
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Map}{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ���� �� $G_2$-������������ \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf �������� ��������� � ������������ ����� �� $G_2$-������������. }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf �������� ���������� ��. �. �. �������� �� ���
\\[2mm] 4 ��� 2012, �����������
}
\end{center}



\newpage

{\�� \���� ���������}

�������������/�������������/���������������� ���������
����� ������������� � �������� ����������� ���������,
� �������������� {\�� \���� ������������ ���������}.
������������� ��������� �� ���� �������������
����������� � �������-�������������� ��������� ��
������������� ���������. {\�� \���� � ����
����� ����������� ������������� ��� $G_2$-��\-�\-������.}

����� ���������� ������������ ���������
$G_2$-������������, {\�� \��� ���������� ���-��
������������.}

���������� {\�� \������ ������������ ����������������.}


\newpage

{\bf \blue ������������ �����}

{\bf \green �����������:}
����� $V$ - ��������� ������������ ��� $\R$.
������� $\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ ���������� 
{\bf \blue ����������} ��
$V$, ���� ����� ����� ��������� \\ 
(*) {\bf \purple ����������� ������������:} $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.\\
(**) {\bf \purple �������������� ������������ ���������:}
$\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$.\\ 
��������� ������������ � ���������� �������� 
{\�� \���� ������������,}
�� ������� $d(x,y) = \nu(x-y)$. 

\�����������
����� $(V, \{\nu_\alpha\})$ -- ������������, ����������
�������� ��������. ������������������ $x_i$ {\�� \���� 
�������� � $x$ � ���� ������� ��������}, ���� $\lim_i \nu_\alpha(x_i-x)=0$
��� ���� �������� $\nu_\alpha$. ���������, ��� $(M, \{d_\alpha\})$
{\bf \blue  �����}, ���� {\�� \purple  ������ ������������������ ���� 
����� ������ � ���������, �������� �������������.}

\�����������
����� $V$ -- ����������� �������������� ��������� ������������. 
$V$ ���������� {\bf\blue ������������� �����},
����� ��������� �� $V$ ����� ����
������ ������, ������� �������� ��������
 $\{\nu_\alpha\}$.


\newpage

{\bf \blue ������������ ������� ������� �� �������}

{\bf \green �����������:} ����� $C^\infty([0,1])$ -- ������������
������� ������� �� �������. ����������, ��� ������� $n$,
����� $|f|_{C^n}$, ������������ ��������� �������:
\[ |f|_{C^0}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, \ \ 
|f|_{C^1}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+ |f'(x)|, \ \ ..., \]
\[ |f|_{C^n}:= \sup_{x\in [0,1]} \sum_{i=0}^n |f^{(i)}(x)| .
\] 

{\bf\green �����������:} \\ {\bf \red $C^\infty([0,1])$  � �����
�������� �������� -- ������������ �����.}

{\bf \green ��������������:} ���������
\[ |\phi|_{C^n} \geq \left|\phi^{(k)}\right|_{C^{n-k}},
\]
{\bf\purple ��� ����� ������������������ ���� $\{f_i\}$,
$\{f_i^{(k)}\}$ -- ���� ������������������ ����.}
������   ������������������ $\{f_i\}$ ����� $k$-�������
������������� ��� ������� $\{f_i^{(k)}\}$, ������,
������ $\{f_i\}$ -- �������. \��������



\�������

{\�� \���� ������������ �����}

\�����������
{\�� \���� ������������ �����} ���� ��������������
������������, ���������� ������� $\{U_i\}$, ��� ������
�� ���� $U_i$ ����������� ��� �������� ������������ 
� �����-�� ������������ �����, � ��� ������� ��������
�������.

\�����������
{\�� \���� ������� �����������}
������������ ����� - �����,
������� �������� �������� ������������� � ������ �� ����.

\�����������
{\�� \���� ������ ��-�����} ���� ������, ����������
���������� ������������ �����, ����� �������,
��� ��� ��������� �������� �������� ��������.


