

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{\sf grad}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small K3 на Фонтанке, лекция 4 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf K3 на Фонтанке, \\[15mm]
\small лекция 4: формула Римана-Роха и теорема Лефшеца}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf 
Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017
\\[2mm] 7 июля 2017
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Классы Черна (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Классы Черна} суть классы $c_i(B)\in H^{2i}(B)$, $i=0,1, 2, ...$, 
определенные для любого векторного расслоения $B$ на клеточном
пространстве $X$, и удовлетворяющие
следующим аксиомам. 

1. $c_0(V)=1$.

 2. {\бф \блуе функториальность:} если $f:\; X \arrow Y$ непрерывно,
то  $f^* c_i(B)= c_i(f^*B)$.

 3. {\бф \блуе Формула Уитни:} $c_*(B\oplus B')=c_*(B)c_*(B')$,
где $c_*(B)=\sum_i c_i(B)$ {\бф \блуе ("тотальный класс Черна")}

 4. Если $\calo(i)$ -- стандартное расслоение
на проективном пространстве, то $c_1(\calo(1))=[H]$,
где $[H]$ -- фундаментальный класс гиперплоскости, а 
для всех $i>0$, $c_i(\calo(1))=0$.


\newpage

{\бф \блуе Когерентные пучки}


\определение
Пусть $M$  -- комплексное многообразие, $\calo_M$ -- структурный
пучок (пучок голоморфных функций).
{\бф \блуе Когерентный пучок} на комплексном многообразии $\calo_M$
есть пучок $\calo_M$-модулей, локально изоморфный фактору свободного пучка 
$\calo^n_M$ по конечно-порожденному $\calo_M$-подмодулю. Когда $M$
проективно, определение когерентных пучков такое же, но "локально"
означает "локально в топологии Зариского". {\бф \пурпле Из принципа GAGA Серра
следует, что эти два определения экцивалентны.}

\упражнение Пусть $M$ -- проективное многообразие. 
Докажите, что {\бф \ред для когерентных пучков определены классы
Черна, которые функториальны и удовлетворяют аксиоме Уитни}.

\newpage

{\бф \блуе Когерентные пучки и резольвенты}


\упражнение Пусть $X \hookrightarrow Y$ -- комплексное подмногообразие.
{\бф \пурпле Докажите, что когерентные пучки на $X$ можно интерпретировать как 
когерентные пучки на $Y$ с носителем в $X$.}

\замечание Пусть $F$ -- градуированный модуль над градуированным
кольцом $\C[t_1, ..., t_{n-1}]$ однородных полиномов. Однородные
полиномы задают функции на стандартных картах $\C P^n$, значит,
{\бф \ред $F$ задает когерентный пучок на $\C P^n$.}

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред любой когерентный пучок получается таким образом.}

\упражнение Докажите, что {\bf \red любой когерентный пучок $F$ на $\C P^n$
имеет резольвенту вида $0 \arrow F_n\arrow F_{n-1}\arrow ...\arrow F_0\arrow F\arrow 0$,}
где все $F_i$ получаются как прямые суммы линейных расслоений.

\указание {\бф \пурпле Это будет свободная резольвента} градуированного модуля над 
градуированным кольцом $\C[t_1, ..., t_{n-1}]$.


\newpage

{\бф \блуе Очень обильные расслоения}

\определение
Пусть $X \hookrightarrow \C P^n$ -- проективное многообразие,
а $\calo(1)$ расслоение, заданное линейными функционалами на $\C^{n+1}$.
Обозначим за $\calo(p)$ $p$-ю тензорную степени $\calo(p)$.
Ограничение $\calo(p)$ на $X$ называется {\бф \блуе очень обильным расслоением}.,
{\бф \блуе Обильное расслоение} -- линейное расслоение,
положительная степень которого очень обильна.


