\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\sf const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}} \newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\supp}{\operatorname{supp}} \newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Теория Ратнер, лекция 3 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теорема Ратнер \\[15mm] \small лекция 3: эргодическая теория} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 31 июля 2014 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия IV"\\[2mm] 24 - 31 июля, 2014, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \newpage {\бф\блуе Группы Ли (повторение)} \определение {\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное групповой структурой, таким образом, что групповые операции $x, y \arrow xy$ и $x\arrow x^{-1}$ суть гладкие отображения. \определение Левая {\бф \блуе мера Хаара} есть гладкая мера на группе Ли, инвариантная относительно левых сдвигов $L_x(g)=xg$. \теорема {\бф \ред Мера Хаара существует, и единственна с точностью до постоянного множителя.} \определение Пусть $\Gamma\subset G$ -- дискретная подгруппа группы $G$. Она называется {\бф \блуе решеткой}, если $\mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)<\infty$, то есть фактор $G$ по $\Gamma$ имеет конечную меру Хаара. \newpage {\бф\блуе Разложение Жордана-Шевалле (повторение)} \определение Пусть $G\subset GL(n)$ -- подгруппа, заданная системой полиномиальных уравнений над $k=\R$ или $k=\C$. Тогда $G$ называется {\бф \блуе алгебраической группой}. \определение Матрица $g\in GL(n)$ называется {\бф \блуе унипотентной}, если все ее собственные значения равны 1, и {\бф \блуе полупростой}, если она диагонализуема над алгебраическим замыканием. \определение {\бф \ред Любая матрица $g\in GL(n)$ допускает разложение вида $g=su$, где $s$ полупроста, $u$ унипотентна, а $su=us$.} Это разложение называется {\бф \блуе разложением Жордана-Шевалле}. \определение Пусть $G\subset GL(n)$ -- алгебраическая группа. Ее элемент называется {\бф \блуе полупростым}, если его образ в $GL(n)$ полупрост, и {\бф \блуе унипотентнным}, если он унипотентен. \теорема {\бф \блуе (Шевалле)}\\ Пусть $G\subset GL(n)$ -- алгебраическая группа, $g\in G$, а $g=su$ -- разложение Жордана-Шевалле. {\бф \ред Тогда $s, u$ лежат в $G$, и это разложение единственно и функториально относительно гомоморфизмов алгебраических групп.} \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Топология Зариского (повторение)} \определение Пусть $k$ -- поле. {\бф \блуе Алгебраическое подмногообразие} в $k^n$ есть множество общих нулей полиномиальной системы уравнений. \определение {\бф \блуе Топология Зариского} на алгебраическом подмногообразии в $k^n$ -- такая топология, где открытые множества суть дополнения к алгебраическим подмногообразиям. \определение Пусть $Z\subset M$ -- подмножество алгебраического многообразие. {\бф\блуе Замыкание Зариского} $\bar Z_\Zar$ есть пересечение всех алгебраических подмногообразий в $M$, содержащих $Z$. \замечание {\бф \пурпле Замыкание Зариского есть множестви общих нулей всех полиномов, зануляющихся на $Z$.} \утверждение Пусть $G$ -- алгебраическая группа, $\Gamma\subset G$ ее подгруппа. Тогда {\бф \ред замыкание Зариского $\bar \Gamma_\Zar$ -- тоже подгруппа.} \доказательство Групповые операции непрерывны в топологии Зариского, а замыкание подгруппы в топологической группе -- всегда подгруппа. Действительно, замыкание подгруппы есть множество всех ее предельных точек, но непрерывное отображение переводит предельные точки в предельные точки. