


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\usepackage[table]{xcolor}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ������� ��������� � ������� \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ������� ��������� � �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf �����-����������� �� ������ �����, \\
������������� ������� � ������ �������������\\
 ���, ������, 30 ������ 2016
}
\end{center}

\newpage

{\�� \���� ����}

1. ������������� ������ ��������� � ������������� �����.

2. ��������� ������ � ��������� �������������.

3. ����-��������� �� ������������ � �������� ������.

\newpage

{\�� \���� �������������� ������� � ��������������������}


\�����������
{\�� \���� �������������� ��������� ������������}
���� ������������ $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$.

%\���������
%���� $V^*$ ������������, ������������ �������������
%$\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ ���� ������������,
%\[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\]

\�����������
{\�� \���� �������������� �������} (��� "��������������
������������� �������") ���� ������� $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$
� ����������, ������� ���������� � ������������: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$.

\���������
���������� ����������� �������������� �����������, �������
������������� $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, ����������
{\��\���� ��������������}, ��� {\�� \���� ����������� � ������������}.


\�����������
�������� �� �������������� ������������ ����������
{\�� \���� ������} ({\�� \���� ��������}), ����
�� �������� ����������� �� ������ (��������) �����.
{\�� \���� ��������} $\tilde a$ ��������� $a$ ���� 0, ���� �� ������,
1 ���� ��������. �� �������, ��� �������� {\�� \���� ������}
���� �� ������ ��� ��������.


\����������� 
�������������� ������������� ������� $A^*$
���������� {\�� \���� ������������������}
����  $ab= (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$

\newpage

\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}
{\�� \���� ������� ���������}


\�����������
����� $V, g$ -- ��������� ������������ ��� $k:= \C, \R$
� ����������, ������������ 2-������, � $\Cl(V,g)$ --
������� � ��������, ���������� ��� ������ {\�� \���� ���������
�������} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus
V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ �� ������,
������������ $xy+ yx= g(x,y)$, ��� $x,y\in V$.
������� $\Cl(V, g)$ ���������� {\�� \blue �������� ���������}.

\������
���� $g=0$, $\Cl(V,g)$ ���� ������� ����������.

\����������
���������� ���������� 
$F_0\subset F_1 \subset F_2 \subset ... \subset T^{\otimes} V$,
$F_i:=k \oplus V \oplus
V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$,
� ����� $C_0\subset C_1 \subset C_2 \subset ... \subset \Cl(V,g)$ --
��������������� ���������� �� $\Cl(V,g)$.
��������, ��� {\�� \������ �������������� ��������������
������� $\bigoplus_i C_i/C_{i-1}$ ��������� 
������� ����������.}

\���������
$\dim \Cl(V,g)= 2^{\dim V}$.

\��������� 
������� ��������� {\�� \���� $\Z/2\Z$-��������������}:
$\Cl(V,g)= \Cl_\even(V,g)\oplus \Cl_\odd(V,g)$.


\�������

{\�� \���� �������������� ��������� ������������}

\�����������
����� $A:=A_\even\oplus A_\odd$,
 $B:=B_\even\oplus B_\odd$ -- ��������������
������������� �������. ��������� {\�� \���� ��������������
��������� ������������} $A\tilde\otimes B$ ��� $A\otimes B$
� ����������, �������� �� �������
$a\otimes b \cdot a' \otimes b' = (-1)^{\tilde b\tilde{a'}} aa' \otimes bb'$,
��� $\tilde x$ ���������� {\bf \blue ��������} $x$.

\������
{\�� \������ �������������� ��������� ������������ ������ ����������
������������� ������ �����} ��������� �����������:
\[ \Lambda^* V \tilde \otimes \Lambda^* W \cong \Lambda^*(V \oplus W)\]

\������
{\�� \��� �� �� � � ��������� ���������: }\\
\[ \Cl(V,g) \tilde\otimes \Cl(V',g') =\Cl(V\oplus V',g+ g'). \]

\�������

{\�� \���� �������������� ��������� ������������ � ������������}

{\�� \����� ����� (*):}
����� $A:=A_\even\oplus A_\odd$,
 $B:=B_\even\oplus B_\odd$ ��������������
������������� �������, ������ � $B$ ����������
������ ������� {\�� \���� 
("������������")} $\epsilon$ �� ���������� ����������:
$\epsilon^2=1$, $\epsilon b \epsilon = (-1)^{\tilde b} b$.
{\bf \red ����� $A\tilde\otimes B\cong A\otimes B$.}

\��������������
���������� ���������� $A' \subset A\tilde\otimes B$, �����������
���������� ���� $a \tilde\otimes \epsilon^{\tilde a}$,
� $B' = 1\otimes B\subset A\tilde\otimes B$.

