

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\��������{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\�����{\small}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\6{{\partial}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\im{\operatorname{\sf im}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Ric{\operatorname{Ric}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Hol{\operatorname{Hol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}


\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it ������������ ������-�� (3) \scriptsize \hfil
  \tiny �. ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}

\vfil
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ������������ ������-��, ������ 3: \\ ������� ���������� }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ���������} 
\\[8mm]

{\tiny\bf �����-����������� �� ������ �����, \\
������������� ������� � ������ �������������\\
 ���, ������, 3 ������� 2016
}


\end{center}

\�������

{\�� \���� ������ �����}

����� $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^* M$ -- ������������ ��� ����,
� $d^*$  -- ����������� ��������. �������� $\Delta:= dd^*+d^*d$
���������� {\�� \���� �������� �������}. 


{\�� \����� �������� ������� ������ �����:}
���������� {\�� \��� ����� � ������������ ������������}
$L^2(\Lambda^*(M))$, ��������� �� ����������� ��������
$\Delta$, � ������ ����������� ������������ ������������.

\������� {\�� \���� (``������������� ������������'')}
����� $\alpha \in L^2(\Lambda^k(M))$ -- ����������� ������
$\Delta$. {\�� \��� ����� $\alpha$ -- ������� $k$-�����.}


{\�� \����� �����������:} ����� 
$\alpha$ ���������� {\�� \����
�������������}, ���� $\Delta(\alpha)=0$.

\��������� ��� ����� ������������� ����� $\alpha$,
$0=(\Delta \alpha, \alpha)= (d\alpha, d\alpha) + (d^*\alpha, d^*\alpha),$
������, $\alpha \in \ker d \cap \ker d^*$.
��������, ��� {\�� \��� ����� ������������� ����� 
�� ���������� ������������ ��������.}


\�������

{\�� \���� ������������� ����� � �����������}


\�������
����� $M$ -- ����������, ��������.
����� {\bf \red ������������ ����������� 
${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$
�� ������������� ���� � 
����������� -- ����������.} \\[2mm]
{\�� \����� ��������������. ��� 1:}
��������� $\ker d^*= (\im d)^\bot$, {\�� \������ 
������������ �����������
${\cal H}^i(M) \arrow H^i(M)$ ����������.}


{\�� \����� ��� 2:}  $d\Delta = \Delta d= dd^*d$. �������
{\�� \������ $d$ ����������� � $\Delta$.}

{\�� \����� ��� 3:} ���������� ������� ����������
$\Lambda^*(M) \tilde = \bigoplus_\alpha {\cal H}^*_\alpha(M)$,
��� $\alpha$ ��������� ����� ��� ����������� ��������
$\Delta$. ��� ������� $\alpha$, {\�� \��� ������������ �� ����
��������� ����������� ������������ $\Delta$,} ��� ���� ��������
\[
{\cal H}^0_\alpha(M) \stackrel d \arrow 
{\cal H}^1_\alpha(M) \stackrel d \arrow 
{\cal H}^2_\alpha(M) \stackrel d \arrow ...
\]
{\�� \����� ��� 4:} �� ${\cal H}^*_\alpha(M)$, �����
$dd^* + d^* d= \alpha$. ����� $\alpha \neq 0$, � $\eta$
��������, ��� ���� $dd^*(\eta) + d^* d(\eta)= dd^* \eta = \alpha\eta$,
������ $\eta= d\xi$, ��� $\xi:= \alpha^{-1}d^* \eta$.
������, ��� ��������� $\alpha$,
{\�� \������ ��������� $({\cal H}^*_\alpha(M), d)$ �� ����
������ � �����������}

{\�� \����� ��� 5:} �� ��������, ���
\[
H^i(\Lambda^* M, d) = \bigoplus_\alpha H^i ({\cal H}^*_\alpha(M),d)=
H^i ({\cal H}^*_0(M),d)={\cal H}^i(M).
\]
\endproof




\�������

{\�� \���� ���������� ����� �� ������������}

\�����������
����� ������������� ����� �� ���������� ��������� ������������ �����������
��� ����� ����������� $(p,q)$-����, ��� ���� {\�� \��� ����������
$H^i(M) = \bigoplus_{p+q=i}H^{p,q}(M)$, ������
$\overline{H^{p,q}(M)} = H^{q,p}(M)$.}


\��������� {\�� \������ �������� ����������� �������� ������������
����������.}

\�����������
��� ���������� ���������� {\�� \���� ���������� ����� �� ������������}.

