\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small K3 на Фонтанке, лекция 1 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf K3 на Фонтанке, \\[15mm] \small лекция 1: Классы Черна} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017 \\[2mm] 3 июля 2017 } \end{center} \newpage {\bf \блуе Градуированные векторные пространства и алгебры} \определение {\бф \блуе Градуированное векторное пространство} есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$. \замечание Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов $\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано, \[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\] \определение {\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$ с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$. \замечание Билинейное отображение градуированных пространств, которое удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется {\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}. \замечание Категорию градуированных векторных пространств можно определить как {\бф \пурпле категорию векторных пространств с действием $U(1)$}; весовое разложение определяет градуировку по формуле $\rho(t)\restrict{A^n}=e^{2\pi \1 nt}$. Тогда {\бф \пурпле градуированная алгебра есть ассоциативная алгебра в категории пространств с $U(1)$-действием.} \newpage {\bf \blue Суперкоммутатор} \определение Оператор на градуированном пространстве называется {\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число. {\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный, 1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый} если он четный или нечетный. \определение {\бф \блуе Суперкоммутатор} чистых элементов определяется формулой $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$. \определение Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$ называется {\бф \блуе суперкоммутативной}, или {\бф \блуе градуированной коммутативной}, если в $A^*$ суперкоммутатор равен нулю. \пример {\bf \purple Алгебра Грассмана $\Lambda^* V$ суперкоммутативна.} \newpage {\бф \блуе Биалгебры} \определение Пусть $A$ -- градуированная коммутативная, ассоциативная алгебра над полем $k$. $A$ называется {\бф \блуе биалгеброй}, если $A$ снабжена морфизмом градуированных алгебр $A\stackrel \Delta\arrow A\otimes_k A$ {\бф \блуе ("коумножением")}, причем имеет место {\бф \блуе условие ассоциативности:} $\Delta\otimes \Id_A\circ \Delta = \Id_A \otimes \Delta \circ \Delta:\; A \arrow A\otimes_k A \otimes_k A$. {\бф \блуе Коединица} биалгебры есть гомоморфизм $k$-алгебр $A \stackrel \epsilon \arrow k$ такой, что $\Delta \circ (\epsilon\otimes\Id_A)=\Delta \circ (\Id_A \otimes \epsilon)=\Id_A$ \замечание {\бф \ред Все биалгебры в дальнейшем молчаливо предполагаются снабженными единицей}. \замечание Условие коассоциативности вместе с коединицей {\бф \пурпле означает просто, что двойственное пространство $A^*$ снабжено структурой алгебры.} Согласованность с умножением в $A$ -- то, что {\бф \пурпле структура алгебры на $A^*$ задается морфизмом $A$-модулей.