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Теория меры (повторение)} \определение {\бф \блуе Алгебра подмножеств} пространства $M$ есть набор подмножеств ${\goth W}\subset 2^M$, замкнутый относительно объединений, пересечений и дополнений. \пример Подмножество топологического пространства называется {\бф \блуе борелевским}, если оно получено счетными объединениями, пересечениями и дополнениями из открытых множеств. \определение Пусть ${\goth W}\subset 2^M$ -- алгебра подмножеств пространства $M$. ${\goth W}$ называется {\бф\блуе $\sigma$-алгеброй}, если она замкнута относительно счетных объединений. \пример Борелевские множества образуют сигма-алгебру. \определение {\бф\блуе Мера} на сигма-алгебре $A$ есть счетно-аддитивная функция $\mu:\; A\arrow \R^{\geq 0}$. {\бф\блуе Мера} на топологическом пространстве есть мера на его борелевской алгебре. \невпаге {\бф \блуе Теорема Пуанкаре о возвращении (повторение)} \определение Мера $\mu$ на пространстве $M$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если $\mu(M)=1$. \определение Подмножество $M_0\subset M$ пространства $(M,\mu)$ с мерой называется {\бф \блуе подмножеством полной меры}, если $\mu(M\backslash M_0)=0$. \теорема {\бф \блуе (Пуанкаре о возвращении)}\\ Пусть $(M,\mu)$ -- топологическое пространство (метризуемое, со счетной базой) с вероятностной мерой, а $\phi:\; M \arrow M$ -- гомеоморфизм, сохраняющий $\mu$. Рассмотрим {\бф \блуе множество возврата (recurrence set)} $R$ точек $x\in M$ таких, что для какой-то последовательности $\{m_i\}$ натуральных чисел, стремящихся к бесконечности, имеем $\lim_i \phi^{m_i}(x)=x$. {\бф \ред Тогда $R$ -- подмножество полной меры.} \newpage {\бф \блуе Меры, инвариантные относительно унипотентов } \упражнение Пусть $A\in GL(V)$ -- унипотент. Рассмотрим его действие на проективизации ${\Bbb P}V$. {\бф \пурпле Докажите, что для любого $x\in {\Bbb P}V$, предел $\lim_i A^i(x)$ существует, и $A$-инвариантен.} \определение {\бф\блуе Носитель} $\supp(\mu)$ меры $\mu$ на топологическом пространстве есть дополнение к объединению всех открытых множеств меры 0. {\бф \греен Следствие 1:} Пусть $G\subset GL(V)$ -- группа, порожденная унипотентами, a $\mu$ -- $G$-инвариантная мера на ${\Bbb P}V$. {\бф \ред Тогда носитель $\mu$ лежит в множестве $G$-инвариантных точек ${\Bbb P}V$.} \дшаг Пусть $\phi\in G$ -- унипотент. В силу предыдущего упражнения, все точки в множестве возврата $\phi$ $\phi$-инварианты. По теореме Пуанкаре, $\supp(\mu)$ содержится в множестве возврата $\phi$. {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $G$ порождена унипотентами, а все точки $\supp(\mu)$ инвариантны относительно унипотентов, они $G$-инвариантны. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Теорема Шевалле } \определение {\бф \блуе Тензорное представление} $GL(V)$ есть прямая сумма нескольких копий $V^{\otimes i}\otimes (V^*)^{\otimes j}$ для какого-то набора $i,j$. \замечание Теорема Шевалле утверждает, что {\бф \пурпле алгебраическая группа целиком определяется своими проективными тензорными инвариантами.} \теорема {\бф \блуе (теорема Шевалле)}\\ Пусть $G\subset GL(V)$ -- алгебраическая группа. {\бф \ред Тогда существует тензорное представление $W$ такое, что $G$ равно стабилизатору какой-то точки $l\in {\Bbb P}W$.} \дшаг Рассмотрим алгебру $\Sym^*(V \otimes V^*)$ полиномиальных функций на группе $GL(V)$, действующей на себе левыми сдвигами. Группа $G$ задается общими нулями системы полиномиальных уравнений $P_1, P_2, ..., P_n\in \Sym^*(V \otimes V^*)$. Пусть $W_1= \oplus_{i=0}^d \Sym^i(V \otimes V^*)$ -- конечномерное подпространство, содержащее полиномы $P_i$, а $W_2\subset W_1$ -- все полиномы степени $\leq d$, зануляющиеся в $G$. {\бф \пурпле Тогда $G$ есть максимальная подгруппа $GL(V)$, сохраняющая $W_2$}. Действительно, элемент $x\in GL(V)$, действующий на $GL(V)$ левыми сдвигами, сохраняет $W_2$ тогда и только тогда, когда его действие сохраняет общие нули $W_2$, то есть $G$, что равносильно $x\in G$. \newpage {\бф \блуе Теорема Шевалле (продолжение) } \теорема {\бф \блуе (теорема Шевалле)}\\ Пусть $G\subset GL(V)$ -- алгебраическая группа. {\бф \ред Тогда существует тензорное представление $W$ такое, что $G$ равно стабилизатору какой-то точки $l\in {\Bbb P}W$.