\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small K3 на Фонтанке, лекция 2 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf K3 на Фонтанке, \\[15mm] \small лекция 2: топология поверхностей} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017 \\[2mm] 4 июля 2017 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Топология 4-мерных многообразий: теорема Фридмана} \определение Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется {\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$, {\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$, и {\бф\блуе нечетной} если нет. \теорема {\бф \блуе (Рохлин, Ву)} Если форма пересечения гладкого односвязного 4-многообразия четна, {\бф \ред ее сигнатура делится на 16.} \теорема {\бф \блуе (Фридман, 1982)} {\бф \ред Класс гомотопии компактного односвязного 4-мерного многообразия $M$ однозначно определяется его формой пересечения на $H^2(M, \Z)$, которая унимодулярна.} Более того, {\бф \ред такое $M$ существует для любой унимодулярной формы}. Для четных форм пересечения, гомотопическая эквивалентность эквивалентна гомеоморфности. Для нечетных форм пересечения, существует ровно два топологических многообразия с заданным гомотопическим типом; одно из них допускает кусочно-линейную структуру, другое нет. \теорема {\бф \блуе (Дональдсон, 1986)} На гладком компактном односвязном многообразии с нечетной, положительно определенной формой пересечения $\eta$, {\бф \ред она диагонализуется в каком-то целочисленном базисе: $\eta= \sum x_i \otimes x_i$.} \newpage {\бф \блуе Классификация неопределенных форм} \определение Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной}, если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$. \теорема\\ {\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\ * Пусть $q$ -- нечетная унимодулярная неопределенная форма. Тогда $q$ {\бф \блуе диагональна:} $q= \sum \pm x_i \otimes x_i$.\\ * Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$. {\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную прямую сумму} подпространств с билинейной формой, которая имеет вид \[\left [ \begin{smallmatrix} 0 &1\\ 1&0 \end{smallmatrix}\right ] \] (такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств $E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$: \[ \left [ \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right ], \] или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака. \newpage {\бф \блуе 4-мерные многообразия как связные суммы} \определение {\бф \блуе Связная сумма} $M_1 \# M_2$ многообразий $M_1$ и $M_2$ одинаковой размерности получается так: из $M_1$ и из $M_2$ вырезается шар, и полученные многообразия склеиваются по образовавшейся компоненте границы (сфере). \утверждение Пусть $M_1, M_2$ -- многообразия с формой пересечения $q_1, q_2$. Тогда для любого $i$ с $02k$. \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры} \определение {\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном пространстве $V$ называется эндоморфизм $I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. \замечание Продолжим $I$ на тензоры формулой $I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$ {\бф \пурпле Группа, порожденная $I$, изоморфна $\Z/4\Z$.} Поэтому, для любого тензора $t$, сумма $t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ инвариантна относительно $I$. \следствие Если $g$ -- положительно определенное скалярное произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$ тоже положительно определено и $I$-инвариантно: $I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный оператор относительно $g_I$.} \определение Положительно определенное скалярное произведение, в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой метрикой} на $(V,I)$. Мы только что доказали, что она всегда существует. \упражнение Докажите, что $g+I(g)$ $I$-инвариантно для любого четного тензора. \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)} \следствие Все собственные значения $I$ простые (то есть $I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле, {\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.} \замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение $I$. Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$. \определение Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$, обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$ обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$. \замечание Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем, что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. В частности, это пространства одинаковой размерности. \упражнение Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$ задает изоморфизм вещественных пространств $V^{0,1}\arrow V$. \упражнение Докажите, что оператор комплексной структуры {\бф \ред однозначно задается подпространством $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$ половинной размерности,} которое не пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$. \newpage {\бф \блуе Эрмитовы формы} \определение {\бф \блуе Эрмитово пространство} $(V,I,g)$ есть пространство, снабженное комплексной структурой $I$ и эрмитовой метрикой $g$. \замечание Пусть $I$ -- оператор комплексной структуры на вещественном пространстве $V$, а $g$ -- эрмитова метрика. Рассмотрим билинейную форму $\omega(x,y) = g(x, Iy)$. Тогда $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$. Поэтому {\бф \blue $\omega$ кососимметрична}. \определение Форма $\omega$ называется {\бф \блуе эрмитовой формой} на эрмитовом пространстве $(V,I, g)$ \упражнение Докажите, что в тройке $I, g, \omega$, {\бф \пурпле каждый тензор выражается через остальные два.