
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\sf const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}}
\newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{{\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ������ ������, ������ 2 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ������� ������ \\[15mm]
\small ������ 2: �������� ����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[10mm] \tiny 
28 ���� 2014
\\[20mm]

{\tiny\bf ������ �������������� ����� "������� � ��������� IV"\\[2mm]
24 - 31 ����, 2014, ����, ���������, ������

}
\end{center}

\newpage

{\��\���� ������ �� (����������)}

\�����������
{\�� \���� ������ ��} ���� ������� ������������,
���������� ��������� ����������, ����� �������, ��� 
��������� �������� $x, y \arrow xy$ � $x\arrow x^{-1}$
���� ������� �����������.

\�����������
����� {\�� \���� ���� �����} ���� ������� ���� �� ������ ��,
������������ ������������ ����� ������� $L_x(g)=xg$.

\�������
{\�� \��� ���� ����� ����������, � ����������� � ��������� �� 
����������� ���������.}

\�����������
����� $\Gamma\subset G$ -- ���������� ���������
������ $G$. ��� ���������� {\�� \���� ��������}, ����
$\mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)<\infty$, �� ���� ������
$G$ �� $\Gamma$ ����� �������� ���� �����.

\newpage

{\��\���� ������� ������ � �����-������ (����������)}

\������� {\�� \���� (������ � �����-������)}\\
����� $G\subset GL(n, \R)$ ������ ��, �������� �������
�������������� ��������� � ������������� ��������������.
�����������, ��� �� ���������� ������������� �������������
�� $G$ � $GL(1, \R)$, ������������ ���������� � 
������������� ��������������. {\�� \��� ����� ������ 
$G_\Z= G\cap SL(n, \Z)$ �������� �������� � $G$.}

\���������
� �� ���� ���������� ������� ������ � �����-������,
�� ��� �� ����������, ���������� � ���� �������, ��������
�� ������ �������� ������ $SL(2, \Z)\subset SL(2, \R)$,
� ���������� ������ � ���� ������ ����� ���������
���������������.

\newpage

{\��\���� ���������� �������-������� (����������)}


\�����������
����� $G\subset GL(n)$ -- ���������, �������� 
�������� �������������� ��������� ��� $k=\R$ ��� $k=\C$. ����� $G$
���������� {\�� \���� �������������� �������}.


\�����������
������� $g\in GL(n)$ ���������� {\�� \����
������������}, ���� ��� �� ����������� �������� ����� 1,
� {\�� \���� �����������}, ���� ��� �������������� ��� ��������������
����������.

\�����������
{\�� \��� ����� ������� $g\in GL(n)$
��������� ���������� ���� $g=su$, ��� $s$ ����������,
$u$ �����������, � $su=us$.}  
��� ���������� ���������� {\�� \���� �����������
�������-�������}.

\����������� ����� $G\subset GL(n)$ -- �������������� ������.
�� ������� ���������� {\�� \���� �����������}, ����
��� ����� � $GL(n)$ ���������, � {\�� \���� �������������},
���� �� �����������.

\������� {\�� \���� (�������)}\\
����� $G\subset GL(n)$ -- �������������� ������,
$g\in G$, �  $g=su$ -- ���������� �������-�������.
{\�� \��� ����� $s, u$ ����� � $G$, � ��� ���������� 
����������� � �������������
������������ ������������� �������������� �����.}
\��������


\newpage

{\��\���� ������� ������ � ��������� ����� (����������)}


\�������
����� $G$ -- ������� �������������� ������, ���������� ���������.
{\�� \��� ����� $G$ ��������� ������������.}

\��������������
��������� $G$, ����������� ������������, ������ ���������.
\��������


\������� {\�� \���� (������� ������ � ��������� �����)}\\
����� $G$ -- ������ ��, $H\subset G$ -- ���������,
����������� ������������, � $\Gamma\subset G$ -- �������. 
���������� �������� $H$ �� $G/\Gamma$ ������ ��������.
� ����� $H\cdot x$ -- ������ $H$ � $G/\Gamma$.
{\�� \��� ����� ���������� ��������� $S$ � $G$, ���������� $H$,
� �����, ��� ��������� ������ $H\cdot x$ �����
$S\cdot x$.} ����� ����, $S$ ��������� ������������, � ������
\[
\Gamma_S:= \St_\Gamma(S\cdot x)=
\{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}= S\cap \Gamma^x
\]
{\�� \��� ��� ������� � $S$}
(����� $\St_\Gamma(S\cdot x)$ ���������� ������������ ������ 
$S\cdot x$ � $\Gamma$ ��� ������ �������� $\Gamma$ �� $G$).