} \newpage {\бф \блуе Примеры биалгебр} \пример Пусть $N$ -- множество, снабженное коммутативной, ассоциативной операцией $N \times N \stackrel m \arrow N$ (такая структура называется {\бф \блуе структурой коммутативного моноида}). Тогда {\бф \ред кольцо $k$-значных функций $C(N)$ образует биалгебру,} где морфизм коумножения индуцируется отображением $m^* C(N) \arrow C(N\times N)= C(N)\otimes_k C(N)$. \замечание Понятие биалгебры есть абстракция этого наблюдения: эвристически, {\бф \ред биалгебры суть алгебры функций на моноидах}. \пример Пусть $N$ -- связное топологическое пространство, снабженное непрерывной операцией $N \times N \stackrel m \arrow N$, задающей на $N$ структуру коммутативного, ассоциативного моноида. Рассмотрим коумножение на алгебре когомологий $H^*(N)$, заданное отображением $m^*:\; H^*(N) \arrow H^*(N\times N)= H^*(N)\otimes_k H^*(N)$. {\бф \ред Тогда $H^*(N)$ есть биалгебра} (проверьте это). \newpage {\бф \блуе Алгебры Хопфа} \определение Биалгебра называется {\бф \блуе алгеброй Хопфа}, если она снабжена гомоморфизмом $A \stackrel S \arrow A$ {\бф \блуе ("отображением антипода")}, и следующая диаграмма коммутативна: \begin{equation*} \xymatrix@C+0.5em@R+0.5em{ & {A \otimes A} \ar[rr]^{S \otimes \Id} & & {A \otimes A} \ar[dr]^{mult} & \\ {A} \ar[ur]^{\Delta} \ar[dr]_{\Delta} \ar[rr]^{\varepsilon} & & {k} \ar[rr]^{1} & & {A} \\ & {A \otimes A} \ar[rr]_{\Id \otimes S} & & {A \otimes A} \ar[ur]_{mult} & } \end{equation*} \замечание {\бф \пурпле Условие антипода самодвойственно:} если $A$ -- алгебра Хопфа, то $A^*$ -- тоже алгебра Хопфа. \пример Пусть $N$ -- группа, а $C(N)$ -- пространство функций на $N$, снабженное структурой биалгебры. Тогда отображение $n\arrow n^{-1}$ задает на $C(N)$ структуру антипода. Мы получили, что {\бф \ред алгебра функций $C(N)$ на группе есть алгебра Хопфа} (проверьте это). \пример Пусть $G$ -- топологическая группа, а $H^*(G)$ -- ее алгебра когомологий, снабженная структурой биалгебры. Рассмотрим отображение $H^*(G) \stackrel S \arrow H^*(G)$, индуцированное $x \arrow x^{-1}$. {\бф \пурпле Тогда $H^*(G)$ -- алгебра Хопфа} (проверьте это). \newpage {\бф \блуе $H$-группы} \определение {\бф \блуе $H$-группа} есть топологическое пространство $M$, снабженное непрерывным отображением $M \times M\stackrel \mu \arrow M$, {\бф \блуе ("отображением умножения")}, таким, что ограничение $\mu$ на $M\times\{e\}$ гомотопно тождественному для какого-то $e\in M$ {\бф \блуе ("гомотопическая единица")}, и отображением $M\stackrel \eta \arrow M$ {\бф \блуе ("взятием обратного")}, удовлетворяющим аксиомам группы {\бф \ред с точностью до гомотопии}. А именно, имеет место * {\бф \блуе гомотопическая ассоциативность} композиции $\mu\times \Id \circ \mu$ и $\Id\times \mu\circ \mu$ гомотопны как отображения из $M\times M \times M$ в $M$, \newcommand{\diag}{\operatorname{\sf diag}} * {\бф\блуе отображение гомотопического обращения}: композиции $\diag\circ (\eta \times \Id) \circ \mu$ и $\diag\circ (\Id \times \eta) \circ \mu$ гомотопны отображению $M$ в точку. \замечание Если не требуется $H$-ассоциативности и наличия $H$-обратного, $M$ называется {\бф\блуе $H$-пространством} \пример Проверьте, что {\бф \ред пространство петель $\Omega(X,x)$ является $H$-группой.} \утверждение Пусть $M$ -- $H$-группа. Тогда алгебра когомологий $H^*(M, k)$ -- {\бф \ред алгебра Хопфа.} \newpage {\бф \блуе Структурная теорема для алгебр Хопфа} Пусть $V^\bullet$ -- градуированное векторное пространство. Обозначим за \\ $\Sym_{gr}(V)$ тензорное произведение $\Sym^*(V^\even)\otimes \Lambda^*(V^\odd)$ с естественной градуировкой. На $\Sym_{gr}(V)$ задана структура градуированной коммутативной алгебры. \определение {\бф \блуе Свободная коммутативная} алгебра есть алгебра полиномов. {\бф \блуе Свободная градуированная алгебра} есть $Sym_{gr}(V^\bullet)$, где $V^\bullet$ -- градуированное векторное пространство. \определение {\бф \блуе Градуированная алгебра конечного типа} есть алгебра, градуированная $i \geq 0$, у которой все градуированные пространства конечномерны. {\бф \блуе Теорема Хопфа:} Пусть $A$ есть