\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Ric{\operatorname{Ric}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Hol{\operatorname{Hol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Многообразия Калаби-Яу (1) \scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} \vfil %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Многообразия Калаби-Яу, лекция 1: \\ группы голономий } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny\bf Школа-конференция по теории струн, \\ интегрируемым моделям и теории представлений\\ НМУ, Москва, 1 февраля 2016 } \vfil {\em \small \green Литература: Артур Бессе, "Многообразия Эйнштейна"} \end{center} \newpage {\bf \blue Кривизна связности} \определение Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на формах \[ B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ... \] по формуле $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$. Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$ называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$. \утверждение Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью, а $b\in B$ -- сечение. Рассмотрим \[ \Theta_B (X, Y, b):= \nabla_X\nabla_Yb-\nabla_Y\nabla_Xb-\nabla_{[X,Y]}b \] {\бф \ред Тогда оператор $\Theta_B(X,Y)$ $C^\infty M$-линеен по всем трем аргументам, и удовлетворяет $\nabla^2(X,Y)(b)= \Theta_B(X,Y)$.} \endproof \невпаге {\бф \блуе Связность Леви-Чивита} \определение {\бф \блуе Кручение} связности $\nabla$ на касательном расслоении есть тензор $X, Y \arrow \nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$. \определение Многообразие $M$ называется {\бф \блуе римановым}, если на $TM$ задано невырожденное, положительно определенное скалярное произведение $g$. \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.} \невпаге {\бф \блуе Тензор римановой кривизны} \определение {\бф \блуе Тензор римановой кривизны} есть тензор кривизны связности Леви-Чивита. \замечание Тензор римановой кривизны лежит в $\Lambda^2 M \otimes(\goth{so}(TM))$, то есть он берет три векторных поля, и выдает одно. Такой тензор кривизны удобно обозначать $R^l_{ijk}\in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M\otimes TM$. Если же отождествить $\goth{TM}$ с $\Lambda^2 M$, мы получим {\бф \ред 4-форму $R_{ijkl}\in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2M$,} которая {\бф \пурпле тоже называется тензор римановой кривизны.} \невпаге {\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны} \определение Пусть $V_{2,2}\subset \Sym^2(\Lambda^2 V)$ обозначает ядро умножения $\Sym^2(\Lambda^2 V)\arrow \Lambda^4 V$. Пространство $V_{2,2}\subset V\otimes V\otimes V\otimes V$ называется {\бф \блуе пространством алгебраических тензоров кривизны}. \теорема Рассмотрим тензор кривизны связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$. Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$. {\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.} \следствие {\бф \ред Кривизна связности Леви-Чивита симметрична:\\ $R_{ijkl}\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$.