\newpage

{\��\���� �������� ���������� (����������)}

\�����������
����� $V$ -- ��������� ������������, � $q\in \Sym^2(V^*)$ --
���������� �������������� ����� �� $V$. ����� 
����������� $v \arrow q(v,v)$ ���������� {\��\���� ������������
������} �� $V$.

\�����������
������������ ����� $q$ �� $\R^n$ {\�� \���� ������������ ����� $\lambda$}, ����
$q(v)=\lambda$ ��� ������-�� $v\in \Z^n$.


\�����������
�� �������, ��� ������������ ����� $q$ �� $\R^n$ {\�� \���� �������������},
���� $q$ �� ��������������� ����� � ������������� ��������������.


\������� {\�� \���� (���������, 1929; �������� �. ����������, 1987)}\\
����� $q$ -- �������������� ������������ ����� �� $\R^{m+n}$,
$m+n >2$, ��������� $(m,n)$, ��� $m, n >0$, � $S$ -- ���������
�����, �������������� $q$. {\�� \��� ����� $S$ ������ � $\R$}.

{\�� \����� �������������� � �������� ������.}

\newpage

{\��\���� ��������� ����� $SO^+(p,q)$ � $SL(p+q)$}

{\�� \����� ������� 1:}
����� $V$ -- ��������� ������������ ��� $\R$, ����������
������������� ������������ ������, � $\Sym^2_0(V)$ --
������������ ����������� �������������� ������.
{\�� \��� ����� $\Sym^2_0(V)$ ����������� ��� �������������
$SO(V)$.}

\�������������� Fulton W., Harris J. 
������ �������������. ������ ����.
\��������



{\�� \����� ����� 1:}
����� $H= SO^+(p,q)$,  $G=SL(p+q,\R)$,
� $S\subset G$ -- ������� ������, ���������� $H$.
{\�� \��� ����� $S=H$ ���� $S=G$.}

\�������������� ����� ${\goth h}\subset {\goth s}\subset
{\goth g}$ -- ��������������� ������� ��.
���������� ��������, ��� ${\goth h}= {\goth s}$ ���� 
${\goth s}={\goth g}$. ����� $v\in {\goth s}$ -- ������,
������������� ${\goth h}$ ������������ ����������
������������ $x, y \arrow \Tr(xy)$. ������������
${\goth h}=\goth{so}(V)$ � $\Lambda^2(V)$,
�� ��������, ��� ������������� ���������� 
� $\goth{sl}(V)$ k $\goth{so}(V)$ ���� ������������
����������� �������������� ������: $v\in \Sym^2_0(V)$.
�� ������� 1,
{\�� \������ $\Sym^2_0(V)$ -- ������������ �������������
${\goth h}$.} ������, $\goth h(v)+\goth h=\goth g$.
\��������

\newpage

{\��\���� ��������� ���������}

\�����������
����� $k$ -- ����.
{\�� \���� �������������� ���������������} � 
$k^n$ ���� ��������� ����� ����� ��������������
������� ���������.

\�����������
{\�� \���� ��������� ���������} �� ��������������
��������������� � $k^n$ -- ����� ���������, ���
�������� ��������� ���� ���������� � ��������������
����������������.

\�����������
����� $Z\subset M$ -- ������������ ���������������
������������. {\��\���� ��������� ���������} $\bar Z_\Zar$
���� ����������� ���� �������������� ��������������� �
$M$, ���������� $Z$. 

