

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\6{{\partial}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Ric{\operatorname{Ric}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Hol{\operatorname{Hol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}


\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Многообразия Калаби-Яу (2) \scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}

\vfil
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Многообразия Калаби-Яу, лекция 2: \\ кэлеровы многообразия }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny\bf Школа-конференция по теории струн, \\
интегрируемым моделям и теории представлений\\
 НМУ, Москва, 2 февраля 2016
}


\end{center}



\newpage

{\бф \блуе Комплексные структуры}

\определение 
{\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном
пространстве $V$ называется эндоморфизм
$I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. 


\замечание
Продолжим $I$ на тензоры формулой 
$I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes 
I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$
{\бф \пурпле Группа, порожденная $I$, изоморфна $\Z/4\Z$.}
Поэтому, для любого тензора $t$, сумма
$t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ инвариантна
относительно $I$.


\следствие 
Если $g$ -- положительно определенное скалярное
произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$ 
тоже положительно определено и $I$-инвариантно:
$I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный
оператор относительно $g_I$.}


\определение
Положительно определенное скалярное произведение,
в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой
метрикой} на $(V,I)$. Мы только  что доказали,
что она всегда существует.


\упражнение
Докажите, что $g+I(g)$ $I$-инвариантно для любого
четного тензора.



\newpage


{\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)}


\следствие
Все собственные значения $I$ простые (то есть
$I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле,
{\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.}

\замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение $I$.
Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$.

\определение
Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$,
обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$
обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$.

\замечание 
Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем,
что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. 
В частности, это пространства одинаковой размерности.

\упражнение
Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$
задает изоморфизм вещественных пространств $V^{0,1}\arrow V$.

\упражнение
Докажите, что оператор комплексной структуры
{\бф \ред однозначно задается подпространством
$V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$
половинной размерности,} которое не
пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$.

\newpage

{\бф \блуе Эрмитовы формы}

\определение
{\бф \блуе Эрмитово пространство} $(V,I,g)$
есть пространство, снабженное комплексной структурой $I$
и эрмитовой метрикой $g$.

\замечание
Пусть $I$ -- оператор комплексной структуры
на вещественном пространстве $V$, а $g$ -- эрмитова метрика.
Рассмотрим билинейную форму $\omega(x,y) = g(x, Iy)$.
Тогда $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$.
Поэтому {\бф \blue $\omega$  кососимметрична}.

\определение
Форма $\omega$ называется {\бф \блуе эрмитовой формой} на 
эрмитовом пространстве $(V,I, g)$

\упражнение
Докажите, что в тройке $I, g, \omega$, {\бф \пурпле каждый тензор
выражается через остальные два.}


\невпаге

{\bf \blue Разложение Ходжа}

Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру,
порожденную $V$. 

\упражнение 
Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно
как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$.
Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ 
задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$.

\определение
Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой,
а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда
$\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$.
Рассмотрим разложение
$\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $,
где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$
Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}.

\замечание
Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную
структуру на $V^*$ (и наоборот). }


\упражнение
Верно ли, что любая $(p,p)$-форма $I$-инвариантна?
Верно ли, что любая $I$-инвариантная
форма имеет тип $(p,p)$?



\невпаге

{\bf \blue Почти комплексные многообразия}

\определение
{\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$
есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного
расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. 

\пример
Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$.
Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти
комплексная структура.

\определение
{\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных
формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$,
причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge
\Lambda^{0,q}(M)$.

\определение
Функция $f:\; M \arrow \C$ на
почти комплексном многообразии называется
{\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$.


\невпаге

{\bf \blue Интегрируемость почти комплексных многообразий}


\определение
Пусть $(M, I)$ --  
почти комплексное многообразие.
Оно называется {\бф \блуе комплексным}, 
а $I$ {\бф \блуе интегрируемым} если в
каждой точке существуют координаты $x_i, y_i$
такие, что $I(d/dx_i) = d/dy_i$, $I(d/dy_i)=-d/dx_i$.
 
\замечание
В этой ситуации, {\бф \пурпле функции $z_i= x_i + \1 y_i$ голоморфные.}
Они называются {\бф \блуе комплексными координатами}.


\упражнение Докажите, что
на комплексном многообразии,
{\бф \пурпле коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет
тип $(1,0)$: \[ [T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M.\]}


\определение
Почти комплексное многообразие называется
{\бф \блуе формально интегрируемым}, если
$[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$



\теорема
(Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое
почти комплексное многообразие интегрируемо.}



\newpage

{\bf \blue Кэлеровы многообразия}


\теорема
Пусть $(M,I,g)$ -- почти комплексное эрмитово
многообразие. {\бф \пурпле Тогда следующие условия эквививалентны:}

(i) {\bf \red Комплексная структура $I$ интегрируема, а 
эрмитова форма $\omega$ замкнута.}

(ii) {\bf \red $\nabla(I)=0$,} где $\nabla$ есть связность
Леви-Чивита.

