

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small K3 на Фонтанке, лекция 3 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf K3 на Фонтанке, \\[15mm]
\small лекция 3: локальная теорема Торелли}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf 
Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017
\\[2mm] 5 июля 2017
}
\end{center}

\newcommand{\Kah}{\operatorname{Kah}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}
\newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}}
\newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{Per}}
\newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}}

\newpage

{\bf \blue Пространства Фреше}

{\bf \green Определение:}
Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$.
Функция $\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ называется 
{\bf \blue полунормой} на
$V$, если имеет место следующее \\ 
(*) {\bf \purple Неравенство треугольника:} $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.\\
(**) {\bf \purple Инвариантность относительно гомотетии:}
$\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$.\\ 
Векторное пространство с полунормой наделено 
{\бф \блуе полуметрикой,}
по формуле $d(x,y) = \nu(x-y)$. 

\определение
Пусть $(V, \{\nu_\alpha\})$ -- пространство, снабженное
системой полунорм. Последовательность $x_i$ {\бф \блуе 
сходится к $x$ в этой системе полунорм}, если $\lim_i \nu_\alpha(x_i-x)=0$
для всех полунорм $\nu_\alpha$. Говорится, что $(M, \{d_\alpha\})$
{\bf \blue  полно}, если {\бф \purple  каждая последовательность Коши 
имеет предел в топологии, заданной полуметриками.}

{\bf \green Определение:}
Пусть $V$ -- топологическое векторное пространство
с хаусдорфовой топологией. 
$V$ называется {\bf\blue пространством Фреше},
когда топология на $V$ может быть
задана полной, счетной системой полунорм
 $\{\nu_\alpha\}$.
\newpage

{\bf \blue Пространство гладких функций на отрезке}

{\bf \green Определение:} Пусть $C^\infty([0,1])$ -- пространство
гладких функций на отрезке. Рассмотрим, для каждого $n$,
норму $|f|_{C^n}$, определенную следующим образом:
\[ |f|_{C^0}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, \ \ 
|f|_{C^1}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+ |f'(x)|, \ \ ..., \]
\[ |f|_{C^n}:= \sup_{x\in [0,1]} \sum_{i=0}^n |f^{(i)}(x)| .
\] 

{\bf\green Утверждение:} \\ {\bf \red $C^\infty([0,1])$  с такой
системой полунорм -- пространство Фреше.}

{\bf \green Доказательство:} Поскольку
\[ |\phi|_{C^n} \geq \left|\phi^{(k)}\right|_{C^{n-k}},
\]
{\bf\purple для любой последовательности Коши $\{f_i\}$,
$\{f_i^{(k)}\}$ -- тоже последовательность Коши.}
Предел   последовательности $\{f_i\}$ будет $k$-кратной
первообразной для предела $\{f_i^{(k)}\}$, значит,
предел $\{f_i\}$ -- гладкий. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Многообразия Фреше}

\определение
{\бф \блуе Многообразие Фреше} есть топологическое
пространство, снабженное атласом $\{U_i\}$, где каждая
из карт $U_i$ реализована как открытое подмножество 
в каком-то пространстве Фреше, а все функции перехода
гладкие.

\определение
{\бф \блуе Гладкое отображение}
многообразий Фреше - такое,
которое задается гладкими отображениями в каждой из карт.

\определение
{\бф \блуе Группа Ли-Фреше} есть группа, снабженная
структурой многообразия Фреше, таким образом,
что все групповые операции являются гладкими.

\замечание
Заменив "Фреше" на "банаховы", получим определение
{\бф \блуе банахова многообразия} и {\бф \блуе банаховой группы Ли}.

\невпаге

{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера }

\замечание
Отныне и до конца лекции, {\бф \пурпле многообразие
$M$ предполагается компактным.}

\определение
Пусть $\Diff_0(M)$ -- связная компонента группы
диффеоморфизмов, а $\Symp$ -- многообразие
Фреше всех симплектических форм на $M$.
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера $\Teich_s$ симплектических
форм на $M$} есть фактор $\Teich_s:=\Symp/\Diff_0(M)$,
с индуцированной топологией.