����� 

1. {\bf \purple $A'\cong A$ ����������� � $B' \cong B$.}

2. {\bf \purple $A'\otimes B'= A\tilde\otimes B$ ��� ��������� ������������.}
\��������


\�����������
����� $A=A_\even\oplus A_\odd$ -- ��������������
�������. ���������� ����� ��������� $\bullet$ �� $A$,
$a \bullet a':= (-1)^{\tilde a \tilde a'} aa'$.
��������� ������������ ������� �� $A^\bot$.

\����������
{\bf \purple ��������, ��� $\Cl(V,g)^\bot= \Cl(V,-g)$.}


{\�� \����� ��������� (*):}
{\bf \red ���� � �������� ����� (*) �������� $\epsilon^2=1$
�� $\epsilon^2=-1$, �������, ��� 
 $A\tilde\otimes B\cong A^\bot \otimes B$.}

\newpage

{\�� \���� ���������� ������� ��������� ��� ����������� 1,2}

\�����������
��������� $\Cl(V,g)$ �� $\Cl(p,q)$, ����
$V$ -- ��������� ������������ ��� $\R$, � $g$ --
������������� ����� ��������� $(p,q)$.

\����������
��������, ���
$\Cl(1,0)=\R\oplus \R$, $\Cl(0,1)=\C$, $\Cl(0,2)={\Bbb H}$,
 
\�����������
 $\Cl(1,1)=\Mat(2, \R)$.

\��������������
����� $A$ -- ������� ������������� $\C:=\R^2$, �����������
$I:=\sqrt 1$ � ����������� ��������������� ���������� $H$.
{\�� \������ ����� $IH=-HI$, $I^2=-1$, $H^2=1$.} \��������

\�����������
$\Cl(2,0)=\Mat(2, \R)$,

\��������������
����� ������, ��� {\�� \������ $\Mat(2, \R)$ ��������� ���������
\[ \begin{pmatrix}
0 &1\\
1& 0
\end{pmatrix}, \ \ \begin{pmatrix}
1 &0\\
0& -1
\end{pmatrix}
\]
������� ��������������� � � �������� ����� 1.}

\newpage

{\�� \���� ��������� ������������}

\�����������
����� $V,g$ -- ��������������� ������������ ������������
� ������������� ������� $e_1, ..., e_n$, ��� $g(e_i, e_i) =\pm 1$.
{\�� \���� ��������� ������������} � $\Cl(V,g)$
���� $\epsilon:= e_1e_2e_3 ... e_n$.

\����������
��������, ��� $\epsilon e_i = (-1)^{n-1} e_i \epsilon$.

\����������
��������, ��� $\epsilon^2= (-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}2}(-1)^q$,
���� $g$ ����� ��������� $(p,q)$. 

\��������� 
\[
 \epsilon^2 = (-1)^{n(n-1)/2}(-1)^q = (-1)^{(p-q)(p-q-1)/2} =
\begin{cases}+1 & p-q \equiv 0,1 \mod{4}\\ -1 & p-q \equiv 2,3 \mod{4}.\end{cases}
\]

\newpage

{\�� \���� ������������� ����� ��� $\C$}

\��������� 
{\�� \������ $\Cl(p+m,q+m')\cong \Cl(p,q) \otimes \Cl(m,m')$
���� $m+m'$ �����, � $m-m' \equiv 0 \mod{4}$.}

\��������������
� $\Cl(m,m')$ ������������ $\epsilon$
������������� $\epsilon^2=1$ � ��������������� � ���������
����������, ��� ��������� ��������� ����� (*). ��������
���������� $\Cl(p,q) \otimes \Cl(m,m')\cong \Cl(p,q) \tilde\otimes \Cl(m,m')$.
������ ��������� $\Cl(V,g) \tilde\otimes \Cl(V',g') =\Cl(V\oplus V',g+ g')$.
\��������

\���������
��������� �� $A[i]$ ��������� ������������ $A \otimes \Mat(i,\R)\cong \Mat(i, A)$.
{\�� \������ ����� $\Cl(p+1,q+1) \cong \Cl(p,q)[2]$.}

\�������������� 
��������� ���������� ��������� � ����������
$\Cl(1,1)=\Mat(2, \R)$.
\��������

\�������
{\�� \���� (������������� ����� ��� $\C$)} \\
\[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] ��� $V=\C^{2n}$
� \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] ��� 
$V=\C^{2n+1}$ ($g$ �������������).
\��������

\newpage

{\�� \���� ������������� ����� ��� $\R$}


\��������� 
$\Cl(p+m,q+m') \cong \Cl(q,p) \otimes \Cl(m,m')$
���� $m+m'$ �����, � $m-m' \equiv 2 \mod{4}$.

\��������������
1. � $\Cl(m,m')$ ������������ $\epsilon$
������������� $\epsilon^2=-1$ � ��������������� � ���������
����������, ��� ��������� ��������� ��������� (*), ������� ����������
$\Cl(p,q)^\bot  \otimes \Cl(m,m')\cong \Cl(p,q)\tilde\otimes \Cl(m,m')
\cong\Cl(p+m,q+m')$. ����� ���������� ������������ $\Cl(p,q)^\bot=\Cl(p,q)$.
\��������

\���������  
$\Cl(p+2,q)\cong \Cl(q,p)[2]$ � $\Cl(p,q+2)\cong \Cl(q,p)\otimes {\Bbb H}$

\�������������� 
��������� ���������� ��������� � ����������
$\Cl(2,0)=\Mat(2, \R)$, $\Cl(0,2)={\Bbb H}$  
\��������


\��������� 
������������� �� ������ 4:
� ���� ����������� ���������, ��������
$\Cl(p+4,q)\cong \Cl(q,p+2)[2]=\Cl(p,q) \otimes \Mat(2, {\Bbb H})$ 
� $\Cl(p,q+4)\cong \Cl(q+2,p)\otimes {\Bbb H}= 
\Cl(p,q) \otimes \Mat(2, {\Bbb H})$.

\newpage

{\�� \���� ������������� ����� ��� $\R$ (�����������)}

\���������
������������� �� ������ 8:
�� ����������� ${\Bbb H} \otimes_\R {\Bbb H} = \Mat(4, \R)$
� ����������� ��������� �������� $\Cl(p+8,q) = \Cl(p,q)[16]$,
$\Cl(p,q+8) = \Cl(p,q)[16]$.
\newcommand{\Matsm}{\operatorname{{\text{\sf M\!a\!t}}}}
{\tiny
\[ \def\arraystretch{2}
\begin{array}{l|l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}l@{\hskip -0.5em}}
& 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 & -8
\\ \hline
 0 & & & & & & & & & \R & & & & & & & &
\\
 1 & & & & & & & & \R^2 & & \C & & & & & & &
\\
 2 & & & & & & & \Matsm_{2}(\R) & & \Matsm_{2}(\R) & & \H & & & & & &
\\
 3 & & & & & & \Matsm_{2}(\C) & & \Matsm_{2}(\R)^2 & & \Matsm_{2}(\C) & & \H^2 & & & & &
\\
 4 & & & & & \Matsm_{2}(\H) & & \Matsm_{4}(\R) & & \Matsm_{4}(\R) & & \Matsm_{2}(\H) & & \Matsm_{2}(\H) & & & &
\\
 5 & & & & \Matsm_{2}(\H)^2 & & \Matsm_{4}(\C) & & \Matsm_{4}(\R)^2 & & \Matsm_{4}(\C) & 
& \Matsm_{2}(\H)^2 & & \Matsm_{4}(\C) & & &
\\
 6 & & & \Matsm_{4}(\H) & & \Matsm_{4}(\H) & & \Matsm_{8}(\R) & & \Matsm_{8}(\R) & & \Matsm_{4}(\H) & & \Matsm_{4}(\H) & & \Matsm_{8}(\R) & &
\\
 7 & & \Matsm_{8}(\C) & & \Matsm_{4}(\H)^2 & & \Matsm_{8}(\C) & & \Matsm_{8}(\R)^2 & & \Matsm_{8}(\C) & & \Matsm_{4}(\H)^2 & & \Matsm_{8}(\C) & & \Matsm_{8}(\R)^2 &
\\
 8 & \Matsm_{16}(\R) & & \Matsm_{8}(\H) & & \Matsm_{8}(\H) & & \Matsm_{16}(\R) & & \Matsm_{16}(\R) & & \Matsm_{8}(\H) & & \Matsm_{8}(\H) & & \Matsm_{16}(\R) & & \Matsm_{16}(\R)
\\
 & & & & & & & & & & & & & & & & &
\\
 \epsilon^2 & + & - & - & + & + & - & - & + & + & - & - & + & + & - & - & + & +
\end{array}
\]
}
\newpage