\�����������
{\�� \��� ����� ������������� $(p,0)$-����� ����������, � �����
����������� $(p,0)$-����� ����������.}

\newpage

{\bf \blue ���� �����}

\[
\begin{array}{ccccc}
&&H^{n,n}&& \\[5mm]
&H^{n,n-1}&&H^{n-1,n}& \\[5mm]
H^{n,n-2}&&H^{n-1,n-1}&&H^{n-2,n} \\[5mm]
\vdots &&\vdots &&\vdots\\[5mm]
H^{2,0}&&H^{1,1}&&H^{0,2} \\[5mm]
&H^{1,0}&&H^{0,1}& \\[5mm]
&&H^{0,0}&& \\[5mm]
\end{array}
\]




\�������

{\�� \���� ������ ����� ����� � ������� ������-����� (����������)}

\�������
{\�� \���� (�����-�����)}\\
{\�� \���
����� ����������� $[\omega]$ �������� ��������� ���������� $L$ ����������
����� ��� ����� �����: $[\omega]=2\pi c_1(L)$.
}

\�����������
����� $(M,I, \omega)$ -- $n$-������  �������� ������������,
� $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- ��� {\�� \���� ������������
����������} (���������� ����������-�������� ���� ������).
{\�� \���� ������ ����� ����� ������������ $n$-�������
������������} ���� $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$.

\�����������
{\�� \���� ������������ ������-��} ���� ����������
�������� ������������ � $c_1^\Z(M)=0$.

\���������
�� ������� ������-��, {\bf \������ ������ "������������ ������-��"
(� ������ ����� �����������) ��������� �������� �������
� ����������, ������� � $SU(n)$.}


\�������

{\�� \���� ������� ������-�� (����������)}

\���������
���� ������ ������������ $(1,1)$-�����
$\eta$, �� ������������� �������������� 
2-����� $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$.
{\bf \purple ��� ������ ������� �����
������������� $(1,1)$-������� � 
$I$-������������� ��������������� 
2-�������}.

\�����������
����� $\Theta_K\in \Lambda^{1,1}(M,\R)$ -- �������� ��������� ����-������ 
�� ������������ ���������� �������� ������������.
{\�� \���� �������� ����� $M$}
���� �������������� 2-����� $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$.

\�����������
������� ���������� {\�� \���� �����-�������}, ����
�� �������� ����� ����� ����.

\�������
{\�� \���� (������-��)} \\
����� $(M,I)$ -- ������������ ������-��. {\bf \red �����
���������� ������������ �����-������� �������� �������
� ������ ��������� ������.}

\����������� 
����� ������� ���������� {\�� \���� �������� ������-��}.
��������� �� ��������� ��������� ���������� ��
����������-�������� ������ ������, ��� �����
� $SU(n)$.



\�������

{\�� \���� ������� ���������� � ����������}

\������� {\�� \���� (������)} \\
 ����������� ���������������� ����� �� 
�����-������� ��������� ������������� {\�� \��� �����������.}

\�������
{\�� \���� (������� ���������� � ����������)}\\
����� $M$ -- ����������, �����-������� ��������
������������. ����� {\bf \red ���������� �������� ��������
$\tilde M$, ������� ����������� � ������������
��������� ������������:}
\[
\tilde M = T \times M_1 \times ... \times M_i
\times K_1 \times ... \times K_j,
\]
������ ��� $M_i$, $K_i$ ����������,
$T$ ���, �  $\Hol(M_l) = Sp(n_l)$, $\Hol(K_l)=SU(m_l)$.


