\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Per}{\operatorname{Per}} \newcommand{\Null}{\operatorname{Null}} \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}} \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\grad}{\operatorname{\sf grad}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\supp}{\operatorname{\sf supp}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small K3 на Фонтанке, лекция 5 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf K3 на Фонтанке, \\[15mm] \small лекция 5: все К3 диффеоморфны} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017 \\[2mm] 8 июля 2017 } \end{center} \newpage {\бф \блуе K3-поверхности (повторение)} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухдаль-Ламари). \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \невпаге {\бф \блуе Классификация форм пересечения (повторение)} \определение Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется {\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$, {\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$, и {\бф\блуе нечетной} если нет. \определение Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной}, если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$. \теорема\\ {\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\ Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$. {\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную прямую сумму} подпространств с билинейной формой, которая имеет вид $\left [ \begin{smallmatrix} 0 &1\\ 1&0 \end{smallmatrix}\right ]$ (такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств $E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$: {\small \[ \left [ \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right ], \]} или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака. \теорема {\бф \ред Форма пересечения на $H^2(К3)$ это $U^3 \oplus (-E_8)^2$.} \невпаге {\бф \блуе Гладкие квартики (повторение)} \определение {\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым однородным полиномом степени 4. \замечание По формуле Эйлера, каноническое расслоение на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения, примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$, дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$, а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$, {\бф \пурпле имеем $K_Z=\calo(m-n-1)$.} \следствие {\бф \пурпле Гладкая квартика в $\C P^3$ есть поверхность с тривиальным каноническим классом.} \замечание В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду подразумевать квартики размерности 2.} \теорема {\бф \ред Любая гладкая квартика есть К3 поверхность.} {\бф \греен (было на прошлой лекции)} \невпаге {\бф \блуе Формула Римана-Роха-Хирцебруха (повторение)} \определение Пусть $L$, $L'$ -- линейные расслоения на повекрхности $X$. Число $\int_X c_1(L)\wedge c_1(L')$ обозначается $(L,L')$, и называется {\бф \блуе индекс пересечения}. \определение {\бф \блуе Эйлерова характеристика} когерентного пучка $F$ есть число $\chi(F):= \sum_i (-1)^i \dim H^i(F)$. Напомним {\бф \блуе формулу Римана-Роха} для поверхности: \теорема Для любого линейного расслоения $L$ на поверхности, $\chi(L)= \chi(\calo_X)+ \frac{(L-K_X,L)}2$. Для К3-поверхности, $\chi(\calo_X)=h^{0,0}(X) - h^{0,1}(X)+ h^{0,2}(X)=2$, а $c_1(K_X)=0$. Получаем: \теорема {\бф \ред Для любого линейного расслоения $L$ на К3, $\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2$.