{\�� \���� ������������ $\Mat(V)$}

\�������
������ ������������� ������� $\Mat(V)$ ��������� 
$PGL(V)$ (������� ������ $GL(V)$ �� ������).

{\�� \����� ��������������. ��� 1:}
������ $PGL(V)$ ��������� �� $\Mat(V)$
�� ������� $g, A \arrow gA g^{-1}$.
{\bf \purple ��� ������ �������� $PGL(V) \stackrel \Psi \hookrightarrow\Aut(\Mat(V))$.}

{\�� \����� ��� 2:}
����� $\Pi_1, ..., \Pi_n\in \Mat(V)$ -- ����� ������� �������������,
������� ����������� ���������� ����� 1, ��� $n=\dim V$.
��������� {\�� \������ ������ $\Pi_i$ ������� ���������� � ��������� $V$,} 
����� ������� �����
$e_i \in \im \Pi_i$. �� $\{e_i\}$ �������� ������������
$\{\Pi_i\}$, � ���� ����� $GL(V)$ ��������� �����������
�� ��������� ���� �������, {\�� \��� 
$PGL(V)$ ��������� �����������
�� ��������� ������� $\{\Pi_i\}$.}

{\�� \����� ��� 3:}
��������, ��� 
��� �������������� $PGL(V) \stackrel \Psi \hookrightarrow\Aut(\Mat(V))$
{\bf \purple ���������� ��������, ��� ������ ����������� 
$\gamma\in \Aut(\Mat(V))$,
����������� ����� ���������� $\{\Pi_i\}$, �������� �����������} � 
������������ � ������ $\{e_i\}$ ��������.

\newpage

{\�� \���� ������������ $\Mat(V)$ (�����������)}

{\�� \����� ��� 4:}
$A\Pi_i =A$ ����� � ������ �����, ����� $\im A \subset \im P_i$,
� $\Pi_iA =A$ ����� � ������ �����, ����� $\ker A \supset \ker P_i$.
��� ������, ��� {\bf \purple $\gamma$ 
��������� ������� $e_{ij}$ � ����������������
��, ��� ������ $i,j$.}\footnote{� $e_{ij}$ ����� 
������� �� ������ $(i,j)$, � ��������� ������� ����}

{\�� \����� ��� 5:} ������,
$\gamma$ ��������� ���������� $\Mat(k) \subset \Mat(n)$
��������� �� ����� $k$ ��������� ������.
���������������� ��������� �� $n$, ���������, 
��� {\�� \������ $\gamma$ ��������� �� $\Mat(k)\subset \Mat(n)$, 
$k<n$, ����������� � ��������, ������������ � ������ $\{e_i\}$.}


{\�� \����� ��� 6:}
����� $a_{ij}\in \C^*$ ������������ ��
����������� $a_{ij} e_{ij}:= \gamma(e_{ij})$.
{\bf \purple ��������� $\gamma$ ��������� �� ��������� 
����������� ������� ����������� ����������� 
� ������������ �������� $(C_{ii})$, �����
$a_{ij}=C_{ii}^{-1} C_{jj}$, ���� $n>2$.} ���� �� $n=1$,
�� ��������, ��� $a_{11}=a_{22}=1$, ������ ���
��������������� ������������ ������� ���� ��������,
� $a_{21}a_{21}=1$, ������ ��� $a_{21}e_{12}+a_{12}e_{21}$
������������ ��������� �������� $e_{11}$ � $e_{22}$,
��������������, $\gamma$ � ����������� 2 ����������
����������� � �������� $\begin{pmatrix} x &0 \\ 0 &x^{-1}\end{pmatrix}$.
\endproof


