
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Кэлеровы многообразия \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Кэлеровы многообразия и связность Леви-Чивита
\small }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
\\[2mm] 4 мая 2012, Новосибирск
}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Связность на расслоении}

\замечание
{\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком
многообразии обозначается $B$.}

\определение
{\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$
есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$,
удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
для любых  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\замечание
Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то 
{\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное 
как $\langle\nabla b, X\rangle$.}

\замечание
{\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном
расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле
\[ 
  \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle
  = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle).
\]


\замечание
Для любого тензорного расслоения
${\cal B}_1:=
B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$
{\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$}
по {\бф \блуе формуле Лейбница:}
\[
\nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2).
\]


\newpage

{\bf \blue Кручение}

\определение 
Пусть $\nabla$ -- связность на $TM$.
{\бф \блуе Кручение} $\nabla$ определяется как 
\[
T_\nabla(X,Y)=\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg.
\]
где $X, Y\in TM$.

\упражнение {\бф \ред Проверьте, что это тензор.}


\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.


\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}


\newpage

{\bf \blue Формула Картана}

\утверждение
Для любого $\eta \in \Lambda^1 M$, и $X,Y\in TM$
имеем
{\бф \блуе\[
d\eta(X,Y) = \eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)).
\]}

\доказательство

1. {\бф \пурпле Обе стороны уравнения удовлетворяют правилу Лейбница.}

3. {\бф \пурпле Для  $\eta=df$, обе стороны уравнения равны нулю. }

4. Дифференциал де Рама есть {\бф \ред единственное} отображение
\[ d:\; \Lambda^1(M) \arrow \Lambda^{2}(M), \]
удовлетворяющее правилу Лейбница и $d^2=0$.
\ендпрооф

\newpage


{\bf \blue Кручение}

{\бф \греен Второе определение кручения:}
Пусть $\Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M$ -- связность на $\Lambda^1M$.
 {\бф\блуе Кручение $\nabla$} 
задается формулой $\Alt \circ \nabla - d$,
где $\Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$
- внешнее умножение. Кручение есть отображение
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.

\замечание
\begin{align*}
T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\
= &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta=
f T_\nabla(\eta).
\end{align*}
{\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.}

\замечание
По формуле Картана,
\begin{align*}
T_\nabla(\eta)(X,Y) = &\nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X)-
d\eta(X,Y) \\ =& \nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X)
-\eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)).
\end{align*}
С другой стороны,
$\nabla_X(\eta)(Y)= \Lie_X(\eta(Y)) - \eta(\nabla_X(Y))$.
Сравнивая и сокращая $\Lie_X(\eta(Y))$,  $\Lie_Y(\eta(X))$,
получаем
\[
T_\nabla(\eta)(X,Y)=\eta\bigg(\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg).
\]
{\бф \блуе Это оператор, двойственный определенному выше.}

\невпаге

{\бф \блуе Связность и интегрируемость комплексных структур}

\определение
{\бф \блуе Векторное поле} на многообразии это
дифференцирование кольца функций.


\определение
Почти комплексное многообразие называется
{\бф \блуе формально интегрируемым}, если
$[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$.


\теорема
(Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое
почти комплексное многообразие гладкости $C^2$
интегрируемо.}


\замечание
Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение,
$\nabla$ -- связность без кручения, а $\nabla B\subset B\otimes \Lambda^1 M$.
Тогда для любых $b, b' \in B$, имеем 
$[b,b'] = \nabla_b b' - \nabla_b' b\subset B$, 
{\бф \ред значит, $[B,B]\subset B$}.

\следствие
Если связность без кручения сохраняет
оператор почти комплексной структуры: $\nabla(I)=0$,
то $I$ {\бф \ред интегрируемый.}

\newpage

{\bf \blue Кэлеровы многообразия}

\замечание
Пусть $\nabla$ -- связность без кручения.
Тогда {\бф \пурпле из $\nabla \omega=0$ сразу следует $d\omega=0$.}

\теорема
Пусть $(M,I, g)$ -- почти комплексное, эрмитово
многообразие, а $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. 
Тогда {\бф \ред равносильны:}

{\бф \блуе (i) $\nabla(I)=0$

(ii) $d\omega=0$, и почти комплексная структура 
$I$ интегрируема.}

\замечание
(i) $\Rightarrow$ (ii) следует из выше доказанного, 
(ii) $\Rightarrow$ (i) -- {\бф \ред нетривиальная теорема.}


\определение
Почти комплексное, эрмитово
многообразие  $(M,I, g)$
называется {\бф \блуе кэлеровым}, если 
выполнено любое из условий (i), (ii).
Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$
называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$.

\определение
{\бф\блуе Симплектическая форма} на многообразии
есть невырожденная, замкнутая 2-форма.

\замечание {\бф \пурпле Кэлерово многообразие всегда 
симплектично.}


\newpage

{\бф \блуе Метрика Фубини-Штуди}

\определение
Пусть $M= \C P^n$ -- комплексное проективное 
пространство, а $g$ -- $U(n+1)$-инвариантная метрика.
Она называется {\бф \блуе метрикой Фубини-Штуди}.

\замечание
Метрику Фубини-Штуди можно получить, взяв произвольную
эрмитову метрику на $\C P^n$ и {\bf \red усреднив по компактной 
группе $U(n+1)$.}

\замечание
Стабилизатор $x\in \C P^n$ в $U(n+1)$ изоморфен
$U(n)$, а $T_x \C P^n$ изоморфно $\C^n$
со стандартным действием $U(n)$. 