} \невпаге {\бф \блуе Линейные расслоения на К3} Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность. Поскольку форма пересечения совместима с разложением Ходжа, $(H^{2,0}(M)\oplus H^{0,2}(M))^\bot=H^{1,1}(M)$. Пространство $H^{2,0}(M)\oplus H^{0,2}(M)$ есть комплексификация $\Per(I):=\langle \Re \Omega, \Im \Omega\rangle$, где $\Omega$ обозначает класс голоморфной симплектической формы. \утверждение Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, а $W:=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$. {\bf \red Тогда $H^{1,1}_I(M,\R)=W^\bot$ } (ортогональное дополнение). \следствие Для любой К3, {\бф \пурпле $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ -- множество целочисленных векторов, ортогональных $W=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$.} \следствие Для общей К3-поверхности, группа $\Pic(M,I)$ тривиальна. \невпаге {\бф \блуе Обильные расслоения} \определение {\бф \блуе Очень обильное расслоение} есть линейное расслоение вида $\phi^*(\calo(1))$, где $\phi:\; M \hookrightarrow \C P^n$ -- проективное вложение. {\бф \блуе Обильное расслоение} есть линейное расслоение, положительная степень которого обильна. \теорема {\бф \блуе (Кодаира)} {\бф \ред Расслоение $L$ обильно тогда и только тогда, когда $c_1(L)$ -- кэлеров класс.} \следствие Любое положительное (положительной степени, то есть с положительным $c_1$) расслоение на комплексной кривой {\бф \ред обильно.} \невпаге {\бф\блуе Очень обильные расслоения} \упражнение Докажите следующее. Пусть $L$ линейное расслоение над $X$, и для любых двух точек $x, y\in X$ найдется сечение $L$, которое равно нулю в $x$, и ненулевое в $y$, и другое сечение, которое ненулевое в $x$, и нулевое в $y$. {\бф \ред Тогда $X$ биективно отображается в ${\Bbb P}H^0(X,L)^*$.} Если, к тому же, для каждой точки $x\in X$ есть сечение $f\in H^0(L)$, зануляющееся в ней, и такое, что $df\restrict Т^*_xХ\neq 0$, то {\бф \пурпле естественное отображение $X \hookrightarrow {\Bbb P}H^0(X,L)^*$ --- гладкое вложение,} а {\бф \ред $L$ очень обильно}. \определение Обозначим за $k_x$ {\бф \блуе пучок-небоскреб} в точке $x\in M$, то есть пучок вида $\calo_M /I_x$, где $I_x$ идеал функций, зануляющихся в $x$. \следствие Пусть $L$ расслоение на многообразии $X$, такое, что для любых двух точек $x, y \in X$, естественное отображение \[ H^0(X,L) \arrow H^0(L\otimes_{\calo_X} k_x \oplus L\otimes_{\calo_X} k_y)\] сюрьективно, и $H^0(X,L)\arrow H^0(L/L\otimes I^2_x)$ сюрьективно. {\бф \ред Тогда $L$ очень обильно.} \доказательство Сюрьективность \\ $H^0(X,L) \arrow H^0(L\otimes_{\calo_X} k_x \oplus L\otimes_{\calo_X} k_y)$ есть первое условие упражнения, сюрьективность $H^0(X,L)\arrow H^0(L/L\otimes I^2_x)$ -- второе условие. \ендпрооф %\невпаге % %{\бф \блуе Обильные расслоения на кривой} % % %\теорема {\бф \блуе (Кодаира)} Пусть $L$ -- линейное расслоение над $X$, %такое, что $L\otimes K_X^{-1}$ обильно, где $K_X$ есть канонический класс $X$. %{\bf \red Тогда $H^i(L)=0$ для всех $i>0$.} % %\следствие %Пусть $L$ -- линейное расслоение на кривой $C$ рода $g$, причем $\deg L >2g$. %Тогда $L$ очень обильно. % %\дшаг Из точной последовательности %\[ %0 \arrow L\otimes_{\calo_X} (I_x \cap I_y)\arrow L \arrow %L\otimes_{\calo_X} k_x \oplus L\otimes_{\calo_X} k_y\arrow 0 %\] %и \[ %0 \arrow L\otimes_{\calo_X} (I_x ^2)\arrow L \arrow %L/L\otimes I^2_x \arrow 0 %\] %следует, что для сюрьективности стрелочек достаточно, %чтобы $H^1(L\otimes_{\calo_X} (I_x \cap I_y))=0$ и %$H^1(L\otimes_{\calo_X} (I_x ^2)=0$. % %{\бф \греен Шаг 2:} Каноническое расслоение %кривой имеет степень $2g-2$. Поэтому для зануления %$H^1(L)$ достаточно, чтобы $\deg L -2g+2 >0$. % %{\бф \греен Шаг 3:} %Расслоения %$L\otimes_{\calo_X} (I_x \cap I_y)$ и $L\otimes_{\calo_X} (I_x ^2)$ %имеют степень $\deg L -2$. Значит, зануление их когомологий следует, %когда $\deg L -2g >0$. %\ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Каноническое отображение кривой} \определение Пусть $X$ -- комплексное многообразие, такое, что глобальные сечения канонического расслоения $K_X$ не имеют общих нулей. {\бф\блуе