\newpage

{\�� \���� ������������ 
�� ������������� ������������}


\�����������
��� �������������� ������������ $V$
������������ $\epsilon= e_1e_2 ... e_{2n+1}$ ����������� �
���������� �� ���������� $\Cl(V)$, ������, ����������
����������� $\Cl(V)$. ���� $V$ �����������,
������ ����� ������� ����� $\{e_i\}$ �����
�������, ��� $\epsilon^2=1$. ����������� �������� $\epsilon$ 
������ ���������� � ����� ������ $\Cl(V)= \Cl^+(V) \oplus \Cl^-(V)$.

\�����������
{\�� \������ ������ �� ������ $\Cl^+(V)$, $\Cl^-(V)$
��������� ���������.}

\��������������
����������� �������� $\epsilon$, ������������
�� $\Cl(V)$, ����� $\pm1$, ��� ��� $\epsilon^2=1$.
� ������ �������, ����������� $V$, ��������������
��� �������� ������� �� ������, ��������� $\epsilon$ � $-\epsilon$,
������, ������ ����������� ������������, ���������������
$+1$ � $-1$. ������ �� ���� ����������� ���� ����������
� $\Cl(V)$. �� ��������, ��� {\�� \���
���������� $\Cl(V)=\Mat(2^n, \C) \oplus \Mat(2^n, \C)$
�������� ��������� $\epsilon$.}
\��������

\���������
����� $Z$ ������� $\Cl(V)$ ��������� � ���������
$\C \oplus \C$. ������ $O(V)$ ���������
�� $\Cl(V)$ � �� $Z$ ��������������; ��������� 
$\Aut(\C \oplus \C) = \Z/2\Z$, ��������, ���
{\�� \������ $O(V)$ ��������� $\epsilon$ � $\pm\epsilon$,
������ ������� ���������� $SO(V)$
��������� $\epsilon$.}

\��������� 
{\�� \��� $SO(V)$ ��������� �� $\Cl^+(V)$, $\Cl^-(V)$
��������������.}


\newpage

{\�� \���� ��������� ������ (����������� ������������)}

\�����������
����� $V=\C^{2n}$, - ��������� ������������ ���
$\C$ � ������������� ��������� �������������.
������ �� $SO(V)$ ��������� �� $\Cl(V)$ ��������������,
��� ������ �����������
\[ SO(V) \hookrightarrow \Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n, \C)\]
� ���� �������, ���������� ����.

\�����������
(��� ������, 1913)
{\�� \���� ��������� �������������} ������� ��
$\goth{so}(V)$ ���� �� ������������� � $\C^{2^n}$
�������� ������������ $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$.

\�����������
{\�� \���� ��������� ������} $\Spin(2n)$
���� �������� $SO(2n)$, ���������� ���������������
���������� �������������.

\newpage

{\�� \���� ��������� ������ (������������� ������������)}

\�����������
��� �������������� $V=\C^{2n+1}$, {\bf \blue $+$-��������� �������������
$\goth{so}(V)$ } ���� �������� $\goth{so}(V)$ � $\C^{2^n}$,
���������� �� ����������� $\Cl^+(V) = \Mat(2^n, \C)$
� $\Aut(\Mat(2^n, \C))= PGL(2^n,\C)$, $\goth{pgl}(2^n)= \goth{sl}(2^n)$.

\�����������
{\bf \blue $-$-��������� �������������
$\goth{so}(V)$ } ������������ ����������.

\����������� ��� �������������
{\�� \������ ����������� ���� � ������ ����������� �
����� ��������� $O(V) \backslash SO(V)$.}

\��������������
����� ������� ��������� $\epsilon$ � $-\epsilon$,
������, ������ ������� $\Cl^+(V)$ � $\Cl^-(V)$. \��������

\�����������
{\�� \���� ��������� ������} $\Spin(2n+1)$
���� �������� ������ $SO(2n+1)$, ���������� ���������������
$+$- ��� $-$-���������� �������������.

