\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\6{{\partial}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\im{\operatorname{\sf im}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Ric{\operatorname{Ric}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Hol{\operatorname{Hol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Многообразия Калаби-Яу (3) \scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} \vfil %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Многообразия Калаби-Яу, лекция 3: \\ теорема Богомолова } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny\bf Школа-конференция по теории струн, \\ интегрируемым моделям и теории представлений\\ НМУ, Москва, 3 февраля 2016 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Теория Ходжа} Пусть $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^* M$ -- дифференциал дде Рама, а $d^*$ -- сопряженный оператор. Оператор $\Delta:= dd^*+d^*d$ называется {\бф \блуе оператор Лапласа}. {\бф \греен Основная теорема теории Ходжа:} Существует {\бф \ред базис в гильбертовом пространстве} $L^2(\Lambda^*(M))$, состоящий из собственных векторов $\Delta$, и каждое собственное пространство конечномерно. \теорема {\бф \блуе (``Эллиптическая регулярность'')} Пусть $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- собственный вектор $\Delta$. {\бф \ред Тогда $\alpha$ -- гладкая $k$-форма.} {\бф \греен Определение:} Форма $\alpha$ называется {\бф \блуе гармонической}, если $\Delta(\alpha)=0$. \замечание Для любой гармонической формы $\alpha$, $0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$ значит, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$. Получаем, что {\бф \ред любая гармоническая форма на компактном многообразии замкнута.} \невпаге {\бф \блуе Гармонические формы и когомологии} \теорема Пусть $M$ -- компактное, риманово. Тогда {\bf \red естественное отображение ${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ из гармонических форм в когомологии -- изоморфизм.} \\[2mm] {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Поскольку $\ker d^*= (\im d)^\bot$, {\бф \пурпле естественное отображение ${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ инъективно.} {\бф \греен Шаг 2:} $d\Delta = \Delta d= dd^*d$. Поэтому {\бф \пурпле $d$ коммутирует с $\Delta$.} {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим весовое разложение $\Lambda^*(M) \tilde = \bigoplus_\alpha {\cal H}^*_\alpha(M)$, где $\alpha$ пробегает через все собственные значения $\Delta$. Для каждого $\alpha$, {\бф \ред дифференциал де Рама сохраняет собственные пространства $\Delta$,} что дает комплекс \[ {\cal H}^0_\alpha(M) \stackrel d \arrow {\cal H}^1_\alpha(M) \stackrel d \arrow {\cal H}^2_\alpha(M) \stackrel d \arrow ... \] {\бф \греен Шаг 4:} На ${\cal H}^*_\alpha(M)$, имеем $dd^* + d^* d= \alpha$. Когда $\alpha \neq 0$, и $\eta$ замкнута, это дает $dd^*(\eta) + d^* d(\eta)= dd^* \eta = \alpha\eta$, значит $\eta= d\xi$, где $\xi:= \alpha^{-1}d^* \eta$. Значит, для ненулевых $\alpha$, {\бф \пурпле комплексы $({\cal H}^*_\alpha(M), d)$ не дают вклада в когомологии} {\бф \греен Шаг 5:} Мы доказали, что \[ H^i(\Lambda^* M, d) = \bigoplus_\alpha H^i ({\cal H}^*_\alpha(M),d)= H^i ({\cal H}^*_0(M),d)={\cal H}^i(M). \] \endproof \невпаге {\бф \блуе Разложение Ходжа на когомологиях} \утверждение Любая гармоническая форма на компактном кэлеровом многообразии представима как сумма гармоничных $(p,q)$-форм, что дает {\бф \ред разложение $H^i(M) = \bigoplus_{p+q=i}H^{p,q}(M)$, причем $\overline{H^{p,q}(M)} = H^{q,p}(M)$.