\замечание
Аналогичным образом определяется
пространство Тейхмюллера комплексных
структур, эрмитовых, кэлеровых, гиперкэлеровых
и так далее.


\newpage

{\бф \блуе Теорема Мозера и отображение периодов}

\определение
Пусть $\Diff_0(M)$ -- связная компонента группы
диффеоморфизмов, а $\Symp$ -- многообразие
Фреше всех симплектических форм на $M$.
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера $\Teich_s$ симплектических
форм на $M$} есть фактор $\Teich_s:=\Symp/\Diff_0(M)$,
с индуцированной топологией.

\определение
{\бф \блуе Отображение периодов} 
$\Teich_s\stackrel \Per \longrightarrow H^2(M,\R)$ переводит
симплектическую форму $\omega$ в ее класс когомологий
$[\omega]$.

\теорема
{\бф \блуе (Мозер)}
Пусть $М$ -- компактное симплектическое многообразие,
а $\Teich_s$ -- симплектическое пространство Тейхмюллера.
В какой-то окрестности $U\subset \Teich_s$ каждой точки $x\in\Teich_s$,
{\бф \ред отображение периодов $\Teich_s\arrow H^2(M,\R)$ --
гомеоморфизм $U$ на его образ.}

Пусть $\Symp_\omega$ -- множество всех симплектических
структур на $M$, класс когомологий которых равен $[\omega]$.
Для доказательства теоремы Мозера {\бф \пурпле достаточно проверить, что
$\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega$
в какой-то окрестности $\omega$.}

\теорема
(теорема Мозера, вариант 2)\\
Пусть $\Symp_\omega^0$ -- связная компонента
$\Symp_\omega$. {\бф \ред Тогда $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на 
$\Symp_\omega^0$}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Мозера и локальная связность}


Поскольку $\Symp_\omega$ -- открытая часть линейного
пространства, $\Symp_\omega$ локально
линейно связно.


Поэтому {\бф \пурпле теорема Мозера следует из следующей теоремы.}

\теорема
{\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\
Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических
форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$.
Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны.
{\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм
$\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.}

{\бф \греен Доказательство:}
Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения
$\frac{d\Psi_t}{dt}=X_t$, где $X_t\in TM$ -- векторное
поле, зависящее от параметра $t$.

{\бф \греен Шаг 1:} Поскольку $\omega_t$ все
когомологичны, форма $\frac {d\omega_t}{dt}$ точна.
Значит, $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t\in
\Lambda^1(M)$. Пусть $X_t$ -- векторное поле,
такое, что $\omega_t\cntrct X_t=\eta_t$. {\бф \пурпле По формуле Картана,
$\Lie_{X_t}\omega_t= d(\omega_t\cntrct X_t)= d\eta_t =\frac {d\omega_t}{dt}$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Интегрируя по $t$ обе части
$\Lie_{X_t}\omega_t=\frac {d\omega_t}{dt}$, получаем
\[
 \Psi_{t_1}^*\omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\omega_tdt
  = \int_{0}^{t_1}\frac {d\omega_t}{dt} dt =\omega_{t_1}.
\]
\endproof

\newpage

{\бф \блуе  K3-поверхности (повторение)}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухдаль-Ламари).

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

Это утверждение - прямое следствие теоремы Калаби-Яу,
о которой я расскажу потом.

\следствие
    {\бф\ред К3-поверхность голоморфно симплектична.}

(то есть допускает невырожденную, замкнутую (2,0)-форму)

\невпаге

{\бф \блуе  Комплексные структуры и симплектические 2-формы}

\определение
Пусть $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- комплексная 2-форма. Такая форма
называется {\бф \блуе невырожденной}, если $\Re \Omega$ либо
$\Im \Omega$ -- невырожденные 2-формы.

