\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\sf const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}} \newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Свойство (Т), лекция 3 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Свойство (Т) Каждана \\[15mm] \small лекция 3: Конструкция Гельфанда-Наймарка-Сегала} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 31 июля 2016 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия VI"\\[2mm] 24 - 31 июля, 2016, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \newpage {\бф\блуе Ядра положительного типа} \определение Пусть $X$ -- топологическое пространство, а $\rho$ -- непрерывная функция на $X\times X$, удовлетворяющая $\rho(x,y) = \rho(y,x)$. {\бф \блуе Финитная функция} на $X$ есть комплекснозначная функция, которая равна нулю вне конечного множества точек на $X$. Обозначим за $F_{x_i, c_i}$ функцию, которая принимает значение $c_i$ на точке $x_i$, и равна нулю вне $c_i$. Функция $\rho$ называется {\бф \блуе ядром положительного типа}, если для любой финитной функции $F_{x_i, c_i}$ верно $\sum_{i} \rho(x_i, x_j) c_i \bar c_j\geq 0$. Обозначим полученную полуэрмитову форму на финитных функциях за $B_\rho$, \[ B_\rho(F_{x_i, c_i}, F_{x_i', c_i'})= \sum_{i} \rho(x_i, x_j') c_i \bar c_j'. \] \newpage {\бф\блуе Конструкция Гельфанда-Наймарка-Сегала} \теорема {\бф \блуе (Конструкция Гельфанда-Наймарка-Сегала: GNS)}\\ Пусть $\rho$ -- ядро положительного типа на $X$. Тогда {\бф \ред существует гильбертово пространство $(H,h)$ и непрерывное отображение $P_\rho:\; X \arrow H$ такое, что для любых $x,y\in H$, имеем $\rho(x,y)=h(P_\rho(x), P_\rho(y))$.} Более того, {\бф \ред каждое непрерывное отображение $X \arrow H$ с плотным образом получается таким образом. } \доказательство Пусть $H_0$ -- пространство финитных функций на $X$, снабженное метрикой $B_\rho$. Это эрмитово векторное пространство, свободно порожденное точками $X$, с полуэрмитовой метрикой, которая определяется из формулы $h(x,y):=\rho(x,y)$. Эта метрика неотрицательно определена, поскольку $\rho$ это ядро. Обозначим за $H$ пополнение $H_0$ в этой метрике, профакторизованное по всем векторам с квадратом 0. {\бф \пурпле Тавтологическое отображение $P_\rho:\; X\arrow H$, очевидно, удовлетворяет $\rho(x,y)=h(P_\rho(x), P_\rho(y))$.} Если мы начали с какого-то отображения $P_\rho$, $\rho$ из него восстанавливается тавтологически, так что эта конструкция обратима. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Свойства ядер положительного типа} \теорема Для любых ядер $\rho$, $\mu$ положительного типа, {\бф \ред следующие функции -- тоже ядра:} (а) $\rho_1(x,y):= \overline{\rho(y,x)}$, (б) $t\rho$ для любого $t\in \R^{\geq 0}$ (в) сумма $\rho+\mu$ (г) произведение $\rho\mu$ (д) поточечный предел любого семейства ядер. \доказательство (а), (б), (в), (д) очевидно, (г) получается применением GNS к тензорному произведению гильбертовых пространств. \ендпрооф Другими словами, {\бф \пурпле пространство ядер положительного типа -- выпуклый конус, замкнутый относительно умножения и взятия поточечных пределов.