\��������� � ���� ����������� �����������,
��� ������������� ���������.


\newpage


{\�� \���� ��������� ������ (����� �����������)}

\�����
���������� ����������� $\goth{so}(V) \stackrel \Psi \arrow \Cl(V)$
����������� 2-����� $x\wedge y\in \goth{so}(V)= \Lambda^2 V$, $x\bot y$
� $xy\in \Cl(V)$. {\�� \��� ��� ����������� ������ ��.}

\��������������
��������� �� $L_x$ ��������� �� $x\in V$ � $\Cl(V)$.
���� $\langle x,y\rangle \bot \langle z,t\rangle$,
�� $[xy, zt]=0$, ��� ��� {\�� \������ $L_a, L_b$ ��������������� ���
$a \bot b$.} ��� ������� ������������� $x,y,t$, ����� $[xy, xt]= -2yt g(x,y).$
\��������

\����������
����� $x\bot y$ ����� � $V$.
{\�� \���� ��������, ��� $\nu \arrow [xy, \nu]$ ��������� $V\subset \Cl(V)$.}

\����������� ��������� �� $\Cl(V)^*$ ������ ���� ���������
��������� � $\Cl(V)$.

\�������
{\�� \��� $\Spin(V)$ ���������
������ ���� ��������� � ������ $\Cl(V)^*$, 
��������������� $g(V)\subset V$,} � �����������
�� $V$ � ����������� ���������� � ���������� ������������.

\�������������� 
���������� ����� ����������, ���
{\�� \������ $\Spin(V)\subset \Cl(V)^*$ ���������
���������� ���� $e^{xy}\in \Cl(V)$,
��� $x\bot y$ ����� � $V$.} ���������
$[xy, \cdot]$ ��������� $V$, ������
$\Spin(V)$ ��������� $V$. 

�������� ��������� ���������� �� ����������� �����������.
\��������


\newpage

{\�� \���� �������� ������}

\newcommand{\Pin}{\operatorname{Pin}}

\���������
����� $x\in V$ -- ������ ����� 1. ����� $x^2=1$,
� $y \arrow x^{-1}yx$ {\�� \������
��������� �� $V$ ����������� ������������ $x$.}

\�����������
������ $\Pin(V)$ {\�� \���� (�������� ������)} 
���� ��������� $\Cl(V)^*$, ����������� 
����������� �� ������� $x\in V$ ����� 1.

\���������
{\�� \������ ��� ������ ��������} � �������� ��������� $O(V)$.

\�����������
������� ���������� $\Pin(V)$ ����� $\Spin(V)$.

\��������������
$\Pin(V)$ ����������� ������������ � $O(V)$,
��� �������� ��� ���������. ������, ���������������
����������� ������� ��������� �����������.
��� ���� $K$ ������� �� ��������, ��� ����
�� ������������� ������������� ��������� �������.
��������� ������������ ��������� �� $x$
����� 1, $K$ ����������.
\��������

\���������
{\�� \��� �������� $\Spin(V) \arrow SO(V)$ ������������.}

\��������������
���������� �������� ����������� �����������
��� $\Pin(V)$, �� $x$ � $-x$ �����������
����� � ��� �� ���������� ��������� $\Pin(V)$
� ����������� � ���� � �� �� ��������� $V$.
\��������

%\newpage
%
%{\�� \���� ����-��������� � �������}
%
%\�����������
%{\�� \���� ����-���������} ������� $A$ ���� ���������,
%������� ������������� $i(xy) = i(y) i(x)$.
%
%\������
%���� �� $V$ ������ ������������� ��������� ������������,
%�� {\�� \������ ���������� $A \arrow A^\bot$ ��������
%����-���������� ������� ������.}
%
%\����������
%����� ��� ��������� ������������ ���������� ���� � �� ��
%����-���������. ��������, ��� ��� ���������������.
%
%\�����������
%{\�� \���� ����������� ����-���������}
%���� ����������� $\Cl(V)$, �����������
%������������ ���� $x_1 x_2 x_3 ... x_k$
%� $x_k x_{k-1} ... x_3 x_2 x_1$, ��� ����� $x_i \in V$.
%
%\�����������
%{\�� \���� ������������ ����������}
%$\Lambda^* V \arrow \Cl(V)$
%���� ���������� ��������� �����������,
%����������� $x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_k$
%� $x_1 x_2 x_3 ... x_k$, ��� ����� �������
%������������� $x_i \in V$.
%
%\���������� ���������, ��� �� �� ������� �� ������ $x_i$.
%
%\�����������
%����������� ������� $\langle, \cdot, \cdot, \rangle$ 
%�� $\Cl(V)$ ���� ���������
%������������, �������������� �� ���������� �������
%�� $\Lambda^* V$ ����������� ������������� �����������.
%
%
%\newpage
%
%{\�� \���� ��������� �������}
%
%\�����������
%����������� �������
%����������� ��� $\langle, a, b, \rangle = \Tr(a \check b)$,
%��� $b \arrow \check b$ -- ����������� ����-���������.
%
%\��������������
%���������� ��������� ��� $x\in V$ � ���������������
%����������� � ������������� �����. \endproof
%
%\�����������
%{\�� \���� ��������� �������} (spinorial inner product)
%���� 2-����� �� ������������ �������� $S$,
%�������������� ��� ������������������, � ����������� �� ��������,
%� ������������ �� $\Cl(V)= \Mat(S)$ ����������� ����-���������.
%
%\���������
%�������, ���  ��� ������� {\�� \������ ���������� ������� � ���������
%�� ���������}.
%

\newpage

{\�� \���� ������� ��� $V= W \oplus W^*$}

\������
����� $V= W \oplus W^*$, � ������������ ��������.
����� $\Cl(W)= \Lambda^* W$, $\Cl(W^*) = \Lambda^* W^*$
� ����� ����� ���������� $\Cl(W)=\Lambda^* W\otimes \Lambda^* W^*=\Lambda^* V$

\�����������
���������� �������� $\Lambda^* W$ �� $\Lambda^* W$ ��������
�����������, $x, y \arrow x\wedge y$, � $\Lambda^* W^*$ ��
$\Lambda^* W$ ������������, $x, \xi \arrow x\cntrct \xi$.
{\�� \������ ��� ������ �� $\Lambda^* W$ ��������� $\Cl(V)$-������.}

\��������������
���������� ��������� �� ����������:
$\omega\wedge x \wedge y = - \omega\wedge y \wedge x$,
$(\omega\cntrct \xi) \cntrct \zeta = - (\omega\cntrct \zeta) \cntrct \xi$,
� 
\[ (\omega\wedge x) \cntrct \xi + (\omega \cntrct \xi) \wedge x = 
   \omega \langle x, \xi\rangle.
\]
\��������

\���������
{\�� \��� $\Lambda^* W$ ����������� ��������������� �� ���������
��������������} $\Spin(W \oplus W^*)$.

\�����������
{\�� \���� ���������� ���������������} � ���������
������������ �� ��������� ������������� $g$ ���� 
��������������� ���������� �����������, �� �������
$g$ �������������� ����������.
���������� $V = W_1 \oplus W_2$
� ������ ����� ����������� ��������������
���������� {\�� \���� ����������� �����������}.


\newpage

{\�� \���� ������� $G$-����������}

\�����������
{\�� \���� ������� $G$-����������}
���� ������� ����������  \\ $X \arrow M$
�� ��������� ��������� ������ �� $G$,
������������ �� �����.

\������ 
����� $B$ -- $n$-������ ��������� ����������.
{\�� \���� ����������  �������} � $B$
���� ������� $GL(n)$-����������, ���� ��������
� $m\in M$ ���� ������������ ������� � $B_m M$.

\������
���� �� $B$ ������ �������,
{\�� \���� ���������� ������������������� �������}
���� ������� $O(n)$-����������.

\�����������
{\�� \���� ����������� ������������}
����������� $M_1, M_2$ � ��������� $G$ ���� ������ 
$M_1 \times_G M_2:= (M_1 \times M_2)/G$
�� ������������� ��������.

\�����������
����� $P$ ���� $G$-����������,
� $V$ -- ������������� $G$. {\�� \����
��������������� ��������� ����������}
���� $P\times_G V$.