\теорема
Пусть $M$ -- вещественное 4-мерное многообразие, а 
 $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- замкнутая, невырожденная комплексная 2-форма.
Предположим, что $\Omega^2=0$. Тогда {\бф \ред на $M$ существует комплексная
структура $I$ такая, что $\Omega$ -- голоморфная симплектическая
форма на $(M,I)$.}

{\бф \греен Доказательсво через пару слайдов.}

\следствие
Пусть $M$ -- К3-поверхность,
а $V$ -- множество всех невырожденных комплексных 2-форм
$\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$.
Рассмотрим проективизацию ${\Bbb  P}V:=V/\C^*$.
Тогда {\бф \ред множество ${\Bbb  P}V$ находится в биективном соответствии
с множеством $\Comp(M)$ комплексных структур на $M$.}

\невпаге

{\bf \blue Интегрируемые почти комплексные многообразия (повторение)}


\определение
Почти комплексное многообразие $(M,I)$ называется {\бф \блуе интегрируемым},
если $M$, окольцованное пучком голоморфных функций, является
комплексным многообразием.


\определение
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие,
$T^{1,0}\subset TM\otimes \C$ -- подрасслоение векторов
типа $(1,0)$, а $[T^{1,0},T^{1,0}] \stackrel N\arrow TM\otimes \C / T^{1,0}$ --
скобка Фробениуса. Отождествив $TM\otimes \C / T^{1,0}$ с $T^{0,1}$,
мы представим $N$ как оператор
\[
N:\; \Lambda^2(T^{1,0}M) \arrow T^{0,1}M.
\]
\определение
Этот оператор называется {\бф\блуе тензором Ниейхойса}
(Nijenhuis tensor). Его можно преставить как сечение
$N\in \Lambda^{2,0}M\otimes T^{0,1}M$.

\теорема
Пусть $(M,I)$ -- гладкое
почти комплексное многообразие, причем $[T^{0,1}, T^{0,1}] \subset T^{0,1}$.
{\bf \red Тогда почти комплексная структура $I$ интегрируема.}

\замечание {\бф \пурпле Это то же самое, что зануление тензора Ниейхойса.}

\замечание Подрасслоение $B\subset TM$, удовлетворяющее
$[B,B]\subset B$, называется {\бф \блуе инволютивным.}

\невпаге

{\бф \блуе  Комплексные структуры и симплектические 2-формы}

\определение
Пусть $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- комплексная 2-форма. Такая форма
называется {\бф \блуе невырожденной}, если $\Re \Omega$ либо
$\Im \Omega$ -- невырожденные 2-формы.

\теорема
Пусть $M$ -- вещественное 4-мерное многообразие, а 
 $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- замкнутая, невырожденная комплексная 2-форма.
Предположим, что $\Omega^2=0$. Тогда {\бф \ред на $M$ существует комплексная
структура $I$ такая, что $\Omega$ -- голоморфная симплектическая
форма на $(M,I)$.}

\дшаг 
Поскольку $\Omega^2=0$, форма $\Omega$ {\бф \ред разложима},
то есть представляется в виде $\Omega= \xi\wedge \zeta$
для каких-то 1-форм $\xi, \zeta \in  \Lambda^2(M,\C)$
{\bf \red (докажите это).}

{\бф \греен Шаг 2:}
{\бф \блуе Ядро} формы $\Omega$ есть множество всех векторов
$x\in TM\otimes_\R \C$, таких, что $\Omega(x, \cdot)=0$.
{\bf \purple В силу шага 1, $\dim_\C \ker \Omega\geq 2$.}

{\бф \греен Шаг 3:}
Обозначим $\Re\Omega$ за $\omega_1$ и $\Im\Omega$ за $\omega_2$.
Поскольку $\Omega^2=0$, имеем {\бф \пурпле $\omega_1^2=\omega_2^2$ и
$\omega_1\wedge\omega_2=0$.} Значит, {\бф \пурпле форма
$\Omega\wedge \bar \Omega=\omega_1^2+\omega_2^2= 2\omega_1^2$
невырожденна.}

