
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Кэлеровы многообразия \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные многообразия
\small }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Математический институт СО РАН
\\[2mm] 2 мая 2012, Новоссибирск
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Комплексные структуры}

\определение 
{\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном
пространстве $V$ называется эндоморфизм
$I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. 

\замечание
Продолжим $I$ на тензоры формулой 
$I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes 
I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$
{\бф \пурпле Группа, порожденная $I$, изоморфна $\Z/4\Z$.}
Поэтому, для любого тензора $t$, сумма
$t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ инвариантна
относительно $I$.


\следствие 
Если $g$ -- положительно определенное скалярное
произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$ 
тоже положительно определено и $I$-инвариантно:
$I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный
оператор относительно $g_I$.}

\определение
Положительно определенное скалярное произведение,
в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой
метрикой} на $(V,I)$. Мы только  что доказали,
что она всегда существует.


\newpage

{\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)}


\следствие
Все собственные значения $I$ простые (то есть
$I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле,
{\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.}

\замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение $I$.
Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$.

\определение
Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$,
обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$
обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$.

\замечание 
Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем,
что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. 
В частности, это пространства одинаковой размерности.

\упражнение
Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$
задает изоморфизм вещественных пространств $V^{1,0}arrow V$.


\упражнение
Докажите, что оператор комплексной структуры
{\бф \ред однозначно задается подпространством
$V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$
половинной размерности,} которое не
пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$.


\newpage

{\бф \блуе Эрмитовы формы}

\определение
{\бф \блуе Эрмитово пространство} $(V,I,g)$
есть пространство, снабженное комплексной структурой $I$
и эрмитовой метрикой $g$.

\замечание
Пусть $I$ -- оператор комплексной структуры
на вещественном пространстве $V$, а $g$ -- эрмитова метрика.
Рассмотрим билинейную форму $\omega(x,y) = g(x, Iy)$.
Тогда $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$.
Поэтому {\бф \blue $\omega$  кососимметрична}.

\определение
Форма $\omega$ называется {\бф \блуе эрмитовой формой} на 
эрмитовом пространстве $(V,I, g)$

\упражнение
Докажите, что в тройке $I, g, \omega$, {\бф \пурпле каждый тензор
выражается через остальные два.}


\невпаге

{\bf \blue Разложение Ходжа}

Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру,
порожденную $V$. 

\упражнение 
Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно
как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$.
Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ 
задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$.

\определение
Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой,
а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда
$\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$.
Рассмотрим разложение
$\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $,
где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$
Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}.

\замечание
Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную
структуру на $V^*$ (и наоборот). }


\замечание
Пусть $\omega\in \Lambda^2 V^*$ -- эрмитова форма
на пространстве $(V,I, g)$. {\бф \ред Тогда 
$\omega \in \Lambda^{1,1} V_\C^*$.}
В самом деле, для $x, y \in V^{1,0}$,
имеем \[\omega(x,y)=\omega(Ix, Iy)= \1^2 \omega(x,y)=-\omega(x,y),\]
значит, $\omega(x,y)=0$, и по той же причине
$\omega(x,y)=0$ для $x, y \in V^{0,1}$.
Поэтому {\бф \пурпле $\omega$ спаривает $(0,1)$-вектора
с $(1,0)$-векторами}, а значит, лежит в 
$\Lambda^1{V^*}^{1,0}\bigwedge \Lambda^1{V^*}^{0,1}=\Lambda^{1,1} V_\C^*$.


\невпаге

{\bf \blue Почти комплексные многообразия}

\определение
{\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$
есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного
расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. 

\пример
Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$.
Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти
комплексная структура.

\определение
{\бф \блуе Эрмитова метрика} на почти комплексном многообразии $M$
есть риманова структура $g\in \Sym^2 T^*M$, такая,
что $I$ ортогонален относительно $g$ в каждой точке $M$.

\замечание
Эрмитова метрика на почти комлексном многообразии
всегда существует. Надо взять любую риманову метрику $g$
и усреднить по $I$, $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$.

\замечание
Для каждого $I$,
{\бф \пурпле пространство эрмитовых метрик выпукло} в $\Gamma(Sym^2 T^*M)$.

\следствие 
Пространство почти комплексных структур на $M$ {\бф \ред гомотопически
эквивалентно пространству почти комплексных эрмитовых структур.}


\невпаге

{\bf \blue Разложение Ходжа}


Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие.
Обозначим за
\[ \Lambda^{*,0}(M):=\bigoplus_p\Lambda^{p,0}(M), \ \ 
\Lambda^{0,*}(M):=\bigoplus_q\Lambda^{0,q}(M)
\] подалгебры
в алгебре де Рама, порожденные $\Lambda^{1,0}(M)= (T^*M)^{1,0}$
и $\Lambda^{0,1}(M)= (T^*M)^{0,1}$ соответственно.

\определение
{\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных
формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$,
причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge
\Lambda^{0,q}(M)$.



\определение
Функция $f:\; M \arrow \C$ на
почти комплексном многообразии называется
{\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$.


\замечание
Легко привести {\бф \пурпле пример почти комплексного
многообразия, на котором вовсе нет голоморфных
функций.} Например, $S^6$ со стандартной
$G_2$-инвариантной почти комплексной структурой.



