\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small K3 на Фонтанке, лекция 3 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf K3 на Фонтанке, \\[15mm] \small лекция 3: локальная теорема Торелли} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017 \\[2mm] 5 июля 2017 } \end{center} \newcommand{\Kah}{\operatorname{Kah}} \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}} \newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{Per}} \newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}} \newpage {\bf \blue Пространства Фреше} {\bf \green Определение:} Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$. Функция $\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\bf \blue полунормой} на $V$, если имеет место следующее \\ (*) {\bf \purple Неравенство треугольника:} $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.\\ (**) {\bf \purple Инвариантность относительно гомотетии:} $\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$.\\ Векторное пространство с полунормой наделено {\бф \блуе полуметрикой,} по формуле $d(x,y) = \nu(x-y)$. \определение Пусть $(V, \{\nu_\alpha\})$ -- пространство, снабженное системой полунорм. Последовательность $x_i$ {\бф \блуе сходится к $x$ в этой системе полунорм}, если $\lim_i \nu_\alpha(x_i-x)=0$ для всех полунорм $\nu_\alpha$. Говорится, что $(M, \{d_\alpha\})$ {\bf \blue полно}, если {\бф \purple каждая последовательность Коши имеет предел в топологии, заданной полуметриками.} {\bf \green Определение:} Пусть $V$ -- топологическое векторное пространство с хаусдорфовой топологией. $V$ называется {\bf\blue пространством Фреше}, когда топология на $V$ может быть задана полной, счетной системой полунорм $\{\nu_\alpha\}$. \newpage {\bf \blue Пространство гладких функций на отрезке} {\bf \green Определение:} Пусть $C^\infty([0,1])$ -- пространство гладких функций на отрезке. Рассмотрим, для каждого $n$, норму $|f|_{C^n}$, определенную следующим образом: \[ |f|_{C^0}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, \ \ |f|_{C^1}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+ |f'(x)|, \ \ ..., \] \[ |f|_{C^n}:= \sup_{x\in [0,1]} \sum_{i=0}^n |f^{(i)}(x)| . \] {\bf\green Утверждение:} \\ {\bf \red $C^\infty([0,1])$ с такой системой полунорм -- пространство Фреше.} {\bf \green Доказательство:} Поскольку \[ |\phi|_{C^n} \geq \left|\phi^{(k)}\right|_{C^{n-k}}, \] {\bf\purple для любой последовательности Коши $\{f_i\}$, $\{f_i^{(k)}\}$ -- тоже последовательность Коши.} Предел последовательности $\{f_i\}$ будет $k$-кратной первообразной для предела $\{f_i^{(k)}\}$, значит, предел $\{f_i\}$ -- гладкий. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Многообразия Фреше} \определение {\бф \блуе Многообразие Фреше} есть топологическое пространство, снабженное атласом $\{U_i\}$, где каждая из карт $U_i$ реализована как открытое подмножество в каком-то пространстве Фреше, а все функции перехода гладкие. \определение {\бф \блуе Гладкое отображение} многообразий Фреше - такое, которое задается гладкими отображениями в каждой из карт. \определение {\бф \блуе Группа Ли-Фреше} есть группа, снабженная структурой многообразия Фреше, таким образом, что все групповые операции являются гладкими. \замечание Заменив "Фреше" на "банаховы", получим определение {\бф \блуе банахова многообразия} и {\бф \блуе банаховой группы Ли}. \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера } \замечание Отныне и до конца лекции, {\бф \пурпле многообразие $M$ предполагается компактным.} \определение Пусть $\Diff_0(M)$ -- связная компонента группы диффеоморфизмов, а $\Symp$ -- многообразие Фреше всех симплектических форм на $M$. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера $\Teich_s$ симплектических форм на $M$} есть фактор $\Teich_s:=\Symp/\Diff_0(M)$, с индуцированной топологией. \замечание Аналогичным образом определяется пространство Тейхмюллера комплексных структур, эрмитовых, кэлеровых, гиперкэлеровых и так далее. \newpage {\бф \блуе Теорема Мозера и отображение периодов} \определение Пусть $\Diff_0(M)$ -- связная компонента группы диффеоморфизмов, а $\Symp$ -- многообразие Фреше всех симплектических форм на $M$. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера $\Teich_s$ симплектических форм на $M$} есть фактор $\Teich_s:=\Symp/\Diff_0(M)$, с индуцированной топологией. \определение {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich_s\stackrel \Per \longrightarrow H^2(M,\R)$ переводит симплектическую форму $\omega$ в ее класс когомологий $[\omega]$. \теорема {\бф \блуе (Мозер)} Пусть $М$ -- компактное симплектическое многообразие, а $\Teich_s$ -- симплектическое пространство Тейхмюллера. В какой-то окрестности $U\subset \Teich_s$ каждой точки $x\in\Teich_s$, {\бф \ред отображение периодов $\Teich_s\arrow H^2(M,\R)$ -- гомеоморфизм $U$ на его образ.} Пусть $\Symp_\omega$ -- множество всех симплектических структур на $M$, класс когомологий которых равен $[\omega]$. Для доказательства теоремы Мозера {\бф \пурпле достаточно проверить, что $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega$ в какой-то окрестности $\omega$.} \теорема (теорема Мозера, вариант 2)\\ Пусть $\Symp_\omega^0$ -- связная компонента $\Symp_\omega$. {\бф \ред Тогда $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega^0$} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера и локальная связность} Поскольку $\Symp_\omega$ -- открытая часть линейного пространства, $\Symp_\omega$ локально линейно связно. Поэтому {\бф \пурпле теорема Мозера следует из следующей теоремы.} \теорема {\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\ Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$. Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны. {\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм $\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.} {\бф \греен Доказательство:} Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения $\frac{d\Psi_t}{dt}=X_t$, где $X_t\in TM$ -- векторное поле, зависящее от параметра $t$. {\бф \греен Шаг 1:} Поскольку $\omega_t$ все когомологичны, форма $\frac {d\omega_t}{dt}$ точна. Значит, $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t\in \Lambda^1(M)$. Пусть $X_t$ -- векторное поле, такое, что $\omega_t\cntrct X_t=\eta_t$. {\бф \пурпле По формуле Картана, $\Lie_{X_t}\omega_t= d(\omega_t\cntrct X_t)= d\eta_t =\frac {d\omega_t}{dt}$.} {\бф \греен Шаг 2:} Интегрируя по $t$ обе части $\Lie_{X_t}\omega_t=\frac {d\omega_t}{dt}$, получаем \[ \Psi_{t_1}^*\omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\omega_tdt = \int_{0}^{t_1}\frac {d\omega_t}{dt} dt =\omega_{t_1}. \] \endproof \newpage {\бф \блуе K3-поверхности (повторение)} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухдаль-Ламари). \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} Это утверждение - прямое следствие теоремы Калаби-Яу, о которой я расскажу потом. \следствие {\бф\ред К3-поверхность голоморфно симплектична.} (то есть допускает невырожденную, замкнутую (2,0)-форму) \невпаге {\бф \блуе Комплексные структуры и симплектические 2-формы} \определение Пусть $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- комплексная 2-форма. Такая форма называется {\бф \блуе невырожденной}, если $\Re \Omega$ либо $\Im \Omega$ -- невырожденные 2-формы. \теорема Пусть $M$ -- вещественное 4-мерное многообразие, а $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- замкнутая, невырожденная комплексная 2-форма. Предположим, что $\Omega^2=0$. Тогда {\бф \ред на $M$ существует комплексная структура $I$ такая, что $\Omega$ -- голоморфная симплектическая форма на $(M,I)$.} {\бф \греен Доказательсво через пару слайдов.