\�������

{\�� \���� ������� ������������ �����}

\���������
����� $E \stackrel \pi \arrow X$ -- 
��������� ���������� �� ���������� ������������. 
����� {\�� \������ ������������
������� ������� $E$ ���� ������������
�����.} ��� ������������ ��� �� ����������,
������� ������������, ����� ��������� ���������
����� �� $C^\infty([0,1])$.

\������
����� $E \stackrel \pi \arrow X$ -- �������
 ������������, ������������
�������� ����� ����� ������������ ����, $X$ ���������, �
$\phi:\; X \arrow E$ -- ������� ���� ��������.
����� ������, ��� ��� ���������� ����������� $U$
������ $\phi$, �������� $U \stackrel \pi \arrow X$ -- ��������
����������� ���������� �� ����� �������� ���.
� ���� ����������� ���������, ������������
������� �������� $U  \arrow X$ ���� ������������
�����. {\�� \������ ��� ������ ����� �����
�� ������������ ������� $\pi$,} ���������
��� � ������������ �����.


\������
������������ ������� �������� ����������
$X\times Y \arrow Y$ ��������������� � �������������
$\Map(X,Y)$ ������� ����������� �� $X$ � $Y$.
������, {\�� \��� $\Map(X,Y)$ ���� ������������ �����.}


\�������

{\�� \���� ������� ������������ ����� (�����������)}

\������\\
�������������, {\�� \������ ������ ���������������
���� ������ �����}.

\������
����� $X$ -- ������� ������������.
{\�� \��� ������������ ���� �������, ���������� ���������������
 $Y \subset X$ -- ������������ �����.} ��� �������
$Y\subset X$, ������� ��������� �����������
$U \subset X$. ��������� ���������� $Y$
�������� ��������� �������� $U\arrow Y$,
��� ���������� �����.



\�����������
����� $M$ ���� ������� ������������.
{\�� \���� ������������ �����} �� $M$ ���� ������������
{\�� \���� �������������������, ���������������, ���������������
������}, �������������� ������������, ������� ����������
��� ��������� ���������.

\����������� 
{\�� \��� ��� ������������ �����.}


\�������

{\�� \���� ������� �� �������� ������� � �������� ����������}

\��������� ������� �� �������� �������
{\�� \��� �������} ��� ����������� �����.

\������ ����� $\Diff(S^1)$ -- ������ ���������������
����������, $\Lie(S^1)$ -- �� ������� ��, �� ����
������������ ��������� �����, � $E(x):= e^x$ --
������������ ����������� $\Lie(S^1)\arrow \Diff(S^1)$.
��������, ��� $E(x)$ ������, � ��� �����������
� ���� -- ������������� �����������.

\�������
{\bf \red ����� $E( \Lie(S^1))$ �� �������� ������� ��������
����������� 1 � $\Diff(S^1)$.}

\���� 
����� ��������� ���� $v$ �� $S^1$, �� ������� �����,
��������� �����������. � ����� ����, ������� ��
$S^1$ ���������� ����� �������, ��� $e^{tv}(0)=\lambda t$.
� ���� �����������, $v$ -- ����������.

{\�� \����� ��� 2:} ����� $f\in \Diff(S^1)$ --
���������� ���������� ����, �� ��������
�����. {\�� \purple ����� $f$ �������� ��������.}


\�������

{\�� \���� ������� �� �������� ������� � ��������
���������� \\ (�����������)}

{\�� \����� ��� 2:} ����� $f\in \Diff(S^1)$ --
���������� ���������� ����, �� ��������
�����. {\�� \purple ����� $f$ �������� ��������.}

{\�� \����� ��� 3:} ���� $f\in E( \Lie(S^1))$ --
������������� ��� ����������� �����, �� �� �������� ��������.
������, {\�� \������ $f^n$ �������������, ���� �� ����� ����������� �����.}

{\�� \����� ��� 4:} � ����� ����������� ������� ����������
������������� $f$, ������� �� ����� ����������� �����, ��� ����
$f^N$ ����� ����������� �����, � �� �������������. {\�� \��� ����� �������������
�� ����� ���� �����������.}
\��������

\���������
���������� ������ ������� �� �������� �������
��� ����������� ����� ���������� {\�� \���� "�������
����-������"}. ��� ������� � ���������
� ��������� {\�� \���� "������ ������������ �����"}, ������� ��������� ���,
��� ��������� ���� ������������ ����� (������ � ������� �� 
��������������� ����� � ���� ���������, � ��� ����������������
������� - �� �������� ���������).

