
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Трисимплектические многообразия \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Трисимплектические многообразия\\[15mm]
\small совместная работа с Маркусом Жардимом. }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
\\[2mm] 3 мая 2012, Новосибирск
}
\end{center}


\newcommand{\bOmega}{{\boldsymbol{\boldsymbol{\Omega}}}}




\newpage

{\бф \блуе Комплексификация многообразия}

\определение
Пусть $M$ -- комплексное многообразие, снабженное
антикомплекнсон инволюцией $\iota$. Множество неподвижных
точек $\iota$ называется {\бф \блуе вещественно аналитическое
многообразие}, а росток $M$ в $M_\R$ -- {\бф \блуе комплексификацией}
$M_\R$.

\замечание
{\бф \ред $M_\R$ всегда гладко, и $\dim_\R M_\R = \dim_\C M$.}

\вопрос 
{\бф \пурпле 
Какими структурами наделена 
комплексификация кэлерова многооббразия?}

\теорема (Д. Каледин, Б. Фейкс)
Пусть $M$ -- вещественно-аналитическое кэлерово многообразие,
а $M_\C$ его комплексификация. {\bf \red Тогда $M_\C$ снабжено
гиперкэлеровой структурой,} которая определяется
функториально и единственным образом по кэлеровой
структуре на $M$.


\вопрос 
{\бф \пурпле 
Какими структурами наделена 
комплексификация гиперкэлерова многооббразия?}

{\bf \blue ЭТО ОСНОВНОЙ ПРЕДМЕТ СЕГОДНЯШНЕЙ ЛЕКЦИИ.}


\newpage 

{\бф \блуе План:}

1. Трисимплектические структуры на векторном пространстве
(линейная алгебра)

2. Трисимплектические структуры на многообразии
(дифференциальная геометрия)

3. Примеры и применения к пространствам инстантонов.


\newpage

{\бф \блуе Трисимплектическая структура на векторном пространстве}

\определение
{\бф \блуе Трисимплектическая структура}
на $2н$-мерном комплексном векторном пространстве $V$
есть 3-мерное подпространство $\bOmega\subset \Lambda^2V^*$
в пространстве 2-форм, такое, что любой
$\eta\in \bOmega$ имеет ранг 
$2n$, $n$ или 0.

\замечание
В таком случае, 
$\bOmega$ содержит симплектическую форму.

\предложение
Для симплектических форм $\omega_1, \omega_2\in \bOmega$,
рассмотрим отображение $\phi_{\omega_1, \omega_2}:=
\omega_1\circ\omega_2^{-1}\in \End(V)$. Тогда
{\bf \purple $\phi_{\omega_1, \omega_2}$ можно выразить 
в подходящем базисе матрицей}
{\scriptsize\[
\phi_{\omega_1, \omega_2}=\begin{pmatrix}
\lambda &0&0 &\hdotsfor{1} &0&0&0\\
0&\lambda &0 &\hdotsfor{1} &0&0&0\\
0&0&\lambda &\hdotsfor{1} &0&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&
\ddots
&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &\lambda'&0&0\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&\lambda'&0\\
0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&0&\lambda'
\end{pmatrix},
\]}
с собственными пространствами одинаковой
размерности. \ендпрооф

\теорема
Пусть  $(V, \bOmega)$ -- трисимплектическое пространство,
а $H\subset \End(V)$ -- алгебра, порожденная 
$\phi_{\omega_1, \omega_2}$ для всех симплектических
$\omega_1, \omega_2\in \bOmega$. {\bf \red Тогда $H$
изоморфна матричной алгебре $\Mat(2)$,}
которая действует на $V$ обычным образом.

\newpage

{\бф \блуе Трисимплектические структуры как представления $\Mat(2)$}

\определение
{\бф \блуе Обычное действие} матричной алгебры $\Mat(2)$
на $V=V_0\otimes_\C \C^2 = \bigoplus ^i \C^2$ есть
такое действие, где $\Mat(2)$ действует на каждом 
из слагаемых $\C^2$ как на своем фундаментальном представлении.