градуированная алгебра Хопфа конечного типа над полем $k$ характеристики 0. {\бф \ред Тогда $A$ -- свободная (градуированная) $k$-алгебра. } \newpage {\бф \блуе Примитивные элементы в биалгебрах} \определение Элемент $x$ биалгебры называется {\бф \блуе примитивным}, если $\Delta(x)= x\otimes 1 + 1\otimes x$. {\бф \греен Мы сначала докажем теорему Хопфа} для алгебр Хопфа, (мультипликативно) порожденных примитивными элементами. \определение Пусть $A$ -- алгебра Хопфа, $P\subset A$ -- пространство примитивных элементов. Рассмотрим естественный мультипликативный гомоморфизм $\Sym_{gr}(P)\stackrel \psi\arrow A$. Говорится, что $A$ {\бф \блуе свободна вплоть до степени $k$}, если $\bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\stackrel \psi\arrow A$ вложение. \замечание Из следующей леммы {\бф \пурпле немедленно вытекает теорема Хопфа, для алгебр, порожденных примитивными элементами.} \лемма Пусть $A$ -- алгебра Хопфа, свободная вплоть до степени $k$. {\бф \ред Тогда $A$ свободна вплоть до степени $k+1$.} \newpage {\бф \блуе Структурная теорема для алгебр Хопфа, порожденных примитивными элементами} \лемма Пусть $A$ -- алгебра Хопфа (или даже биалгебра), свободная вплоть до степени $k$. {\бф \ред Тогда $A$ свободна вплоть до степени $k+1$.} \дшаг Пусть $\{x_i\}$ -- какой-то базис в пространстве примитивных элементов $P$. Рассмотрим полиномиальное соотношение степени $k+1$, $Q(x_1, ..., x_n)=0$, и представим его в виде полинома от $x_1$ с коэффициентами, которые будут полиномами от $x_2, ..., x_n$: $Q= Q_m x_1^m+ Q_{m-1} x^{m-1}_1 + ... + Q_0$. Поскольку $\psi:\; \bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\stackrel \psi\arrow A$ вложение, имеем \[ \Delta(Q)= Q\otimes 1 + 1\otimes Q + R, \] где $R\in {\goth A}:= \left(\bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\right)\otimes \left(\bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\right)$. {\бф \греен Шаг 2:} Каждый элемент ${\goth A}$ представляется как сумма мономов вида $\lambda\otimes \mu$, где $\lambda, \mu$ -- мономы от $x_i$. Обозначим за $\Pi:\; {\goth A} \arrow x_1 \otimes \left(\bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\right)$ проекцию на сумму всех мономов вида $x_1\otimes \mu$. Поскольку $\Delta(x_i) = x_i\otimes 1 + 1\otimes x_i$, имеем $\Delta(x_1^m)= (x_1\otimes 1 + 1\otimes x_1)^m$, {\бф \пурпле что дает $\Pi(\Delta(x_1^m))= m x_1 \otimes x_1^{m-1}$.} \newpage {\бф \блуе Структурная теорема для алгебр Хопфа, порожденных примитивными элементами (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $\Pi(R)= x_1 \otimes R_0$. Поскольку $Q=0$ в $A$, его компонента $R_0$ тоже равна нулю. {\бф \пурпле В силу шага 2, \[ 0 = x_1 \otimes R_0 = \sum_{i=1}^m m x_1^{m-1} Q_m \] где $Q_i$ -- полиномы, определенные в шаге 1. Значит, все $Q_i=0$.} \ендпрооф \замечание На шаге 3 {\бф \ред используется $\Char k=0$.} \newpage {\бф \блуе Доказательство теоремы Хопфа} \определение {\бф\пурпле Идеал аугментации} $Z$ в алгебре Хопфа есть ядро отображения коединицы $\epsilon:\; A \arrow k$. \замечание Условие коединицы дает $x= [\epsilon \otimes \Id_A](\Delta(x))$ и $x= [\Id_A\otimes \epsilon](\Delta(x))$, то есть \[ \Delta(x) = 1\otimes x + x\otimes 1 \mod (Z\otimes Z) \] {\бф \греен Доказательство теоремы Хопфа. Шаг 1:} Рассмотрим фильтрацию алгебры $A$ степенями $Z^i$ идеала аугментации $Z$ {\бф \блуе (``адическую фильтрацию'')}, и присоединенную градуированную алгебру $A_{gr}:=\bigoplus_i Z^i/Z^{i+1}$. {\бф \пурпле В силу предыдущего замечания, $\Delta(Z^p) \subset \bigoplus_{i+j=p} Z^i \otimes Z^j$.