
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\sf const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}}
\newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Свойство (Т), лекция 1 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Свойство (Т) Каждана \\[15mm]
\small лекция 1: топология Фелла}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[10mm] \tiny 
25 июля 2016
\\[20mm]

{\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия VI"\\[2mm]
24 - 31 июля, 2016, ЯГПУ, Ярославль, Россия

}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Гильбертово пространство}

\определение
{\бф \блуе Гильбертово пространство} есть комплексное векторное пространство, 
снабженное эрмитовой структурой, и полное в соответствующей метрике.
Оно также предполагается {\бф\блуе сепарабельным} (то есть имеющим
счетное, плотное подмножество).

\упражнение Докажите, что {\бф \пурпле все гильбертовы пространства изоморфны.}

\замечание
{\бф \блуе Норма} оператора $A$ на гильбертовом пространстве $H$
есть $\|A\|:=\sup_{v\in H} \frac{|A(v)|}{|v|}$.

\упражнение Проверьте, что {\бф \пурпле оператор $A$ непрерывен тогда и только тогда,
когда его норма ограниченна.}

\замечание 
На группе $U(H)$ изометрий гильбертова пространства
задана {\бф \блуе сильная топология}: это топология, в 
которой база окрестностей точки $u\in U(H)$ порождается множествами $A(x, \epsilon)$,
где $x\in H$, а $\epsilon >0$: $A(x, \epsilon)$ это
все автоморфизмы $v\in U(H)$ такие, что $|u(x)-v(x)| <\epsilon$.

\newpage

{\бф\блуе Унитарные представления}

\определение
 \определение
 {\бф \блуе Топологическая группа}
 есть группа $G$, снабженная топологией,
 таким образом, что операции умножения
 и взятия обратного непрерывны. {\бф \пурпле 
 Топология на $G$  предполагается метризуемой,} в  частности
  -- хаусдорфовой.

\определение
{\бф \блуе Унитарное представление} группы $G$ есть гомоморфизм
из $G$ в группу линейных изометрий гильбертова пространства, 
непрерывный (в сильной топологии) на каждом компакте $K\subset G$.

\определение 
{\бф \блуе Неприводимое представление} есть представление $G$ в гильбертовом
пространстве $H$ такое, что $H$ не содержит {\бф \блуе подпредставлений},
то есть замкнутых, $G$-инвариантных подпространств.

\newpage

{\бф\блуе Борелевские меры}

\определение {\бф \блуе Борелевские подмножества} топологического
пространства суть подмножества, полученные из открытых счетным числом
применений операций взятия объединения, пересечения и дополнения.

\определение
{\бф \блуе Борелевская мера} есть счетно-аддитивная мера на 
борелевских множествах.

\определение
Пусть $G$ -- топологическая группа, $g\in G$ ее элемент. 
Обозначим за $L^g:\; G \arrow G$ операцию {\бф\блуе действия группы слева}, 
$x\arrow gx$, а за $R^g$ -- {\бф\блуе правое действие}, $x \arrow x g^{-1}$.
Борелевская мера $\mu$ называется {\бф\блуе лево-инвариантной},
если $L^g_*(\mu)= \mu$, для любого $g\in G$, и {\бф\блуе право-инвариантной},
если $R^g_*(\mu)= \mu$.

\определение
Борелевская мера называется {\бф\блуе локально конечной}, если
у каждой точки есть окрестность, мера которой конечна.

\замечание
Пусть $K$ компактно, а мера $\mu$ локально конечна.
{\бф \пурпле Тогда $\mu(K)$ конечно (докажите это).}

\newpage

{\бф\блуе Мера Хаара}

\определение
{\бф\блуе Левая (правая) мера Хаара} 
на топологической группе есть лево-  или правоинвариантная 
локально конечная борелевская мера на $G$.


\пример
Рассмотрим $\R^n$ как топологическую группу,
с аддитивной групповой структурой. {\бф \пурпле Тогда
мера Лебега на $\R^n$ является мерой Хаара}
(и правой, и левой, так как $\R^n$ коммутативная группа).


\теорема
На любой локально компактной группе $G$
{\бф \ред существует мера Хаара, как правая, так и левая}. 
Обе меры единственны с точностью до константы.


