\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\sf const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}} \newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Свойство (Т), лекция 1 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Свойство (Т) Каждана \\[15mm] \small лекция 1: топология Фелла} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 25 июля 2016 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия VI"\\[2mm] 24 - 31 июля, 2016, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Гильбертово пространство} \определение {\бф \блуе Гильбертово пространство} есть комплексное векторное пространство, снабженное эрмитовой структурой, и полное в соответствующей метрике. Оно также предполагается {\бф\блуе сепарабельным} (то есть имеющим счетное, плотное подмножество). \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле все гильбертовы пространства изоморфны.} \замечание {\бф \блуе Норма} оператора $A$ на гильбертовом пространстве $H$ есть $\|A\|:=\sup_{v\in H} \frac{|A(v)|}{|v|}$. \упражнение Проверьте, что {\бф \пурпле оператор $A$ непрерывен тогда и только тогда, когда его норма ограниченна.} \замечание На группе $U(H)$ изометрий гильбертова пространства задана {\бф \блуе сильная топология}: это топология, в которой база окрестностей точки $u\in U(H)$ порождается множествами $A(x, \epsilon)$, где $x\in H$, а $\epsilon >0$: $A(x, \epsilon)$ это все автоморфизмы $v\in U(H)$ такие, что $|u(x)-v(x)| <\epsilon$. \newpage {\бф\блуе Унитарные представления} \определение \определение {\бф \блуе Топологическая группа} есть группа $G$, снабженная топологией, таким образом, что операции умножения и взятия обратного непрерывны. {\бф \пурпле Топология на $G$ предполагается метризуемой,} в частности -- хаусдорфовой. \определение {\бф \блуе Унитарное представление} группы $G$ есть гомоморфизм из $G$ в группу линейных изометрий гильбертова пространства, непрерывный (в сильной топологии) на каждом компакте $K\subset G$. \определение {\бф \блуе Неприводимое представление} есть представление $G$ в гильбертовом пространстве $H$ такое, что $H$ не содержит {\бф \блуе подпредставлений}, то есть замкнутых, $G$-инвариантных подпространств. \newpage {\бф\блуе Борелевские меры} \определение {\бф \блуе Борелевские подмножества} топологического пространства суть подмножества, полученные из открытых счетным числом применений операций взятия объединения, пересечения и дополнения. \определение {\бф \блуе Борелевская мера} есть счетно-аддитивная мера на борелевских множествах. \определение Пусть $G$ -- топологическая группа, $g\in G$ ее элемент. Обозначим за $L^g:\; G \arrow G$ операцию {\бф\блуе действия группы слева}, $x\arrow gx$, а за $R^g$ -- {\бф\блуе правое действие}, $x \arrow x g^{-1}$. Борелевская мера $\mu$ называется {\бф\блуе лево-инвариантной}, если $L^g_*(\mu)= \mu$, для любого $g\in G$, и {\бф\блуе право-инвариантной}, если $R^g_*(\mu)= \mu$. \определение Борелевская мера называется {\бф\блуе локально конечной}, если у каждой точки есть окрестность, мера которой конечна. \замечание Пусть $K$ компактно, а мера $\mu$ локально конечна. {\бф \пурпле Тогда $\mu(K)$ конечно (докажите это).