\упражнение Докажите, что {\бф \пурпле очень обильное расслоение глобально
порождено.}

\упражнение
Пусть $L$ очень обильно, а $F$ -- когерентный пучок. {\бф \пурпле Докажите, что
$F \otimes L^N$ глобально порождено для достаточно большого $N>0$.}


\упражнение
Пусть $L$ очень обильно, а $F$ -- когерентный пучок. {\бф \пурпле Докажите, что
$H^i(F \otimes L^N)=0$ для достаточно большого $N$ и любого $i>0$.}




\newpage

{\бф \блуе $K$-группа и классы Черна}

\определение
Пусть $X$ -- алгебраическое многообразие.
Обозначим за $K(X)$ группу, порожденную классами
изоморфизма $[F]$ когерентных пучков $F$ на $X$, и заданную
соотношениями вида $[F_1] + [F_3]=[F_2]$ для
каждой точной последовательности $0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow F_3 \arrow 0$.
Эта группа называется {\бф \блуе $K$-группой Гротендика} (и еще иногда $K_0$).

\определение
Пусть $F_0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow ...$ -- комплекс
когерентных пучков. Соответствующий класс в $K(X)$ обозначается
за $[F_*]:= \sum_i (-1)^i [F_i]$. 

\замечание
Если $X$ гладко, любой когерентный пучок на $X$ имеет
конечную резольвенту из векторных расслоений, то есть локально тривиальных
пучков (докажите это). {\бф \пурпле Поэтому в качестве образующих $K(X)$
можно брать комплексы векторных расслоений, а в качестве соотношений -
точные последовательности комплексов.}

\newpage

{\бф \блуе Эйлерова характеристика когерентного пучка}

\определение
{\бф \блуе Эйлерова характеристика} когерентного пучка $F$ есть
число $\chi(F):= \sum_i (-1)^i \dim H^i(F)$.

\утверждение
Для любой точной последовательности пучков \\
$0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow F_3 \arrow 0$, имеем
$\chi(F_2)= \chi(F_1)+\chi(F_3)$.

\доказательство 
{\бф \пурпле Проверьте самостоятельно}
(примените длинную точную последовательность когомологий).
\ендпрооф

\замечание
Таким образом, {\бф \ред $\chi$ задает гомоморфизм
$K(X)\stackrel \chi\arrow \Z$.}

\newpage

{\бф \блуе Теорема Римана-Роха-Хирцебруха}

\теорема
{\бф \блуе (Римана-Роха-Хирцебруха)}
Пусть $F$ -- когерентный пучок на гладком компактном многообразии. 
{\бф \ред Тогда $\chi(F)$ зависит только от классов Черна $c_*(F)$, и
выражается через них следующим образом:}
\[ \chi(F)=\int_X ch_*(F)\wedge td_*(TX),
\]
где $td_*(TX)$ обозначает {\бф \блуе тотальный класс
Тодда} касательного расслоения $TX$,
\[ td_* = 
1 + \frac{c_1}{2} + \frac{c_1^2+c_2}{12} + \frac{c_1c_2}{24} + 
\frac{-c_1^4 + 4c_1^2c_2 + c_1c_3 + 3c_2^2 - c_4}{720} + ...
\]
\замечание
Формально {\бф \блуе класс Тодда можно определить следующим
образом:} он удовлетворяет формуле Уитни
$td_*(B\oplus B')=td_*(B)td_*(B')$,
а для линейного расслоения $L$ с $c_1(L)=\alpha$, имеем
$td_*(L)=\frac\alpha{1-e^{-\alpha}}$.

