\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Трисимплектические многообразия \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Трисимплектические многообразия\\[15mm] \small совместная работа с Маркусом Жардимом. } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН \\[2mm] 3 мая 2012, Новосибирск } \end{center} \newcommand{\bOmega}{{\boldsymbol{\boldsymbol{\Omega}}}} \newpage {\бф \блуе Комплексификация многообразия} \определение Пусть $M$ -- комплексное многообразие, снабженное антикомплекнсон инволюцией $\iota$. Множество неподвижных точек $\iota$ называется {\бф \блуе вещественно аналитическое многообразие}, а росток $M$ в $M_\R$ -- {\бф \блуе комплексификацией} $M_\R$. \замечание {\бф \ред $M_\R$ всегда гладко, и $\dim_\R M_\R = \dim_\C M$.} \вопрос {\бф \пурпле Какими структурами наделена комплексификация кэлерова многооббразия?} \теорема (Д. Каледин, Б. Фейкс) Пусть $M$ -- вещественно-аналитическое кэлерово многообразие, а $M_\C$ его комплексификация. {\bf \red Тогда $M_\C$ снабжено гиперкэлеровой структурой,} которая определяется функториально и единственным образом по кэлеровой структуре на $M$. \вопрос {\бф \пурпле Какими структурами наделена комплексификация гиперкэлерова многооббразия?} {\bf \blue ЭТО ОСНОВНОЙ ПРЕДМЕТ СЕГОДНЯШНЕЙ ЛЕКЦИИ.} \newpage {\бф \блуе План:} 1. Трисимплектические структуры на векторном пространстве (линейная алгебра) 2. Трисимплектические структуры на многообразии (дифференциальная геометрия) 3. Примеры и применения к пространствам инстантонов. \newpage {\бф \блуе Трисимплектическая структура на векторном пространстве} \определение {\бф \блуе Трисимплектическая структура} на $2н$-мерном комплексном векторном пространстве $V$ есть 3-мерное подпространство $\bOmega\subset \Lambda^2V^*$ в пространстве 2-форм, такое, что любой $\eta\in \bOmega$ имеет ранг $2n$, $n$ или 0. \замечание В таком случае, $\bOmega$ содержит симплектическую форму. \предложение Для симплектических форм $\omega_1, \omega_2\in \bOmega$, рассмотрим отображение $\phi_{\omega_1, \omega_2}:= \omega_1\circ\omega_2^{-1}\in \End(V)$. Тогда {\bf \purple $\phi_{\omega_1, \omega_2}$ можно выразить в подходящем базисе матрицей} {\scriptsize\[ \phi_{\omega_1, \omega_2}=\begin{pmatrix} \lambda &0&0 &\hdotsfor{1} &0&0&0\\ 0&\lambda &0 &\hdotsfor{1} &0&0&0\\ 0&0&\lambda &\hdotsfor{1} &0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0 &\hdotsfor{1} &\lambda'&0&0\\ 0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&\lambda'&0\\ 0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&0&\lambda' \end{pmatrix}, \]} с собственными пространствами одинаковой размерности. \ендпрооф \теорема Пусть $(V, \bOmega)$ -- трисимплектическое пространство, а $H\subset \End(V)$ -- алгебра, порожденная $\phi_{\omega_1, \omega_2}$ для всех симплектических $\omega_1, \omega_2\in \bOmega$. {\bf \red Тогда $H$ изоморфна матричной алгебре $\Mat(2)$,} которая действует на $V$ обычным образом. \newpage {\бф \блуе Трисимплектические структуры как представления $\Mat(2)$} \определение {\бф \блуе Обычное действие} матричной алгебры $\Mat(2)$ на $V=V_0\otimes_\C \C^2 = \bigoplus ^i \C^2$ есть такое действие, где $\Mat(2)$ действует на каждом из слагаемых $\C^2$ как на своем фундаментальном представлении. \утверждение Пусть $V$ -- представление алгебры $\Mat(2)$, действующей на $V$ обычным образом. Рассмотрим соответствующее действие $SL(2)$ на $V$, и продолжим его на тензорные степени $V$ по мультипликативности. Пусть $g\in \Sym^2_\C(V)$ -- $SL(2)$-инвариантная, невырожденная 2-форма на $V$, а $\{I,J,K\}$ -- кватернионный базис в $\Mat(2)$. Тогда \[ g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = - g(Ix, y) \] значит, форма $\Omega_I(\cdot, \cdot):= g(\cdot, I\cdot)$ симплектическая, и очевидно невырожденная; формы $\Omega_J$, $\Omega_K$ определяются аналогичным образом. Определим $\bOmega:=\langle\Omega_I, \Omega_J, \Omega_K\rangle$. {\бф \ред Тогда $\bOmega$ есть трисимплектическая структура, и все трисимплектические структуры получаются из представлений $\Mat(2)$ таким образом.