\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Узлы на $G_2$-многообразии \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Кэлерова структура в пространстве узлов на $G_2$-многообразии. } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН \\[2mm] 4 мая 2012, Новосибирск } \end{center} \newpage {\бф \блуе Мотивация} Кватернионные/гиперкэлеровы/гиперкомплексные структуры имеют интерпретацию в терминах комплексной геометрии, с использованием {\бф \блуе пространства твисторов}. Кватернионные структуры на этих многообразиях переносятся в алгебро-геометрические структуры на пространствах твисторов. {\бф \блуе Я хочу найти аналогичную интерпретацию для $G_2$-ге\-о\-метрии.} Чтобы определить пространство твисторов $G_2$-многообразия, {\бф \ред необходимо чем-то пожертвовать.} Достаточно {\бф \пурпле пожертвовать конечномерностью.} \newpage {\bf \blue Пространства Фреше} {\bf \green Определение:} Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$. Функция $\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\bf \blue полунормой} на $V$, если имеет место следующее \\ (*) {\bf \purple Неравенство треугольника:} $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.\\ (**) {\bf \purple Инвариантность относительно гомотетии:} $\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$.\\ Векторное пространство с полунормой наделено {\бф \блуе полуметрикой,} по формуле $d(x,y) = \nu(x-y)$. \определение Пусть $(V, \{\nu_\alpha\})$ -- пространство, снабженное системой полунорм. Последовательность $x_i$ {\бф \блуе сходится к $x$ в этой системе полунорм}, если $\lim_i \nu_\alpha(x_i-x)=0$ для всех полунорм $\nu_\alpha$. Говорится, что $(M, \{d_\alpha\})$ {\bf \blue полно}, если {\бф \purple каждая последовательность Коши имеет предел в топологии, заданной полуметриками.} \определение Пусть $V$ -- хаусдорфово топологическое векторное пространство. $V$ называется {\bf\blue пространством Фреше}, когда топология на $V$ может быть задана полной, счетной системой полунорм $\{\nu_\alpha\}$. \newpage {\bf \blue Пространство гладких функций на отрезке} {\bf \green Определение:} Пусть $C^\infty([0,1])$ -- пространство гладких функций на отрезке. Рассмотрим, для каждого $n$, норму $|f|_{C^n}$, определенную следующим образом: \[ |f|_{C^0}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, \ \ |f|_{C^1}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+ |f'(x)|, \ \ ..., \] \[ |f|_{C^n}:= \sup_{x\in [0,1]} \sum_{i=0}^n |f^{(i)}(x)| . \] {\bf\green Утверждение:} \\ {\bf \red $C^\infty([0,1])$ с такой системой полунорм -- пространство Фреше.} {\bf \green Доказательство:} Поскольку \[ |\phi|_{C^n} \geq \left|\phi^{(k)}\right|_{C^{n-k}}, \] {\bf\purple для любой последовательности Коши $\{f_i\}$, $\{f_i^{(k)}\}$ -- тоже последовательность Коши.} Предел последовательности $\{f_i\}$ будет $k$-кратной первообразной для предела $\{f_i^{(k)}\}$, значит, предел $\{f_i\}$ -- гладкий. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Многообразия Фреше} \определение {\бф \блуе Многообразие Фреше} есть топологическое пространство, снабженное атласом $\{U_i\}$, где каждая из карт $U_i$ реализована как открытое подмножество в каком-то пространстве Фреше, а все функции перехода гладкие. \определение {\бф \блуе Гладкое отображение} многообразий Фреше - такое, которое задается гладкими отображениями в каждой из карт. \определение {\бф \блуе Группа Ли-Фреше} есть группа, снабженная структурой многообразия Фреше, таким образом, что все групповые операции являются гладкими. \невпаге {\бф \блуе Примеры многообразий Фреше} \замечание Пусть $E \stackrel \pi \arrow X$ -- векторное расслоение на компактном многообразии. Тогда {\бф \пурпле пространство гладких сечений $E$ есть пространство Фреше.} Это доказывается тем же аргументом, который использовали, чтобы построить структуру Фреше на $C^\infty([0,1])$. \пример Пусть $E \stackrel \pi \arrow X$ -- морфизм многообразий, дифференциал которого всюду имеет максимальный ранг, $X$ компактно, а $\phi:\; X \arrow E$ -- сечение этой проекции. Легко видеть, что для подходящей окрестности $U$ образа $\phi$, проекция $U \stackrel \pi \arrow X$ -- локально тривиальное расслоение со слоем открытый шар. В силу предыдущего замечания, пространство сечений проекции $U \arrow X$ есть пространство Фреше. {\бф \пурпле Это задает атлас Фреше на пространстве сечений $\pi$,} превращая его в многообразие Фреше. \пример Пространство сечений гладкого расслоения $X\times Y \arrow Y$ отождествляется с пространством $\Map(X,Y)$ гладких отображений из $X$ в $Y$. Значит, {\бф \ред $\Map(X,Y)$ есть многообразие Фреше.