} \невпаге {\бф\блуе Унитарные представления (повторение)} \определение \определение {\бф \блуе Топологическая группа} есть группа $G$, снабженная топологией, таким образом, что операции умножения и взятия обратного непрерывны. {\бф \пурпле Топология на $G$ предполагается метризуемой,} в частности -- хаусдорфовой. \определение {\бф \блуе Унитарное представление} группы $G$ есть гомоморфизм из $G$ в группу линейных изометрий гильбертова пространства $H$ такой, что функция $h \arrow g(h)$ непрерывна как функция $g$ для любого $h\in H$. \определение {\бф \блуе Неприводимое представление} есть представление $G$ в гильбертовом пространстве $H$ такое, что $H$ не содержит {\бф \блуе подпредставлений}, то есть замкнутых, $G$-инвариантных подпространств. \определение Пусть $H$ -- унитарное представление группы $G$. Вектор $x\in H$ называется {\бф \блуе циклическим}, если $H$ есть минимальное подпредставление $H$, содержащее $x$. \замечание {\бф \пурпле Все ненулевые векторы в неприводимом представлении циклические.} Также {\бф \пурпле циклические векторы содержатся во многих приводимых представлениях.} \newpage {\бф\блуе Функции положительного типа на группе} \определение {\бф \блуе Функция положительного типа} на топологической группе $G$ есть непрерывная функция $\phi:\;G\arrow \C$ такая, что $\rho(g, g_1):= \phi(g_1^{-1}g)$ ядро положительного типа. Иначе говоря, функции положительного типа суть $G$-инвариантные ядра положительного типа. \замечание Пусть $(H,h)$ -- унитарное представление группы $G$, а $x\in H$ -- любой вектор. {\бф \пурпле Тогда $\phi(g):= h(g(x), x)$ есть функция положительного типа.} Действительно, $g, g_1 \arrow h(g_1^{-1}g(x), y)= h(g(x), g_2(y))$ -- положительно определенное ядро на $G$. \теорема {\бф \блуе (GNS-конструкция для унитарных представлений)}\\ Пусть $\phi$ -- функция положительного типа. {\бф \ред Тогда существует представление $(H,h)$ группы $G$ и циклический вектор $x\in H$ такой, что $\phi(g)= h(g(x),x)$.} Более того, это представление однозначно определяется функцией $\phi$. \доказательство Применим GNS-конструкцию к $G$ и ядру $\rho(g, g_1):=h(g_1^{-1}g(x), x)$. Соответствующее пространство финитных функций $H_0$ состоит из линейных комбинаций вида $\sum c_i g_i(x)$, и $g$ на нем действует по формуле $g\left(\sum c_i g_i(x)\right)=\sum c_i gg_i(x)$, то есть изометриями. Пополнение $H_0$, профакторизованное по ядру формы $B_\rho$, есть замыкание векторов вида $g(x)$, то есть $x=e(x)$ там циклический. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Функции положительного типа и неприводимые представления} \определение Пусть $C$ замкнутый, выпуклый конус в топологическом векторном пространстве. {\бф \блуе Экстремальный вектор} $C$ есть вектор $v\in C$ такой, что для любого разложения $v=v_1+v_2$, $v_1, v_2 \in C$, векторы $v_1$ и $v_2$ пропорциональны $v$. \замечание Если $\phi, \psi$ -- две функции положительного типа на $G$, а $H_\phi$, $H_\psi$ соответствующие унитарные представления, то $\phi+\psi$ соответствует прямой сумме представлений. Поэтому {\бф \ред неприводимые представления соответствуют экстремальным векторам в пространстве функций положительного типа.} \замечание Пусть $P_1(G)$ есть пространство функций положительного типа на группе, таких, что $\phi(e)=1$. Поскольку в унитарном представлении $|h(g(x),x)| \leq |x|^2=1$, все функции из $P_1(G)$ ограниченны. Поскольку поточечный предел функций из $P_1(G)$ снова лежит в $P_1(G)$, {\бф \пурпле из теоремы Тихонова о компактности следует, что $P_1(G)$ компактно.} \замечание "Поточечную топологию" более правильно называть {\бф \блуе слабой-* топологией}. Это самая слабая топология на функциях на множестве $X$, в которой отображение $f\arrow f(x)$ непрерывно для каждой точки $x\in X$. %{\бф \греен Теорема Райкова:} Пусть $G$ -- локально компактная группа. %{\бф \ред Тогда на множестве $P_1(G)$ слабая-$*$ топология эквивалентна топологии %равномерной сходимости на компактах.