} \дшаг Рассмотрим алгебру $\Sym^*(V \otimes V^*)$ полиномиальных функций на группе $GL(V)$, действующей на себе левыми сдвигами. Группа $G$ задается общими нулями системы полиномиальных уравнений $P_1, P_2, ..., P_n\in \Sym^*(V \otimes V^*)$. Пусть $W_1= \oplus_{i=0}^d \Sym^i(V \otimes V^*)$ -- конечномерное подпространство, содержащее полиномы $P_i$, а $W_2\subset W_1$ -- все полиномы степени $\leq d$, зануляющиеся в $G$. {\бф \пурпле Тогда $G$ есть максимальная подгруппа $GL(V)$, сохраняющая $W_2$}. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $W= \Lambda^{r} W_1$ -- внешнее произведение степени $r=\dim W_2$, a $L\in \Lambda^{r} W_1$ -- прямая $\Lambda^{r} W_2$. Легко видеть, что $W_2= \{v\in W_1\ \ |\ \ v \wedge L=0\}$. Поэтому {\бф \пурпле $x\in GL(V)$ сохраняет $L$ тогда и только тогда, когда $x$ сохраняет $W_2$.} {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим проективизацию ${\Bbb P}W$. Элемент $x\in GL(V)$ сохраняет точку ${\Bbb P} L$ $\Leftrightarrow$ $x$ сохраняет $W_2$ (Шаг 2) $\Leftrightarrow$ $x$ лежит в $G$ (Шаг 1). \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Теорема Бореля о плотности } \теорема {\бф \блуе (Теорема Бореля о плотности)}\\ Пусть $G\subset GL(n,\R)$ -- связная алгебраическая подгруппа, $\Gamma\subset G$ -- решетка в $G$, а $\bar \Gamma_\Zar$ ее замыкание Зариского. {\бф \ред Тогда $\bar \Gamma_\Zar$ -- подгруппа, содержащая все унипотентные элементы $G$}. \дшаг Поскольку $\Gamma$ -- решетка, на $G/\Gamma$ существует вероятностная $G$-инвариантная мера Хаара $\mu_\Gamma$. {\бф\греен Шаг 2:} По теореме Шевалле, существует тензорное представление $W$ группы $GL(n, \R)$ такое, что $\bar \Gamma_\Zar$ равно стабилизатору точки $l\in {\Bbb P}W$. Рассмотрим отображение $\rho:\; G\arrow {\Bbb P}W$, переводящее $x$ в $x(l)$. Поскольку $\rho\restrict \Gamma(l)=l$, можно считать $\rho$ отображением $G/\Gamma\arrow {\Bbb P}W$. Рассмотрим меру $\rho_*(\mu_\Gamma)$ на ${\Bbb P}W$. По построению, {\бф \пурпле эта мера $G$-инвариантна.} {\бф\греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Применяя Следствие 1, получаем, что носитель меры $\rho_*(\mu_\Gamma)$ инвариантен относительно всех унипотентов $u\in G$.} Поскольку $l$ содержится в носителе $\rho_*(\mu_\Gamma)$, точка $l$ инвариантна относительно $u$. Но множество элементов $G$, сохраняющих $l$, совпадает с $\bar \Gamma_\Zar$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Интеграл} \определение Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с заданной на нем мерой. Функция $M\stackrel f\arrow \R$ называется {\бф\блуе измеримой}, если прообраз каждого борелевского множества измерим. \определение Рассмотрим пространство $V$ всех ограниченных измеримых функций на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. Предположим, что $\mu(M)<\infty$. {\бф\блуе Интеграл Лебега}, есть линейный функционал $\int_\mu:\; V \arrow [0, \infty]$, обладающий следующими свойствами. \\ \phantom{aaa} {\bf \green 1. Неотрицательность:} $\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем равенство имеет место только если $f=0$ вне множества меры 0.\\ \phantom{aaa} {\bf \green 2. Совместимость с мерой:} если $\chi$ -- характеристическая функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой, то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$.