} \newpage {\bf \blue Симметрические многообразия} \определение {\бф \блуе Симметрическое пространство} есть риманово многообразие $M$, снабженное набором изометрий $i_x$, для любой точки $x\in M$. При этом $i_x$ сохраняет $x$, в квадрате дает тождественное преобразование, а на $T_xM$ действует как $-1$. {\бф \блуе Локально симметрическое пространство} есть пространство, которое локально изометрично симметрическому. \теорема Риманово многообразие $(M,g)$ {\бф \ред локально симметрическое тогда и только тогда, когда $\nabla R=0$,} где $R$ -- тензор римановой кривизны. \доказательство Пусть $(M,g)$ локально симметрическое. Тензор $\nabla R$ инвариантен относительно изометрий, значит, $i_x^* (\nabla R)=\nabla R$. На нечетных тензорах $i_x$ действует как -1: \[ \left(\nabla R\restrict x\right)= i_x^*\left(\nabla R\restrict x\right)=- \left(\nabla R\restrict x\right), \] значит, $\nabla R\restrict x=0$, для каждой точки $x\in M$. Импликацию $\nabla R$ $\Rightarrow$ ($M$ локально симметрическое) я доказывать не буду, но в любом нормальном курсе римановой геометрии ее доказывают (нужны геодезические, экспоненциальное отображение, поля Якоби). \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Форма Фробениуса} \замечание Пусть $B\subset TM$ подрасслоение, $\Pi:\; TM \arrow TM/ B$ -- проекция, а $x,y \in B$ -- векторные поля. Тогда $[fx, y]= f[x,y] - D_y (f) x$. Следовательно,. {\бф \пурпле $\Pi([x,y])$ зависит от $x,y$ $C^\infty(M)$-линейно.} \определение Построенное отображение $[B,B]\arrow TM/B$ называется {\бф \блуе форма Фробениуса} ("Frobenius bracket"); это косо-симметричная $C^\infty(M)$-линейная 2-форма на $B$. \определение Распределение называется {\бф \блуе интегрируемым}, {\бф \блуе голономным} или же {\бф \блуе инволютивным}, если форма Фробениуса равна нулю. \newpage {\бф \блуе Гладкие субмерсии} \определение Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе субмерсией}, если в каждой точке $M$ дифференциал $D\pi$ сюрьективен. \утверждение Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия. Тогда у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U\cong V\times W$, где $U,W$ -- гладкие многообразия, такая, что {\бф \ред $\pi \restrict U$ есть проекция на $W$.} {\бф \греен Доказательство:} Теорема о неявной функции. \упражнение ("Ehresmann's fibration theorem")\\ Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия компактных многообразий. {\бф \пурпле Докажите, что это локально тривиальное расслоение.} \определение {\бф\блуе Вертикальное касательное пространство} субмерсии есть ядро $D\pi$. \утверждение {\бф \ред Это инволютивное подрасслоение.} {\бф \греен Доказательство:} Коммутатор перестановочен с проекцией потому что. \замечание Вертикальное подрасслоение обозначается $T_\pi M$. \newpage {\бф \блуе Теорема Фробениуса (формулировка)} {\бф \греен Теорема Фробениуса:} Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение. Оно {\бф \purple является инволютивным тогда и только тогда}, когда у каждой точки $x\in M$ {\бф \ред есть окрестность $U$ и гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ такая, что $B$ есть вертикальное касательное подрасслоение:} $B = T_\pi M$. \замечание Слои $\pi$ называются {\бф \блуе листами}, или {\бф \блуе интегральными подмногообразиями} распределения $B$. Распределение, для которого верна теорема Фробениуса, называетсы {\бф \блуе интегрируемым}. Если $B$ интегрируемо, совокупность всех листов (а также само $B$) называют {\бф \блуе слоением}. \замечание Для доказательства теоремы Фробениуса {\бф \пурпле достаточно убедиться, что через каждую точку проходит интегральное подмногообразие.