\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\sf const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}} \newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\supp}{\operatorname{supp}} \newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Теория Ратнер, лекция 2 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теорема Ратнер \\[15mm] \small лекция 2: гипотеза Оппенхейма} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 28 июля 2014 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия IV"\\[2mm] 24 - 31 июля, 2014, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \newpage {\бф\блуе Группы Ли (повторение)} \определение {\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное групповой структурой, таким образом, что групповые операции $x, y \arrow xy$ и $x\arrow x^{-1}$ суть гладкие отображения. \определение Левая {\бф \блуе мера Хаара} есть гладкая мера на группе Ли, инвариантная относительно левых сдвигов $L_x(g)=xg$. \теорема {\бф \ред Мера Хаара существует, и единственна с точностью до постоянного множителя.} \определение Пусть $\Gamma\subset G$ -- дискретная подгруппа группы $G$. Она называется {\бф \блуе решеткой}, если $\mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)<\infty$, то есть фактор $G$ по $\Gamma$ имеет конечную меру Хаара. \newpage {\бф\блуе Теорема Бореля и Хариш-Чандры (повторение)} \теорема {\бф \блуе (Борель и Хариш-Чандра)}\\ Пусть $G\subset GL(n, \R)$ группа Ли, заданная набором полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. Предположим, что не существует нетривиальных гомоморфизмов из $G$ в $GL(1, \R)$, определенных полиномами с рациональными коэффициентами. {\бф \ред Тогда группа $G_\Z= G\cap SL(n, \Z)$ является решеткой в $G$.} \замечание Я не буду доказывать теорему Бореля и Хариш-Чандры, но все ее применения, полученные в этих лекциях, вытекают из одного частного случая $SL(2, \Z)\subset SL(2, \R)$, и конечность объема в этом случае можно проверить непосредственно. \newpage {\бф\блуе Разложение Жордана-Шевалле (повторение)} \определение Пусть $G\subset GL(n)$ -- подгруппа, заданная системой полиномиальных уравнений над $k=\R$ или $k=\C$. Тогда $G$ называется {\бф \блуе алгебраической группой}. \определение Матрица $g\in GL(n)$ называется {\бф \блуе унипотентной}, если все ее собственные значения равны 1, и {\бф \блуе полупростой}, если она диагонализуема над алгебраическим замыканием. \определение {\бф \ред Любая матрица $g\in GL(n)$ допускает разложение вида $g=su$, где $s$ полупроста, $u$ унипотентна, а $su=us$.} Это разложение называется {\бф \блуе разложением Жордана-Шевалле}. \определение Пусть $G\subset GL(n)$ -- алгебраическая группа. Ее элемент называется {\бф \блуе полупростым}, если его образ в $GL(n)$ полупрост, и {\бф \блуе унипотентнным}, если он унипотентен. \теорема {\бф \блуе (Шевалле)}\\ Пусть $G\subset GL(n)$ -- алгебраическая группа, $g\in G$, а $g=su$ -- разложение Жордана-Шевалле. {\бф \ред Тогда $s, u$ лежат в $G$, и это разложение единственно и функториально относительно гомоморфизмов алгебраических групп.} \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Теорема Ратнер о замыкании орбит (повторение)} \теорема Пусть $G$ -- простая алгебраическая группа, содержащая унипотент. {\бф \ред Тогда $G$ порождена унипотентами.