} \следствие Пусть $M$ -- К3-поверхность, а $V$ -- множество всех невырожденных комплексных 2-форм $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. Рассмотрим проективизацию ${\Bbb P}V:=V/\C^*$. Тогда {\бф \ред множество ${\Bbb P}V$ находится в биективном соответствии с множеством $\Comp(M)$ комплексных структур на $M$.} \невпаге {\bf \blue Интегрируемые почти комплексные многообразия (повторение)} \определение Почти комплексное многообразие $(M,I)$ называется {\бф \блуе интегрируемым}, если $M$, окольцованное пучком голоморфных функций, является комплексным многообразием. \определение Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие, $T^{1,0}\subset TM\otimes \C$ -- подрасслоение векторов типа $(1,0)$, а $[T^{1,0},T^{1,0}] \stackrel N\arrow TM\otimes \C / T^{1,0}$ -- скобка Фробениуса. Отождествив $TM\otimes \C / T^{1,0}$ с $T^{0,1}$, мы представим $N$ как оператор \[ N:\; \Lambda^2(T^{1,0}M) \arrow T^{0,1}M. \] \определение Этот оператор называется {\бф\блуе тензором Ниейхойса} (Nijenhuis tensor). Его можно преставить как сечение $N\in \Lambda^{2,0}M\otimes T^{0,1}M$. \теорема Пусть $(M,I)$ -- гладкое почти комплексное многообразие, причем $[T^{0,1}, T^{0,1}] \subset T^{0,1}$. {\bf \red Тогда почти комплексная структура $I$ интегрируема.} \замечание {\бф \пурпле Это то же самое, что зануление тензора Ниейхойса.} \замечание Подрасслоение $B\subset TM$, удовлетворяющее $[B,B]\subset B$, называется {\бф \блуе инволютивным.} \невпаге {\бф \блуе Комплексные структуры и симплектические 2-формы} \определение Пусть $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- комплексная 2-форма. Такая форма называется {\бф \блуе невырожденной}, если $\Re \Omega$ либо $\Im \Omega$ -- невырожденные 2-формы. \теорема Пусть $M$ -- вещественное 4-мерное многообразие, а $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- замкнутая, невырожденная комплексная 2-форма. Предположим, что $\Omega^2=0$. Тогда {\бф \ред на $M$ существует комплексная структура $I$ такая, что $\Omega$ -- голоморфная симплектическая форма на $(M,I)$.} \дшаг Поскольку $\Omega^2=0$, форма $\Omega$ {\бф \ред разложима}, то есть представляется в виде $\Omega= \xi\wedge \zeta$ для каких-то 1-форм $\xi, \zeta \in \Lambda^2(M,\C)$ {\bf \red (докажите это).} {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \блуе Ядро} формы $\Omega$ есть множество всех векторов $x\in TM\otimes_\R \C$, таких, что $\Omega(x, \cdot)=0$. {\bf \purple В силу шага 1, $\dim_\C \ker \Omega\geq 2$.} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим $\Re\Omega$ за $\omega_1$ и $\Im\Omega$ за $\omega_2$. Поскольку $\Omega^2=0$, имеем {\бф \пурпле $\omega_1^2=\omega_2^2$ и $\omega_1\wedge\omega_2=0$.} Значит, {\бф \пурпле форма $\Omega\wedge \bar \Omega=\omega_1^2+\omega_2^2= 2\omega_1^2$ невырожденна.} \невпаге {\бф \блуе Комплексные структуры и симплектические 2-формы\\ (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим $\Re\Omega$ за $\omega_1$ и $\Im\Omega$ за $\omega_2$. Поскольку $\Omega^2=0$, имеем {\бф \пурпле $\omega_1^2=\omega_2^2$ и $\omega_1\wedge\omega_2=0$.} Значит, {\бф \пурпле форма $\Omega\wedge \bar \Omega=\omega_1^2+\omega_2^2= 2\omega_1^2$ невырожденна.} {\бф \греен Шаг 4:} Значит, $\dim_\C \ker \Omega> 1$. Поскольку $\Omega$ симплектична на $TM/\ker \Omega$, пространство $\ker \Omega$ четномерно. Из шага 2 получаем, что $\dim \ker \Omega=2$ везде на $M$, то есть {\бф \ред $\ker \Omega$ есть двумерное подрасслоение в $TM\otimes_\R \C$.} {\бф \греен Шаг 5:} По формуле Картана, $ 0 = d\Omega(x,y,z) =\Lie_x \Omega(x,y) - \Lie_y \Omega(x,z)+ \text{\ \ \ \ \ \ \ } \Lie_z\Omega(x,y)+ \Omega([x,y],z) - \Omega(y,[x,z]) + \Omega(x,[y,z]).\ \ \ (*)$\\ Если $x, y \in \ker\Omega$, все слагаемые (*), кроме одного, автоматически зануляются, и мы получаем $\Omega([x,y],z)=0$ (для любого $z$), иначе говоря, $[x,y]\in \ker \Omega$, и {\бф \пурпле $\ker \Omega$ -- инволютивное подрасслоение.