%{\бф \греен Шаг 2:} Каноническое расслоение
%кривой имеет степень $2g-2$. Поэтому для  зануления
%$H^1(L)$ достаточно, чтобы $\deg L -2g+2 >0$.
%
%{\бф \греен Шаг 3:}
%Расслоения
%$L\otimes_{\calo_X} (I_x \cap I_y)$ и $L\otimes_{\calo_X} (I_x ^2)$
%имеют степень $\deg L -2$. Значит, зануление их когомологий следует,
%когда $\deg L -2g >0$.
%\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Каноническое отображение кривой}

\определение Пусть $X$ -- комплексное многообразие,
такое, что глобальные сечения канонического расслоения $K_X$
не имеют общих нулей. {\бф\блуе Каноническое отображение} есть 
стандартное отображение\\ $X \arrow {\Bbb P}H^0(X, K_X)$.

\теорема
Пусть $C$ -- кривая рода $\geq 2$, а $\Psi:\; C \arrow {\Bbb P}H^0(K)$ --
каноническое отображение. {\бф \ред Тогда $\Psi$ это вложение либо
двулистное разветвленное накрытие,} образ которого $\C P^1$ (во втором случае
$C$ называется {\бф \блуе гиперэллиптической кривой}).

\дшаг
Сначала докажем, что сечения $K$ не имеют общих нулей
{\бф \блуе ("базисных точек" $K$)}, если $C$ не $\C P^1$.
Пусть $p\in C$ точка. Напишем точную последовательность
\[ 0 \arrow K(-p) \arrow K \arrow k_p \arrow 0 
\]
Если $p$ -- базовая точка, из соответствующей длинной точной
последовательности следует, что $H^1(K(-p))\neq 0$.
{\бф \пурпле Двойственность Серра влечет $H^1(K(-p))= H^0(\calo(p))^*$,
что дает рациональное сечение $\calo$ с одним полюсом,
то есть голоморфное отображение в $\C P^n$ степени 1.}

\невпаге

{\бф \блуе Каноническое отображение кривой (2)}


\теорема
Пусть $C$ -- кривая рода $\geq 2$, а $\Psi:\; C \arrow {\Bbb P}H^0(K)$
каноническое отображение. {\бф \ред Тогда $\Psi$ это вложение либо
двулистное разветвленное накрытие,} образ которого $\C P^1$ (во втором случае
$C$ называется {\бф \блуе гиперэллиптической кривой}).

{\бф \греен Шаг 2:} Аналогично, если каноническое отображение
склеивает $p$ и $q$, имеем $H^1(K(-p-q))\neq 0$,
что дает  $\dim H^0(\calo(p+q))\neq 0$, то есть {\бф \пурпле $C$ допускает
рациональную функцию с двумя полюсами, то есть
допускает голоморфное отображение в $\C P^1$ степени 2.}

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Осталось доказать, что образ $\Psi$ 
равен $\C P^1$ в случае, когда $C$ гиперэллиптическая.}
Пусть $\tau$ -- инволюция, переставляющая листы накрытия.
Поскольку $\C P^1$ не имеет голоморфных дифференциалов,
$\tau$ действует на $H^0(K)$ без неподвижных точек,
то есть как $-1$. Поэтому $\Psi$ склеивает $x$ с $\tau(x)$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара}


{\бф \греен Теорема 1:}
Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, а $L$ линейное расслоение с $(L,L)\geq 4$.
Предположим, что 
группа $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ имеет ранг 1 и порождена классом $c_1(L)$.
{\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ очень обильно.}


{\бф \ред Начнем с того, что докажем, что у $L$ нет базисных точек}
(то есть точек, где все голоморфные сечения $L$ зануляются).

\замечание
Обозначим за $|L|$ {\бф \блуе линейную систему, заданную $L$},
то есть множество всех дивизоров нулей всех $\gamma\in H^0(L)$.
Базисные точки $|L|$ это $\bigcap_{D\in |L|} D$. 