\��������� {\�� \������ ��������� ��������� ���� ���������
����� ����� ���� ���������, ������������ �� $Z$.}

\�����������
����� $G$ -- �������������� ������, $\Gamma\subset G$ ��
���������. ����� {\�� \��� ��������� ��������� $\bar \Gamma_\Zar$ --
���� ���������.}

\�������������� ��������� �������� ���������� � ���������
���������, � ��������� ��������� � �������������� ������ --
������  ���������. �������������, ��������� ���������
���� ��������� ���� �� ���������� �����, �� �����������
����������� ��������� ���������� ����� � ���������� �����. \��������


\newpage

{\��\���� ������� ������ � ���������}


\������� {\�� \���� (������� ������ � ���������)}\\
����� $G\subset GL(n,\R)$ -- ������� ��������������
���������, $\Gamma\subset G$ -- ������� � $G$,
� $\bar \Gamma_\Zar$ �� ��������� ���������.
{\�� \��� ����� $\bar \Gamma_\Zar$ -- ���������,
���������� ��� ������������ �������� $G$}.

\��������������
��. ������ 3.

\���������
{\�� \������ ���� $G$ ��������� ������������,
$\Gamma\subset G$ --
������� � ���, �� $\Gamma$ ������� ������ � $G$.}
\��������

\newpage

{\��\���� ������� � �������������� ������������ �����}

{\��\����� ����� 2:}
����� $V=\R^n, n\geq 3$ -- ������������, ����������
������������ ������ $h$ ��������� $(p, q), q>0, p>0$,
$p+q>2$, � $\Gamma:= G\cap GL(n,\Z)$ -- �������
� $G=SO^+(h)$. {\�� \��� ����� $q$ �� �������������.}

\����
��������� $h$ ����� ��������� $(p, q), q>0, p>0$,
$p+q>2$, ��� ��������� ������������.
�� ������� ������ � ���������, $\bar \Gamma_\Zar=G$.

{\�� \����� ��� 2:} �� ������� 1, $(\Sym^2 V^*)^G=\R h$ (����������
������������� ������ $SO^+(h)$ �� �������������� 2-������ 
��������� $h$). ��������� $\Gamma$ ������� ������ � $G$,
{\�� \������ ������ $\R\cdot h$ �������� �������� �������� ���������
$g(v)=v$, $g\in \Gamma$ � ������ ��������������.}
������, ��� ������ �����������.
\��������


\newpage

{\��\���� ������� ������ � �������������� ������������ �����}

{\�� \����� ����� 3:} 
����� $q$ -- ������������ ����� �� $\R^{m+n}$,
��������� $(m,n)$, ��� $m, n >0$, $m+n>2$, $G= SL(n+m)$, 
$\Gamma=SL(m+n, \Z)$, � $H=SO^+(q)\subset G$. 
{\�� \��� ���� $q$ �������������, �� ������ $H\cdot e$ ������
� $G/\Gamma$, � ��������� ������ -- ��������.}

\���� 
�� ������� ������, $\overline{H\cdot e}=S\cdot e$,
��� $S$ ���� ������ ��, $H\subset S\subset G$.

{\�� \����� ��� 2:} ����� ������� ��������� $S$, �����, ���
$H\subset S\subset G$, ����� $H$ ���� $G$ (����� 1).

{\�� \����� ��� 3:} ��������, ��� {\�� \������ ��������� ������
������������� ���������� $H\subset G$
�����, ��� $H\cap \Gamma$ ���� ������� � $H$, �
����������� ������.}

{\�� \����� ��� 4:} ���� $q$ �������������,
$H\cap \Gamma$ �� ����� ���� �������� (����� 2).
������, {\�� \������ $H\cdot x$ ������ $\Leftrightarrow$ $q$ �������������.}
\��������




\newpage

{\��\���� �������������� �������� ����������}


\������� {\�� \���� (�������� ����������, 1929)}\\
����� $q$ -- �������������� ������������ ����� �� $V=\R^{m+n}$,
$m+n >2$, ��������� $(m,n)$, ��� $m, n >0$, � $S$ -- ���������
�����, �������������� $q$. {\�� \��� ����� $S$ ������ �
$\R$}.