\невпаге

{\бф \блуе  Комплексные структуры и симплектические 2-формы\\ 
(продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:}
Обозначим $\Re\Omega$ за $\omega_1$ и $\Im\Omega$ за $\omega_2$.
Поскольку $\Omega^2=0$, имеем {\бф \пурпле $\omega_1^2=\omega_2^2$ и
$\omega_1\wedge\omega_2=0$.} Значит, {\бф \пурпле форма
$\Omega\wedge \bar \Omega=\omega_1^2+\omega_2^2= 2\omega_1^2$
невырожденна.}

{\бф \греен Шаг 4:}
Значит, $\dim_\C \ker \Omega> 1$. Поскольку
$\Omega$ симплектична на $TM/\ker \Omega$,
пространство $\ker \Omega$ четномерно. Из шага 2
получаем, что $\dim \ker \Omega=2$ везде на $M$,
то есть {\бф \ред $\ker \Omega$ есть двумерное
подрасслоение в $TM\otimes_\R \C$.}

{\бф \греен Шаг 5:} По формуле Картана, 
$ 0 = d\Omega(x,y,z)  =\Lie_x \Omega(x,y) - \Lie_y \Omega(x,z)+
\text{\ \ \ \ \ \ \ } \Lie_z\Omega(x,y)+ \Omega([x,y],z) - \Omega(y,[x,z]) + 
\Omega(x,[y,z]).\ \ \ (*)$\\
Если $x, y \in \ker\Omega$, все слагаемые (*), кроме одного, автоматически
зануляются, и мы получаем $\Omega([x,y],z)=0$ (для любого $z$),
иначе говоря, $[x,y]\in \ker \Omega$, и 
{\бф \пурпле $\ker \Omega$ -- инволютивное подрасслоение.}


{\бф \греен Шаг 6:} Локально, имеем $\Omega=\xi\wedge \zeta$.
Если плоскость $\langle \xi, \zeta\rangle$, порожденная
$\xi, \zeta$, пересекается с $\langle \bar\xi, \bar\zeta\rangle$,
мы получим $\Omega\wedge \bar \Omega=0$. В силу шага 3, это невозможно.
Значит, {\бф \пурпле $\ker \Omega$ не пересекается с $\overline{\ker \Omega}$.}

{\бф \греен Шаг 7:} Рассмотрим оператор $I:\; TM\arrow TM$,
который равен $\1$ на $\ker \Omega$ и $-\1$ на $\overline{\ker \Omega}$.
Поскольку $\bar I = I$, это оператор почти комплексной структуры.
{\бф \ред $T^{1,0}M=\ker \Omega$ инволютивно, значит, $I$ интегрируема.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера и отображение периодов}


\определение 
Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти
комплексных структур на многообразии, с топологией,
индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров.
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур
есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$
есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов).

\определение
Пусть $M$ есть К3-поверхность.
{\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel 
\Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$
сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую
$H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$.

\невпаге

{\бф \блуе  Пространство периодов для К3-поверхности}

\замечание
Пусть $l\in \Per(\Teich(M))$ - класс когомологий в образе
отображения периодов. Тогда $l\wedge l=0$ (потому что это
(2,0)-форма) и $l\wedge \bar l>0$, потому что $l$ локально
представлено формой
$\xi\wedge\zeta$
для каких-то $\xi,\zeta\in \Lambda^{1,0}(M,I)$ 
и $l\wedge\bar l=\xi\wedge\zeta\wedge \bar\xi\wedge\bar\zeta$.

\определение
{\бф\блуе  Пространство периодов} К3-поверхности
есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$
состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что
$l\wedge l=0$ и $l\wedge \bar l>0$. {\бф \блуе
Отображение периодов} есть отображение
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$.