\невпаге

{\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара (2)}

\теорема
Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, а $L$ линейное расслоение с $(L,L)>0$.
Предположим, что 
группа $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ имеет ранг 1 и порождена классом $c_1(L)$.
{\бф \ред Тогда у $L$ нет базисных точек.}



\дшаг 
{\бф \пурпле 
Риман-Рох: $h^0(L)-h^1(L)+h^2(L)=\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2$.}
Двойственность Серра дает $H^0(L^*)^*= H^2(L\otimes K_M)=H^2(L)$,
то есть $h^0(L^*)=h^2(L)$. Поэтому
$h^0(L)+h^0(L^*)\geq 2$, то есть либо
$L$, либо $L^*$ имеет голоморфные сечения.
Заменив $L$ на $L^*$, если потребуется, {\бф \пурпле можем
считать, что $h^0(L)>0$.} 
%   Из теоремы Кодаиры следует, что
%   $H^1(L)=0$, что дает $\dim H^0(L)=4$.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $D$ есть дивизор нулей общего сечения $L$.
Поскольку класс когомологий $[D]$ порождает $\Pic(M,I)$, дивизор $D$ неприводим.
Нормальное расслоение к $D$ есть $L\restrict D$, то есть 
его степень равна $D^2>=2$.
%Поскольку нормальное расслоение двойственно касательному, степень
%касательного расслоения равна $-4=-2g+2$, то есть $D$ -- кривая рода 3.  
Из точной последовательности 
$0\arrow \calo_M \arrow  L \arrow L \restrict D \arrow 0$
и $H^1(\calo_M)=0$ следует, что {\бф \пурпле отображение ограничения
$\Psi:\; H^0(M,L) \arrow H^0(D, L\restrict D)$ сюрьективно.}

{\бф \греен Шаг 3:} Поскольку нормальное расслоение $L \restrict D$ двойственно
касательному, оно изоморфно каноническому расслоению.
Значит, отображение $\Psi:\; M \arrow {\Bbb P} H^0(M, L)^*$
в ограничении на $D$ дает {\bf \blue каноническое отображение}
$D \arrow {\Bbb P} H^0(D, K_D)^*$. В силу доказанного выше,
это либо двулистное накрытие, либо вложение. {\бф \пурпле Значит, у
$L$ нет базисных точек.} \endproof

\невпаге

{\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара (3)}


\теорема
Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, причем
группа $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ одномерна,
$\Pic(M,I)=\Z\cdot \eta$. Обозначим за $L$
образующую $\Pic(M,I)$,
$c_1(L)=\eta$. Предположим, что $(L,L)\geq 4$.
{\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ очень обильно.}


\дшаг Рассмотрим стандартное отображение $\Psi:\; M \arrow {\Bbb P} H^0(M, L)^*$.
Оно не стягивает кривых, потому что  $NS(M,I)=\Z\cdot \eta$, и 
$L$ в ограничении на любую кривую нетривиально.
Если оно склеивает две точки $x$ и $y$, то 
любая кривая $D\in |L|$, проходящая через $x$ и $y$, гиперэллиптична.

{\бф \греен Шаг 2:} Такие гиперплоскости целиком покрывают
$\C P^3$, а значит, такие кривые целиком покрывают $M$. Поэтому,
если в $|L|$ есть хоть одна гиперэллиптическая кривая, $\Psi$
как минимум двулистно, а
все кривые $D\in |L|$ гиперэллиптичны.


\невпаге

{\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара (4)}

{\бф \греен Теорема 1:}
Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, а $L$ линейное расслоение с $(L,L)=4$.
Предположим,  группа $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ имеет ранг 1 и порождена $c_1(L)$.
{\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ очень обильно.}


{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $D_1,D_2\in |L|$. Поскольку 
$D_i$ двулистно накрывает $\Psi(D_i)$, индекс пересечения
$\Psi(D_1)$ и $\Psi(D_2)$ равен $\frac{(D_1D_2)}{4}$, значит, 
$\Psi$ склеивает 4 точки из $D_1 \cap D_2$ в одну,
и $\Psi$ как минимум четырехлистно. Пусть
$x, y, z\in M$ три точки, которые склеились в одну,
а $H$ -- гиперплоскость в  ${\Bbb P} H^0(M, L)^*={\Bbb P} H^0(M, L)^*$,
которая проходит через эти 3 точки. На соответствующей
гиперэллиптической кривой $D=\Psi^{-1}(H)$ 3 точки склеились в одну
при каноническом отображении, что невозможно. {\бф \пурпле
Значит, гиперэллиптических кривых в $|L|$ нет.}
\ендпрооф

%\замечание
%Условие "группа $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ имеет ранг 1 и порождена $c_1(L)$"
%в утверждении Теоремы 1 можно заменить на условие "$L$ обильно".


