

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small K3 на Фонтанке, лекция 2 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf K3 на Фонтанке, \\[15mm]
\small лекция 2: топология поверхностей}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf 
Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017
\\[2mm] 4 июля 2017
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе  Топология 4-мерных многообразий: теорема Фридмана}

\определение
Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется
{\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$,
{\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$,
и {\бф\блуе  нечетной} если нет.

\теорема {\бф \блуе (Рохлин, Ву)}
Если форма пересечения гладкого односвязного 4-многообразия
четна, {\бф \ред ее сигнатура делится на 16.}


\теорема
{\бф \блуе (Фридман, 1982)} {\бф \ред Класс гомотопии компактного
односвязного 4-мерного многообразия $M$
однозначно определяется его формой пересечения
на $H^2(M, \Z)$, которая унимодулярна.} Более
того, {\бф \ред такое $M$ существует 
для любой унимодулярной формы}.
Для четных форм пересечения, гомотопическая эквивалентность
эквивалентна гомеоморфности. Для нечетных
форм пересечения, существует ровно два топологических
многообразия с заданным гомотопическим типом;
одно из них допускает кусочно-линейную структуру,
другое нет. 


\теорема
{\бф \блуе (Дональдсон, 1986)}
На гладком компактном односвязном многообразии
с нечетной, положительно определенной
 формой пересечения $\eta$, {\бф \ред она диагонализуется
в каком-то целочисленном базисе: $\eta= \sum  x_i \otimes x_i$.}

\newpage

{\бф \блуе  Классификация
неопределенных форм}

\определение
Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной},
если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$.

\теорема\\ 
{\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\
* Пусть $q$ -- нечетная унимодулярная неопределенная форма.
Тогда $q$ {\бф \блуе диагональна:} $q= \sum  \pm x_i \otimes x_i$.\\
* Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$.
{\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную 
прямую сумму} подпространств
с билинейной формой, которая имеет вид 
\[\left [ \begin{smallmatrix}
0 &1\\
1&0
\end{smallmatrix}\right ]
\]
(такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств
$E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$:
\[ 
\left [
\begin{smallmatrix}
 2 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
-1 &  2 & -1&  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
 0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 &  0 & -1 \\
 0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & 0 \\
 0 &  0 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 & 2
\end{smallmatrix}\right ],
\]
или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака.

\newpage


{\бф \блуе 4-мерные многообразия как связные суммы}

\определение
{\бф \блуе Связная сумма} $M_1 \# M_2$ многообразий $M_1$ и $M_2$
одинаковой размерности получается так: из $M_1$ и из $M_2$
вырезается шар, и полученные многообразия склеиваются
по образовавшейся компоненте границы (сфере).

\утверждение
Пусть $M_1, M_2$ -- многообразия с формой пересечения $q_1, q_2$.
Тогда для любого $i$ с $0<i<\dim M$, имеет место 
$H^i(M_1 \# M_2)=H^i(M_1)\oplus H^i(M_2)$, и {\бф \ред форма пересечения
на $M_1 \# M_2$ равна $q_1 \oplus q_2$.}

\замечание
Из теорем Фридмана и Дональдсона следует, что {\бф \ред любое гладкое многообразие
с нечетной формой пересечения гомеоморфно связной сумме нескольких копий $\C P^2$
(форма пересечения на $\C P^2$ имеет сигнатуру 1) и нескольких копий многообразия 
$\overline{\C P^2}$,} полученного из $\C P^2$ заменой ориентации
(на нем форма пересечения имеет сигнатуру -1).

\newpage


{\бф \блуе 4-мерные многообразия с четной формой пересечения}

\определение {\бф \блуе $E_8$-многообразие} есть односвязное 4-многообразие
с формой пересечения $E_8$. По теореме Фридмана, оно однозначно
определено. По теореме Рохлина, {\бф \пурпле $E_8$-многообразие не допускает гладкой
структуры} (его сигнатура не делится на 16).

\замечание Из классификации четных, неопределенных форм следует, что
{\бф \пурпле каждое 4-многообразие с четной, неопределенной формой пересечения
гомеоморфно связной сумме нескольких копий $E_8$-многообразия, 
$E_8$-многообразия с противоположной ориентацией (оно называется $-E_8$-многообразие), 
и $\S^2 \times S^2$.}

\определение
{\бф \блуе  4-многообразие К3} можно определить как связную сумму
двух $-E_8$-многообразий и трех $S^2 \times S^2$. {\бф \пурпле Оно допускает
гладкую структуру} {\бф \ред (счетное число разных).}

\вопрос Какие связные суммы вида $\pm E_8^k \# (S^2 \times S^2)^l$
допускают гладкую структуру?

