
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\sf const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}}
\newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Свойство (Т), лекция 3 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Свойство (Т) Каждана \\[15mm]
\small лекция 3: Конструкция Гельфанда-Наймарка-Сегала}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[10mm] \tiny 
31 июля 2016
\\[20mm]

{\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия VI"\\[2mm]
24 - 31 июля, 2016, ЯГПУ, Ярославль, Россия

}
\end{center}

\newpage

{\бф\блуе Ядра положительного типа}

\определение
Пусть $X$ -- топологическое пространство,
а $\rho$ -- непрерывная функция на $X\times X$, удовлетворяющая $\rho(x,y) = \rho(y,x)$.
{\бф \блуе Финитная функция} на $X$ 
есть комплекснозначная функция, которая равна нулю вне
конечного множества точек на $X$. Обозначим за $F_{x_i, c_i}$
функцию, которая принимает значение $c_i$ на точке $x_i$, и равна нулю вне $c_i$.
Функция $\rho$ называется {\бф \блуе ядром положительного типа},
если для любой финитной функции $F_{x_i, c_i}$ верно $\sum_{i} \rho(x_i, x_j) c_i \bar c_j\geq 0$.
Обозначим полученную полуэрмитову форму на финитных функциях за $B_\rho$,
\[
B_\rho(F_{x_i, c_i}, F_{x_i', c_i'})= \sum_{i} \rho(x_i, x_j') c_i \bar c_j'.
\]


\newpage

{\бф\блуе Конструкция Гельфанда-Наймарка-Сегала}

\теорема {\бф \блуе (Конструкция Гельфанда-Наймарка-Сегала: GNS)}\\
Пусть $\rho$ -- ядро положительного типа на $X$. Тогда {\бф \ред существует гильбертово
пространство $(H,h)$ и непрерывное отображение $P_\rho:\; X \arrow H$ такое, что
для любых $x,y\in H$, имеем $\rho(x,y)=h(P_\rho(x), P_\rho(y))$.}
Более того, {\бф \ред каждое непрерывное отображение $X \arrow H$ с плотным образом
получается таким образом. }

\доказательство Пусть $H_0$ -- пространство финитных функций на $X$,
снабженное метрикой $B_\rho$. Это эрмитово векторное пространство,
свободно порожденное точками $X$, с полуэрмитовой метрикой, 
которая определяется из формулы $h(x,y):=\rho(x,y)$. Эта метрика 
неотрицательно определена, поскольку $\rho$ это ядро.
Обозначим за $H$ пополнение $H_0$ в этой метрике, профакторизованное
по всем векторам с квадратом 0. {\бф \пурпле Тавтологическое отображение
$P_\rho:\; X\arrow H$, очевидно, удовлетворяет $\rho(x,y)=h(P_\rho(x), P_\rho(y))$.}

Если мы начали с какого-то отображения $P_\rho$, $\rho$
из него восстанавливается тавтологически, так что эта конструкция
обратима. \ендпрооф



\newpage

{\бф\блуе Свойства ядер положительного типа}


\теорема
Для любых ядер $\rho$, $\mu$ положительного типа, {\бф \ред следующие функции -- тоже ядра:}
(а) $\rho_1(x,y):= \overline{\rho(y,x)}$, (б) $t\rho$ для любого $t\in \R^{\geq 0}$
(в) сумма $\rho+\mu$ (г) произведение $\rho\mu$ (д) поточечный предел любого семейства ядер.

\доказательство (а), (б), (в), (д) очевидно, 
(г) получается применением GNS к тензорному произведению гильбертовых пространств.
\ендпрооф

Другими словами, {\бф \пурпле пространство ядер положительного типа -- выпуклый конус,
замкнутый относительно умножения и взятия поточечных пределов.}


\невпаге

{\бф\блуе Унитарные представления (повторение)}

\определение
 \определение
 {\бф \блуе Топологическая группа}
 есть группа $G$, снабженная топологией,
 таким образом, что операции умножения
 и взятия обратного непрерывны. {\бф \пурпле 
 Топология на $G$  предполагается метризуемой,} в  частности
  -- хаусдорфовой.

\определение
{\бф \блуе Унитарное представление} группы $G$ есть гомоморфизм
из $G$ в группу линейных изометрий гильбертова пространства $H$
такой, что функция $h \arrow g(h)$ непрерывна как функция $g$
для любого $h\in H$.