\невпаге

{\бф \блуе Обильные расслоения на квартиках}

\утверждение
Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $H^{1,1}_I(M,\Z)$ -- ее
решетка Нерона-Севери. {\бф \ред Поверхность $(M,I)$ изоморфна квартике
тогда и только тогда, когда $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ содержит
очень обильное расслоение $L$ с $(L,L)=4$.}

\дшаг 
Пусть $(M,I)$ вкладывается в $\C P^3$ как гладкая
гиперповерхность степени 4, а $L=\calo(1)\restrict M$.
Тогда \[ (L,L)=\int_M c_1(L)\wedge c_1(L)= \int_{\C P^3} [M]\wedge [H]\wedge[H]\]
где $[H]$ есть фундаментальный класс гиперплоского сечения,
а $[M]=4[H]$ -- фундаментальный класс $M$. {\бф \пурпле Поэтому $(L,L)=
\int_{\C P^3}4 [H]\wedge [H]\wedge[H]=4$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
 Пусть $M$ есть К3, а $L$ -- очень обильное расслоение
с $(L,L)=4$.
Риман-Рох: $h^0(L)=h^0(L)-h^1(L)+h^2(L)=\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2=4$.
Рассмотрим соответствующее вложение $M \arrow {\Bbb P}H^0(M,L)^*$
(оно переводит $m\in M$ и функционал $\lambda\in (L\restrict m)^*$
в $\lambda:\; H^0(M,L)\arrow \C$).
{\бф \пурпле Степень этой гиперповерхности можно вычислить по формуле
$\deg M = \int_M c_1(\calo(1))\wedge c_1(\calo(1))= (L,L)=4$.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера почти поляризованных К3}


\определение
Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ -- ненулевой класс когомологий
на К3, $(\eta, \eta)>0$. Обозначим за $\Perspace_\eta$
множество $W\in \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$, ортогональных $\eta$.
Это пространство называется {\бф \блуе пространство
периодов поляризованных К3}.

\следствие
Множество $\Perspace_\eta$ периодов всех К3, для которых $\eta$ имеет
тип (1,1), есть 
$\{l\in {\Bbb P}H^2(M,\C)\ \ |\ \ (l,l)=0,
(l,\bar l)>0,\ \  (l, \eta)=0\}.$ 
{\бф \ред Это дивизор в $\Perspace$ }  {\бф \пурпле
(проверьте это)}. 


\определение
Обозначим за $\Teich_\eta$ пространство Тейхмюллера
всех комплексных структур на K3, для которых 
класс $\eta\in H^2(M,\Z)$ имеет тип (1,1).
Это пространство называется {\бф \блуе
пространством Тейхмюллера почти поляризованных К3}.
Пространство $\Teich_\eta^{pol}\subset \Teich_\eta$,
состоящее из всех К3, для которых $\pm\eta$ -- кэлеров
класс, называется {\бф \блуе пространством Тейхмюллера 
поляризованных К3}.

\замечание
Из локальной теоремы Торелли немедленно
следует, что {\бф \ред отображение периодов 
$\Per:\; \Teich_\eta\arrow\Perspace_\eta$
этально} (локально диффеоморфизм).