\теорема
{\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)}
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ 
{\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности
каждой точки $I\in\Teich(M)$.}

Эта теорема - основное утверждение сегодняшней лекции.

\невпаге

{\бф \блуе  Пространство периодов и $++$-грассманиан}


Пусть $V$ -- вещественное векторное
пространство, снабженное 
скалярным произведением $q$. Обозначим
за $\Perspace(V)$ множество прямых 
$l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих
$q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть
$\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных
2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких,
что $q\restrict W$ положительно определено.

\утверждение
Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$,
рассмотрим оператор поворота на
$\frac \pi 2$ против часовой стрелки:
$I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за
$P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую,
порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$.
Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию 
$P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.}

\следствие
{\бф \ред Пространство периодов для К3-поверхности
изоморфно $SO(19,3)/SO(2)\times SO(19,1)$.}

Основное утверждение этой лекции -- 

\теорема
{\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)}
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ 
{\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности
каждой точки $I\in\Teich(M)$.}

Чтобы доказать открытость этого отображения, нам понадобятся
гиперкэлеровы структуры.

\невпаге

{\бф \блуе  Гиперкэлеровы
структуры}

\определение
{\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие}
есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами
$I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют 
кватернионным соотношениям:  $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$.
{\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие}
есть гиперкомплексное многообразие, снабженное
римановой метрикой $g$, которая кэлерова
по отношению к $I,J,K$.

\замечание
Кэлеровость $I$ равносильна условию $\nabla(I)=0$,
где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита,
a гиперкэлеровость -- {\бф \пурпле условию
$\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$
плюс кватернионные соотношения.}



\теорема {\бф \блуе (Калаби-Яу)}
Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $[\omega]\in H^2(M,\R)$ ee 
кэлеров класс,  $\Omega$ -- голоморфная симплектическая
форма. Предположим, что $\Re\Omega^2=[\omega]^2$. Тогда
{\бф \ред на $(M,I)$ существует и единственна гиперкэлерова
структура, такая, что $[\omega_I]=[\omega]$,
$\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Пространство Тейхмюллера гиперкэлеровых структур}

\определение
Для гиперкэлеровой структуры на поверхности,
$\int_M \omega_I\wedge \omega_J=\int \omega_I\wedge \omega_K=
\int \omega_J\wedge \omega_K=0$, $\int_M \omega_I^2=
\int_M \omega_J^2=\int_M \omega_K^2$ {\бф \ред (проверьте это).}
Назовем $n$-ку векторов, удовлетворяющую этим условиям, {\бф \блуе
конформно ортонормированными}.


\определение
{\бф \блуе Группа изотопий} $\Diff_0(M)$ многообразия $M$ есть связная
компонента группы диффеоморфизмов $M$.

\определение
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich_{hk}(M)$ гиперкэлеровых
структур есть фактор пространства всех гиперкэлеровых
структур на $M$ по $\Diff_0(M)$.


\определение
Обозначим за $\St^c_3(H^2(M,\R))$ пространство конформно
ортонормированных троек классов $\omega_1, \omega_2, \omega_3\in H^2(M,\R)$.
{\бф \блуе Отображение периодов} 
$\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$
переводит гиперкэлерову структуру $I,J,K, g$ в тройку 
$\omega_I, \omega_J,\omega_K\in \St^c_3(H^2(M,\R))$

\определение
{\бф \блуе Открытое отображение} есть отображение,
переводящее открытые множества в открытые.

\теорема
Пусть $M$ - К3-поверхность. Тогда {\бф \ред отображение
$\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\longrightarrow \St^c_3(H^2(M,\R))$
 открыто в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}.

