
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Кэлеровы многообразия \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия
\small }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
\\[2mm] 3 мая 2012, Новоссибирск
}
\end{center}

\невпаге

{\bf \блуе  Пучки функций}

\определение
{\бф \блуе Пучок функций} на топологическом пространстве
$M$ задается следующими данными. Для каждого
открытого подмножества $U\subset M$, задано
подкольцо ${\cal F}(U)\subset F(U)$ в кольце
$F(U)$ функций на $U$, причем ограничение
функции $\gamma\in {\cal F}(U)$ с открытого множества 
$U$ на подмножество $U_1 \subset U$ принадлежит 
${\cal F}(U_1)$. {\бф \пурпле Кольца ${\cal F}(U)$ должны удовлетворять
следующим условиям.}  Пусть $\{U_i\}$ -- набор открытых
множеств, $U:=\bigcup U_i$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ --
a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор функций, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
\[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},
\]
для любой пары элементов покрытия. {\бф \пурпле Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.}


\невпаге

{\bf \блуе  Окольцованные пространства}

\определение
{\бф \блуе Окольцованное пространство} $(M, {\cal F})$ есть топологическое
пространство с заданным на нем пучком функций.
{\бф\блуе Морфизм} $(M, {\cal F}) \stackrel \Psi\arrow (N,
{\cal F}')$  окольцованных пространств
есть непрерывное отображение $M \stackrel \Psi\arrow N$ 
такое, что для каждого открытого множества
$U\subset N$ и функции $f\in {\cal F}(U)$,
функция $\Psi \circ f$ лежит в кольце
${\cal F}'(\Psi^{-1}(U))$.  {\бф\блуе  Изоморфизм}
окольцованных пространств есть гомеоморфизм
$\Psi$ такой, что $\Psi$ и $\Psi^{-1}$
удовлетворяет этому условию (то есть является
морфизмом окольцованных пространств). 

\пример
Пусть $(M, {\cal F})$ -- топологическое многообразие
с заданным на нем пучком функций.
Оно называется {\бф\блуе гладким многообразием класса
$C^i$ или $C^\infty$}, если у каждой точки $(M, {\cal F})$
есть окрестность, изоморфная окольцованному пространству
$(\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости
на $\R^n$.

\определение
Изоморфизм гладких многообразий называется {\бф
\блуе  диффеоморфизмом}. Это гомеоморфизм, который
переводит гладкие функции в гладкие.


\невпаге

{\bf \блуе  Алгебра де Рама}

\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие.
Обозначим за $\Lambda^i M$ {\бф \блуе расслоение дифференциальных
$i$-форм на $M$,} то есть антисимметричных $i$-форм на
$TM$. Определим умножение
$\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$
как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$,
где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение 
$\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j}
T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$.

\утверждение
{\бф \пурпле Это умножение ассоциативно, и
удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$.}


\определение
Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ 
с определенной выше алгебраической структурой
называется {\бф\блуе алгеброй де Рама} многообразия.

\замечание Пусть $\phi:\; M_1 \arrow M_2$ -- гладкое отображение
многообразий. Тогда задано отображение 
$\phi^*:\; \Lambda^* M_2 \arrow \Lambda^* M_1$, переводящее
дифференциальную форму $\eta \in \Lambda^kM_2$ в
форму $(v_1, ..., v_k)\in TM_1 \arrow \eta(D_\phi v_1, ..., D_\phi(v_k))$.


\невпаге

{\bf \блуе  Дифференциал де Рама}


\определение
{\бф\блуе Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$
есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим
условиям. \\
\hphantom{MM} (i) Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$,
$df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, 
который равен дифференциалу $df\in \Omega^1 M$. \\
\hphantom{MM}
(ii) {\бф \блуе (Правило Лейбница)}
$d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge
db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$. \\
\hphantom{MM}
(iii) $d^2=0$.\\
\утверждение \\
{\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается
этими условиями.}

{\бф \греен Однозначность определения:}
Алгебра де Рама порождена $C^\infty M$ и 
1-формами вида $df$, а на таких формах
дифференциал де Рама уже задан.

{\бф \греен Существование, для $M=\R^n$:} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные
функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то
моном, полученный произведением нескольких $dt_i$.
Дифференциал де Рама
переводит $f \alpha$ в 
$\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$,
для любой функции $f\in C^\infty \R^n$.

{\бф \греен Существование, для любого многообразия:}
Зададим $d$ локально по формуле, указанной выше. {\бф \пурпле Это определение
согласовано с заменой координат в силу единственности $d$,}
значит, $d$ согласован с переклейкой карт.
 \ендпрооф






\невпаге

{\bf \блуе  Голоморфные функции}

\определение
Функция $f:\; M \arrow \C$ на
почти комплексном многообразии называется
{\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$.


\замечание
Легко привести {\бф \пурпле пример почти комплексного
многообразия, на котором вовсе нет голоморфных
функций.} Например, $S^6$ со стандартной
$G_2$-инвариантной почти комплексной структурой.



\невпаге

{\bf \blue Голоморфные функции на $\C^n$}

\теорема
Пусть $f:\; M \arrow \C$  -- дифференцируемая
функция на открытом подмножестве
$M\subset \C^n$, с естественной комплексной
структурой. {\bf \blue Тогда следующие
свойства $f$ равносильны.}\\
\ \ (1) {\bf \пурпле $f$ голоморфна} (в смысле вышеприведенного
определения)\\
\ \ (2) Дифференциал $Df\in TM^* \otimes_\R \C$
рассматриваемый как $\C$-значная функция на 
$T_x M = T_x \C^n$, {\bf \пурпле является $\C$-линейным.}\\
\ \  (3) Для каждой комплексной аффинной прямой $L\subset \C^n$,
ограничение $f\restrict L$ {\bf \пурпле голоморфно как функция одного переменного}\\
\ \ (4) $f$ {\bf \пурпле разлагается в ряд Тэйлора} по комплексным
координатам в окрестности каждой точки $x\in M$.

