

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\sf const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}}
\newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Теория Ратнер, лекция 3 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теорема Ратнер \\[15mm]
\small лекция 3: эргодическая теория}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[10mm] \tiny 
31 июля 2014
\\[20mm]

{\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия IV"\\[2mm]
24 - 31 июля, 2014, ЯГПУ, Ярославль, Россия

}
\end{center}

\newpage

{\бф\блуе Группы Ли (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие,
снабженное групповой структурой, таким образом, что 
групповые операции $x, y \arrow xy$ и $x\arrow x^{-1}$
суть гладкие отображения.

\определение
Левая {\бф \блуе мера Хаара} есть гладкая мера на группе Ли,
инвариантная относительно левых сдвигов $L_x(g)=xg$.

\теорема
{\бф \ред Мера Хаара существует, и единственна с точностью до 
постоянного множителя.}

\определение
Пусть $\Gamma\subset G$ -- дискретная подгруппа
группы $G$. Она называется {\бф \блуе решеткой}, если
$\mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)<\infty$, то есть фактор
$G$ по $\Gamma$ имеет конечную меру Хаара.

\newpage

{\бф\блуе Разложение Жордана-Шевалле (повторение)}


\определение
Пусть $G\subset GL(n)$ -- подгруппа, заданная 
системой полиномиальных уравнений над $k=\R$ или $k=\C$. Тогда $G$
называется {\бф \блуе алгебраической группой}.


\определение
Матрица $g\in GL(n)$ называется {\бф \блуе
унипотентной}, если все ее собственные значения равны 1,
и {\бф \блуе полупростой}, если она диагонализуема над алгебраическим
замыканием.

\определение
{\бф \ред Любая матрица $g\in GL(n)$
допускает разложение вида $g=su$, где $s$ полупроста,
$u$ унипотентна, а $su=us$.}  
Это разложение называется {\бф \блуе разложением
Жордана-Шевалле}.

\определение Пусть $G\subset GL(n)$ -- алгебраическая группа.
Ее элемент называется {\бф \блуе полупростым}, если
его образ в $GL(n)$ полупрост, и {\бф \блуе унипотентнным},
если он унипотентен.

\теорема {\бф \блуе (Шевалле)}\\
Пусть $G\subset GL(n)$ -- алгебраическая группа,
$g\in G$, а  $g=su$ -- разложение Жордана-Шевалле.
{\бф \ред Тогда $s, u$ лежат в $G$, и это разложение 
единственно и функториально
относительно гомоморфизмов алгебраических групп.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф\блуе Топология Зариского (повторение)}

\определение
Пусть $k$ -- поле.
{\бф \блуе Алгебраическое подмногообразие} в 
$k^n$ есть множество общих нулей полиномиальной
системы уравнений.

\определение
{\бф \блуе Топология Зариского} на алгебраическом
подмногообразии в $k^n$ -- такая топология, где
открытые множества суть дополнения к алгебраическим
подмногообразиям.

\определение
Пусть $Z\subset M$ -- подмножество алгебраического
многообразие. {\бф\блуе Замыкание Зариского} $\bar Z_\Zar$
есть пересечение всех алгебраических подмногообразий в
$M$, содержащих $Z$. 

\замечание {\бф \пурпле Замыкание Зариского есть множестви
общих нулей всех полиномов, зануляющихся на $Z$.}

\утверждение
Пусть $G$ -- алгебраическая группа, $\Gamma\subset G$ ее
подгруппа. Тогда {\бф \ред замыкание Зариского $\bar \Gamma_\Zar$ --
тоже подгруппа.}

\доказательство Групповые операции непрерывны в топологии
Зариского, а замыкание подгруппы в топологической группе --
всегда  подгруппа. Действительно, замыкание подгруппы
есть множество всех ее предельных точек, но непрерывное
отображение переводит предельные точки в предельные точки. \ендпрооф

\newpage

{\бф\блуе Теория меры (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Алгебра подмножеств}
пространства $M$ есть набор подмножеств ${\goth W}\subset 2^M$,
замкнутый относительно объединений, пересечений и дополнений.