\невпаге

{\бф \блуе  Деформации кэлеровых структур}

\замечание На любом комплексном многообразии,
{\бф \пурпле форма $\omega$ кэлерова, если она типа $(1,1)$, замкнута,
и удовлетворяет $\omega(x,Ix)>0$ для всех ненулевых $x\in T_mM$.}

\утверждение
Пусть $(M,I,\omega)$ -- компактное кэлерово многообразие, а
$\Kah(M)\subset H^{1,1}(M)$ -- кэлеров конус  (множество кэлеровых классов).
Введем на $H^2(M)$ евклидову метрику $E$. Тогда
{\bf \red существует $\epsilon_g >0$ такое, что $\epsilon$-шар
$B:=B_{E,\epsilon_g}([\omega])$ с центром в $\omega$
содержится в $\Kah(M)$.} Более того, $\epsilon_g$ непрерывно
зависит от $g$, $I$ и их производных.

\доказательство
Выберем сечение $H^2(M) \stackrel \psi \arrow \Lambda^2(M)_{\text{closed}}$,
например, выбрав гармонический представитель у каждой формы.
Небольшая деформация эрмитовой формы в классе $I$-инвариантных
форм снова эрмитова,
значит, для небольших $\alpha \in H^{1,1}(M)$, $\omega+ \psi(\alpha)$ это
кэлерова форма. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе  Образ отображения периодов для гиперкэлеровых структур}

\теорема
Пусть $M$ - К3-поверхность. {\бф \ред Тогда образ 
$\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$
 открыт в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}.

\дшаг
Рассмотрим ортогональное дополнение 
$\langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot\subset H^2(M,\R)$.
Тогда
\[ \langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot=H^{1,1}(M,I).
\] В самом деле,
$\int \eta\wedge \Omega=0$ для любой (1,1)-формы 
$\eta$ {\бф \ред (а почему?)}, а $\dim \langle
\omega_J,\omega_K\rangle^\bot=\dim h^{1,1}(M)$
{\бф \пурпле (проверьте)}.

{\бф \греен Шаг 2:} Каждый кэлеров класс $[\omega]\in H^{1,1}(M,I)$,
удовлетворяющий $\int_M[\omega]^2=\int_M \Re\Omega^2,$
{\бф \пурпле является классом $\omega_I$ для какой-то гиперкэлеровой
структуры,} в силу теоремы Калаби-Яу.
Значит, $\Per(\Teich_{hk}(M))$ вместе с каждой тройкой
$\omega_1, \omega_2, \omega_3\in \St^c_3(H^2(M,\R))$
содержит множество всех троек вида
$\omega_1', \omega_2, \omega_3\in \St^c_3(H^2(M,\R))$,
для всех $\omega_1'\in S$, где $S\subset \langle
\omega_2,\omega_3\rangle^\bot$ -- пересечение $\Kah(M,I)$ и 
сферы радиуса $\int_M\omega_1^2$.


\невпаге

{\бф \блуе  Отображение периодов для гиперкэлеровых
структур (2)}


{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть $\pi:\; X\arrow Y$ -- локально-тривиальное гладкое расслоение многообразий.
Назовем {\бф \блуе субрасслоением} такое подмножество $U\subset X$,
что все слои отображения $\pi:\; U \arrow \pi(Y)$ открыты в слоях $\pi$,
причем для каждой точки $U$ найдется окрестность $U'\subset U$,
которая локально-тривиально расслоена над $\pi(U')$.
Мы доказали, что {\бф
\ред  забывающая проекция
$\Per(\Teich_{hk}(M)) \arrow \St^c_2(H^2(M,\R))$ -- субрасслоение.}

{\бф \греен Шаг 4:} 
Теперь утверждение теоремы сводится
к следующему геометрическому наблюдению:

\лемма
Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство с невырожденным
скалярным произведением, а $\St_k(V)$ -- многообразие
ортонормированных $k$-реперов, $k>1$. Рассмотрим
отображения забывания \\ $\St_k(V)\arrow \St_{k-1}(V)$
(их $k$ штук: $\pi_1, ..., \pi_k$). 
Пусть $U\subset \St_k(V)$ -- какое-то
подмножество, такое, что $\pi_i\restrict U$ -- субрасслоение 
для всех $i$. {\бф \ред Тогда $U$ открыто
в $\St_k(V)$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Образ отображения периодов для гиперкэлеровых
структур: простая геометрическая лемма}

\лемма
Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство с невырожденным
скалярным произведением, а $\St_k(V)$ -- многообразие
ортонормированных $k$-реперов, $k>1$. Рассмотрим
отображения забывания \\ $\St_k(V)\arrow \St_{k-1}(V)$
(их $k$ штук: $\pi_1, ..., \pi_k$). 
Пусть $U\subset \St_k(V)$ -- какое-то
подмножество, такое, что $\pi_i\restrict U$ -- субрасслоение 
для всех $i$. {\бф \ред Тогда $U$ открыто
в $\St_k(V)$.}

\доказательство
Ограничимся $k=2$, для $k>2$ доказательство аналогично.
Поскольку отображение $\pi_i:\; U \arrow \pi_i(U)$
открыто, достаточно доказать, что его образ открыт.
Рассмотрим двойное слоение на $\St_2(V)$, составленное
из слоев $\pi_1$, $\pi_2$; вместе с каждой точкой,
$U$ содержит окрестность содержащего ее листа обоих слоений, значит, открыто.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе  Открытость отображения периодов}

\следствие
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$
открыто.}

\доказательство
Рассмотрим следующую диаграмму пространств 
Тейхмюллера и пространств периодов:
{\small \[\begin{CD}
\Teich_h^{\Vol}(M) @>\Per >> \St_3(H^2(M,\R))\\
@VVV @VVV\\
\Teich(M) @>\Per >> \Gr_{+,+}(V) 
\end{CD}
\]}
Здесь первая вертикальная стрелка переводит
$(M,I,J,K,g)$ в $(M,I)$, вторая переводит
$(\omega_I,\omega_J,\omega_K)\in \St_3(H^2(M,\R))$
в $\langle \omega_J,\omega_K\rangle$.

Вертикальные стрелки представляют собой локально тривиальные 
расслоения, поэтому открыты, верхнее отображение периодов
открыто, как было уже доказано, а нижнее открыто в силу
коммутативности этой диаграммы.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе  Локальная теорема Торелли (доказательство)}

\упражнение
Пусть $M$ -- К3. Рассмотрим отображение периодов
$\Psi:\; \Comp(M) \arrow \Perspace$. 
{\бф \ред Тогда все слои $\Psi$ локально линейно связны.}

\указание
$\Comp(M)$ -- пространство всех замкнутых, невырожденных
комплексно-значных 2-форм, удовлетворяющих $\Omega^2=0$,
то есть пересечение квадрик в линейном пространстве,
то есть многообразие.

\теорема
{\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)}
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ 
{\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности
каждой точки $I\in\Teich(M)$.}

\дшаг
Поскольку $\Per$ открыто, и непрерывно, {\бф \пурпле достаточно показать,
что в окрестности каждой точки $I\in \Teich(M)$
оно  задает биекцию этой окрестности на ее образ.}

\невпаге

{\бф \блуе  Доказательство локальной теоремы Торелли (2)}


{\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим диаграмму
{ \[\begin{CD}
\Comp(M) @>\Psi >> \Perspace \\
@V{\Psi_0} VV @V{\Id}VV\\
\Teich(M) @>\Per >>  \Perspace 
\end{CD}
\]}
Осталось проверить, что {\бф \пурпле каждая связная компонента
слоя $\Psi$ равна связной компоненте слоя $\Psi_0$,
то есть орбите $\Diff_0(M)$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Как и в доказательстве теоремы Мозера,
мы свели локальную теорему Торелли к следующему
утверждению.