\\ \phantom{aaa} {\bf \green 3. $\sigma$-аддитивность:} если $f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ -- разложение функции в бесконечную сумму неотрицательных функций, то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$. \теорема {\бф\ред Интеграл существует, и определен однозначно, исходя из этих аксиом.} Для любого функционала на пространстве измеримых функций, удовлетворяющего условиям 1 и 3, {\бф \ред формула $\int_\mu \chi = \mu(Z)$ задает меру на $M$.} \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Слабая топология на пространстве мер} В дальнейшем, мы будем обозначать $\int_\mu f$ за $\mu(f)$, не проводя различий между мерой и интегралом. \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство с вероятностной мерой, а $C^0_b(M)$ -- пространство непрерывных, ограниченных функций на $M$ с топологией, которая задана нормой $\|f-g\|= \sup_M|f-g|$. Вероятностную меру удобно рассматривать как непрерывный функционал на $C^0_b(M)$. Определим {\бф\блуе слабую топологию} на пространстве мер таким образом: последовательность $\{\mu_i\}$ мер сходится к $\mu$, если для каждой $f\in C^0_b(M)$, имеем $\lim_i \mu_i(f)=\mu(f)$ (эта топология еще называется {\бф \блуе "weak *-topology"}). \теорема {\бф \ред Пространство ${\goth S}$ вероятностных мер на компактном топологическом пространстве компактно в слабой топологии.} \доказательство Рассмотрим вложение из ${\goth S}$ в произведение отрезков, $\Psi:\; {\goth S}\arrow \prod_{f\in C^0_b(M)}[\inf f, \sup f]$, где $\mu \arrow \prod_f \int_\mu f$. Образ этого вложения замкнут в силу компактности $M$ {\бф \пурпле (проверьте это)}, а произведение $\prod_{f\in C^0_b(M)}[\inf f, \sup f]$ компактно по теореме Тихонова. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Эргодические меры} \определение Пусть $M$ -- пространство с заданной на нем сигма-алгеброй $A$ а $G$ -- группа, действующая на $M$, сохраняя $A$. Мера $\mu$ на $(M,A)$ называется {\бф \блуе эргодической}, если каждое $G$-инвариантное измеримое подмножество $M'\subset M$ удовлетворяет $\mu(M')=0$ либо $\mu(M\backslash M')=0$. \утверждение {\бф \ред $G$-инвариантная мера на $M$ эргодична тогда и только тогда, когда любая измеримая $G$-инвариантная функция постоянна почти всюду.} \newpage {\бф\блуе Эргодические меры и экстремальные точки} \замечание Рассмотрим пространство $W$ всех функционалов, переводящих измеримые подмножества $M$ в числа. {\bf \purple Тогда пространство всех вероятностных мер на $M$ есть выпуклое подмножество в $W$.} \определение {\бф \блуе Экстремальная точка} $x$ выпуклого множества $K$ есть $x\in K$ такая, что для любого отрезка $[a,b]\subset K$, содержащего $x$, $x\notin ]a,b[$. \утверждение Рассмотрим множество $\goth S$ всех вероятностных, $G$-инвариантных мер на $M$, и пусть $\mu\in \goth S$ -- какая-то мера. Тогда {\бф \ред $\mu$ эргодична тогда и только тогда, когда она является экстремальной точкой $\goth S$.} \теорема {\бф\blue (Крейн-Мильман)}\\ Пусть $S$ -- замкнутое, выпуклое подмножество в топологическом векторном пространстве. {\бф \ред Тогда $S$ есть замыкание выпуклой оболочки своих экстремальных точек.} \следствие {\бф \пурпле Эргодические меры существуют.} \newpage {\бф\блуе Эргодические меры и плотность орбит} \замечание Следующая теорема утверждает, что {\бф \ред почти все орбиты группы, которая действует эргодически, плотны.} \утверждение Пусть $\Gamma$ -- группа, эргодически действующая на топологическом пространстве $(M,\mu)$ с мерой и счетной базой, сохраняя меру, а $\supp(\mu)$ -- ее носитель. Рассмотрим множество $R$ всех $x\in M$ таких, что орбита $\Gamma \cdot x$ не плотна в $\supp(\mu)$. {\бф \ред Тогда $\mu(R)=0$.