} \доказательство Подгруппа $G$, порожденная унипотентами, всегда нормальна. \ендпрооф \теорема {\бф \блуе (теорема Ратнер о замыкании орбит)}\\ Пусть $G$ -- группа Ли, $H\subset G$ -- подгруппа, порожденная унипотентами, а $\Gamma\subset G$ -- решетка. Рассмотрим действие $H$ на $G/\Gamma$ левыми сдвигами. и пусть $H\cdot x$ -- орбита $H$ в $G/\Gamma$. {\бф \ред Тогда существует подгруппа $S$ в $G$, содержащая $H$, и такая, что замыкание орбиты $H\cdot x$ равно $S\cdot x$.} Более того, $S$ порождена унипотентами, а группа \[ \Gamma_S:= \St_\Gamma(S\cdot x)= \{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}= S\cap \Gamma^x \] {\бф \ред это решетка в $S$} (здесь $\St_\Gamma(S\cdot x)$ обозначает стабилизатор орбиты $S\cdot x$ в $\Gamma$ при правом действии $\Gamma$ на $G$). \newpage {\бф\блуе Гипотеза Оппенхейма (повторение)} \определение Пусть $V$ -- векторное пространство, а $q\in \Sym^2(V^*)$ -- билинейная симметрическая форма на $V$. Тогда отображение $v \arrow q(v,v)$ называется {\бф\блуе квадратичной формой} на $V$. \определение Квадратичная форма $q$ на $\R^n$ {\бф \блуе представляет число $\lambda$}, если $q(v)=\lambda$ для какого-то $v\in \Z^n$. \определение Мы говорим, что квадратичная форма $q$ на $\R^n$ {\бф \блуе иррациональна}, если $q$ не пропорциональна форма с рациональными коэффициентами. \теорема {\бф \блуе (Оппенхейм, 1929; доказана Г. Маргулисом, 1987)}\\ Пусть $q$ -- иррациональная квадратичная форма на $\R^{m+n}$, $m+n >2$, сигнатуры $(m,n)$, где $m, n >0$, а $S$ -- множество чисел, представленных $q$. {\бф \ред Тогда $S$ плотно в $\R$}. {\бф \греен Доказательство в середине лекции.} \newpage {\бф\блуе Подгруппы между $SO^+(p,q)$ и $SL(p+q)$} {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$, снабженное невырожденной квадратичной формой, а $\Sym^2_0(V)$ -- пространство бесследовых симметрических матриц. {\бф \ред Тогда $\Sym^2_0(V)$ неприводимо как представление $SO(V)$.} \доказательство Fulton W., Harris J. Теория представлений. Первый курс. \ендпрооф {\бф \греен Лемма 1:} Пусть $H= SO^+(p,q)$, $G=SL(p+q,\R)$, а $S\subset G$ -- связная группа, содержащая $H$. {\бф \ред Тогда $S=H$ либо $S=G$.} \доказательство Пусть ${\goth h}\subset {\goth s}\subset {\goth g}$ -- соответствующие алгебры Ли. Достаточно доказать, что ${\goth h}= {\goth s}$ либо ${\goth s}={\goth g}$. Пусть $v\in {\goth s}$ -- вектор, ортогональный ${\goth h}$ относительно скалярного произведения $x, y \arrow \Tr(xy)$. Отождествляя ${\goth h}=\goth{so}(V)$ с $\Lambda^2(V)$, мы получаем, что ортогональное дополнение в $\goth{sl}(V)$ k $\goth{so}(V)$ есть пространство бесследовых симметрических матриц: $v\in \Sym^2_0(V)$. По теореме 1, {\бф \пурпле $\Sym^2_0(V)$ -- неприводимое представление ${\goth h}$.} Значит, $\goth h(v)+\goth h=\goth g$. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Топология Зариского} \определение Пусть $k$ -- поле. {\бф \блуе Алгебраическое подмногообразие} в $k^n$ есть множество общих нулей полиномиальной системы уравнений. \определение {\бф \блуе Топология Зариского} на алгебраическом подмногообразии в $k^n$ -- такая топология, где открытые множества суть дополнения к алгебраическим подмногообразиям. \определение Пусть $Z\subset M$ -- подмножество алгебраического многообразие. {\бф\блуе Замыкание Зариского} $\bar Z_\Zar$ есть пересечение всех алгебраических подмногообразий в $M$, содержащих $Z$. \замечание {\бф \пурпле Замыкание Зариского есть множестви общих нулей всех полиномов, зануляющихся на $Z$.