\теорема {\бф \блуе 
(Фурута)} Если $E_8^{2k} \# (S^2 \times S^2)^l$ допускает гладкую структуру, то
$l>2k$.




\newpage


{\бф \блуе Комплексные структуры}

\определение 
{\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном
пространстве $V$ называется эндоморфизм
$I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. 


\замечание
Продолжим $I$ на тензоры формулой 
$I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes 
I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$
{\бф \пурпле Группа, порожденная $I$, изоморфна $\Z/4\Z$.}
Поэтому, для любого тензора $t$, сумма
$t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ инвариантна
относительно $I$.


\следствие 
Если $g$ -- положительно определенное скалярное
произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$ 
тоже положительно определено и $I$-инвариантно:
$I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный
оператор относительно $g_I$.}


\определение
Положительно определенное скалярное произведение,
в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой
метрикой} на $(V,I)$. Мы только  что доказали,
что она всегда существует.


\упражнение
Докажите, что $g+I(g)$ $I$-инвариантно для любого
четного тензора.



\newpage


{\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)}


\следствие
Все собственные значения $I$ простые (то есть
$I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле,
{\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.}

\замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение $I$.
Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$.

\определение
Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$,
обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$
обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$.

\замечание 
Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем,
что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. 
В частности, это пространства одинаковой размерности.

\упражнение
Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$
задает изоморфизм вещественных пространств $V^{0,1}\arrow V$.

\упражнение
Докажите, что оператор комплексной структуры
{\бф \ред однозначно задается подпространством
$V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$
половинной размерности,} которое не
пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$.

\newpage

{\бф \блуе Эрмитовы формы}

\определение
{\бф \блуе Эрмитово пространство} $(V,I,g)$
есть пространство, снабженное комплексной структурой $I$
и эрмитовой метрикой $g$.

\замечание
Пусть $I$ -- оператор комплексной структуры
на вещественном пространстве $V$, а $g$ -- эрмитова метрика.
Рассмотрим билинейную форму $\omega(x,y) = g(x, Iy)$.
Тогда $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$.
Поэтому {\бф \blue $\omega$  кососимметрична}.

\определение
Форма $\omega$ называется {\бф \блуе эрмитовой формой} на 
эрмитовом пространстве $(V,I, g)$

\упражнение
Докажите, что в тройке $I, g, \omega$, {\бф \пурпле каждый тензор
выражается через остальные два.}


\невпаге

{\bf \blue Разложение Ходжа}

Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру,
порожденную $V$. 

\упражнение 
Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно
как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$.
Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ 
задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$.

\определение
Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой,
а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда
$\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$.
Рассмотрим разложение
$\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $,
где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$
Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}.

\замечание
Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную
структуру на $V^*$ (и наоборот). }


\упражнение
Верно ли, что любая $(p,p)$-форма $I$-инвариантна?
Верно ли, что любая $I$-инвариантная
форма имеет тип $(p,p)$?



\невпаге

{\bf \blue Почти комплексные многообразия}

\определение
{\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$
есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного
расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. 

\пример
Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$.
Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти
комплексная структура.

\определение
{\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных
формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$,
причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge
\Lambda^{0,q}(M)$.

\определение
Функция $f:\; M \arrow \C$ на
почти комплексном многообразии называется
{\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$.


\невпаге

{\bf \blue Интегрируемость почти комплексных многообразий}


\определение
Пусть $(M, I)$ --  
почти комплексное многообразие.
Оно называется {\бф \блуе комплексным}, 
а $I$ {\бф \блуе интегрируемым} если в
каждой точке существуют координаты $x_i, y_i$
такие, что $I(d/dx_i) = d/dy_i$, $I(d/dy_i)=-d/dx_i$.
 
\замечание
В этой ситуации, {\бф \пурпле функции $z_i= x_i + \1 y_i$ голоморфные.}
Они называются {\бф \блуе комплексными координатами}.


\упражнение Докажите, что
на комплексном многообразии,
{\бф \пурпле коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет
тип $(1,0)$: \[ [T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M.\]}


\определение
Почти комплексное многообразие называется
{\бф \блуе формально интегрируемым}, если
$[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$



\теорема
(Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое
почти комплексное многообразие интегрируемо.}



\newpage

{\bf \blue Кэлеровы многообразия}


\теорема
Пусть $(M,I,g)$ -- почти комплексное эрмитово
многообразие. {\бф \пурпле Тогда следующие условия эквививалентны:}

(i) {\bf \red Комплексная структура $I$ интегрируема, а 
эрмитова форма $\omega$ замкнута.}

(ii) {\bf \red $\nabla(I)=0$,} где $\nabla$ есть связность
Леви-Чивита.

