\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \usepackage[table]{xcolor} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Алгебры Клиффорда и спиноры \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Алгебры Клиффорда и спиноры} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Школа-конференция по теории струн, \\ интегрируемым моделям и теории представлений\\ НМУ, Москва, 30 января 2016 } \end{center} \newpage {\бф \блуе План} 1. Классификация алгебр Клиффорда и периодичность Ботта. 2. Спинорная группа и спинорное представление. 3. Спин-структура на многообразии и оператор Дирака. \newpage {\бф \блуе Градуированные алгебры и суперкоммутативность} \определение {\бф \блуе Градуированное векторное пространство} есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$. %\замечание %Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов %$\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано, %\[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\] \определение {\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$ с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$. \замечание Билинейное отображение градуированных пространств, которое удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется {\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}. \определение Оператор на градуированном пространстве называется {\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число. {\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный, 1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый} если он четный или нечетный. \определение Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$ называется {\бф \блуе суперкоммутативной} если $ab= (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$ \newpage \newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}} {\бф \блуе Алгебры Клиффорда} \определение Пусть $V, g$ -- векторное пространство над $k:= \C, \R$ с билинейной, симметричной 2-формой, а $\Cl(V,g)$ -- алгебра с единицей, полученная как фактор {\бф \блуе тензорной алгебры} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ по идеалу, порожденному $xy+ yx= g(x,y)$, где $x,y\in V$. Алгебра $\Cl(V, g)$ называется {\бф \blue алгеброй Клиффорда}. \пример Если $g=0$, $\Cl(V,g)$ есть алгебра Грассманна. \упражнение Рассмотрим фильтрацию $F_0\subset F_1 \subset F_2 \subset ... \subset T^{\otimes} V$, $F_i:=k \oplus V \oplus V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$, и пусть $C_0\subset C_1 \subset C_2 \subset ... \subset \Cl(V,g)$ -- соответствующая фильтрация на $\Cl(V,g)$. Докажите, что {\бф \пурпле присоединенная градуированная алгебра $\bigoplus_i C_i/C_{i-1}$ изоморфна алгебре Грассманна.