\newpage

{\бф\блуе Регулярное представление}

\определение
Топологическое пространство называется {\бф \блуе локально компактным},
если у него есть база окрестностей $U_i$, замыкания которых компактны,
и {\бф \блуе $\sigma$-компактным,} если оно есть счетное объединение компактов.
{\бф \блуе Локально компактная группа} есть топологическая группа,
которая локально компактна. В дальнейшем {\бф \пурпле локально компактные
группы будут по умолчанию предполагаться $\sigma$-компактными.}


\определение 
Пусть $G$ локально компактная группа, $\mu$ мера Хаара,
а $L^2(G)$ -- пополнение пространствa всех непрерывных функций $f$ с $\int_G|f|^2\mu<\infty$
по метрике, определенной как $|f|:= \sqrt{\int_G|f|^2\mu}$ (такие функции 
называются {\бф \блуе $L^2$-интегрируемыми}). Группа $G$ действует
на себе сдвигами: $g(x)=gx$, это определяет действие на $L^2$-интегрируемых 
функциях. Пространство $L^2(G)$ называется {\бф \блуе регулярным 
представлением} $G$.

Следующая теорема является неплохой задачей (олимпиадного уровня); пользоваться ей мы не будем.

\теорема {\бф \блуе (Петер-Вейль)}\\
Пусть $G$ -- компактная группа. {\бф \ред Тогда любое неприводимое унитарное 
представление $G$ компактно и является прямым слагаемым регулярного.}

\newpage

{\бф\блуе Топология Фелла}

\определение
Пусть $\tilde G$ -- множество классов эквивалентности
унитарных представлений $G$, $\rho:\; G \arrow U(H)$ -- ее унитарное
представление а $K\subset G$ какой-то компакт.
Обозначим за $W(H, K,\epsilon)$ все 
представления $\rho:\; G \arrow U(H')$ такие,
что для каких-то единичных векторов $v\in H, v'\in H'$, имеем
 $\sup_{g\in K} \left||g(v)-v| - |v'-g(v')|\right|<\epsilon$.
Топология на $\tilde G$, заданная предбазой из всех $W(H, K,\epsilon)$,
называется {\бф \блуе топология Фелла}.

\замечание
{\бф \ред Эта топология нехаусдорфова.} Действительно,
{\бф \пурпле каждое подпредставление $H_1\subset H$ содержится в замыкании $H$.}

\определение
Локально компактная группа $G$ {\бф \блуе обладает свойством Каждана (Т)}, 
если любое представление $G$, в замыкании которого лежит тривиальное представление
${\Bbb I}_G$, содержит неподвижный вектор.

\теорема {\бф \блуе (Delorme-Guichardet)}
Группа $G$ обладает свойством Каждана (Т) {\бф \ред  тогда и только тогда,
когда для любого действия $G$ аффинными изометриями на
гильбертовом пространстве $H$, 
$G$ сохраняет какую-то
точку $h\in H$.}


\невпаге

{\бф \блуе О связи дуального пространства группы...}

\epsfig{file=Kazhdan-paper-1967.png,width=0.7\linewidth}


\невпаге

{\бф \блуе Д. А. Каждан}


\begin{center}
\epsfig{file=David_Kazhdan.jpg,width=0.55\linewidth}\\
David Kazhdan \\
(р. 20 июня 1946)
\end{center}



\невпаге

{\бф \блуе Свойство (Т) для компактных групп}

\теорема
{\бф \ред Пусть $G$ -- компактная топологическая группа. Тогда $G$ обладает свойством (T).}

\дшаг Рассмотрим множество $W({\Bbb I}_G,G,\sqrt 2)$,
где ${\Bbb I}_G$ обозначает тривиальное представление $G$.
Неприводимое представление $H$ содержится в этом множестве
$\Leftrightarrow$ существует единичный вектор $v\in H$ такой, что
$|g(v)-v|<\sqrt 2$, иначе говоря, когда {\бф \пурпле угол между $v$ и $g(v)$ меньше $\pi/2$}
для любого $g\in G$.

{\бф\греен Шаг 2:} Множество всех векторов 
$C_v:=\left\{w\in H\ \ |\ \ \measuredangle(v,w)<\frac {\pi}2 \right\}$
образует выпуклый конус с углом $\pi$ у основания. Значит, {\бф \пурпле выпуклая
оболочка любого подмножества $C_v$ не содержит 0.}

{\бф\греен Шаг 3:} Рассмотрим операцию усреднения $\Av(v):= \frac{\int_G g(v) \mu}{\int_G \mu}$,
где $\mu$ обозначает меру Хаара на $G$. Вектор $\Av(v)$ $G$-инвариантен, и лежит в выпуклой
оболочке орбиты $G\cdot v$, которая лежит в $C_v$. {\бф \пурпле Следовательно, $\Av(v)\neq 0$.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Группы со свойством (Т) конечно порождены}


\теорема
Пусть $G$ -- дискретная группа со свойством (Т). 
{\бф \ред Тогда $G$ конечно порождена.}

\замечание 
Эта теорема -- частный случай следующей. Мы называем
{\бф \блуе компактно порожденной группой} топологическую группу, которая
мультипликативно порождена своим компактным подмножеством.