Каноническое отображение} есть стандартное отображение\\ $X \arrow {\Bbb P}H^0(X, K_X)$. \теорема Пусть $C$ -- кривая рода $\geq 2$, а $\Psi:\; C \arrow {\Bbb P}H^0(K)$ -- каноническое отображение. {\бф \ред Тогда $\Psi$ это вложение либо двулистное разветвленное накрытие,} образ которого $\C P^1$ (во втором случае $C$ называется {\бф \блуе гиперэллиптической кривой}). \дшаг Сначала докажем, что сечения $K$ не имеют общих нулей {\бф \блуе ("базисных точек" $K$)}, если $C$ не $\C P^1$. Пусть $p\in C$ точка. Напишем точную последовательность \[ 0 \arrow K(-p) \arrow K \arrow k_p \arrow 0 \] Если $p$ -- базовая точка, из соответствующей длинной точной последовательности следует, что $H^1(K(-p))\neq 0$. {\бф \пурпле Двойственность Серра влечет $H^1(K(-p))= H^0(\calo(p))^*$, что дает рациональное сечение $\calo$ с одним полюсом, то есть голоморфное отображение в $\C P^n$ степени 1.} \невпаге {\бф \блуе Каноническое отображение кривой (2)} \теорема Пусть $C$ -- кривая рода $\geq 2$, а $\Psi:\; C \arrow {\Bbb P}H^0(K)$ каноническое отображение. {\бф \ред Тогда $\Psi$ это вложение либо двулистное разветвленное накрытие,} образ которого $\C P^1$ (во втором случае $C$ называется {\бф \блуе гиперэллиптической кривой}). {\бф \греен Шаг 2:} Аналогично, если каноническое отображение склеивает $p$ и $q$, имеем $H^1(K(-p-q))\neq 0$, что дает $\dim H^0(\calo(p+q))\neq 0$, то есть {\бф \пурпле $C$ допускает рациональную функцию с двумя полюсами, то есть допускает голоморфное отображение в $\C P^1$ степени 2.} {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Осталось доказать, что образ $\Psi$ равен $\C P^1$ в случае, когда $C$ гиперэллиптическая.} Пусть $\tau$ -- инволюция, переставляющая листы накрытия. Поскольку $\C P^1$ не имеет голоморфных дифференциалов, $\tau$ действует на $H^0(K)$ без неподвижных точек, то есть как $-1$. Поэтому $\Psi$ склеивает $x$ с $\tau(x)$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара} {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, а $L$ линейное расслоение с $(L,L)\geq 4$. Предположим, что группа $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ имеет ранг 1 и порождена классом $c_1(L)$. {\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ очень обильно.} {\бф \ред Начнем с того, что докажем, что у $L$ нет базисных точек} (то есть точек, где все голоморфные сечения $L$ зануляются). \замечание Обозначим за $|L|$ {\бф \блуе линейную систему, заданную $L$}, то есть множество всех дивизоров нулей всех $\gamma\in H^0(L)$. Базисные точки $|L|$ это $\bigcap_{D\in |L|} D$. \невпаге {\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара (2)} \теорема Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, а $L$ линейное расслоение с $(L,L)>0$. Предположим, что группа $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ имеет ранг 1 и порождена классом $c_1(L)$. {\бф \ред Тогда у $L$ нет базисных точек.} \дшаг {\бф \пурпле Риман-Рох: $h^0(L)-h^1(L)+h^2(L)=\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2$.} Двойственность Серра дает $H^0(L^*)^*= H^2(L\otimes K_M)=H^2(L)$, то есть $h^0(L^*)=h^2(L)$. Поэтому $h^0(L)+h^0(L^*)\geq 2$, то есть либо $L$, либо $L^*$ имеет голоморфные сечения. Заменив $L$ на $L^*$, если потребуется, {\бф \пурпле можем считать, что $h^0(L)>0$.} % Из теоремы Кодаиры следует, что % $H^1(L)=0$, что дает $\dim H^0(L)=4$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $D$ есть дивизор нулей общего сечения $L$. Поскольку класс когомологий $[D]$ порождает $\Pic(M,I)$, дивизор $D$ неприводим. Нормальное расслоение к $D$ есть $L\restrict D$, то есть его степень равна $D^2>=2$. %Поскольку нормальное расслоение двойственно касательному, степень %касательного расслоения равна $-4=-2g+2$, то есть $D$ -- кривая рода 3. Из точной последовательности $0\arrow \calo_M \arrow L \arrow L \restrict D \arrow 0$ и $H^1(\calo_M)=0$ следует, что {\бф \пурпле отображение ограничения $\Psi:\; H^0(M,L) \arrow H^0(D, L\restrict D)$ сюрьективно.} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку нормальное расслоение $L \restrict D$ двойственно касательному, оно изоморфно каноническому расслоению. Значит, отображение $\Psi:\; M \arrow {\Bbb P} H^0(M, L)^*$ в ограничении на $D$ дает {\bf \blue каноническое отображение} $D \arrow {\Bbb P} H^0(D, K_D)^*$. В силу доказанного выше, это либо двулистное накрытие, либо вложение. {\бф \пурпле Значит, у $L$ нет базисных точек.} \endproof \невпаге {\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара (3)} \теорема Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, причем группа $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ одномерна, $\Pic(M,I)=\Z\cdot \eta$. Обозначим за $L$ образующую $\Pic(M,I)$, $c_1(L)=\eta$. Предположим, что $(L,L)\geq 4$. {\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ очень обильно.} \дшаг Рассмотрим стандартное отображение $\Psi:\; M \arrow {\Bbb P} H^0(M, L)^*$. Оно не стягивает кривых, потому что $NS(M,I)=\Z\cdot \eta$, и $L$ в ограничении на любую кривую нетривиально. Если оно склеивает две точки $x$ и $y$, то любая кривая $D\in |L|$, проходящая через $x$ и $y$, гиперэллиптична. {\бф \греен Шаг 2:} Такие гиперплоскости целиком покрывают $\C P^3$, а значит, такие кривые целиком покрывают $M$. Поэтому, если в $|L|$ есть хоть одна гиперэллиптическая кривая, $\Psi$ как минимум двулистно, а все кривые $D\in |L|$ гиперэллиптичны. \невпаге {\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара (4)} {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, а $L$ линейное расслоение с $(L,L)=4$. Предположим, группа $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ имеет ранг 1 и порождена $c_1(L)$. {\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ очень обильно.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $D_1,D_2\in |L|$. Поскольку $D_i$ двулистно накрывает $\Psi(D_i)$, индекс пересечения $\Psi(D_1)$ и $\Psi(D_2)$ равен $\frac{(D_1D_2)}{4}$, значит, $\Psi$ склеивает 4 точки из $D_1 \cap D_2$ в одну, и $\Psi$ как минимум четырехлистно. Пусть $x, y, z\in M$ три точки, которые склеились в одну, а $H$ -- гиперплоскость в ${\Bbb P} H^0(M, L)^*={\Bbb P} H^0(M, L)^*$, которая проходит через эти 3 точки. На соответствующей гиперэллиптической кривой $D=\Psi^{-1}(H)$ 3 точки склеились в одну при каноническом отображении, что невозможно. {\бф \пурпле Значит, гиперэллиптических кривых в $|L|$ нет.} \ендпрооф %\замечание %Условие "группа $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ имеет ранг 1 и порождена $c_1(L)$" %в утверждении Теоремы 1 можно заменить на условие "$L$ обильно". \невпаге {\бф \блуе Обильные расслоения на квартиках} \утверждение Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $H^{1,1}_I(M,\Z)$ -- ее решетка Нерона-Севери. {\бф \ред Поверхность $(M,I)$ изоморфна квартике тогда и только тогда, когда $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ содержит очень обильное расслоение $L$ с $(L,L)=4$.} \дшаг Пусть $(M,I)$ вкладывается в $\C P^3$ как гладкая гиперповерхность степени 4, а $L=\calo(1)\restrict M$. Тогда \[ (L,L)=\int_M c_1(L)\wedge c_1(L)= \int_{\C P^3} [M]\wedge [H]\wedge[H]\] где $[H]$ есть фундаментальный класс гиперплоского сечения, а $[M]=4[H]$ -- фундаментальный класс $M$. {\бф \пурпле Поэтому $(L,L)= \int_{\C P^3}4 [H]\wedge [H]\wedge[H]=4$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $M$ есть К3, а $L$ -- очень обильное расслоение с $(L,L)=4$. Риман-Рох: $h^0(L)=h^0(L)-h^1(L)+h^2(L)=\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2=4$. Рассмотрим соответствующее вложение $M \arrow {\Bbb P}H^0(M,L)^*$ (оно переводит $m\in M$ и функционал $\lambda\in (L\restrict m)^*$ в $\lambda:\; H^0(M,L)\arrow \C$). {\бф \пурпле Степень этой гиперповерхности можно вычислить по формуле $\deg M = \int_M c_1(\calo(1))\wedge c_1(\calo(1))= (L,L)=4$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера почти поляризованных К3} \определение Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ -- ненулевой класс когомологий на К3, $(\eta, \eta)>0$. Обозначим за $\Perspace_\eta$ множество $W\in \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$, ортогональных $\eta$. Это пространство называется {\бф \блуе пространство периодов поляризованных К3}. \следствие Множество $\Perspace_\eta$ периодов всех К3, для которых $\eta$ имеет тип (1,1), есть $\{l\in {\Bbb P}H^2(M,\C)\ \ |\ \ (l,l)=0, (l,\bar l)>0,\ \ (l, \eta)=0\}.$ {\бф \ред Это дивизор в $\Perspace$ } {\бф \пурпле (проверьте это)}. \определение Обозначим за $\Teich_\eta$ пространство Тейхмюллера всех комплексных структур на K3, для которых класс $\eta\in H^2(M,\Z)$ имеет тип (1,1). Это пространство называется {\бф \блуе пространством Тейхмюллера почти поляризованных К3}. Пространство $\Teich_\eta^{pol}\subset \Teich_\eta$, состоящее из всех К3, для которых $\pm\eta$ -- кэлеров класс, называется {\бф \блуе пространством Тейхмюллера поляризованных К3}. \замечание Из локальной теоремы Торелли немедленно следует, что {\бф \ред отображение периодов $\Per:\; \Teich_\eta\arrow\Perspace_\eta$ этально} (локально диффеоморфизм). \замечание Из Теоремы 1 следует, что любая точка $I\in \Teich_\eta$ такая, что $\Pic(M,I)=\langle \eta\rangle$ лежит в $\Teich_\eta^{pol}$. {\бф \пурпле Поэтому $\Teich_\eta^{pol}$ плотно в $\Teich_\eta$.} %\невпаге % %{\бф \блуе Теорема Кодаиры-Спенсера о стабильности и ее применения} % % %\теорема {\бф \блуе (Теорема Кодаиры-Спенсера о стабильности)}\\ %Пусть $M$ -- компактное многообразие, $I_t, g_t$ -- %семейство кэлеровых структур, параметризованное $t\in \R$, %а $[\omega_t']\in H^{1,1}(M,I_t)$ -- семейство классов %когомологий. Предположим, что $[\omega'_0]$ -- кэлеров класс. %{\бф \ред %Тогда $[\omega'_t]$ кэлеров для всех $t\in ]-\epsilon,\epsilon[$.} % %\упражнение {\бф \пурпле Докажите это. } % % %\утверждение {\бф \ред $\Teich_\eta^{pol}$ открыто и плотно %%и локально связно %в $\Teich_\eta$.} % %\дшаг В силу теоремы Кодаиры о стабильности, %{\бф \пурпле $\Teich_\eta^{pol}$ открыто в $\Teich_\eta$.} % %{\бф \греен Шаг 2:} В силу Теоремы 1, %для каждого $I\in \Teich_\eta$, для которого %\[ \Pic(M,I)=\Per(I)^\bot \cap H^2(M,\Z) %\] %одномерен, $\pm\eta$ -- кэлеров %класс. % %{\бф \греен Шаг 3:} %Из теоремы Торелли следует, что у каждой %$l=\Per(I)$ есть окрестность в $\Perspace^\eta$, %которая лежит в образе отображения периодов. %Легко видеть, что {\bf \purple для общей $l'$ в $\Perspace^\eta$, %группа $l'{}^\bot\cap H^2(M,\Z)$ порождена $\eta$.} %В силу шага 2, $\Per^{-1}(l')\in \Teich_\eta^{pol}$. %Значит, $\Teich_\eta^{pol}$ плотно %в $\Teich_\eta$. \ендпрооф % \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера квартик} \определение Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ есть целочисленный класс на К3, $(\eta,\eta)=4$. Обозначим за $\Teich^q_\eta$ пространство Тейхмюллера всех $I\in \Teich_\eta$ таких, что линейное расслоение $L$ на $(M,I)$ с $c_1(L)=\eta$ обильно и глобально порождено. Пространство $\Teich^q_\eta$ называется {\бф \блуе пространством Тейхмюллера квартик}. %\замечание %Для каждой %$I\in \Teich^q_\eta$, расслоение %$L$ задает отображение $(M,I)$ в $\C P^3$, %образ которого -- квартика, и {\бф \ред все гладкие квартики %получаются таким образом.