} \следствие $\dim \Cl(V,g)= 2^{\dim V}$. \замечание Алгебра Клиффорда {\бф \блуе $\Z/2\Z$-градуированная}: $\Cl(V,g)= \Cl_\even(V,g)\oplus \Cl_\odd(V,g)$. \невпаге {\бф \блуе Градуированное тензорное произведение} \определение Пусть $A:=A_\even\oplus A_\odd$, $B:=B_\even\oplus B_\odd$ -- градуированные ассоциативные алгебры. Определим {\бф \блуе градуированное тензорное произведение} $A\tilde\otimes B$ как $A\otimes B$ с умножением, заданным по формуле $a\otimes b \cdot a' \otimes b' = (-1)^{\tilde b\tilde{a'}} aa' \otimes bb'$, где $\tilde x$ обозначает {\bf \blue четность} $x$. \пример {\бф \пурпле Градуированное тензорное произведение алгебр Грассманна соответствует прямой сумме} векторных пространств: \[ \Lambda^* V \tilde \otimes \Lambda^* W \cong \Lambda^*(V \oplus W)\] \пример {\бф \ред То же и с алгебрами Клиффорда: }\\ \[ \Cl(V,g) \tilde\otimes \Cl(V',g') =\Cl(V\oplus V',g+ g'). \] \невпаге {\бф \блуе Градуированное тензорное произведение и псевдоскаляр} {\бф \греен ЛЕММА (*):} Пусть $A:=A_\even\oplus A_\odd$, $B:=B_\even\oplus B_\odd$ градуированные ассоциативные алгебры, причем в $B$ содержится четный элемент {\бф \блуе ("псевдоскаляр")} $\epsilon$ со следующими свойствами: $\epsilon^2=1$, $\epsilon b \epsilon = (-1)^{\tilde b} b$. {\bf \red Тогда $A\tilde\otimes B\cong A\otimes B$.} \доказательство Рассмотрим подалгебру $A' \subset A\tilde\otimes B$, порожденную элементами вида $a \tilde\otimes \epsilon^{\tilde a}$, и $B' = 1\otimes B\subset A\tilde\otimes B$. Тогда 1. {\bf \purple $A'\cong A$ коммутирует с $B' \cong B$.} 2. {\bf \purple $A'\otimes B'= A\tilde\otimes B$ как векторное пространство.} \ендпрооф \определение Пусть $A=A_\even\oplus A_\odd$ -- градуированная алгебра. Рассмотрим новое умножение $\bullet$ на $A$, $a \bullet a':= (-1)^{\tilde a \tilde a'} aa'$. Обозначим получившуюся алгебру за $A^\bot$. \упражнение {\bf \purple Докажите, что $\Cl(V,g)^\bot= \Cl(V,-g)$.} {\бф \греен ЗАМЕЧАНИЕ (*):} {\bf \red Если в условиях Леммы (*) заменить $\epsilon^2=1$ на $\epsilon^2=-1$, получим, что $A\tilde\otimes B\cong A^\bot \otimes B$.} \newpage {\бф \блуе Вычисление алгебры Клиффорда для размерности 1,2} \определение Обозначим $\Cl(V,g)$ за $\Cl(p,q)$, если $V$ -- векторное пространство над $\R$, а $g$ -- невырожденная форма сигнатуры $(p,q)$. \упражнение Докажите, что $\Cl(1,0)=\R\oplus \R$, $\Cl(0,1)=\C$, $\Cl(0,2)={\Bbb H}$, \утверждение $\Cl(1,1)=\Mat(2, \R)$. \доказательство Пусть $A$ -- алгебра автоморфизмов $\C:=\R^2$, порожденная $I:=\sqrt 1$ и стандартной антикомплексной инволюцией $H$. {\бф \пурпле Тогда $IH=-HI$, $I^2=-1$, $H^2=1$.} \ендпрооф \утверждение $\Cl(2,0)=\Mat(2, \R)$, \доказательство Легко видеть, что {\бф \пурпле $\Mat(2, \R)$ порождена матрицами \[ \begin{pmatrix} 0 &1\\ 1& 0 \end{pmatrix}, \ \ \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0& -1 \end{pmatrix} \] которые антикоммутируют и в квадрате равны 1.} \newpage {\бф \блуе Единичный псевдоскаляр} \определение Пусть $V,g$ -- ориентированное вещественное пространство с ортогональным базисом $e_1, ..., e_n$, где $g(e_i, e_i) =\pm 1$. {\бф \блуе Единичный псевдоскаляр} в $\Cl(V,g)$ есть $\epsilon:= e_1e_2e_3 ... e_n$. \упражнение Докажите, что $\epsilon e_i = (-1)^{n-1} e_i \epsilon$. \упражнение Докажите, что $\epsilon^2= (-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}2}(-1)^q$, если $g$ имеет сигнатуру $(p,q)$. \замечание \[ \epsilon^2 = (-1)^{n(n-1)/2}(-1)^q = (-1)^{(p-q)(p-q-1)/2} = \begin{cases}+1 & p-q \equiv 0,1 \mod{4}\\ -1 & p-q \equiv 2,3 \mod{4}.