
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Теорема Торелли для гиперкэлеровых многообразий \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Глобальная 
теорема Торелли \\[15mm]
для гиперкэлеровых многообразий
\small }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Математический институт СО РАН
\\[2mm] 2 мая 2012, Новоссибирск
}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия}

\определение
{\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие}
есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами
$I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют 
кватернионным соотношениям:  $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$.
{\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие}
есть гиперкомплексное многообразие, снабженное
римановой метрикой $g$, которая кэлерова
по отношению к $I,J,K$.

\замечание
Кэлеровость $I$ равносильна условию $\nabla(I)=0$,
где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита,
a гиперкэлеровость -- {\бф \ред условию
$\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$
плюс кватернионные соотношения.}


\утверждение
{\бф \пурпле Любое гиперкэлерово многообразие голоморфно симплектично.}


\доказательство
Напишем кэлеровы формы, связанные с $I,J,K$:
$\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$. Любая их линейная
комбинация замкнута, а $\Omega:= \omega_J+\1\omega_K$
имеет тип (2,0) на $(M,I)$. \ендпрооф

Обратное тоже верно: {\бф \ред каждое голоморфно симплектическое
компактное кэлерово многообразие гиперкэлерово.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Калаби-Яу}


\определение
{\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного
многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$.

\определение
{\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное
кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$.


\определение
{\бф\блуе  Кэлеров класс} $[\omega]\in H^2(M)$ 
кэлерова многообразия есть класс когомологий 
кэлеровой формы $\omega$.

\теорема
(Калаби-Яу) 
Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда
существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика
в каждом кэлеровом классе.}


\теорема
Пусть $(M,I)$ -- компактное голоморфно симплектическое 
многообразие, $[\omega]\in H^2(M,\R)$ eго
кэлеров класс,  $\Omega$ -- голоморфная симплектическая
форма. Предположим, что $\Re\Omega^2=[\omega]^2$. Тогда
{\бф \ред на $(M,I)$ существует и единственна гиперкэлерова
структура, такая, что $[\omega_I]=[\omega]$,
$\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$.}

Эта теорема следует из теоремы Калаби-Яу.

\невпаге

{\бф \блуе Группа голономий}


\определение
(Эли Картан, 1923)
Пусть $(M, \nabla)$ -- расслоение со связностью
над $M$. Для каждой петли $\gamma$, идущей из
$x$ в $x\in M$, обозначим за 
$V_{\gamma, \nabla}:\; B\restrict x \arrow B\restrict x$
соответствующее отображение параллельного переноса
вдоль связности. {\бф \блуе Группа голономий}
 $(B,\nabla)$ есть подгруппа $GL(T_xM)$, 
порожденная $V_{\gamma, \nabla}$, для всех петель $\gamma$.

\пример
Группа голономий кэлерова многообразия лежит в $U(n)$.

\пример
Группа голономий гиперкэлерова многообразия лежит в $Sp(n)$.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Богомолова о разложении}


\теорема
{\бф \блуе (теорема Богомолова о разложении)}
Пусть $M$ -- компактное, риччи-плоское  кэлерово
многообразие Калаби-Яу. Тогда {\bf \red существует конечное накрытие
$\tilde M$, которое разлагается в произведение
кэлеровых многообразий:}
\[
\tilde M = T \times M_1 \times ... \times M_i
\times K_1 \times ... \times K_j,
\]
причем все $M_i$, $K_i$ односвязны,
$T$ тор, а группы голономий $\Hol(M_l) = Sp(n_l)$, $\Hol(K_l)=SU(m_l)$.

\теорема
Компактные $2n$-мерные многообразия с  $\Hol = Sp(n)$
{\бф \purple односвязны, и удовлетворяют 
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2,4,6,..., 2n$}\\
0&  \text{для всех других $p$.} 
\end{cases}
\]}

\определение\\
Такие гиперкэлеровы многообразия называются {\бф \блуе простыми}.


\невпаге

{\бф \блуе Примеры гиперкэлеровых многообразий}

\пример
Пусть $Т$ -- компактный комплексный тор комплексной
размерности 2, $T:= \C^2/\Z^4$.
Поскольку $\C^2/\Z^4={\Bbb H}/\Z^4$, $T$ -- гиперкэлерово многообразие.

\пример 
Особенности многообразия $T/{\pm1}$ имеют вид
$(\C^2/{\pm1})$, и разрешаются единичным раздутием.
Раздутие всех этих особенностей (их 16) -- голоморфно
симплектическое многообразие, которое называется
{\бф \блуе поверхность Куммера}.

\пример
Комплексная поверхность называется {\бф \блуе К3 поверхностью},
если она является деформацией поверхности Куммера.

\теорема
Любое {\бф \ред компактное гиперкэлерово многообразие 
комплексной размерности 2 изоморфно тору либо К3.}

Эта теорема следует из классификации Кодаиры-Энриквеса
комплексных поверхностей.