\упражнение Выведите (i) из (ii).


\определение
Почти комплексное эрмитово многообразие,
удовлетворяющее условиям (i) или (ii),
называется {\бф\блуе кэлеровым}.
Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$
называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$.


\упражнение Докажите, что комплексное подмногообразие кэлерова
многообразия -- {\бф \пурпле снова кэлерово.}


\newpage

{\бф \блуе Метрика Фубини-Штуди}

\определение
Пусть $M= \C P^n$ -- комплексное проективное 
пространство, а $g$ -- $U(n+1)$-инвариантная метрика.
Она называется {\бф \блуе метрикой Фубини-Штуди}.

\замечание
Метрику Фубини-Штуди можно получить, взяв произвольную
эрмитову метрику на $\C P^n$ и {\bf \red усреднив по компактной 
группе $U(n+1)$.}

\замечание
Стабилизатор $x\in \C P^n$ в $U(n+1)$ изоморфен
$U(n)$, а $T_x \C P^n$ изоморфно $\C^n$
со стандартным действием $U(n)$. 

\упражнение
Пусть $g$ -- $U(n)$-инвариантная
положительная симметрическая форма на $\C^n$. Тогда {\бф \ред $g$ пропорциональна
обычной евклидовой метрике.}

\следствие
Метрика Фубини-Штуди {\бф \пурпле единственна с точностью до скалярного
множителя.}

\упражнение
Пусть $\eta$ -- $U(n)$-инвариантная 3-форма на $\C^n$.
Докажите, что $\eta=0$.

\следствие
Метрика Фубини-Штуди {\бф \ред кэлерова}.


\newpage

{\бф \блуе Проективные многообразия}

\определение
Замкнутое комплексное подмногообразие $\C P^n$
называется {\бф \блуе проективным}

\теорема
{\бф \ред Проективное многообразие всегда кэлерово.}

\доказательство
Оно комплексно, а эрмитова форма симплектична.


\замечание 
Поскольку $H^2(\C P^n)$ одномерно, {\бф \пурпле можно выбрать
метрику Фубини-Штуди с целочисленным кэлеровым классом.}


\следствие
Проективное многообразие {\бф \пурпле допускает кэлерову
структуру с целочисленным кэлеровым классом.}

\теорема
(Кодаира)
Пусть $M$ -- компактное, кэлерово многообразие
с целочисленным кэлеровым классом. {\бф \ред Тогда
$M$ проективно.}


\newpage

{\бф \блуе Первый класс Черна}

\замечание
Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии,
$U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано,
а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные
на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении
$U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем
$\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}=
\phi_{\alpha\gamma}$
то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный
1-коцикл.}

\утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений
взаимно однозначно соответствуют  $H^1(M, (C^\infty
M)^*)$.}


\замечание
Из экспоненциальной точной последовательности
\[ 
0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0,
\] 
{\бф \пурпле получаем изоморфизм
$H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z)$.}

\следствие
{\bf \purple Комплексное линейное расслоение топологически тривиально
$\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.}



\невпаге

{\бф \блуе Первый класс Черна и формула Гаусса-Бонне}

\упражнение
Докажите, что кривизна линейного расслоения - замкнутая (1,1)-форма.

\теорема
{\бф \блуе (Гаусс-Бонне)}\\
{\бф \ред
Класс когомологий $[\omega]$ кривизны линейного расслоения $L$ выражается
через его класс Черна: $[\omega]=2\pi c_1(L)$.
}

\определение
Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное  кэлерово многообразие,
а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое
расслоение} (расслоение комплексно-линейных форм объема).
{\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного
многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$.

\определение
{\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное
кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$.

\замечание
По теореме Калаби-Яу, каждое "многообразие Калаби-Яу"
(в смысле этого определения) допускает кэлерову метрику
с голономией, лежащей в $SU(n)$.


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Калаби-Яу}

\замечание
Если задана вещественная $(1,1)$-форма
$\eta$, ей соответствует симметрическая 
2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$.
{\bf \purple Это задает биекцию между
вещественными $(1,1)$-формами и 
$I$-инвариантными симметрическими 
2-формами}.

\определение
Пусть $\Theta_K\in \Lambda^{1,1}(M,\R)$ -- кривизна связности Леви-Чивита 
на каноническом расслоении кэлерова многообразия.
{\бф \блуе Кривизна Риччи $M$}
есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$.

\определение
Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если
ее кривизна Риччи равна нулю.

\теорема
(Калаби-Яу) 
Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда
существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика
в каждом кэлеровом классе.}

\определение 
Такая метрика называется {\бф \блуе метрикой Калаби-Яу}.
Поскольку ее голономия действует тривиально на
комплексно-линейных формах объема, она лежит
в $SU(n)$.



