\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Кэлеровы многообразия \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия \small } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН \\[2mm] 3 мая 2012, Новоссибирск } \end{center} \невпаге {\bf \блуе Пучки функций} \определение {\бф \блуе Пучок функций} на топологическом пространстве $M$ задается следующими данными. Для каждого открытого подмножества $U\subset M$, задано подкольцо ${\cal F}(U)\subset F(U)$ в кольце $F(U)$ функций на $U$, причем ограничение функции $\gamma\in {\cal F}(U)$ с открытого множества $U$ на подмножество $U_1 \subset U$ принадлежит ${\cal F}(U_1)$. {\бф \пурпле Кольца ${\cal F}(U)$ должны удовлетворять следующим условиям.} Пусть $\{U_i\}$ -- набор открытых множеств, $U:=\bigcup U_i$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ -- a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор функций, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию \[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j}, \] для любой пары элементов покрытия. {\бф \пурпле Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$.} \невпаге {\bf \блуе Окольцованные пространства} \определение {\бф \блуе Окольцованное пространство} $(M, {\cal F})$ есть топологическое пространство с заданным на нем пучком функций. {\бф\блуе Морфизм} $(M, {\cal F}) \stackrel \Psi\arrow (N, {\cal F}')$ окольцованных пространств есть непрерывное отображение $M \stackrel \Psi\arrow N$ такое, что для каждого открытого множества $U\subset N$ и функции $f\in {\cal F}(U)$, функция $\Psi \circ f$ лежит в кольце ${\cal F}'(\Psi^{-1}(U))$. {\бф\блуе Изоморфизм} окольцованных пространств есть гомеоморфизм $\Psi$ такой, что $\Psi$ и $\Psi^{-1}$ удовлетворяет этому условию (то есть является морфизмом окольцованных пространств). \пример Пусть $(M, {\cal F})$ -- топологическое многообразие с заданным на нем пучком функций. Оно называется {\бф\блуе гладким многообразием класса $C^i$ или $C^\infty$}, если у каждой точки $(M, {\cal F})$ есть окрестность, изоморфная окольцованному пространству $(\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости на $\R^n$. \определение Изоморфизм гладких многообразий называется {\бф \блуе диффеоморфизмом}. Это гомеоморфизм, который переводит гладкие функции в гладкие. \невпаге {\bf \блуе Алгебра де Рама} \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие. Обозначим за $\Lambda^i M$ {\бф \блуе расслоение дифференциальных $i$-форм на $M$,} то есть антисимметричных $i$-форм на $TM$. Определим умножение $\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$ как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$, где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение $\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j} T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$. \утверждение {\бф \пурпле Это умножение ассоциативно, и удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$.} \определение Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ с определенной выше алгебраической структурой называется {\бф\блуе алгеброй де Рама} многообразия. \замечание Пусть $\phi:\; M_1 \arrow M_2$ -- гладкое отображение многообразий. Тогда задано отображение $\phi^*:\; \Lambda^* M_2 \arrow \Lambda^* M_1$, переводящее дифференциальную форму $\eta \in \Lambda^kM_2$ в форму $(v_1, ..., v_k)\in TM_1 \arrow \eta(D_\phi v_1, ..., D_\phi(v_k))$. \невпаге {\bf \блуе Дифференциал де Рама} \определение {\бф\блуе Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$ есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим условиям. \\ \hphantom{MM} (i) Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$, $df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, который равен дифференциалу $df\in \Omega^1 M$. \\ \hphantom{MM} (ii) {\бф \блуе (Правило Лейбница)} $d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$. \\ \hphantom{MM} (iii) $d^2=0$.\\ \утверждение \\ {\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается этими условиями.} {\бф \греен Однозначность определения:} Алгебра де Рама порождена $C^\infty M$ и 1-формами вида $df$, а на таких формах дифференциал де Рама уже задан. {\бф \греен Существование, для $M=\R^n$:} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то моном, полученный произведением нескольких $dt_i$. Дифференциал де Рама переводит $f \alpha$ в $\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$, для любой функции $f\in C^\infty \R^n$. {\бф \греен Существование, для любого многообразия:} Зададим $d$ локально по формуле, указанной выше. {\бф \пурпле Это определение согласовано с заменой координат в силу единственности $d$,} значит, $d$ согласован с переклейкой карт. \ендпрооф \невпаге {\bf \блуе Голоморфные функции} \определение Функция $f:\; M \arrow \C$ на почти комплексном многообразии называется {\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$. \замечание Легко привести {\бф \пурпле пример почти комплексного многообразия, на котором вовсе нет голоморфных функций.} Например, $S^6$ со стандартной $G_2$-инвариантной почти комплексной структурой. \невпаге {\bf \blue Голоморфные функции на $\C^n$} \теорема Пусть $f:\; M \arrow \C$ -- дифференцируемая функция на открытом подмножестве $M\subset \C^n$, с естественной комплексной структурой. {\bf \blue Тогда следующие свойства $f$ равносильны.}\\ \ \ (1) {\bf \пурпле $f$ голоморфна} (в смысле вышеприведенного определения)\\ \ \ (2) Дифференциал $Df\in TM^* \otimes_\R \C$ рассматриваемый как $\C$-значная функция на $T_x M = T_x \C^n$, {\bf \пурпле является $\C$-линейным.