{\�� \����� ������:} 
{\small Richard S. Hamilton, 
{\em The inverse function theorem of Nash and Moser},
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 7, Number 1 (1982), 65-222. }


\newpage

{\blue\�� ��������� �������� ������������}

\�����������
����� $F$ -- ������������ �����. {\�� \���� ����� 
����������� ���������} ���� 
������� $C^\infty F$-�������� �����������  
$I:\; TF \arrow TF$ ������������
����������, ��������������� $I^2=-\Id$. 

\���������
��������� ���� ���� ����������������� ������
������� �������. ���������� ���� ����������������� --
����� �����������������. {\�� \������ ������, $TF$ ���� ����� 
������ ��.}

\���������
��������, $I$ ���������� ����������
$TF\otimes \C= T^{1,0}F\oplus T^{0,1} F$,
��� $T^{1,0}F$ ���� $\1$-����������� ������������, �
$T^{0,1}F$ ��� $-\1$-����������� ������������.
�������������, $x = \frac 1 2 (x + \1 Ix) + \frac 1 2 (x - \1 Ix)$.

\�����������
����� ����������� ��������� �� $F$ ����������
{\�� \���� ��������� �������������}, ����
$[T^{1,0}F, T^{1,0}F] \subset T^{1,0}F$.

\�����������
����� $(F,I)$ -- ��������� �������������
����� ����������� ������������, $g$ -- �������� ���������
�� $F$, � $\omega$ -- ��������������� $(1,1)$-�����,
$\omega(x,y)=g(x,Iy)$. ������, ��� $(F,I,g)$
{\�� \���� ��������� ��������}, ���� $d\omega=0$.


\newpage

\newcommand{\Knot}{\operatorname{Knot}}

{\bf\blue ������������ ����� � ��������� 3-������������}

J. L. Brylinski, 
{\em\blue The K\"ahler geometry of the space of knots in a smooth
  threefold,} Preprint, Penn. State Univ., University
  Park, PA, 1990

J. L. Brylinski, {\em\blue Loop Spaces, Characteristic Classes and
Geometric Quantization,} Progr. Math., vol. 107, Birkh\"auser
Boston, Boston, MA, 1993.

LeBrun, Claude,
{\em \blue A K\"ahler 
structure on the space of string worldsheets},
Classical Quantum Gravity 10 (1993), no. 9, L141--L148. 

Lempert, L\'aszl\'o,
{\em\blue Loop spaces as complex manifolds,}
J. Differential Geom. 38 (1993), no. 3, 519--543. 

\�����������
����� $\Knot(M)$ -- ������������ ����� � ���������
3-������������. ��� ������� $S\in \Knot(M)$, $T_S\Knot(M)$
-- ������������ ������� ����������� ���������� 
$NS$. ����� $\gamma$ -- ��������� ����������� ������
� $S$ {\�� \���� ��������� ������������ � $\gamma$ ������
����������� ��������� �� ��������� ������������ $NS$}.

