\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Кэлеровы многообразия \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Кэлеровы многообразия и связность Леви-Чивита \small } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН \\[2mm] 4 мая 2012, Новосибирск } \end{center} \newpage {\bf \blue Связность на расслоении} \замечание {\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$, удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то {\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} \замечание {\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле \[ \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle). \] \замечание Для любого тензорного расслоения ${\cal B}_1:= B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$ {\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$} по {\бф \блуе формуле Лейбница:} \[ \nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2). \] \newpage {\bf \blue Кручение} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $TM$. {\бф \блуе Кручение} $\nabla$ определяется как \[ T_\nabla(X,Y)=\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg. \] где $X, Y\in TM$. \упражнение {\бф \ред Проверьте, что это тензор.} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \newpage {\bf \blue Формула Картана} \утверждение Для любого $\eta \in \Lambda^1 M$, и $X,Y\in TM$ имеем {\бф \блуе\[ d\eta(X,Y) = \eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)). \]} \доказательство 1. {\бф \пурпле Обе стороны уравнения удовлетворяют правилу Лейбница.} 3. {\бф \пурпле Для $\eta=df$, обе стороны уравнения равны нулю. } 4. Дифференциал де Рама есть {\бф \ред единственное} отображение \[ d:\; \Lambda^1(M) \arrow \Lambda^{2}(M), \] удовлетворяющее правилу Лейбница и $d^2=0$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Кручение} {\бф \греен Второе определение кручения:} Пусть $\Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M$ -- связность на $\Lambda^1M$. {\бф\блуе Кручение $\nabla$} задается формулой $\Alt \circ \nabla - d$, где $\Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$ - внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \замечание \begin{align*} T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\ = &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta= f T_\nabla(\eta). \end{align*} {\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.} \замечание По формуле Картана, \begin{align*} T_\nabla(\eta)(X,Y) = &\nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X)- d\eta(X,Y) \\ =& \nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X) -\eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)). \end{align*} С другой стороны, $\nabla_X(\eta)(Y)= \Lie_X(\eta(Y)) - \eta(\nabla_X(Y))$. Сравнивая и сокращая $\Lie_X(\eta(Y))$, $\Lie_Y(\eta(X))$, получаем \[ T_\nabla(\eta)(X,Y)=\eta\bigg(\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg). \] {\бф \блуе Это оператор, двойственный определенному выше.} \невпаге {\бф \блуе Связность и интегрируемость комплексных структур} \определение {\бф \блуе Векторное поле} на многообразии это дифференцирование кольца функций. \определение Почти комплексное многообразие называется {\бф \блуе формально интегрируемым}, если $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$. \теорема (Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое почти комплексное многообразие гладкости $C^2$ интегрируемо.} \замечание Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение, $\nabla$ -- связность без кручения, а $\nabla B\subset B\otimes \Lambda^1 M$. Тогда для любых $b, b' \in B$, имеем $[b,b'] = \nabla_b b' - \nabla_b' b\subset B$, {\бф \ред значит, $[B,B]\subset B$}. \следствие Если связность без кручения сохраняет оператор почти комплексной структуры: $\nabla(I)=0$, то $I$ {\бф \ред интегрируемый.} \newpage {\bf \blue Кэлеровы многообразия} \замечание Пусть $\nabla$ -- связность без кручения. Тогда {\бф \пурпле из $\nabla \omega=0$ сразу следует $d\omega=0$.} \теорема Пусть $(M,I, g)$ -- почти комплексное, эрмитово многообразие, а $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. Тогда {\бф \ред равносильны:} {\бф \блуе (i) $\nabla(I)=0$ (ii) $d\omega=0$, и почти комплексная структура $I$ интегрируема.} \замечание (i) $\Rightarrow$ (ii) следует из выше доказанного, (ii) $\Rightarrow$ (i) -- {\бф \ред нетривиальная теорема.} \определение Почти комплексное, эрмитово многообразие $(M,I, g)$ называется {\бф \блуе кэлеровым}, если выполнено любое из условий (i), (ii). Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$ называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$. \определение {\бф\блуе Симплектическая форма} на многообразии есть невырожденная, замкнутая 2-форма. \замечание {\бф \пурпле Кэлерово многообразие всегда симплектично.} \newpage {\бф \блуе Метрика Фубини-Штуди} \определение Пусть $M= \C P^n$ -- комплексное проективное пространство, а $g$ -- $U(n+1)$-инвариантная метрика. Она называется {\бф \блуе метрикой Фубини-Штуди}. \замечание Метрику Фубини-Штуди можно получить, взяв произвольную эрмитову метрику на $\C P^n$ и {\bf \red усреднив по компактной группе $U(n+1)$.} \замечание Стабилизатор $x\in \C P^n$ в $U(n+1)$ изоморфен $U(n)$, а $T_x \C P^n$ изоморфно $\C^n$ со стандартным действием $U(n)$. \упражнение Пусть $g$ -- $U(n)$-инвариантная положительная симметрическая форма на $\C^n$. Тогда {\бф \ред $g$ пропорциональна обычной евклидовой метрике.