\newpage 

{\bf \blue Схемы Гильберта}

\определение
{\бф \блуе Схема Гильберта} $M^{[n]}$
комплексной поверхности $M$ есть классифицирующее
пространство пучков идеалов $I\subset \calo_M$
таких, что фактор $\calo_M/I$ имеет размерность $n$ над $\C$.

\замечание
Схема Гильберта {\бф \пурпле получается разрешением
особенностей} симметрической степени $\Sym^n M$

\теорема
(Фуджики, Бовилль) {\бф \ред Схема Гильберта 
гиперкэлеровой поверхности тоже гиперкэлерова.}

\пример
Пусть $T$ -- двумерный комплексный тор.
Тогда $T$ свободно действует на его схеме Гильберта
$T^{[n]}$. Для $n=2$, фактор  $T^{[n]}/T$ -- куммерова
поверхность К3. Для $n>2$, универсальное накрытие
$T^{[n]}/T$ называется {\бф \блуе обобщенным многообразием
Куммера}; оно гиперкэлерово и компактно.

\замечание
Есть еще 2 "спорадических" примера гиперкэлеровых
многообразий в комплексной размерности 6 и 10,
построенные К. О'Грэди. {\бф \пурпле Все известные
простые компактные гиперкэлеровы многообразия получаются
как деформации одного из этих типов:} тора, схемы
Гильберта К3, обобщенного Куммера,  О'Грэди. 

\newpage

{\бф \блуе Форма Богомолова-Бовиля-Фуджики}

\замечание
В дальнейшем все гиперкэлеровы многообразия
{\бф \ред будут по умолчанию предполагаться простыми и компактными.}

\теорема (А. Фуджики)
Пусть $M$ -- гиперкэлерово
многообразие кватернионной размерности $n$.
{\бф \ред Тогда существует примитивная квадратичная форма
$q$ на $H^2(M,\Z)$ и целое число $c>0$ такое, что
$\int_M \eta^{2n}=c q(\eta,\eta)^n$ для любого
$\eta\in H^2(M)$.}

\определение
Форма $q$ называется {\бф \блуе формой Богомолова-Бовилля-Фуджики}.
{\бф \пурпле Она определяется соотношением Фуджики канонически,
с точностью до знака}. Знак устанавливается, исходя из следующей
формулы (Богомолов, Бовилль).
%
\begin{align*}  \lambda q(\eta,\eta) &=
   \int_X \eta\wedge\eta  \wedge \Omega^{n-1}
   \wedge \bar \Omega^{n-1} -\\
 &-\frac {n-1}{n}\left(\int_X \eta \wedge \Omega^{n-1}\wedge \bar
   \Omega^{n}\right) \left(\int_X \eta \wedge \Omega^{n}\wedge \bar \Omega^{n-1}\right)
\end{align*}
где $\Omega$ есть голоморфная симплектическая форма, а $\lambda>0$.

\замечание
{\бф \пурпле Сигнатура $q$ равна  $(b_2-3,3)$.}
Она отрицательно определена на примитивных формах, и
положительно определена на пространстве
$\langle \Omega, \bar \Omega, \omega\rangle$
($\omega$ обозначает кэлеров класс). 


\невпаге

{\бф \блуе Многообразия Фреше}

\определение
{\бф \блуе Многообразие Фреше} есть топологическое
пространство, снабженное атласом $\{U_i\}$, где каждая
из карт $U_i$ реализована как открытое подмножество 
в каком-то пространстве Фреше, а все функции перехода
гладкие.

\определение
{\бф \блуе Гладкое отображение}
многообразий Фреше - такое,
которое задается гладкими отображениями в каждой из карт.

\определение
Группа Ли-Фреше есть группа, снабженная
структурой многообразия Фреше, таким образом,
что все групповые операции являются гладкими.

\пример
{\бф \пурпле Группа диффеоморфизмов
есть группа Ли-Фреше}.


\невпаге

{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера и отображение периодов}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{\sf Per}}
\newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}}
\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}


\определение 
Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти
комплексных структур на многообразии, с топологией,
индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров.
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур
есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$
есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов).


\определение
Пусть $M$ -- компактное гиперкэлерово многообразие.
{\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel 
\Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$
сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую
$H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$.

\невпаге

{\бф \блуе Пространство периодов}

\замечание
Пусть $l\in \Per(\Teich(M))$ - класс когомологий в образе
отображения периодов. Тогда $q(l, l)=0$ (потому что это
(2,0)-форма) и $q(l, \bar l)>0$, потому что $q$ положительно
определена на $\langle \Omega, \bar \Omega, \omega\rangle$.


\определение
{\бф\блуе  Пространство периодов} гиперкэлерова многообразия
есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$
состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что
$q(l, l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$. {\бф \блуе
Отображение периодов} есть отображение
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$.


