\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Кэлеровы многообразия \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные многообразия \small } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Математический институт СО РАН \\[2mm] 2 мая 2012, Новоссибирск } \end{center} \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры} \определение {\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном пространстве $V$ называется эндоморфизм $I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. \замечание Продолжим $I$ на тензоры формулой $I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$ {\бф \пурпле Группа, порожденная $I$, изоморфна $\Z/4\Z$.} Поэтому, для любого тензора $t$, сумма $t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ инвариантна относительно $I$. \следствие Если $g$ -- положительно определенное скалярное произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$ тоже положительно определено и $I$-инвариантно: $I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный оператор относительно $g_I$.} \определение Положительно определенное скалярное произведение, в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой метрикой} на $(V,I)$. Мы только что доказали, что она всегда существует. \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)} \следствие Все собственные значения $I$ простые (то есть $I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле, {\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.} \замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение $I$. Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$. \определение Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$, обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$ обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$. \замечание Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем, что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. В частности, это пространства одинаковой размерности. \упражнение Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$ задает изоморфизм вещественных пространств $V^{1,0}arrow V$. \упражнение Докажите, что оператор комплексной структуры {\бф \ред однозначно задается подпространством $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$ половинной размерности,} которое не пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$. \newpage {\бф \блуе Эрмитовы формы} \определение {\бф \блуе Эрмитово пространство} $(V,I,g)$ есть пространство, снабженное комплексной структурой $I$ и эрмитовой метрикой $g$. \замечание Пусть $I$ -- оператор комплексной структуры на вещественном пространстве $V$, а $g$ -- эрмитова метрика. Рассмотрим билинейную форму $\omega(x,y) = g(x, Iy)$. Тогда $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$. Поэтому {\бф \blue $\omega$ кососимметрична}. \определение Форма $\omega$ называется {\бф \блуе эрмитовой формой} на эрмитовом пространстве $(V,I, g)$ \упражнение Докажите, что в тройке $I, g, \omega$, {\бф \пурпле каждый тензор выражается через остальные два.} \невпаге {\bf \blue Разложение Ходжа} Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру, порожденную $V$. \упражнение Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$. Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$. \определение Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой, а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда $\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$. Рассмотрим разложение $\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $, где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$ Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}. \замечание Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную структуру на $V^*$ (и наоборот). } \замечание Пусть $\omega\in \Lambda^2 V^*$ -- эрмитова форма на пространстве $(V,I, g)$. {\бф \ред Тогда $\omega \in \Lambda^{1,1} V_\C^*$.} В самом деле, для $x, y \in V^{1,0}$, имеем \[\omega(x,y)=\omega(Ix, Iy)= \1^2 \omega(x,y)=-\omega(x,y),\] значит, $\omega(x,y)=0$, и по той же причине $\omega(x,y)=0$ для $x, y \in V^{0,1}$. Поэтому {\бф \пурпле $\omega$ спаривает $(0,1)$-вектора с $(1,0)$-векторами}, а значит, лежит в $\Lambda^1{V^*}^{1,0}\bigwedge \Lambda^1{V^*}^{0,1}=\Lambda^{1,1} V_\C^*$. \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. \пример Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$. Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти комплексная структура. \определение {\бф \блуе Эрмитова метрика} на почти комплексном многообразии $M$ есть риманова структура $g\in \Sym^2 T^*M$, такая, что $I$ ортогонален относительно $g$ в каждой точке $M$. \замечание Эрмитова метрика на почти комлексном многообразии всегда существует. Надо взять любую риманову метрику $g$ и усреднить по $I$, $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$. \замечание Для каждого $I$, {\бф \пурпле пространство эрмитовых метрик выпукло} в $\Gamma(Sym^2 T^*M)$. \следствие Пространство почти комплексных структур на $M$ {\бф \ред гомотопически эквивалентно пространству почти комплексных эрмитовых структур.} \невпаге {\bf \blue Разложение Ходжа} Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие. Обозначим за \[ \Lambda^{*,0}(M):=\bigoplus_p\Lambda^{p,0}(M), \ \ \Lambda^{0,*}(M):=\bigoplus_q\Lambda^{0,q}(M) \] подалгебры в алгебре де Рама, порожденные $\Lambda^{1,0}(M)= (T^*M)^{1,0}$ и $\Lambda^{0,1}(M)= (T^*M)^{0,1}$ соответственно. \определение {\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$, причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge \Lambda^{0,q}(M)$. \определение Функция $f:\; M \arrow \C$ на почти комплексном многообразии называется {\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$. \замечание Легко привести {\бф \пурпле пример почти комплексного многообразия, на котором вовсе нет голоморфных функций.} Например, $S^6$ со стандартной $G_2$-инвариантной почти комплексной структурой. \невпаге {\bf \blue Голоморфные функции на $\C^n$} \теорема Пусть $f:\; M \arrow \C$ -- дифференцируемая функция на открытом подмножестве $M\subset \C^n$, с естественной комплексной структурой. {\bf \blue Тогда следующие свойства $f$ равносильны.