\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Теорема Торелли для гиперкэлеровых многообразий \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Глобальная теорема Торелли \\[15mm] для гиперкэлеровых многообразий \small } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Математический институт СО РАН \\[2mm] 2 мая 2012, Новоссибирск } \end{center} \newpage {\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия} \определение {\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие} есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами $I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям: $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$. {\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие} есть гиперкомплексное многообразие, снабженное римановой метрикой $g$, которая кэлерова по отношению к $I,J,K$. \замечание Кэлеровость $I$ равносильна условию $\nabla(I)=0$, где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита, a гиперкэлеровость -- {\бф \ред условию $\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$ плюс кватернионные соотношения.} \утверждение {\бф \пурпле Любое гиперкэлерово многообразие голоморфно симплектично.} \доказательство Напишем кэлеровы формы, связанные с $I,J,K$: $\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$. Любая их линейная комбинация замкнута, а $\Omega:= \omega_J+\1\omega_K$ имеет тип (2,0) на $(M,I)$. \ендпрооф Обратное тоже верно: {\бф \ред каждое голоморфно симплектическое компактное кэлерово многообразие гиперкэлерово.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Калаби-Яу} \определение {\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$. \определение {\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$. \определение {\бф\блуе Кэлеров класс} $[\omega]\in H^2(M)$ кэлерова многообразия есть класс когомологий кэлеровой формы $\omega$. \теорема (Калаби-Яу) Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика в каждом кэлеровом классе.} \теорема Пусть $(M,I)$ -- компактное голоморфно симплектическое многообразие, $[\omega]\in H^2(M,\R)$ eго кэлеров класс, $\Omega$ -- голоморфная симплектическая форма. Предположим, что $\Re\Omega^2=[\omega]^2$. Тогда {\бф \ред на $(M,I)$ существует и единственна гиперкэлерова структура, такая, что $[\omega_I]=[\omega]$, $\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$.} Эта теорема следует из теоремы Калаби-Яу. \невпаге {\бф \блуе Группа голономий} \определение (Эли Картан, 1923) Пусть $(M, \nabla)$ -- расслоение со связностью над $M$. Для каждой петли $\gamma$, идущей из $x$ в $x\in M$, обозначим за $V_{\gamma, \nabla}:\; B\restrict x \arrow B\restrict x$ соответствующее отображение параллельного переноса вдоль связности. {\бф \блуе Группа голономий} $(B,\nabla)$ есть подгруппа $GL(T_xM)$, порожденная $V_{\gamma, \nabla}$, для всех петель $\gamma$. \пример Группа голономий кэлерова многообразия лежит в $U(n)$. \пример Группа голономий гиперкэлерова многообразия лежит в $Sp(n)$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Богомолова о разложении} \теорема {\бф \блуе (теорема Богомолова о разложении)} Пусть $M$ -- компактное, риччи-плоское кэлерово многообразие Калаби-Яу. Тогда {\bf \red существует конечное накрытие $\tilde M$, которое разлагается в произведение кэлеровых многообразий:} \[ \tilde M = T \times M_1 \times ... \times M_i \times K_1 \times ... \times K_j, \] причем все $M_i$, $K_i$ односвязны, $T$ тор, а группы голономий $\Hol(M_l) = Sp(n_l)$, $\Hol(K_l)=SU(m_l)$. \теорема Компактные $2n$-мерные многообразия с $\Hol = Sp(n)$ {\бф \purple односвязны, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2,4,6,..., 2n$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} \определение\\ Такие гиперкэлеровы многообразия называются {\бф \блуе простыми}. \невпаге {\бф \блуе Примеры гиперкэлеровых многообразий} \пример Пусть $Т$ -- компактный комплексный тор комплексной размерности 2, $T:= \C^2/\Z^4$. Поскольку $\C^2/\Z^4={\Bbb H}/\Z^4$, $T$ -- гиперкэлерово многообразие. \пример Особенности многообразия $T/{\pm1}$ имеют вид $(\C^2/{\pm1})$, и разрешаются единичным раздутием. Раздутие всех этих особенностей (их 16) -- голоморфно симплектическое многообразие, которое называется {\бф \блуе поверхность Куммера}. \пример Комплексная поверхность называется {\бф \блуе К3 поверхностью}, если она является деформацией поверхности Куммера. \теорема Любое {\бф \ред компактное гиперкэлерово многообразие комплексной размерности 2 изоморфно тору либо К3.