} \newpage {\бф\блуе Мера Хаара} \определение {\бф\блуе Левая (правая) мера Хаара} на топологической группе есть лево- или правоинвариантная локально конечная борелевская мера на $G$. \пример Рассмотрим $\R^n$ как топологическую группу, с аддитивной групповой структурой. {\бф \пурпле Тогда мера Лебега на $\R^n$ является мерой Хаара} (и правой, и левой, так как $\R^n$ коммутативная группа). \теорема На любой локально компактной группе $G$ {\бф \ред существует мера Хаара, как правая, так и левая}. Обе меры единственны с точностью до константы. \newpage {\бф\блуе Регулярное представление} \определение Топологическое пространство называется {\бф \блуе локально компактным}, если у него есть база окрестностей $U_i$, замыкания которых компактны, и {\бф \блуе $\sigma$-компактным,} если оно есть счетное объединение компактов. {\бф \блуе Локально компактная группа} есть топологическая группа, которая локально компактна. В дальнейшем {\бф \пурпле локально компактные группы будут по умолчанию предполагаться $\sigma$-компактными.} \определение Пусть $G$ локально компактная группа, $\mu$ мера Хаара, а $L^2(G)$ -- пополнение пространствa всех непрерывных функций $f$ с $\int_G|f|^2\mu<\infty$ по метрике, определенной как $|f|:= \sqrt{\int_G|f|^2\mu}$ (такие функции называются {\бф \блуе $L^2$-интегрируемыми}). Группа $G$ действует на себе сдвигами: $g(x)=gx$, это определяет действие на $L^2$-интегрируемых функциях. Пространство $L^2(G)$ называется {\бф \блуе регулярным представлением} $G$. Следующая теорема является неплохой задачей (олимпиадного уровня); пользоваться ей мы не будем. \теорема {\бф \блуе (Петер-Вейль)}\\ Пусть $G$ -- компактная группа. {\бф \ред Тогда любое неприводимое унитарное представление $G$ компактно и является прямым слагаемым регулярного.} \newpage {\бф\блуе Топология Фелла} \определение Пусть $\tilde G$ -- множество классов эквивалентности унитарных представлений $G$, $\rho:\; G \arrow U(H)$ -- ее унитарное представление а $K\subset G$ какой-то компакт. Обозначим за $W(H, K,\epsilon)$ все представления $\rho:\; G \arrow U(H')$ такие, что для каких-то единичных векторов $v\in H, v'\in H'$, имеем $\sup_{g\in K} \left||g(v)-v| - |v'-g(v')|\right|<\epsilon$. Топология на $\tilde G$, заданная предбазой из всех $W(H, K,\epsilon)$, называется {\бф \блуе топология Фелла}. \замечание {\бф \ред Эта топология нехаусдорфова.} Действительно, {\бф \пурпле каждое подпредставление $H_1\subset H$ содержится в замыкании $H$.} \определение Локально компактная группа $G$ {\бф \блуе обладает свойством Каждана (Т)}, если любое представление $G$, в замыкании которого лежит тривиальное представление ${\Bbb I}_G$, содержит неподвижный вектор. \теорема {\бф \блуе (Delorme-Guichardet)} Группа $G$ обладает свойством Каждана (Т) {\бф \ред тогда и только тогда, когда для любого действия $G$ аффинными изометриями на гильбертовом пространстве $H$, $G$ сохраняет какую-то точку $h\in H$.} \невпаге {\бф \блуе О связи дуального пространства группы...} \epsfig{file=Kazhdan-paper-1967.png,width=0.7\linewidth} \невпаге {\бф \блуе Д. А. Каждан} \begin{center} \epsfig{file=David_Kazhdan.jpg,width=0.55\linewidth}\\ David Kazhdan \\ (р. 20 июня 1946) \end{center} \невпаге {\бф \блуе Свойство (Т) для компактных групп} \теорема {\бф \ред Пусть $G$ -- компактная топологическая группа. Тогда $G$ обладает свойством (T).} \дшаг Рассмотрим множество $W({\Bbb I}_G,G,\sqrt 2)$, где ${\Bbb I}_G$ обозначает тривиальное представление $G$. Неприводимое представление $H$ содержится в этом множестве $\Leftrightarrow$ существует единичный вектор $v\in H$ такой, что $|g(v)-v|<\sqrt 2$, иначе говоря, когда {\бф \пурпле угол между $v$ и $g(v)$ меньше $\pi/2$} для любого $g\in G$. {\бф\греен Шаг 2:} Множество всех векторов $C_v:=\left\{w\in H\ \ |\ \ \measuredangle(v,w)<\frac {\pi}2 \right\}$ образует выпуклый конус с углом $\pi$ у основания. Значит, {\бф \пурпле выпуклая оболочка любого подмножества $C_v$ не содержит 0.