\newpage

{\бф \блуе Доказательство теоремы Римана-Роха для кривых}



\теорема
{\бф \блуе (Риман-Рох для кривых):}\\
Пусть $F$ -- когерентный пучок на кривой. Тогда
\[ \chi(F) = c_1(F) + \rk(F)(1 - g).
\]
{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Поскольку группа $K(X)$ порождена линейными расслоениями,
{\бф \пурпле достаточно проверить формулу для линейного расслоения $L$}. 
В самом деле, любой когерентный пучок
имеет резольвенту из линейных расслоений степени $-d << 0$
(проверьте это). % К тому же, $L$ можно выбрать антиобильным.
Можно также выбрать эти $L$ таким образом, что пучок $L^*$ 
порожден глобальными сечениями. 
{\бф \пурпле Чтобы убедиться в этом, надо вложить $X$ в $\C P^n$,
и строить такую резольвенту для когерентного пучка на $\C P^n$.}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $l$ -- сечение $L^*$, а $0 \arrow L \arrow \calo_X
\arrow C \arrow 0$ -- соответствующая точная
последовательность. {\бф \пурпле В К-группе 
учок кручения $C$  эквивалентен прямой
сумма пучков-небоскребов $\calo_X/{\goth m}_x$, 
сосредоточеных в его носителе.}

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред Осталось доказать Римана-Роха
для $\calo_X$ и для пучков-небоскребов.} Для $\calo_X$
$\chi(\calo_X)= 1-g$ по определению $g=\dim H^1(\calo_X)$.
Для пучков-небоскребов, $\chi(F)= 1= c_1(F)$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе  Римана-Рох-Хирцебрух для поверхностей (слабая версия)}

\замечание
В следующем утверждении и его доказательстве,
$c_1(L)$ для линейных раслоений обозначается
буквой $L$, а фундаментальный класс дивизора $D$ обозначается $D$.
Форма пересечения в $H^2(X)$ обозначается $(A,B)$.

\утверждение
{\бф \блуе 
(Риман-Рох-Хирцебрух  для линейных расслоений на поверхности; слабая версия):}
Пусть $L$ -- линейное расслоение на поверхности $X$.
Тогда 
\[ \chi(L)= \chi(\calo_X)+ \frac{(L-K_X,L)}2,\ \ \ \ (*)
\]
где $K_X= \Omega^2X$ есть каноническое расслоение, а $(A,B)$
обозначает форму пересечения, примененную к классам Черна.

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $0 \arrow L_1 \arrow L_2 \arrow L_2\restrict{D} \arrow 0$ --
точная последовательность, где $L_i$ -- линейные расслоения,
а $D$ -- гладкая кривая рода $g$. {\бф \ред В силу РР для кривых, имеем
$\chi(L_1)= \chi(L_2)+ (L_2, D) + (1-g)$}

{\бф \греен Шаг 2:}
{\бф \пурпле По формуле присоединения, $K_D= K_X \restrict D \otimes
ND$, где $ND$ есть нормальное расслоение.} С другой стороны,
$g-1 = \deg K_D/2$. Это дает 
$1-g=-(K_X+D,D)/2$.

\newpage

{\бф \блуе  Римана-Рох-Хирцебрух для поверхностей (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $\chi'(L)$ правую часть
формулы (*), $\chi'(L):=\chi(\calo_X)+ (L-K_X,L)/2$.
В условиях шага 1, имеем $c_1(L_2) = c_1(L_1)+D$, что дает
\begin{multline*} \chi'(L_2)-\chi'(L_1)= 
\frac 1 2 \bigg[(L_2-K_X,L_2) - (L_2-K_X-D,L_2-D)\bigg]=
(L_2, D) -(K_X+D,D)/2.
\end{multline*}
{\бф \греен Шаг 4:} Сравнивая утверждения шага 2 и шага 3, 
получаем $\chi'(L_2)-\chi'(L_1)=\chi(L_2)-\chi(L_1)$.
Значит, {\бф \ред РРХ для $L_2$ равносилен ему же для $L_1$.}

{\бф \греен Шаг 5:}  Для каждого обильного расслоения $A$, 
$L\otimes A^{\otimes N}$ имеет гладкие сечения для $N\gg 0$, что дает точную
последовательность 
$0 \arrow L \arrow L\otimes A^{\otimes N+1}
\arrow L\otimes A^{\otimes N+1}\restrict D \arrow 0$.
Значит, {\бф \пурпле достаточно доказать (*) для расслоения 
$L\otimes A^{\otimes N+1}$, которое можно считать очень обильным.}