} \утверждение Пусть $G$ -- алгебраическая группа, $\Gamma\subset G$ ее подгруппа. Тогда {\бф \ред замыкание Зариского $\bar \Gamma_\Zar$ -- тоже подгруппа.} \доказательство Групповые операции непрерывны в топологии Зариского, а замыкание подгруппы в топологической группе -- всегда подгруппа. Действительно, замыкание подгруппы есть множество всех ее предельных точек, но непрерывное отображение переводит предельные точки в предельные точки. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Теорема Бореля о плотности} \теорема {\бф \блуе (Теорема Бореля о плотности)}\\ Пусть $G\subset GL(n,\R)$ -- связная алгебраическая подгруппа, $\Gamma\subset G$ -- решетка в $G$, а $\bar \Gamma_\Zar$ ее замыкание Зариского. {\бф \ред Тогда $\bar \Gamma_\Zar$ -- подгруппа, содержащая все унипотентные элементы $G$}. \доказательство См. лекция 3. \следствие {\бф \пурпле Если $G$ порождена унипотентами, $\Gamma\subset G$ -- решетка в ней, то $\Gamma$ Зариски плотна в $G$.} \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Решетки и иррациональные квадратичные формы} {\бф\греен Лемма 2:} Пусть $V=\R^n, n\geq 3$ -- пространство, снабженное квадратичной формой $h$ сигнатуры $(p, q), q>0, p>0$, $p+q>2$, а $\Gamma:= G\cap GL(n,\Z)$ -- решетка в $G=SO^+(h)$. {\бф \ред Тогда $q$ не иррациональна.} \дшаг Поскольку $h$ имеет сигнатуру $(p, q), q>0, p>0$, $p+q>2$, она порождена унипотентами. По теореме Бореля о плотности, $\bar \Gamma_\Zar=G$. {\бф \греен Шаг 2:} По теореме 1, $(\Sym^2 V^*)^G=\R h$ (инварианты ортогональной группы $SO^+(h)$ на симметрических 2-формах порождены $h$). Поскольку $\Gamma$ Зариски плотна в $G$, {\бф \пурпле прямая $\R\cdot h$ задается системой линейных уравнений $g(v)=v$, $g\in \Gamma$ с целыми коэффициентами.} Значит, эта прямая рациональна. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Теорема Ратнер и иррациональные квадратичные формы} {\бф \греен Лемма 3:} Пусть $q$ -- квадратичная форма на $\R^{m+n}$, сигнатуры $(m,n)$, где $m, n >0$, $m+n>2$, $G= SL(n+m)$, $\Gamma=SL(m+n, \Z)$, а $H=SO^+(q)\subset G$. {\бф \ред Если $q$ иррациональна, то орбита $H\cdot e$ плотна в $G/\Gamma$, в противном случае -- замкнута.} \дшаг По теореме Ратнер, $\overline{H\cdot e}=S\cdot e$, где $S$ есть группа Ли, $H\subset S\subset G$. {\бф \греен Шаг 2:} Любая связная подгруппа $S$, такая, что $H\subset S\subset G$, равна $H$ либо $G$ (Лемма 1). {\бф \греен Шаг 3:} Получаем, что {\бф \пурпле замкнутые орбиты соответствуют подгруппам $H\subset G$ таким, что $H\cap \Gamma$ есть решетка в $H$, а незамкнутые плотны.} {\бф \греен Шаг 4:} Если $q$ иррациональна, $H\cap \Gamma$ не может быть решеткой (Лемма 2). Значит, {\бф \пурпле $H\cdot x$ плотно $\Leftrightarrow$ $q$ иррациональна.} \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Доказательство гипотезы Оппенхейма} \теорема {\бф \блуе (гипотеза Оппенхейма, 1929)}\\ Пусть $q$ -- иррациональная квадратичная форма на $V=\R^{m+n}$, $m+n >2$, сигнатуры $(m,n)$, где $m, n >0$, а $S$ -- множество чисел, представленных $q$. {\бф \ред Тогда $S$ плотно в $\R$}. \дшаг Пусть $G= SL(n+m)$, а $H=SO^+(q)\subset G$. В силу Леммы 3, левая орбита $H\cdot e$ плотна в $G/\Gamma$. Легко видеть, что это равносильно плотности правой орбиты $e\cdot \Gamma$ в левом факторе $H\backslash G$. {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим функцию $\mu:\; H\backslash G\arrow \R$, переводящую $g$ в $q(g(e_0))$, где $e_0=(1,0,0,...,0)$. {\бф \пурпле Тогда $\mu(e\cdot \Gamma)$ есть множество всех чисел, которые представляются квадратичной формой $q$.} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку $e\cdot \Gamma$ плотно в $H\backslash G$, $\mu(e\cdot \Gamma)$ плотно в $\R$. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Теория меры} \определение {\бф \блуе Алгебра подмножеств} пространства $M$ есть набор подмножеств ${\goth W}\subset 2^M$, замкнутый относительно объединений, пересечений и дополнений. \пример Подмножество топологического пространства называется {\бф \блуе борелевским}, если оно получено счетными объединениями, пересечениями и дополнениями из открытых множеств. \определение Пусть ${\goth W}\subset 2^M$ -- алгебра подмножеств пространства $M$. ${\goth W}$ называется {\бф\блуе $\sigma$-алгеброй}, если она замкнута относительно счетных объединений. \пример Борелевские множества образуют сигма-алгебру. \определение {\бф\блуе Мера} на сигма-алгебре $A$ есть счетно-аддитивная функция $\mu:\; A\arrow \R^{\geq 0}$. {\бф\блуе Мера} на топологическом пространстве есть мера на его борелевской алгебре. \невпаге {\бф \блуе Теорема Пуанкаре о возвращении} \определение Мера $\mu$ на пространстве $M$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если $\mu(M)=1$. \определение Подмножество $M_0\subset M$ пространства $(M,\mu)$ с мерой называется {\бф \блуе подмножеством полной меры}, если $\mu(M\backslash M_0)=0$. \теорема {\бф \блуе (Пуанкаре о возвращении)}\\ Пусть $(M,\mu)$ -- топологическое пространство (метризуемое, со счетной базой) с вероятностной мерой, а $\phi:\; M \arrow M$ -- гомеоморфизм, сохраняющий $\mu$. Рассмотрим {\бф \блуе множество возврата (recurrence set)} $R$ точек $x\in M$ таких, что для какой-то последовательности $\{m_i\}$ натуральных чисел, стремящихся к бесконечности, имеем $\lim_i \phi^{m_i}(x)=x$. {\бф \ред Тогда $R$ -- подмножество полной меры.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Пуанкаре о возвращении (доказательство)} \теорема {\бф \блуе (Пуанкаре о возвращении)}\\ Пусть $(M,\mu)$ -- топологическое пространство (метризуемое, со счетной базой) с вероятностной мерой, а $\phi:\; M \arrow M$ -- гомеоморфизм, сохраняющий $\mu$. Рассмотрим {\бф \блуе множество возврата (recurrence set)} $R$ точек $x\in M$ таких, что для какой-то последовательности $\{m_i\}$ натуральных чисел, стремящихся к бесконечности, имеем $\lim_i \phi^{m_i}(x)=x$. {\бф \ред Тогда $R$ -- подмножество полной меры.} \дшаг Пусть $A_\epsilon$ -- множество всех $x$ таких, что пересечение $\epsilon$-шара с центром в $x$ с орбитой $\{\phi(x), \phi^2(x), \phi^3(x), ...\}$ пусто ("множество $\epsilon$-невозвращения"). Поскольку $M\backslash R = \bigcup A_{\epsilon}$, $\epsilon\in \Q$, {\бф \пурпле достаточно убедиться, что $A_\epsilon$ --- множество меры нуль для всех $\epsilon>0$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $A_{\epsilon}$ -- множество положительной меры. Возьмем $B\subset A_\epsilon$ -- множество диаметра $\epsilon$ и положительной меры. Поскольку $M\supset \bigcup_i \phi^i (B)$ -- множество конечной меры, {\бф \пурпле для каких-то $i\neq j$, имеем $\phi^i(B)\cap \phi^j(B)\neq 0$.} {\бф \греен Шаг 3:} Коль скоро $\phi^i(B)\cap \phi^j(B)$ непусто, существует какой-то $x\in \phi^{i-j}(B)\cap B $, а значит, {\бф \пурпле $x$ и $\phi^{j-i}(x)$ лежат в множестве $B$ диаметра $\epsilon$.