\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}} \newcommand{\grad}{\operatorname{\sf grad}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small K3 на Фонтанке, лекция 4 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf K3 на Фонтанке, \\[15mm] \small лекция 4: формула Римана-Роха и теорема Лефшеца} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017 \\[2mm] 7 июля 2017 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Классы Черна (повторение)} \определение {\бф \блуе Классы Черна} суть классы $c_i(B)\in H^{2i}(B)$, $i=0,1, 2, ...$, определенные для любого векторного расслоения $B$ на клеточном пространстве $X$, и удовлетворяющие следующим аксиомам. 1. $c_0(V)=1$. 2. {\бф \блуе функториальность:} если $f:\; X \arrow Y$ непрерывно, то $f^* c_i(B)= c_i(f^*B)$. 3. {\бф \блуе Формула Уитни:} $c_*(B\oplus B')=c_*(B)c_*(B')$, где $c_*(B)=\sum_i c_i(B)$ {\бф \блуе ("тотальный класс Черна")} 4. Если $\calo(i)$ -- стандартное расслоение на проективном пространстве, то $c_1(\calo(1))=[H]$, где $[H]$ -- фундаментальный класс гиперплоскости, а для всех $i>0$, $c_i(\calo(1))=0$. \newpage {\бф \блуе Когерентные пучки} \определение Пусть $M$ -- комплексное многообразие, $\calo_M$ -- структурный пучок (пучок голоморфных функций). {\бф \блуе Когерентный пучок} на комплексном многообразии $\calo_M$ есть пучок $\calo_M$-модулей, локально изоморфный фактору свободного пучка $\calo^n_M$ по конечно-порожденному $\calo_M$-подмодулю. Когда $M$ проективно, определение когерентных пучков такое же, но "локально" означает "локально в топологии Зариского". {\бф \пурпле Из принципа GAGA Серра следует, что эти два определения экцивалентны.} \упражнение Пусть $M$ -- проективное многообразие. Докажите, что {\бф \ред для когерентных пучков определены классы Черна, которые функториальны и удовлетворяют аксиоме Уитни}. \newpage {\бф \блуе Когерентные пучки и резольвенты} \упражнение Пусть $X \hookrightarrow Y$ -- комплексное подмногообразие. {\бф \пурпле Докажите, что когерентные пучки на $X$ можно интерпретировать как когерентные пучки на $Y$ с носителем в $X$.} \замечание Пусть $F$ -- градуированный модуль над градуированным кольцом $\C[t_1, ..., t_{n-1}]$ однородных полиномов. Однородные полиномы задают функции на стандартных картах $\C P^n$, значит, {\бф \ред $F$ задает когерентный пучок на $\C P^n$.} \упражнение Докажите, что {\бф \ред любой когерентный пучок получается таким образом.} \упражнение Докажите, что {\bf \red любой когерентный пучок $F$ на $\C P^n$ имеет резольвенту вида $0 \arrow F_n\arrow F_{n-1}\arrow ...\arrow F_0\arrow F\arrow 0$,} где все $F_i$ получаются как прямые суммы линейных расслоений. \указание {\бф \пурпле Это будет свободная резольвента} градуированного модуля над градуированным кольцом $\C[t_1, ..., t_{n-1}]$. \newpage {\бф \блуе Очень обильные расслоения} \определение Пусть $X \hookrightarrow \C P^n$ -- проективное многообразие, а $\calo(1)$ расслоение, заданное линейными функционалами на $\C^{n+1}$. Обозначим за $\calo(p)$ $p$-ю тензорную степени $\calo(p)$. Ограничение $\calo(p)$ на $X$ называется {\бф \блуе очень обильным расслоением}., {\бф \блуе Обильное расслоение} -- линейное расслоение, положительная степень которого очень обильна. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле очень обильное расслоение глобально порождено.} \упражнение Пусть $L$ очень обильно, а $F$ -- когерентный пучок. {\бф \пурпле Докажите, что $F \otimes L^N$ глобально порождено для достаточно большого $N>0$.