\newpage

{\бф \блуе Алгебры Клиффорда и спиноры (повторение)}


\определение
Пусть $V, g$ -- векторное пространство над $k:= \C, \R$
с билинейной, симметричной 2-формой, а $\Cl(V,g)$ --
алгебра с единицей, полученная как фактор {\бф \блуе тензорной
алгебры} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus
V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ по идеалу,
порожденному $xy+ yx= g(x,y)$, где $x,y\in V$.
Алгебра $\Cl(V, g)$ называется {\бф \blue алгеброй Клиффорда}.


\теорема
{\бф \блуе (периодичность Ботта над $\C$)} \\
\[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n}$
и \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] для 
$V=\C^{2n+1}$ ($g$ невырожденная).

\определение
{\бф \блуе Пространство спиноров} для $V,g$
есть векторное пространство, на котором
$\Cl(V,g)$ действует как матрицы на своем
фундаментальном представлении.

\newpage

{\бф \блуе Спиноры над $V= W \oplus W^*$}

\пример
Пусть $V= W \oplus W^*$, с естественной метрикой.
Тогда $\Cl(W)= \End(\Lambda^* W)$.

\утверждение
Рассмотрим действие $\Lambda^* W$ на $\Lambda^* W$ внешними
умножениями, $x, y \arrow x\wedge y$, и $\Lambda^* W^*$ на
$\Lambda^* W$ подстановкой, $x, \xi \arrow x\cntrct \xi$.
{\бф \пурпле Это задает на $\Lambda^* W$ структуру $\Cl(V)$-модуля.}

\доказательство
Достаточно проверить на образующих:
$\omega\wedge x \wedge y = - \omega\wedge y \wedge x$,
$(\omega\cntrct \xi) \cntrct \zeta = - (\omega\cntrct \zeta) \cntrct \xi$,
и 
\[ (\omega\wedge x) \cntrct \xi + (\omega \cntrct \xi) \wedge x = 
    \langle x, \xi\rangle\omega.
\]
\ендпрооф

\следствие
{\бф \ред $\Lambda^* W$ канонически отождествляется со спинорным
представлением} алгебры Клиффорда для $W\oplus W^*$.



\newpage

{\бф \блуе Спиноры на многообразиях Калаби-Яу}


\утверждение
{\бф \пурпле На многообразии Калаби-Яу, спиноры отождествляются
с $\Lambda^{*,0}(M)$,} а клиффордово умножение  действует так:
\[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0} M \stackrel\sigma\arrow
\Lambda^{p+1,0}(M)
\]
есть внешнее умножение,
а 
\[ 
 \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1} M \stackrel\sigma\arrow
\Lambda^{p-1,0}(M)
\]
делает из $\eta\otimes x$ подстановку $\eta \cntrct x^\sharp$,
где $x^\sharp\in T^{1,0}M$ есть векторное поле,
двойственное $x$.

\доказательство
Эрмитова метрика на $\Lambda^1M$ зануляется на
$\Lambda^{1,0}M$ и $ \Lambda^{0,1}M$ (то есть 
эти пространства изотропны), значит, $\Cl(\Lambda^1M)$
действует на $\Lambda^{*,0}(M)$ как на своем фундаментальном
представлении.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Оператор Дирака на многообразиях Калаби-Яу}


\определение
Пусть $M$ -- риманово многообразие с заданной на нем
спин-структурой, а $\nabla:\; S \arrow S \otimes \Lambda^1 M$ --
связность Леви-Чивита на спинорах. Отождествив $\Lambda^1 M$
и $TM$, можно считать, что $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$.
Рассмотрим оператор {\бф \блуе спинорного умножения}
$S \otimes TM\stackrel \sigma \arrow S$. {\бф \блуе Оператор Дирака}
$D$ есть композиция $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$ и $\sigma$.


{\small \определение
{\бф \блуе Гармонический спинор} есть спинор $\psi$ такой,
что $D(\psi)=0$.}

\упражнение
Докажите, что на многообразии Калаби-Яу, {\бф \ред оператор Дирака
действует как $\6 \oplus \6^*:\; \Lambda^{*,0}(M)\arrow
\Lambda^{*,0}(M)$,} где $\6$ есть (1,0)-часть дифференциала
де Рама, а $\6^*$ его эрмитово сопряженный.

\определение
Дифференциальная форма $\eta$ на кэлеровом многообразии
называется {\бф \блуе гармонической}, если $\Delta_\6(\eta)=0$,
где $\Delta_\6=\6\6^*+\6^*\6$.


\следствие
{\bf \purple На многообразии Калаби-Яу,
гармонические спиноры есть гармоническе $(p,0)$-формы.}



\end{document}