\�������

{\�� \���� ��������� ������������ ������-��}


\�������
1. ���������� $2n$-������ ������������ � $\Hol=SU(2n)$
{\�� \purple ����������, � �������������
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{��� $p=0,2n$}\\
0&  \text{��� ���� ������ $p$.} 
\end{cases}
\]}
2. ���������� $2n$-������ ������������ �  $\Hol = Sp(n)$
{\�� \purple ����������, � ������������� 
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{��� $p=0,2,4,6,..., 2n$}\\
0&  \text{��� ���� ������ $p$.} 
\end{cases}
\]}
3. ���������� $2n+1$-������ ������������ � 
$\Hol=SU(2n+1)$ {\�� \������ ����� �������� ��������������� 
������, � ������������� 
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{��� $p=0,2n+1$}\\
0&  \text{��� ���� ������ $p$.} 
\end{cases}
\]}





\newpage

{\�� \���� ������� ��������� � ������� (����������)}


\�����������
����� $V, g$ -- ��������� ������������ ��� $k:= \C, \R$
� ����������, ������������ 2-������, � $\Cl(V,g)$ --
������� � ��������, ���������� ��� ������ {\�� \���� ���������
�������} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus
V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ �� ������,
������������ $xy+ yx= g(x,y)$, ��� $x,y\in V$.
������� $\Cl(V, g)$ ���������� {\�� \blue �������� ���������}.


\�������
{\�� \���� (������������� ����� ��� $\C$)} \\
\[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] ��� $V=\C^{2n}$
� \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] ��� 
$V=\C^{2n+1}$ ($g$ �������������).

\�����������
{\�� \���� ������������ ��������} ��� $V,g$
���� ��������� ������������, �� �������
$\Cl(V,g)$ ��������� ��� ������� �� �����
��������������� �������������.

\newpage

{\�� \���� ������� ��� $V= W \oplus W^*$ (����������)}

\������
����� $V= W \oplus W^*$, � ������������ ��������.
����� $\Cl(W)= \End(\Lambda^* W)$.

\�����������
���������� �������� $\Lambda^* W$ �� $\Lambda^* W$ ��������
�����������, $x, y \arrow x\wedge y$, � $\Lambda^* W^*$ ��
$\Lambda^* W$ ������������, $x, \xi \arrow x\cntrct \xi$.
{\�� \������ ��� ������ �� $\Lambda^* W$ ��������� $\Cl(V)$-������.}

\��������������
���������� ��������� �� ����������:
$\omega\wedge x \wedge y = - \omega\wedge y \wedge x$,
$(\omega\cntrct \xi) \cntrct \zeta = - (\omega\cntrct \zeta) \cntrct \xi$,
� 
\[ (\omega\wedge x) \cntrct \xi + (\omega \cntrct \xi) \wedge x = 
    \langle x, \xi\rangle\omega.
\]
\��������

\���������
{\�� \��� $\Lambda^* W$ ����������� ��������������� �� ���������
��������������} ������� ��������� ��� $W\oplus W^*$.



\newpage

{\�� \���� ������� �� ������������� ������-�� (����������)}


\�����������
{\�� \������ �� ������������ ������-��, ������� ���������������
� $\Lambda^{*,0}(M)$, }� ����������� ���������  ��������� ���:
\[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0} M \stackrel\sigma\arrow
\Lambda^{p+1,0}(M)
\]
���� ������� ���������,
� 
\[ 
 \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1} M \stackrel\sigma\arrow
\Lambda^{p-1,0}(M)
\]
������ �� $\eta\otimes x$ ����������� $\eta \cntrct x^\sharp$,
��� $x^\sharp\in T^{1,0}M$ ���� ��������� ����,
������������ $x$.

\��������������
�������� ������� �� $\Lambda^1M$ ���������� ��
$\Lambda^{1,0}M$ � $ \Lambda^{0,1}M$ (�� ���� 
��� ������������ ���������), ������, $\Cl(\Lambda^1M)$
��������� �� $\Lambda^{*,0}(M)$ ��� �� ����� ���������������
�������������.
\��������

\newpage

{\�� \���� �������� ������ �� ������������� ������-�� (����������)}


\�����������
����� $M$ -- �������� ������������ � �������� �� ���
����-����������, � $\nabla:\; S \arrow S \otimes \Lambda^1 M$ --
��������� ����-������ �� ��������. ����������� $\Lambda^1 M$
� $TM$, ����� �������, ��� $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$.
���������� �������� {\�� \���� ���������� ���������}
$S \otimes TM\stackrel \sigma \arrow S$. {\�� \���� �������� ������}
$D$ ���� ���������� $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$ � $\sigma$.