\упражнение Выведите (i) из (ii).


\определение
Почти комплексное эрмитово многообразие,
удовлетворяющее условиям (i) или (ii),
называется {\бф\блуе кэлеровым}.
Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$
называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$.


\упражнение Докажите, что комплексное подмногообразие кэлерова
многообразия -- {\бф \пурпле снова кэлерово.}


\newpage

{\бф \блуе Метрика Фубини-Штуди}

\определение
Пусть $M= \C P^n$ -- комплексное проективное 
пространство, а $g$ -- $U(n+1)$-инвариантная метрика.
Она называется {\бф \блуе метрикой Фубини-Штуди}.

\замечание
Метрику Фубини-Штуди можно получить, взяв произвольную
эрмитову метрику на $\C P^n$ и {\bf \red усреднив по компактной 
группе $U(n+1)$.}

\замечание
Стабилизатор $x\in \C P^n$ в $U(n+1)$ изоморфен
$U(n)$, а $T_x \C P^n$ изоморфно $\C^n$
со стандартным действием $U(n)$. 

\упражнение
Пусть $g$ -- $U(n)$-инвариантная
положительная симметрическая форма на $\C^n$. Тогда {\бф \ред $g$ пропорциональна
обычной евклидовой метрике.}

\следствие
Метрика Фубини-Штуди {\бф \пурпле единственна с точностью до скалярного
множителя.}

\упражнение
Пусть $\eta$ -- $U(n)$-инвариантная 3-форма на $\C^n$.
Докажите, что $\eta=0$.

\следствие
Метрика Фубини-Штуди {\бф \ред кэлерова}.


\newpage

{\бф \блуе Проективные многообразия}

\определение
Замкнутое комплексное подмногообразие $\C P^n$
называется {\бф \блуе проективным}

\теорема
{\бф \ред Проективное многообразие всегда кэлерово.}

\доказательство
Оно комплексно, а эрмитова форма симплектична.


\замечание 
Поскольку $H^2(\C P^n)$ одномерно, {\бф \пурпле можно выбрать
метрику Фубини-Штуди с целочисленным кэлеровым классом.}


\следствие
Проективное многообразие {\бф \пурпле допускает кэлерову
структуру с целочисленным кэлеровым классом.}

\теорема
(Кодаира)
Пусть $M$ -- компактное, кэлерово многообразие
с целочисленным кэлеровым классом. {\бф \ред Тогда
$M$ проективно.}


\newpage

{\бф \блуе Первый класс Черна}

\замечание
Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии,
$U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано,
а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные
на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении
$U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем
$\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}=
\phi_{\alpha\gamma}$
то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный
1-коцикл.}

\утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений
взаимно однозначно соответствуют  $H^1(M, (C^\infty
M)^*)$.}


\замечание
Из экспоненциальной точной последовательности
\[ 
0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0,
\] 
{\бф \пурпле получаем изоморфизм
$H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z)$.}

\следствие
{\bf \purple Комплексное линейное расслоение топологически тривиально
$\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.}



\невпаге

{\бф \блуе Первый класс Черна и формула Гаусса-Бонне}

\упражнение
Докажите, что кривизна линейного расслоения - замкнутая (1,1)-форма.

\теорема
{\бф \блуе (Гаусс-Бонне)}\\
{\бф \ред
Класс когомологий $[\omega]$ кривизны линейного расслоения $L$ выражается
через его класс Черна: $[\omega]=2\pi c_1(L)$.
}

\определение
Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное  кэлерово многообразие,
а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое
расслоение} (расслоение комплексно-линейных форм объема).
{\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного
многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$.

\определение
{\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное
кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$.

\замечание
По теореме Калаби-Яу, каждое "многообразие Калаби-Яу"
(в смысле этого определения) допускает кэлерову метрику
с голономией, лежащей в $SU(n)$.


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Калаби-Яу}

\замечание
Если задана вещественная $(1,1)$-форма
$\eta$, ей соответствует симметрическая 
2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$.
{\bf \purple Это задает биекцию между
вещественными $(1,1)$-формами и 
$I$-инвариантными симметрическими 
2-формами}.