\���� ����� $G= SL(n+m)$, � $H=SO^+(q)\subset G$.
� ���� ����� 3, ����� ������ $H\cdot e$ ������ � $G/\Gamma$.
����� ������, ��� ��� ����������� ���������
������ ������ $e\cdot \Gamma$ � ����� ������� $H\backslash G$. 

{\�� \����� ��� 2:} 
���������� ������� $\mu:\; H\backslash G\arrow \R$,
����������� $g$ � $q(g(e_0))$, ��� $e_0=(1,0,0,...,0)$.
{\�� \������ ����� $\mu(e\cdot \Gamma)$ ���� ��������� ���� �����,
������� �������������� ������������ ������ $q$.}

{\�� \����� ��� 3:} ��������� $e\cdot \Gamma$ 
������ � $H\backslash G$, $\mu(e\cdot \Gamma)$ ������ �
$\R$.
\��������

\newpage

{\��\���� ������ ����}

\�����������
{\�� \���� ������� �����������}
������������ $M$ ���� ����� ����������� ${\goth W}\subset 2^M$,
��������� ������������ �����������, ����������� � ����������.

\������
������������ ��������������� ������������ ����������
{\�� \���� �����������}, ���� ��� �������� ��������
�������������, ������������� � ������������ �� 
�������� ��������.

\�����������
����� ${\goth W}\subset 2^M$ -- ������� �����������
������������ $M$.
${\goth W}$ ���������� {\��\���� $\sigma$-��������},
���� ��� �������� ������������ ������� �����������.

\������
����������� ��������� �������� �����-�������.

\�����������
{\��\���� ����} �� �����-������� $A$ ����
������-���������� ������� $\mu:\; A\arrow \R^{\geq 0}$.
{\��\���� ����} �� �������������� ������������
���� ���� �� ��� ����������� �������.

\�������

{\�� \���� ������� �������� � �����������}


\�����������
���� $\mu$ �� ������������ $M$ ���������� {\�� \����
�������������}, ���� $\mu(M)=1$.

\�����������
������������ $M_0\subset M$ ������������ $(M,\mu)$ � �����  ����������
{\�� \���� ������������� ������ ����}, ����
$\mu(M\backslash M_0)=0$.


\������� {\�� \���� (�������� � �����������)}\\
����� $(M,\mu)$ --  �������������� ������������
(�����������, �� ������� �����) � ������������� �����,
� $\phi:\; M \arrow M$ -- ������������, ����������� $\mu$. 
���������� {\�� \���� ��������� �������� (recurrence set)} 
$R$ ����� $x\in M$ �����, ��� ��� �����-�� 
������������������ $\{m_i\}$ ����������� �����, �����������
� �������������, ����� $\lim_i \phi^{m_i}(x)=x$. {\�� \��� ����� 
$R$ -- ������������ ������ ����.}



\�������

{\�� \���� ������� �������� � ����������� (��������������)}

\������� {\�� \���� (�������� � �����������)}\\
����� $(M,\mu)$ --  �������������� ������������
(�����������, �� ������� �����) � ������������� �����,
� $\phi:\; M \arrow M$ -- ������������, ����������� $\mu$. 
���������� {\�� \���� ��������� �������� (recurrence set)} 
$R$ ����� $x\in M$ �����, ��� ��� �����-�� 
������������������ $\{m_i\}$ ����������� �����, �����������
� �������������, ����� $\lim_i \phi^{m_i}(x)=x$. {\�� \��� ����� 
$R$ -- ������������ ������ ����.}


\����
����� $A_\epsilon$ -- ��������� ���� 
$x$ �����, ��� ����������� $\epsilon$-���� � ������� �
$x$ � ������� $\{\phi(x), \phi^2(x), \phi^3(x), ...\}$ �����
("��������� $\epsilon$-�������������").
��������� $M\backslash R 
= \bigcup A_{\epsilon}$, $\epsilon\in \Q$, 
{\�� \������ ���������� ���������, ���
$A_\epsilon$ --- ���������  ���� ���� ��� ���� $\epsilon>0$.}