\теорема
{\бф \блуе (локальная теорема Торелли Богомолова)}
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ 
{\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности
каждой точки $I\in\Teich(M)$.}

\замечание 
Из локальной теоремы Торелли следует, что
$\Teich(M)$ гладко. {\бф \ред Оно нехаусдорфово}
даже в самых простых случаях.

\невпаге

{\бф \блуе  Пространство периодов и $++$-грассманиан (повторение)}


Пусть $V$ -- вещественное векторное
пространство, снабженное 
скалярным произведением $q$. Обозначим
за $\Perspace(V)$ множество прямых 
$l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих
$q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть
$\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных
2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких,
что $q\restrict W$ положительно определено.



\утверждение
Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$,
рассмотрим оператор поворота на
$\frac \pi 2$ против часовой стрелки:
$I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за
$P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую,
порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$.
Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию 
$P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.}

\следствие
{\бф \ред Пространство периодов для гиперкэлерова многообразия
изоморфно $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$.}

\невпаге

{\бф \блуе Редукция Хаусдорфа}

\определение
{\бф \блуе Нехаусдорфово многообразие} есть
топологическое пространство, локально диффеоморфное
 $\R^n$.

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Точки $x, y \in M$ называются {\бф \блуе неразделимыми}
(обозначается $x\sim y$), если для любых открытых
множеств $V\ni x, U\ni y$, $U \cap V\neq \emptyset$.

\теорема (Д. Хойбрехтс)
Пусть  $I_1$, $I_2\in \Teich$ -- неотделимые точки.
Тогда $P(I_1)=P(I_2)$, и $(M, I_1)$ бимероморфно (бирационально)
эквивалентно $(M, I_2)$.

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, для
которого $M/\sim$ хаусдорфово. Тогда
$M/\sim$ называется {\бф \блуе редукцией Хаусдорфа} $M$.

{\бф \греен Проблемы:}
1. {\bf \red $\sim$ не обязательно соотношение эквивалентности.}
2. Даже если  $\sim$ соотношение эквивалентности, фактор
$M/\sim$ не обязательно хаусдорфов.

\замечание
Фактор $M/\sim$ хаусдорфов, если отображение
$M \arrow M/\sim$ открыто, а график
$\Gamma_\sim \in M\times M$ замкнут.

\невпаге

{\бф \блуе Слабо хаусдорфовы многообразия}


\определение
Точка $x\in X$ называется {\бф\блуе хаусдорфовой}, если
$x\not\sim y$ для любого $y\neq x$

\определение
Пусть $M$ -- вещественно-аналитическое
многообразие, не обязательно хаусдорфово.
Предположим, что {\бф \пурпле множество
$Z\subset M$ нехаусдорфовых точек содержится
в счетном объединении веще\-ст\-венно-аналитических
подмногообразий коразмерности $\geq 2$.} Предположим
также, что  \\
{\греен (S) для каждого $x\in M$, существует 
замкнутая окрестность $B \subset M$ и 
непрерывное, сюрьективное отображение
$\Psi:\; B \arrow B^n$ на замкнутый шар в $\R^n$,
индуцирующее гомеоморфизм на открытой
окрестности $x$.} \\
Тогда $M$ называется {\бф \блуе слабо хаусдорфовым 
многообразием}.

\замечание
{\bf \пурпле Отображение периодов удовлетворяет
(S)}. Также, нехаусдорфовы точки $\Teich$ {\бф \пурпле содержатся
в счетном объединении дивизоров.}

\теорема 
{\бф \ред Слабо хаусдорфово многообразие допускает
редукцию Хаусдорфа}. Другими словами, фактор $X/\sim$
хаусдорфов. Более того,   $X \arrow X/\sim$ локально гомеоморфизм.

Доказательство довольно трудное, но элементарное.

\невпаге

{\бф \блуе Глобальная теорема Торелли}

\определение
Пространство $\Teich_b:= \Teich/\sim$
называется {\бф \блуе бирациональным пространством 
Тейхмюллера} для $M$

\теорема
(Глобальная теорема Торелли)\\
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich_b\stackrel \Per \arrow \Perspace$  --
изоморфизм, для каждой связной компоненты  $\Teich_b$.}

Доказательство основано на двух утверждениях

\утверждение
{\бф \блуе (Критерий накрытия)}
Пусть  $X\stackrel \phi \arrow Y$ -- отображение
гладких многообразий, которое {\бф \блуе этально},
то есть в окрестности каждой точкеи задающее диффеоморфизм.
Предположим, что каждая точка $y\in Y$ имеет окрестность
$B\ni y$, диффеоморфную замкнутому шару, такую, что 
каждая замкнутая компонента $B' \subset \phi^{-1}(B)$
сюрьективно отображается на $B$. {\бф \ред Тогда
$\phi$ -- накрытие}.

\утверждение\\
{\бф \ред Отображение периодов удовлетворяет
этим условиям}.

\end{document}