{\small \�����������
{\�� \���� ������������� ������} ���� ������ $\psi$ �����,
��� $D(\psi)=0$.}

\����������
��������, ��� �� ������������ ������-��, {\�� \��� �������� ������
��������� ��� $\6 \oplus \6^*:\; \Lambda^{*,0}(M)\arrow
\Lambda^{*,0}(M)$,} ��� $\6$ ���� (1,0)-����� �������������
�� ����, � $\6^*$ ��� �������� �����������.

\�����������
���������������� ����� $\eta$ �� ��������� ������������
���������� {\�� \���� �������������}, ���� $\Delta_\6(\eta)=0$,
��� $\Delta_\6=\6\6^*+\6^*\6$.


\���������
{\bf \purple �� ������������ ������-��,
������������� ������� ���� ������������ $(p,0)$-�����.}

\newpage

{\�� \���� ������ ���������}


\def\Hess{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\Rough}{\text{\fontencoding{T1}\selectfont \DH
\fontencoding{T2A}\selectfont}}
\�����������
{\�� \���� ������ ���������}, �� ��
{\�� \���� ��������� �������} �� ���������� $B$ �� ����������
��� ��������� ������������� ������������ ���
$\Rough(s):= \Tr_{12}(\nabla^2 s)$.

\�������
{\�� \��� $\Rough(s)=0$ $\Leftrightarrow$ $\nabla s=0$.}

\��������������
��������� $\nabla(\nabla s, s) = (\nabla^2 s, s) +
(\nabla(s), \nabla(s))$, � $(\nabla s, s)= \frac 1 2 d(s,s)$,
����� 
\begin{align*}
  \int_M(\Rough(s), s)\Vol= &
- \int_M \Tr_{12}(\nabla(s), \nabla(s))\Vol + 
\int_M\Tr_{12}(\nabla d|s|^2) \Vol \\ = &- \int_M |\nabla s|^2 \Vol +
\int_M\Tr \Hess |s|^2\Vol.
\end{align*}
��������� $\Tr\Hess f\Vol = d(d^*(f\Vol))$,
��������� �������� �� ���� ������, �� ���� ��������
$\|\nabla s\|^2 =0$.
\��������


\newpage

{\bf \blue �������� ��������}

\�����������
����� $V$ - ��������� ������������ � �������������
��������� ������������� $g$. {\�� \���� ����} 
$\Tr_{12}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ ������������
��� �����������, ������������ � ��������� $A \arrow g\otimes A$.
$\Tr_{ij}:\;V^{\otimes^n} \arrow V^{\otimes^{n-2}}$ 
������������ ��� �����������, ����������� �� 
$i$-�� � $j$-�� ����������� ��� $\Tr_{12}$ ��
������ � ������:
\[
\Tr_{ij}(a_{123...n})= \sum_{i,j}g^{ij}a_{123...n}.
\]
\�����������
{\�� \���� ��������} 
(��� �� {\�� \���� ���������}) �������� 
�������� ������������ ���� $\Tr_{13}\Tr_{24}(\Theta_\nabla)$,
��� $\Theta_\nabla\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$ -- ������
��������� ��������.


\newpage

{\�� \���� ����������� ��������� �� $\Sym^2(\Lambda^2 V)$}

{\�� \����� ����� 2}
����� $R\in \Sym^2(\Lambda^2 V)$, ��� $V$ -- ������������
�� ��������� ���������� $g$. ���������
����������� ��������� �� $\tau:\; V^{\otimes ^4}\arrow \Cl(V)$.
{\�� \������ ����� \[ \tau(R)=\Tr_{13}\Tr_{24}R+ \tau(\Alt(R)),\]
��� $\Alt:\; \Sym^2(\Lambda^2 V)\arrow \Lambda^4 V$ --
������� ���������. }

\��������������
����� $x,y,z,t\in V$, � $R(x,y,z,t):= (xy-yx)(zt-tz)+(zt-tz)(xy-yx)$
��������������� ������� $\Sym^2(\Lambda^2 V)$. �����

1. ���� $x,y,z,t$ ������� ������������, �� 
$\tau(R(x,y,z,t)) = \tau(\Alt(R))$, ������ ���
$x,y,z,t$ ��������������� � ������� ���������.

2. ���� $x,y,z$ ������� ������������, a $y=t$, �� 
$xy-yx$ ��������������� � $zt-tz$, ������,
$\tau(R(x,y,z,t))=0$.