\пример
Подмножество топологического пространства называется
{\бф \блуе борелевским}, если оно получено счетными
объединениями, пересечениями и дополнениями из 
открытых множеств.

\определение
Пусть ${\goth W}\subset 2^M$ -- алгебра подмножеств
пространства $M$.
${\goth W}$ называется {\бф\блуе $\sigma$-алгеброй},
если она замкнута относительно счетных объединений.

\пример
Борелевские множества образуют сигма-алгебру.

\определение
{\бф\блуе Мера} на сигма-алгебре $A$ есть
счетно-аддитивная функция $\mu:\; A\arrow \R^{\geq 0}$.
{\бф\блуе Мера} на топологическом пространстве
есть мера на его борелевской алгебре.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Пуанкаре о возвращении (повторение)}


\определение
Мера $\mu$ на пространстве $M$ называется {\бф \блуе
вероятностной}, если $\mu(M)=1$.

\определение
Подмножество $M_0\subset M$ пространства $(M,\mu)$ с мерой  называется
{\бф \блуе подмножеством полной меры}, если
$\mu(M\backslash M_0)=0$.


\теорема {\бф \блуе (Пуанкаре о возвращении)}\\
Пусть $(M,\mu)$ --  топологическое пространство
(метризуемое, со счетной базой) с вероятностной мерой,
а $\phi:\; M \arrow M$ -- гомеоморфизм, сохраняющий $\mu$. 
Рассмотрим {\бф \блуе множество возврата (recurrence set)} 
$R$ точек $x\in M$ таких, что для какой-то 
последовательности $\{m_i\}$ натуральных чисел, стремящихся
к бесконечности, имеем $\lim_i \phi^{m_i}(x)=x$. {\бф \ред Тогда 
$R$ -- подмножество полной меры.}


\newpage

{\бф \блуе Меры, инвариантные относительно унипотентов }

\упражнение
Пусть $A\in GL(V)$ -- унипотент. Рассмотрим его
действие на проективизации ${\Bbb P}V$. {\бф \пурпле Докажите, что для любого
$x\in {\Bbb P}V$, предел $\lim_i A^i(x)$ существует, и
$A$-инвариантен.}

\определение
{\бф\блуе Носитель} $\supp(\mu)$ меры $\mu$ на топологическом
пространстве есть дополнение к объединению всех открытых
множеств меры 0.

{\бф \греен Следствие 1:}
Пусть $G\subset GL(V)$ -- группа, порожденная
унипотентами, a $\mu$ -- $G$-инвариантная мера 
на ${\Bbb P}V$. {\бф \ред Тогда носитель $\mu$ лежит в множестве
$G$-инвариантных точек ${\Bbb P}V$.}

\дшаг
Пусть $\phi\in G$ -- унипотент. В силу предыдущего
упражнения, все точки в множестве возврата $\phi$ 
$\phi$-инварианты. По теореме Пуанкаре, $\supp(\mu)$
содержится в множестве возврата $\phi$.

{\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $G$ порождена унипотентами,
а все точки  $\supp(\mu)$ инвариантны относительно
унипотентов, они $G$-инвариантны. \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Теорема Шевалле }

\определение
{\бф \блуе Тензорное представление} $GL(V)$
есть прямая сумма нескольких копий  
$V^{\otimes i}\otimes (V^*)^{\otimes j}$ для 
какого-то набора $i,j$.

\замечание Теорема Шевалле утверждает, что
{\бф \пурпле алгебраическая группа целиком определяется
своими проективными тензорными инвариантами.}

\теорема {\бф \блуе (теорема Шевалле)}\\
Пусть $G\subset GL(V)$ -- алгебраическая группа. 
{\бф \ред Тогда существует тензорное представление $W$
такое, что $G$ равно стабилизатору какой-то точки $l\in
{\Bbb P}W$.}