} {\бф \греен Шаг 6:} Локально, имеем $\Omega=\xi\wedge \zeta$. Если плоскость $\langle \xi, \zeta\rangle$, порожденная $\xi, \zeta$, пересекается с $\langle \bar\xi, \bar\zeta\rangle$, мы получим $\Omega\wedge \bar \Omega=0$. В силу шага 3, это невозможно. Значит, {\бф \пурпле $\ker \Omega$ не пересекается с $\overline{\ker \Omega}$.} {\бф \греен Шаг 7:} Рассмотрим оператор $I:\; TM\arrow TM$, который равен $\1$ на $\ker \Omega$ и $-\1$ на $\overline{\ker \Omega}$. Поскольку $\bar I = I$, это оператор почти комплексной структуры. {\бф \ред $T^{1,0}M=\ker \Omega$ инволютивно, значит, $I$ интегрируема.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера и отображение периодов} \определение Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти комплексных структур на многообразии, с топологией, индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$ есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов). \определение Пусть $M$ есть К3-поверхность. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$ сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую $H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$. \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов для К3-поверхности} \замечание Пусть $l\in \Per(\Teich(M))$ - класс когомологий в образе отображения периодов. Тогда $l\wedge l=0$ (потому что это (2,0)-форма) и $l\wedge \bar l>0$, потому что $l$ локально представлено формой $\xi\wedge\zeta$ для каких-то $\xi,\zeta\in \Lambda^{1,0}(M,I)$ и $l\wedge\bar l=\xi\wedge\zeta\wedge \bar\xi\wedge\bar\zeta$. \определение {\бф\блуе Пространство периодов} К3-поверхности есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$ состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что $l\wedge l=0$ и $l\wedge \bar l>0$. {\бф \блуе Отображение периодов} есть отображение $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$. \теорема {\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} Эта теорема - основное утверждение сегодняшней лекции. \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов и $++$-грассманиан} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство, снабженное скалярным произведением $q$. Обозначим за $\Perspace(V)$ множество прямых $l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих $q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть $\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных 2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких, что $q\restrict W$ положительно определено. \утверждение Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$, рассмотрим оператор поворота на $\frac \pi 2$ против часовой стрелки: $I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за $P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую, порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$. Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию $P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.} \следствие {\бф \ред Пространство периодов для К3-поверхности изоморфно $SO(19,3)/SO(2)\times SO(19,1)$.} Основное утверждение этой лекции -- \теорема {\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} Чтобы доказать открытость этого отображения, нам понадобятся гиперкэлеровы структуры. \невпаге {\бф \блуе Гиперкэлеровы структуры} \определение {\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие} есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами $I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям: $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$. {\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие} есть гиперкомплексное многообразие, снабженное римановой метрикой $g$, которая кэлерова по отношению к $I,J,K$. \замечание Кэлеровость $I$ равносильна условию $\nabla(I)=0$, где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита, a гиперкэлеровость -- {\бф \пурпле условию $\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$ плюс кватернионные соотношения.