\определение 
{\бф \блуе Неприводимое представление} есть представление $G$ в гильбертовом
пространстве $H$ такое, что $H$ не содержит {\бф \блуе подпредставлений},
то есть замкнутых, $G$-инвариантных подпространств.


\определение
Пусть $H$ -- унитарное представление группы $G$.
Вектор  $x\in H$ называется {\бф \блуе циклическим},
если $H$ есть минимальное подпредставление $H$, содержащее $x$.

\замечание {\бф \пурпле Все ненулевые векторы в неприводимом представлении циклические.}
Также {\бф \пурпле циклические векторы содержатся во многих приводимых представлениях.}




\newpage

{\бф\блуе Функции положительного типа на группе}


\определение
{\бф \блуе Функция положительного типа} на топологической группе $G$
есть непрерывная функция $\phi:\;G\arrow \C$ такая, что $\rho(g, g_1):= \phi(g_1^{-1}g)$
ядро положительного типа. Иначе говоря, функции
положительного типа суть $G$-инвариантные ядра
положительного типа.

\замечание
Пусть $(H,h)$ -- унитарное представление группы $G$, а $x\in H$ -- любой вектор.
{\бф \пурпле Тогда $\phi(g):= h(g(x), x)$ есть функция положительного типа.}
Действительно, $g, g_1 \arrow h(g_1^{-1}g(x), y)= h(g(x), g_2(y))$ -- положительно определенное
ядро на $G$.



\теорема {\бф \блуе (GNS-конструкция для унитарных представлений)}\\
Пусть $\phi$ -- функция положительного типа. {\бф \ред Тогда существует представление
$(H,h)$ группы $G$ и циклический вектор $x\in H$ такой, что
$\phi(g)= h(g(x),x)$.} Более того, это представление однозначно определяется
функцией $\phi$.

\доказательство
Применим GNS-конструкцию к $G$ и ядру $\rho(g, g_1):=h(g_1^{-1}g(x), x)$.
Соответствующее пространство финитных функций $H_0$ состоит из линейных комбинаций
вида $\sum c_i g_i(x)$, и $g$ на нем действует по формуле $g\left(\sum c_i g_i(x)\right)=\sum c_i gg_i(x)$,
то есть изометриями. Пополнение $H_0$, профакторизованное по ядру формы $B_\rho$,
есть замыкание векторов вида $g(x)$, то есть $x=e(x)$ там циклический.
\ендпрооф

\newpage


{\бф\блуе Функции положительного типа и неприводимые представления}

\определение
Пусть $C$ замкнутый, выпуклый конус в топологическом векторном пространстве.
{\бф \блуе Экстремальный вектор} $C$ есть вектор $v\in C$ такой, что  для
любого разложения $v=v_1+v_2$, $v_1, v_2 \in C$, векторы $v_1$ и $v_2$ пропорциональны $v$.

\замечание
Если $\phi, \psi$ -- две функции положительного типа на $G$, а $H_\phi$, $H_\psi$ соответствующие
унитарные представления, то $\phi+\psi$ соответствует прямой сумме представлений.
Поэтому {\бф \ред неприводимые представления соответствуют экстремальным векторам в
пространстве функций положительного типа.}

\замечание
Пусть $P_1(G)$ есть пространство функций положительного
типа на группе, таких, что $\phi(e)=1$. Поскольку в унитарном
представлении $|h(g(x),x)| \leq |x|^2=1$, все функции из $P_1(G)$ ограниченны.
Поскольку поточечный предел функций из $P_1(G)$ снова лежит в $P_1(G)$,
{\бф \пурпле из теоремы Тихонова о компактности следует, что $P_1(G)$ компактно.}

\замечание "Поточечную топологию" более правильно называть {\бф \блуе
слабой-* топологией}. Это самая слабая топология на функциях на множестве $X$, в которой
отображение $f\arrow f(x)$ непрерывно для каждой точки $x\in X$.

%{\бф \греен Теорема Райкова:} Пусть $G$ -- локально компактная группа. 
%{\бф \ред Тогда на множестве $P_1(G)$ слабая-$*$ топология эквивалентна топологии
%равномерной сходимости на компактах.}
%
%\доказательство
%Топология равномерной сходимости на компактах, очевидно, сильнее, чем
%слабая-$*$ топология, соответственно, достаточно доказать, что
%тождественное отображение из $P_1(G)$ со слабой-$*$ топологией в 
%$P_1(G)$ с топологией равномерной сходимости на компактах 
%непрерывно. Непрерывные функции на компакте 


\newpage

{\бф\блуе Двойственность Понтрягина}

Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа.
Гомоморфизм $G \arrow S^1$ называется {\бф\блуе характером} $G$.
Интерпретируя такие гомоморфизмы как 1-мерные унитарные представления $G$,
мы можем снабдить группу $\hat G$ характеров топологией Фелла.
Оно называется {\бф \блуе группой, двойственной по Понтрягину}
к $G$. Имеет место тавтологическое отображение $G \arrow \hat{\hat G}$.