\упражнение
Пусть $g$ -- $U(n)$-инвариантная
положительная симметрическая форма на $\C^n$. Тогда {\бф \ред $g$ пропорциональна
обычной евклидовой метрике.}


\следствие
Метрика Фубини-Штуди {\бф \пурпле единственна с точностью до скалярного
множителя.}

\упражнение
Пусть $\eta$ -- $U(n)$-инвариантная 3-форма на $\C^n$.
Докажите, что $\eta=0$.

\следствие
Метрика Фубини-Штуди {\бф \ред кэлерова}.


\newpage

{\бф \блуе Проективные многообразия}

\определение
Замкнутое комплексное подмногообразие $\C P^n$
называется {\бф \блуе проективным}

\теорема
{\бф \ред Проективное многообразие всегда кэлерово.}

\доказательство
Оно комплексно, а эрмитова форма симплектична,
потому что получена ограничением симплектической
формы Фубини-Штуди на $\C P^n$. \ендпрооф


\замечание 
Поскольку $H^2(\C P^n)$ одномерно, {\бф \пурпле можно выбрать
метрику Фубини-Штуди с целочисленным кэлеровым классом.}


\следствие
Проективное многообразие {\бф \пурпле допускает кэлерову
структуру с целочисленным кэлеровым классом.}


\теорема
(Кодаира)
Пусть $M$ -- компактное, кэлерово многообразие
с рациональным кэлеровым классом. {\бф \ред Тогда
$M$ проективно.}


\newpage

{\бф \блуе Классы многообразий}

\centerline{\epsfig{file=mflds.png,width=\linewidth}}


\newpage

{\bf \blue Аффинные пространства}


\определение
{\бф \блуе Торсор} над группой $G$ есть пространство
$X$, снабженное свободным и транзитивным действием $G$,
$g,x \arrow \rho(g,x).$

\определение
{\бф \блуе Морфизм} торсоров $(X,G,\rho) \stackrel \Psi \arrow (X',G',\rho')$
есть пара $\Psi_X:\; X\arrow X', \Psi_G:\; G \arrow G'$,
где $\Psi_G$ есть гомоморфизм групп, и согласованное
с действием $G,G'$ на $X, X'$ так:
$\Psi_X(\rho(g,x)) = \rho'(\Psi_G(g),\Psi_X(x))$


\определение
{\бф \блуе Аффинное пространство} есть
торсор над линейным пространством $V$,
которое называется его {\бф \блуе линеаризацией}.

\замечание
{\бф \пурпле Действие $V$ на $A$ обозначается $a,v \arrow a +v$.}

\определение
{\бф\блуе Морфизм} аффинных пространств есть
морфизм соответствующих торсоров.

\замечание
Это то же самое, что 
отображение $A \stackrel {\Psi_A} \longrightarrow A'$, плюс гомоморфизм
линеаризаций $L\stackrel {\Psi_L} \longrightarrow L'$
такой, что $\Psi_A(a+l) = \Psi_A(a) + \Psi_L(l)$.


\newpage

{\bf \blue Линеаризация кручения}


\замечание
Если $\nabla_1$ и $\nabla_2$ -- связности на расслоении
$B$, их разность есть сечение $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.
{\бф \блуе Пространство ${\cal A}(B)$ связностей на $B$
есть аффинное пространство}, то есть торсор над 
пространством сечений $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.

\замечание
{\бф \пурпле Кручение есть аффинное отображение}
\[ {\cal A}(\Lambda^1 M) 
\arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M .
\]
потому что $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$,
где $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow
\Lambda^2M \otimes TM$ есть альтернирование по первым двум индексам.


\определение
{\бф \блуе Линеаризованное кручение} есть отображение\\
$T_{lin}=\Alt$,
\[
T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM
\arrow \Lambda^2 M  \otimes TM
\]
полученное как линеаризация кручения.


\newpage

{\bf \blue Связность Леви-Чивита}

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\утверждение
Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Тогда на 
$B$ всегда существует ортогональная связность.}

\доказательство
Выберем покрытие $\{U_i\}$, в котором $B$
тривиально и допускает ортонормальный базис.
На каждом $U_i$ выберем связность $\nabla_i$,
которая сохраняет этот базис. Пусть $\psi_i$ --
разбиение единицы, подчиненное $\{U_i\}$.
Тогда {\бф \пурпле формула $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$
определяет ортогональную связность.}
\endproof


\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}

\newpage

{\bf \blue Связность Леви-Чивита (существование и единственность)}


\доказательство
Выберем ортогональную связность $\nabla$ на $\Lambda^1 M$.
Пространство ортогональных связностей -- аффинное, и {\бф
\пурпле его линеаризация есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.}

{\бф \греен Шаг 1:} Отождествляя $TM$ и $\Lambda^1 M$, получаем
${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$.

{\бф \греен Шаг 2:} Линеаризованное кручение есть 
отображение
\[ T_{lin} :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)=
\Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M
\stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M =
\Lambda^2 M \otimes T M.
\]
{\бф \ред Это изоморфизм.} Справа и слева
расслоения одной размерности, так что {\бф \пурпле достаточно
доказать, что $T_{lin}$ нет ядра.} Но если $\eta \in \ker T_{lin}$,
{\бф \греен $\eta$ симметрична по первым двум аргументам
и кососимметрична по последним,} что дает
$\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$
{\бф \пурпле То есть $\sigma(\eta) =-\eta$, где $\sigma$ есть
циклическая перестановка аргументов.} Поскольку
$\sigma^3=1$, из этого следует, что $\eta=0$.

{\bf \green Шаг 3:} 
Мы получили, что {\бф \purple ортогональная связность
однозначно задается своим кручением,} ибо кручение задает изоморфизм
аффинных пространств.

{\бф \греен Шаг 4:} Возьмем $\nabla:= \nabla_0 -T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0})$.
Тогда $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_{lin}(T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$,
значит {\bf \red $\nabla$ -- связность без кручения}. \endproof




\end{document}