{\бф \греен Шаг 6:} Для очень обильных расслоений $L$, имеем
$0 \arrow \calo_X \arrow L \arrow L\restrict D \arrow 0$,
где $D$ -- множество нулей общего сечения $L$. Поскольку
$D$ гладко, а (*) верна для $\calo_X$, {\бф \ред 
получаем (*) для $L$.}
\ендпрооф


\замечание
Формула Римана-Роха-Хирцебруха 
для поверхностей следует из (*) и {\бф \блуе
формулы Нетера}: $\chi(\calo_X) = (c_1(X)^2- c_2(X))/12$,
но ее я доказывать не буду.


\newpage

{\бф \блуе  K3-поверхности (повторение)}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухдаль-Ламари).

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

\замечание
Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$,
значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова
характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$.

Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности:
\[\begin{array}{ccccc}
&&1&&\\
&0&&0&\\
1&&20&&1\\
&0&&0&\\
&&1&&\\
\end{array}
\]

\невпаге

{\бф \блуе  Классификация форм пересечения (повторение)}


\определение
Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется
{\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$,
{\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$,
и {\бф\блуе  нечетной} если нет.

\определение
Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной},
если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$.

\теорема\\ 
{\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\
 Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$.
{\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную прямую сумму} подпространств
с билинейной формой, которая имеет вид 
$\left [ \begin{smallmatrix}
0 &1\\
1&0
\end{smallmatrix}\right ]$
(такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств
$E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$:
\[ 
\left [
\begin{smallmatrix}
 2 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
-1 &  2 & -1&  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
 0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 &  0 & -1 \\
 0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & 0 \\
 0 &  0 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 & 2
\end{smallmatrix}\right ],
\]
или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака.

\невпаге

{\бф \блуе  Экспоненциальная точная последовательность}

Из экспоненциальной точной последовательности
\[ 
0 \arrow \Z_M \arrow \calo_M  \arrow\calo_M^* \arrow 0,
\] 
{\бф \пурпле получаем точную последовательность}
\[ 
H^1(\calo_M) \arrow H^1(\calo_M^*) \arrow H^2(M, \Z) \stackrel \alpha \arrow
H^2(\calo_M).
\]
Группа $H^2(\calo_M)$ отождествляется с $H^{0,2}(M)$,
значит, ядро отображения $\alpha$ это $H^2(M,\Z)\cap \ker \alpha=
H^2(M,\Z)\cap H^{1,1}(M)$.

Мы доказали предложение

\предложение
{\бф \ред Множество первых классов Черна голоморфных 
линейных расслоений на
кэлеровом многообразии это $H^{1,1}(M)\cap H^2(M,\Z)$.}


\невпаге

{\бф \блуе  Форма пересечения для К3-поверхности}

\лемма
Пусть $\eta$ -- нечетная форма пересечения
на $V:=\Z^n$, а $P:={\Bbb P}(V\otimes_\Z \R)$ --
соответствующее проективное пространство. Обозначим
за $R$ множество нечетных векторов $r\in V$.
Тогда образ $\pi(R)$ в $P$ плотен.

\дшаг Пусть $s\in V$ -- любой
вектор. Для доказательства плотности $R$ в $P$ {\бф
\пурпле достаточно
найти элемент из $\pi(R)$ в любой окрестности $\pi(S)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $r_0\in R$. Последовательность 
$r_0 + 2N s$ состоит из нечетных векторов, а ее образ 
в $P$ сходится к $s$. \ендпрооф

\теорема
{\bf \red Форма пересечения К3-поверхности $M$ четная.}

\дшаг
В силу доказанного на прошлой лекции, множество $K$ кэлеровых
форм $M$ (для всех комплексных структур) открыто в $H^2(M, \R)$. Значит, 
его проективизация ${\Bbb P}K$ открыта в ${\Bbb
P}H^2(M,\R)$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Если форма пересечения $H^2(M,\Z)$ нечетна, в 
силу предыдущей леммы, найдется нечетный целочисленный класс
$r$ с $\pi(r)\in {\Bbb P}K$. Тогда $r\in H^{1,1}(M,\Z)$,
значит, {\bf \red существует голоморфное расслоение $L$ с $c_1(L)=r$.}
Но $\chi(L) = 2+ \frac 1 2 \int_M r\wedge r$
по формуле Римана-Роха. Значит, {\bf \purple самопересечение $r$
четно.}
\endproof



\невпаге

{\бф \блуе  Гладкие квартики}

\определение
{\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая
гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым
однородным полиномом степени 4.