\дшаг Рассмотрим алгебру 
$\Sym^*(V \otimes V^*)$ 
полиномиальных функций на группе $GL(V)$, действующей на себе
левыми сдвигами. Группа $G$ задается общими нулями системы
полиномиальных уравнений $P_1, P_2, ..., P_n\in \Sym^*(V \otimes V^*)$.
Пусть $W_1= \oplus_{i=0}^d \Sym^i(V \otimes V^*)$ --
конечномерное подпространство, содержащее полиномы $P_i$,
а $W_2\subset W_1$ -- все полиномы степени $\leq d$,
зануляющиеся в $G$. {\бф \пурпле Тогда $G$ есть
максимальная подгруппа $GL(V)$,
сохраняющая $W_2$}. Действительно, элемент
$x\in GL(V)$, действующий на $GL(V)$ левыми сдвигами,
сохраняет $W_2$ тогда и только тогда, когда 
его действие сохраняет общие нули $W_2$, то есть $G$,
что равносильно $x\in G$.


\newpage

{\бф \блуе Теорема Шевалле (продолжение) }

\теорема {\бф \блуе (теорема Шевалле)}\\
Пусть $G\subset GL(V)$ -- алгебраическая группа.
{\бф \ред Тогда существует тензорное представление $W$
такое, что $G$ равно стабилизатору какой-то точки $l\in
{\Bbb P}W$.}


\дшаг Рассмотрим алгебру 
$\Sym^*(V \otimes V^*)$ 
полиномиальных функций на группе $GL(V)$, действующей на себе
левыми сдвигами. Группа $G$ задается общими нулями системы
полиномиальных уравнений $P_1, P_2, ..., P_n\in \Sym^*(V \otimes V^*)$.
Пусть $W_1= \oplus_{i=0}^d \Sym^i(V \otimes V^*)$ --
конечномерное подпространство, содержащее полиномы $P_i$,
а $W_2\subset W_1$ -- все полиномы степени $\leq d$,
зануляющиеся в $G$. {\бф \пурпле Тогда $G$ есть
максимальная подгруппа $GL(V)$,
сохраняющая $W_2$}. 

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $W= \Lambda^{r} W_1$ --
внешнее произведение степени $r=\dim W_2$, a $L\in
\Lambda^{r} W_1$ -- прямая $\Lambda^{r} W_2$.
Легко видеть, что $W_2= \{v\in W_1\ \ |\ \ v \wedge L=0\}$.
Поэтому {\бф \пурпле $x\in GL(V)$ сохраняет $L$
тогда и только тогда, когда $x$ сохраняет $W_2$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим проективизацию ${\Bbb P}W$.
Элемент $x\in GL(V)$ сохраняет точку ${\Bbb P} L$ 
$\Leftrightarrow$ $x$ сохраняет $W_2$ (Шаг 2) 
$\Leftrightarrow$ $x$ лежит в $G$ (Шаг 1). \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Теорема Бореля о плотности }


\теорема {\бф \блуе (Теорема Бореля о плотности)}\\
Пусть $G\subset GL(n,\R)$ -- связная алгебраическая
подгруппа, $\Gamma\subset G$ -- решетка в $G$,
а $\bar \Gamma_\Zar$ ее замыкание Зариского.
{\бф \ред Тогда $\bar \Gamma_\Zar$ -- подгруппа,
содержащая все унипотентные элементы $G$}.

\дшаг
Поскольку $\Gamma$ -- решетка, на $G/\Gamma$ 
существует вероятностная $G$-инвариантная мера Хаара
$\mu_\Gamma$.

{\бф\греен Шаг 2:}
По теореме Шевалле, существует 
тензорное представление $W$ группы $GL(n, \R)$
такое, что $\bar \Gamma_\Zar$ равно стабилизатору 
точки $l\in {\Bbb P}W$. Рассмотрим отображение
$\rho:\; G\arrow {\Bbb P}W$, переводящее $x$ в $x(l)$.
Поскольку $\rho\restrict \Gamma(l)=l$, можно считать
$\rho$ отображением $G/\Gamma\arrow {\Bbb P}W$.
Рассмотрим меру $\rho_*(\mu_\Gamma)$ на ${\Bbb P}W$.
По построению, {\бф \пурпле эта мера $G$-инвариантна.}
 