} % %\доказательство %Топология равномерной сходимости на компактах, очевидно, сильнее, чем %слабая-$*$ топология, соответственно, достаточно доказать, что %тождественное отображение из $P_1(G)$ со слабой-$*$ топологией в %$P_1(G)$ с топологией равномерной сходимости на компактах %непрерывно. Непрерывные функции на компакте \newpage {\бф\блуе Двойственность Понтрягина} Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа. Гомоморфизм $G \arrow S^1$ называется {\бф\блуе характером} $G$. Интерпретируя такие гомоморфизмы как 1-мерные унитарные представления $G$, мы можем снабдить группу $\hat G$ характеров топологией Фелла. Оно называется {\бф \блуе группой, двойственной по Понтрягину} к $G$. Имеет место тавтологическое отображение $G \arrow \hat{\hat G}$. \теорема {\бф \блуе ("Двойственность Понтрягина")} Для каждой локально компактной абелевой группы $G$, двойственная по Понтрягину группа $\hat G$ тоже локально компактна. Более того, {\бф \ред тавтологическое отображение $G \arrow \hat {\hat G}$ -- изоморфизм.} \теорема Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа. {\бф \ред Неприводимые унитарные представления $G$ одномерны, и соответствуют характерам.} \доказательство Следует из спектральной теоремы. \ендпрооф \следствие {\бф \пурпле Экстремальные точки в конусе функций положительного типа суть отображения вида $g \arrow u\chi(g)$, где $\chi\in \hat G$.} \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Вероятностные меры} \определение {\бф \блуе Вероятностная мера} есть интегрируемая комплексно-значная функция $\mu$ такая, что $\int_X |\mu|=1$. На вероятностных мерах определена {\бф \блуе слабая-$*$ топология:} слабейшая топология такая, что $f\arrow \int_X \mu f$ непрерывно для любой непрерывной, ограниченной функции $f$. \определение Обозначим за $M_1(X)$ пространство вероятностных борелевских мер. Легко видеть, что $M_1(X)$ это выпуклый конус. Определим {\бф \блуе атомарную меру} как такую меру $\delta_x$, что $\mu(U)=1$ $\Leftrightarrow$ $U$ содержит $x$. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле экстремальные точки в конусе $M(X)$ конечных мер есть меры вида $u\delta_x$, где $u\in \R$.} \упражнение Пусть $M_{\leq 1}(X)$ -- все меры в $M_1(X)$ такие, что $\int_X |\mu|\leq 1$. Докажите, что {\бф\ред $M_{\leq 1}(X)$ компактно в слабой-$*$ топологии}. \newpage {\бф\блуе Преобразование Фурье на локально компактной абелевой группе} \определение Пусть $G$ -- локально компактная группа, а $\mu$ -- вероятностная мера на $\hat G$. {\бф \блуе Преобразование Фурье} $\hat \mu$ есть функция на $G$, заданная \[ \hat \mu(g):= \int_{\chi\in \hat G} \chi(g)d\hat G, \] где $d\hat G$ есть мера Хаара на $\hat G$, а $\chi:\; G \arrow S^1$ -- точка $\hat G$, то есть характер. \утверждение {\бф \ред Для каждой вероятностной меры $\mu$ на $\hat G$, функция $\hat \mu$ -- положительного типа.} \доказательство Меры на $\hat G$ образуют выпуклый конус, как и функции положительного типа на $G$. В силу теоремы Крейна-Мильмана, достаточно доказать, что $\hat \mu$ -- функция положительного типа, если $\mu$ -- экстремальная точка в конусе мер. Такие меры имеют вид $\mu:=\delta_\chi$, где $\chi\in \hat G$. Для такой меры, $\hat\mu(g)= \chi(g)$. Рассмотрим $g\arrow \chi(g)$ как одномерное представление $G$, порожденное вектором $v$. {\бф \пурпле Тогда $h(g(v), v)=\chi(g)=\hat\mu$, то есть это функция положительного типа.