\теорема {\бф \блуе ("Двойственность Понтрягина")}
Для каждой локально компактной абелевой группы $G$, двойственная
по Понтрягину группа $\hat G$ тоже локально компактна. Более того,
{\бф \ред тавтологическое отображение $G \arrow \hat {\hat G}$ -- изоморфизм.}

\теорема
Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа.
{\бф \ред Неприводимые унитарные представления $G$ одномерны, и соответствуют характерам.}

\доказательство Следует из спектральной теоремы. \ендпрооф

\следствие 
{\бф \пурпле Экстремальные точки в конусе функций положительного типа суть отображения
вида $g \arrow u\chi(g)$, где $\chi\in \hat G$.} \ендпрооф


\newpage

{\бф\блуе Вероятностные меры}

\определение
{\бф \блуе Вероятностная мера} есть интегрируемая комплексно-значная
функция $\mu$ такая, что $\int_X |\mu|=1$.  На вероятностных
мерах определена {\бф \блуе слабая-$*$ топология:} слабейшая
топология такая, что $f\arrow \int_X \mu f$ непрерывно для любой непрерывной, ограниченной
функции $f$.

\определение
Обозначим за $M_1(X)$ пространство  вероятностных
борелевских мер. Легко видеть, что
$M_1(X)$ это выпуклый конус. Определим {\бф \блуе атомарную меру}
как такую меру $\delta_x$, что $\mu(U)=1$ $\Leftrightarrow$ $U$ содержит $x$.

\упражнение
Докажите, что 
{\бф \пурпле экстремальные точки в конусе $M(X)$ 
конечных мер есть меры вида $u\delta_x$, где $u\in \R$.}

\упражнение
Пусть $M_{\leq 1}(X)$ -- все  меры в $M_1(X)$ такие, что
$\int_X |\mu|\leq 1$. Докажите, что {\бф\ред $M_{\leq 1}(X)$ компактно
в слабой-$*$ топологии}.

\newpage

{\бф\блуе Преобразование Фурье на локально компактной абелевой группе}

\определение
Пусть $G$ -- локально компактная группа, а 
$\mu$ -- вероятностная мера на $\hat G$.
{\бф \блуе Преобразование Фурье} $\hat \mu$ есть функция на $G$, заданная
\[ 
\hat \mu(g):= \int_{\chi\in \hat G} \chi(g)d\hat G,
\]
где $d\hat G$ есть мера Хаара на $\hat G$, а $\chi:\; G \arrow S^1$ -- точка $\hat G$,
то есть характер.

\утверждение
{\бф \ред Для каждой вероятностной меры $\mu$ на $\hat G$, функция $\hat \mu$ --
положительного типа.}

\доказательство Меры на $\hat G$ образуют выпуклый конус, как и 
функции положительного типа на $G$. В силу теоремы Крейна-Мильмана,
достаточно доказать, что $\hat \mu$ -- функция положительного типа, если
 $\mu$ -- экстремальная точка в конусе мер. Такие меры имеют вид $\mu:=\delta_\chi$,
где  $\chi\in \hat G$. Для такой меры, $\hat\mu(g)= \chi(g)$.
Рассмотрим $g\arrow \chi(g)$ как одномерное представление $G$,
порожденное вектором $v$. {\бф \пурпле Тогда $h(g(v), v)=\chi(g)=\hat\mu$,
то есть это функция положительного типа.} \ендпрооф

\newpage

{\бф\блуе Теорема Бохнера}

\теорема {\бф \блуе (теорема Бохнера)}\\
Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа, $M_1(\hat G)$ --
пространство вероятностных мер на $\hat G$,
а $P_1(G)$ -- пространство функций $f$ положительного типа 
с условием $f(e)=1$. {\бф \ред Тогда отображение $\mu \arrow \hat \mu$
индуцирует биекцию между $M_1(\hat G)$ и $P_1(G)$.}