\замечание
По формуле Эйлера, каноническое расслоение
на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения,
примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$,
дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$,
а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$,
{\бф \пурпле имеем $K_Z=\calo(m-n-1)$.}

\следствие
{\бф \пурпле Гладкая квартика в $\C P^3$ есть поверхность с тривиальным
каноническим расслоением.}

\замечание
В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду
подразумевать квартики размерности 2.}


\невпаге

{\бф \блуе  Гладкие квартики и теорема Лефшеца о гиперплоском сечении}

\определение
{\бф \блуе $k$-е вложение Веронезе} есть проективное вложение
$\C P^n \arrow {\Bbb P}(H^0(\calo(k)^*)$, заданное линейной
системой $\calo(k)$. Иначе говоря, {\бф \пурпле вложение Веронезе
переводит $(t_0:t_1:...:t_n)$ в 
$(P_0(t_0,..., t_n):P_1(t_0,..., t_n):...:...)$,
где $P_i$ обозначает какой-то базис в однородных многочленах
степени $k$.}

\следствие
{\бф \пурпле Гладкая квартика есть пересечение образа $4$-го отображения
Веронезе и общей гиперплоскости. }


\теорема
{\бф \блуе (Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\
Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие
размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение,
трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i<m-1$,
отображение гомотопических групп $\pi_i(Z\cap H) \arrow\pi_i(Z)$ --
изоморфизм.}

{\бф \греен Доказательство см. ниже. }


\следствие 
{\бф \ред Гладкая двумерная квартика является \\ К3-поверхностью}.

В самом деле, $\pi_1(Z)=\pi_1(\C P^3)=0$ по теореме Лефшеца, примененной
к образу Веронезе.


\невпаге

{\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$ (повторение) }

\определение Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие,
$I:\; TM \arrow TM$ -- {\бф \блуе оператор комплексной структуры},
$I^2=-\Id_{TM}$. {\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется
формулой $d^c:=I^{-1} d I$.

\утверждение
Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие.
Тогда  {\bf \blue  
$\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$
-- компоненты в разложении Ходжа $d$}: 
$\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. 

\теорема 
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие.
{\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны:}

1. $I$ интегрируемо.\ \ \\ 2. $\6^2=0$.\ \ \\
3. $\bar\6^2=0$.\ \ \\
4. $dd^c =- d^c d$\ \ \\
5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$.


\невпаге

{\бф \блуе  Плюрисубгармонические функции Морса}


\определение
Если на многообразии $M$ заданы координаты $x_1,..., x_{2n}$,
можно определить {\бф \блуе гессиан} функции $f\in C^\infty M$:
$\Hess(f)=\sum_i \frac{d^2f}{dx_idx_j}\cdot dx_i\otimes dx_j\in \Sym^2 M$.
{\бф \пурпле В точках, где $df=0$, гессиан не зависит
от выбора координат} {\бф \ред (проверьте это).}
Функция $f$ называется {\бф \блуе морсовской},
если во всех ее критических точках, $\Hess(f)$ --
невырожденная билинейная симметрическая форма. 
{\бф \блуе Индекс} критической точки $z$ есть
количество отрицательных собственных значений
у $\Hess(f)\restrict{T_zM}$.