} {\бф \греен Шаг 2:} Мы получили, что все операции, определенные на алгебре Хопфа, совместимы с фильтрацией степенями $Z$ (проверьте). Значит, {\бф \ред $A_{gr}$ -- тоже алгебра Хопфа}. {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Алгебра $A_{gr}$ мультипликативно порождена $Z^1/Z^2$} (это общее свойство присоединенных градуированных алгебр по адической фильтрации). \newpage {\бф \блуе Доказательство теоремы Хопфа (окончание)} {\бф \греен Шаг 4:} Поскольку $\Delta(x) = 1\otimes x + x\otimes 1 \mod (Z\otimes Z)$, все элементы $Z^1/Z^2$ примитивны. В силу шага 3, {\бф \пурпле $A_{gr}$ порождена примитивными элементами.} {\бф \греен Шаг 5:} По теореме, доказанной выше, $A_{gr}$ свободно порождена $\{x_i\}$, где $x_i$ -- базис в пространстве примитивных элементов $A_{gr}$. Выберем для каждого из $x_i$ представитель $\tilde x_i$ в $A$ той же четности. Поскольку между $x_i$ нет соотношений в $A_{gr}$, {\бф \ред между $\tilde x_i$ нет соотношений и в $A$.} {\бф \пурпле Осталось доказать, что $\tilde x_i$ порождают $A$.} {\бф \греен Шаг 6:} Размерности градуированных компонент $A^p$ и $A_{gr}^p$ равны (здесь {\бф \ред идет речь о градуировке, которая была изначально задана на $A$ и индуцированной градуировке на $A_{gr}$}). Пусть $\{y_i\}$ есть набор мономов в $A_{gr}$, порождающих заданную компоненту $A_{gr}^p$, а $\{\tilde y_i\}$ -- соответствующие элементы $A^p$. Тогда $\{y_i\}$ -- базис в $A_{gr}^p$, а $\{\tilde y_i\}$ -- линейно независимые элементы в пространстве $A^p$ той же размерности. Следовательно, {\бф \ред мономы $\{\tilde y_i\}$ порождают $A^p$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Применения теоремы Хопфа } \следствие Алгебра $H^*(G, \Q)$ когомологий группы Ли -- {\бф\ред грассманова алгебра, порожденная нечетномерными образующими.} \следствие Алгебра $H^*(\Omega M, \Q)$ когомологий пространства петель любого конечного клеточного пространства $M$ -- {\бф \ред свободная суперкоммутативная алгебра.} \замечание Доказательство структурной теоремы {\бф \ред нигде не использует аксиому антипода.} Таким образом, {\бф \пурпле теорема Хопфа верна для любой биалгебры конечного типа}, в частности, {\бф \ред для алгебры когомологий $H$-пространства.} \newpage {\бф \блуе Алгебра когомологий компактной группы } \замечание Любая компактная группа Ли {\бф \пурпле допускает риманову метрику, инвариантную и справа и слева} ("биинвариантную") \замечание Воспользовавшись усреднением, мы получим, что что любой класс когомологий компактной группы Ли $G$ можно представить формой, которая инвариантна и справа и слева ("биинвариантна") Написав дифференциал де Рама явно ("формула Картана"), мы получим, что биинвариантные формы замкнуты и ортогональны точным, то есть вкладываются в когомологии. {\бф \ред Это отождествляет алгебру когомологий с алгеброй биинвариантных форм на $G$.} \замечание Для компактной подгруппы $H\subset G$, любая биинвариантная форма на $H$ продолжается до биинвариантной формы на $G$ стандартным образом (продолжением нулем на ортогональное дополнение, левыми переносами и усреднением). {\бф \ред Это дает гомоморфизм алгебр когомологий $H^*(H, \R)\arrow H^*(G,\R)$.} \newpage {\бф \блуе Алгебра когомологий $U(n)$ } \утверждение Алгебра когомологий $H^*(U(n),\Q)$ -- {\бф \ред грассманова алгебра, порожденная образующими в размерностях $1, 3, 5, ..., 2n-1$.