} \невпаге {\bf \blue Разложение Ходжа} Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру, порожденную $V$. \упражнение Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$. Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$. \определение Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой, а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда $\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$. Рассмотрим разложение $\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $, где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$ Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}. \замечание Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную структуру на $V^*$ (и наоборот). } \упражнение Верно ли, что любая $(p,p)$-форма $I$-инвариантна? Верно ли, что любая $I$-инвариантная форма имеет тип $(p,p)$? \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. \пример Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$. Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти комплексная структура. \определение {\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$, причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge \Lambda^{0,q}(M)$. \определение Функция $f:\; M \arrow \C$ на почти комплексном многообразии называется {\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$. \невпаге {\bf \blue Интегрируемость почти комплексных многообразий} \определение Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие. Оно называется {\бф \блуе комплексным}, а $I$ {\бф \блуе интегрируемым} если в каждой точке существуют координаты $x_i, y_i$ такие, что $I(d/dx_i) = d/dy_i$, $I(d/dy_i)=-d/dx_i$. \замечание В этой ситуации, {\бф \пурпле функции $z_i= x_i + \1 y_i$ голоморфные.} Они называются {\бф \блуе комплексными координатами}. \упражнение Докажите, что на комплексном многообразии, {\бф \пурпле коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет тип $(1,0)$: \[ [T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M.\]} \определение Почти комплексное многообразие называется {\бф \блуе формально интегрируемым}, если $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$ \теорема (Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое почти комплексное многообразие интегрируемо.} \newpage {\bf \blue Кэлеровы многообразия} \теорема Пусть $(M,I,g)$ -- почти комплексное эрмитово многообразие. {\бф \пурпле Тогда следующие условия эквививалентны:} (i) {\bf \red Комплексная структура $I$ интегрируема, а эрмитова форма $\omega$ замкнута.} (ii) {\bf \red $\nabla(I)=0$,} где $\nabla$ есть связность Леви-Чивита. \упражнение Выведите (i) из (ii). \определение Почти комплексное эрмитово многообразие, удовлетворяющее условиям (i) или (ii), называется {\бф\блуе кэлеровым}. Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$ называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$. \упражнение Докажите, что комплексное подмногообразие кэлерова многообразия -- {\бф \пурпле снова кэлерово.} \newpage {\бф \блуе Метрика Фубини-Штуди} \определение Пусть $M= \C P^n$ -- комплексное проективное пространство, а $g$ -- $U(n+1)$-инвариантная метрика. Она называется {\бф \блуе метрикой Фубини-Штуди}. \замечание Метрику Фубини-Штуди можно получить, взяв произвольную эрмитову метрику на $\C P^n$ и {\bf \red усреднив по компактной группе $U(n+1)$.} \замечание Стабилизатор $x\in \C P^n$ в $U(n+1)$ изоморфен $U(n)$, а $T_x \C P^n$ изоморфно $\C^n$ со стандартным действием $U(n)$. \упражнение Пусть $g$ -- $U(n)$-инвариантная положительная симметрическая форма на $\C^n$. Тогда {\бф \ред $g$ пропорциональна обычной евклидовой метрике.} \следствие Метрика Фубини-Штуди {\бф \пурпле единственна с точностью до скалярного множителя.} \упражнение Пусть $\eta$ -- $U(n)$-инвариантная 3-форма на $\C^n$. Докажите, что $\eta=0$. \следствие Метрика Фубини-Штуди {\бф \ред кэлерова}. \newpage {\бф \блуе Проективные многообразия} \определение Замкнутое комплексное подмногообразие $\C P^n$ называется {\бф \блуе проективным} \теорема {\бф \ред Проективное многообразие всегда кэлерово.} \доказательство Оно комплексно, а эрмитова форма симплектична. \замечание Поскольку $H^2(\C P^n)$ одномерно, {\бф \пурпле можно выбрать метрику Фубини-Штуди с целочисленным кэлеровым классом.} \следствие Проективное многообразие {\бф \пурпле допускает кэлерову структуру с целочисленным кэлеровым классом.} \теорема (Кодаира) Пусть $M$ -- компактное, кэлерово многообразие с целочисленным кэлеровым классом. {\бф \ред Тогда $M$ проективно.