} \невпаге {\бф \блуе Примеры многообразий Фреше (продолжение)} \пример\\ Следовательно, {\бф \пурпле группа диффеоморфизмов есть группа Фреше}. \пример Пусть $X$ -- гладкое многообразие. {\бф \ред Пространство всех гладких, компактных подмногообразий $Y \subset X$ -- многообразие Фреше.} Для каждого $Y\subset X$, выберем трубчатую окрестность $U \subset X$. Небольшие деформации $Y$ задаются сечениями проекции $U\arrow Y$, что определяет атлас. \определение Пусть $M$ есть гладкое многообразие. {\бф \блуе Пространство узлов} на $M$ есть пространство {\бф \блуе непараметризованных, иммерсированных, ориентированных петель}, представленных отображением, которое инъективно вне конечного множества. \утверждение {\бф \ред Это многообразие Фреше.} \невпаге {\бф \блуе Теорема об обратной функции и повороты окружности} \замечание Теорема об обратной функции {\бф \ред неверна} для пространств Фреше. \пример Пусть $\Diff(S^1)$ -- группа диффеоморфизмов окружности, $\Lie(S^1)$ -- ее алгебра Ли, то есть пространство векторных полей, а $E(x):= e^x$ -- естественное отображение $\Lie(S^1)\arrow \Diff(S^1)$. Очевидно, что $E(x)$ гладко, и его производная в нуле -- тождественное отображение. \теорема {\bf \red Образ $E( \Lie(S^1))$ не содержит никакой открытой окрестности 1 в $\Diff(S^1)$.} \дшаг Любое векторное поле $v$ на $S^1$, не имеющее нулей, сопряжено постоянному. В самом деле, выберем на $S^1$ координаты таким образом, что $e^{tv}(0)=\lambda t$. В этих координатах, $v$ -- постоянное. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $f\in \Diff(S^1)$ -- экспонента векторного поля, не имеющего нулей. {\бф \purple Тогда $f$ сопряжен повороту.} \невпаге {\бф \блуе Теорема об обратной функции и повороты окружности \\ (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $f\in \Diff(S^1)$ -- экспонента векторного поля, не имеющего нулей. {\бф \purple Тогда $f$ сопряжен повороту.} {\бф \греен Шаг 3:} Если $f\in E( \Lie(S^1))$ -- диффеоморфизм без неподвижных точек, то он сопряжен повороту. Значит, {\бф \пурпле $f^n$ тождественный, либо не имеет неподвижных точек.} {\бф \греен Шаг 4:} В любой окрестности единицы содержится диффеоморфизм $f$, который не имеет неподвижных точек, при этом $f^N$ имеет неподвижную точку, и не тождественный. {\бф \ред Такой диффеоморфизм не может быть экспонентой.} \ендпрооф \замечание Правильная версия теоремы об обратной функции для пространств Фреше называется {\бф \блуе "теорема Нэша-Мозера"}. Эта теорема о морфизмах в категории {\бф \блуе "ручных многообразий Фреше"}, которая несколько уже, чем категория всех многообразий Фреше (группа и алгебра Ли диффеоморфизмов лежат в этой категории, а вот экспоненциальный морфизм - не является морфизмом). {\бф \греен Ссылка:} {\small Richard S. Hamilton, {\em The inverse function theorem of Nash and Moser}, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 7, Number 1 (1982), 65-222. } \newpage {\blue\бф Формально кэлеровы многообразия} \определение Пусть $F$ -- многообразие Фреше. {\бф \блуе Почти комплексная структура} есть гладкий $C^\infty F$-линейный эндоморфизм $I:\; TF \arrow TF$ касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id$. \замечание Векторные поля суть дифференцирования кольца гладких функций. Коммутатор двух дифференцирований -- снова дифференцирование. {\бф \пурпле Значит, $TF$ есть пучок алгебр Ли.} \замечание Очевидно, $I$ определяет разложение $TF\otimes \C= T^{1,0}F\oplus T^{0,1} F$, где $T^{1,0}F$ есть $\1$-собственное пространство, а $T^{0,1}F$ это $-\1$-собственное пространство. Действительно, $x = \frac 1 2 (x + \1 Ix) + \frac 1 2 (x - \1 Ix)$. \определение Почти комплексная структура на $F$ называется {\бф \блуе формально интегрируемой}, если $[T^{1,0}F, T^{1,0}F] \subset T^{1,0}F$. \определение Пусть $(F,I)$ -- формально интегрируемое почти комплексное многообразие, $g$ -- эрмитова структура на $F$, а $\omega$ -- соответствующая $(1,1)$-форма, $\omega(x,y)=g(x,Iy)$. Скажем, что $(F,I,g)$ {\бф \блуе формально кэлерово}, если $d\omega=0$. \newpage \newcommand{\Knot}{\operatorname{Knot}} {\bf\blue Пространство узлов в римановом 3-многообразии} J. L. Brylinski, {\em\blue The K\"ahler geometry of the space of knots in a smooth threefold,} Preprint, Penn. State Univ., University Park, PA, 1990 J. L. Brylinski, {\em\blue Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization,} Progr. Math., vol. 107, Birkh\"auser Boston, Boston, MA, 1993. LeBrun, Claude, {\em \blue A K\"ahler structure on the space of string worldsheets}, Classical Quantum Gravity 10 (1993), no. 9, L141--L148. Lempert, L\'aszl\'o, {\em\blue Loop spaces as complex manifolds,} J. Differential Geom. 38 (1993), no. 3, 519--543. \определение Пусть $\Knot(M)$ -- пространство узлов в римановом 3-многообразии. Для каждого $S\in \Knot(M)$, $T_S\Knot(M)$ -- пространство сечений нормального расслоения $NS$. Пусть $\gamma$ -- единичный касательный вектор к $S$ {\бф \блуе Векторное произведение с $\gamma$ задает комплексную структуру на векторном пространстве $NS$}. \теорема (Брылинский) {\бф \ред Эта комплексная структура формально интегрируема}. Более того, {\бф \ред стандартная метрика на $\Knot(M)$ формально кэлерова.} \newpage {\bf\blue $G_2$-многообразия} \определение Пусть $\rho\in \Lambda^2 \R^7$ -- 3-форма на $\R^7$. Скажем, что $\rho$ {\бф \блуе невырождена}, если размерность ее стабилизатора максимальна: \[ \dim St_{GL(7)}\rho = \dim GL(7) - \dim \Lambda^3(\R^7) = 49-35 =14. \] В этом случае, $\St(\rho)$ есть одна из двух вещественных форм 14-мерной группы Ли $G_2(\C)$. Скажем, что $\rho$ {\бф \блуе не расщепляется}, если $St(\rho|_x)\cong G_2$, где $G_2$ обозначает компактную вещественную форму $G_2(\C)$. \определение {\бф \блуе $G_2$-структура} на 7-многообразии есть 3-форма $\rho \in \Lambda^3(M)$, которая невырождена и не расщепляется в каждой точке $x\in M$ ("стабильна", в терминологии Хитчина). \замечание Форма $\rho$ определяет метрику на $M$ со значениями в $\Lambda^7 M$: \[ g(x,y) = (\rho\cntrct x)\wedge (\rho \cntrct y) \wedge \rho \] Это определяет конформную структуру на $M$. Зафиксируем конформный фактор, положив $|\rho|=1$. Получим, что {\бф \ред каждое $G_2$-многообразие снабжено естественной $G_2$-инвариантной римановой метрикой}. \определение $G_2$-многообразие называется {\бф \блуе многообразие с голономией $G_2$}, если $\nabla \rho=0$, где $\nabla$ есть связность Леви-Чивита, определенная этой метрикой. \newpage {\bf\blue Векторное произведение на $G_2$-многообразии} \определение Пусть $V=\R^7$ -- 7-мерное векторное пространство над $\R$, снабженное 3-формой $\rho$ такой, что $St_{GL(7)}(\rho)=G_2$, а $g$ -- $G_2$-инвариантная метрика на $V$, построенная как выше. Определим {\бф \блуе октавное векторное произведение} на $V$ по формуле $x\star y = \rho(x, y, \cdot)^\sharp$. Здесь $\rho(x, y, \cdot)$ -- форма, полученная подстановкой, а $\rho(x, y, \cdot)^\sharp$ -- двойственный вектор. \утверждение Для $x,y\in V$, $y\bot x$, имеем $x(x(y))=-|x|^2 y$. \следствие Если $x\in V$ -- вектор длины 1, то {\бф \пурпле умножение на $x$ задает комплексную структуру на ортогональном дополнении $x^\bot$.} \ендпрооф \утверждение \\ {\бф \ред Для каждого ненулевого вектора $x\in V$, $St_{G_2}(x)\cong SU(3)$}. \доказательство $St_{G_2}(x)$ действует на $x^\bot$, сохраняя комплексную структуру и метрику, то есть лежит в $U(3)$; размерность этой группы равна $\dim G_2 - \dim S^6=8$, значит, $St_{G_2}(x)$ подгруппа коразмерности 1 в $U(3)$. \ендпрооф \следствие Для каждого ненулевого вектора $x\in V$, {\бф \блуе пространство $x^\bot$ снабжено естественной $SU(3)$-структурой.} \newpage {\bf\blue Комплексная эрмитова структура на $\Knot(M)$} \следствие Для каждого узла $S\subset M$ в $G_2$-многообразии, {\бф \пурпле нормальное расслоение $NS$ снабжено естественной $SU(3)$-структурой.} \доказательство Для каждого $x\in S$, $NS\restrict x = x^\bot$. \ендпрооф \следствие Пространство сечений $\Gamma(NS)$ является {\бф \пурпле комплексным эрмитовым векторным пространством.} \теорема Рассмотрим пространство узлов $G_2$-многообразия, с эрмитовой структурой, определенной выше. {\бф \ред Эта эрмитова структура формально кэлерова тогда и только тогда, когда $M$ многообразие с голономией $G_2$.} \замечание\\ Симплектическая структура была получена М. Мовшевым в 1999. \end{document}