} В этом случае, гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ -- это проекция на пространство листов слоения. \невпаге {\бф \блуе Базовые подрасслоения} \определение Пусть $B\subset TM$ -- инволютивное подрасслоение, Подрасслоение $F\subset TM$ называется {\бф \блуе базовым} для $B$, если $F\supset B$ и для любого $b\in B, b'\in F$, имеем $[b, b']\in F$. \лемма Пусть $B\subset TM$ -- интегрируемое слоение, $\pi:\; M \arrow M_1$ -- проекция на пространство листов $B$, а $F\supset B$ -- подрасслоение $TM$, содержащее $B$. Тогда следующие условия равносильны. {\бф \ред (а) $F$ -- базовое для $B$.\\ (б) Существует подрасслоение $F_1\subset TM_1$ такое, что $\pi^{-1}F_1 = F$.} \дшаг Рассмотрим координаты $x_1, ..., x_n$ на $M$ такие, что $x_{k+1}, ..., x_n$ задают координаты на $M_1$, а $d/dx_1, ..., d/dx_k$ порождают $B$. Обозначим за $G$ подгруппу в группе диффеоморфизмов $\Diff(M)$, которая порождена экспонентами векторных полей $d/dx_1, ..., d/dx_k$. Поскольку $[b, b']\subset F$, $e^b(F)\subset F$, значит, $F$ -- $G$-инвариантное подрасслоение. {\бф \греен Шаг 2:} Любое $G$-инвариантное подрасслоение $F\supset B$ поднимается с фактора $M/G= M_1$. Действительно, поскольку действие $G$ свободно, расслоение $F$ порождено над $C^\infty M$ $G$-инвариантными сечениями, но каждое $G$-инвариантное векторное поле поднимается с $M_1$. {\бф \греен Шаг 3:} Наоборот, если $F$ поднимается с $M_1$, оно $G$-инвариантно, но это значит, что $\Lie_b(b')\subset F$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Теорема Фробениуса (доказательство)} {\бф \греен Теорема Фробениуса:} Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение. Оно {\бф \purple является инволютивным тогда и только тогда}, когда у каждой точки $x\in M$ {\бф \ред есть окрестность $U$ и гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ такая, что $B$ есть вертикальное касательное подрасслоение:} $B = T_\pi M$. \дшаг Возьмем одномерное подрасслоение $B_1\subset B$. По теореме о существовании решений ОДУ, $B_1$ интегрируемо. Поскольку $[B_1, B]\subset B$, расслоение $B$ базовое относительно $B_1$, {\бф \пурпле значит, поднимается с пространства листов $B_1$.} {\бф \греен Шаг 2:} Обозначим проекцию за $\pi:\; M \arrow M_1$. Тогда $B= \pi^* B_0$, для $B_0\subset TM$ ранга $\rk B -1$. Воспользовавшись индукцией, можно считать, что $B_0$ интегрируемо. Пусть $\pi_0:\; M_1 \arrow M_0$ -- проекция на пространство листов $B_0$. {\бф \пурпле Тогда $\pi\circ\pi_0:\; M \arrow M_0$ -- проекция на пространство листов $B$.} \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Группа голономий} \определение (Эли Картан, 1923) Пусть $(M, \nabla)$ -- расслоение со связностью над $M$. Для каждой петли $\gamma$, идущей из $x$ в $x\in M$, обозначим за $V_{\gamma, \nabla}:\; B\restrict x \arrow B\restrict x$ соответствующее отображение параллельного переноса вдоль связности. {\бф \блуе Группа голономий} $(B,\nabla)$ есть подгруппа $GL(T_xM)$, порожденная $V_{\gamma, \nabla}$, для всех петель $\gamma$. Группа {\бф \блуе локальных голономий} есть подгруппа $GL(T_xM)$, порожденная $V_{\gamma, \nabla}$ для стягиваемых петель. \замечание Расслоение {\бф \блуе плоско} (имееет нулевую кривизну) тогда и только тогда, когда его локальная голономия тривиальна. \замечание Если $\nabla(\phi)=0$ для тензора $\phi\in B^{\otimes i}\otimes (B^*)^{\otimes j}$, то {\bf \red группа голономий $\nabla$ сохраняет $\phi$.} \определение {\bf \blue Голономия риманова многообразия} есть голономия его связности Леви-Чивита. \упражнение Докажите, что {\bf \red группа голономий не зависит от выбора точки $x\in M$.