\доказательство
Легко видеть, что $\hat \mu(e)=\int_{\hat G}\mu$, так что преобразование
Фурье переводит $M_1(\hat G)$ в $P_1(G)$. Оно инъективно в силу обратимости
преобразования Фурье, и непрерывно в слабой-$*$ топологии. Сюрьективность
легко следует из того, что экстремальные точки конуса переходят 
в экстремальные точки. 
\ендпрооф

\следствие {\бф \блуе (SNAG: Stone, Naimark, Ambrose, Godement)}\\
Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа.
{\бф \ред Классы изоморфизма пар (унитарное представление $G$, циклический вектор в нем)
биективно соответствуют мерам $\mu \in M_1(\hat G)$.}

\доказательство Получается сразу из применения GNS-конструкции к 
к пространству $P_1(G)=M_1(\hat G)$. \ендпрооф




\newpage

{\бф\блуе Свойство Каждана (Т) (повторение)}

\определение
Напомню, что {\бф\блуе диаметр} метрического пространства $M$ есть $\diam(M):= \sup_{x,y\in M} d(x,y)$.
Пусть $H$ есть унитарное представление локально компактной группы $G$, а 
$\{\xi_i\}\subset H$ -- последовательность единичных векторов. Она называется
{\бф \блуе почти инвариантной}, если для каждого компакта
$K\subset G$, имеем $\lim_i\diam(K\xi_i)=0$

\определение
Группа $G$ {\бф \блуе удовлетворяет свойству Каждана (Т)},
если любое унитарное  представление $G$,
содержащее почти инвариантные векторы, содержит $G$-инвариантный вектор.

\теорема 
{\бф \ред Группа $SL(n,\R)$ обладает свойством Каждана (Т) для каждого $n>2$
 и не обладает им для $n=2$.}


\предложение
Пусть $G$ -- группа со свойством (Т), $H$ ее представление, 
а $\{\xi_i\}\subset H$ -- почти инвариантная последовательность.
Рассмотрим ортогональную проекцию $\Pi_{inv}:\; H \arrow H^G$
на пространство $G$-инвариантов. {\бф \ред Тогда $\lim_i |\xi_i-\Pi_{inv}(\xi_i)|=0$.}


\newpage


{\бф\блуе Лемма о пинг-понге}

\лемма
Пусть $F$ -- группа, порожденная элементами $a, b$ бесконечного
порядка действует на множестве $X$, а
$A, B\subset X$ -- непересекающиеся подмножества,
такие, что $a^n(B) \subset A$ и $b^n(A) \subset B$
для любых $n\neq 0$. {\бф \ред Тогда $F$ -- свободная группа от двух образующих.}

\доказательство
Слово вида $a^{n_1}b^{n_2} a^{n_3}...b^{n_p}$
называется {\бф \блуе редуцированным}, если все $n_i\neq 0$. Пусть два 
разных редуцированных слова равны в $F$, а никакие слова меньшей длины не равны в $F$.
Оба эти слова заканчиваются на $a^i$ либо на $b^j$, ибо переводят $A$ в $B$ либо $B$ в $A$.
Если степень $b$ и $a$ одного знака, мы
выкинем последнее $b$ или $a$ из обоих, получим слова меньшей
длины, придя к противоречию. Если же одно из них заканчивается на $b^{i}$ а другое
на $b^{-j}$, $i, j >0$, мы умножим оба на $b^j$ справа, и получим равные в $F$
слова, которые заканчиваются на разные буквы, что невозможно.
\ендпрооф

\newpage

{\бф\блуе Лемма о пинг-понге и $SL(2,\Z)$}

\пример
Рассмотрим подгруппу $F\subset SL(2, \Z)$, порожденную $a=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix}$
и $b=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}$. Пусть 
\[ A:=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ |x|< |y|\}\text{\ \ и \ \ }B:=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ |x|> |y|\}.\]
Тогда $a^n(B) \subset A$ и $b^n(A) \subset B$. Значит, $F$ свободна.

\следствие
{\бф \ред $SL(2, \Z)$ не обладает свойством (Т)}.