} \теорема {\бф \блуе (Калаби-Яу)} Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $[\omega]\in H^2(M,\R)$ ee кэлеров класс, $\Omega$ -- голоморфная симплектическая форма. Предположим, что $\Re\Omega^2=[\omega]^2$. Тогда {\бф \ред на $(M,I)$ существует и единственна гиперкэлерова структура, такая, что $[\omega_I]=[\omega]$, $\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$.} \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера гиперкэлеровых структур} \определение Для гиперкэлеровой структуры на поверхности, $\int_M \omega_I\wedge \omega_J=\int \omega_I\wedge \omega_K= \int \omega_J\wedge \omega_K=0$, $\int_M \omega_I^2= \int_M \omega_J^2=\int_M \omega_K^2$ {\бф \ред (проверьте это).} Назовем $n$-ку векторов, удовлетворяющую этим условиям, {\бф \блуе конформно ортонормированными}. \определение {\бф \блуе Группа изотопий} $\Diff_0(M)$ многообразия $M$ есть связная компонента группы диффеоморфизмов $M$. \определение {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich_{hk}(M)$ гиперкэлеровых структур есть фактор пространства всех гиперкэлеровых структур на $M$ по $\Diff_0(M)$. \определение Обозначим за $\St^c_3(H^2(M,\R))$ пространство конформно ортонормированных троек классов $\omega_1, \omega_2, \omega_3\in H^2(M,\R)$. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ переводит гиперкэлерову структуру $I,J,K, g$ в тройку $\omega_I, \omega_J,\omega_K\in \St^c_3(H^2(M,\R))$ \определение {\бф \блуе Открытое отображение} есть отображение, переводящее открытые множества в открытые. \теорема Пусть $M$ - К3-поверхность. Тогда {\бф \ред отображение $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\longrightarrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ открыто в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}. \невпаге {\бф \блуе Деформации кэлеровых структур} \замечание На любом комплексном многообразии, {\бф \пурпле форма $\omega$ кэлерова, если она типа $(1,1)$, замкнута, и удовлетворяет $\omega(x,Ix)>0$ для всех ненулевых $x\in T_mM$.} \утверждение Пусть $(M,I,\omega)$ -- компактное кэлерово многообразие, а $\Kah(M)\subset H^{1,1}(M)$ -- кэлеров конус (множество кэлеровых классов). Введем на $H^2(M)$ евклидову метрику $E$. Тогда {\bf \red существует $\epsilon_g >0$ такое, что $\epsilon$-шар $B:=B_{E,\epsilon_g}([\omega])$ с центром в $\omega$ содержится в $\Kah(M)$.} Более того, $\epsilon_g$ непрерывно зависит от $g$, $I$ и их производных. \доказательство Выберем сечение $H^2(M) \stackrel \psi \arrow \Lambda^2(M)_{\text{closed}}$, например, выбрав гармонический представитель у каждой формы. Небольшая деформация эрмитовой формы в классе $I$-инвариантных форм снова эрмитова, значит, для небольших $\alpha \in H^{1,1}(M)$, $\omega+ \psi(\alpha)$ это кэлерова форма. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Образ отображения периодов для гиперкэлеровых структур} \теорема Пусть $M$ - К3-поверхность. {\бф \ред Тогда образ $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ открыт в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}. \дшаг Рассмотрим ортогональное дополнение $\langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot\subset H^2(M,\R)$. Тогда \[ \langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot=H^{1,1}(M,I). \] В самом деле, $\int \eta\wedge \Omega=0$ для любой (1,1)-формы $\eta$ {\бф \ред (а почему?)