} \следствие {\бф \пурпле Нечетные когомологии кэлерова многообразия четномерны.} \определение Это разложение называется {\бф \блуе разложение Ходжа на когомологиях}. \утверждение {\бф \ред Любая гармоническая $(p,0)$-форма голоморфна, а любая голоморфная $(p,0)$-форма гармонична.} \newpage {\bf \blue Ромб Ходжа} \[ \begin{array}{ccccc} &&H^{n,n}&& \\[5mm] &H^{n,n-1}&&H^{n-1,n}& \\[5mm] H^{n,n-2}&&H^{n-1,n-1}&&H^{n-2,n} \\[5mm] \vdots &&\vdots &&\vdots\\[5mm] H^{2,0}&&H^{1,1}&&H^{0,2} \\[5mm] &H^{1,0}&&H^{0,1}& \\[5mm] &&H^{0,0}&& \\[5mm] \end{array} \] \невпаге {\бф \блуе Первый класс Черна и формула Гаусса-Бонне (повторение)} \теорема {\бф \блуе (Гаусс-Бонне)}\\ {\бф \ред Класс когомологий $[\omega]$ кривизны линейного расслоения $L$ выражается через его класс Черна: $[\omega]=2\pi c_1(L)$. } \определение Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное кэлерово многообразие, а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое расслоение} (расслоение комплексно-линейных форм объема). {\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$. \определение {\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$. \замечание По теореме Калаби-Яу, {\bf \пурпле каждое "многообразие Калаби-Яу" (в смысле этого определения) допускает кэлерову метрику с голономией, лежащей в $SU(n)$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Калаби-Яу (повторение)} \замечание Если задана вещественная $(1,1)$-форма $\eta$, ей соответствует симметрическая 2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$. {\bf \purple Это задает биекцию между вещественными $(1,1)$-формами и $I$-инвариантными симметрическими 2-формами}. \определение Пусть $\Theta_K\in \Lambda^{1,1}(M,\R)$ -- кривизна связности Леви-Чивита на каноническом расслоении кэлерова многообразия. {\бф \блуе Кривизна Риччи $M$} есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$. \определение Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если ее кривизна Риччи равна нулю. \теорема {\бф \блуе (Калаби-Яу)} \\ Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика в каждом кэлеровом классе.} \определение Такая метрика называется {\бф \блуе метрикой Калаби-Яу}. Поскольку ее голономия действует тривиально на комплексно-линейных формах объема, она лежит в $SU(n)$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Богомолова о разложении} \теорема {\бф \блуе (Бохнер)} \\ Голоморфные дифференциальные формы на риччи-плоских кэлеровых многообразиях {\бф \ред параллельны.} \теорема {\бф \блуе (теорема Богомолова о разложении)}\\ Пусть $M$ -- компактное, риччи-плоское кэлерово многообразие. Тогда {\bf \red существует конечное накрытие $\tilde M$, которое разлагается в произведение кэлеровых многообразий:} \[ \tilde M = T \times M_1 \times ... \times M_i \times K_1 \times ... \times K_j, \] причем все $M_i$, $K_i$ односвязны, $T$ тор, а $\Hol(M_l) = Sp(n_l)$, $\Hol(K_l)=SU(m_l)$. \невпаге {\бф \блуе Структура многообразий Калаби-Яу} \теорема 1. Компактные $2n$-мерные многообразия с $\Hol=SU(2n)$ {\бф \purple