}\\ \ \ (1) {\bf \пурпле $f$ голоморфна} (в смысле вышеприведенного определения)\\ \ \ (2) Дифференциал $Df\in TM^* \otimes_\R \C$ рассматриваемый как $\C$-значная функция на $T_x M = T_x \C^n$, {\bf \пурпле является $\C$-линейным.}\\ \ \ (3) Для каждой комплексной аффинной прямой $L\subset \C^n$, ограничение $f\restrict L$ {\bf \пурпле голоморфно как функция одного переменного}\\ \ \ (4) $f$ {\bf \пурпле разлагается в ряд Тэйлора} по комплексным координатам в окрестности каждой точки $x\in M$. {\бф \греен Доказательство:} (1) и (2) равносильны (тавтологически). Равносильность (1) и (3) тоже очевидна, потому что для каждой форма $\theta \in \Lambda^{1,0}(M)$, ограничение на 1-мерные подпространства имеет тип (1,0), и наоборот - если оно имеет тип (1,0) на таких подпространствах, это (1,0)-форма. Наконец, разложение в ряд Тэйлора следует из формулы Коши для голоморфной функции одного переменного с остаточным членом. \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Голоморфные отображения} \определение Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе голоморфным}, если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{0,1}(M)$. \замечание {\бф \пурпле Это эквивалентно тому, что $df:\; T_x M \arrow T_{f(x)}N$ \\ комплексно-линейно}. \замечание {\бф \блуе Композиция голоморфных отображений голоморфна.} \невпаге {\bf \blue Пучки} \определение {\бф\блуе Пучок} ${\cal F}$ на топологическом пространстве $M$ -- это набор векторных пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого подмножества $U\subset M$, с {\бф \блуе отображениями ограничения} ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$ для каждого $U'\subset U$, и следующими свойствами (1) {\бф \пурпле Композиция ограничений -- снова ограничение:} если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые множества, а ${\phi_{U_1,U_2}}$, ${\phi_{U_2,U_3}}$ соответствующие отображения ограничений, то $\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$. (2) {\пурпле Если $U=\bigcup U_i$, а ограничение $f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то $f=0$.} (3) Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор сечений, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию \[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j}, \] для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$.} Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф\блуе пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}. \невпаге {\bf \blue Комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Пучок колец} есть пучок $U \arrow {\cal F}(U)$ такой, что на каждом ${\cal F}(U)$ задана структура кольца, а отображения ограничения являются гомоморфизмами. \определение {\бф \блуе Окольцованное пространство} есть топологическое пространство с заданным на нем пучком колец. \пример {\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$ голоморфных функций является окольцованным пространством.} \определение {\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное пространство, которое локально изоморфно (как окольцованное пространство) открытому шару $(B, \calo_B)$ \невпаге {\bf \blue Другие определения комплексных многообразий} \замечание Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы $U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$ задает изоморфизм окольцованных пространств $f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$. {\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм голоморфен.} \следствие Мы получаем, что комплексное многообразие имеет атлас из открытых подмножеств, которые гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции перехода голоморфны. {\бф \ред Это еще одно определение комплексного многообразия.} \определение Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие, а $\calo_M$ пучок голоморфных функций на нем. Оно называется {\бф \блуе интегрируемым}, если $(M, \calo_M)$ -- комплексное многообразие. \невпаге {\bf \blue Интегрируемость почти комплексных многообразий} \замечание {\бф \ред Почти комплексная структура восстанавливается из комплексной структуры на $M$ следующим образом.} (1) Рассмотрим {\бф \пурпле расслоение $\Lambda^{1,0}(M)\subset \Lambda^1(M, \C)$, порожденное дифференциалами голоморфных функций, } и пусть $\Lambda^{0,1}(M) := \overline{\Lambda^{1,0}(M)}$. (2) Определим $I\in \End(\Lambda^1 M\otimes \C)$ таким образом, что $I\restrict \Lambda^{1,0}(M)=\1$ и $I\restrict \Lambda^{0,1}(M)=-\1$. {\бф \пурпле Очевидно, $I^2 = -\Id$.} (3) Этот эндоморфизм вещественный, поскольку $\bar I=I$ в силу его определения. Поэтому {\бф \пурпле он переводит $\Lambda^1 (M, \R)$ в себя.} Мы получили функтор (строгий, полный) из категории комплексных многообразий в категорию почти комплексных. {\бф \ред Важная задача комплексной геометрии -- описать его образ.} \невпаге {\bf \blue Формальная интегрируемость} \определение {\бф \блуе Векторное поле} на многообразии это дифференцирование кольца функций. \определение {\бф \блуе Голоморфным векторным полем} на комплексном многообразии называется векторное поле, которое переводит голоморфные функции в голоморфные. \упражнение Докажите, что в комплексных координатах $z_1, ..., z_n$ на $\C^n$, {\бф \пурпле голоморфные векторные поля записываются в виде $X= \sum \phi_i \frac d{dz_i}$,} где $\phi_1,..., \phi_n$ -- голоморфные функции. \следствие Голоморфные векторные поля на комплексном многообразии порождают $T^{1,0}M$ над $C^\infty M$ \следствие На комплексном многообразии, {\бф \ред коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет тип $(1,0)$: $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$.} \определение Почти комплексное многообразие называется {\бф \блуе формально интегрируемым}, если $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$ \теорема (Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое почти комплексное многообразие гладкости $C^2$ интегрируемо.} \end{document}