} \следствие Метрика Фубини-Штуди {\бф \пурпле единственна с точностью до скалярного множителя.} \упражнение Пусть $\eta$ -- $U(n)$-инвариантная 3-форма на $\C^n$. Докажите, что $\eta=0$. \следствие Метрика Фубини-Штуди {\бф \ред кэлерова}. \newpage {\бф \блуе Проективные многообразия} \определение Замкнутое комплексное подмногообразие $\C P^n$ называется {\бф \блуе проективным} \теорема {\бф \ред Проективное многообразие всегда кэлерово.} \доказательство Оно комплексно, а эрмитова форма симплектична, потому что получена ограничением симплектической формы Фубини-Штуди на $\C P^n$. \ендпрооф \замечание Поскольку $H^2(\C P^n)$ одномерно, {\бф \пурпле можно выбрать метрику Фубини-Штуди с целочисленным кэлеровым классом.} \следствие Проективное многообразие {\бф \пурпле допускает кэлерову структуру с целочисленным кэлеровым классом.} \теорема (Кодаира) Пусть $M$ -- компактное, кэлерово многообразие с рациональным кэлеровым классом. {\бф \ред Тогда $M$ проективно.} \newpage {\бф \блуе Классы многообразий} \centerline{\epsfig{file=mflds.png,width=\linewidth}} \newpage {\bf \blue Аффинные пространства} \определение {\бф \блуе Торсор} над группой $G$ есть пространство $X$, снабженное свободным и транзитивным действием $G$, $g,x \arrow \rho(g,x).$ \определение {\бф \блуе Морфизм} торсоров $(X,G,\rho) \stackrel \Psi \arrow (X',G',\rho')$ есть пара $\Psi_X:\; X\arrow X', \Psi_G:\; G \arrow G'$, где $\Psi_G$ есть гомоморфизм групп, и согласованное с действием $G,G'$ на $X, X'$ так: $\Psi_X(\rho(g,x)) = \rho'(\Psi_G(g),\Psi_X(x))$ \определение {\бф \блуе Аффинное пространство} есть торсор над линейным пространством $V$, которое называется его {\бф \блуе линеаризацией}. \замечание {\бф \пурпле Действие $V$ на $A$ обозначается $a,v \arrow a +v$.} \определение {\бф\блуе Морфизм} аффинных пространств есть морфизм соответствующих торсоров. \замечание Это то же самое, что отображение $A \stackrel {\Psi_A} \longrightarrow A'$, плюс гомоморфизм линеаризаций $L\stackrel {\Psi_L} \longrightarrow L'$ такой, что $\Psi_A(a+l) = \Psi_A(a) + \Psi_L(l)$. \newpage {\bf \blue Линеаризация кручения} \замечание Если $\nabla_1$ и $\nabla_2$ -- связности на расслоении $B$, их разность есть сечение $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. {\бф \блуе Пространство ${\cal A}(B)$ связностей на $B$ есть аффинное пространство}, то есть торсор над пространством сечений $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. \замечание {\бф \пурпле Кручение есть аффинное отображение} \[ {\cal A}(\Lambda^1 M) \arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M . \] потому что $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$, где $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow \Lambda^2M \otimes TM$ есть альтернирование по первым двум индексам. \определение {\бф \блуе Линеаризованное кручение} есть отображение\\ $T_{lin}=\Alt$, \[ T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM \arrow \Lambda^2 M \otimes TM \] полученное как линеаризация кручения. \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \утверждение Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Тогда на $B$ всегда существует ортогональная связность.} \доказательство Выберем покрытие $\{U_i\}$, в котором $B$ тривиально и допускает ортонормальный базис. На каждом $U_i$ выберем связность $\nabla_i$, которая сохраняет этот базис. Пусть $\psi_i$ -- разбиение единицы, подчиненное $\{U_i\}$. Тогда {\бф \пурпле формула $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$ определяет ортогональную связность.} \endproof \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита (существование и единственность)} \доказательство Выберем ортогональную связность $\nabla$ на $\Lambda^1 M$. Пространство ортогональных связностей -- аффинное, и {\бф \пурпле его линеаризация есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.} {\бф \греен Шаг 1:} Отождествляя $TM$ и $\Lambda^1 M$, получаем ${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$. {\бф \греен Шаг 2:} Линеаризованное кручение есть отображение \[ T_{lin} :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)= \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M \stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M = \Lambda^2 M \otimes T M. \] {\бф \ред Это изоморфизм.} Справа и слева расслоения одной размерности, так что {\бф \пурпле достаточно доказать, что $T_{lin}$ нет ядра.} Но если $\eta \in \ker T_{lin}$, {\бф \греен $\eta$ симметрична по первым двум аргументам и кососимметрична по последним,} что дает $\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$ {\бф \пурпле То есть $\sigma(\eta) =-\eta$, где $\sigma$ есть циклическая перестановка аргументов.} Поскольку $\sigma^3=1$, из этого следует, что $\eta=0$. {\bf \green Шаг 3:} Мы получили, что {\бф \purple ортогональная связность однозначно задается своим кручением,} ибо кручение задает изоморфизм аффинных пространств. {\бф \греен Шаг 4:} Возьмем $\nabla:= \nabla_0 -T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0})$. Тогда $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_{lin}(T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$, значит {\bf \red $\nabla$ -- связность без кручения}. \endproof \end{document}