\утверждение
Пусть $V$ -- представление алгебры $\Mat(2)$, действующей
на $V$ обычным образом. Рассмотрим соответствующее действие $SL(2)$
на $V$, и продолжим его на тензорные степени $V$ по мультипликативности.
Пусть $g\in \Sym^2_\C(V)$ -- $SL(2)$-инвариантная, невырожденная
2-форма на $V$, а $\{I,J,K\}$ -- кватернионный базис в 
$\Mat(2)$. Тогда 
\[
g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = - g(Ix, y)
\]
значит, форма $\Omega_I(\cdot, \cdot):= g(\cdot, I\cdot)$
симплектическая, и очевидно невырожденная; формы
$\Omega_J$, $\Omega_K$ определяются аналогичным образом.
Определим $\bOmega:=\langle\Omega_I,
\Omega_J, \Omega_K\rangle$. {\бф \ред Тогда $\bOmega$
есть трисимплектическая структура, и все 
трисимплектические структуры получаются
из представлений $\Mat(2)$ таким образом.}


\newpage

{\bf \blue Трисимплектическое многообразие}

\определение
{\бф \блуе Трисимплектическая структура}
на комплексном $2n$-многообразии есть тройка
голоморфных симплектических форм $\Omega_1$, $\Omega_2$, 
$\Omega_3$, таких, что любая линейная комбинация
этих форм имеет постоянный ранг $2n$, $n$ или 0.
Обозначим за $\bOmega$ 3-мерное пространство,
порожденное $\Omega_i$. Очевидно, $\bOmega$
определяет трисимплектическую структуру в 
каждой точке $M$.

\замечание
Пусть $\Omega_1, \Omega_2\in \bOmega$. Рассмотрим
$P(t):=\det(\Omega_1 + t\Omega_2)$ как полином от $t$.
Поскольку собственные значения $\Omega_1 + t\Omega_2$
имеют кратность $n$, {\бф \ред $P(t)=Q(t)^{n/2}$,
где $Q$ -- квадратичный полином}.

\утверждение
Существует невырожденная квадратичная форма
$Q$ на $\bOmega$, такая, что {\bf \red $\Omega\in \bOmega$ 
невырождена $\Leftrightarrow$ $Q(\Omega,\Omega)=0$.}

\следствие
Для каждой вырожденной формы $\Omega\in \bOmega$,
ее радикал $\ker \Omega$ задает подрасслоение
коразмерности $n$ в $TM$. Более того,
{\бф \пурпле для любых непропорциональных вырожденных
$\Omega, \Omega'\in \bOmega$, имеем $TM=\ker \Omega\oplus \ker \Omega'$.}

\замечание
Поскольку $\Omega$ замкнуты, подрасслоение
$\ker \Omega$ {\бф \блуе инволютивно}:
$[\ker \Omega, \ker \Omega]\subset \ker \Omega$.

%\замечание
%Такие подрасслоения также называются {\бф \блуе интегрируемыми}.

\newpage 

{\bf \blue Голоморфные 3-ткани.}

\определение
Пусть $M$ -- комплексное многообразие,
а $S_1$, $S_2$, $S_3$ -- инволютивные, 
попарно трансверсальные голоморфные подрасслоения
в $TM$ размерности $\frac 1 2 \dim M$. Тройка
 $(S_1, S_2, S_3)$ называется {\бф \блуе
голоморфной 3-тканью} на $M$.

\замечание
В гладкой ситуации, теория 3-тканей разработана
Черном и Бляшке в 1930-е.