односвязны, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2n$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} 2. Компактные $2n$-мерные многообразия с $\Hol = Sp(n)$ {\бф \purple односвязны, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2,4,6,..., 2n$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} 3. Компактные $2n+1$-мерные многообразия с $\Hol=SU(2n+1)$ {\бф \пурпле имеют конечную фундаментальную группу, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2n+1$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} \newpage {\бф \блуе Алгебры Клиффорда и спиноры (повторение)} \определение Пусть $V, g$ -- векторное пространство над $k:= \C, \R$ с билинейной, симметричной 2-формой, а $\Cl(V,g)$ -- алгебра с единицей, полученная как фактор {\бф \блуе тензорной алгебры} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ по идеалу, порожденному $xy+ yx= g(x,y)$, где $x,y\in V$. Алгебра $\Cl(V, g)$ называется {\бф \blue алгеброй Клиффорда}. \теорема {\бф \блуе (периодичность Ботта над $\C$)} \\ \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n}$ и \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n+1}$ ($g$ невырожденная). \определение {\бф \блуе Пространство спиноров} для $V,g$ есть векторное пространство, на котором $\Cl(V,g)$ действует как матрицы на своем фундаментальном представлении. \newpage {\бф \блуе Спиноры над $V= W \oplus W^*$ (повторение)} \пример Пусть $V= W \oplus W^*$, с естественной метрикой. Тогда $\Cl(W)= \End(\Lambda^* W)$. \утверждение Рассмотрим действие $\Lambda^* W$ на $\Lambda^* W$ внешними умножениями, $x, y \arrow x\wedge y$, и $\Lambda^* W^*$ на $\Lambda^* W$ подстановкой, $x, \xi \arrow x\cntrct \xi$. {\бф \пурпле Это задает на $\Lambda^* W$ структуру $\Cl(V)$-модуля.} \доказательство Достаточно проверить на образующих: $\omega\wedge x \wedge y = - \omega\wedge y \wedge x$, $(\omega\cntrct \xi) \cntrct \zeta = - (\omega\cntrct \zeta) \cntrct \xi$, и \[ (\omega\wedge x) \cntrct \xi + (\omega \cntrct \xi) \wedge x = \langle x, \xi\rangle\omega. \] \ендпрооф \следствие {\бф \ред $\Lambda^* W$ канонически отождествляется со спинорным представлением} алгебры Клиффорда для $W\oplus W^*$. \newpage {\бф \блуе Спиноры на многообразиях Калаби-Яу (повторение)} \утверждение {\бф \пурпле На многообразии Калаби-Яу, спиноры отождествляются с $\Lambda^{*,0}(M)$, }а клиффордово умножение действует так: \[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0} M \stackrel\sigma\arrow \Lambda^{p+1,0}(M) \] есть внешнее умножение, а \[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1} M \stackrel\sigma\arrow \Lambda^{p-1,0}(M) \] делает из $\eta\otimes x$ подстановку $\eta \cntrct x^\sharp$, где $x^\sharp\in T^{1,0}M$ есть векторное поле, двойственное $x$. \доказательство Эрмитова метрика на $\Lambda^1M$ зануляется на $\Lambda^{1,0}M$ и $ \Lambda^{0,1}M$ (то есть эти пространства изотропны), значит, $\Cl(\Lambda^1M)$ действует на $\Lambda^{*,0}(M)$ как на своем фундаментальном представлении. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Оператор Дирака на многообразиях Калаби-Яу (повторение)} \определение Пусть $M$ -- риманово многообразие с заданной на нем спин-структурой, а $\nabla:\; S \arrow S \otimes \Lambda^1 M$ -- связность Леви-Чивита на спинорах. Отождествив $\Lambda^1 M$ и $TM$, можно считать, что $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$. Рассмотрим оператор {\бф \блуе спинорного умножения} $S \otimes TM\stackrel \sigma \arrow S$. {\бф \блуе Оператор Дирака} $D$ есть композиция $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$ и $\sigma$. {\small \определение {\бф \блуе Гармонический спинор} есть спинор $\psi$ такой, что $D(\psi)=0$.} \упражнение Докажите, что на многообразии Калаби-Яу, {\бф \ред оператор Дирака действует как $\6 \oplus \6^*:\; \Lambda^{*,0}(M)\arrow \Lambda^{*,0}(M)$,} где $\6$ есть (1,0)-часть дифференциала де Рама, а $\6^*$ его эрмитово сопряженный. \определение Дифференциальная форма $\eta$ на кэлеровом многообразии называется {\бф \блуе гармонической}, если $\Delta_\6(\eta)=0$, где $\Delta_\6=\6\6^*+\6^*\6$. \следствие {\bf \purple На многообразии Калаби-Яу, гармонические спиноры есть гармоническе $(p,0)$-формы.} \newpage {\бф \блуе Грубый лапласиан} \def\Hess{\operatorname{Hess}} \newcommand{\Rough}{\text{\fontencoding{T1}\selectfont \DH \fontencoding{T2A}\selectfont}} \определение {\бф \блуе Грубый лапласиан}, он же {\бф \блуе лапласиан Бохнера} на расслоении $B$ со связностью над римановым многообразием определяется как $\Rough(s):= \Tr_{12}(\nabla^2 s)$. \теорема {\бф \ред $\Rough(s)=0$ $\Leftrightarrow$ $\nabla s=0$.} \доказательство Поскольку $\nabla(\nabla s, s) = (\nabla^2 s, s) + (\nabla(s), \nabla(s))$, а $(\nabla s, s)= \frac 1 2 d(s,s)$, имеем \begin{align*} \int_M(\Rough(s), s)\Vol= & - \int_M \Tr_{12}(\nabla(s), \nabla(s))\Vol + \int_M\Tr_{12}(\nabla d|s|^2) \Vol \\ = &- \int_M |\nabla s|^2 \Vol + \int_M\Tr \Hess |s|^2\Vol. \end{align*} Поскольку $\Tr\Hess f\Vol = d(d^*(f\Vol))$, последний интеграл не дает вклада, из чего получаем $\|\nabla s\|^2 =0$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Гауссова кривизна} \определение Пусть $V$ - векторное пространство с невырожденным скалярным произведением $g$. {\бф \блуе След} $\Tr_{12}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ определяется как отображение, двойственное к умножению $A \arrow g\otimes A$. $\Tr_{ij}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ определяется как отображение, действующее по $i$-му и $j$-му сомножителю как $\Tr_{12}$ на первом и втором: \[ \Tr_{ij}(a_{123...n})= \sum_{i,j}g^{ij}a_{123...n}. \] \определение {\бф \блуе Гауссова} (она же {\бф \блуе скалярная}) кривизна риманова многообразия есть $\Tr_{13}\Tr_{24}(\Theta_\nabla)$, где $\Theta_\nabla\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$ -- тензор римановой кривизны. \newpage {\бф \блуе Клиффордово умножение на $\Sym^2(\Lambda^2 V)$} {\бф \греен ЛЕММА 2} Пусть $R\in \Sym^2(\Lambda^2 V)$, где $V$ -- пространство со скалярным умножением $g$. Обозначим клиффордово умножение за $\tau:\; V^{\otimes ^4}\arrow \Cl(V)$. {\бф \пурпле Тогда \[ \tau(R)=\Tr_{13}\Tr_{24}R+ \tau(\Alt(R)),\] где $\Alt:\; \Sym^2(\Lambda^2 V)\arrow \Lambda^4 V$ -- внешнее умножение. } \доказательство Пусть $x,y,z,t\in V$, а $R(x,y,z,t):= (xy-yx)(zt-tz)+(zt-tz)(xy-yx)$ соответствующий элемент $\Sym^2(\Lambda^2 V)$. Тогда 1. Если $x,y,z,t$ попарно ортогональны, то $\tau(R(x,y,z,t)) = \tau(\Alt(R))$, потому что $x,y,z,t$ антикоммутируют в алгебре Клиффорда. 2. Если $x,y,z$ попарно ортогональны, a $y=t$, то $xy-yx$ антикоммутирует с $zt-tz$, значит, $\tau(R(x,y,z,t))=0$. 