} {\бф\греен Шаг 3:} Рассмотрим операцию усреднения $\Av(v):= \frac{\int_G g(v) \mu}{\int_G \mu}$, где $\mu$ обозначает меру Хаара на $G$. Вектор $\Av(v)$ $G$-инвариантен, и лежит в выпуклой оболочке орбиты $G\cdot v$, которая лежит в $C_v$. {\бф \пурпле Следовательно, $\Av(v)\neq 0$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Группы со свойством (Т) конечно порождены} \теорема Пусть $G$ -- дискретная группа со свойством (Т). {\бф \ред Тогда $G$ конечно порождена.} \замечание Эта теорема -- частный случай следующей. Мы называем {\бф \блуе компактно порожденной группой} топологическую группу, которая мультипликативно порождена своим компактным подмножеством. \теорема Пусть $G$ -- локально компактная, $\sigma$-компактная группа со свойством (Т). {\бф \ред Тогда $G$ компактно порождена.} \дшаг Пусть $M_i^\circ$ -- исчерпывающая $G$, монотонно возрастающая последовательность открытых множеств с компактными замыканиями $M_i$ а $G_i$ -- порожденные $M_i$ подгруппы. {\бф \пурпле Достаточно доказать, что для какого-то $i$, группа $G_i$ имеет конечный индекс в $G$} (то есть что фактор-множество $G/G_i$ конечно). \невпаге {\бф \блуе Группы со свойством (Т) конечно порождены (2)} \дшаг Пусть $M_i$ -- исчерпывающая $G$, монотонно возрастающая последовательность открытых множеств с компактными замыканиями, такая, что $\bar M_i \subset M_{i+1}$, а $G_i$ -- порожденные $M_i$ подгруппы. {\бф \пурпле Достаточно доказать, что фактор-множество $G/G_i$ конечно}. {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $M_i$ открыты, группы $G_i$ открыты. Значит, факторпространство $G/G_i$ дискретно. Снабдим его мерой таким образом, что мера любой точки равна 1, и пусть $R_i$ -- пространство $L^2$-интегрируемых функций на $G/G_i$. {\бф \пурпле Группа $G$ действует на $G/G_i$ слева, превращая $R_i=L^2(G/G_i)$ в унитарное представление.} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку последовательность $M_i$ исчерпывающая ля каждого компакта $K\subset G$, $K$ целиком лежит в каком-то $М_N$. Значит, $g(v)=v$ для любого $v\in R_N$ и $g\in K$. Значит, $R_N$ лежит в соответствующей окрестности из топологии Фелла: $R_N\in W({\Bbb I}_G, K, \epsilon)$. Мы получили, что {\бф \пурпле ${\Bbb I}_G$ лежит в замыкании $R_N$.} {\бф \греен Шаг 4:} Для того, чтобы убедиться, что $G$ не обладает свойством (Т), {\бф \пурпле осталось доказать, что $R_N$ не содержит инвариантных векторов} (Утверждение 1). Поскольку $G$ транзитивно действует на бесконечном множестве $G/G_N$, $G$ не может оставлять на месте никакую $L^2$-интегрируемую функцию. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Двойственность Понтрягина} Мы будем доказывать такую теорему: \теорема Локально компактная абелева группа $G$ {\бф \ред обладает свойством (Т) тогда и только тогда, когда она компактна.} Ее весьма просто доказать для "разумных" абелевых групп, таких, как $\Q_p^m$, $\R^k$, $\Z^l$ или их произведений. Для более экзотических ситуаций, нужна классификационная теорема, роль которой исполняет двойственность Понтрягина. Пусть $G$ -- локально компактная абелева группа. Гомоморфизм $G \arrow S^1$ называется {\бф\блуе характером} $G$. Интерпретируя такие гомоморфизмы как 1-мерные унитарные представления $G$, мы можем снабдить группу $\hat G$ характеров топологией Фелла. Оно называется {\бф \блуе группой, двойственной по Понтрягину} к $G$. Имеет место тавтологическое отображение $G \arrow \hat{\hat G}$. \теорема {\бф \блуе ("Двойственность Понтрягина")} Для каждой локально компактной абелевой группы $G$, двойственная по Понтрягину группа $\hat G$ тоже локально компактна. Более того, {\бф \ред тавтологическое отображение $G \arrow \hat {\hat G}$ -- изоморфизм.