\замечание Из Теоремы 1 следует, что 
любая точка $I\in \Teich_\eta$ такая,
что $\Pic(M,I)=\langle \eta\rangle$ лежит в $\Teich_\eta^{pol}$.
{\бф \пурпле Поэтому $\Teich_\eta^{pol}$ плотно в $\Teich_\eta$.}

%\невпаге
%
%{\бф \блуе  Теорема Кодаиры-Спенсера о стабильности и ее применения}
%
%
%\теорема {\бф \блуе (Теорема Кодаиры-Спенсера о стабильности)}\\
%Пусть $M$ -- компактное многообразие, $I_t, g_t$ -- 
%семейство кэлеровых структур, параметризованное $t\in \R$,
%а $[\omega_t']\in H^{1,1}(M,I_t)$ -- семейство классов
%когомологий. Предположим, что $[\omega'_0]$ -- кэлеров класс.
%{\бф \ред 
%Тогда $[\omega'_t]$ кэлеров для всех $t\in ]-\epsilon,\epsilon[$.}
%
%\упражнение {\бф \пурпле Докажите это. }
%
%
%\утверждение {\бф \ред $\Teich_\eta^{pol}$ открыто и плотно
%%и локально связно 
%в $\Teich_\eta$.}
%
%\дшаг В силу теоремы Кодаиры о стабильности,
%{\бф \пурпле $\Teich_\eta^{pol}$ открыто в $\Teich_\eta$.}
%
%{\бф \греен Шаг 2:} В силу Теоремы 1,
%для каждого $I\in \Teich_\eta$, для которого 
%\[ \Pic(M,I)=\Per(I)^\bot \cap H^2(M,\Z)
%\] 
%одномерен, $\pm\eta$ -- кэлеров
%класс. 
%
%{\бф \греен Шаг 3:} 
%Из теоремы Торелли следует, что у каждой
%$l=\Per(I)$ есть окрестность в $\Perspace^\eta$,
%которая лежит в образе отображения периодов.
%Легко видеть, что {\bf \purple для общей $l'$ в $\Perspace^\eta$,
%группа $l'{}^\bot\cap H^2(M,\Z)$ порождена $\eta$.}
%В силу шага 2, $\Per^{-1}(l')\in \Teich_\eta^{pol}$.
%Значит, $\Teich_\eta^{pol}$ плотно
%в $\Teich_\eta$. \ендпрооф
%

\невпаге

{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера квартик}


\определение
Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ есть целочисленный 
класс на К3, $(\eta,\eta)=4$. Обозначим за
$\Teich^q_\eta$ пространство Тейхмюллера
всех $I\in \Teich_\eta$ таких, что
линейное расслоение $L$ на $(M,I)$
с $c_1(L)=\eta$ обильно и глобально порождено.
Пространство $\Teich^q_\eta$ называется {\бф \блуе
пространством Тейхмюллера квартик}.


%\замечание
%Для каждой
%$I\in \Teich^q_\eta$, расслоение
%$L$ задает отображение $(M,I)$ в $\C P^3$,
%образ которого -- квартика, и {\бф \ред все гладкие квартики
%получаются таким образом.}

\замечание
Размерность пространства Тейхмюллера всех комплексных
структур равна $\dim_\C \Gr_{++}(H^2(M,\R)=20$. 

\замечание
Комплексная структура $I$ с $\rk \Pic(M,I)=1$ лежит в
$\Teich_\eta$ тогда и только тогда $\Per(I)\in  \Gr_{++}(H^2(M,\R)$
ортогонально $\eta$. Она лежит в $\Teich^q_\eta$,
если $\Pic(M,I)$  то есть $\dim_\C \Teich^q_\eta=19.$ \ендпрооф

\замечание
Мы получили отображение
$\Teich^q_\eta\arrow \Sym^4 \C^4/GL(\C,4)$,
сюрьективное на множество гладких квартик.
Поскольку {\бф \пурпле размерность пространства
квартик  равна размерности $\Teich^q_\eta$,}
в общей точке это отображение  этально:
{\бф \ред ``Квартики задают дивизор в пространстве Тейхмюллера''}.

\невпаге

{\бф \блуе О плотности квартик}


%\утверждение
%{\бф \ред $\Teich^q_\eta$  плотно в
%$\Teich_\eta$.}
%
%\доказательство
%Для общей точки $I\in \Teich_\eta$,
%$H^{1,1}(M,I)=\Per(I)^\bot$ -- подпространство коразмерности 2 в $H^2(M,\R)$,
%удовлетворяющее $\Pic(M,I)=\langle \eta\rangle$.
%Поэтому расслоение $L$ с $c_1(L)=\pm \eta$ очень обильно,
%а значит, $(M,I)$ есть квартика.
%\ендпрооф