\end{cases} \] \newpage {\бф \блуе Периодичность Ботта над $\C$} \следствие {\бф \пурпле $\Cl(p+m,q+m')\cong \Cl(p,q) \otimes \Cl(m,m')$ если $m+m'$ четно, а $m-m' \equiv 0 \mod{4}$.} \доказательство В $\Cl(m,m')$ псевдоскаляр $\epsilon$ удовлетворяет $\epsilon^2=1$ и антикоммутирует с нечетными элементами, что позволяет применить Лемму (*). Получаем изоморфизм $\Cl(p,q) \otimes \Cl(m,m')\cong \Cl(p,q) \tilde\otimes \Cl(m,m')$. Дальше применяем $\Cl(V,g) \tilde\otimes \Cl(V',g') =\Cl(V\oplus V',g+ g')$. \ендпрооф \следствие Обозначим за $A[i]$ тензорное произведение $A \otimes \Mat(i,\R)\cong \Mat(i, A)$. {\бф \пурпле Тогда $\Cl(p+1,q+1) \cong \Cl(p,q)[2]$.} \доказательство Применяем предыдущее следствие и изоморфизм $\Cl(1,1)=\Mat(2, \R)$. \ендпрооф \теорема {\бф \блуе (периодичность Ботта над $\C$)} \\ \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n}$ и \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n+1}$ ($g$ невырожденная). \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Периодичность Ботта над $\R$} \следствие $\Cl(p+m,q+m') \cong \Cl(q,p) \otimes \Cl(m,m')$ если $m+m'$ четно, а $m-m' \equiv 2 \mod{4}$. \доказательство 1. В $\Cl(m,m')$ псевдоскаляр $\epsilon$ удовлетворяет $\epsilon^2=-1$ и антикоммутирует с нечетными элементами, что позволяет применить Замечание (*), получая изоморфизм $\Cl(p,q)^\bot \otimes \Cl(m,m')\cong \Cl(p,q)\tilde\otimes \Cl(m,m') \cong\Cl(p+m,q+m')$. Затем пользуемся изоморфизмом $\Cl(p,q)^\bot=\Cl(p,q)$. \ендпрооф \следствие $\Cl(p+2,q)\cong \Cl(q,p)[2]$ и $\Cl(p,q+2)\cong \Cl(q,p)\otimes {\Bbb H}$ \доказательство Применяем предыдущее следствие и изоморфизм $\Cl(2,0)=\Mat(2, \R)$, $\Cl(0,2)={\Bbb H}$ \ендпрооф \следствие Периодичность по модулю 4: в силу предыдущего следствия, получаем $\Cl(p+4,q)\cong \Cl(q,p+2)[2]=\Cl(p,q) \otimes \Mat(2, {\Bbb H})$ и $\Cl(p,q+4)\cong \Cl(q+2,p)\otimes {\Bbb H}= \Cl(p,q) \otimes \Mat(2, {\Bbb H})$. \newpage {\бф \блуе Периодичность Ботта над $\R$ (продолжение)} \следствие Периодичность по модулю 8: из изоморфизма ${\Bbb H} \otimes_\R {\Bbb H} = \Mat(4, \R)$ и предыдущего следствия обретаем $\Cl(p+8,q) = \Cl(p,q)[16]$, $\Cl(p,q+8) = \Cl(p,q)[16]$. \newcommand{\Matsm}{\operatorname{{\text{\sf M\!a\!t}}}} {\tiny \[ \def\arraystretch{2} \begin{array}{l|l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}} & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 & -8 \\ \hline 0 & & & & & & & & & \R & & & & & & & & \\ 1 & & & & & & & & \R^2 & & \C & & & & & & & \\ 2 & & & & & & & \Matsm_{2}(\R) & & \Matsm_{2}(\R) & & \H & & & & & & \\ 3 & & & & & & \Matsm_{2}(\C) & & \Matsm_{2}(\R)^2 & & \Matsm_{2}(\C) & & \H^2 & & & & & \\ 4 & & & & & \Matsm_{2}(\H) & & \Matsm_{4}(\R) & & \Matsm_{4}(\R) & & \Matsm_{2}(\H) & & \Matsm_{2}(\H) & & & & \\ 5 & & & & \Matsm_{2}(\H)^2 & & \Matsm_{4}(\C) & & \Matsm_{4}(\R)^2 & & \Matsm_{4}(\C) & & \Matsm_{2}(\H)^2 & & \Matsm_{4}(\C) & & & \\ 6 & & & \Matsm_{4}(\H) & & \Matsm_{4}(\H) & & \Matsm_{8}(\R) & & \Matsm_{8}(\R) & & \Matsm_{4}(\H) & & \Matsm_{4}(\H) & & \Matsm_{8}(\R) & & \\ 7 & & \Matsm_{8}(\C) & & \Matsm_{4}(\H)^2 & & \Matsm_{8}(\C) & & \Matsm_{8}(\R)^2 & & \Matsm_{8}(\C) & & \Matsm_{4}(\H)^2 & & \Matsm_{8}(\C) & & \Matsm_{8}(\R)^2 & \\ 8 & \Matsm_{16}(\R) & & \Matsm_{8}(\H) & & \Matsm_{8}(\H) & & \Matsm_{16}(\R) & & \Matsm_{16}(\R) & & \Matsm_{8}(\H) & & \Matsm_{8}(\H) & & \Matsm_{16}(\R) & & \Matsm_{16}(\R) \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \epsilon^2 & + & - & - & + & + & - & - & + & + & - & - & + & + & - & - & + & + \end{array} \] } \newpage {\бф \блуе Автоморфизмы $\Mat(V)$} \теорема Группа автоморфизмов алгебры $\Mat(V)$ изоморфна $PGL(V)$ (фактора группы $GL(V)$ по центру). {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Группа $PGL(V)$ действует на $\Mat(V)$ по формуле $g, A \arrow gA g^{-1}$. {\bf \purple Это задает вложение $PGL(V) \stackrel \Psi \hookrightarrow\Aut(\Mat(V))$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\Pi_1, ..., \Pi_n\in \Mat(V)$ -- набор попарно коммутирующих, линейно независимых проекторов ранга 1, где $n=\dim V$. Поскольку {\бф \пурпле образы $\Pi_i$ линейно независимы и порождают $V$,} можно выбрать базис $e_i \in \im \Pi_i$. По $\{e_i\}$ нетрудно восстановить $\{\Pi_i\}$, а коль скоро $GL(V)$ действует транзитивно на множестве всех базисов, {\бф \ред $PGL(V)$ действует транзитивно на множестве наборов $\{\Pi_i\}$.} {\бф \греен Шаг 3:} Получаем, что для сюрьективности $PGL(V) \stackrel \Psi \hookrightarrow\Aut(\Mat(V))$ {\bf \purple достаточно доказать, что каждый автоморфизм $\gamma\in \Aut(\Mat(V))$, сохраняющий набор проекторов $\{\Pi_i\}$, задается сопряжением} с диагональной в базисе $\{e_i\}$ матрицей. \newpage {\бф \блуе Автоморфизмы $\Mat(V)$ (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} $A\Pi_i =A$ тогда и только тогда, когда $\im A \subset \im P_i$, а $\Pi_iA =A$ тогда и только тогда, когда $\ker A \supset \ker P_i$. Это значит, что {\bf \purple $\gamma$ переводит матрицу $e_{ij}$ в пропорциональную ей, для любого $i,j$.}\footnote{У $e_{ij}$ стоит единица на клетке $(i,j)$, в остальных клетках нули} {\бф \греен Шаг 5:} Значит, $\gamma$ сохраняет подалгебру $\Mat(k) \subset \Mat(n)$ натянутую на любые $k$ элементов базиса. Воспользовавшись индукцией по $n$, заключаем, что {\бф \пурпле $\gamma$ действует на $\Mat(k)\subset \Mat(n)$, $k2$.} Если же $n=1$, мы замечаем, что $a_{11}=a_{22}=1$, потому что соответствующие элементарные матрицы суть проекции, а $a_{21}a_{21}=1$, потому что $a_{21}e_{12}+a_{12}e_{21}$ переставляет операторы проекции $e_{11}$ и $e_{22}$, соответственно, $\gamma$ в размерности 2 получается сопряжением с матрицей $\begin{pmatrix} x &0 \\ 0 &x^{-1}\end{pmatrix}$. \endproof \newpage {\бф \блуе Псевдоскаляр на нечетномерном пространстве} \определение Для нечетномерного пространства $V$ псевдоскаляр $\epsilon= e_1e_2 ... e_{2n+1}$ коммутирует с умножением на образующие $\Cl(V)$, значит, определяет автоморфизм $\Cl(V)$. Если $V$ комплексное, всегда можно выбрать базис $\{e_i\}$ таким образом, что $\epsilon^2=1$. Собственные значения $\epsilon$ задают разложение в сумму алгебр $\Cl(V)= \Cl^+(V) \oplus \Cl^-(V)$. \утверждение {\бф \пурпле Каждая из алгебр $\Cl^+(V)$, $\Cl^-(V)$ изоморфна матричной.