{\бф\греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Применяя Следствие 1, получаем,
что носитель меры $\rho_*(\mu_\Gamma)$ инвариантен
относительно всех унипотентов $u\in G$.} Поскольку
$l$ содержится в носителе $\rho_*(\mu_\Gamma)$,
точка $l$ инвариантна относительно $u$. Но 
множество элементов $G$, сохраняющих $l$,
совпадает с $\bar \Gamma_\Zar$. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Интеграл}

\определение
Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с 
заданной на нем мерой.
Функция $M\stackrel f\arrow \R$
называется {\бф\блуе измеримой}, если
прообраз каждого борелевского множества
измерим.


\определение
Рассмотрим пространство $V$ всех ограниченных измеримых функций
на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. Предположим, что $\mu(M)<\infty$. 
{\бф\блуе Интеграл Лебега},
есть линейный функционал $\int_\mu:\; V \arrow [0, \infty]$,
обладающий следующими свойствами. \\
\phantom{aaa} {\bf \green 1. Неотрицательность:}
$\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем
равенство имеет место только если $f=0$ вне множества
меры 0.\\
\phantom{aaa} {\bf \green 2. Совместимость с мерой:} 
если $\chi$ -- характеристическая
функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой,
то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$.\\
\phantom{aaa} {\bf \green 3. $\sigma$-аддитивность:} если
$f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ -- разложение функции в бесконечную сумму
неотрицательных функций,
то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$.

\теорема
{\бф\ред Интеграл существует, и определен однозначно, исходя
из этих аксиом.} Для любого функционала на пространстве
измеримых функций, удовлетворяющего
условиям 1 и 3, {\бф \ред формула $\int_\mu \chi = \mu(Z)$ задает
меру на $M$.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф\блуе Слабая топология на пространстве мер}

В дальнейшем, мы будем обозначать $\int_\mu f$ за $\mu(f)$, не проводя
различий между мерой и интегралом.

 
\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство с вероятностной 
мерой, а $C^0_b(M)$ -- пространство непрерывных, ограниченных функций
на $M$ с топологией, которая задана нормой $\|f-g\|= \sup_M|f-g|$.
Вероятностную меру удобно рассматривать как непрерывный функционал на $C^0_b(M)$.
Определим {\бф\блуе слабую топологию} на пространстве мер таким образом:
последовательность $\{\mu_i\}$ мер сходится к $\mu$, если для каждой
$f\in C^0_b(M)$, имеем $\lim_i \mu_i(f)=\mu(f)$ (эта топология 
еще называется {\бф \блуе "weak *-topology"}).

\теорема
{\бф \ред Пространство ${\goth S}$ вероятностных мер
на компактном топологическом пространстве компактно 
в слабой топологии.}

\доказательство 
Рассмотрим вложение из ${\goth S}$ в произведение отрезков,
$\Psi:\; {\goth S}\arrow \prod_{f\in C^0_b(M)}[\inf f, \sup f]$, где
$\mu \arrow \prod_f \int_\mu f$. Образ этого вложения замкнут
в силу компактности $M$ {\бф \пурпле (проверьте это)},
а произведение $\prod_{f\in C^0_b(M)}[\inf f, \sup f]$ компактно
по теореме Тихонова.
\ендпрооф


\newpage

{\бф\блуе Эргодические меры}


\определение
Пусть $M$ -- пространство с заданной на нем сигма-алгеброй $A$
а $G$ -- группа, действующая на $M$, сохраняя $A$. Мера $\mu$
на $(M,A)$ называется {\бф \блуе эргодической}, если
каждое $G$-инвариантное измеримое подмножество $M'\subset M$
удовлетворяет $\mu(M')=0$ либо $\mu(M\backslash M')=0$.