\теорема
Пусть $G$ -- локально компактная, $\sigma$-компактная группа со свойством (Т). 
{\бф \ред Тогда $G$ компактно порождена.}



\дшаг
Пусть $M_i^\circ$ -- исчерпывающая $G$, монотонно возрастающая 
последовательность открытых множеств с компактными замыканиями $M_i$
а $G_i$ -- порожденные $M_i$ подгруппы. {\бф \пурпле Достаточно доказать, что для какого-то $i$,
группа $G_i$ имеет конечный индекс в $G$} (то есть что фактор-множество $G/G_i$ конечно).

\невпаге

{\бф \блуе Группы со свойством (Т) конечно порождены (2)}

\дшаг
Пусть $M_i$ -- исчерпывающая $G$, монотонно возрастающая 
последовательность открытых множеств с компактными замыканиями, такая,
что $\bar M_i \subset M_{i+1}$, 
а $G_i$ -- порожденные $M_i$ подгруппы. {\бф \пурпле Достаточно доказать, 
что фактор-множество $G/G_i$ конечно}.

{\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $M_i$ открыты, группы $G_i$ открыты.
Значит, факторпространство $G/G_i$ дискретно. Снабдим его мерой таким образом,
что мера любой точки равна 1, и пусть $R_i$ -- пространство $L^2$-интегрируемых
функций на $G/G_i$. {\бф \пурпле Группа $G$ действует на $G/G_i$ слева, превращая 
$R_i=L^2(G/G_i)$  в унитарное представление.}

{\бф \греен Шаг 3:} Поскольку последовательность $M_i$ исчерпывающая
ля каждого компакта $K\subset G$, $K$ целиком лежит в каком-то $М_N$.
Значит, $g(v)=v$ для любого $v\in R_N$ и $g\in K$. Значит, $R_N$ лежит в 
соответствующей окрестности из топологии Фелла: $R_N\in W({\Bbb I}_G, K, \epsilon)$.
Мы получили, что {\бф \пурпле ${\Bbb I}_G$ лежит в замыкании $R_N$.}

{\бф \греен Шаг 4:} Для того, чтобы убедиться, что $G$ не обладает свойством (Т),
{\бф \пурпле осталось доказать, что $R_N$ не содержит инвариантных векторов} (Утверждение 1).
Поскольку $G$ транзитивно действует на бесконечном множестве $G/G_N$,
$G$ не может оставлять на месте никакую $L^2$-интегрируемую функцию.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Двойственность Понтрягина}

Мы будем доказывать такую теорему:

\теорема
Локально компактная абелева группа $G$
{\бф \ред обладает свойством (Т) тогда и только тогда, когда она компактна.}

Ее весьма просто доказать для "разумных" абелевых групп, таких, как
$\Q_p^m$, $\R^k$, $\Z^l$ или их произведений. Для более экзотических
ситуаций, нужна классификационная теорема, роль которой исполняет
двойственность Понтрягина. 


Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа.
Гомоморфизм $G \arrow S^1$ называется {\бф\блуе характером} $G$.
Интерпретируя такие гомоморфизмы как 1-мерные унитарные представления $G$,
мы можем снабдить группу $\hat G$ характеров топологией Фелла.
Оно называется {\бф \блуе группой, двойственной по Понтрягину}
к $G$. Имеет место тавтологическое отображение $G \arrow \hat{\hat G}$.

\теорема {\бф \блуе ("Двойственность Понтрягина")}
Для каждой локально компактной абелевой группы $G$, двойственная
по Понтрягину группа $\hat G$ тоже локально компактна. Более того,
{\бф \ред тавтологическое отображение $G \arrow \hat {\hat G}$ -- изоморфизм.}



\невпаге

{\бф \блуе Множества Фельнера}

\лемма
{\bf \red Группы $\Z$ и $\R$ не обладают свойством (Т).}

\доказательство Пусть $G$ -- локально компактная группа, $\mu$ ее мера Хаара.
{\бф \блуе Фельнеровские подмножества} $F_i\subset G$
суть последовательность монотонно возрастающих подмножеств $F_i\subset G$
таких, что для любого $g\in G$, имеет место 
$\lim_i \frac{\mu(F_i \Delta g(F_i))}{\mu(F_i)}=0$,
где $\Delta$ обозначает симметрическую разность.