3. ���� $x,y$ ������������, � $y=t$ � $x=z$,  
�� \\ $\tau(R(x,y,z,t))=\tau((xy-yx))^2 = g(x,x)g(y,y).$
\��������

\���������
{\�� \������ ��� $R\in V_{2,2}$ (������� � ������������
�������������� �������� ��������)
$\tau(R)=\Tr_{13}\Tr_{24}R$.}

\newpage

{\�� \���� ������� ����������}

\���������
����� $D:\; S \arrow S$ -- �������� ������,
a $x_i\in TM$ -- ����������������� �����. {\�� \������ �����
$D(s)= \sum_i \sigma(x_i, \nabla_{x_i}(s))$,
��� $\sigma:\; TM \otimes S\arrow S$ ���� �����������
���������.}

\���������
��������� �� $\Theta\in \Lambda^2M \otimes \End(S)$ �������� $S$.
����� \\
$
  D^2(s)= \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j,\nabla_{x_i}\nabla_{x_j}s)=
  \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j,\Theta_{x_i, x_j} s) + 
   \sum_{i,j} \sigma(x_i x_j+x_j x_i, \nabla_{x_i}\nabla_{x_j}s).
$\\
��������� $\sigma(x_i x_j+x_j x_i, v)= g(x_i,x_j)v$,
��������
\[
D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \sum_i\nabla_{x_i}\nabla_{x_i}s.
\]
\���������
���������� ��������� �������������� ���
\[
D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \Rough (s),
\]
��� $\Rough$ -- ������ ��������� �� ��������.


\newcommand{\Sc}{\operatorname{\sf Sc}}
\������� {\�� \���� (������� ����������, ������� �����������)}\\
����� $M$ -- �������� ������������ �� ����-����������,
$\Rough:\; S\arrow S$ -- ������ ���������, $\Sc$ -- 
�������� ��������� �� ��������� ��������, �
� $D:\; S\arrow S$ -- �������� ������. {\�� \��� �����
$D^2 = \Rough + \Sc$.}

\�������������� $D^2(s)= \sigma(\Theta,s) + \Rough (s)$,
� $\sigma(\Theta,s)= \Sc(s)$ � ���� ����� 2.
\��������


\newpage

{\�� \���� ������� �������}



\���������
$g(\Rough(s), s)= \Tr_{12}(\nabla^2(s), s)= g(\nabla(s), \nabla(s))$.
������� \\ $\int_� g(\Rough(s), s)= \int_M g(\nabla(s), \nabla(s))$.
������, {\�� \������ �� ���������� 
������������, ���� $\Rough(s)=0$, �� $\nabla(s)=0$.}

\�������
{\�� \���� (������� ������� � ���������)}\\
����� $M$ -- ���������� �������� ������������ � ���������������
��������� ��������� $\Sc$. {\�� \��� ����� $\nabla(s)=0$ ��� ������ ��������������
�������.} {\�� \������ ���� � ���� �� $\Sc>0$ � �����-�� �����, �� $s=0$.}

\��������������
� ���� ������� ����������, 
\[ 0=g(D^2(s),s) = g(\Rough(s), s) + \int_M \Sc\cdot g(s,s) =
\int_M g(\nabla(s), \nabla(s)) +\int_M \Sc \cdot g(s,s).
\]
{\�� \��� ������, $\nabla(s)=0$.} ���� � ����������� $m\in M$,
$\Sc>0$, �� � ���� ����������� $s=0$, � {\�� \������ � ����
$\nabla(s)=0$, $s=0$ �� ���� $M$.}
\��������

\���������
����� $M$ -- ���������� �������� ������������
� �������� ������-��. ����� {\�� \��� $\nabla\Omega=0$
��� ����� ����������� ����� $\Omega$} �� $M$.



\newpage

{\�� \���� ��������� �����-������� ������������}


\�������
{\�� \���� (�����-�������)}
����� $M$ -- ������, �����-������� ��������
������������ � ����������� ��������������� �������.
����� {\�� \��� ������������� �������� $M$
���� ������������ $\R$ � �����-�������� ������������
������� �����������}.

\���������
��������������� ������ ����������� �����-��������
�������� ������������ {\�� \���� ���������� ���������������}
{\�� \������ (����������� ������������� � ���������
������� ������ � �������� �����)}.