\теорема
{\бф \ред (будет доказана позже)}\\
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$.
{\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$
плотно в $\Perspace$.}

\следствие
{\бф \ред $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich^q_\eta$
плотно в $\Teich$.}


\доказательство В окрестности каждой точки $x\in \Perspace$
лежит точка $x\in \Perspace_\eta, \eta \in {\goth R}$.
Точки $y\in \Perspace_\eta\subset \Gr_{++}(H^2(M,\R))$, 
такие, что $y^\bot\cap H^2(M,\Z) = \langle \eta\rangle$,
плотны в $\Perspace_\eta$, а значит и в $\Perspace$.
В силу Теоремы 1, каждая комплексная структура с такими
периодами задает квартику. Значит, квартики плотны в $\Teich$.
\ендпрооф

{\бф \purple На пространстве Тейхмюллера К3 есть плотное множество
точек, соответствующих гладким квартикам.}

Поскольку гладкие квартики образуют связное, гладкое семейство,
они все диффеоморфны {\бф \пурпле (почему?)}.


\следствие
{\бф \ред Любая К3 диффеоморфна гладкой квартике.}

\невпаге

{\бф \блуе О плотности квартик (2)}


Осталось доказать:

\теорема
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$.
{\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$
плотно в $\Perspace$.}

Другая формулировка

{\бф \греен Теорема 2:}
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$,
а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ --
множество всех 2-плоскостей, ортогональных 
какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$
плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.}

\замечание
{\бф \ред Мы свели теорему о плотности квартик к утверждению
из теории квадратичных решеток,} то есть линейной алгебра
и теории чисел.

{\ит \греен На этих слайдах есть два доказательства: первое выводит
плотность из сложной науки, второе руками.}

\невпаге



\newpage

{\бф\блуе Эргодические меры}


\определение
Пусть $M$ -- пространство с заданной на нем сигма-алгеброй $A$,
а $G$ -- группа, действующая на $M$, сохраняя $A$. Мера $\mu$
на $(M,A)$ называется {\бф \блуе эргодической}, если
каждое $G$-инвариантное измеримое подмножество $M'\subset M$
удовлетворяет $\mu(M')=0$ либо $\mu(M\backslash M')=0$.

\утверждение
{\бф \ред $G$-инвариантная мера на $M$ эргодична тогда и только тогда,
когда любая измеримая $G$-инвариантная функция постоянна почти всюду.}


\утверждение
Пусть $\Gamma$ -- группа, эргодически действующая на 
многообразии $(M,\mu)$ с мерой Лебега.
Рассмотрим множество $R$ всех $x\in M$ таких, что орбита $\Gamma \cdot x$
не плотна в $M$. {\бф \ред Тогда $\mu(R)=0$.}

\дшаг
Пусть $U\subset M$ открыто. Тогда $\mu(U)>0$, значит, множество
$\Gamma \cdot U$ -- $\Gamma$-инвариантно и измеримо.
{\бф \пурпле В силу эргодичности, это множество полной меры.}
Обозначим за $Z_U$ множество $x\in M$ таких,
что орбита $x$ не пересекает $U$. Тогда
$Z_U= M\backslash \Gamma \cdot U$ -- множество 
меры 0.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\{U_i\}$ -- база топологии в $M$.
Тогда $R= M\backslash \bigcap Z_{U_i}$ -- множество всех точек,
орбиты которых не лежат в каком-то из $U_i$. Это счетное объединение
множеств меры 0.
\ендпрооф

\newpage

{\бф\блуе Группы Ли}

\определение
{\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие,
снабженное групповой структурой, таким образом, что 
групповые операции $x, y \arrow xy$ и $x\arrow x^{-1}$
суть гладкие отображения.

\определение
Левая {\бф \блуе мера Хаара} есть гладкая мера на группе Ли,
инвариантная относительно левых сдвигов $L_x(g)=xg$.

\теорема
{\бф \ред Мера Хаара существует, и единственна с точностью до 
постоянного множителя.}

\определение
Пусть $\Gamma\subset G$ -- дискретная подгруппа
группы $G$. Она называется {\бф \блуе решеткой}, если
$\mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)<\infty$, то есть фактор
$G$ по $\Gamma$ имеет конечную меру Хаара.