\определение
Функция $f$ на комплексном многообразии $M$
называется {\бф \блуе плюрисубгармонической},
если $dd^c f$ есть положительная (1,1)-форма, 
то есть $dd^cf(x,Ix)\geq 0$ для любого $x\in TM$,
и {\бф \блуе строго плюрисубгармонической},
если $dd^cf(x,Ix)>0$ для любого ненулевого $х\in TM$.

\пример
$f=|z|^2$ строго плюрисубгармонична на $\C^n$.

\утверждение
Пусть $f$ -- строго плюрисубгармоническая функция Морса на $n$-мерном многообразии.
{\бф \ред Тогда индекс критических точек $f$ не превосходит $n$}.

{\ем \греен Доказательство см. следующий слайд.}

\невпаге


{\бф \блуе  Плюрисубгармонические функции Морса (продолжение)}

\утверждение
Пусть $f$ -- строго плюрисубгармоническая функция Морса на $n$-мерном многообразии.
{\бф \ред Тогда индекс критических точек $f$ не превосходит $n$}

\дшаг
Поскольку $dd^c f=2 \1 \6\bar\6 f$ -- (1,1)-форма, она $I$-инвариантна:
$dd^cf(Ix,Iy)= dd^cf(x,y)$. 
Значит, $dd^cf(Ix,y)=dd^cf(I^2x,Iy) = - dd^c(x,Iy)f=dd^c(Iy,x)f$.
Мы получили, что {\бф \пурпле форма $\Hess_c(f):= dd^cf(x, Iy)$ симметрическая.}
Эта форма называется {\бф \блуе комплексный гессиан}. Для плюрисубгармонических
функций, она неотрицательно определена.

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть координаты $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$ на $M$ таковы,
что $I(dx_i)=dy_i$, а $I(dy_i)=-dx_i$. Тогда
\[dd^c(f)=
   \sum_i dx_i \wedge dy_i \left(\frac{d^2f}{dx_i^2}+\frac{d^2f}{dy_i^2}\right),
\]
что дает 
 \[ 
  \Hess_c(f)= \sum_i \left(\frac{d^2f}{dx_i^2}+\frac{d^2f}{dy_i^2}\right)
   [dx_i \otimes dx_i + dy_i \otimes dy_i]
\]
{\бф \ред Мы получили $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$.}


\невпаге

{\бф \блуе  Плюрисубгармонические функции Морса (окончание)}

{\бф \ред Мы получили $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Для любой строго плюрисубгармонической функции
Морса, все собственные значения ее комплексного гессиана
положительны. Пусть $m$ -- критическая точка $f$,
а $dz_1, ..., dz_{2n}\in T_mM$ -- базис, в котором
$\Hess(f)$ и $I\Hess(f)$ ортогональны. Такой базис 
существует для любой пары билинейных симметрических 
форм, если одна из них положительно
определена; {\бф \пурпле проверьте это},
и примените к паре форм $\Hess_c(f)$, $\Hess(f)$.


{\бф \греен Шаг 4:} Пусть
$\Hess(f)(dz_i, dz_i)=\alpha_i$, а $\Hess(f)(dz_i, dz_i)=\beta_i$.
Поскольку формы $\Hess(f)$, $I\Hess(f)$ сопряжены,
у них одинаковая сигнатура. Тогда 
$\Hess_c(f)(dz_i, dz_i)=\alpha_i+\beta_i$. 
Поскольку форма $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$
положительно определена, $\alpha_i+\beta_i> 0$,
то есть {\бф \ред как минимум половина $\alpha_i$ 
неотрицательна. } \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении}

\определение
Пусть $f$ -- функция Морса на гладком многообразии $M$,
а $\grad f$ ее градиентное векторное поле. {\бф \блуе
Стабильное многообразие} критической точки $m$ есть все
точки $z\in M$ такие, что $\lim\limits_{t\arrow \infty} e^{-t \grad f}z=m$.