} \доказательство Собственные значения $\epsilon$, действующего на $\Cl(V)$, равны $\pm1$, так как $\epsilon^2=1$. С другой стороны, автоморфизм $V$, переставляющий два соседних вектора из базиса, переводит $\epsilon$ в $-\epsilon$, значит, меняет собственные пространства, соответствующие $+1$ и $-1$. Каждое из этих пространств есть подалгебра в $\Cl(V)$. Мы получили, что {\бф \ред разложение $\Cl(V)=\Mat(2^n, \C) \oplus \Mat(2^n, \C)$ задается действием $\epsilon$.} \ендпрооф \замечание Центр $Z$ алгебры $\Cl(V)$ двумерный и изоморфен $\C \oplus \C$. Группа $O(V)$ действует на $\Cl(V)$ и на $Z$ автоморфизмами; поскольку $\Aut(\C \oplus \C) = \Z/2\Z$, получаем, что {\бф \пурпле $O(V)$ переводит $\epsilon$ в $\pm\epsilon$, причем связная компонента $SO(V)$ сохраняет $\epsilon$.} \следствие {\бф \ред $SO(V)$ действует на $\Cl^+(V)$, $\Cl^-(V)$ автоморфизмами.} \newpage {\бф \блуе Спинорная группа (четномерные пространства)} \определение Пусть $V=\C^{2n}$, - векторное пространство над $\C$ с невырожденным скалярным произведением. Группа Ли $SO(V)$ действует на $\Cl(V)$ автоморфизмами, что задает гомоморфизм \[ SO(V) \hookrightarrow \Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n, \C)\] в силу теоремы, доказанной выше. \определение (Эли Картан, 1913) {\бф \блуе Спинорное представление} алгебры Ли $\goth{so}(V)$ есть ее представление в $\C^{2^n}$ заданное изоморфизмом $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$. \определение {\бф \блуе Спинорная группа} $\Spin(2n)$ есть накрытие $SO(2n)$, полученное интегрированием спинорного представления. \newpage {\бф \блуе Спинорная группа (нечетномерные пространства)} \определение Для нечетномерного $V=\C^{2n+1}$, {\bf \blue $+$-спинорное представление $\goth{so}(V)$ } есть действие $\goth{so}(V)$ в $\C^{2^n}$, полученное из изоморфизма $\Cl^+(V) = \Mat(2^n, \C)$ и $\Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n,\C)$, $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$. \определение {\bf \blue $-$-спинорное представление $\goth{so}(V)$ } определяется аналогично. \утверждение Эти представления {\бф \пурпле переводятся одно в другое сопряжением с любым элементом $O(V) \backslash SO(V)$.} \доказательство Такой элемент переводит $\epsilon$ в $-\epsilon$, значит, меняет местами $\Cl^+(V)$ и $\Cl^-(V)$. \ендпрооф \определение {\бф \блуе Спинорная группа} $\Spin(2n+1)$ есть накрытие группы $SO(2n+1)$, полученное интегрированием $+$- или $-$-спинорного представления. \замечание В силу предыдущего утверждения, эти представления изоморфны. \newpage {\бф \блуе Спинорная группа (явная конструкция)} \лемма Рассмотрим отображение $\goth{so}(V) \stackrel \Psi \arrow \Cl(V)$ переводящее 2-форму $x\wedge y\in \goth{so}(V)= \Lambda^2 V$, $x\bot y$ в $xy\in \Cl(V)$. {\бф \ред Это гомоморфизм алгебр Ли.} \доказательство Обозначим за $L_x$ умножение на $x\in V$ в $\Cl(V)$. Если $\langle x,y\rangle \bot \langle z,t\rangle$, то $[xy, zt]=0$, так как {\бф \пурпле $L_a, L_b$ антикоммутируют для $a \bot b$.} Для попарно ортогональных $x,y,t$, имеем $[xy, xt]= -2yt g(x,y).