\невпаге

{\bf \blue Голоморфные функции на $\C^n$}

\теорема
Пусть $f:\; M \arrow \C$  -- дифференцируемая
функция на открытом подмножестве
$M\subset \C^n$, с естественной комплексной
структурой. {\bf \blue Тогда следующие
свойства $f$ равносильны.}\\
\ \ (1) {\bf \пурпле $f$ голоморфна} (в смысле вышеприведенного
определения)\\
\ \ (2) Дифференциал $Df\in TM^* \otimes_\R \C$
рассматриваемый как $\C$-значная функция на 
$T_x M = T_x \C^n$, {\bf \пурпле является $\C$-линейным.}\\
\ \  (3) Для каждой комплексной аффинной прямой $L\subset \C^n$,
ограничение $f\restrict L$ {\bf \пурпле голоморфно как функция одного переменного}\\
\ \ (4) $f$ {\bf \пурпле разлагается в ряд Тэйлора} по комплексным
координатам в окрестности каждой точки $x\in M$.

{\бф \греен Доказательство:} (1) и (2) равносильны
(тавтологически).

Равносильность (1) и (3) тоже очевидна, потому что для каждой
форма $\theta \in \Lambda^{1,0}(M)$, ограничение
на 1-мерные подпространства имеет тип (1,0),
и наоборот - если оно имеет тип (1,0) на таких подпространствах,
это (1,0)-форма.

Наконец, разложение в ряд Тэйлора следует из 
формулы Коши для голоморфной функции одного переменного
 с остаточным членом.
\ендпрооф

\невпаге

{\bf \blue Голоморфные отображения}

\определение
Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные
многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое
отображение. Оно называется {\бф\блуе голоморфным},
если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{0,1}(M)$.

\замечание
{\бф \пурпле Это эквивалентно тому, что $df:\; T_x M \arrow T_{f(x)}N$ \\
комплексно-линейно}.

\замечание
{\бф \блуе Композиция голоморфных отображений голоморфна.}



\невпаге

{\bf \blue Пучки}

\определение 
{\бф\блуе Пучок} ${\cal F}$ на топологическом 
пространстве $M$ -- это набор векторных
пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого
подмножества $U\subset M$, с {\бф \блуе отображениями
ограничения} 
${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$
для каждого $U'\subset U$, и следующими свойствами

(1)  {\бф \пурпле Композиция ограничений -- снова ограничение:}
если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые
множества, а ${\phi_{U_1,U_2}}$, ${\phi_{U_2,U_3}}$
соответствующие отображения ограничений, то
$\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$.

(2) {\пурпле  Если $U=\bigcup U_i$, а ограничение 
$f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то
$f=0$.}


(3)  Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор сечений, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
\[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},
\]
для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле  Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.}

Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф\блуе  
пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}.


\невпаге

{\bf \blue Комплексные многообразия}

\определение
{\бф \блуе Пучок колец} есть пучок $U \arrow {\cal F}(U)$
такой, что на каждом  ${\cal F}(U)$ 
задана структура кольца, а отображения ограничения
являются гомоморфизмами.

\определение
{\бф \блуе Окольцованное пространство} есть 
топологическое пространство с заданным на нем пучком колец.

\пример 
{\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$
голоморфных функций является окольцованным пространством.}


\определение
{\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное
пространство, которое локально изоморфно (как
окольцованное пространство) открытому шару 
$(B, \calo_B)$


\невпаге

{\bf \blue Другие определения комплексных многообразий}

\замечание
Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества
в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы
$U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$
задает изоморфизм окольцованных пространств
$f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$.
{\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм
голоморфен.} 

\следствие
Мы получаем, что комплексное многообразие
имеет атлас из открытых подмножеств, которые
гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции
перехода голоморфны. {\бф \ред Это еще одно определение
комплексного многообразия.}

\определение
Пусть $(M, I)$ --  
почти комплексное многообразие,
а $\calo_M$ пучок голоморфных функций на нем. 
Оно называется {\бф \блуе интегрируемым},
если $(M, \calo_M)$ -- комплексное многообразие.


\невпаге


{\bf \blue Интегрируемость почти комплексных многообразий}


\замечание
{\бф \ред Почти комплексная структура восстанавливается
из комплексной структуры на $M$ следующим образом.}

(1) Рассмотрим {\бф \пурпле
расслоение $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, 
порожденное дифференциалами голоморфных функций, }
и пусть $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$.

(2) Определим $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$
таким образом, что $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ и 
$I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\бф \пурпле Очевидно, $I^2 = -\Id$.}

(3) Этот эндоморфизм вещественный, поскольку $\bar I=I$
в силу его определения. Поэтому {\бф \пурпле он переводит $\Lambda^1 (M, \R)$
в себя.}

Мы получили функтор (строгий, полный) из категории
комплексных многообразий в категорию почти комплексных.

{\бф \ред Важная задача комплексной геометрии -- описать его образ.}

\невпаге

{\bf \blue Формальная интегрируемость}

\определение
{\бф \блуе Векторное поле} на многообразии это
дифференцирование кольца функций.

\определение
{\бф \блуе Голоморфным векторным полем} на комплексном
многообразии называется векторное поле, которое
переводит голоморфные функции в голоморфные.


\упражнение
Докажите, что в комплексных координатах
$z_1, ..., z_n$ на $\C^n$, {\бф \пурпле  голоморфные
векторные поля записываются в виде
$X= \sum \phi_i \frac d{dz_i}$,} где 
$\phi_1,..., \phi_n$ -- голоморфные 
функции.

\следствие
Голоморфные векторные поля на комплексном
многообразии порождают $T^{1,0}M$ над $C^\infty M$

\следствие 
На комплексном многообразии,
{\бф \ред коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет
тип $(1,0)$: $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$.}

\определение
Почти комплексное многообразие называется
{\бф \блуе формально интегрируемым}, если
$[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$


\теорема
(Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое
почти комплексное многообразие гладкости $C^2$
интегрируемо.}




\end{document}