} \дшаг Пусть $U\subset M$ открыто и пересекает $\supp(\mu)$. По определению носителя, $\mu(U)>0$, значит, множество $\Gamma \cdot U$ -- $\Gamma$-инвариантно и измеримо. {\бф \пурпле В силу эргодичности, это множество полной меры.} Обозначим за $Z_U$ множество $x\in M$ таких, что орбита $x$ не пересекает $U$. Тогда $Z_U= M\backslash \Gamma \cdot U$ -- множество меры 0. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\{U_i\}$ -- база топологии в $M$. Выкинем из $U_i$ все открытые множества, не пересекающие $\supp(\mu)$. Тогда $R= M\backslash \bigcup Z_{U_i}$, это счетное объединение множеств меры 0. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Алгебраические меры} \определение Пусть счетная группа $\Gamma$ действует на пространстве $M$ с мерой, сохраняя сигма-алгебру измеримых множеств. {\бф \блуе Фундаментальная область} действия $\Gamma$ на $M$ есть измеримое подмножество $D\subset M$, такое, что $\gamma(D)\cap \gamma'(D)$ имеет меру нуль для любых $\gamma\neq \gamma'\in \Gamma$, а $\bigcup_{\gamma\in \Gamma} \gamma(D)=M$. \определение Пусть $S\subset G$ -- алгебраическая подгруппа, $\Gamma\subset G$ решетка, $x\in G$, $\Gamma_{S\cdot x}$ -- стабилизатор орбиты $S$ в $G/\Gamma$, а $D\subset S$ -- фундаментальная область действия $\Gamma_{S\cdot x}$. Предположим, что объем $D$ конечен в мере Хаара на $S$. Определим на $S\cdot x=S/\Gamma_{S\cdot x}$ меру $\mu_{S\cdot x}$ как $\frac{1}{\mu_S(D)}\mu_S\restrict D$. Ее прямой образ на $G/\Gamma$ называется {\бф\блуе алгебраической}, или же {\бф \блуе однородной} мерой. \замечание Алгебраическая мера есть $S$-инвариантная вероятностная мера на орбите $S\cdot x$; {\бф \пурпле она единственна, с точностью до множителя, потому что пропорциональна мере Хаара.} \newpage {\бф\блуе Теорема Ратнер о классификации мер} \теорема {\бф \блуе (теорема Ратнер о классификации эргодических мер)} \\ Пусть $H\subset G$ -- алгебраическая подгруппа, порожденная унипотентами, $\Gamma\subset G$ решетка, а $\mu$ есть мера на $G/\Gamma$, эргодичная относительно левого действия $H$. {\бф \ред Тогда $\mu=\mu_{S\cdot x}$ -- алгебраическая мера,} для $S$ -- подгруппы, порожденной унипотентами, $H\subset S \subset G$. \доказательство См. напр. Morris, Dave Witte, {\em Ratner's Theorems on Unipotent Flows,} \url{http://people.uleth.ca/~dave.morris/books/Ratner.pdf} \newpage {\бф\блуе Теорема Ратнер о замыкании орбит (повторение)} \теорема {\бф \блуе (теорема Ратнер о замыкании орбит)}\\ Пусть $G$ -- группа Ли, $H\subset G$ -- подгруппа, порожденная унипотентами, а $\Gamma\subset G$ -- решетка. Рассмотрим действие $H$ на $G/\Gamma$ левыми сдвигами. и пусть $H\cdot x$ -- орбита $H$ в $G/\Gamma$. {\бф \ред Тогда существует подгруппа $S$ в $G$, содержащая $H$, и такая, что замыкание орбиты $H\cdot x$ равно $S\cdot x$.} Более того, $S$ порождена унипотентами, а группа \[ \Gamma_S:= \St_\Gamma(S\cdot x)= \{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}= S\cap \Gamma^x \] {\бф \ред это решетка в $S$} (здесь $\St_\Gamma(S\cdot x)$ обозначает стабилизатор орбиты $S\cdot x$ в $\Gamma$ при правом действии $\Gamma$ на $G$). {\бф \греен Мы выведем теорему Ратнер о замыкании орбит из теоремы Ратнер о классификации мер.} \newpage {\бф\блуе Эргодическая теорема Биркxоффа} \теорема \\ {\бф \блуе (эргодическая теорема Биркгоффа, она же "теорема о среднем")}\\ Пусть $M$ -- компакт, $\rho_t:\; M\times \R \arrow M$ -- действие $\R$ на $M$ гомеоморфизмами, $x\in M$ точка, а $f$ -- ограниченная, непрерывная функция на $M$. Определим вероятностную меру на $M$ по формуле \[ \mu_{a,x}(f):= \frac{1}{a} \int_0^a f(\rho_t(x))dt \] {\бф \ред Тогда предел $\lim\limits_{a\arrow\infty} \mu_{a,x}(f)$ существует и равен $\rho_t$-инвариантной вероятностной мере $f\arrow \Av_{\rho_t\cdot x}(f)$.