} \задача Пусть $G$ -- группа Ли, $g$ -- биинвариантная метрика. Докажите, что {\бф \пурпле голономия $(G,g)$ равна образу группы $G$} в $\End(T_eG)$, действующей $T_eG$ как на присоединенном представлении. \newpage {\bf \blue Лемма о лассо} \определение {\bf \blue Лассо} есть петля следующего вида: {\begin{center} \epsfig{file=Lasso.png,width=0.35\linewidth} \end{center}} Круглая часть называется {\bf \blue рабочей частью} лассо. \newpage {\bf \blue Лемма о лассо (продолжение)} \замечание {\bf \blue (``Лемма о лассо'')} Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие многообразия, а $\gamma$ -- стягиваемая петля. Тогда {\bf \purple $\gamma$ можно разложить в произведение нескольких лассо, с рабочей частью каждого из лассо в $U_i$.} \begin{center} \epsfig{file=lasso-lemma.png,width=0.4\linewidth} \end{center} \newpage {\bf \blue Теорема Амброза-Зингера} \замечание Из утверждения 1 и теоремы о непрерывности голономии как функции контура (лекция 6) легко вывести следующее. Зафиксируем $C>0$. Рассмотрим лассо с рабочей областью площади $\epsilon^2$ и периметра $C\epsilon$, затянутой 2-мерной поверхностью, касательные пространства к которой с точностью до $C \epsilon^2$ равны 2-мерной плоскости $V=\langle x, y\rangle$. Пусть $x, y$ -- ортонормальный базис в $V$. {\бф \пурпле Тогда голономия вдоль лассо с точностью до $o(\epsilon^2)$ равна $\epsilon^3 \gamma^* R(x,y)$, где $\gamma^*$ есть оператор голономии вдоль нерабочей части лассо. } \определение Пусть $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью, $\Theta\in \Lambda^2(M)\otimes \End(B)$ -- его кривизна, а $a,b\in T_x M$ -- касательные векторы. Эндоморфизм $\Theta(a,b)\in \End(B)\restrict x$ называется {\bf \blue элементом кривизны}. \теорема {\bf \blue (Амброз-Сингер)} Локальная группа голономий $B, \nabla$ в $z\in M$ есть группа Ли {\bf \red с алгеброй Ли, порожденной всеми элементами кривизны $\Theta(a,b)\in \End(B)\restrict x$, перенесенными в $z$ параллельным переносом вдоль всех путей.} \доказательство Доказательство этой теоремы следует из леммы о лассо и вышеприведенного замечания. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Представление голономии} \определение Пусть $(M,g)$ - риманово многообразие, а $G$ его группа голономий. {\bf\blue Представление голономии} в $x\in M$ есть действие $G$ на $T_xM$. \теорема (де Рама) Предположим, что представление голономий приводимо: $T_xM=B_1 \oplus B_2$. {\бф \ред Тогда риманово многообразие $M$ локально расщепляется в произведение: $M=M_1 \times M_2$, где $B_1= T_xM_1$, $B_2=T_xM_2$.} {\bf\green Доказательство. Шаг 1:} Используя параллельный перенос относительно связности, продолжим разложение $B_1 \oplus B_2$ до {\bf \purple расщепления касательного расслоения в ортогональную прямую сумму $TM = B_1 \oplus B_2$, совместимую с голономией и связностью.} {\bf\green Шаг 2:} Подрасслоения $B_1$, $B_2 \subset TM$ {\bf \purple инволютивны:} $[B_1, B_1] \subset B_i$ (связность Леви-Чивита не имеет кручения). {\bf\green Шаг 3:} Применяя теорему Фробениуса, получим, что эти расслоения -- касательные к листам дополнительных слоений на $M$. Это дает {\bf \purple локальное разложеное $M=M_1 \times M_2$, с $B_1= TM_1$, $B_2=TM_2$. } \newpage {\bf \blue Представление голономии (продолжение)} \теорема (де Рама) Предположим, что представление голономий приводимо: $T_xM=B_1 \oplus B_2$. {\бф \ред Тогда риманово многообразие $M$ локально расщепляется в произведение: $M=M_1 \times M_2$, где $B_1= T_xM_1$, $B_2=T_xM_2$.