\утверждение
{\бф \ред $G$-инвариантная мера на $M$ эргодична тогда и только тогда,
когда любая измеримая $G$-инвариантная функция постоянна почти всюду.}


\newpage

{\бф\блуе Эргодические меры и экстремальные точки}

\замечание
Рассмотрим пространство $W$ всех функционалов, переводящих
измеримые подмножества $M$ в числа. 
{\bf \purple Тогда пространство всех вероятностных
мер на $M$ есть выпуклое подмножество в $W$.}

\определение
{\бф \блуе Экстремальная точка} $x$ выпуклого множества $K$
есть $x\in K$ такая, что для любого отрезка $[a,b]\subset K$,
содержащего $x$, $x\notin ]a,b[$.

\утверждение
Рассмотрим множество $\goth S$ всех вероятностных, $G$-инвариантных 
мер на $M$, и пусть $\mu\in \goth S$ -- какая-то мера. Тогда
{\бф \ред $\mu$ эргодична тогда и только тогда, когда  она является
экстремальной точкой $\goth S$.}

\теорема {\бф\blue  (Крейн-Мильман)}\\
Пусть $S$ -- замкнутое, выпуклое подмножество в 
топологическом векторном пространстве. {\бф \ред Тогда $S$
есть замыкание выпуклой оболочки своих экстремальных точек.}

\следствие
{\бф \пурпле Эргодические меры существуют.}


\newpage

{\бф\блуе Эргодические меры и плотность орбит}

\замечание
Следующая теорема утверждает, что {\бф \ред почти все орбиты
группы, которая действует эргодически, плотны.}

\утверждение
Пусть $\Gamma$ -- группа, эргодически действующая на 
топологическом пространстве $(M,\mu)$ с мерой и счетной базой, 
сохраняя меру, а $\supp(\mu)$ -- ее носитель.
Рассмотрим множество $R$ всех $x\in M$ таких, что орбита $\Gamma \cdot x$
не плотна в $\supp(\mu)$. {\бф \ред Тогда $\mu(R)=0$.}

\дшаг
Пусть $U\subset M$ открыто и пересекает $\supp(\mu)$.
По определению носителя, $\mu(U)>0$, значит, множество
$\Gamma \cdot U$ -- $\Gamma$-инвариантно и измеримо.
{\бф \пурпле В силу эргодичности, это множество полной меры.}
Обозначим за $Z_U$ множество $x\in M$ таких,
что орбита $x$ не пересекает $U$. Тогда
$Z_U= M\backslash \Gamma \cdot U$ -- множество 
меры 0.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\{U_i\}$ -- база топологии в $M$.
Выкинем из $U_i$ все открытые множества, не пересекающие $\supp(\mu)$.
Тогда $R= M\backslash \bigcup Z_{U_i}$, это счетное объединение
множеств меры 0.
\ендпрооф


\newpage

{\бф\блуе Алгебраические меры}

\определение
Пусть счетная группа $\Gamma$ действует на пространстве $M$ с мерой,
сохраняя сигма-алгебру измеримых множеств. {\бф \блуе Фундаментальная
область} действия $\Gamma$ на $M$ есть измеримое подмножество $D\subset M$,
такое, что $\gamma(D)\cap \gamma'(D)$ имеет меру нуль для любых
$\gamma\neq \gamma'\in \Gamma$,
а $\bigcup_{\gamma\in \Gamma} \gamma(D)=M$.

\определение
Пусть $S\subset G$ -- алгебраическая 
подгруппа, $\Gamma\subset G$ решетка, $x\in G$, 
$\Gamma_{S\cdot x}$ -- стабилизатор орбиты $S$ в $G/\Gamma$, 
а $D\subset S$ -- фундаментальная область действия $\Gamma_{S\cdot x}$.
Предположим, что объем $D$ конечен в мере Хаара на $S$.
Определим на $S\cdot x=S/\Gamma_{S\cdot x}$ меру $\mu_{S\cdot x}$ как 
$\frac{1}{\mu_S(D)}\mu_S\restrict D$. Ее прямой образ на $G/\Gamma$ называется
{\бф\блуе алгебраической}, или же {\бф \блуе однородной} мерой.