\���������
������������� �����������: {\�� \������ ������ 
���������� �����-������� ������������
����� �������� �������� �� ��������� ��������
��������������� �������.}


\���������
��� ����������� �������� � ���� �������
18-�� �������� ��������� � ������������� 
�������������������� ����� (��������).

\�������


{\�� \���� ������� ���������� � ����������}


\�������
{\�� \���� (������� ���������� � ����������)}
����� $M$ -- ����������, �����-������� ��������
������������. ����� {\bf \red ���������� �������� ��������
$\tilde M$, ������� ����������� � ������������
��������� ������������:}
\[
\tilde M = T \times M_1 \times ... \times M_i
\times K_1 \times ... \times K_j,
\]
������ ��� $M_i$, $K_i$ ����������,
$T$ ���, �  $\Hol(M_l) = Sp(n_l)$, $\Hol(K_l)=SU(m_l)$.

\��������������
�� ������� ������-�������� � ����������� ���������������
��������������� ������ $M$ �������, ��� 
{\bf \purple �������� �������� $M$ ����������� � ������������
���� � ������������ ������������ ������-��.}
����� {\bf \purple ��������� ������� ����� � �������������
��������� � ������� �� ���� � ����������.}
\��������

\�������

{\�� \���� ������� ���������� � ���������� (�����������)}


\�������
1. ���������� $2n$-������ ������������ � $\Hol=SU(2n)$
{\�� \purple ����������, � �������������
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{��� $p=0,2n$}\\
0&  \text{��� ���� ������ $p$.} 
\end{cases}
\]}
2. ���������� $2n$-������ ������������ �  $\Hol = Sp(n)$
{\�� \purple ����������, � ������������� 
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{��� $p=0,2,4,6,..., 2n$}\\
0&  \text{��� ���� ������ $p$.} 
\end{cases}
\]}
3. ���������� $2n+1$-������ ������������ � 
$\Hol=SU(2n+1)$ {\�� \������ ����� �������� ��������������� 
������, � ������������� 
\[\dim H^{p,0}(M)= \begin{cases} 1& \text{��� $p=0,2n+1$}\\
0&  \text{��� ���� ������ $p$.} 
\end{cases}
\]} \hspace{-13pt}
\��������������
����������� � ����������� $H^{p,0}(M)$
������� �� ������ �����������. �������������,
{\�� \������ $(p,0)$-����� ���������� ����� � ������ �����,
����� ��� �����������,} � ��� {\�� \��� �����������
$\Hol(M)$-��������������.} ������������� ��.
��������� �����.


\�������

{\�� \���� ����������� �������� ��������������}

\�����������
{\�� \���� ����������� �������� ��������������}
������������ ������������ ���� 
$\sum(-1)^p\dim H^{0,p}(M)$.

\�������
(������-����-����������)
��� $n$-������� ����������� ������������ ������������,
{\�� \��� ����������� �������� �������������� ����� �������� �����
������ �����,} $\chi(M)=\int_M td_{n}$, ���
$td_n$ ���� $n$-� ���������� �������� �����,
{\small \[
td(M) = 
1 + \frac1 {2}c_1 + \frac{1}{12}(c_1^2+c_2) + \frac{1}{24}c_1c_2 + 
\frac1{720}(-c_1^4 + 4c_1^2c_2 + c_1c_3 + 3c_2^22 - c_4) + ...
\]}
\vspace{-10mm}

\���������
������ ����� ���������� ����� ��������
�� ��������. ������� {\�� \��� $\chi(\tilde M)= p\chi(M)$
��� $p$-�������� ���������������� ����������
$\tilde M\arrow M$.}

{\��\����� �������������� ������������� �����������
������������ ������-�� � ������������ ����������:}

����� $M$ -- ������������ � $\Hol(M)=SU(2n)$.
����� $\chi(M)=2$, ������� ��� ������ ��������
$\tilde M\arrow M$ ����� $2= \chi(\tilde M)= p\chi(M)=2p$.

����������, ��� $\Hol(M)=Sp(n)$,
$\chi(M)=n+1$, ������� ��� ������ ��������
$\tilde M\arrow M$ ����� $n+1= \chi(\tilde M)= p\chi(M)=p(n+1)$.



\end{document}