} \дшаг Поскольку $U(n)$ -- группа Ли, ее алгебра когомологий -- алгебра Хопфа. Поэтому {\бф \пурпле $H^*(U(n-1))$ -- свободная алгебра с образующими в нечетных степенях. } Применив индукцию, мы можем считать, что {\бф \пурпле $H^*(U(n-1))$ -- свободная супералгебра с образующими в размерностях $1, 3, 5, ..., 2n-3$. } {\бф \греен Шаг 2:} Группа $U(n)$ расслоена над $S^{2n-1}$ со слоем $U(n-1)$, а форма $\xi_{2n-1}\in H^*(U(n))$, полученная как обратный образ формы объема на сфере, замкнута. Поскольку $\xi_{2n-1}$ зануляется на векторах, касательных к $U(n-1)$, между ней и формами из образа $H^*(U(n-1))$ нет никаких соотношений. Поэтому $H^*(U(n))$ содержит свободную алгебру $A^*$, порожденную образующими $H^*(U(n-1))$ и $\xi_{2n-1}$. Написав клеточное разбиение, связанное с расслоением $U(n)\stackrel {U(n-1)}\arrow S^{2n-1}$, легко убедиться, что размерность $A^*$ равна $\dim H^*(U(n))$, что дает $A^*=H^*(U(n))$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Многообразия Грассмана} \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}} \newcommand{\fun}{{\rm fun}} \определение Обозначим за $\Gr(n,m)$ {\бф \блуе многообразие Грассмана} $n$-мерных плоскостей в $m$-мерном пространстве над $k$, $k=\C$ или $\R$, и пусть $B_\fun$ обозначает {\бф \блуе фундаментальное $n$-мерное расслоение над $\Gr(n,m)$} (над каждой точкой $x\in \Gr(n,m)$ висит соответствующее $n$-мерное пространство $V_x\subset k^m$). \замечание Пусть $B_{triv}$ -- тривиальное $m$-мерное расслоение над грассманианом $\Gr(n,m)$, а $B'_\fun$ -- расслоение, сопоставляющее точке $x\in \Gr(n,m)$ фактор $k^m$ по $V_x$. Тогда {\бф \пурпле имеет место точная последовательность $0 \arrow B'_\fun \arrow B_{triv}\arrow B_\fun\arrow 0$.} \замечание Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное расслоение над топологическим пространством $X$ такое, что $B \oplus B'$ тривиально, для $\dim B'=m-n$. Отождествив все слои $B \oplus B'$, получим, что {\бф \пурпле каждая точка $x\in X$ задает плоскость $\phi(x)$ в $k^m$.} \утверждение Пусть $B$ -- $n$-мерное расслоение над пространством $X$ такое, что $B \oplus B'$ тривиально, для $\dim B'=m-n$. {\бф \ред Тогда существует отображение $\phi:\; X \arrow \Gr(n,m)$ такое, что $\phi^* B_\fun\cong B$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Грассманиан $\Gr(n, \infty)$} \определение Рассмотрим естественные вложения \[ \Gr(n,m)\hookrightarrow \Gr(n, m +1) \hookrightarrow \Gr(n,m+2)\hookrightarrow ..., \] и пусть {\бф \блуе $\Gr(n):=\Gr(n, \infty)$ обозначает объединение всех этих пространств} (то есть прямой предел клеточных комплексов). Это пространство $n$-мерных плоскостей в $k^\infty$, где $k^\infty$ обозначает $\bigoplus_{i=0}^\infty k$. \теорема Пусть $B$ -- расслоение над многообразием $M$. {\бф \ред Тогда $B \oplus B'$ тривиально, для какого-то расслоения $B'$ над $M$.} \упражнение Докажите эту теорему самостоятельно (доказательство аналогично теореме Уитни об иммерсии многообразия в $\R^n$). \утверждение Пусть $B$ -- $n$-мерное расслоение на многообразии $M$. {\бф \пурпле Тогда существует отображение $\phi:\; M\arrow \Gr(n)$ такое, что $B=\phi^* B_\fun$.} \доказательство Воспользовавшись теоремой о вложении расслоения в тривиальное, получим тривиализацию $B \oplus B'$, для какого-то расслоения $B'$ над $M$. Соответствующее отображение $\phi:\; M \arrow \Gr(n,m)$ построено выше. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Классифицирующие пространства} \определение Пусть $G$ -- топологическая группа, $X$ -- топологическое пространство. {\бф \блуе Главное $G$-расслоение над $X$} есть топологическое пространство $E$, снабженное свободным действием $G$, таким, что $E/G=X$. \определение {\бф \блуе Классифицирующее пространство} для топологической группы $G$ есть пространство $BG$, снабженное главным $G$-расслоением $G_\fun$, тотальное пространство которого стягиваемо. %\пример %(оставлен в качестве упражнения) %{\бф \ред $Gr(n)$ есть %классифицирующее пространство для $GL(n,k)$.