} \упражнение Пусть $L$ очень обильно, а $F$ -- когерентный пучок. {\бф \пурпле Докажите, что $H^i(F \otimes L^N)=0$ для достаточно большого $N$ и любого $i>0$.} \newpage {\бф \блуе $K$-группа и классы Черна} \определение Пусть $X$ -- алгебраическое многообразие. Обозначим за $K(X)$ группу, порожденную классами изоморфизма $[F]$ когерентных пучков $F$ на $X$, и заданную соотношениями вида $[F_1] + [F_3]=[F_2]$ для каждой точной последовательности $0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow F_3 \arrow 0$. Эта группа называется {\бф \блуе $K$-группой Гротендика} (и еще иногда $K_0$). \определение Пусть $F_0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow ...$ -- комплекс когерентных пучков. Соответствующий класс в $K(X)$ обозначается за $[F_*]:= \sum_i (-1)^i [F_i]$. \замечание Если $X$ гладко, любой когерентный пучок на $X$ имеет конечную резольвенту из векторных расслоений, то есть локально тривиальных пучков (докажите это). {\бф \пурпле Поэтому в качестве образующих $K(X)$ можно брать комплексы векторных расслоений, а в качестве соотношений - точные последовательности комплексов.} \newpage {\бф \блуе Эйлерова характеристика когерентного пучка} \определение {\бф \блуе Эйлерова характеристика} когерентного пучка $F$ есть число $\chi(F):= \sum_i (-1)^i \dim H^i(F)$. \утверждение Для любой точной последовательности пучков \\ $0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow F_3 \arrow 0$, имеем $\chi(F_2)= \chi(F_1)+\chi(F_3)$. \доказательство {\бф \пурпле Проверьте самостоятельно} (примените длинную точную последовательность когомологий). \ендпрооф \замечание Таким образом, {\бф \ред $\chi$ задает гомоморфизм $K(X)\stackrel \chi\arrow \Z$.} \newpage {\бф \блуе Теорема Римана-Роха-Хирцебруха} \теорема {\бф \блуе (Римана-Роха-Хирцебруха)} Пусть $F$ -- когерентный пучок на гладком компактном многообразии. {\бф \ред Тогда $\chi(F)$ зависит только от классов Черна $c_*(F)$, и выражается через них следующим образом:} \[ \chi(F)=\int_X ch_*(F)\wedge td_*(TX), \] где $td_*(TX)$ обозначает {\бф \блуе тотальный класс Тодда} касательного расслоения $TX$, \[ td_* = 1 + \frac{c_1}{2} + \frac{c_1^2+c_2}{12} + \frac{c_1c_2}{24} + \frac{-c_1^4 + 4c_1^2c_2 + c_1c_3 + 3c_2^2 - c_4}{720} + ... \] \замечание Формально {\бф \блуе класс Тодда можно определить следующим образом:} он удовлетворяет формуле Уитни $td_*(B\oplus B')=td_*(B)td_*(B')$, а для линейного расслоения $L$ с $c_1(L)=\alpha$, имеем $td_*(L)=\frac\alpha{1-e^{-\alpha}}$. \newpage {\бф \блуе Доказательство теоремы Римана-Роха для кривых} \теорема {\бф \блуе (Риман-Рох для кривых):}\\ Пусть $F$ -- когерентный пучок на кривой. Тогда \[ \chi(F) = c_1(F) + \rk(F)(1 - g). \] {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Поскольку группа $K(X)$ порождена линейными расслоениями, {\бф \пурпле достаточно проверить формулу для линейного расслоения $L$}. В самом деле, любой когерентный пучок имеет резольвенту из линейных расслоений степени $-d << 0$ (проверьте это). % К тому же, $L$ можно выбрать антиобильным. Можно также выбрать эти $L$ таким образом, что пучок $L^*$ порожден глобальными сечениями. {\бф \пурпле Чтобы убедиться в этом, надо вложить $X$ в $\C P^n$, и строить такую резольвенту для когерентного пучка на $\C P^n$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $l$ -- сечение $L^*$, а $0 \arrow L \arrow \calo_X \arrow C \arrow 0$ -- соответствующая точная последовательность. {\бф \пурпле В К-группе учок кручения $C$ эквивалентен прямой сумма пучков-небоскребов $\calo_X/{\goth m}_x$, сосредоточеных в его носителе.