}\\ \ \ (3) Для каждой комплексной аффинной прямой $L\subset \C^n$, ограничение $f\restrict L$ {\bf \пурпле голоморфно как функция одного переменного}\\ \ \ (4) $f$ {\bf \пурпле разлагается в ряд Тэйлора} по комплексным координатам в окрестности каждой точки $x\in M$. {\бф \греен Доказательство:} (1) и (2) равносильны (тавтологически). Равносильность (1) и (3) тоже очевидна, потому что для каждой форма $\theta \in \Lambda^{1,0}(M)$, ограничение на 1-мерные подпространства имеет тип (1,0), и наоборот - если оно имеет тип (1,0) на таких подпространствах, это (1,0)-форма. Наконец, разложение в ряд Тэйлора следует из формулы Коши для голоморфной функции одного переменного с остаточным членом. \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Голоморфные отображения} \определение Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе голоморфным}, если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{0,1}(M)$. \замечание {\бф \пурпле Это эквивалентно тому, что $df:\; T_x M \arrow T_{f(x)}N$ \\ комплексно-линейно}. \замечание {\бф \блуе Композиция голоморфных отображений голоморфна.} \невпаге {\bf \blue Комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Пучок колец} есть пучок $U \arrow {\cal F}(U)$ такой, что на каждом ${\cal F}(U)$ задана структура кольца, а отображения ограничения являются гомоморфизмами. \определение {\бф \блуе Окольцованное пространство} есть топологическое пространство с заданным на нем пучком колец. \пример {\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$ голоморфных функций является окольцованным пространством.} \определение {\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное пространство, которое локально изоморфно (как окольцованное пространство) открытому шару $(B, \calo_B)$ \невпаге {\bf \blue Другие определения комплексных многообразий} \замечание Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы $U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$ задает изоморфизм окольцованных пространств $f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$. {\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм голоморфен.} \следствие Мы получаем, что комплексное многообразие имеет атлас из открытых подмножеств, которые гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции перехода голоморфны. {\бф \ред Это еще одно определение комплексного многообразия.} \определение Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие, а $\calo_M$ пучок голоморфных функций на нем. Оно называется {\бф \блуе интегрируемым}, если $(M, \calo_M)$ -- комплексное многообразие. \невпаге {\bf \blue Интегрируемость почти комплексных многообразий} \замечание {\бф \ред Почти комплексная структура восстанавливается из комплексной структуры на $M$ следующим образом.} (1) Рассмотрим {\бф \пурпле расслоение $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, порожденное дифференциалами голоморфных функций, } и пусть $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$. (2) Определим $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$ таким образом, что $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ и $I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\бф \пурпле Очевидно, $I^2 = -\Id$.} (3) Этот эндоморфизм вещественный, поскольку $\bar I=I$ в силу его определения. Поэтому {\бф \пурпле он переводит $\Lambda^1 (M, \R)$ в себя.} Мы получили функтор (строгий, полный) из категории комплексных многообразий в категорию почти комплексных. {\бф \ред Важная задача комплексной геометрии -- описать его образ.} \невпаге {\bf \blue Формальная интегрируемость} \определение {\бф \блуе Векторное поле} на многообразии это дифференцирование кольца функций. \определение {\бф \блуе Голоморфным векторным полем} на комплексном многообразии называется векторное поле, которое переводит голоморфные функции в голоморфные. \упражнение Докажите, что в комплексных координатах $z_1, ..., z_n$ на $\C^n$, {\бф \пурпле голоморфные векторные поля записываются в виде $X= \sum \phi_i \frac d{dz_i}$,} где $\phi_1,..., \phi_n$ -- голоморфные функции. \следствие Голоморфные векторные поля на комплексном многообразии порождают $T^{1,0}M$ над $C^\infty M$ \следствие На комплексном многообразии, {\бф \ред коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет тип $(1,0)$: $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$.} \определение Почти комплексное многообразие называется {\бф \блуе формально интегрируемым}, если $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$ \теорема (Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое почти комплексное многообразие гладкости $C^2$ интегрируемо.} \newpage {\bf \blue Связность на расслоении} \замечание {\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$, удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то {\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} \замечание {\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле \[ \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle). \] \замечание Для любого тензорного расслоения ${\cal B}_1:= B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$ {\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$} по {\бф \блуе формуле Лейбница:} \[ \nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2). \] \newpage {\bf \blue Кручение} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $TM$. {\бф \блуе Кручение} $\nabla$ определяется как \[ T_\nabla(X,Y)=\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg. \] где $X, Y\in TM$. \упражнение {\бф \ред Проверьте, что это тензор.} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \end{document}