} \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Теорема Бохнера} \теорема {\бф \блуе (теорема Бохнера)}\\ Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа, $M_1(\hat G)$ -- пространство вероятностных мер на $\hat G$, а $P_1(G)$ -- пространство функций $f$ положительного типа с условием $f(e)=1$. {\бф \ред Тогда отображение $\mu \arrow \hat \mu$ индуцирует биекцию между $M_1(\hat G)$ и $P_1(G)$.} \доказательство Легко видеть, что $\hat \mu(e)=\int_{\hat G}\mu$, так что преобразование Фурье переводит $M_1(\hat G)$ в $P_1(G)$. Оно инъективно в силу обратимости преобразования Фурье, и непрерывно в слабой-$*$ топологии. Сюрьективность легко следует из того, что экстремальные точки конуса переходят в экстремальные точки. \ендпрооф \следствие {\бф \блуе (SNAG: Stone, Naimark, Ambrose, Godement)}\\ Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа. {\бф \ред Классы изоморфизма пар (унитарное представление $G$, циклический вектор в нем) биективно соответствуют мерам $\mu \in M_1(\hat G)$.} \доказательство Получается сразу из применения GNS-конструкции к к пространству $P_1(G)=M_1(\hat G)$. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Свойство Каждана (Т) (повторение)} \определение Напомню, что {\бф\блуе диаметр} метрического пространства $M$ есть $\diam(M):= \sup_{x,y\in M} d(x,y)$. Пусть $H$ есть унитарное представление локально компактной группы $G$, а $\{\xi_i\}\subset H$ -- последовательность единичных векторов. Она называется {\бф \блуе почти инвариантной}, если для каждого компакта $K\subset G$, имеем $\lim_i\diam(K\xi_i)=0$ \определение Группа $G$ {\бф \блуе удовлетворяет свойству Каждана (Т)}, если любое унитарное представление $G$, содержащее почти инвариантные векторы, содержит $G$-инвариантный вектор. \теорема {\бф \ред Группа $SL(n,\R)$ обладает свойством Каждана (Т) для каждого $n>2$ и не обладает им для $n=2$.} \предложение Пусть $G$ -- группа со свойством (Т), $H$ ее представление, а $\{\xi_i\}\subset H$ -- почти инвариантная последовательность. Рассмотрим ортогональную проекцию $\Pi_{inv}:\; H \arrow H^G$ на пространство $G$-инвариантов. {\бф \ред Тогда $\lim_i |\xi_i-\Pi_{inv}(\xi_i)|=0$.} \newpage {\бф\блуе Лемма о пинг-понге} \лемма Пусть $F$ -- группа, порожденная элементами $a, b$ бесконечного порядка действует на множестве $X$, а $A, B\subset X$ -- непересекающиеся подмножества, такие, что $a^n(B) \subset A$ и $b^n(A) \subset B$ для любых $n\neq 0$. {\бф \ред Тогда $F$ -- свободная группа от двух образующих.} \доказательство Слово вида $a^{n_1}b^{n_2} a^{n_3}...b^{n_p}$ называется {\бф \блуе редуцированным}, если все $n_i\neq 0$. Пусть два разных редуцированных слова равны в $F$, а никакие слова меньшей длины не равны в $F$. Оба эти слова заканчиваются на $a^i$ либо на $b^j$, ибо переводят $A$ в $B$ либо $B$ в $A$. Если степень $b$ и $a$ одного знака, мы выкинем последнее $b$ или $a$ из обоих, получим слова меньшей длины, придя к противоречию. Если же одно из них заканчивается на $b^{i}$ а другое на $b^{-j}$, $i, j >0$, мы умножим оба на $b^j$ справа, и получим равные в $F$ слова, которые заканчиваются на разные буквы, что невозможно. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Лемма о пинг-понге и $SL(2,\Z)$} \пример Рассмотрим подгруппу $F\subset SL(2, \Z)$, порожденную $a=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ и $b=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}$. Пусть \[ A:=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ |x|< |y|\}\text{\ \ и \ \ }B:=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ |x|> |y|\}.