} {\bf\green Доказательство. Шаг 1:} Продолжим разложение $B_1 \oplus B_2$ до {\bf \purple расщепления касательного расслоения в ортогональную прямую сумму $TM = B_1 \oplus B_2$, совместимую с голономией и связностью.} {\bf\green Шаг 2:} Подрасслоения $B_1$, $B_2 \subset TM$ {\bf \purple инволютивны:} $[B_1, B_1] \subset B_i$ (связность Леви-Чивита не имеет кручения). {\bf\green Шаг 3:} Применяя теорему Фробениуса, получим, что эти расслоения -- касательные к листам дополнительных слоений на $M$. Это дает {\bf \purple локальное разложеное $M=M_1 \times M_2$, с $B_1= TM_1$, $B_2=TM_2$. } {\bf\green Шаг 4:} Поскольку разложение $TM = B_1 \oplus B_2$ совместимо со связностью, {\bf \purple все листы $M_1, M_2$ вполне геодезические.} {\bf\green Шаг 5:} Следовательно, {\bf \red локально $M$ расщепляется (как метрическое пространство)}: $M=M_1\times M_2$, где $M_1, M_2$ -- какие-то листы этих слоений. \endproof \newpage {\bf \blue Теорема де Рама о разложении} \следствие Пусть $M$ -- риманово многообразие, а \[ \Hol_0(M)\stackrel \rho \arrow \End(T_xM)\] -- локальное представление голономий. Предположим, что $\rho$ приводимо: $T_xM = V_1\oplus V_2 \oplus ...\oplus V_k$. {\bf \red Тогда группа $G=\Hol_0(M)$ тоже расщепляется в произведение: $G= G_1\times G_2 \times ...\times G_k$,} где каждая из $G_i$ тривиально действует на всех $V_j$ с $j\neq i$. {\bf \green Доказательство:} Локально, эта теорема следует из локального разложения $M$, доказанного выше. Чтобы получить его глобально по $M$, используем лемму о лассо. \endproof \теорема (де Рама) Полное, односвязное риманово многообразие с приводимой голономией {\bf \red расщепляется в произведение римановых многообразий}. \упражнение Найдите неполные и неодносвязные контрпримеры к утверждению этой теоремы. \теорема (Джим Саймонс, 1962) Пусть $M$ -- многообразие с неприводимой голономией. Тогда {\бф \ред либо $M$ локально симметрично, либо $\Hol(M)$ действует транзитивно на единичной сфере в $T_xM$.} \newpage \centerline{\epsfig{file=berger.jpg,width=0.4\linewidth}} \centerline{\it Marcel Berger} \newpage {\bf \blue Теорема Берже} \теорема (теорема Берже, 1955) Пусть $G$ -- неприводимая группа голономий риманова многообразия, которое не локально симметрично. Тогда $G$ принадлежит списку Берже: { \begin{tabular}{|l|l|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf \color[rgb]{0,0,0.6}Список Берже}\\[1mm] \hline \it Голономия & \it Геометрия\\[1mm] \hline $SO(n)$ действующая на $\R^n$ & риманово многообразие\\[1mm] \hline $U(n)$ действующая на $\R^{2n}$ & кэлерово многообразие\\[1mm] \hline $SU(n)$ действующая на $\R^{2n}$, $n>2$ & многообразие Калаби-Яу\\[1mm] \hline $Sp(n)$ действующая на $\R^{4n}$ & гиперкэлерово многообразие\\[1mm] \hline $Sp(n)\times Sp(1)/\{\pm 1\}$ & кватернионно-кэлерово \\[1mm] действующая на $\R^{4n}$, $n>1$ & многообразие \\[1mm] \hline $G_2$ действующая на $\R^7$ & $G_2$-многообразие \\[1mm] \hline $\Spin(7)$ действующая на $\R^8$ & $\Spin(7)$-многообразие\\[1mm] \hline \end{tabular} } \замечание Существует еще одна группа, транзитивно действующая не сфере: $\Spin(9)$, действующая на $\R^{16}$. В 1968, Д. В. Алексеевский доказал, что {\bf \purple любое многообразие с голономией $\Spin(9)$ локально симметрично.} \end{document}