{\�� \����� ��� 2:} ����� 
$A_{\epsilon}$ -- ��������� �������������
����. ������� $B\subset A_\epsilon$ -- ��������� ��������
$\epsilon$ � ������������� ����. ��������� $M\supset 
\bigcup_i \phi^i (B)$ --
��������� �������� ����, {\�� \������ ��� �����-�� $i\neq j$, ����� 
$\phi^i(B)\cap \phi^j(B)\neq 0$.}

{\�� \����� ��� 3:}
���� ����� $\phi^i(B)\cap \phi^j(B)$ �������,
���������� �����-�� $x\in  \phi^{i-j}(B)\cap B $, 
� ������, {\�� \������ $x$ � $\phi^{j-i}(x)$ ����� �
��������� $B$ �������� $\epsilon$.}
��� ������ $d(x, \phi^{i-j}(x))<\epsilon$, ��� ����������,
������ ��� $x\in A_\epsilon$.
\��������

\�������

\centerline{\epsfig{file=Poincare-bakermap.jpg,width=0.53\linewidth}}


\newpage

{\�� \���� �������� ������ ���������!}

{\small
\begin{minipage}[t]{0.40\linewidth}\begin{center}
\epsfig{file=Henri-Poincare-1887.jpg,width=0.53\linewidth}\\
{\small Jules Henri Poincar\'e \\
(1854 - 1912)}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.40\linewidth}\begin{center}
\epsfig{file=Ludwig-Eduard-Boltzmann-Quotes-2.jpg,width=\linewidth}\\
{\small Ludwig Eduard Boltzmann\\ (1844 - 1906)} \end{center}
\end{minipage}}

{\it \small
...I do not know if it has been remarked that the English
kinetic theories can extricate themselves from this
contradiction. The world, according to them, tends at
first toward a state where it remains for a long time
without apparent change; and this is consistent with
experience; but it does not remain that way forever, if
the theorem cited above is not violated; it merely stays
there for an enormously long time, a time which is longer
the more numerous are the molecules. This state will not
be the final death of the universe, but a sort of slumber,
from which it will awake after millions of millions of
centuries. According to this theory, to see heat pass from
a cold body to a warm one, it will not be necessary to
have the acute vision, the intelligence, and dexterity of
Maxwell's demon; it will suffice to have a little
patience.


{\scriptsize H. Poincare (1893)
Le m\'ecanisme et l'exp\'erience. \\
Revue de Metaphysique et de Morale, 4, 534.}}


\newpage


{\�� \���� �������� ������!}


 {\it \small
 ...One has the choice between two kinds of pictures. One
 can assume that the entire universe finds itself at
 present in a very improbable state. However, one may
 suppose that the aeons during which this improbable state
 lasts, and the distance from here to Sirius, are minute
 compared to the age and size of the universe. There must
 then be in the universe, which is in thermal equilibrium
 as a whole and therefore dead, here and there relatively
 small regions of the size of our galaxy (which we call
 worlds), which during the relatively short time of aeons
 deviate significantly from thermal equilibrium. Among
 these worlds the state probability increases as often as
 it decreases. For the universe as a whole the two
 directions of time are indistinguishable, just as in
 space there is no up and down. However, just as at a
 certain place on the earth we can call "down" the
 direction toward the centre of the earth, so a living
 being that finds itself in such a world at a certain
 period of time can define the time direction as going
 from less probable to more probable states (the former
 will be the "past", the latter the "future") and by
 virtue of this definition he will find that this small
 region, isolated from the rest of the universe, is
 "initially" always in an improbable state. This viewpoint
 seems to me the only way in which one can understand the
 validity of the Second Law and the heat death of each
 individual world, without invoking an unidirectional
 change of the entire universe from a definite initial
 state to final state...  

L. Boltzmann (1897). Zu Hrn. Zermelo Abhandlung fiber die mechanische Erklarungen
 irreversible!' Vorgange. Wiedemann's Annalen, 60, 392-8.
 }



 \end{document} 