} {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред Осталось доказать Римана-Роха для $\calo_X$ и для пучков-небоскребов.} Для $\calo_X$ $\chi(\calo_X)= 1-g$ по определению $g=\dim H^1(\calo_X)$. Для пучков-небоскребов, $\chi(F)= 1= c_1(F)$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Римана-Рох-Хирцебрух для поверхностей (слабая версия)} \замечание В следующем утверждении и его доказательстве, $c_1(L)$ для линейных раслоений обозначается буквой $L$, а фундаментальный класс дивизора $D$ обозначается $D$. Форма пересечения в $H^2(X)$ обозначается $(A,B)$. \утверждение {\бф \блуе (Риман-Рох-Хирцебрух для линейных расслоений на поверхности; слабая версия):} Пусть $L$ -- линейное расслоение на поверхности $X$. Тогда \[ \chi(L)= \chi(\calo_X)+ \frac{(L-K_X,L)}2,\ \ \ \ (*) \] где $K_X= \Omega^2X$ есть каноническое расслоение, а $(A,B)$ обозначает форму пересечения, примененную к классам Черна. {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $0 \arrow L_1 \arrow L_2 \arrow L_2\restrict{D} \arrow 0$ -- точная последовательность, где $L_i$ -- линейные расслоения, а $D$ -- гладкая кривая рода $g$. {\бф \ред В силу РР для кривых, имеем $\chi(L_1)= \chi(L_2)+ (L_2, D) + (1-g)$} {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле По формуле присоединения, $K_D= K_X \restrict D \otimes ND$, где $ND$ есть нормальное расслоение.} С другой стороны, $g-1 = \deg K_D/2$. Это дает $1-g=-(K_X+D,D)/2$. \newpage {\бф \блуе Римана-Рох-Хирцебрух для поверхностей (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $\chi'(L)$ правую часть формулы (*), $\chi'(L):=\chi(\calo_X)+ (L-K_X,L)/2$. В условиях шага 1, имеем $c_1(L_2) = c_1(L_1)+D$, что дает \begin{multline*} \chi'(L_2)-\chi'(L_1)= \frac 1 2 \bigg[(L_2-K_X,L_2) - (L_2-K_X-D,L_2-D)\bigg]= (L_2, D) -(K_X+D,D)/2. \end{multline*} {\бф \греен Шаг 4:} Сравнивая утверждения шага 2 и шага 3, получаем $\chi'(L_2)-\chi'(L_1)=\chi(L_2)-\chi(L_1)$. Значит, {\бф \ред РРХ для $L_2$ равносилен ему же для $L_1$.} {\бф \греен Шаг 5:} Для каждого обильного расслоения $A$, $L\otimes A^{\otimes N}$ имеет гладкие сечения для $N\gg 0$, что дает точную последовательность $0 \arrow L \arrow L\otimes A^{\otimes N+1} \arrow L\otimes A^{\otimes N+1}\restrict D \arrow 0$. Значит, {\бф \пурпле достаточно доказать (*) для расслоения $L\otimes A^{\otimes N+1}$, которое можно считать очень обильным.} {\бф \греен Шаг 6:} Для очень обильных расслоений $L$, имеем $0 \arrow \calo_X \arrow L \arrow L\restrict D \arrow 0$, где $D$ -- множество нулей общего сечения $L$. Поскольку $D$ гладко, а (*) верна для $\calo_X$, {\бф \ред получаем (*) для $L$.} \ендпрооф \замечание Формула Римана-Роха-Хирцебруха для поверхностей следует из (*) и {\бф \блуе формулы Нетера}: $\chi(\calo_X) = (c_1(X)^2- c_2(X))/12$, но ее я доказывать не буду. \newpage {\бф \блуе K3-поверхности (повторение)} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухдаль-Ламари). \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \невпаге {\бф \блуе Классификация форм пересечения (повторение)} \определение Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется {\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$, {\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$, и {\бф\блуе нечетной} если нет. \определение Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной}, если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$. \теорема\\ {\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\ Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$. {\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную прямую сумму} подпространств с билинейной формой, которая имеет вид $\left [ \begin{smallmatrix} 0 &1\\ 1&0 \end{smallmatrix}\right ]$ (такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств $E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$: \[ \left [ \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right ], \] или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака. \невпаге {\бф \блуе Экспоненциальная точная последовательность} Из экспоненциальной точной последовательности \[ 0 \arrow \Z_M \arrow \calo_M \arrow\calo_M^* \arrow 0, \] {\бф \пурпле получаем точную последовательность} \[ H^1(\calo_M) \arrow H^1(\calo_M^*) \arrow H^2(M, \Z) \stackrel \alpha \arrow H^2(\calo_M). \] Группа $H^2(\calo_M)$ отождествляется с $H^{0,2}(M)$, значит, ядро отображения $\alpha$ это $H^2(M,\Z)\cap \ker \alpha= H^2(M,\Z)\cap H^{1,1}(M)$. Мы доказали предложение \предложение {\бф \ред Множество первых классов Черна голоморфных линейных расслоений на кэлеровом многообразии это $H^{1,1}(M)\cap H^2(M,\Z)$.} \невпаге {\бф \блуе Форма пересечения для К3-поверхности} \лемма Пусть $\eta$ -- нечетная форма пересечения на $V:=\Z^n$, а $P:={\Bbb P}(V\otimes_\Z \R)$ -- соответствующее проективное пространство. Обозначим за $R$ множество нечетных векторов $r\in V$. Тогда образ $\pi(R)$ в $P$ плотен. \дшаг Пусть $s\in V$ -- любой вектор. Для доказательства плотности $R$ в $P$ {\бф \пурпле достаточно найти элемент из $\pi(R)$ в любой окрестности $\pi(S)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $r_0\in R$. Последовательность $r_0 + 2N s$ состоит из нечетных векторов, а ее образ в $P$ сходится к $s$. \ендпрооф \теорема {\bf \red Форма пересечения К3-поверхности $M$ четная.} \дшаг В силу доказанного на прошлой лекции, множество $K$ кэлеровых форм $M$ (для всех комплексных структур) открыто в $H^2(M, \R)$. Значит, его проективизация ${\Bbb P}K$ открыта в ${\Bbb P}H^2(M,\R)$. {\бф \греен Шаг 2:} Если форма пересечения $H^2(M,\Z)$ нечетна, в силу предыдущей леммы, найдется нечетный целочисленный класс $r$ с $\pi(r)\in {\Bbb P}K$. Тогда $r\in H^{1,1}(M,\Z)$, значит, {\bf \red существует голоморфное расслоение $L$ с $c_1(L)=r$.} Но $\chi(L) = 2+ \frac 1 2 \int_M r\wedge r$ по формуле Римана-Роха. Значит, {\bf \purple самопересечение $r$ четно.} \endproof \невпаге {\бф \блуе Гладкие квартики} \определение {\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым однородным полиномом степени 4. \замечание По формуле Эйлера, каноническое расслоение на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения, примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$, дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$, а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$, {\бф \пурпле имеем $K_Z=\calo(m-n-1)$.} \следствие {\бф \пурпле Гладкая квартика в $\C P^3$ есть поверхность с тривиальным каноническим расслоением.} \замечание В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду подразумевать квартики размерности 2.} \невпаге {\бф \блуе Гладкие квартики и теорема Лефшеца о гиперплоском сечении} \определение {\бф \блуе $k$-е вложение Веронезе} есть проективное вложение $\C P^n \arrow {\Bbb P}(H^0(\calo(k)^*)$, заданное линейной системой $\calo(k)$. Иначе говоря, {\бф \пурпле вложение Веронезе переводит $(t_0:t_1:...:t_n)$ в $(P_0(t_0,..., t_n):P_1(t_0,..., t_n):...:...)