} \замечание Размерность пространства Тейхмюллера всех комплексных структур равна $\dim_\C \Gr_{++}(H^2(M,\R)=20$. \замечание Комплексная структура $I$ с $\rk \Pic(M,I)=1$ лежит в $\Teich_\eta$ тогда и только тогда $\Per(I)\in \Gr_{++}(H^2(M,\R)$ ортогонально $\eta$. Она лежит в $\Teich^q_\eta$, если $\Pic(M,I)$ то есть $\dim_\C \Teich^q_\eta=19.$ \ендпрооф \замечание Мы получили отображение $\Teich^q_\eta\arrow \Sym^4 \C^4/GL(\C,4)$, сюрьективное на множество гладких квартик. Поскольку {\бф \пурпле размерность пространства квартик равна размерности $\Teich^q_\eta$,} в общей точке это отображение этально: {\бф \ред ``Квартики задают дивизор в пространстве Тейхмюллера''}. \невпаге {\бф \блуе О плотности квартик} %\утверждение %{\бф \ред $\Teich^q_\eta$ плотно в %$\Teich_\eta$.} % %\доказательство %Для общей точки $I\in \Teich_\eta$, %$H^{1,1}(M,I)=\Per(I)^\bot$ -- подпространство коразмерности 2 в $H^2(M,\R)$, %удовлетворяющее $\Pic(M,I)=\langle \eta\rangle$. %Поэтому расслоение $L$ с $c_1(L)=\pm \eta$ очень обильно, %а значит, $(M,I)$ есть квартика. %\ендпрооф \теорема {\бф \ред (будет доказана позже)}\\ Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$. {\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$ плотно в $\Perspace$.} \следствие {\бф \ред $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich^q_\eta$ плотно в $\Teich$.} \доказательство В окрестности каждой точки $x\in \Perspace$ лежит точка $x\in \Perspace_\eta, \eta \in {\goth R}$. Точки $y\in \Perspace_\eta\subset \Gr_{++}(H^2(M,\R))$, такие, что $y^\bot\cap H^2(M,\Z) = \langle \eta\rangle$, плотны в $\Perspace_\eta$, а значит и в $\Perspace$. В силу Теоремы 1, каждая комплексная структура с такими периодами задает квартику. Значит, квартики плотны в $\Teich$. \ендпрооф {\бф \purple На пространстве Тейхмюллера К3 есть плотное множество точек, соответствующих гладким квартикам.} Поскольку гладкие квартики образуют связное, гладкое семейство, они все диффеоморфны {\бф \пурпле (почему?)}. \следствие {\бф \ред Любая К3 диффеоморфна гладкой квартике.} \невпаге {\бф \блуе О плотности квартик (2)} Осталось доказать: \теорема Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$. {\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$ плотно в $\Perspace$.} Другая формулировка {\бф \греен Теорема 2:} Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$, а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ -- множество всех 2-плоскостей, ортогональных какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$ плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} \замечание {\бф \ред Мы свели теорему о плотности квартик к утверждению из теории квадратичных решеток,} то есть линейной алгебра и теории чисел. {\ит \греен На этих слайдах есть два доказательства: первое выводит плотность из сложной науки, второе руками.} \невпаге \newpage {\бф\блуе Эргодические меры} \определение Пусть $M$ -- пространство с заданной на нем сигма-алгеброй $A$, а $G$ -- группа, действующая на $M$, сохраняя $A$. Мера $\mu$ на $(M,A)$ называется {\бф \блуе эргодической}, если каждое $G$-инвариантное измеримое подмножество $M'\subset M$ удовлетворяет $\mu(M')=0$ либо $\mu(M\backslash M')=0$. \утверждение {\бф \ред $G$-инвариантная мера на $M$ эргодична тогда и только тогда, когда любая измеримая $G$-инвариантная функция постоянна почти всюду.} \утверждение Пусть $\Gamma$ -- группа, эргодически действующая на многообразии $(M,\mu)$ с мерой Лебега. Рассмотрим множество $R$ всех $x\in M$ таких, что орбита $\Gamma \cdot x$ не плотна в $M$. {\бф \ред Тогда $\mu(R)=0$.} \дшаг Пусть $U\subset M$ открыто. Тогда $\mu(U)>0$, значит, множество $\Gamma \cdot U$ -- $\Gamma$-инвариантно и измеримо. {\бф \пурпле В силу эргодичности, это множество полной меры.} Обозначим за $Z_U$ множество $x\in M$ таких, что орбита $x$ не пересекает $U$. Тогда $Z_U= M\backslash \Gamma \cdot U$ -- множество меры 0. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\{U_i\}$ -- база топологии в $M$. Тогда $R= M\backslash \bigcap Z_{U_i}$ -- множество всех точек, орбиты которых не лежат в каком-то из $U_i$. Это счетное объединение множеств меры 0. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Группы Ли} \определение {\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное групповой структурой, таким образом, что групповые операции $x, y \arrow xy$ и $x\arrow x^{-1}$ суть гладкие отображения. \определение Левая {\бф \блуе мера Хаара} есть гладкая мера на группе Ли, инвариантная относительно левых сдвигов $L_x(g)=xg$. \теорема {\бф \ред Мера Хаара существует, и единственна с точностью до постоянного множителя.} \определение Пусть $\Gamma\subset G$ -- дискретная подгруппа группы $G$. Она называется {\бф \блуе решеткой}, если $\mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)<\infty$, то есть фактор $G$ по $\Gamma$ имеет конечную меру Хаара. \теорема {\бф \блуе (Борель и Хариш-Чандра)} Пусть $G$ -- алгебраическая группа Ли над $\Q$, то есть группа, заданная уравнениями с рациональными коэффициентами, а $\Gamma=G_\Z$ погруппа целых точек $G$. Предположим, что на $G$ нет рациональных характеров $G\arrow \R^*$. {\бф \ред Тогда $\Gamma$ -- решетка в $G$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мура} \теорема {\бф \блуе (Кальвин Мур, 1966)}\\ Пусть $G$ -- простая группа Ли с конечным центром, $\Gamma\subset G$ решетка, а $H\subset G$ некомпактная подгруппа. {\бф \ред Тогда действие $\Gamma$ на $G/H$ эргодично.} Применим это к $\Gr_{++}(H^2(M))= \frac{SO(3,19)}{SO(2)\times SO(1,19)}= G/H$. Из теоремы Мура следует, что общая $SO(H^2(M,\Z))$-орбита в $\Gr_{++}(H^2(M))$ плотна. Пусть $W\in \Gr_{++}(H^2(M))$ -- общая плоскость, ортогональная вектору $r$ с $r^2=4$. Если ее $\Gamma$-орбита плотна в $\Gr_{++}(H^2(M))$, Теорема 2 следует. Поэтому для доказательства Теоремы 2 {\бф \ред нужно понять, какие орбиты эргодического действия $\Gamma=SO(H^2(M,\Z))$ на $\frac{SO(3,19)}{SO(2)\times SO(1,19)}$ плотны.} \невпаге {\бф\блуе Теорема Ратнер о замыкании орбит} \теорема {\бф \блуе (теорема Ратнер о замыкании орбит)}\\ Пусть $G$ -- группа Ли, $H\subset G$ -- подгруппа, порожденная унипотентами, а $\Gamma\subset G$ -- решетка. Рассмотрим действие $H$ на $G/\Gamma$ левыми сдвигами. и пусть $H\cdot x$ -- орбита $H$ в $G/\Gamma$. {\бф \ред Тогда существует подгруппа $S$ в $G$, содержащая $H$, и такая, что замыкание орбиты $H\cdot x$ равно $S\cdot x$.} Более того, $S$ порождена унипотентами, а группа $\Gamma_S:= \{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}$ {\бф \ред это решетка в $S$} (здесь $\St_\Gamma(S\cdot x)$ обозначает стабилизатор орбиты $S\cdot x$ в $\Gamma$ при правом действии $\Gamma$ на $G$). \упражнение Обозначим связную компоненту группы $SO(V)$ за $SO^+(V)$. Пусть $H\subset G=SO^+(H^2(M,\R))$ -- подгруппа, тривиально действующая $W\in \Gr_{++}(H^2(M,\R))$ (эта подгруппа изоморфна $SO^+(1,19)$). Докажите, что {\бф \пурпле любая группа $H_1$, такая, что $H\subsetneq H_1\subsetneq G$, изоморфна $SO^+(2, 19)$,} и равна стабилизатору какого-то вектора $w\in W$. \следствие Пусть $W\in \Gr_{++}(H^2(M,\R))$ -- плоскость, не содержащая рациональных векторов. {\bf \red Тогда ее $SO(H^2(M,\Z))$-орбита плотна в $\Gr_{++}(H^2(M,\R))$.} \следствие {\бф \ред Периоды гладких квартик с $\Pic(M,I)=\Z$ плотны в $\Perspace$.} \невпаге {\бф \блуе Плотные множества в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$} Пусть $A \subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- подмножество. Обозначим за $V(A)$ множество 2-плоскостей, ортогональных какому-то $v\in A$. \определение {\бф \блуе Нуль-квадрика}, или же {\бф \блуе световой конус} $\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ есть множество всех $l\in {\Bbb P}H^2(M, \R)$, $(l,l)=0$. \замечание {\bf \purple Если $B\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- множество предельных точек $A\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$, то $V(A)$ плотно в $V(B)$.