\теорема {\бф \блуе (Борель и Хариш-Чандра)}
Пусть $G$ -- алгебраическая группа Ли над $\Q$, то есть группа,
заданная уравнениями с рациональными коэффициентами,
а $\Gamma=G_\Z$ погруппа целых точек $G$. Предположим,
что на $G$ нет рациональных характеров $G\arrow \R^*$. 
{\бф \ред Тогда $\Gamma$ -- решетка в $G$.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Мура}

\теорема {\бф \блуе (Кальвин Мур, 1966)}\\
Пусть $G$ -- простая группа Ли с конечным центром, $\Gamma\subset G$
решетка, а $H\subset G$ некомпактная подгруппа.
{\бф \ред Тогда действие $\Gamma$ на $G/H$ эргодично.}

Применим это к $\Gr_{++}(H^2(M))= \frac{SO(3,19)}{SO(2)\times SO(1,19)}= G/H$.
Из теоремы Мура следует, что общая $SO(H^2(M,\Z))$-орбита в
$\Gr_{++}(H^2(M))$ плотна.

Пусть $W\in \Gr_{++}(H^2(M))$ -- общая плоскость, ортогональная
вектору $r$ с $r^2=4$. Если ее $\Gamma$-орбита плотна
в $\Gr_{++}(H^2(M))$, Теорема 2 следует. Поэтому
для доказательства Теоремы 2 {\бф \ред нужно понять, какие
орбиты эргодического действия $\Gamma=SO(H^2(M,\Z))$ на
$\frac{SO(3,19)}{SO(2)\times SO(1,19)}$ плотны.}

\невпаге

{\бф\блуе Теорема Ратнер о замыкании орбит}


\теорема {\бф \блуе (теорема Ратнер о замыкании орбит)}\\
Пусть $G$ -- группа Ли, $H\subset G$ -- подгруппа,
порожденная унипотентами, а $\Gamma\subset G$ -- решетка. 
Рассмотрим действие $H$ на $G/\Gamma$ левыми сдвигами.
и пусть $H\cdot x$ -- орбита $H$ в $G/\Gamma$.
{\бф \ред Тогда существует подгруппа $S$ в $G$, содержащая $H$,
и такая, что замыкание орбиты $H\cdot x$ равно
$S\cdot x$.} Более того, $S$ порождена унипотентами, а группа
$\Gamma_S:= 
\{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}$
{\бф \ред это решетка в $S$}
(здесь $\St_\Gamma(S\cdot x)$ обозначает стабилизатор орбиты 
$S\cdot x$ в $\Gamma$ при правом действии $\Gamma$ на $G$).

\упражнение
Обозначим связную компоненту группы $SO(V)$ за $SO^+(V)$.
Пусть $H\subset G=SO^+(H^2(M,\R))$ -- подгруппа, тривиально действующая
$W\in \Gr_{++}(H^2(M,\R))$ (эта подгруппа изоморфна $SO^+(1,19)$).
Докажите, что {\бф \пурпле любая группа $H_1$, 
такая, что $H\subsetneq H_1\subsetneq G$,
изоморфна $SO^+(2, 19)$,} и равна стабилизатору какого-то вектора
$w\in W$.

\следствие
Пусть $W\in \Gr_{++}(H^2(M,\R))$ -- плоскость, не содержащая
рациональных векторов. {\bf \red Тогда ее $SO(H^2(M,\Z))$-орбита плотна в
$\Gr_{++}(H^2(M,\R))$.}

\следствие {\бф \ред 
Периоды гладких квартик с $\Pic(M,I)=\Z$ плотны в $\Perspace$.}




\невпаге

{\бф \блуе Плотные множества в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$}

Пусть $A \subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- подмножество.
Обозначим за $V(A)$ множество 2-плоскостей, ортогональных 
какому-то $v\in A$. 

\определение
{\бф \блуе Нуль-квадрика}, или же {\бф \блуе световой
конус} $\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$
есть множество всех $l\in {\Bbb P}H^2(M, \R)$,
$(l,l)=0$.