\замечание
Алгебраическая мера есть $S$-инвариантная вероятностная
мера на орбите $S\cdot x$; {\бф \пурпле она единственна, 
с точностью до множителя, потому что пропорциональна
мере Хаара.}

\newpage

{\бф\блуе Теорема Ратнер о классификации мер}

\теорема 
{\бф \блуе (теорема Ратнер о классификации эргодических мер)} \\
Пусть $H\subset G$ -- алгебраическая подгруппа, порожденная
унипотентами, $\Gamma\subset G$ решетка, а $\mu$ есть мера
на $G/\Gamma$, эргодичная относительно левого действия $H$.
{\бф \ред Тогда $\mu=\mu_{S\cdot x}$ -- алгебраическая мера,} для 
$S$ -- подгруппы, порожденной унипотентами, $H\subset S \subset G$.

\доказательство
См. напр. Morris, Dave Witte, 
{\em Ratner's Theorems on Unipotent Flows,} 
\url{http://people.uleth.ca/~dave.morris/books/Ratner.pdf}

\newpage

{\бф\блуе Теорема Ратнер о замыкании орбит (повторение)}




\теорема {\бф \блуе (теорема Ратнер о замыкании орбит)}\\
Пусть $G$ -- группа Ли, $H\subset G$ -- подгруппа,
порожденная унипотентами, а $\Gamma\subset G$ -- решетка. 
Рассмотрим действие $H$ на $G/\Gamma$ левыми сдвигами.
и пусть $H\cdot x$ -- орбита $H$ в $G/\Gamma$.
{\бф \ред Тогда существует подгруппа $S$ в $G$, содержащая $H$,
и такая, что замыкание орбиты $H\cdot x$ равно
$S\cdot x$.} Более того, $S$ порождена унипотентами, а группа
\[
\Gamma_S:= \St_\Gamma(S\cdot x)=
\{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}= S\cap \Gamma^x
\]
{\бф \ред это решетка в $S$}
(здесь $\St_\Gamma(S\cdot x)$ обозначает стабилизатор орбиты 
$S\cdot x$ в $\Gamma$ при правом действии $\Gamma$ на $G$).

{\бф \греен Мы выведем теорему Ратнер о замыкании 
орбит из теоремы Ратнер о классификации мер.}

\newpage

{\бф\блуе Эргодическая теорема Биркxоффа}

\теорема \\
{\бф \блуе (эргодическая теорема Биркгоффа, она же "теорема о среднем")}\\
Пусть $M$ -- компакт, 
$\rho_t:\; M\times \R \arrow M$ -- действие $\R$ на $M$
гомеоморфизмами, $x\in M$ точка, 
а $f$ -- ограниченная, непрерывная функция на $M$.
Определим вероятностную меру на $M$ по формуле
\[
\mu_{a,x}(f):= \frac{1}{a} \int_0^a f(\rho_t(x))dt
\]
{\бф \ред Тогда предел $\lim\limits_{a\arrow\infty} \mu_{a,x}(f)$
существует и равен $\rho_t$-инвариантной вероятностной мере
$f\arrow \Av_{\rho_t\cdot x}(f)$.}

{\бф \греен Набросок доказательства:}
Сходимость следует из компактности, а $\rho_t$-инвариантность 
%\[ \left|\mu_{a,x}(f)-\mu_{a+C,x}(f)\right|=
%\left|\frac{C}{a(a+C)} \int_0^a f(\rho_t(x))dt-
%\frac1{C+a}\int_a^{a+C} f(\rho_t(x))dt\right|< \frac F{a+C}+ \frac{CF}{a+C},
%\]
-- из формулы
\[ \left|\mu_{a,x}(f)- \mu_{a,x}(\rho_C^*f)\right|=
\left|\frac 1 a\int_0^a f(\rho_t(x))dt-
\frac 1 a\int_C^{a+C} f(\rho_t(x))dt\right|\leq \frac {2CF} a,
\]
где $F=\sup_M |f|$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф\блуе Среднее по времени, среднее по пространству}

\замечание
Слово "эргодический" было изобретено Больцманом, от
греческих корней, обозначающих "работу" и "путь".
Первоначально эргодичность относилась к системам,
зависящим от времени, которое исполняло роль группы
$\R$, действующей диффеоморфизмами. {\бф \блуе Для таких
систем эргодичность означает "среднее по времени равно 
среднему по пространству". }

\замечание
В силу предыдущего замечания, {\бф \ред усредняющая мера
$f\arrow \Av_{\rho_t\cdot x}(f)$ всегда эргодична.}

\замечание
Чтобы применить теорему Бирхоффа в ситуации,
когда $M$ некомпактно, достаточно заменить $M$
на одноточечную компактификацию.