\������� (����������)
{\�� \��� ��� ����������� ��������� ���������
������������}. ����� ����, {\�� \��� ����������� �������
�� $\Knot(M)$ ��������� ��������.}


\newpage

{\bf\blue $G_2$-������������}

\�����������
����� $\rho\in \Lambda^2 \R^7$ -- 3-����� ��  $\R^7$.
������, ��� $\rho$ {\�� \���� �����������}, ����
����������� �� ������������� �����������:
\[
\dim St_{GL(7)}\rho = \dim GL(7) - \dim \Lambda^3(\R^7) =
49-35 =14.
\]
� ���� ������, $\St(\rho)$ ���� ���� �� ���� ������������
���� 14-������ ������ �� $G_2(\C)$. ������, ��� $\rho$
{\�� \���� �� ������������}, ���� $St(\rho|_x)\cong G_2$,
��� $G_2$ ���������� ���������� ������������ �����
$G_2(\C)$. 

\�����������
{\�� \���� $G_2$-���������} �� 7-������������ ����
3-����� $\rho \in \Lambda^3(M)$, ������� �����������
� �� ������������ � ������ ����� $x\in M$
("���������", � ������������ �������).

\���������
����� $\rho$ ���������� ������� �� $M$ �� ����������
�  $\Lambda^7 M$:
\[
g(x,y) = (\rho\cntrct x)\wedge (\rho \cntrct y) \wedge \rho
\]
��� ���������� ���������� ��������� �� $M$. 
����������� ���������� ������, �������  $|\rho|=1$.
�������, ��� {\�� \��� ������ $G_2$-������������
�������� ������������ $G_2$-������������ ���������
��������}.

\�����������
$G_2$-������������ ���������� {\�� \���� ������������
� ���������� $G_2$}, ���� $\nabla \rho=0$, ���
$\nabla$ ���� ��������� ����-������, ������������
���� ��������. 


\newpage

{\bf\blue ��������� ������������ �� $G_2$-������������}

\�����������
����� $V=\R^7$ -- 7-������ ��������� ������������ ��� $\R$,
���������� 3-������ $\rho$ �����, ���
$St_{GL(7)}(\rho)=G_2$,  � $g$ -- $G_2$-������������
������� �� $V$, ����������� ��� ����. ���������
{\�� \���� �������� ��������� ������������} �� $V$
�� ������� $x\star y = \rho(x, y, \cdot)^\sharp$.
�����  $\rho(x, y, \cdot)$ -- �����, ����������
������������, � $\rho(x, y, \cdot)^\sharp$ -- ������������
������.

\����������� 
���  $x,y\in V$, $y\bot x$, �����
$x(x(y))=-|x|^2 y$.

\��������� 
���� $x\in V$ -- ������ ����� 1, 
�� {\�� \������  ��������� �� $x$ ������ ����������� ���������
�� ������������� ���������� $x^\bot$.} \��������

\����������� \\
{\�� \��� ��� ������� ���������� ������� $x\in V$,
 $St_{G_2}(x)\cong SU(3)$}.

\��������������
$St_{G_2}(x)$ ��������� �� $x^\bot$, ��������
����������� ��������� � �������, �� ���� �����
� $U(3)$; ����������� ���� ������ �����
$\dim G_2 - \dim S^6=8$, ������, $St_{G_2}(x)$
��������� ������������� 1 � $U(3)$. \��������

\���������
��� ������� ���������� ������� $x\in V$, 
{\�� \���� ������������ $x^\bot$ �������� ������������
$SU(3)$-����������.}


\newpage

{\bf\blue ����������� �������� ��������� �� $\Knot(M)$}

\���������
��� ������� ���� $S\subset M$ � $G_2$-������������,
{\�� \������ ���������� ���������� $NS$ ��������
������������ $SU(3)$-����������.}

\��������������
��� ������� $x\in S$, $NS\restrict x = x^\bot$. \��������

\���������
������������ ������� $\Gamma(NS)$
 �������� {\�� \������ ����������� ��������� ��������� �������������.}

\�������
���������� ������������ ����� $G_2$-������������,
� ��������� ����������, ������������ ����. 
{\�� \��� ��� �������� ��������� ���������
�������� ����� � ������ �����, ����� $M$ 
������������ � ���������� $G_2$.}

\���������\\
��������������� ��������� ���� �������� �. ��������
� 1999.


\end{document}