} \замечание {\bf \purple $V(\Null(M))=\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} Действительно, для каждой 2-плоскости в $H^2(M,\R)$, в ее ортогональном дополнении есть нуль-вектор. Объединяя эти два замечания, получаем, что Теорема 2 следует из Теоремы 3. {\бф \греен Теорема 2:} Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$, а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ -- множество всех 2-плоскостей, ортогональных какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$ плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} {\бф \греен Теорема 3:}\\ {\bf \red Множество предельных точек ${\Bbb P}{\goth R}\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$ содержит $\Null(M)$.} \невпаге {\бф \блуе Плотные множества в световом конусе} {\бф \греен Теорема 3':} {\bf \red Любая точка $x\in\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$ является пределом последовательности $\{\underline{x_i}\}\in {\Bbb P}H^2(M,\Z)$,} причем каждый $\underline{x_i}$ представлен $x_i\in H^2(M,\Z)$, $(x_i,x_i)=4$. \дшаг Рациональные точки плотны в $\Null(M)$. Действительно, как минимум одна рациональная точка в $\Null(M)$ имеется; обозначим ее за $r$. Возьмем любую рациональную прямую $S\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$, проходящую через $r$. {\бф \ред Поскольку одна из точек пересечения $S\cap \Null(M)$ рациональна, другая тоже рациональна.} {\бф \греен Шаг 2:} Вектор $v\in H^2(M,\Z)$ называется {\бф \блуе примитивным}, если он порождает $(\R\cdot v)\cap H^2(M,\Z)$. Поскольку решетка $H^2(M,\Z)$ унимодулярна, {\бф \пурпле для любого примитивного вектора $v\in H^2(M,\Z)$ существует $v'\in H^2(M,\Z)$ такой, что $(v, v')=1$. } {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$ плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$. {\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$ такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$, а $(x_i, x_i)=4$.} \невпаге {\бф \блуе Плотные множества в световом конусе (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$ плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$. {\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$ такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$, а $(x_i, x_i)=4$.} {\бф \греен Шаг 4:} Найдем $x\in H^2(M,\Z)$ такой, что $(v, x)=1$, и пусть $y\in H^2(M,\Z)$ -- любой целочисленный вектор с ненулевым квадратом, ортогональный $v$ и $x$. Если $u=\lambda v+x+\mu y$, то $(u,u)=2\lambda +x^2 +\mu^2y^2$. Напишем $\lambda(\mu)=-1/2(x^2+\mu^2y^2-4)$. Тогда $u(\mu):=\lambda(\mu) v +x +\mu y$ -- целочисленный вектор (форма пересечения четна), причем $(u(\mu),u(\mu))=4$. {\бф \пурпле Осталось доказать, что $\lim\limits_{\mu\arrow \infty} {\Bbb P}u(\mu)={\Bbb P}v.$} {\бф \греен Шаг 5:} Выберем на $H^2(M, \R)$ положительно-определенную метрику $g$, таким образом, что $g(x,x)=g(y,y)=x(v,v)=1$, обозначим за $|\cdot|$ соответствующую норму, $|z| := g(z,z)^{1/2}$. Тогда $|u(\mu)- \lambda(\mu)v|\leq 1+ |\mu|$, а $|\lambda(\mu)v| \geq |1/2\mu^2y^2|-x^2 -4$. Получается, что со стремлением $\mu$ к бесконечности, в треугольнике $0, u(\mu), \lambda(\mu)v$ сторона $(0,\lambda(\mu)v)$ растет квадратично по $\mu$, сторона $(u(\mu), \lambda(\mu)v)$ линейно, соответственно, {\бф \пурпле угол между противолежащими к $(u(\mu), \lambda(\mu)v)$ сторонами стремится к нулю.} Мы доказали, что ${\Bbb P}v$ получено как предел целочисленных ${\Bbb P}u(\mu)$, удовлетворяющих $(u(\mu), u(\mu))=4$. \ендпрооф \end{document}