\теорема
(диссертация Черна, 1936)
Пусть $S_1, S_2, S_3$ -- голоморфная 3-ткань
на комплексном многообразии $M$. {\бф \пурпле Тогда 
существует единственная голоморфная связность
$\nabla$ на $M$, сохраняющая подрасслоения
$S_i$, такая, что ее кручение $T$ удовлетворяет
$T(S_1, S_2)=0$.}


\newpage 

{\bf \blue Голоморфные 3-ткани на трисимплектическом многообразии.}

\замечание Для трисимплектической структуры $\bOmega$,
рассмотрим тройку попарно различных 
вырожденных форм $\Omega_i\in \bOmega$.
{\бф \пурпле Тогда $\ker \Omega_i$ образуют голоморфную
3-ткань}.

\теорема  
Пусть $\bOmega$ -- трисимплектическая структура,
а $\Omega_1,\Omega_2,  \Omega_3\in \bOmega$ --
тройка попарно попарно различных 
вырожденных форм. Тогда  {\бф \ред связность Черна $\nabla$
соответствующей 3-ткани не зависит от выбора
$\Omega_1,\Omega_2,  \Omega_3$.} Более того,
{\бф \ред $\nabla$ -- связность без кручения.}

\замечание
Следовательно, {\бф \пурпле $\nabla$ есть связность 
Леви-Чивита голоморфной римановой метрики,
связанной с $\bOmega$.}

{\бф \греен ДАЛЬШЕ БУДУТ ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ТРИСИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ}


\newpage

{\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия}

\определение
{\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие}
есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами
$I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют 
кватернионным соотношениям:  $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$.
{\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие}
есть гиперкомплексное многообразие, снабженное
римановой метрикой $g$, которая кэлерова
по отношению к $I,J,K$.

\замечание
Кэлеровость $I$ равносильна условию $\nabla(I)=0$,
где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита,
a гиперкэлеровость -- {\бф \ред условию
$\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$
плюс кватернионные соотношения.}


\newpage

{\бф \блуе Пространство твисторов}

\определение
{\бф \блуе Индуцированная комплексная структура}
на гиперкэлеровом многообразии есть комплексная
структура вида $S^2 \cong \{ L:= aI + bJ +c K, \ \ \ a^2+b^2+c^2=1.\}$

\замечание
Индуцированные комплексные структуры обычно неалгебраические.
Если $M$ компактно, то для общих $a, b, c$, многообразие $(M,L)$
не имеет дивизоров.

\определение {\бф \блуе Пространство твисторов} гиперкэлерова
многообразия есть {\бф \греен комплексное многообразие, полученное склеиванием
этих комплексных стркутур в голоморфное семейство над $\C P^1$.}
Более формально: 
Пусть  $\Tw(M) := M \times S^2$. Рассмотримн комплексную структуру
 $I_x:T_mM \to T_mM$, индуцированную $x\in \C P^1 = S^2$.
Пусть $I_{\C P^1}$ обозначает обычную комплексную
структуру на $\C P^1$. Оператор $I_{\Tw}\restrict{(m,x)} = I_x \oplus I_{\C P^1}$
удовлетворяет $I_{\Tw} ^2 = -\Id$, то есть задает
почти комплексную структуру. {\бф \пурпле Эта почти комплексная
структура интегрируема} (Саламон).

\пример 
Если $M={\Bbb H^n}$, то $\Tw(M)= \Tot (\calo(1)^{\oplus n})
\cong \C P^{2n+1} \backslash \C P^{2n-1}$

\замечание
Если $M$ компактно, то {\бф \ред $\Tw(M)$ никогда не допускает
кэлеровой структуры.}

\newpage 

{\bf \blue Рациональные кривые на $\Tw(M)$.}

\определение {\бф \блуе Рациональная кривая}
на комплексном многообразии
есть образ голоморфного отображения $\C P^1 \arrow M$.

\определение
Обозначим за $\Sec(M)$ {\бф \блуе пространство
голоморфных сечений} твисторной проекции
$\Tw(M)\stackrel\pi\arrow\C P^1$.