} {\бф \греен Набросок доказательства:} Сходимость следует из компактности, а $\rho_t$-инвариантность %\[ \left|\mu_{a,x}(f)-\mu_{a+C,x}(f)\right|= %\left|\frac{C}{a(a+C)} \int_0^a f(\rho_t(x))dt- %\frac1{C+a}\int_a^{a+C} f(\rho_t(x))dt\right|< \frac F{a+C}+ \frac{CF}{a+C}, %\] -- из формулы \[ \left|\mu_{a,x}(f)- \mu_{a,x}(\rho_C^*f)\right|= \left|\frac 1 a\int_0^a f(\rho_t(x))dt- \frac 1 a\int_C^{a+C} f(\rho_t(x))dt\right|\leq \frac {2CF} a, \] где $F=\sup_M |f|$. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Среднее по времени, среднее по пространству} \замечание Слово "эргодический" было изобретено Больцманом, от греческих корней, обозначающих "работу" и "путь". Первоначально эргодичность относилась к системам, зависящим от времени, которое исполняло роль группы $\R$, действующей диффеоморфизмами. {\бф \блуе Для таких систем эргодичность означает "среднее по времени равно среднему по пространству". } \замечание В силу предыдущего замечания, {\бф \ред усредняющая мера $f\arrow \Av_{\rho_t\cdot x}(f)$ всегда эргодична.} \замечание Чтобы применить теорему Бирхоффа в ситуации, когда $M$ некомпактно, достаточно заменить $M$ на одноточечную компактификацию. \newpage {\бф\блуе Теорема Ратнер о плотности орбит для $H=e^{tu}$} \теорема \\ {\бф \блуе (теорема Ратнер для однопараметрической подгруппы)}\\ Пусть $G$ -- группа Ли, $H\subset G$ -- {\бф \ред однопараметрическая унипотентная подгруппа,} а $\Gamma\subset G$ -- решетка. Рассмотрим действие $H$ на $G/\Gamma$ левыми сдвигами. и пусть $H\cdot x$ -- орбита $H$ в $G/\Gamma$. {\бф \ред Тогда существует подгруппа $S$ в $G$, содержащая $H$, и такая, что замыкание орбиты $H\cdot x$ равно $S\cdot x$.} Более того, $S$ порождена унипотентами, а группа \[ \Gamma_S:= \St_\Gamma(S\cdot x)= \{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}= S\cap \Gamma^x \] {\бф \ред это решетка в $S$} (здесь $\St_\Gamma(S\cdot x)$ обозначает стабилизатор орбиты $S\cdot x$ в $\Gamma$ при правом действии $\Gamma$ на $G$). \доказательство (для компактного $HG/\Gamma$). Мера $\Av_{H\cdot x}$ по построению эргодична, а по теореме Ратнер о классификации мер она является алгебраической мерой. Из этого следует, что $\supp(\Av_{H\cdot x})=\overline{H\cdot x}$ -- орбита подгруппы $S\supset H$, порожденной унипотентами и конечного объема. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Теорема Ратнер о плотности орбит и полунепрерывность} Теорема Ратнер об орбитах выводится из доказанного выше частного случая, теоремы о классификации мер, и следующего утверждения. \утверждение Пусть $H\subset G$ -- алгебраическая подгруппа, порожденная унипотентами, $\goth h$ ее алгебра Ли, $\Gamma\subset G$ -- решетка, $u_t:=e^{tu}$ -- однопараметрическая подгруппа, порожденная унипотентами, а $x\in G/\Gamma$. Тогда {\бф \ред для общего нильпотента $u\in \goth h$, имеем $\overline{u_t\cdot x}= \overline{H\cdot x}$.} \дшаг Теорема Ратнер для однопараметрической подгруппы и теорема Бореля о плотности доказывает, что $\overline{u_t\cdot x}$ равно замыканию Зариского минимальной подгруппы $\Gamma_u \subset \Gamma^x$, такой, что $\overline{\Gamma_u}_\Zar \supset u_t$. {\бф \греен Шаг 2:} Возьмем последовательность нильпотентов $\{u_i\}\subset \goth h$, сходящуюся к $u\in \goth h$. Поскольку предел замыканий орбит содержит замыкание предела орбит, имеем $\lim_i\Gamma_{u_i}\supset \Gamma_{u}$. Другими словами, {\бф \пурпле отображение $u \arrow \Gamma_u$ полунепрерывно вверх (уменьшается в специальных точках).} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку $u\arrow \Gamma_u$ полунепрерывно, полуалгебраично и может принимать не более чем счетное множество значений, для общего $u$ группа $\Gamma_u$ не зависит от $u$, и содержит $\Gamma_{u'}$ для всех $u'\in \goth h$. \ендпрооф \end{document}