Легко видеть, что для $\Z$ и $\R$ можно выбрать $F_i:= [-i, i]$.

Пусть $\chi_i$ -- характеристическая функция $F_i$, модифицированная
в окрестности концов для непрерывности, а $v_i:=\frac{\chi_i}{\sqrt {\int_G |\chi_i|^2 \mu}}$
соответствующий единичный вектор в регулярном представлении. В силу определения
фельнеровских множеств, имеем $\lim_i |g(v_i)-v_i|=0$, то есть ${\Bbb I}_\Z$
лежит в замыкании регулярного представления ${\cal R}(\Z)$. С другой стороны, для
группы $G$ с бесконечной мерой Хаара, никаких $G$-инвариантных векторов в 
${\cal R}(G)$ нет {\бф \пурпле (проверьте это)}.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Свойство (Т) для абелевых групп}

\теорема
Локально компактная абелева группа $G$
{\бф \ред обладает свойством (Т) тогда и только тогда, когда она компактна.}

\дшаг
Из свойства (Т) для группы $G$ следует свойство (Т)
для любых факторгрупп $G/H$ (это тавтология).

{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $U$ -- окрестность нуля, а $G_U$ -- порожденая ей группа.
Поскольку $G_U$ открыта в $U$, $G/G_U$ дискретная группа.
Поскольку $G/G_U$ имеет свойство (Т), она конечно порождена.
Бесконечную конечно порожденную дискретную абелеву группу
можно сюрьективно спроектировать на $\Z$. Поскольку
$\Z$ не имеет свойства (Т), то же верно и для $G$ (Шаг 1).
{\бф \пурпле Мы получили, что в локально компактной абелевой группе
$G$ со свойством (Т),  $G/G_U$ конечно для любой окрестности нуля $U\subset G$}.

{\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим гомоморфизм $\Psi:\; G \arrow \prod_{U_i} G/G_{U_i}$, где
$U_i$ -- все окрестности $U$. {\бф \пурпле Поскольку $\prod_{U_i} G/G_{U_i}$ компактно
(как произведение компактов), ядро $\Psi$ некомпактно. }


\невпаге

{\бф \блуе Свойство (Т) для абелевых групп}

{\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим гомоморфизм $\Psi:\; G \arrow \prod_{U_i} G/G_{U_i}$, где
$U_i$ -- все окрестности $U$. {\бф \пурпле Поскольку $\prod_{U_i} G/G_{U_i}$ компактно
(как произведение компактов), ядро $\Psi$ некомпактно. }

{\бф \греен Шаг 4:} 
Пусть $\xi:=\prod_\alpha\chi_\alpha:\; G \arrow \prod_\alpha S^1$ -- произведение всех характеров.
В силу двойственности Понтрягина, $\xi$ инъективно.
Для каждой компактной окрестности $U\ni 0$, $\xi:\; U \arrow \xi(U)$ -- гомеоморфизм.
Для ростка ${\cal G}$ группы в $\prod_\alpha \R$, связная компонента нуля есть
пересечение всех ростков открытых подгрупп, содержащих ${\cal G}$.
{\бф \пурпле Значит, $\ker\Psi$ -- связная компонента $G$.}

{\бф \греен Шаг 5:} В силу того, что каждый нетривиальный
характер на $\ker\Psi$ сюрьективен, а характеры задают координаты на
$\Psi$, это группа с делением. Поскольку она локально компактна, она
(локально) изоморфна произведению нескольких копий $\R$. 
{\бф \пурпле Поскольку она некомпактна, у ней есть фактор, изоморфный $\R$.}
Применяя шаг 1 и предыдущую лемму, получаем противоречие. 
\ендпрооф






%Любая ограниченная функция $f$ с компактным носителем 
%допускает "преобразование Фурье" $\fat f\in L^2(\hat G)$: если $\hat \mu$ -- мера Хаара на $\hat G$,
%то $f(g) = \int_{\chi\in \hat G} \hat f \chi(g) \hat \mu$,
%где $\hat f \in L^2(\hat G)$  

 


\невпаге

{\бф \блуе Свойство (Т) и коммутант}

\следствие
Пусть $G$ обладает свойством (Т). {\бф \ред Тогда фактор $G$ по 
замыканию коммутанта компактен.}

\доказательство Фактор по коммутанту -- абелева группа со свойством (Т),
значит, она компактна. \ендпрооф

\замечание
Для дискретной группы это дает $H_1(G,\Q)=0$: {\бф \ред первые гомологии и когомологии
группы со свойством (Т) зануляются.}


\невпаге

{\бф \блуе Группы, не обладающие свойством (Т)}

\пример Некомпактные абелевы группы (см. выше).