}, а $\dim \langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot=\dim h^{1,1}(M)$ {\бф \пурпле (проверьте)}. {\бф \греен Шаг 2:} Каждый кэлеров класс $[\omega]\in H^{1,1}(M,I)$, удовлетворяющий $\int_M[\omega]^2=\int_M \Re\Omega^2,$ {\бф \пурпле является классом $\omega_I$ для какой-то гиперкэлеровой структуры,} в силу теоремы Калаби-Яу. Значит, $\Per(\Teich_{hk}(M))$ вместе с каждой тройкой $\omega_1, \omega_2, \omega_3\in \St^c_3(H^2(M,\R))$ содержит множество всех троек вида $\omega_1', \omega_2, \omega_3\in \St^c_3(H^2(M,\R))$, для всех $\omega_1'\in S$, где $S\subset \langle \omega_2,\omega_3\rangle^\bot$ -- пересечение $\Kah(M,I)$ и сферы радиуса $\int_M\omega_1^2$. \невпаге {\бф \блуе Отображение периодов для гиперкэлеровых структур (2)} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $\pi:\; X\arrow Y$ -- локально-тривиальное гладкое расслоение многообразий. Назовем {\бф \блуе субрасслоением} такое подмножество $U\subset X$, что все слои отображения $\pi:\; U \arrow \pi(Y)$ открыты в слоях $\pi$, причем для каждой точки $U$ найдется окрестность $U'\subset U$, которая локально-тривиально расслоена над $\pi(U')$. Мы доказали, что {\бф \ред забывающая проекция $\Per(\Teich_{hk}(M)) \arrow \St^c_2(H^2(M,\R))$ -- субрасслоение.} {\бф \греен Шаг 4:} Теперь утверждение теоремы сводится к следующему геометрическому наблюдению: \лемма Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство с невырожденным скалярным произведением, а $\St_k(V)$ -- многообразие ортонормированных $k$-реперов, $k>1$. Рассмотрим отображения забывания \\ $\St_k(V)\arrow \St_{k-1}(V)$ (их $k$ штук: $\pi_1, ..., \pi_k$). Пусть $U\subset \St_k(V)$ -- какое-то подмножество, такое, что $\pi_i\restrict U$ -- субрасслоение для всех $i$. {\бф \ред Тогда $U$ открыто в $\St_k(V)$.} \невпаге {\бф \блуе Образ отображения периодов для гиперкэлеровых структур: простая геометрическая лемма} \лемма Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство с невырожденным скалярным произведением, а $\St_k(V)$ -- многообразие ортонормированных $k$-реперов, $k>1$. Рассмотрим отображения забывания \\ $\St_k(V)\arrow \St_{k-1}(V)$ (их $k$ штук: $\pi_1, ..., \pi_k$). Пусть $U\subset \St_k(V)$ -- какое-то подмножество, такое, что $\pi_i\restrict U$ -- субрасслоение для всех $i$. {\бф \ред Тогда $U$ открыто в $\St_k(V)$.} \доказательство Ограничимся $k=2$, для $k>2$ доказательство аналогично. Поскольку отображение $\pi_i:\; U \arrow \pi_i(U)$ открыто, достаточно доказать, что его образ открыт. Рассмотрим двойное слоение на $\St_2(V)$, составленное из слоев $\pi_1$, $\pi_2$; вместе с каждой точкой, $U$ содержит окрестность содержащего ее листа обоих слоений, значит, открыто. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Открытость отображения периодов} \следствие {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ открыто.} \доказательство Рассмотрим следующую диаграмму пространств Тейхмюллера и пространств периодов: {\small \[\begin{CD} \Teich_h^{\Vol}(M) @>\Per >> \St_3(H^2(M,\R))\\ @VVV @VVV\\ \Teich(M) @>\Per >> \Gr_{+,+}(V) \end{CD} \]} Здесь первая вертикальная стрелка переводит $(M,I,J,K,g)$ в $(M,I)$, вторая переводит $(\omega_I,\omega_J,\omega_K)\in \St_3(H^2(M,\R))$ в $\langle \omega_J,\omega_K\rangle$. Вертикальные стрелки представляют собой локально тривиальные расслоения, поэтому открыты, верхнее отображение периодов открыто, как было уже доказано, а нижнее открыто в силу коммутативности этой диаграммы. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Локальная теорема Торелли (доказательство)} \упражнение Пусть $M$ -- К3. Рассмотрим отображение периодов $\Psi:\; \Comp(M) \arrow \Perspace$. {\бф \ред Тогда все слои $\Psi$ локально линейно связны.} \указание $\Comp(M)$ -- пространство всех замкнутых, невырожденных комплексно-значных 2-форм, удовлетворяющих $\Omega^2=0$, то есть пересечение квадрик в линейном пространстве, то есть многообразие. \теорема {\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} \дшаг Поскольку $\Per$ открыто, и непрерывно, {\бф \пурпле достаточно показать, что в окрестности каждой точки $I\in \Teich(M)$ оно задает биекцию этой окрестности на ее образ.