\упражнение
Пусть $Z_m$ -- стабильное многообразие критической
точки $m$ индекса $p$. {\бф \пурпле Докажите, что $Z_m$ гладкое, $p$-мерное
подмногообразие в $M$.}


\теорема
{\бф \блуе (Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\
Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие
размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение,
трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i<m-1$,
отображение гомотопических групп $\pi_i(Z\cap H) \arrow\pi_i(Z)$ --
изоморфизм.}

\дшаг 
Рассмотрим функцию $f:=|z|^2$
на $\C P^n\backslash H=\C^n$, пошевелим ее таким образом,
чтобы она оставалось плюрисубгармоничной, но стала морсовской
на $Z\backslash (H\cap Z)$ {\бф \ред (докажите, что это возможно)}.

\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $S_i\subset Z\backslash (H\cap Z)$ -- стабильные
множества всех критических точек $f$ на $Z$. Тогда {\бф \пурпле
$Z\cap H$ является деформационным ретрактом $Z_0:=Z \backslash \bigcup_i S_i$}.
Для доказательства сего, рассмотрим отображение
$z \arrow e^{-t\grad f}$, и устремим $t$ к бесконечности;
для любого $z\in Z_0$, {\бф \ред предел лежит на $Z\cap H$,
и непрерывно зависит от $t\in[0, \infty]$ и $z$.}


{\бф \греен Шаг 3:}
Поскольку $f$ плюрисубгармонична, 
индекс критических точек $f$ не превосходит $n$.
Значит, $\dim S_i \leq n$. В силу предыдущего шага,
$Z_0$ гомотопически эквивалентно $H\cap Z$.
Теперь {\бф \пурпле теорема Лефшеца вытекает из следующей 
топологической леммы.}


\лемма
Пусть $Z$ -- гладкое многообразие, а $S_i$ -- набор 
гладких подмногообразий в $Z$, $\codim \dim S_i \geq n$.
Обозначим за $Z_0$ дополнение $Z_0:=Z \backslash \bigcup_i S_i$
Тогда естественное вложение $Z_0\arrow Z$ 
{\бф \ред индуцирует изоморфизм гомотопических групп}
$\pi_i(Z_0) \cong \pi_i(Z)$ для всех $i<n-1$,
и сюрьективно для $i=n-1$.

\невпаге


{\бф \блуе  Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении (окончание)}


\лемма
Пусть $Z$ -- гладкое многообразие, а $S_i$ -- набор 
гладких подмногообразий в $Z$, $\codim \dim S_i \geq n$.
Обозначим за $Z_0$ дополнение $Z_0:=Z \backslash \bigcup_i S_i$
Тогда естественное вложение $Z_0\arrow Z$ 
{\бф \ред индуцирует изоморфизм гомотопических групп}
$\pi_i(Z_0) \cong \pi_i(Z)$ для всех $i<n-1$,
и сюрьективно для $i=n-1$.

\дшаг
Чтобы убедиться, что $\pi_i(Z_0)\stackrel j\arrow \pi_i(Z)$
сюрьективно, возьмем какой-то элемент в $\pi_i(Z)$,
{\бф \пурпле представим его иммерсией сферы $\Sigma^i\arrow Z$ и 
продеформируем эту сферу, чтобы она стала трансверсальна
к $S_i$.} Это можно сделать, когда $i<\codim_M S_i \leq n-1$.
Поскольку $\Sigma^i\subset Z_0$, ее класс в $\pi_i(Z)$
 лежит в образе $j$.

{\bf \green Шаг 2:}  
Пусть $\Sigma^i\arrow Z_0$ -- отображение сферы,
гомотопное нулю в $Z$. {\бф \пурпле Гомотопию можно изобразить
как отображение из $i+1$-мерного 
шара $B^{i+1}$ в $Z$, граница которого переходит на $\Sigma^i$.}
И сферу и гомотопию можно выбрать гладкой, потом пошевелить, чтобы
образ $B^{i+1}$ пересекал $S_i$ трансверсально.
Поэтому, если $i+1< \codim S_i \geq n$, образ шара
не будет пересекать $S_i$, что дает гомотопию образа 
$\Sigma^i$ в точку внутри $Z_0$. \ендпрооф.



\end{document}