} \newpage {\bf \blue Трисимплектическое многообразие} \определение {\бф \блуе Трисимплектическая структура} на комплексном $2n$-многообразии есть тройка голоморфных симплектических форм $\Omega_1$, $\Omega_2$, $\Omega_3$, таких, что любая линейная комбинация этих форм имеет постоянный ранг $2n$, $n$ или 0. Обозначим за $\bOmega$ 3-мерное пространство, порожденное $\Omega_i$. Очевидно, $\bOmega$ определяет трисимплектическую структуру в каждой точке $M$. \замечание Пусть $\Omega_1, \Omega_2\in \bOmega$. Рассмотрим $P(t):=\det(\Omega_1 + t\Omega_2)$ как полином от $t$. Поскольку собственные значения $\Omega_1 + t\Omega_2$ имеют кратность $n$, {\бф \ред $P(t)=Q(t)^{n/2}$, где $Q$ -- квадратичный полином}. \утверждение Существует невырожденная квадратичная форма $Q$ на $\bOmega$, такая, что {\bf \red $\Omega\in \bOmega$ невырождена $\Leftrightarrow$ $Q(\Omega,\Omega)=0$.} \следствие Для каждой вырожденной формы $\Omega\in \bOmega$, ее радикал $\ker \Omega$ задает подрасслоение коразмерности $n$ в $TM$. Более того, {\бф \пурпле для любых непропорциональных вырожденных $\Omega, \Omega'\in \bOmega$, имеем $TM=\ker \Omega\oplus \ker \Omega'$.} \замечание Поскольку $\Omega$ замкнуты, подрасслоение $\ker \Omega$ {\бф \блуе инволютивно}: $[\ker \Omega, \ker \Omega]\subset \ker \Omega$. %\замечание %Такие подрасслоения также называются {\бф \блуе интегрируемыми}. \newpage {\bf \blue Голоморфные 3-ткани.} \определение Пусть $M$ -- комплексное многообразие, а $S_1$, $S_2$, $S_3$ -- инволютивные, попарно трансверсальные голоморфные подрасслоения в $TM$ размерности $\frac 1 2 \dim M$. Тройка $(S_1, S_2, S_3)$ называется {\бф \блуе голоморфной 3-тканью} на $M$. \замечание В гладкой ситуации, теория 3-тканей разработана Черном и Бляшке в 1930-е. \теорема (диссертация Черна, 1936) Пусть $S_1, S_2, S_3$ -- голоморфная 3-ткань на комплексном многообразии $M$. {\бф \пурпле Тогда существует единственная голоморфная связность $\nabla$ на $M$, сохраняющая подрасслоения $S_i$, такая, что ее кручение $T$ удовлетворяет $T(S_1, S_2)=0$.} \newpage {\bf \blue Голоморфные 3-ткани на трисимплектическом многообразии.} \замечание Для трисимплектической структуры $\bOmega$, рассмотрим тройку попарно различных вырожденных форм $\Omega_i\in \bOmega$. {\бф \пурпле Тогда $\ker \Omega_i$ образуют голоморфную 3-ткань}. \теорема Пусть $\bOmega$ -- трисимплектическая структура, а $\Omega_1,\Omega_2, \Omega_3\in \bOmega$ -- тройка попарно попарно различных вырожденных форм. Тогда {\бф \ред связность Черна $\nabla$ соответствующей 3-ткани не зависит от выбора $\Omega_1,\Omega_2, \Omega_3$.} Более того, {\бф \ред $\nabla$ -- связность без кручения.} \замечание Следовательно, {\бф \пурпле $\nabla$ есть связность Леви-Чивита голоморфной римановой метрики, связанной с $\bOmega$.} {\бф \греен ДАЛЬШЕ БУДУТ ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИСИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ} \newpage {\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия} \определение {\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие} есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами $I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям: $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$. {\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие} есть гиперкомплексное многообразие, снабженное римановой метрикой $g$, которая кэлерова по отношению к $I,J,K$. \замечание Кэлеровость $I$ равносильна условию $\nabla(I)=0$, где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита, a гиперкэлеровость -- {\бф \ред условию $\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$ плюс кватернионные соотношения.} \newpage {\бф \блуе Пространство твисторов} \определение {\бф \блуе Индуцированная комплексная структура} на гиперкэлеровом многообразии есть комплексная структура вида $S^2 \cong \{ L:= aI + bJ +c K, \ \ \ a^2+b^2+c^2=1.