\] Тогда $a^n(B) \subset A$ и $b^n(A) \subset B$. Значит, $F$ свободна. \следствие {\бф \ред $SL(2, \Z)$ не обладает свойством (Т)}. \доказательство $F\subset SL(2,\Z)$ -- свободная подгруппа конечного индекса {\бф \пурпле (докажите это)}. Свободная группа не обладает свойством (Т) (лекция 1). С другой стороны, {\бф \пурпле свойство (Т) для группы и для ее подгруппы конечного индекса равносильно.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Лемма о центре} \лемма Пусть $K\subset H$ -- замкнутое, выпуклое подмножество гильбертова пространства. {\бф \ред Тогда в $K$ существует вектор минимальной длины, и он единственный.} \дшаг Пусть $r:= \inf_{x\in K} |x|$. Обозначим за $B_t(0)$ шар с центром в 0 и радиусом $t$. {\бф \пурпле Любой отрезок в $B_{r+\epsilon}(0)\backslash B_r(0)$ имеет длину не больше $2 \sqrt{(r+\epsilon)^2 - r^2}$} (катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $r+\epsilon$ и вторым катетом $r$). {\бф \греен Шаг 2:} Если $x,y\in K$ лежат в шаре $B_{r+\epsilon}(0)$, они лежат в $B_{r+\epsilon}(0)\backslash B_r(0)$, то есть расстояние между ними ограничено $2 \sqrt{2r\epsilon + \epsilon^2}$ (шаг 1). Значит, {\бф \пурпле любая последовательность точек $x_i\in K$ такая, что $\lim_i d(0, x_i) =r$, является последовательностью Коши.} Ее предел -- точка $x\in K$ такая, что $|x| =r$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Лемма о центре и унитарные представления} \следствие Пусть $H$ -- унитарное представление $G$, а $v\in H$ -- единичный вектор такой, что его орбита имеет диаметр меньше $\frac 1 2 $. {\бф \ред Тогда $H$ содержит неподвижный вектор.} \доказательство Замыкание выпуклой оболочки орбиты $Gv$ не содержит 0, а значит, вектор минимальной длины ненулевой и $G$-инвариантный. \ендпрооф \упражнение {\бф \блуе (лемма об описанных шарах)}\\ Выведите из этой леммы следующее утверждение. Пусть $K\subset H$ -- ограниченное подмножество гильбертова пространства. {\бф \ред Тогда существует замнутый шар наименьшего радиуса, содержащий $K$.} Более того, {\бф \ред такой шар -- единственный.} \newpage {\бф \блуе Свойство Каждана (Т) для пары} \определение {\бф \блуе (Маргулис)} Пусть $G_1 \subset G$ -- подгруппа. Говорится, что {\бф \блуе свойство (Т) выполнено для пары $(G, G_1)$} если для любого унитарного представления $G$ с почти инвариантными векторами, в нем найдется $G_1$-инвариантный вектор. \определение Напомню, что {\бф \блуе норма тотальной вариации} на конечных мерах (не обязательно положительных) есть $|\mu|_{TV}:=\int |\mu|$. \теорема Рассмотрим группу $G=SL(2,\R)\ltimes \R^2$ аффинных движений $\R^2$, сохраняющих объем, и пусть $G_1=\R^2\subset G$ -- подгруппа переносов. {\бф \ред Тогда пара $(G, G_1)$ обладает свойством Каждана (Т).} \дшаг Пусть $\{\xi_i\}$ -- почти инвариантные векторы в унитарном представлении $H$. Рассмотрим $H$ как представление $G_1$, и пусть $\mu_i\in M_1(\hat G_1)$ вероятностные меры, которые соответствуют паре $(H, \xi_i)$ по SNAG. Поскольку $(g\xi_i, \xi_i)$ сходится к 1 на компактах, соответствующие меры $\mu_i$ сходятся к атомарной мере $\delta_0$ в слабой-* топологии. Мы получили, что {\бф \пурпле для любого компакта $K\subset G$, верно $\lim_i\sup_{g\in K} |\mu_i-g(\mu_i)|_{TV}=0$.} \newpage {\бф \блуе Свойство Каждана (Т) для пары (2)} \теорема Рассмотрим группу $G=SL(2,\R)\ltimes \R^2$ аффинных движений $\R^2$, сохраняющих объем, и пусть $G_1=\R^2\subset G$ -- подгруппа переносов. {\бф \ред Тогда пара $(G, G_1)$ обладает свойством Каждана (Т).} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $a, b \in SL(2, \Z)$ такие, как описано выше, а $A, B \subset \R^2$ соответствующие подмножества $\R^2$: \[ A:=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ |x|< |y|\}\text{\ \ и \ \ }B:=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ |x|> |y|\}.\] причем $a^n(B) \subset A$ и $b^n(A) \subset B$. Выберем $N$ такое, что $|\mu_i-g(\mu_i)|_{TV}< \epsilon$ для компакта $K$, содержащего $a$ и $b$. для $i>N$. Тогда $\mu_i(B) \geq \mu_i(bA) \geq \mu_i(A) - \epsilon$, и аналогично $\mu_i(A) \geq \mu_i(B) - \epsilon$. Это дает $\mu_i(b^2A) + 3 \epsilon \mu_i(B) \geq \mu_i(b^2A)$. С другой стороны, $Z:=B \backslash b^2A=\{(x,y)\in \R^2\ \ |\ \ 3y\geq |x|> |y|\}$. В силу вышеописанного, $\mu_i(Z)\leq 3\epsilon$. Выберем компакт $K\subset SL(2, \R)$ таким образом, чтобы $K(Z)=\R^2$. {\бф \пурпле Тогда $|\mu_i-\delta_0| < 6\epsilon$.} {\бф \греен Шаг 3:} В силу изложенного, для любых $s\in G_1$, $v\in H$, имеем $(s(v), v) > 1- 6\epsilon$. В силу леммы о центре, {\бф \пурпле $H$ содержит $G_1$-инвариантные векторы.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Феномен Маутнера} \лемма {\бф \блуе (Moore, Mautner)}\\ Пусть $U_+$ -- верхнетреугольная унипотентная подгруппа в $SL(2, \R)$, $U_+= \begin{pmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, a $H$ -- унитарное представление. Тогда каждый $U_+$-инвариантный вектор $SL(2,\R)$-инвариантен. \дшаг \[ h_t:=\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ \epsilon & e^{-t} \end{pmatrix} = u_+\left(\frac{e^t-1}{\epsilon}\right) u_-(\epsilon) u_+\left( \frac{e^{-t}-1}{\epsilon} \right) \in U^+ u_-(\epsilon) U^+, \] где $u_-(\epsilon)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ \epsilon & 1\end{pmatrix}$. Из $U_+$-инвариантности $v\in H$ получаем $(h_t(v), v)=(u_-(\epsilon)v, v)$ {\бф \греен шаг 2:} В силу непрерывности $u_-(\epsilon)v$ как функции от $\epsilon$ получаем, что $\lim\limits_{\epsilon\mapsto 0} u_-(\epsilon)v= v$, что влечет $(h_t(v), v)=(v,v)$ и $h_t$-инвариантность $v$. {\бф \греен шаг 3:} С другой стороны, $h_tu_-(s) h_{-t}=u_-(e^{-t}s)$. Поэтому $(u_-(s)v, v)=(u_-(e^{-t}s)v, v)$. Устремляя $t$ к бесконечности и пользуясь непрерывностью представления, получаем $(u_-(s)v,v)=(v,v)$. Значит, $v$ инвариантен относительно $u_-$, $h_t$ и $u_+$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Теорема Каждана для $SL(3,\R)$} \теорема {\бф \ред Группа $SL(3,\R)$ обладает свойством Каждана (Т).} \дшаг Пусть $H$ -- представление $SL(3,\R)$ с почти инвариантными векторами. Рассмотрим пространство $A$ векторов вида $(1, x, y)$. Легко видеть, что стабилизатор $A$ в $SL(3,\R)$ есть аффинная группа $SL(2,\R)\ltimes \R^2$. В силу свойства (Т) для пары $SL(2,\R)\ltimes \R^2, \R^2$, {\бф \пурпле в $H$ есть вектор $v$, инвариантный относительно подгруппы $P\cong \begin{pmatrix} 1 & 0 & * \\ 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \subset SL(3,\R)$,} которая действует на $A$ параллельными переносами. {\бф \греен Шаг 2:} В силу феномена Маутнера, $v$ также инвариантен относительно групп $\begin{pmatrix} * & 0 & * \\ 0 & 1 & 0 \\ * & 0 & * \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}$. Легко усмотреть (например, взяв сумму соответствующих алгебр Ли), что {\бф \пурпле такие подгруппы порождают все $SL(3,\R)$, а значит, $v$ $SL(3,\R)$-инвариантен.} \ендпрооф \end{document}