{\бф \греен Доказательство:} (1) и (2) равносильны
(тавтологически).

Равносильность (1) и (3) тоже очевидна, потому что для каждой
форма $\theta \in \Lambda^{1,0}(M)$, ограничение
на 1-мерные подпространства имеет тип (1,0),
и наоборот - если оно имеет тип (1,0) на таких подпространствах,
это (1,0)-форма.

Наконец, разложение в ряд Тэйлора следует из 
формулы Коши для голоморфной функции одного переменного
 с остаточным членом.
\ендпрооф

\невпаге

{\bf \blue Голоморфные отображения}

\определение
Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные
многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое
отображение. Оно называется {\бф\блуе голоморфным},
если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{0,1}(M)$.

\замечание
{\бф \пурпле Это эквивалентно тому, что $df:\; T_x M \arrow T_{f(x)}N$ \\
комплексно-линейно}.

\замечание
{\бф \блуе Композиция голоморфных отображений голоморфна.}




\невпаге

{\bf \blue Комплексные многообразия}

\определение
{\бф \блуе Пучок колец} есть пучок $U \arrow {\cal F}(U)$
такой, что на каждом  ${\cal F}(U)$ 
задана структура кольца, а отображения ограничения
являются гомоморфизмами.

\определение
{\бф \блуе Окольцованное пространство} есть 
топологическое пространство с заданным на нем пучком колец.

\пример 
{\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$
голоморфных функций является окольцованным пространством.}


\определение
{\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное
пространство, которое локально изоморфно (как
окольцованное пространство) открытому шару 
$(B, \calo_B)$


\невпаге

{\bf \blue Другие определения комплексных многообразий}

\замечание
Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества
в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы
$U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$
задает изоморфизм окольцованных пространств
$f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$.
{\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм
голоморфен.} 

\следствие
Мы получаем, что комплексное многообразие
имеет атлас из открытых подмножеств, которые
гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции
перехода голоморфны. {\бф \ред Это еще одно определение
комплексного многообразия.}

\определение
Пусть $(M, I)$ --  
почти комплексное многообразие,
а $\calo_M$ пучок голоморфных функций на нем. 
Оно называется {\бф \блуе интегрируемым},
если $(M, \calo_M)$ -- комплексное многообразие.


\невпаге


{\bf \blue Интегрируемость почти комплексных многообразий}


\замечание
{\бф \ред Почти комплексная структура восстанавливается
из комплексной структуры на $M$ следующим образом.}

(1) Рассмотрим {\бф \пурпле
расслоение $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, 
порожденное дифференциалами голоморфных функций, }
и пусть $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$.

(2) Определим $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$
таким образом, что $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ и 
$I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\бф \пурпле Очевидно, $I^2 = -\Id$.}

(3) Этот эндоморфизм вещественный, поскольку $\bar I=I$
в силу его определения. Поэтому {\бф \пурпле он переводит $\Lambda^1 (M, \R)$
в себя.}

Мы получили функтор (строгий, полный) из категории
комплексных многообразий в категорию почти комплексных.

{\бф \ред Важная задача комплексной геометрии -- описать его образ.}

\невпаге

{\bf \blue Формальная интегрируемость}

\определение
{\бф \блуе Векторное поле} на многообразии это
дифференцирование кольца функций.

\определение
{\бф \блуе Голоморфным векторным полем} на комплексном
многообразии называется векторное поле, которое
переводит голоморфные функции в голоморфные.


\упражнение
Докажите, что в комплексных координатах
$z_1, ..., z_n$ на $\C^n$, {\бф \пурпле  голоморфные
векторные поля записываются в виде
$X= \sum \phi_i \frac d{dz_i}$,} где 
$\phi_1,..., \phi_n$ -- голоморфные 
функции.

\следствие
Голоморфные векторные поля на комплексном
многообразии порождают $T^{1,0}M$ над $C^\infty M$

\следствие 
На комплексном многообразии,
{\бф \ред коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет
тип $(1,0)$: $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$.}

\определение
Почти комплексное многообразие называется
{\бф \блуе формально интегрируемым}, если
$[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$


\теорема
(Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое
почти комплексное многообразие гладкости $C^2$
интегрируемо.}


\newpage

{\bf \blue Связность на расслоении}

\замечание
{\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком
многообразии обозначается $B$.}

\определение
{\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$
есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$,
удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
для любых  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\замечание
Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то 
{\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное 
как $\langle\nabla b, X\rangle$.}

\замечание
{\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном
расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле
\[ 
  \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle
  = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle).
\]


\замечание
Для любого тензорного расслоения
${\cal B}_1:=
B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$
{\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$}
по {\бф \блуе формуле Лейбница:}
\[
\nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2).
\]


\newpage

{\bf \blue Кручение}

\определение 
Пусть $\nabla$ -- связность на $TM$.
{\бф \блуе Кручение} $\nabla$ определяется как 
\[
T_\nabla(X,Y)=\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg.
\]
где $X, Y\in TM$.

\упражнение {\бф \ред Проверьте, что это тензор.}


\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.


\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}




\end{document}
