\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\6{{\partial}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Ric{\operatorname{Ric}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Hol{\operatorname{Hol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Многообразия Калаби-Яу (2) \scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} \vfil %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Многообразия Калаби-Яу, лекция 2: \\ кэлеровы многообразия } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny\bf Школа-конференция по теории струн, \\ интегрируемым моделям и теории представлений\\ НМУ, Москва, 2 февраля 2016 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры} \определение {\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном пространстве $V$ называется эндоморфизм $I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. \замечание Продолжим $I$ на тензоры формулой $I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$ {\бф \пурпле Группа, порожденная $I$, изоморфна $\Z/4\Z$.} Поэтому, для любого тензора $t$, сумма $t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ инвариантна относительно $I$. \следствие Если $g$ -- положительно определенное скалярное произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)+ I^2(G) + I^3(g)$ тоже положительно определено и $I$-инвариантно: $I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный оператор относительно $g_I$.} \определение Положительно определенное скалярное произведение, в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой метрикой} на $(V,I)$. Мы только что доказали, что она всегда существует. \упражнение Докажите, что $g+I(g)$ $I$-инвариантно для любого четного тензора. \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)} \следствие Все собственные значения $I$ простые (то есть $I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле, {\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.} \замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение $I$. Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$. \определение Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$, обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$ обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$. \замечание Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем, что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. В частности, это пространства одинаковой размерности. \упражнение Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$ задает изоморфизм вещественных пространств $V^{0,1}\arrow V$. \упражнение Докажите, что оператор комплексной структуры {\бф \ред однозначно задается подпространством $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$ половинной размерности,} которое не пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$. \newpage {\бф \блуе Эрмитовы формы} \определение {\бф \блуе Эрмитово пространство} $(V,I,g)$ есть пространство, снабженное комплексной структурой $I$ и эрмитовой метрикой $g$. \замечание Пусть $I$ -- оператор комплексной структуры на вещественном пространстве $V$, а $g$ -- эрмитова метрика. Рассмотрим билинейную форму $\omega(x,y) = g(x, Iy)$. Тогда $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$. Поэтому {\бф \blue $\omega$ кососимметрична}. \определение Форма $\omega$ называется {\бф \блуе эрмитовой формой} на эрмитовом пространстве $(V,I, g)$ \упражнение Докажите, что в тройке $I, g, \omega$, {\бф \пурпле каждый тензор выражается через остальные два.} \невпаге {\bf \blue Разложение Ходжа} Обозначим за $\Lambda^* V$ грассманову алгебру, порожденную $V$. \упражнение Проверьте, что $\Lambda^*(V \oplus W)$ изоморфно как векторное пространство $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W$. Изоморфизм $\Lambda^*V \otimes \Lambda^*W \arrow \Lambda^*(V \oplus W)$ задается отображением $x\otimes y \arrow x\wedge y$. \определение Пусть $(V,I)$ -- пространство, снабженное комплексной структурой, а $V_\C:= V\otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда $\Lambda^* V_\C \cong (\Lambda^*V^{1,0})\otimes (\Lambda^*V^{0,1})$. Рассмотрим разложение $\Lambda^* V_\C \cong \bigoplus_{p,q}\Lambda^{p,q} V_\C $, где $\Lambda^{p,q} V_\C = \Lambda^pV^{1,0}\bigwedge \Lambda^qV^{0,1}$ Оно называется {\бф \блуе разложением Ходжа}. \замечание Комплексная структура на $V$ {\bf \blue однозначно задает комплексную структуру на $V^*$ (и наоборот). } \упражнение Верно ли, что любая $(p,p)$-форма $I$-инвариантна? Верно ли, что любая $I$-инвариантная форма имеет тип $(p,p)$? \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. \пример Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$. Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти комплексная структура. \определение {\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$, причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge \Lambda^{0,q}(M)$. \определение Функция $f:\; M \arrow \C$ на почти комплексном многообразии называется {\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$. \невпаге {\bf \blue Интегрируемость почти комплексных многообразий} \определение Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие. Оно называется {\бф \блуе комплексным}, а $I$ {\бф \блуе интегрируемым} если в каждой точке существуют координаты $x_i, y_i$ такие, что $I(d/dx_i) = d/dy_i$, $I(d/dy_i)=-d/dx_i$. \замечание В этой ситуации, {\бф \пурпле функции $z_i= x_i + \1 y_i$ голоморфные.} Они называются {\бф \блуе комплексными координатами}. \упражнение Докажите, что на комплексном многообразии, {\бф \пурпле коммутатор векторных полей типа $(1,0)$ имеет тип $(1,0)$: \[ [T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M.\]} \определение Почти комплексное многообразие называется {\бф \блуе формально интегрируемым}, если $[T^{1,0}M, T^{1,0}M]\subset T^{1,0}M$ \теорема (Newlander-Nirenberg) {\бф \ред Формально интегрируемое почти комплексное многообразие интегрируемо.} \newpage {\bf \blue Кэлеровы многообразия} \теорема Пусть $(M,I,g)$ -- почти комплексное эрмитово многообразие. {\бф \пурпле Тогда следующие условия эквививалентны:} (i) {\bf \red Комплексная структура $I$ интегрируема, а эрмитова форма $\omega$ замкнута.} (ii) {\bf \red $\nabla(I)=0$,} где $\nabla$ есть связность Леви-Чивита. \упражнение Выведите (i) из (ii). \определение Почти комплексное эрмитово многообразие, удовлетворяющее условиям (i) или (ii), называется {\бф\блуе кэлеровым}. Класс когомологий $[\omega]\in H^2(M)$ называется {\бф\блуе кэлеровым классом} $M$. \упражнение Докажите, что комплексное подмногообразие кэлерова многообразия -- {\бф \пурпле снова кэлерово.} \newpage {\бф \блуе Метрика Фубини-Штуди} \определение Пусть $M= \C P^n$ -- комплексное проективное пространство, а $g$ -- $U(n+1)$-инвариантная метрика. Она называется {\бф \блуе метрикой Фубини-Штуди}. \замечание Метрику Фубини-Штуди можно получить, взяв произвольную эрмитову метрику на $\C P^n$ и {\bf \red усреднив по компактной группе $U(n+1)$.} \замечание Стабилизатор $x\in \C P^n$ в $U(n+1)$ изоморфен $U(n)$, а $T_x \C P^n$ изоморфно $\C^n$ со стандартным действием $U(n)$. \упражнение Пусть $g$ -- $U(n)$-инвариантная положительная симметрическая форма на $\C^n$. Тогда {\бф \ред $g$ пропорциональна обычной евклидовой метрике.} \следствие Метрика Фубини-Штуди {\бф \пурпле единственна с точностью до скалярного множителя.} \упражнение Пусть $\eta$ -- $U(n)$-инвариантная 3-форма на $\C^n$. Докажите, что $\eta=0$. \следствие Метрика Фубини-Штуди {\бф \ред кэлерова}. \newpage {\бф \блуе Проективные многообразия} \определение Замкнутое комплексное подмногообразие $\C P^n$ называется {\бф \блуе проективным} \теорема {\бф \ред Проективное многообразие всегда кэлерово.} \доказательство Оно комплексно, а эрмитова форма симплектична. \замечание Поскольку $H^2(\C P^n)$ одномерно, {\бф \пурпле можно выбрать метрику Фубини-Штуди с целочисленным кэлеровым классом.} \следствие Проективное многообразие {\бф \пурпле допускает кэлерову структуру с целочисленным кэлеровым классом.} \теорема (Кодаира) Пусть $M$ -- компактное, кэлерово многообразие с целочисленным кэлеровым классом. {\бф \ред Тогда $M$ проективно.} \newpage {\бф \блуе Первый класс Черна} \замечание Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии, $U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано, а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении $U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем $\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}= \phi_{\alpha\gamma}$ то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный 1-коцикл.} \утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений взаимно однозначно соответствуют $H^1(M, (C^\infty M)^*)$.} \замечание Из экспоненциальной точной последовательности \[ 0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0, \] {\бф \пурпле получаем изоморфизм $H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z)$.} \следствие {\bf \purple Комплексное линейное расслоение топологически тривиально $\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.