} Эта теорема следует из классификации Кодаиры-Энриквеса комплексных поверхностей. \newpage {\bf \blue Схемы Гильберта} \определение {\бф \блуе Схема Гильберта} $M^{[n]}$ комплексной поверхности $M$ есть классифицирующее пространство пучков идеалов $I\subset \calo_M$ таких, что фактор $\calo_M/I$ имеет размерность $n$ над $\C$. \замечание Схема Гильберта {\бф \пурпле получается разрешением особенностей} симметрической степени $\Sym^n M$ \теорема (Фуджики, Бовилль) {\бф \ред Схема Гильберта гиперкэлеровой поверхности тоже гиперкэлерова.} \пример Пусть $T$ -- двумерный комплексный тор. Тогда $T$ свободно действует на его схеме Гильберта $T^{[n]}$. Для $n=2$, фактор $T^{[n]}/T$ -- куммерова поверхность К3. Для $n>2$, универсальное накрытие $T^{[n]}/T$ называется {\бф \блуе обобщенным многообразием Куммера}; оно гиперкэлерово и компактно. \замечание Есть еще 2 "спорадических" примера гиперкэлеровых многообразий в комплексной размерности 6 и 10, построенные К. О'Грэди. {\бф \пурпле Все известные простые компактные гиперкэлеровы многообразия получаются как деформации одного из этих типов:} тора, схемы Гильберта К3, обобщенного Куммера, О'Грэди. \newpage {\бф \блуе Форма Богомолова-Бовиля-Фуджики} \замечание В дальнейшем все гиперкэлеровы многообразия {\бф \ред будут по умолчанию предполагаться простыми и компактными.} \теорема (А. Фуджики) Пусть $M$ -- гиперкэлерово многообразие кватернионной размерности $n$. {\бф \ред Тогда существует примитивная квадратичная форма $q$ на $H^2(M,\Z)$ и целое число $c>0$ такое, что $\int_M \eta^{2n}=c q(\eta,\eta)^n$ для любого $\eta\in H^2(M)$.} \определение Форма $q$ называется {\бф \блуе формой Богомолова-Бовилля-Фуджики}. {\бф \пурпле Она определяется соотношением Фуджики канонически, с точностью до знака}. Знак устанавливается, исходя из следующей формулы (Богомолов, Бовилль). % \begin{align*} \lambda q(\eta,\eta) &= \int_X \eta\wedge\eta \wedge \Omega^{n-1} \wedge \bar \Omega^{n-1} -\\ &-\frac {n-1}{n}\left(\int_X \eta \wedge \Omega^{n-1}\wedge \bar \Omega^{n}\right) \left(\int_X \eta \wedge \Omega^{n}\wedge \bar \Omega^{n-1}\right) \end{align*} где $\Omega$ есть голоморфная симплектическая форма, а $\lambda>0$. \замечание {\бф \пурпле Сигнатура $q$ равна $(b_2-3,3)$.} Она отрицательно определена на примитивных формах, и положительно определена на пространстве $\langle \Omega, \bar \Omega, \omega\rangle$ ($\omega$ обозначает кэлеров класс). \невпаге {\бф \блуе Многообразия Фреше} \определение {\бф \блуе Многообразие Фреше} есть топологическое пространство, снабженное атласом $\{U_i\}$, где каждая из карт $U_i$ реализована как открытое подмножество в каком-то пространстве Фреше, а все функции перехода гладкие. \определение {\бф \блуе Гладкое отображение} многообразий Фреше - такое, которое задается гладкими отображениями в каждой из карт. \определение Группа Ли-Фреше есть группа, снабженная структурой многообразия Фреше, таким образом, что все групповые операции являются гладкими. \пример {\бф \пурпле Группа диффеоморфизмов есть группа Ли-Фреше}. \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера и отображение периодов} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}} \newcommand{\Per}{\operatorname{\sf Per}} \newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}} \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}} \определение Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти комплексных структур на многообразии, с топологией, индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$ есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов). \определение Пусть $M$ -- компактное гиперкэлерово многообразие. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$ сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую $H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$. \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов} \замечание Пусть $l\in \Per(\Teich(M))$ - класс когомологий в образе отображения периодов. Тогда $q(l, l)=0$ (потому что это (2,0)-форма) и $q(l, \bar l)>0$, потому что $q$ положительно определена на $\langle \Omega, \bar \Omega, \omega\rangle$. \определение {\бф\блуе Пространство периодов} гиперкэлерова многообразия есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$ состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что $q(l, l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$. {\бф \блуе Отображение периодов} есть отображение $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$. \теорема {\бф \блуе (локальная теорема Торелли Богомолова)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} \замечание Из локальной теоремы Торелли следует, что $\Teich(M)$ гладко. {\бф \ред Оно нехаусдорфово} даже в самых простых случаях. \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов и $++$-грассманиан (повторение)} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство, снабженное скалярным произведением $q$. Обозначим за $\Perspace(V)$ множество прямых $l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих $q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть $\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных 2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких, что $q\restrict W$ положительно определено. \утверждение Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$, рассмотрим оператор поворота на $\frac \pi 2$ против часовой стрелки: $I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за $P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую, порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$. Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию $P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.} \следствие {\бф \ред Пространство периодов для гиперкэлерова многообразия изоморфно $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$.} \невпаге {\бф \блуе Редукция Хаусдорфа} \определение {\бф \блуе Нехаусдорфово многообразие} есть топологическое пространство, локально диффеоморфное $\R^n$. \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство. Точки $x, y \in M$ называются {\бф \блуе неразделимыми} (обозначается $x\sim y$), если для любых открытых множеств $V\ni x, U\ni y$, $U \cap V\neq \emptyset$. \теорема (Д. Хойбрехтс) Пусть $I_1$, $I_2\in \Teich$ -- неотделимые точки. Тогда $P(I_1)=P(I_2)$, и $(M, I_1)$ бимероморфно (бирационально) эквивалентно $(M, I_2)$. \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, для которого $M/\sim$ хаусдорфово. Тогда $M/\sim$ называется {\бф \блуе редукцией Хаусдорфа} $M$. {\бф \греен Проблемы:} 1. {\bf \red $\sim$ не обязательно соотношение эквивалентности.} 2. Даже если $\sim$ соотношение эквивалентности, фактор $M/\sim$ не обязательно хаусдорфов. \замечание Фактор $M/\sim$ хаусдорфов, если отображение $M \arrow M/\sim$ открыто, а график $\Gamma_\sim \in M\times M$ замкнут. \невпаге {\бф \блуе Слабо хаусдорфовы многообразия} \определение Точка $x\in X$ называется {\бф\блуе хаусдорфовой}, если $x\not\sim y$ для любого $y\neq x$ \определение Пусть $M$ -- вещественно-аналитическое многообразие, не обязательно хаусдорфово. Предположим, что {\бф \пурпле множество $Z\subset M$ нехаусдорфовых точек содержится в счетном объединении веще\-ст\-венно-аналитических подмногообразий коразмерности $\geq 2$.} Предположим также, что \\ {\греен (S) для каждого $x\in M$, существует замкнутая окрестность $B \subset M$ и непрерывное, сюрьективное отображение $\Psi:\; B \arrow B^n$ на замкнутый шар в $\R^n$, индуцирующее гомеоморфизм на открытой окрестности $x$.} \\ Тогда $M$ называется {\бф \блуе слабо хаусдорфовым многообразием}. \замечание {\bf \пурпле Отображение периодов удовлетворяет (S)}. Также, нехаусдорфовы точки $\Teich$ {\бф \пурпле содержатся в счетном объединении дивизоров.} \теорема {\бф \ред Слабо хаусдорфово многообразие допускает редукцию Хаусдорфа}. Другими словами, фактор $X/\sim$ хаусдорфов. Более того, $X \arrow X/\sim$ локально гомеоморфизм. Доказательство довольно трудное, но элементарное. \невпаге {\бф \блуе Глобальная теорема Торелли} \определение Пространство $\Teich_b:= \Teich/\sim$ называется {\бф \блуе бирациональным пространством Тейхмюллера} для $M$ \теорема (Глобальная теорема Торелли)\\ {\бф \ред Отображение периодов $\Teich_b\stackrel \Per \arrow \Perspace$ -- изоморфизм, для каждой связной компоненты $\Teich_b$.} Доказательство основано на двух утверждениях \утверждение {\бф \блуе (Критерий накрытия)} Пусть $X\stackrel \phi \arrow Y$ -- отображение гладких многообразий, которое {\бф \блуе этально}, то есть в окрестности каждой точкеи задающее диффеоморфизм. Предположим, что каждая точка $y\in Y$ имеет окрестность $B\ni y$, диффеоморфную замкнутому шару, такую, что каждая замкнутая компонента $B' \subset \phi^{-1}(B)$ сюрьективно отображается на $B$. {\бф \ред Тогда $\phi$ -- накрытие}. \утверждение\\ {\бф \ред Отображение периодов удовлетворяет этим условиям}. \end{document}