} \невпаге {\бф \блуе Доказательство локальной теоремы Торелли (2)} {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим диаграмму { \[\begin{CD} \Comp(M) @>\Psi >> \Perspace \\ @V{\Psi_0} VV @V{\Id}VV\\ \Teich(M) @>\Per >> \Perspace \end{CD} \]} Осталось проверить, что {\бф \пурпле каждая связная компонента слоя $\Psi$ равна связной компоненте слоя $\Psi_0$, то есть орбите $\Diff_0(M)$.} {\бф \греен Шаг 3:} Как и в доказательстве теоремы Мозера, мы свели локальную теорему Торелли к следующему утверждению. {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $I_t:\; [0,1]\arrow \Comp(M)$ -- семейство комплексных структур на К3, причем периоды у них одинаковы. {\бф \ред Тогда существует семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, переводящих $I_0$ в $I_t$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера для отображения периодов} Комплексные структуры находятся в биективном соответствии с ${\Bbb P}\widetilde \Comp(M)$, где $\widetilde \Comp(M)$ -- множество замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм $\Omega$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. Отображение периодов переводит $\Omega\in \widetilde \Comp(M)$ в его класс когомологий. Значит, Теорема 1 вытекает из следующей. {\бф \греен Теорема 2:} Пусть $\Omega_t:\; [0,1]\arrow \widetilde\Comp(M)$ -- семейство замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм, удовлетворяющих $\Omega^2=0$, причем класс когомологий $[\Omega_t]\in H^2(M,\C)$ не зависит от $t$. {\бф \ред Тогда существует семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, таких, что $V_t^*\Omega_0=\Omega_t$.} \дшаг Пусть $\Omega'_t:=\frac {d\Omega_t}{dt}$. Если найдется векторное поле $X_t$ такое, что $\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$, то \[ V_{t_1}^*\Omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\Omega_tdt = \int_{0}^{t_1}\frac {d\Omega_t}{dt} dt =\Omega_{t_1} \] для потока диффеоморфизмов $V_t$, полученного из формулы $\frac{dV_t}{dt}=X_t$. {\бф \ред Осталось найти $X_t$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера для отображения периодов (2)} {\бф \ред Нам нужно найти векторное поле $X_t$ такое, что $\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$.}\\ {\бф \греен Шаг 2:} Отображение подстановки $\Lambda^{2,0}M\otimes_\R T_\R M\arrow \Lambda^{1,0}(M)$ сюрьективно {\бф \пурпле (проверьте).} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку $\Omega'_t$ точна, имеем $\Omega'_t= d\alpha_t$. Если $\alpha_t$ -- (1,0)-форма, ее можно получить как $\Omega_t\cntrct X_t$ в силу предыдущего шага, что дает $\Omega'_t=d\alpha_t = d(\Omega_t\cntrct X_t) = \Lie_{X_t}\Omega_t$. {\бф \ред Для доказательства осталось найти $\alpha_t \in \Lambda^{1,0}(M)$ такую, что $\Omega'_t= d\alpha_t$.} {\бф \греен Шаг 4:} Дифференцируя $\Omega_t^2=0$, получаем $\Omega'_t\wedge \Omega_t=0$. {\бф \пурпле Это дает $\Omega'_t\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$.} {\бф \греен Шаг 5:} В силу шага 3 и шага 4, {\бф \пурпле Теорема 2 следует из такой леммы.}\\ \лемма Пусть $M$ компактное кэлерово многообразие, $H^{0,1}(M)=0$, а $\eta\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$ -- точная. {\бф \ред Тогда $\eta = d\alpha$, для какой-то $\alpha \in \Lambda^{1,0}(M)$.} \дшаг Пусть $\eta=d\beta$, где $\beta=\beta^{1,0}+\beta^{0,1}$ Поскольку $\eta \in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$, имеем $\bar\6(\beta^{0,1})=0$. Первые когомологии комплекса $(\Lambda^{0,*}(M),\bar\6)$ зануляются, потому что $H^{0,1}(M)=0$, а значит, $\beta^{0,1}= \bar\6\psi$. {\бф \греен Шаг 2:} Получаем $\eta=d(\beta-d\psi)$, а $\beta-d\psi=\beta^{1,0}+\beta^{0,1} -\6\psi-\beta^{0,1}$ -- (1,0)-форма. \ендпрооф \end{document}