} \теорема Пусть $BG$ -- классифицирующее пространство для группы $G$. Тогда {\бф \ред классы гомотопии отображений $X \arrow BG$ взаимно однозначно соответствуют классам изоморфизма главных $G$-расслоений:} для каждого $G$-расслоения $Y$ существует (единственное до гомотопии) отображение $X \stackrel \phi \arrow BG$ такое, что $\phi^* G_\fun \cong Y$. \дшаг Пусть $Y \arrow X$ -- главное $G$-расслоение. Рассмотрим произведение $Y \times E$ с диагональным действием $G$ как расслоение над $X\times E$. {\бф \пурпле Как $G$-расслоение, $Y \times E\arrow X\times E$ гомотопически эквивалентно $Y\arrow X$.} Отображение проекции на второй аргумент дает $X=Y/G \sim (Y \times E)/G\arrow BG$, что приводит к искомому отображению $X \stackrel \phi \arrow BG$. \newpage {\бф \блуе Классифицирующие пространства (продолжение)} \теорема Пусть $BG$ -- классифицирующее пространство для группы $G$. Тогда {\бф \ред классы гомотопии отображений $X \arrow BG$ взаимно однозначно соответствуют классам изоморфизма главных $G$-расслоений:} для каждого $G$-расслоения $Y$ существует (единственное до гомотопии) отображение $X \stackrel \phi \arrow BG$ такое, что $\phi^* G_\fun \cong Y$. \дшаг Пусть $Y \arrow X$ -- главное $G$-расслоение. Рассмотрим произведение $Y \times E$ с диагональным действием $G$ как расслоение над $X\times E$. {\бф \пурпле Как $G$-расслоение, $Y \times E\arrow X\times E$ гомотопически эквивалентно $Y\arrow X$.} Отображение проекции на второй аргумент дает $X=Y/G \sim (Y \times E)/G\arrow BG$, что приводит к искомому отображению $X \stackrel \phi \arrow BG$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть даны отображения $X \stackrel {\phi_i} \arrow BG$, $i=0,1$. Получаем расслоение $(Y\times \{0,1\})\times E\stackrel {\check\Phi}\arrow (X\times \{0,1\})\times E$, факторизация по $G$ и проекция на второй аргумент дает $\phi_i$. Поскольку $\phi_i$ индуцирует одно и то же расслоение, $\check\Phi$ можно продолжить до $(Y\times [0,1])\times E\stackrel {\Phi}\arrow (X\times [0,1])\times E$. Факторизуя по $G$ и проектируя на $E/G=BG$, {\бф \пурпле получаем искомую гомотопию $(Y\times [0,1])\times E\arrow BG$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Классифицирующее пространство для $U(n)$} Отныне мы будем работать над $\C$, и наше поле $k=\C$. \теорема \\ {\бф \ред $Gr(n,\C)$ есть классифицирующее пространство для $U(n)$.} \дшаг Пусть $E_n$ -- множество всех последовательностей $\{x_1, ..., x_n\}\subset k^\infty$ из $n$ ортонормированных векторов в $\C^\infty$ {\бф \блуе (``Многообразие Штифеля'')}. Очевидно, $E/GL(n)=\Gr(n)$. {\bf \purple Осталось убедиться, что $E_n$ стягиваемо.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $Y\arrow X$ локально тривиальное расслоение, слой которого стягиваем, и база тоже стягиваема. {\бф \ред Тогда $Y$ стягиваемо} (докажите это). {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $S^\infty\subset \C^\infty$ единичную сферу в $\C^\infty$. {\бф \пурпле Тогда $E_n$ расслоено над $S^n$ со слоем $E_{n-1}$.} Для доказательства стягиваемости $E_n$ {\бф \пурпле осталось убедиться, что $S^\infty$ стягиваемо, и применить индукцию.