$, где $P_i$ обозначает какой-то базис в однородных многочленах степени $k$.} \следствие {\бф \пурпле Гладкая квартика есть пересечение образа $4$-го отображения Веронезе и общей гиперплоскости. } \теорема {\бф \блуе (Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\ Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение, трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i0$ для любого ненулевого $х\in TM$. \пример $f=|z|^2$ строго плюрисубгармонична на $\C^n$. \утверждение Пусть $f$ -- строго плюрисубгармоническая функция Морса на $n$-мерном многообразии. {\бф \ред Тогда индекс критических точек $f$ не превосходит $n$}. {\ем \греен Доказательство см. следующий слайд.} \невпаге {\бф \блуе Плюрисубгармонические функции Морса (продолжение)} \утверждение Пусть $f$ -- строго плюрисубгармоническая функция Морса на $n$-мерном многообразии. {\бф \ред Тогда индекс критических точек $f$ не превосходит $n$} \дшаг Поскольку $dd^c f=2 \1 \6\bar\6 f$ -- (1,1)-форма, она $I$-инвариантна: $dd^cf(Ix,Iy)= dd^cf(x,y)$. Значит, $dd^cf(Ix,y)=dd^cf(I^2x,Iy) = - dd^c(x,Iy)f=dd^c(Iy,x)f$. Мы получили, что {\бф \пурпле форма $\Hess_c(f):= dd^cf(x, Iy)$ симметрическая.} Эта форма называется {\бф \блуе комплексный гессиан}. Для плюрисубгармонических функций, она неотрицательно определена. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть координаты $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$ на $M$ таковы, что $I(dx_i)=dy_i$, а $I(dy_i)=-dx_i$. Тогда \[dd^c(f)= \sum_i dx_i \wedge dy_i \left(\frac{d^2f}{dx_i^2}+\frac{d^2f}{dy_i^2}\right), \] что дает \[ \Hess_c(f)= \sum_i \left(\frac{d^2f}{dx_i^2}+\frac{d^2f}{dy_i^2}\right) [dx_i \otimes dx_i + dy_i \otimes dy_i] \] {\бф \ред Мы получили $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$.} \невпаге {\бф \блуе Плюрисубгармонические функции Морса (окончание)} {\бф \ред Мы получили $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$.} {\бф \греен Шаг 3:} Для любой строго плюрисубгармонической функции Морса, все собственные значения ее комплексного гессиана положительны. Пусть $m$ -- критическая точка $f$, а $dz_1, ..., dz_{2n}\in T_mM$ -- базис, в котором $\Hess(f)$ и $I\Hess(f)$ ортогональны. Такой базис существует для любой пары билинейных симметрических форм, если одна из них положительно определена; {\бф \пурпле проверьте это}, и примените к паре форм $\Hess_c(f)$, $\Hess(f)$. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\Hess(f)(dz_i, dz_i)=\alpha_i$, а $\Hess(f)(dz_i, dz_i)=\beta_i$. Поскольку формы $\Hess(f)$, $I\Hess(f)$ сопряжены, у них одинаковая сигнатура. Тогда $\Hess_c(f)(dz_i, dz_i)=\alpha_i+\beta_i$. Поскольку форма $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$ положительно определена, $\alpha_i+\beta_i> 0$, то есть {\бф \ред как минимум половина $\alpha_i$ неотрицательна. } \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении} \определение Пусть $f$ -- функция Морса на гладком многообразии $M$, а $\grad f$ ее градиентное векторное поле. {\бф \блуе Стабильное многообразие} критической точки $m$ есть все точки $z\in M$ такие, что $\lim\limits_{t\arrow \infty} e^{-t \grad f}z=m$. \упражнение Пусть $Z_m$ -- стабильное многообразие критической точки $m$ индекса $p$. {\бф \пурпле Докажите, что $Z_m$ гладкое, $p$-мерное подмногообразие в $M$.} \теорема {\бф \блуе (Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\ Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение, трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i