\newpage

{\бф\блуе Теорема Ратнер о плотности орбит для $H=e^{tu}$}

\теорема \\ {\бф \блуе (теорема Ратнер для однопараметрической подгруппы)}\\
Пусть $G$ -- группа Ли, $H\subset G$ -- {\бф \ред однопараметрическая
унипотентная подгруппа,} а $\Gamma\subset G$ -- решетка. 
Рассмотрим действие $H$ на $G/\Gamma$ левыми сдвигами.
и пусть $H\cdot x$ -- орбита $H$ в $G/\Gamma$.
{\бф \ред Тогда существует подгруппа $S$ в $G$, содержащая $H$,
и такая, что замыкание орбиты $H\cdot x$ равно
$S\cdot x$.} Более того, $S$ порождена унипотентами, а группа
\[
\Gamma_S:= \St_\Gamma(S\cdot x)=
\{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}= S\cap \Gamma^x
\]
{\бф \ред это решетка в $S$}
(здесь $\St_\Gamma(S\cdot x)$ обозначает стабилизатор орбиты 
$S\cdot x$ в $\Gamma$ при правом действии $\Gamma$ на $G$).

\доказательство (для компактного $HG/\Gamma$).
Мера $\Av_{H\cdot x}$ по построению эргодична, 
а по теореме Ратнер о классификации мер она является 
алгебраической мерой. Из этого следует, что
$\supp(\Av_{H\cdot x})=\overline{H\cdot x}$ -- орбита 
подгруппы $S\supset H$, порожденной унипотентами и конечного
объема. \ендпрооф


\newpage

{\бф\блуе Теорема Ратнер о плотности орбит и полунепрерывность}

Теорема Ратнер об орбитах выводится из доказанного выше
частного случая, теоремы о классификации мер, и следующего утверждения.

\утверждение
Пусть $H\subset G$ -- алгебраическая подгруппа,
порожденная унипотентами, $\goth h$ ее алгебра Ли,
$\Gamma\subset G$  -- решетка,
$u_t:=e^{tu}$ -- однопараметрическая подгруппа, порожденная
унипотентами, а $x\in G/\Gamma$. Тогда {\бф \ред для общего 
нильпотента $u\in \goth h$, имеем $\overline{u_t\cdot x}=
\overline{H\cdot x}$.}

\дшаг Теорема Ратнер 
для однопараметрической подгруппы
и теорема Бореля о плотности доказывает, что 
$\overline{u_t\cdot x}$ равно замыканию Зариского
минимальной подгруппы $\Gamma_u \subset \Gamma^x$, такой, что
$\overline{\Gamma_u}_\Zar \supset u_t$.

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем последовательность
нильпотентов $\{u_i\}\subset \goth h$, сходящуюся к $u\in \goth h$.
Поскольку предел замыканий орбит содержит замыкание предела орбит,
имеем $\lim_i\Gamma_{u_i}\supset \Gamma_{u}$.
Другими словами, {\бф \пурпле отображение $u \arrow \Gamma_u$ полунепрерывно
вверх (уменьшается в специальных точках).}

{\бф \греен Шаг 3:} Поскольку 
$u\arrow \Gamma_u$ полунепрерывно, полуалгебраично и 
может принимать не более чем счетное множество значений, для 
общего $u$ группа $\Gamma_u$ не зависит от $u$, и содержит $\Gamma_{u'}$
для всех $u'\in \goth h$. \ендпрооф
 \end{document} 