\}$ \замечание Индуцированные комплексные структуры обычно неалгебраические. Если $M$ компактно, то для общих $a, b, c$, многообразие $(M,L)$ не имеет дивизоров. \определение {\бф \блуе Пространство твисторов} гиперкэлерова многообразия есть {\бф \греен комплексное многообразие, полученное склеиванием этих комплексных стркутур в голоморфное семейство над $\C P^1$.} Более формально: Пусть $\Tw(M) := M \times S^2$. Рассмотримн комплексную структуру $I_x:T_mM \to T_mM$, индуцированную $x\in \C P^1 = S^2$. Пусть $I_{\C P^1}$ обозначает обычную комплексную структуру на $\C P^1$. Оператор $I_{\Tw}\restrict{(m,x)} = I_x \oplus I_{\C P^1}$ удовлетворяет $I_{\Tw} ^2 = -\Id$, то есть задает почти комплексную структуру. {\бф \пурпле Эта почти комплексная структура интегрируема} (Саламон). \пример Если $M={\Bbb H^n}$, то $\Tw(M)= \Tot (\calo(1)^{\oplus n}) \cong \C P^{2n+1} \backslash \C P^{2n-1}$ \замечание Если $M$ компактно, то {\бф \ред $\Tw(M)$ никогда не допускает кэлеровой структуры.} \newpage {\bf \blue Рациональные кривые на $\Tw(M)$.} \определение {\бф \блуе Рациональная кривая} на комплексном многообразии есть образ голоморфного отображения $\C P^1 \arrow M$. \определение Обозначим за $\Sec(M)$ {\бф \блуе пространство голоморфных сечений} твисторной проекции $\Tw(M)\stackrel\pi\arrow\C P^1$. \определение Для каждой точки $m \in M$, {\бф \блуе горизонтальное сечение} $C_m:=\{m\} \times \C P^1$ -- рациональная кривая в $\Tw(M)$, лежащая в $\Sec(M)$. \замечание Общая кривая $C\in \Sec(M)$ {\греен "однозначно восстанавливается по двум своим точкам"} (как на $\C P^n$). \определение Твисторное сечение $C\subset \Tw(M)$ называется {\бф \блуе регулярным}, если его нормальное расслоение такое же, как у горизонтальных сечений: $N C= {\cal O}(1)^{\dim M}$. Множество регулярных сечений обозначим за $\Sec_0(M)$. \утверждение Для любой пары $I\neq J\in \C P^n$, рассмотрим отображение эвалюации $\Sec(M) \stackrel {E_{I,J}} \arrow (M,I)\times (M,J)$, $s\arrow s(I)\times s(J)$. Тогда {\bf \red $E_{I,J}$ {\бф \блуе этально} (локальный диффеоморфизм) в окрестности любого регулярного сечения}. \newpage {\bf \blue Комплексификация гиперкэлерова многообразия} \замечание Рассмотрим антикомплексную инволюцию $\Tw(M) \stackrel \iota \arrow \Tw(M)$, переводящую $(m,t)$ в $(m, i(t))$, где $i:\; \C P^1\arrow \C P^1$ центральная симетрия $S^2 =\C P^1$. Тогда $\iota$ переводит голоморфные сечения $\Tw(M)\stackrel\pi\arrow\C P^1$, значит, задает антикомплексную инволюцию $\Sec(M)$. \утверждение {\bf \purple $\Sec_{hor}(M)=M$ -- одна из компонент множества неподвижных точек $\iota:\; \Sec(M)\arrow \Sec(M)$.} \следствие {\бф \ред $\Sec(M)$ -- комплексификация $M$.} \утверждение Пусть $I\in \C P^1$, а $ev_I:\; \Sec_0(M)\arrow (M,I)$ -- отображение эвалюации, переводящее $S\in \Sec_0(M)$ в $S(I)$. Обозначим за $\Omega_I$ голоморфную симплектическую форму $(M,I)$. Тогда {\бф \ред 2-формы $ev_I^*\Omega_I$ порождают трисимплектическую структуру на $\Sec_0(M)$}. \newpage {\bf \blue Голоморфные расслоения на $\C P^3$ и твисторные сечения} \определение {\бф \блуе Инстантон} на $\C P^2$ есть стабильное расслоение $B$ с $c_1(B)=0$. {\бф \блуе Инстантон с фреймингом} есть инстантон, снабженный тривиализацией $B\restrict C$ для фиксированной прямой $C \subset \C P^2$. \теорема (Нам, Атья, Хитчин) Пространство ${\cal M}_{r,c}$ инстантонов с фреймингом на $\C P^2$ {\бф \ред гладкое, связное, гиперкэлерово}. \теорема {\бф \пурпле Существует биекция} между голоморфными расслоениями на $\Tw({\Bbb H})=\C P^3\backslash \C P^1$, с подходящими условиями стабильности и фреймингом, и пространством твисторных сечений $\Sec({\cal M}_{r,c})$. Это соответствие используется для доказательства следующей теоремы. \теорема {\бф \ред Пространство ${\Bbb M}_{r,c}$ фреймированных математических инстантонов на $\C P^3$ гладко}. \замечание Для доказательства гладкости ${\cal M}_{r,c}$, используется {\бф \блуе "гиперкэлерова редукция"} (Хитчин, Карлхеде, Линдстром, Рочек). Для доказательства гладкости ${\Bbb M}_{r,c}$ используется ее трисимплектический аналог -- {\бф \блуе "тригиперкэлерова редукция".} \end{document}