\определение
Пусть $\Theta_K\in \Lambda^{1,1}(M,\R)$ -- кривизна связности Леви-Чивита 
на каноническом расслоении кэлерова многообразия.
{\бф \блуе Кривизна Риччи $M$}
есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$.

\определение
Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если
ее кривизна Риччи равна нулю.

\теорема
(Калаби-Яу) 
Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда
существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика
в каждом кэлеровом классе.}

\определение 
Такая метрика называется {\бф \блуе метрикой Калаби-Яу}.
Поскольку ее голономия действует тривиально на
комплексно-линейных формах объема, она лежит
в $SU(n)$.

\newpage

{\бф \блуе  K3-поверхности}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухсдаль-Ламари).

{\small
Название К3 дано Андре Вейлем в честь Куммера,
Кэлера, Кодаиры.}

\begin{center}\epsfig{file=Broad_Peak8051m.jpg,width=0.5\linewidth}

{\it\color{blue} ``Faichan Kangri is the 12th highest mountain on Earth.''}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Chez les Weil. Andr\'e et Simone}

Andr\'e Weil: 6 May 1906 - 6 August 1998.

\begin{center}\epsfig{file=Simone-et-Andre-Weil-enfants-a-Penthievre.jpg,width=0.30\linewidth}

{\it\green ``Simone et Andr\'e \`a Penthi\'evre, 1918-1919''}
\end{center}



\newpage

{\bf \blue Erich K\"ahler}


\begin{center}
\epsfig{file=Erich_Kahler-1990.jpeg,height=0.40\linewidth} 

{\small (Erich K\"ahler: 1990)}

{\bf \green \small 
 16 January 1906 - 31 May 2000}

\end{center}


\newpage

{\bf \blue Ernst Eduard Kummer}


\begin{center}
\epsfig{file=ernst-eduard-kummer2.jpg,width=0.40\linewidth} 

{\bf \green \small 
Ernst Kummer: 29 January 1810 - 14 May 1893}

\end{center}

\newpage

{\bf \blue Kunihiko Kodaira}


\begin{center}
\epsfig{file=kunihiko-seiko-kodaira.jpg,height=0.40\linewidth} 

{\small (Kunihiko and Seiko Kodaira)}

{\bf \green \small 
Kunihiko Kodaira: 16 March 1915 - 26 July 1997}

\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Свойства К3-поверхностей}

Пусть $M$ -- К3-поверхность. 

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

\доказательство
Поскольку $b_1=0$, а $M$ кэлерово, имеем $h^{0,1}=H^1(\calo_M)=0$.
Поэтому из экспоненциальной точной последовательности
$H^1(M, \calo_M) \arrow H^1(M, \calo^*_M) \stackrel {c_1}\arrow H^2(M, \Z)$
получаем, что {\бф \пурпле $K_M$ тривиально} (его класс Черна равен нулю же).
\ендпрооф

\замечание
Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$,
значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова
характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$.

Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности:
\[\begin{array}{ccccc}
&&1&&\\
&0&&0&\\
1&&20&&1\\
&0&&0&\\
&&1&&\\
\end{array}
\]

\newpage

{\бф \блуе Формула универсальных коэффициентов}

\теорема
{\бф \блуе (формула универсальных коэффициентов):}
Для любого топологического пространства $X$ и любого
кольца коэффициентов $A$,
\[ 0 \rightarrow H_i(X, \mathbf{Z})\otimes A\rightarrow
H_i(X,A)\rightarrow\mbox{Tor}(H_{i-1}(X,
\mathbf{Z}),A)\rightarrow 0
\]

\утверждение
{\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.}

\дшаг
Если $H_1(M)$ имеет кручение, то у $M$ есть конечное
накрытие. {\бф \пурпле Такое накрытие -- снова К3-поверхность,} то есть
его топологическая эйлерова характеристика равна 24. Но 
эйлерова характеристика $e(\tilde M)$ $n$-листного накрытия $M$
равна $n \cdot e(M)$, так что $n=1$. 

{\бф \греен Шаг 2:} 
По  формуле универсальных коэффициентов,
{\bf \red $H_2(M, \Z)$  не имеет кручения.} По двойственности
Пуанкаре, то же верно и в отношении $H^2(M,\Z)$.

{\бф \греен Шаг 3:} По формуле универсальных коэффициентов,
{\bf \purple $H_3(M, \Z)$ не имеет кручения, значит,
$H^2(M,\Z)$ тожe.} 
\endproof




\end{document}