} \невпаге {\бф \блуе Множества Фельнера} \лемма {\bf \red Группы $\Z$ и $\R$ не обладают свойством (Т).} \доказательство Пусть $G$ -- локально компактная группа, $\mu$ ее мера Хаара. {\бф \блуе Фельнеровские подмножества} $F_i\subset G$ суть последовательность монотонно возрастающих подмножеств $F_i\subset G$ таких, что для любого $g\in G$, имеет место $\lim_i \frac{\mu(F_i \Delta g(F_i))}{\mu(F_i)}=0$, где $\Delta$ обозначает симметрическую разность. Легко видеть, что для $\Z$ и $\R$ можно выбрать $F_i:= [-i, i]$. Пусть $\chi_i$ -- характеристическая функция $F_i$, модифицированная в окрестности концов для непрерывности, а $v_i:=\frac{\chi_i}{\sqrt {\int_G |\chi_i|^2 \mu}}$ соответствующий единичный вектор в регулярном представлении. В силу определения фельнеровских множеств, имеем $\lim_i |g(v_i)-v_i|=0$, то есть ${\Bbb I}_\Z$ лежит в замыкании регулярного представления ${\cal R}(\Z)$. С другой стороны, для группы $G$ с бесконечной мерой Хаара, никаких $G$-инвариантных векторов в ${\cal R}(G)$ нет {\бф \пурпле (проверьте это)}. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Свойство (Т) для абелевых групп} \теорема Локально компактная абелева группа $G$ {\бф \ред обладает свойством (Т) тогда и только тогда, когда она компактна.} \дшаг Из свойства (Т) для группы $G$ следует свойство (Т) для любых факторгрупп $G/H$ (это тавтология). {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $U$ -- окрестность нуля, а $G_U$ -- порожденая ей группа. Поскольку $G_U$ открыта в $U$, $G/G_U$ дискретная группа. Поскольку $G/G_U$ имеет свойство (Т), она конечно порождена. Бесконечную конечно порожденную дискретную абелеву группу можно сюрьективно спроектировать на $\Z$. Поскольку $\Z$ не имеет свойства (Т), то же верно и для $G$ (Шаг 1). {\бф \пурпле Мы получили, что в локально компактной абелевой группе $G$ со свойством (Т), $G/G_U$ конечно для любой окрестности нуля $U\subset G$}. {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим гомоморфизм $\Psi:\; G \arrow \prod_{U_i} G/G_{U_i}$, где $U_i$ -- все окрестности $U$. {\бф \пурпле Поскольку $\prod_{U_i} G/G_{U_i}$ компактно (как произведение компактов), ядро $\Psi$ некомпактно. } \невпаге {\бф \блуе Свойство (Т) для абелевых групп} {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим гомоморфизм $\Psi:\; G \arrow \prod_{U_i} G/G_{U_i}$, где $U_i$ -- все окрестности $U$. {\бф \пурпле Поскольку $\prod_{U_i} G/G_{U_i}$ компактно (как произведение компактов), ядро $\Psi$ некомпактно. } {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\xi:=\prod_\alpha\chi_\alpha:\; G \arrow \prod_\alpha S^1$ -- произведение всех характеров. В силу двойственности Понтрягина, $\xi$ инъективно. Для каждой компактной окрестности $U\ni 0$, $\xi:\; U \arrow \xi(U)$ -- гомеоморфизм. Для ростка ${\cal G}$ группы в $\prod_\alpha \R$, связная компонента нуля есть пересечение всех ростков открытых подгрупп, содержащих ${\cal G}$. {\бф \пурпле Значит, $\ker\Psi$ -- связная компонента $G$.} {\бф \греен Шаг 5:} В силу того, что каждый нетривиальный характер на $\ker\Psi$ сюрьективен, а характеры задают координаты на $\Psi$, это группа с делением. Поскольку она локально компактна, она (локально) изоморфна произведению нескольких копий $\R$. {\бф \пурпле Поскольку она некомпактна, у ней есть фактор, изоморфный $\R$.} Применяя шаг 1 и предыдущую лемму, получаем противоречие. \ендпрооф %Любая ограниченная функция $f$ с компактным носителем %допускает "преобразование Фурье" $\fat f\in L^2(\hat G)$: если $\hat \mu$ -- мера Хаара на $\hat G$, %то $f(g) = \int_{\chi\in \hat G} \hat f \chi(g) \hat \mu$, %где $\hat f \in L^2(\hat G)$ \невпаге {\бф \блуе Свойство (Т) и коммутант} \следствие Пусть $G$ обладает свойством (Т). {\бф \ред Тогда фактор $G$ по замыканию коммутанта компактен.