\пример
{\бф \ред Свободная группа не обладает свойством (Т).} В самом деле,
для любого конечного подмножества $K$ свободной группы ${\Bbb F}_r$ найдется
представление ${\Bbb F}_r\arrow U(H)$, такое, что все элементы
$K$ отвечают поворотам на углы $<\epsilon$, для любых заданных $K$ и $\epsilon$.

\пример Группы $SL(2, \R)$, $U(1,n)$, $SO(1,n)$, $SL(2, \Z)$ не обладают
свойством (Т).   Это связано со следующей теоремой:

\теорема
Пусть группа $G$ со свойством (Т) действует на комплексном или вещественном 
гиперболическом пространстве изометриями. {\бф \ред Тогда у $G$ есть неподвижная точка.}

\замечание Напомню, что {\бф\блуе вещественное гиперболическое пространство}
есть фактор $SO(1,n)/SO(n)$ с $SO(n)$-инвариантной римановой метрикой
{\бф \пурпле (докажите, что она единственна с точностью до константы)}.
 {\бф\блуе Комплексное гиперболическое пространство}
есть фактор $U(1,n)/U(n)$ с $U(n)$-инвариантной римановой метрикой
{\бф \пурпле (докажите, что она единственна с точностью до константы)}.

\невпаге

{\бф \блуе Свойство (Т): применения и перспективы}

Каждан доказывал с помощью свойства (Т) конечную порожденность решеток
в группах Ли (следующая лекция посвящена этому). В дальнейшем, у свойства (Т)
нашлось множество других применений и интерпретаций.

Б. Костант доказал, что группа $Sp(1,n,\Z)$ обладает
свойством (Т). Эта группа {\бф \блуе гиперболична по
Громову}. Громов доказал, что каждая нециклическая группа, гиперболичная по
Громову, допускает континуально много попарно неизоморфных
факторгрупп, где все элементы имеют конечный порядок.
Получаем следствие:

\следствие
{\бф \ред Существует континуально много конечно-порожден\-ных групп,
обладающих свойством (Т), где все элементы имеют конечный
порядок.} В частности, {\бф \пурпле существуют дискретные группы, 
обладающие свойством (Т), но не конечно-представимые}
(они не получаются фактором свободной группы по конечному
 набору соотношений).

\невпаге

{\бф \блуе Свойство (Т): применения и перспективы (2)}

\определение
Пусть $\pi:\; G \arrow U(H)$ -- унитарное представление локально компактной 
группы $G$, $Z^1(G, \pi)$ -- пространство непрерывных на
компактах отображений $b:\; G \arrow H$, удовлетворяющих
$b(gg_1)=b(g)+ \pi(g)(b(g_1))$, a $B^1(G, \pi)$ -- подпространство
в $Z^1(G,\pi)$, порожденное отображениями $b:\; G \arrow H$ вида $b(g)=\pi(g)(v)-v$, где $v\in H$.
{\бф\блуе Пространство первых когомологий $G$ с коэффициентами
в $H$} есть $H^1(G, H):=\frac{Z^1(G,\pi)}{B^1(G, \pi)}$.

\теорема  {\bf \blue (Delorme-Guichardet)}\\
Локально компактная, $\sigma$-компактная группа {\бф \ред имеет
свойство (Т) тогда и только тогда, когда $H^1(G, H)=0$}
для любого унитарного представления $H$.

Используя когомологическую интерпретацию
свойства (Т), И. Шалом доказал, что {\бф \пурпле $SL(n,R)$ обладает свойством
(Т) для $n \geq m+2$, где $m$ есть круллевская размерность
кольца $R$.} В частности, $SL(n, \Z[x_1, ..., x_l])$
обладает свойством (Т) для $n \geq l+2$.

Основное применение свойства (Т) нашло в информатике:
с помощью групп со свойством (Т) строятся графы
экспандеры, имеющие колоссальное практическое значение
("Экспандеры Маргулиса").






\end{document}