3. Если $x,y$ ортогональны, а $y=t$ и $x=z$, то \\ $\tau(R(x,y,z,t))=\tau((xy-yx))^2 = g(x,x)g(y,y).$ \ендпрооф \следствие {\бф \пурпле Для $R\in V_{2,2}$ (вектора в пространстве алгебраических тензоров кривизны) $\tau(R)=\Tr_{13}\Tr_{24}R$.} \newpage {\бф \блуе Формула Вейценбека} \замечание Пусть $D:\; S \arrow S$ -- оператор Дирака, a $x_i\in TM$ -- ортонормированный репер. {\бф \пурпле Тогда $D(s)= \sum_i \sigma(x_i, \nabla_{x_i}(s))$, где $\sigma:\; TM \otimes S\arrow S$ есть клиффордово умножение.} \следствие Обозначим за $\Theta\in \Lambda^2M \otimes \End(S)$ кривизну $S$. Тогда \\ $ D^2(s)= \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j,\nabla_{x_i}\nabla_{x_j}s)= \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j,\Theta_{x_i, x_j} s) + \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j+x_j x_i, \nabla_{x_i}\nabla_{x_j}s). $\\ Поскольку $\sigma(x_i x_j+x_j x_i, v)= g(x_i,x_j)v$, получаем \[ D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \sum_i\nabla_{x_i}\nabla_{x_i}s. \] \замечание Предыдущее следствие переписывается как \[ D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \Rough (s), \] где $\Rough$ -- грубый лапласиан на спинорах. \newcommand{\Sc}{\operatorname{\sf Sc}} \теорема {\бф \блуе (формула Вайценбека, формула Лихнеровича)}\\ Пусть $M$ -- риманово многообразие со спин-структурой, $\Rough:\; S\arrow S$ -- грубый лапласиан, $\Sc$ -- оператор умножения на скалярную кривизну, а а $D:\; S\arrow S$ -- оператор Дирака. {\бф \ред Тогда $D^2 = \Rough + \Sc$.} \доказательство $D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \Rough (s)$, а $\sigma(\Theta,s)= \Sc(s)$ в силу Леммы 2. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Теорема Бохнера} \замечание $g(\Rough(s), s)= \Tr_{12}(\nabla^2(s), s)= g(\nabla(s), \nabla(s))$. Поэтому \\ $\int_М g(\Rough(s), s)= \int_M g(\nabla(s), \nabla(s))$. Значит, {\бф \пурпле на компактном многообразии, если $\Rough(s)=0$, то $\nabla(s)=0$.} \теорема {\бф \блуе (теорема Бохнера о занулении)}\\ Пусть $M$ -- компактное риманово многообразие с неотрицательной скалярной кривизной $\Sc$. {\бф \ред Тогда $\nabla(s)=0$ для любого гармонического спинора.} {\бф \пурпле Если к тому же $\Sc>0$ в какой-то точке, то $s=0$.} \доказательство В силу формулы Вайценбека, \[ 0=g(D^2(s),s) = g(\Rough(s), s) + \int_M \Sc\cdot g(s,s) = \int_M g(\nabla(s), \nabla(s)) +\int_M \Sc \cdot g(s,s). \] {\бф \ред Значит, $\nabla(s)=0$.} Если в окрестности $m\in M$, $\Sc>0$, то в этой окрестности $s=0$, и {\бф \пурпле в силу $\nabla(s)=0$, $s=0$ на всем $M$.} \ендпрооф \следствие Пусть $M$ -- компактное кэлерово многообразие с метрикой Калаби-Яу. Тогда {\бф \ред $\nabla\Omega=0$ для любой голоморфной формы $\Omega$} на $M$. \newpage {\бф \блуе Топология риччи-плоских многообразий} \теорема {\бф \блуе (Чигер-Громолл)} Пусть $M$ -- полное, риччи-плоское риманово многообразие с бесконечной фундаментальной группой. Тогда {\бф \ред универсальное накрытие $M$ есть произведение $\R$ и риччи-плоского многообразия меньшей размерности}. \следствие Фундаментальная группа компактного риччи-плоского риманова многообразия {\бф \блуе виртуально полициклическая} {\бф \пурпле (сюрьективно проектируется в свободную абелеву группу с конечным ядром)}. \замечание Эквивалентное утверждение: {\бф \пурпле каждое компактное риччи-плоское многообразие имеет конечное накрытие со свободной абелевой фундаментальной группой.