} \доказательство Фактор по коммутанту -- абелева группа со свойством (Т), значит, она компактна. \ендпрооф \замечание Для дискретной группы это дает $H_1(G,\Q)=0$: {\бф \ред первые гомологии и когомологии группы со свойством (Т) зануляются.} \невпаге {\бф \блуе Группы, не обладающие свойством (Т)} \пример Некомпактные абелевы группы (см. выше). \пример {\бф \ред Свободная группа не обладает свойством (Т).} В самом деле, для любого конечного подмножества $K$ свободной группы ${\Bbb F}_r$ найдется представление ${\Bbb F}_r\arrow U(H)$, такое, что все элементы $K$ отвечают поворотам на углы $<\epsilon$, для любых заданных $K$ и $\epsilon$. \пример Группы $SL(2, \R)$, $U(1,n)$, $SO(1,n)$, $SL(2, \Z)$ не обладают свойством (Т). Это связано со следующей теоремой: \теорема Пусть группа $G$ со свойством (Т) действует на комплексном или вещественном гиперболическом пространстве изометриями. {\бф \ред Тогда у $G$ есть неподвижная точка.} \замечание Напомню, что {\бф\блуе вещественное гиперболическое пространство} есть фактор $SO(1,n)/SO(n)$ с $SO(n)$-инвариантной римановой метрикой {\бф \пурпле (докажите, что она единственна с точностью до константы)}. {\бф\блуе Комплексное гиперболическое пространство} есть фактор $U(1,n)/U(n)$ с $U(n)$-инвариантной римановой метрикой {\бф \пурпле (докажите, что она единственна с точностью до константы)}. \невпаге {\бф \блуе Свойство (Т): применения и перспективы} Каждан доказывал с помощью свойства (Т) конечную порожденность решеток в группах Ли (следующая лекция посвящена этому). В дальнейшем, у свойства (Т) нашлось множество других применений и интерпретаций. Б. Костант доказал, что группа $Sp(1,n,\Z)$ обладает свойством (Т). Эта группа {\бф \блуе гиперболична по Громову}. Громов доказал, что каждая нециклическая группа, гиперболичная по Громову, допускает континуально много попарно неизоморфных факторгрупп, где все элементы имеют конечный порядок. Получаем следствие: \следствие {\бф \ред Существует континуально много конечно-порожден\-ных групп, обладающих свойством (Т), где все элементы имеют конечный порядок.} В частности, {\бф \пурпле существуют дискретные группы, обладающие свойством (Т), но не конечно-представимые} (они не получаются фактором свободной группы по конечному набору соотношений). \невпаге {\бф \блуе Свойство (Т): применения и перспективы (2)} \определение Пусть $\pi:\; G \arrow U(H)$ -- унитарное представление локально компактной группы $G$, $Z^1(G, \pi)$ -- пространство непрерывных на компактах отображений $b:\; G \arrow H$, удовлетворяющих $b(gg_1)=b(g)+ \pi(g)(b(g_1))$, a $B^1(G, \pi)$ -- подпространство в $Z^1(G,\pi)$, порожденное отображениями $b:\; G \arrow H$ вида $b(g)=\pi(g)(v)-v$, где $v\in H$. {\бф\блуе Пространство первых когомологий $G$ с коэффициентами в $H$} есть $H^1(G, H):=\frac{Z^1(G,\pi)}{B^1(G, \pi)}$. \теорема {\bf \blue (Delorme-Guichardet)}\\ Локально компактная, $\sigma$-компактная группа {\бф \ред имеет свойство (Т) тогда и только тогда, когда $H^1(G, H)=0$} для любого унитарного представления $H$. Используя когомологическую интерпретацию свойства (Т), И. Шалом доказал, что {\бф \пурпле $SL(n,R)$ обладает свойством (Т) для $n \geq m+2$, где $m$ есть круллевская размерность кольца $R$.} В частности, $SL(n, \Z[x_1, ..., x_l])$ обладает свойством (Т) для $n \geq l+2$. Основное применение свойства (Т) нашло в информатике: с помощью групп со свойством (Т) строятся графы экспандеры, имеющие колоссальное практическое значение ("Экспандеры Маргулиса"). \end{document}