$ \ендпрооф \упражнение Пусть $x\bot y$ лежат в $V$. {\бф \блуе Докажите, что $\nu \arrow [xy, \nu]$ сохраняет $V\subset \Cl(V)$.} \определение Обозначим за $\Cl(V)^*$ группу всех обратимых элементов в $\Cl(V)$. \теорема {\бф \ред $\Spin(V)$ изоморфна группе всех элементов в группе $\Cl(V)^*$, удовлетворяющих $g(V)\subset V$,} и действующих на $V$ с сохранением ориентации и скалярного произведения. \доказательство Предыдущая лемма показывает, что {\бф \пурпле $\Spin(V)\subset \Cl(V)^*$ порождена элементами вида $e^{xy}\in \Cl(V)$, где $x\bot y$ лежат в $V$.} Поскольку $[xy, \cdot]$ сохраняет $V$, группа $\Spin(V)$ сохраняет $V$. Обратное включение получается из соображений размерности. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Пинорная группа} \newcommand{\Pin}{\operatorname{Pin}} \замечание Пусть $x\in V$ -- вектор длины 1. Тогда $x^2=1$, и $y \arrow x^{-1}yx$ {\бф \пурпле действует на $V$ отражениями относительно $x$.} \определение Группа $\Pin(V)$ {\бф \блуе (пинорная группа)} есть подгруппа $\Cl(V)^*$, порожденная умножениями на вектора $x\in V$ длины 1. \замечание {\бф \пурпле Эта группа несвязна} и является накрытием $O(V)$. \утверждение Связная компонента $\Pin(V)$ равна $\Spin(V)$. \доказательство $\Pin(V)$ сюрьективно отображается в $O(V)$, ибо содержит все отражения. Значит, соответствующее отображение связных компонент сюрьективно. Его ядро $K$ состоит из скаляров, что ясно из классификации автоморфизмов матричной алгебры. Поскольку определитель умножения на $x$ равен 1, $K$ тривиально. \ендпрооф \следствие {\бф \ред Накрытие $\Spin(V) \arrow SO(V)$ нетривиально.} \доказательство Достаточно доказать аналогичное утверждение для $\Pin(V)$, но $x$ и $-x$ принадлежат одной и той же компоненте связности $\Pin(V)$ и переводятся в одну и ту же изометрию $V$. \ендпрооф %\newpage % %{\бф \блуе Анти-инволюции и метрики} % %\определение %{\бф \блуе Анти-инволюция} алгебры $A$ есть инволюция, %которая удовлетворяет $i(xy) = i(y) i(x)$. % %\пример %Если на $V$ задано невырожденное скалярное произведение, %то {\бф \пурпле сопряжение $A \arrow A^\bot$ является %анти-инволюцией алгебры матриц.} % %\упражнение %Пусть два скалярных произведения индуцируют одну и ту же %анти-инволюцию. Докажите, что они пропорциональны. % %\определение %{\бф \блуе Клиффордова анти-инволюция} %есть автоморфизм $\Cl(V)$, переводящий %произведение вида $x_1 x_2 x_3 ... x_k$ %в $x_k x_{k-1} ... x_3 x_2 x_1$, для любых $x_i \in V$. % %\определение %{\бф \блуе Канонический изоморфизм} %$\Lambda^* V \arrow \Cl(V)$ %есть изоморфизм векторных пространств, %переводящий $x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_k$ %в $x_1 x_2 x_3 ... x_k$, для любых попарно %ортогональных $x_i \in V$. % %\упражнение Проверьте, что он не зависит от выбора $x_i$. % %\определение %Клиффордова метрика $\langle, \cdot, \cdot, \rangle$ %на $\Cl(V)$ есть скалярное %произведение, индуцированное со стандарной метрики %на $\Lambda^* V$ посредством канонического изоморфизма. % % %\newpage % %{\бф \блуе Спинорная метрика} % %\утверждение %Клиффордова метрика %вычисляется как $\langle, a, b, \rangle = \Tr(a \check b)$, %где $b \arrow \check b$ -- клиффордова анти-инволюция. % %\доказательство %Достаточно проверить для $x\in V$ и воспользоваться %разложением в ортогональный базис. \endproof % %\определение %{\бф \блуе Спинорная метрика} (spinorial inner product) %есть 2-форма на пространстве спиноров $S$, %симметрическая или антисимметрическая, в зависимости от четности, %и индуцирующая на $\Cl(V)= \Mat(S)$ клиффордову анти-инволюцию. % %\замечание %Отметим, что это условие {\бф \пурпле определяет метрику с точностью %до константы}. % \newpage {\бф \блуе Спиноры над $V= W \oplus W^*$} \пример Пусть $V= W \oplus W^*$, с естественной метрикой. Тогда $\Cl(W)= \Lambda^* W$, $\Cl(W^*) = \Lambda^* W^*$ и имеет место разложение $\Cl(W)=\Lambda^* W\otimes \Lambda^* W^*=\Lambda^* V$ \утверждение Рассмотрим действие $\Lambda^* W$ на $\Lambda^* W$ внешними умножениями, $x, y \arrow x\wedge y$, и $\Lambda^* W^*$ на $\Lambda^* W$ подстановкой, $x, \xi \arrow x\cntrct \xi$. {\бф \пурпле Это задает на $\Lambda^* W$ структуру $\Cl(V)$-модуля.} \доказательство Достаточно проверить на образующих: $\omega\wedge x \wedge y = - \omega\wedge y \wedge x$, $(\omega\cntrct \xi) \cntrct \zeta = - (\omega\cntrct \zeta) \cntrct \xi$, и \[ (\omega\wedge x) \cntrct \xi + (\omega \cntrct \xi) \wedge x = \omega \langle x, \xi\rangle. \] \ендпрооф \следствие {\бф \ред $\Lambda^* W$ канонически отождествляется со спинорным представлением} $\Spin(W \oplus W^*)$. \определение {\бф \блуе Лагранжево подпространство} в векторном пространстве со скалярным произведением $g$ есть подпространство половинной размерности, на которое $g$ ограничивается тривиально. Разложение $V = W_1 \oplus W_2$ в прямую сумму лагранжевых подпространств называется {\бф \блуе лагранжевым разложением}. \newpage {\бф \блуе Главные $G$-расслоения} \определение {\бф \блуе Главное $G$-расслоение} есть гладкое расслоение \\ $X \arrow M$ со свободным действием группы Ли $G$, транзитивным на слоях. \пример Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное расслоение. {\бф \блуе Расслоение реперов} в $B$ есть главное $GL(n)$-расслоение, слой которого в $m\in M$ есть пространство реперов в $B_m M$. \пример Если на $B$ задана метрика, {\бф \блуе расслоение ортогонормированных реперов} есть главное $O(n)$-расслоение. \определение {\бф \блуе Расслоенное произведение} пространств $M_1, M_2$ с действием $G$ есть фактор $M_1 \times_G M_2:= (M_1 \times M_2)/G$ по диагональному действию. \определение Пусть $P$ есть $G$-расслоение, а $V$ -- представление $G$. {\бф \блуе Ассоциированное векторное расслоение} есть $P\times_G V$. \замечание $TM = RM \times_{GL(n)} \R^n$, где $RM$ есть расслоение реперов, а $\R^n$ -- фундаментальное представление $GL(n)$. {\бф \пурпле Это позволяет восстановить $TM$ по соответствующему главному $G$-расслоению.} \newpage {\бф \блуе Редукция главных $G$-расслоения} \определение Пусть $G_1 \arrow G$ -- гомоморфизм групп. {\бф \блуе Редукция} $G$-расслоения $P$ к $G_1$ есть главное $G_1$-расслоение $P_1$ такое, что $P_1 \times_{G_1} G= P$. \пример {\бф \пурпле Расслоение ортогонормированных реперов задает редукцию главного $GL(n)$-расслоения к $O(n)$-расслоению.