} \newpage {\бф \блуе Первый класс Черна} \замечание Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии, $U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано, а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении $U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем $\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}= \phi_{\alpha\gamma}$ то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный 1-коцикл.} \утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений взаимно однозначно соответствуют $H^1(M, (C^\infty M)^*)$.} \замечание Из экспоненциальной точной последовательности \[ 0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0, \] {\бф \пурпле получаем изоморфизм $H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z)$.} \следствие {\bf \purple Комплексное линейное расслоение топологически тривиально $\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.} \невпаге {\бф \блуе Первый класс Черна и формула Гаусса-Бонне} \упражнение Докажите, что кривизна линейного расслоения - замкнутая (1,1)-форма. \теорема {\бф \блуе (Гаусс-Бонне)}\\ {\бф \ред Класс когомологий $[\omega]$ кривизны линейного расслоения $L$ выражается через его класс Черна: $[\omega]=2\pi c_1(L)$. } \определение Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное кэлерово многообразие, а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое расслоение} (расслоение комплексно-линейных форм объема). {\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$. \определение {\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$. \замечание По теореме Калаби-Яу, каждое "многообразие Калаби-Яу" (в смысле этого определения) допускает кэлерову метрику с голономией, лежащей в $SU(n)$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Калаби-Яу} \замечание Если задана вещественная $(1,1)$-форма $\eta$, ей соответствует симметрическая 2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$. {\bf \purple Это задает биекцию между вещественными $(1,1)$-формами и $I$-инвариантными симметрическими 2-формами}. \определение Пусть $\Theta_K\in \Lambda^{1,1}(M,\R)$ -- кривизна связности Леви-Чивита на каноническом расслоении кэлерова многообразия. {\бф \блуе Кривизна Риччи $M$} есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$. \определение Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если ее кривизна Риччи равна нулю. \теорема (Калаби-Яу) Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика в каждом кэлеровом классе.} \определение Такая метрика называется {\бф \блуе метрикой Калаби-Яу}. Поскольку ее голономия действует тривиально на комплексно-линейных формах объема, она лежит в $SU(n)$. \newpage {\бф \блуе K3-поверхности} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухсдаль-Ламари). {\small Название К3 дано Андре Вейлем в честь Куммера, Кэлера, Кодаиры.} \begin{center}\epsfig{file=Broad_Peak8051m.jpg,width=0.5\linewidth} {\it\color{blue} ``Faichan Kangri is the 12th highest mountain on Earth.''} \end{center} \newpage {\bf \blue Chez les Weil. Andr\'e et Simone} Andr\'e Weil: 6 May 1906 - 6 August 1998. \begin{center}\epsfig{file=Simone-et-Andre-Weil-enfants-a-Penthievre.jpg,width=0.30\linewidth} {\it\green ``Simone et Andr\'e \`a Penthi\'evre, 1918-1919''} \end{center} \newpage {\bf \blue Erich K\"ahler} \begin{center} \epsfig{file=Erich_Kahler-1990.jpeg,height=0.40\linewidth} {\small (Erich K\"ahler: 1990)} {\bf \green \small 16 January 1906 - 31 May 2000} \end{center} \newpage {\bf \blue Ernst Eduard Kummer} \begin{center} \epsfig{file=ernst-eduard-kummer2.jpg,width=0.40\linewidth} {\bf \green \small Ernst Kummer: 29 January 1810 - 14 May 1893} \end{center} \newpage {\bf \blue Kunihiko Kodaira} \begin{center} \epsfig{file=kunihiko-seiko-kodaira.jpg,height=0.40\linewidth} {\small (Kunihiko and Seiko Kodaira)} {\bf \green \small Kunihiko Kodaira: 16 March 1915 - 26 July 1997} \end{center} \newpage {\бф \блуе Свойства К3-поверхностей} Пусть $M$ -- К3-поверхность. \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \доказательство Поскольку $b_1=0$, а $M$ кэлерово, имеем $h^{0,1}=H^1(\calo_M)=0$. Поэтому из экспоненциальной точной последовательности $H^1(M, \calo_M) \arrow H^1(M, \calo^*_M) \stackrel {c_1}\arrow H^2(M, \Z)$ получаем, что {\бф \пурпле $K_M$ тривиально} (его класс Черна равен нулю же). \ендпрооф \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \newpage {\бф \блуе Формула универсальных коэффициентов} \теорема {\бф \блуе (формула универсальных коэффициентов):} Для любого топологического пространства $X$ и любого кольца коэффициентов $A$, \[ 0 \rightarrow H_i(X, \mathbf{Z})\otimes A\rightarrow H_i(X,A)\rightarrow\mbox{Tor}(H_{i-1}(X, \mathbf{Z}),A)\rightarrow 0 \] \утверждение {\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.} \дшаг Если $H_1(M)$ имеет кручение, то у $M$ есть конечное накрытие. {\бф \пурпле Такое накрытие -- снова К3-поверхность,} то есть его топологическая эйлерова характеристика равна 24. Но эйлерова характеристика $e(\tilde M)$ $n$-листного накрытия $M$ равна $n \cdot e(M)$, так что $n=1$. {\бф \греен Шаг 2:} По формуле универсальных коэффициентов, {\bf \red $H_2(M, \Z)$ не имеет кручения.} По двойственности Пуанкаре, то же верно и в отношении $H^2(M,\Z)$. {\бф \греен Шаг 3:} По формуле универсальных коэффициентов, {\bf \purple $H_3(M, \Z)$ не имеет кручения, значит, $H^2(M,\Z)$ тожe.} \endproof \end{document}