\замечание
{\bf \purple Если $B\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- множество
предельных точек $A\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$,
то $V(A)$ плотно в $V(B)$.}


\замечание
{\bf \purple $V(\Null(M))=\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} 
Действительно, для каждой 2-плоскости в $H^2(M,\R)$,
в ее ортогональном дополнении есть нуль-вектор.

Объединяя эти два замечания, получаем, что 
Теорема 2 следует из Теоремы 3.

{\бф \греен Теорема 2:}
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$,
а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ --
множество всех 2-плоскостей, ортогональных 
какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$
плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.}

{\бф \греен Теорема 3:}\\
{\bf \red Множество предельных точек 
${\Bbb P}{\goth R}\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$
содержит $\Null(M)$.}

\невпаге


{\бф \блуе Плотные множества в световом конусе}

{\бф \греен Теорема 3':}
{\bf \red Любая точка $x\in\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$
является пределом последовательности 
$\{\underline{x_i}\}\in {\Bbb P}H^2(M,\Z)$,} причем каждый
$\underline{x_i}$ представлен $x_i\in H^2(M,\Z)$,
$(x_i,x_i)=4$.

\дшаг
Рациональные точки плотны в $\Null(M)$.
Действительно, как минимум одна рациональная
точка в $\Null(M)$ имеется; обозначим ее за $r$.
Возьмем любую рациональную прямую $S\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$,
проходящую через $r$. {\бф \ред Поскольку одна из точек пересечения
$S\cap \Null(M)$ рациональна, другая тоже рациональна.}

{\бф \греен Шаг 2:} Вектор $v\in H^2(M,\Z)$ называется {\бф
\блуе примитивным}, если он порождает $(\R\cdot v)\cap H^2(M,\Z)$.
Поскольку решетка $H^2(M,\Z)$ унимодулярна, {\бф \пурпле для любого
примитивного вектора $v\in H^2(M,\Z)$ существует $v'\in H^2(M,\Z)$
такой, что $(v, v')=1$. }

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество
примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$
плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$.
{\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$
такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$,
а $(x_i, x_i)=4$.}


\невпаге

{\бф \блуе Плотные множества в световом конусе (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество
примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$
плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$.
{\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$
такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$,
а $(x_i, x_i)=4$.}

{\бф \греен Шаг 4:} Найдем $x\in H^2(M,\Z)$
такой, что $(v, x)=1$, и пусть $y\in H^2(M,\Z)$ -- любой
целочисленный вектор с ненулевым квадратом, ортогональный $v$ и $x$.
Если $u=\lambda v+x+\mu y$, то $(u,u)=2\lambda +x^2 +\mu^2y^2$.
Напишем $\lambda(\mu)=-1/2(x^2+\mu^2y^2-4)$. Тогда
$u(\mu):=\lambda(\mu) v +x +\mu y$ -- 
целочисленный вектор (форма пересечения четна), причем
$(u(\mu),u(\mu))=4$.  {\бф \пурпле Осталось доказать, что 
$\lim\limits_{\mu\arrow \infty} {\Bbb P}u(\mu)={\Bbb P}v.$}

{\бф \греен Шаг 5:} Выберем на $H^2(M, \R)$ положительно-определенную
метрику $g$, таким образом, что $g(x,x)=g(y,y)=x(v,v)=1$,
обозначим за $|\cdot|$ соответствующую норму, $|z| := g(z,z)^{1/2}$.
Тогда $|u(\mu)- \lambda(\mu)v|\leq 1+ |\mu|$, а 
$|\lambda(\mu)v| \geq |1/2\mu^2y^2|-x^2 -4$.
Получается, что со стремлением $\mu$ к бесконечности,
в треугольнике $0, u(\mu), \lambda(\mu)v$
сторона $(0,\lambda(\mu)v)$ растет квадратично по $\mu$, 
сторона $(u(\mu), \lambda(\mu)v)$
линейно, соответственно, {\бф \пурпле угол между противолежащими к
$(u(\mu), \lambda(\mu)v)$
сторонами стремится к нулю.} Мы доказали, что
${\Bbb P}v$ получено как предел целочисленных ${\Bbb P}u(\mu)$,
удовлетворяющих $(u(\mu), u(\mu))=4$.
\ендпрооф



\end{document}