\���������
$TM = RM \times_{GL(n)} \R^n$,
��� $RM$ ���� ���������� �������, � 
$\R^n$ -- ��������������� �������������
$GL(n)$. {\�� \������ ��� ��������� ������������
$TM$ �� ���������������� �������� $G$-����������.}


\newpage

{\�� \���� �������� ������� $G$-����������}

\�����������
����� $G_1 \arrow G$ -- ����������� �����.
{\�� \���� ��������} $G$-���������� $P$ � $G_1$
���� ������� $G_1$-���������� $P_1$ �����,
��� $P_1 \times_{G_1} G= P$.

\������
{\�� \������ ���������� ������������������� �������
������ �������� �������� $GL(n)$-���������� �
$O(n)$-����������.}

\�����������
{\�� \���� $G$-��������� �� ������� ������������ $M$}
���� �������� �������� $GL(n)$-���������� �������
�� $M$ � $G$.


\�����������
{\�� \���� ����������� ������� �������� ������������}
���������� ������� $O(n)$-����������, ���������
� ��������� ����������.


\�����������
$\Spin$-��������� �� 
��������������� ��������� ������������ $M$ ���� �������� �����������
������ $SO(n)$ ����� ������������ � $\Spin(n)$.


\newpage

{\�� \���� ��������� � $G$-���������}

\�����������
����� $P$ -- ������� $G$-����������,
$V$ -- ������ ������������� $G$, � $B$ -- ���������������
��������� ����������. ��������� $\nabla$ �� $B$ ����������
{\��\���� $G$-������������}, ���� ��� ������ 
$g \in G$ � ������ ������ $\xi_1, ... \xi_n$ � 
$B\restrict m$, ����� ������������ ������� ������������ 
$\nabla$ ��������� $\xi_1, ... \xi_n$ � 
$g(\xi_1), ..., g(\xi_n)$, ��� ������-�� $g\in G$.

\���������
������� �������, {\�� \������ $\nabla$ ����������� � $G$,
���� ��������� $\nabla$ ����� � $G$.}

\���������
{\�� \��� ��� ���������, ������������� � $G$, ����������
�� 1-����� ���� $A \in \Lambda^1(M) \otimes {\goth g}$,}
��� ${\goth g}=\Lie(G)$ -- ������� �� �����������������
�������������� $B$, �������������� $G$.

\newpage

\newcommand{\ver}{{\operatorname{{\sf ver}}}}

{\�� \���� ��������� �� $G$-�����������}

\�����������
��������� $\nabla$ �� ������� $G$-���������� $P$ ���� 
$G$-������������ ����������� ������������ $TP$ � ������
�����
$TP = T_\nabla P \oplus T_\ver P$,
��� $T_\ver P$ -- ����������� ������� � ����� $P\arrow M$.

\�����������
��������� �� ������� $G$-���������� $P$
{\�� \��� ������� ���������� ������������� $G$-������������
���������� �� ��������������� ��������� ����������}, ���
������ ������� ������������� $G$.

\�������������� �������� ��������������. \��������

\���������
����� $M$ -- �������� ������������ � �������������
����������. {\�� \��� ����� �� ���������� �������� ������
������������ ���������,} ������� ���������� {\�� \���� 
��������� ����������}.

\��������������
��������������� $G$-��������� ���������� �� �����������
$SO(n)$-��������� ���������, ������, {\�� \������ ���������� � ���
������� ��.} \��������

\newpage

{\�� \���� �������� ������}

\�����������
����� $M$ -- �������� ������������ � �������� �� ���
$\Spin$-����������, � $\nabla:\; S \arrow S \otimes \Lambda^1 M$ --
��������������� ��������� �� ��������. ����������� $\Lambda^1 M$
� $TM$, ����� �������, ��� $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$.
���������� �������� {\�� \���� ���������� ���������}
$S \otimes TM\stackrel \sigma \arrow S$. {\�� \���� �������� ������}
$D$ ���� ���������� $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$ � $\sigma$.

\�����������
{\�� \���� ������������� ������} ���� ������ $\psi$ �����,
��� $D(\psi)=0$.

\����������� {\�� \���� ��������� ������} ����
������ $\psi$ �����, ��� $\nabla_X(\psi)= X\cdot \psi$.

\���������
��������� ���������� ������� ���������� ������ �� �������������
���������. 




\end{document}