\доказательство 
$F\subset SL(2,\Z)$ -- свободная подгруппа конечного индекса
{\бф \пурпле (докажите это)}. Свободная группа не обладает
свойством (Т) (лекция 1). 
С другой стороны, {\бф \пурпле свойство (Т) для группы и для ее подгруппы конечного индекса
равносильно.} \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Лемма о центре}

\лемма
Пусть $K\subset H$ -- замкнутое, выпуклое подмножество
гильбертова пространства. {\бф \ред Тогда в $K$ существует вектор минимальной длины, и он
единственный.}

\дшаг
Пусть $r:= \inf_{x\in K} |x|$.
Обозначим за $B_t(0)$ шар с центром в 0 и радиусом $t$.
{\бф \пурпле Любой отрезок в $B_{r+\epsilon}(0)\backslash B_r(0)$ имеет
длину не больше $2 \sqrt{(r+\epsilon)^2 - r^2}$} (катет 
прямоугольного треугольника с гипотенузой $r+\epsilon$ и вторым катетом $r$).

{\бф \греен Шаг 2:}
Если $x,y\in K$ лежат в шаре $B_{r+\epsilon}(0)$, 
они лежат в $B_{r+\epsilon}(0)\backslash B_r(0)$,
то есть расстояние между ними ограничено $2 \sqrt{2r\epsilon + \epsilon^2}$
(шаг 1). Значит, {\бф \пурпле любая последовательность точек $x_i\in K$
такая, что $\lim_i d(0, x_i) =r$, является последовательностью Коши.}
Ее предел -- точка $x\in K$ такая, что $|x| =r$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Лемма о центре и унитарные представления}

\следствие
Пусть $H$ -- унитарное представление $G$, а $v\in H$ -- единичный вектор
такой, что его орбита имеет диаметр меньше $\frac 1 2 $.
{\бф \ред Тогда $H$ содержит неподвижный вектор.}

\доказательство Замыкание выпуклой оболочки орбиты $Gv$ не содержит 0,
а значит, вектор минимальной длины ненулевой и $G$-инвариантный.
\ендпрооф

\упражнение {\бф \блуе (лемма об описанных шарах)}\\
Выведите из этой леммы следующее утверждение. Пусть $K\subset H$ -- ограниченное
подмножество гильбертова пространства. {\бф \ред Тогда существует замнутый
шар наименьшего радиуса, содержащий $K$.} Более того,
 {\бф \ред такой шар -- единственный.}


\newpage

{\бф \блуе Свойство Каждана (Т) для пары}

\определение {\бф \блуе (Маргулис)}
Пусть $G_1 \subset G$ -- подгруппа.
Говорится, что {\бф \блуе свойство (Т) выполнено для пары $(G, G_1)$}
если для любого унитарного представления $G$ с почти инвариантными
векторами, в нем найдется $G_1$-инвариантный вектор.

\определение
Напомню, что {\бф \блуе норма тотальной вариации} на конечных мерах
(не обязательно положительных) есть $|\mu|_{TV}:=\int |\mu|$. 


\теорема
Рассмотрим группу $G=SL(2,\R)\ltimes \R^2$ аффинных движений $\R^2$, сохраняющих
объем, и пусть $G_1=\R^2\subset G$ -- подгруппа переносов. {\бф \ред Тогда
пара $(G, G_1)$ обладает свойством Каждана (Т).}

\дшаг
Пусть $\{\xi_i\}$ -- почти инвариантные векторы в унитарном представлении $H$.
Рассмотрим $H$ как представление $G_1$, и пусть $\mu_i\in M_1(\hat G_1)$
вероятностные меры, которые соответствуют паре $(H, \xi_i)$ по SNAG.
 Поскольку $(g\xi_i, \xi_i)$ сходится к 1 на компактах, 
соответствующие меры $\mu_i$ сходятся к атомарной мере $\delta_0$
в слабой-* топологии. 
Мы получили, что {\бф \пурпле для любого компакта
$K\subset G$, верно $\lim_i\sup_{g\in K} |\mu_i-g(\mu_i)|_{TV}=0$.}