} \невпаге {\бф \блуе Первый класс Черна и формула Гаусса-Бонне} \упражнение Докажите, что кривизна линейного расслоения - замкнутая (1,1)-форма. \теорема {\бф \блуе (Гаусс-Бонне)}\\ {\бф \ред Класс когомологий $[\omega]$ кривизны линейного расслоения $L$ выражается через его класс Черна: $[\omega]=2\pi c_1(L)$. } \определение Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное кэлерово многообразие, а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое расслоение} (расслоение комплексно-линейных форм объема). {\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$. \определение {\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$. \замечание По теореме Калаби-Яу, каждое "многообразие Калаби-Яу" (в смысле этого определения) допускает кэлерову метрику с голономией, лежащей в $SU(n)$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Калаби-Яу} \замечание Если задана вещественная $(1,1)$-форма $\eta$, ей соответствует симметрическая 2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$. {\bf \purple Это задает биекцию между вещественными $(1,1)$-формами и $I$-инвариантными симметрическими 2-формами}. \определение Пусть $\Theta_K\in \Lambda^{1,1}(M,\R)$ -- кривизна связности Леви-Чивита на каноническом расслоении кэлерова многообразия. {\бф \блуе Кривизна Риччи $M$} есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$. \определение Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если ее кривизна Риччи равна нулю. \теорема (Калаби-Яу) Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика в каждом кэлеровом классе.} \определение Такая метрика называется {\бф \блуе метрикой Калаби-Яу}. Поскольку ее голономия действует тривиально на комплексно-линейных формах объема, она лежит в $SU(n)$. \newpage {\бф \блуе Алгебры Клиффорда и спиноры (повторение)} \определение Пусть $V, g$ -- векторное пространство над $k:= \C, \R$ с билинейной, симметричной 2-формой, а $\Cl(V,g)$ -- алгебра с единицей, полученная как фактор {\бф \блуе тензорной алгебры} $T^{\otimes} V:= k \oplus V \oplus V\otimes V \oplus ... \oplus T^{\otimes i} V$ по идеалу, порожденному $xy+ yx= g(x,y)$, где $x,y\in V$. Алгебра $\Cl(V, g)$ называется {\бф \blue алгеброй Клиффорда}. \теорема {\бф \блуе (периодичность Ботта над $\C$)} \\ \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n}$ и \[ \Cl(V,g)\cong \Mat(2^n, \C)\oplus \Mat(2^n, \C)\] для $V=\C^{2n+1}$ ($g$ невырожденная). \определение {\бф \блуе Пространство спиноров} для $V,g$ есть векторное пространство, на котором $\Cl(V,g)$ действует как матрицы на своем фундаментальном представлении. \newpage {\бф \блуе Спиноры над $V= W \oplus W^*$} \пример Пусть $V= W \oplus W^*$, с естественной метрикой. Тогда $\Cl(W)= \End(\Lambda^* W)$. \утверждение Рассмотрим действие $\Lambda^* W$ на $\Lambda^* W$ внешними умножениями, $x, y \arrow x\wedge y$, и $\Lambda^* W^*$ на $\Lambda^* W$ подстановкой, $x, \xi \arrow x\cntrct \xi$. {\бф \пурпле Это задает на $\Lambda^* W$ структуру $\Cl(V)$-модуля.} \доказательство Достаточно проверить на образующих: $\omega\wedge x \wedge y = - \omega\wedge y \wedge x$, $(\omega\cntrct \xi) \cntrct \zeta = - (\omega\cntrct \zeta) \cntrct \xi$, и \[ (\omega\wedge x) \cntrct \xi + (\omega \cntrct \xi) \wedge x = \langle x, \xi\rangle\omega. \] \ендпрооф \следствие {\бф \ред $\Lambda^* W$ канонически отождествляется со спинорным представлением} алгебры Клиффорда для $W\oplus W^*$. \newpage {\бф \блуе Спиноры на многообразиях Калаби-Яу} \утверждение {\бф \пурпле На многообразии Калаби-Яу, спиноры отождествляются с $\Lambda^{*,0}(M)$,} а клиффордово умножение действует так: \[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{1,0} M \stackrel\sigma\arrow \Lambda^{p+1,0}(M) \] есть внешнее умножение, а \[ \Lambda^{p,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1} M \stackrel\sigma\arrow \Lambda^{p-1,0}(M) \] делает из $\eta\otimes x$ подстановку $\eta \cntrct x^\sharp$, где $x^\sharp\in T^{1,0}M$ есть векторное поле, двойственное $x$. \доказательство Эрмитова метрика на $\Lambda^1M$ зануляется на $\Lambda^{1,0}M$ и $ \Lambda^{0,1}M$ (то есть эти пространства изотропны), значит, $\Cl(\Lambda^1M)$ действует на $\Lambda^{*,0}(M)$ как на своем фундаментальном представлении. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Оператор Дирака на многообразиях Калаби-Яу} \определение Пусть $M$ -- риманово многообразие с заданной на нем спин-структурой, а $\nabla:\; S \arrow S \otimes \Lambda^1 M$ -- связность Леви-Чивита на спинорах. Отождествив $\Lambda^1 M$ и $TM$, можно считать, что $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$. Рассмотрим оператор {\бф \блуе спинорного умножения} $S \otimes TM\stackrel \sigma \arrow S$. {\бф \блуе Оператор Дирака} $D$ есть композиция $\nabla:\; S \arrow S \otimes TM$ и $\sigma$. {\small \определение {\бф \блуе Гармонический спинор} есть спинор $\psi$ такой, что $D(\psi)=0$.} \упражнение Докажите, что на многообразии Калаби-Яу, {\бф \ред оператор Дирака действует как $\6 \oplus \6^*:\; \Lambda^{*,0}(M)\arrow \Lambda^{*,0}(M)$,} где $\6$ есть (1,0)-часть дифференциала де Рама, а $\6^*$ его эрмитово сопряженный. \определение Дифференциальная форма $\eta$ на кэлеровом многообразии называется {\бф \блуе гармонической}, если $\Delta_\6(\eta)=0$, где $\Delta_\6=\6\6^*+\6^*\6$. \следствие {\bf \purple На многообразии Калаби-Яу, гармонические спиноры есть гармоническе $(p,0)$-формы.} \end{document}