} \замечание Это утверждение содержит в себе решение 18-ой проблемы Гильберта о классификации кристаллографических групп (Бибербах). \невпаге {\бф \блуе Теорема Богомолова о разложении} \теорема {\бф \блуе (теорема Богомолова о разложении)} Пусть $M$ -- компактное, риччи-плоское кэлерово многообразие. Тогда {\bf \red существует конечное накрытие $\tilde M$, которое разлагается в произведение кэлеровых многообразий:} \[ \tilde M = T \times M_1 \times ... \times M_i \times K_1 \times ... \times K_j, \] причем все $M_i$, $K_i$ односвязны, $T$ тор, а $\Hol(M_l) = Sp(n_l)$, $\Hol(K_l)=SU(m_l)$. \доказательство Из теоремы Чигера-Громолла и виртуальной полицикличности фундаментальной группы $M$ следует, что {\bf \purple конечное накрытие $M$ разлагается в произведение тора и односвязного многообразия Калаби-Яу.} Затем {\bf \purple применяем теорему Берже о классификации голономий и теорему де Рама о разложении.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Богомолова о разложении (продолжение)} \теорема 1. Компактные $2n$-мерные многообразия с $\Hol=SU(2n)$ {\бф \purple односвязны, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2n$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} 2. Компактные $2n$-мерные многообразия с $\Hol = Sp(n)$ {\бф \purple односвязны, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2,4,6,..., 2n$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} 3. Компактные $2n+1$-мерные многообразия с $\Hol=SU(2n+1)$ {\бф \пурпле имеют конечную фундаментальную группу, и удовлетворяют \[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{для $p=0,2n+1$}\\ 0& \text{для всех других $p$.} \end{cases} \]} \hspace{-13pt} \доказательство Утверждение о размерности $H^{p,0}(M)$ следует из теории инвариантов. Действительно, {\бф \пурпле $(p,0)$-форма гармонична тогда и только тогда, когда она параллельна,} а это {\бф \ред равносильно $\Hol(M)$-инвариантности.} Односвязность см. следующий слайд. \невпаге {\бф \блуе Голоморфная эйлерова характеристика} \определение {\бф \блуе Голоморфная эйлерова характеристика} комплексного многообразия есть $\sum(-1)^p\dim H^{0,p}(M)$. \теорема (Римана-Роха-Хирцебруха) Для $n$-мерного компактного комплексного многообразия, {\бф \ред голоморфную эйлерову характеристику можно выразить через классы Черна,} $\chi(M)=\int_M td_{n}$, где $td_n$ есть $n$-я компонента полинома Тодда, {\small \[ td(M) = 1 + \frac1 {2}c_1 + \frac{1}{12}(c_1^2+c_2) + \frac{1}{24}c_1c_2 + \frac1{720}(-c_1^4 + 4c_1^2c_2 + c_1c_3 + 3c_2^22 - c_4) + ... \]} \vspace{-10mm} \замечание Классы Черна выражаются через полиномы от кривизны. Поэтому {\бф \ред $\chi(\tilde M)= p\chi(M)$ для $p$-листного неразветвленного расслоения $\tilde M\arrow M$.} {\бф\греен Доказательство односвязности четномерных многообразий Калаби-Яу с неприводимой голономией:} Пусть $M$ -- многообразие с $\Hol(M)=SU(2n)$. Тогда $\chi(M)=2$, поэтому для любого накрытия $\tilde M\arrow M$ имеем $2= \chi(\tilde M)= p\chi(M)=2p$. Аналогично, для $\Hol(M)=Sp(n)$, $\chi(M)=n+1$, поэтому для любого накрытия $\tilde M\arrow M$ имеем $n+1= \chi(\tilde M)= p\chi(M)=p(n+1)$. \end{document}