\определение
Для каждой точки  $m \in M$,
{\бф \блуе горизонтальное сечение}
$C_m:=\{m\} \times \C P^1$ -- рациональная
кривая в $\Tw(M)$, лежащая в $\Sec(M)$.

\замечание
Общая кривая $C\in \Sec(M)$ {\греен "однозначно восстанавливается
по двум своим точкам"} (как на $\C P^n$).


\определение
Твисторное сечение  $C\subset \Tw(M)$ называется {\бф \блуе регулярным},
если его нормальное расслоение такое же, как у горизонтальных
сечений: $N C= {\cal O}(1)^{\dim M}$. Множество регулярных сечений
обозначим за $\Sec_0(M)$.

\утверждение
Для любой пары $I\neq J\in \C P^n$, рассмотрим отображение
эвалюации $\Sec(M) \stackrel {E_{I,J}}
\arrow (M,I)\times (M,J)$, $s\arrow s(I)\times s(J)$.
Тогда {\bf \red $E_{I,J}$ {\бф \блуе этально} 
(локальный диффеоморфизм) в окрестности
любого регулярного сечения}. 

\newpage 

{\bf \blue Комплексификация гиперкэлерова многообразия}

\замечание
Рассмотрим антикомплексную инволюцию
$\Tw(M) \stackrel \iota \arrow \Tw(M)$, переводящую
$(m,t)$ в $(m, i(t))$, где $i:\; \C P^1\arrow \C P^1$
центральная симетрия $S^2 =\C P^1$. Тогда $\iota$
переводит голоморфные сечения $\Tw(M)\stackrel\pi\arrow\C P^1$,
значит, задает антикомплексную инволюцию $\Sec(M)$.

\утверждение
{\bf \purple $\Sec_{hor}(M)=M$ -- одна из компонент
множества неподвижных точек $\iota:\; \Sec(M)\arrow \Sec(M)$.}

\следствие
{\бф \ред $\Sec(M)$ -- комплексификация $M$.}

\утверждение
Пусть $I\in \C P^1$, а $ev_I:\; \Sec_0(M)\arrow (M,I)$ --
отображение эвалюации, переводящее $S\in \Sec_0(M)$ в $S(I)$.
Обозначим за $\Omega_I$ голоморфную симплектическую форму $(M,I)$.
Тогда {\бф \ред 2-формы $ev_I^*\Omega_I$ порождают трисимплектическую
структуру на $\Sec_0(M)$}.

\newpage 

{\bf \blue Голоморфные расслоения на $\C P^3$ и твисторные сечения}


\определение
{\бф \блуе  Инстантон} на $\C P^2$ есть стабильное расслоение
$B$ с $c_1(B)=0$. {\бф \блуе Инстантон с фреймингом}
есть инстантон, снабженный тривиализацией 
$B\restrict C$ для фиксированной прямой $C \subset \C P^2$.

\теорема (Нам, Атья, Хитчин)
Пространство ${\cal M}_{r,c}$ инстантонов
с фреймингом на $\C P^2$ {\бф \ред гладкое, связное, гиперкэлерово}.

\теорема
{\бф \пурпле Существует биекция} между голоморфными
расслоениями на $\Tw({\Bbb H})=\C
P^3\backslash \C P^1$, с подходящими условиями стабильности
и фреймингом, и пространством твисторных сечений
$\Sec({\cal M}_{r,c})$.

Это соответствие используется для доказательства следующей теоремы.

\теорема
{\бф \ред Пространство ${\Bbb M}_{r,c}$ фреймированных
математических инстантонов на $\C P^3$ гладко}.

\замечание
Для доказательства гладкости  ${\cal M}_{r,c}$,
используется {\бф \блуе "гиперкэлерова редукция"} (Хитчин,
Карлхеде, Линдстром, Рочек). Для доказательства
гладкости ${\Bbb M}_{r,c}$ используется 
ее трисимплектический аналог -- 
{\бф \блуе "тригиперкэлерова редукция".}



\end{document}