{\бф \греен Теорема 1:}
Пусть $I_t:\; [0,1]\arrow \Comp(M)$ -- семейство
комплексных структур на К3, причем периоды у них
одинаковы. {\бф \ред Тогда существует
семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, 
переводящих $I_0$ в $I_t$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Мозера для отображения периодов}

Комплексные структуры находятся в 
биективном соответствии с ${\Bbb P}\widetilde \Comp(M)$, 
где $\widetilde \Comp(M)$ -- множество
замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм
$\Omega$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. 
Отображение периодов переводит $\Omega\in \widetilde \Comp(M)$ 
в его класс когомологий. Значит, Теорема 1
вытекает из следующей.

{\бф \греен Теорема 2:}
Пусть $\Omega_t:\; [0,1]\arrow \widetilde\Comp(M)$ -- семейство
замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм,
удовлетворяющих $\Omega^2=0$, причем класс когомологий 
$[\Omega_t]\in H^2(M,\C)$ не зависит от $t$.  {\бф \ред Тогда существует
семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, таких, что
$V_t^*\Omega_0=\Omega_t$.}


\дшаг
Пусть $\Omega'_t:=\frac {d\Omega_t}{dt}$.
Если найдется векторное поле $X_t$ такое, что
$\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$, то
\[
 V_{t_1}^*\Omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\Omega_tdt
  = \int_{0}^{t_1}\frac {d\Omega_t}{dt} dt =\Omega_{t_1}
\]
для потока диффеоморфизмов $V_t$, полученного
из формулы $\frac{dV_t}{dt}=X_t$. {\бф \ред Осталось найти
$X_t$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Мозера для отображения периодов (2)}

{\бф \ред Нам нужно найти  векторное поле $X_t$ такое, что
$\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$.}\\ 
{\бф \греен Шаг 2:} 
Отображение подстановки $\Lambda^{2,0}M\otimes_\R T_\R M\arrow \Lambda^{1,0}(M)$
сюрьективно {\бф \пурпле (проверьте).}


{\бф \греен Шаг 3:} 
Поскольку $\Omega'_t$ точна,
имеем $\Omega'_t= d\alpha_t$.
Если $\alpha_t$ -- (1,0)-форма,
ее можно получить как $\Omega_t\cntrct X_t$
в силу предыдущего шага, что дает 
$\Omega'_t=d\alpha_t = d(\Omega_t\cntrct X_t) = \Lie_{X_t}\Omega_t$.
{\бф \ред Для доказательства осталось найти
$\alpha_t \in \Lambda^{1,0}(M)$ такую, что $\Omega'_t= d\alpha_t$.}

{\бф \греен Шаг 4:} 
Дифференцируя $\Omega_t^2=0$, получаем
$\Omega'_t\wedge \Omega_t=0$. {\бф \пурпле Это дает
$\Omega'_t\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$.}

{\бф \греен Шаг 5:} 
В силу шага 3 и шага 4, {\бф \пурпле Теорема 2 следует из такой леммы.}\\
\лемма
Пусть $M$ компактное кэлерово многообразие, $H^{0,1}(M)=0$, а 
$\eta\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$ --
точная. {\бф \ред Тогда $\eta = d\alpha$, для какой-то
$\alpha \in \Lambda^{1,0}(M)$.}

\дшаг
Пусть $\eta=d\beta$, где $\beta=\beta^{1,0}+\beta^{0,1}$
Поскольку $\eta \in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$, имеем
$\bar\6(\beta^{0,1})=0$. Первые когомологии комплекса
$(\Lambda^{0,*}(M),\bar\6)$ зануляются, потому что
$H^{0,1}(M)=0$, а значит, $\beta^{0,1}= \bar\6\psi$.

{\бф \греен Шаг 2:} Получаем
$\eta=d(\beta-d\psi)$, а
$\beta-d\psi=\beta^{1,0}+\beta^{0,1} -\6\psi-\beta^{0,1}$ -- (1,0)-форма.
\ендпрооф



\end{document}