} \newpage {\бф \блуе Классифицирующее пространство для $U(n)$ (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} {\бф \пурпле Проще убедиться, что $\C^\infty\backslash 0$ стягиваемо} (эти пространства, очевидно, гомотопически эквивалентны). Выберем в $\C^\infty$ базис, пронумерованный $\Z^{\geq 0}$. Рассмотрим отображение $N:\; \C^\infty \arrow \C^\infty$, переводящее $i$-й вектор базиса в $i+1$-й. Тогда $t\Id +(1-t) N$ переводит $\C^\infty\backslash 0$ в себя для любого $t\in \R$. {\бф \ред Это задает гомотопию тождественного отображения $\Id_{\C^\infty\backslash 0}$ и $N$.} {\бф \греен Шаг 5:} Поскольку вектор $(1,0,0,0, ...)$ не принадлежит образу $N$, из него можно спроектировать на аффинное пространство $A=\{ 1/2, t_1, t_2, ...\}$, получив гомотопию $\Id$ и отображения $\C^\infty\backslash 0\arrow A$. {\бф \пурпле Поскольку $A$ стягиваемо, это отображение гомотопно тривиальному.} \ендпрооф \замечание Классы гомотопии главных $U(n)$ расслоений это то же самое, что классы гомотопии векторных $n$-мерных расслоений над $\C$ {\бф \ред (проверьте это).} \следствие {\бф \ред Классы гомотопии $n$-мерных расслоений суть гомотопические классы отображения в $\Gr(n)$.} \замечание Мы доказали это над $\C$; доказательство над $\R$ остается как упражнение. \newpage {\бф \блуе Бесконечномерный грассманиан} \упражнение Пусть $X_\infty = \bigcup X_i$ -- счетное объединение стягиваемых клеточных пространств. {\бф \пурпле Тогда $X_\infty$ тоже стягиваемо.} \определение Выберем базис $x_0, x_1, ..., $ в $\C^\infty$, и пусть $N:\; \C^\infty \arrow \C^\infty$ определено как выше, $N(x_i) = x_{i+1}$. Рассмотрим вложение $Gr(n, \infty)\hookrightarrow Gr(n+1, \infty),$ переводящее подпространство $L\subset \C^\infty$ в $\langle x_0, N(L)\rangle$. Объединение $\bigcup_n Gr(n, \infty)$ называется {\бф \блуе бесконечномерный грассманиан}, и обозначается $BU$. \теорема \\ {\бф \ред $BU$ есть классифицирующее пространство для $U=\bigcup_n U(n)$.} \доказательство Рассмотрим вложения $E_1\subset E_2 \subset ...$ полученные как выше, $\{\zeta_1, ..., \zeta_m\} \in \C^\infty$ переводится в $\{x_0, N(\zeta_1), ..., N(\zeta_m)\}$, и пусть $E_\infty$ есть объединение всех $E_i$. По построению, $BG= E_\infty/U$, значит, {\бф \пурпле достаточно убедиться, что $E_\infty$ стягиваемо.} Это вытекает из предыдущего упражнения. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Стабильная эквивалентность} \определение Векторные расслоения $B_1$ и $B_2$ называются {\бф \блуе стабильно эквивалентными}, если $B_1\oplus U_1 \cong B_2 \oplus U_2$, где $U_i$ -- тривиальные векторные расслоения. \теорема Пусть $X$ -- конечное клеточное пространство. Тогда {\бф \пурпле классы гомотопии отображений $X \arrow BG$ биективно соответствуют классам стабильной эквивалентности векторных расслоений.} \доказательство Проверьте самостоятельно. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Когомологии $BU$} \замечание В силу периодичности Ботта, $BU=\Omega U$, значит, {\бф \ред $BU$ есть $H$-группа, и можно применить теорему Хопфа, чтобы узнать ее когомологии.} Поскольку для теоремы Хопфа достаточно только коумножения (и коединицы) в когомологиях, для того же самого результата {\бф \пурпле достаточно построить на $BU$ структуру $H$-пространства.} \утверждение Рассмотрим отображение $V:\; \C^\infty \times \C^\infty \arrow \C^\infty$, переводящее базисные вектора $x_i$ первого пространства в $x_{2i}$, а базисные вектора второго пространства в $x_{2i+1}$. Тогда $L, L' \arrow V(L, L')$ {\бф \ред задает структуру $H$-пространства} на бесконечном грассманиане $BU$. \доказательство Нечего тут доказывать. \ендпрооф \следствие\\ {\бф \ред $H^*(BU, \Q)$ -- свободная суперкоммутативная алгебра.