} \определение {\бф \блуе $G$-структура на гладком многообразии $M$} есть редукция главного $GL(n)$-расслоения реперов на $M$ к $G$. \определение {\бф \блуе Структурной группой риманова многообразия} называется главное $O(n)$-расслоение, связанное с римановой структурой. \определение $\Spin$-структура на ориентированном римановом многообразии $M$ есть редукция структурной группы $SO(n)$ этого многообразия к $\Spin(n)$. \newpage {\бф \блуе Связности и $G$-структуры} \определение Пусть $P$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- точное представление $G$, а $B$ -- ассоциированное векторное расслоение. Связность $\nabla$ на $B$ называется {\бф\блуе $G$-инвариантной}, если для любого $g \in G$ и любого базиса $\xi_1, ... \xi_n$ в $B\restrict m$, любой параллельный перенос относительно $\nabla$ переводит $\xi_1, ... \xi_n$ в $g(\xi_1), ..., g(\xi_n)$, для какого-то $g\in G$. \замечание Другими словами, {\бф \пурпле $\nabla$ согласована с $G$, если голономия $\nabla$ лежит в $G$.} \замечание {\бф \ред Две связности, согласованные с $G$, отличаются на 1-форму вида $A \in \Lambda^1(M) \otimes {\goth g}$,} где ${\goth g}=\Lie(G)$ -- алгебра Ли инфинитезимальных преобразований $B$, индуцированных $G$. \newpage \newcommand{\ver}{{\operatorname{{\sf ver}}}} {\бф \блуе Связность на $G$-расслоениях} \определение Связность $\nabla$ на главном $G$-расслоении $P$ есть $G$-инвариантное расщепление касательного $TP$ в прямую сумму $TP = T_\nabla P \oplus T_\ver P$, где $T_\ver P$ -- касательные вектора к слоям $P\arrow M$. \утверждение Связности на главном $G$-расслоении $P$ {\бф \ред взаимно однозначно соответствуют $G$-инвариантным связностям на ассоциированном векторном расслоении}, для любого точного представления $G$. \доказательство Докажите самостоятельно. \ендпрооф \следствие Пусть $M$ -- риманово многообразие с ортогональной связностью. {\бф \ред Тогда на расслоении спиноров задана каноническая связность,} которая называется {\бф \блуе спинорной связностью}. \доказательство Соответствующая $G$-структура получается из стандартной $SO(n)$-структуры накрытием, значит, {\бф \пурпле связностей у них столько же.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Оператор Дирака} \определение Пусть $M$ -- риманово многообразие с заданной на нем $\Spin$-структурой, а $\nabla:\; S \arrow S \otimes \Lambda^1 M$ -- соответствующая связность на спинорах. Отождествив $\Lambda^1 M$ и $TM$, можно считать, что $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$. Рассмотрим оператор {\бф \блуе спинорного умножения} $S \otimes TM\stackrel \sigma \arrow S$. {\бф \блуе Оператор Дирака} $D$ есть композиция $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$ и $\sigma$. \определение {\бф \блуе Гармонический спинор} есть спинор $\psi$ такой, что $D(\psi)=0$. \определение {\бф \блуе Киллингов спинор} есть спинор $\psi$ такой, что $\nabla_X(\psi)= X\cdot \psi$. \замечание Ненулевые киллинговы спиноры существуют только на многообразиях Эйнштейна. \end{document}