\newpage

{\бф \блуе Свойство Каждана (Т) для пары (2)}

\теорема
Рассмотрим группу $G=SL(2,\R)\ltimes \R^2$ аффинных движений $\R^2$, сохраняющих
объем, и пусть $G_1=\R^2\subset G$ -- подгруппа переносов. {\бф \ред Тогда
пара $(G, G_1)$ обладает свойством Каждана (Т).}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $a, b \in SL(2, \Z)$ такие, как описано выше, а $A, B \subset \R^2$
соответствующие подмножества $\R^2$: 
\[ A:=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ |x|< |y|\}\text{\ \ и \ \ }B:=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ |x|> |y|\}.\]
причем $a^n(B) \subset A$ и $b^n(A) \subset B$.
Выберем $N$ такое, что $|\mu_i-g(\mu_i)|_{TV}< \epsilon$ для компакта $K$, содержащего $a$ и $b$.
для $i>N$. Тогда $\mu_i(B) \geq \mu_i(bA) \geq \mu_i(A) - \epsilon$,
и аналогично $\mu_i(A) \geq \mu_i(B) - \epsilon$. Это дает
$\mu_i(b^2A) + 3 \epsilon \mu_i(B) \geq \mu_i(b^2A)$.
С другой стороны, $Z:=B \backslash b^2A=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ 3y\geq |x|> |y|\}$.
В силу вышеописанного, $\mu_i(Z)\leq 3\epsilon$. Выберем компакт 
$K\subset SL(2, \R)$ таким образом,
чтобы $K(Z)=\R^2$. {\бф \пурпле Тогда $|\mu_i-\delta_0| < 6\epsilon$.}

{\бф \греен Шаг 3:} В силу изложенного, для любых $s\in G_1$, $v\in H$,
имеем $(s(v), v) > 1- 6\epsilon$. В силу леммы о центре,
{\бф \пурпле $H$ содержит $G_1$-инвариантные векторы.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Феномен Маутнера}

\лемма {\бф \блуе (Moore, Mautner)}\\
Пусть $U_+$ -- верхнетреугольная унипотентная подгруппа в $SL(2, \R)$,
$U_+= \begin{pmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, a $H$ -- унитарное
представление. Тогда каждый $U_+$-инвариантный вектор $SL(2,\R)$-инвариантен.

\дшаг 
\[ h_t:=\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ \epsilon & e^{-t}
\end{pmatrix} = u_+\left(\frac{e^t-1}{\epsilon}\right) u_-(\epsilon)
u_+\left( \frac{e^{-t}-1}{\epsilon} \right) \in U^+ u_-(\epsilon) U^+,
\]
где $u_-(\epsilon)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ \epsilon &
1\end{pmatrix}$.  Из $U_+$-инвариантности $v\in H$ получаем
$(h_t(v), v)=(u_-(\epsilon)v, v)$

{\бф \греен шаг 2:} В силу непрерывности $u_-(\epsilon)v$
как функции от $\epsilon$ получаем, что
$\lim\limits_{\epsilon\mapsto 0} u_-(\epsilon)v= v$,
что влечет $(h_t(v), v)=(v,v)$ и $h_t$-инвариантность $v$.

{\бф \греен шаг 3:} С другой стороны, $h_tu_-(s) h_{-t}=u_-(e^{-t}s)$.
Поэтому $(u_-(s)v, v)=(u_-(e^{-t}s)v, v)$.
Устремляя $t$ к бесконечности и пользуясь непрерывностью
представления,  получаем $(u_-(s)v,v)=(v,v)$. Значит,
$v$ инвариантен относительно $u_-$, $h_t$ и $u_+$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Теорема Каждана для $SL(3,\R)$}

\теорема {\бф \ред Группа $SL(3,\R)$ обладает свойством Каждана (Т).}

\дшаг Пусть $H$ -- представление $SL(3,\R)$ с почти
инвариантными векторами. 
Рассмотрим пространство $A$ векторов вида $(1, x, y)$.
Легко видеть, что стабилизатор $A$ в $SL(3,\R)$ есть
аффинная группа $SL(2,\R)\ltimes \R^2$. В силу свойства
(Т) для пары $SL(2,\R)\ltimes \R^2, \R^2$, 
{\бф \пурпле в $H$ есть вектор $v$, инвариантный относительно подгруппы
$P\cong \begin{pmatrix} 1 & 0 & * \\ 0 & 1 & * \\ 0 & 0 &
1 \end{pmatrix} \subset SL(3,\R)$,} которая действует на $A$ параллельными
переносами. 

{\бф \греен Шаг 2:} В силу феномена Маутнера, 
$v$ также инвариантен относительно групп
$\begin{pmatrix} * & 0 & * \\ 0 & 1 & 0 \\
* & 0 & * \end{pmatrix}$
и $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & * & *
\\ 0 & * & * \end{pmatrix}$.
Легко усмотреть (например, взяв сумму соответствующих
алгебр Ли), что {\бф \пурпле такие подгруппы порождают все $SL(3,\R)$,
а значит, $v$ $SL(3,\R)$-инвариантен.} \ендпрооф


\end{document}