} \замечание Нетрудно написать клеточное разложение для грассманиана, все клетки которого {\бф \блуе ("клетки Шуберта")} будут четными. Значит, $H^*(BU)$ коммутативна. \newpage {\бф \блуе Когомологии $BU$ (продолжение)} \утверждение {\бф \ред $H^*(BU, \Q)$ -- свободная полиномиальная алгебра, порожденная примитивными классами $ch_1, ch_2, ...$ во всех четных степенях.} \доказательство Рассмотрим фундаментальное расслоение $E\arrow BU$ со слоем $U$. Когомологии $U$ нам ведомы: это свободная грассманова алгебра, порожденная образующими во всех нечетных степенях. Поскольку $E$ стягиваемо, для каждой образующей $\xi_{2i-1}$ в $H^{2i1}(U)$ должен существовать класс $ch_{2i}\in H^{2i}(BU)$, который будет образом соответствующего дифференциала спектральной последовательности. Что между такими классами нет соотношений, это следует из теоремы Хопфа. \endproof \newpage {\бф \блуе Классы Черна: аксиоматическое определение} {\бф \блуе Классы Черна} суть классы $c_i(B)\in H^{2i}(B)$, $i=0,1, 2, ...$, определенные для любого векторного расслоения $B$ на клеточном пространстве $X$, и удовлетворяющие следующим аксиомам. 1. $c_0(V)=1$. 2. {\бф \блуе функториальность:} если $f:\; X \arrow Y$ непрерывно, то $f^* c_i(B)= c_i(f^*B)$. 3. {\бф \блуе Формула Уитни:} $c_*(B\oplus B')=c_*(B)c_*(B')$, где $c_*(B)=\sum_i c_i(B)$. 4. Если $\calo(i)$ -- стандартное расслоение на проективном пространстве, то $c_1(\calo(1))=[H]$, где $[H]$ -- фундаментальный класс гиперплоскости, а для всех $i>0$, $c_i(\calo(1))=0$. \newpage {\бф \блуе Характер Черна и классы Черна: явная конструкция} \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение на $X$, а $\phi:\; X \arrow BU(n)\subset BU$ -- соответствующее отображение. {\бф \блуе $i$-й характер Черна $ch_i(B)$} есть класс когомологий $ch_i(B) \in H^{2i}(X)$, полученный как $\phi^*(ch_i)$, где $ch_i$ -- примитивная образующая $H^*(BU)$, построенная только что. \определение {\бф \блуе $k$-й класс Черна} расслоения $B$ определяется как компонента градуировки $2k$ в сумме $e^{\sum_i ch_i(B)}$. В частности, $c_1(B)=ch_1(B)$. \замечание Классы Черна целые (если выбрать правильную нормализацию $ch_i$). {\бф \ред Над $\Z$, когомологии $BU$ порождены классами Черна фундаментального расслоения $B_\fun$.} \замечание $BU(1)= \C P^\infty$, ибо бесконечномерная сфера $S^\infty$ расслоена над $\C P^\infty$ со слоем $U(1)$. Алгебра $H^*(\C P^\infty)$ изоморфна $\C[t]$, где $t$ есть фундаментальный класс гиперплоскости. \следствие Первый класс Черна голоморфного линейного расслоения $\calo(1)$, полученного из вложения $X$ в $\C P^n$, равен {\бф \пурпле фундаментальному классу дивизора гиперплоского сечения.} \newpage {\бф \блуе Характер Черна и классы Черна: \\ явная конструкция (продолжение)} \замечание Рассмотрим структуру $H$-пространства на $BU$, построенную выше: $\mu:\; BU\times BU\arrow BU$. Пусть $B_1, B_2$ -- векторные расслоения на $X$, полученные из отображений $\phi_i:\; X\arrow BU$. Тогда $B_1 \oplus B_2$ получено из $\phi_1 \times \phi_2\circ \mu:\; X \arrow BU$. Мы получили, что {\бф \пурпле коумножение в $H^*(BU)$ согласовано с взятием прямой суммы расслоений.} \следствие {\бф \пурпле Характер Черна аддитивен:} $ch_i(B\oplus B')= ch_i(B)+ch_i(B')$. \доказательство $\mu^*(ch_i)=1\otimes ch_i + ch_i\otimes 1$, поскольку $ch_i$ примитивны. Значит, $ch_i(B\oplus B') = (\phi\times \phi')(1\otimes ch_i + ch_i\otimes 1)=\ch_i(B)+ch_i(B')$. \ендпрооф \следствие (формула Уитни)\\ Обозначим за $c_*(B)\in H^*(X)$ тотальный класс Черна расслоения, то есть $ \sum_{i\geq 0} c_i(B)$, где $c_0(B)=1$. {\бф \ред Тогда $c_*(B\oplus B')=c_*(B)c_*(B')$.} \доказательство $e^{a+b}=e^ae^b$. \ендпрооф \end{document}