} Это влечет $d(x, \phi^{i-j}(x))<\epsilon$, что невозможно, потому что $x\in A_\epsilon$. \ендпрооф \невпаге \centerline{\epsfig{file=Poincare-bakermap.jpg,width=0.53\linewidth}} \newpage {\бф \блуе Тепловая смерть вселенной!} {\small \begin{minipage}[t]{0.40\linewidth}\begin{center} \epsfig{file=Henri-Poincare-1887.jpg,width=0.53\linewidth}\\ {\small Jules Henri Poincar\'e \\ (1854 - 1912)} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{0.40\linewidth}\begin{center} \epsfig{file=Ludwig-Eduard-Boltzmann-Quotes-2.jpg,width=\linewidth}\\ {\small Ludwig Eduard Boltzmann\\ (1844 - 1906)} \end{center} \end{minipage}} {\it \small ...I do not know if it has been remarked that the English kinetic theories can extricate themselves from this contradiction. The world, according to them, tends at first toward a state where it remains for a long time without apparent change; and this is consistent with experience; but it does not remain that way forever, if the theorem cited above is not violated; it merely stays there for an enormously long time, a time which is longer the more numerous are the molecules. This state will not be the final death of the universe, but a sort of slumber, from which it will awake after millions of millions of centuries. According to this theory, to see heat pass from a cold body to a warm one, it will not be necessary to have the acute vision, the intelligence, and dexterity of Maxwell's demon; it will suffice to have a little patience. {\scriptsize H. Poincare (1893) Le m\'ecanisme et l'exp\'erience. \\ Revue de Metaphysique et de Morale, 4, 534.}} \newpage {\бф \блуе Тепловая смерть!} {\it \small ...One has the choice between two kinds of pictures. One can assume that the entire universe finds itself at present in a very improbable state. However, one may suppose that the aeons during which this improbable state lasts, and the distance from here to Sirius, are minute compared to the age and size of the universe. There must then be in the universe, which is in thermal equilibrium as a whole and therefore dead, here and there relatively small regions of the size of our galaxy (which we call worlds), which during the relatively short time of aeons deviate significantly from thermal equilibrium. Among these worlds the state probability increases as often as it decreases. For the universe as a whole the two directions of time are indistinguishable, just as in space there is no up and down. However, just as at a certain place on the earth we can call "down" the direction toward the centre of the earth, so a living being that finds itself in such a world at a certain period of time can define the time direction as going from less probable to more probable states (the former will be the "past", the latter the "future") and by virtue of this definition he will find that this small region, isolated from the rest of the universe, is "initially" always in an improbable state. This viewpoint seems to me the only way in which one can understand the validity of the Second Law and the heat death of each individual world, without invoking an unidirectional change of the entire universe from a definite initial state to final state... L. Boltzmann (1897). Zu Hrn. Zermelo Abhandlung fiber die mechanische Erklarungen irreversible!' Vorgange. Wiedemann's Annalen, 60, 392-8. } \end{document}