
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\sf const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}}
\newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{{\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ������ ������, ������ 1 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ������� ������ \\[15mm]
\small ������ 1: ������� � ������� ��}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[10mm] \tiny 
26 ���� 2014
\\[20mm]

{\tiny\bf ������ �������������� ����� "������� � ��������� IV"\\[2mm]
24 - 31 ����, 2014, ����, ���������, ������

}
\end{center}

\newpage

{\��\���� ������ ��}

\�����������
{\�� \���� ������ ��} ���� ������� ������������,
���������� ��������� ����������, ����� �������, ��� 
��������� �������� $x, y \arrow xy$ � $x\arrow x^{-1}$
���� ������� �����������.

\���������
{\�� \���� ����������� ������} ���� ��������������
������������, ���������� ��������� ���������� ����� �������, ��� 
��������� �������� $x, y \arrow xy$ � $x\arrow x^{-1}$
����������. ����������� ������ ��������� ������� ���������
(5-� �������� ���������, �������� ��������, ����������,
�������� � �����, 1952-1953; {\�� \��� ����� �������}).

\�����������
����� {\�� \���� ���� �����} ���� ������� ���� �� ������ ��,
������������ ������������ ����� ������� $L_x(g)=xg$.

\���������
{\�� \������ ������ ������ ����������� � ������,} 
��������������, ��������� ���� ����� � ���� ����� (��������, ������).

\newpage

{\��\���� ������������� ������}

\�������
{\�� \��� ���� ����� ����������, � ����������� � ��������� �� 
����������� ���������.}

\��������������
������� ���� ���� ����� ������ �� ����������� ����������.
���� ������ ����� ������ $\nu$ �� $T_e G$, �� {\�� \������
����� ������ $\nu_x$ �� $T_x G$
���������� �� ������� $\nu_x=L^*_{x^{-1}}\nu$.} ��� ���� �������������
���������������� ����. �������������� ������� �� ����, ��� ����� 
$\nu$ ���������� � ��������� �� ���������: $\nu\in \Lambda^{\dim G}T_e G=\R$.
\��������


\����������� ������ �� ���������� {\�� \����
�������������}, ���� �� ����� ���� ����� $\mu$ �����������
������������ ������ �������.

\���������
����� $\mu$ ���� ����� ���� �����.
����������� $x\stackrel \chi \arrow \frac{R_x^*\mu}{\mu}$ ������ 
����������� �� $G$ � ����������������� ������ $\R^{>0}$.
� ���������, {\�� \��� ����� ������ $G$ �����, ��� $G=[G,G]$
������������.}

\������
{\�� \������ ������ �������� �������������� $\R^2$ �� ������������}
{\�� \��� (�������� ���)!}

\newpage

{\��\���� ������� � ������� ��}

\����������
����� $G$ -- ������ ��, $\Gamma\subset G$ -- ����������
���������, � $\Gamma \backslash G$ -- ������ �� ������
�������� $\Gamma$. {\�� \��� ��������, ��� $\Gamma \backslash G$ 
���� �������, ����������� ������������.}

\�����������
� ���� ��������, ������� ����� ���� ����� $\mu$ �� $G$.
��������� ����������� $\pi:\; G\arrow \Gamma \backslash G$ --
��������, � ������ ����� ���� ����������� $U$, �������������
����, �����, ��� $\pi^{-1}(U)= \Gamma\cdot U$
���� ����������� $|\Gamma|$ �����, ������������� $U$.
��������� {\��\���� ���� �����} $\mu_\Gamma$ �� $\Gamma \backslash G$
�������� $\mu_\Gamma(U)= \mu(U_1)$, ��� $U_1$ ����
����� �� ������� ���������� $U$, ��� �������, ���
$U_1$ ������������ $U$.

\��������� ��� �� �� �����, ��� {\�� \������ ���������� $\mu_\Gamma$
���������������� ������ $\eta$ �����, ��� $\pi^*\eta$
���� ����� ������ ���� �����.}

\�����������
����� $\Gamma\subset G$ -- ���������� ���������
������ $G$. ��� ���������� {\�� \���� ��������}, ����
$\mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)<\infty$, �� ���� ������
$G$ �� $\Gamma$ ����� �������� ���� �����.

\newpage

{\��\���� ��������������� �������}

\���������
 {\�� \������  $\Gamma\subset G$ �������� �������� $\Leftrightarrow$
 ��������������� ������� �� �������� ��
 $G$ ����� �������� �����.} 
\begin{center}
\epsfig{file=fund-domain.png,width=0.5\linewidth}\\
{\it ��������������� ������� ������ $SL(2, \Z)$
����������� �� ������� ������������� ������-���������
����������������.}
\end{center}
\���������
�� ���� �������� �������, ��� {\�� \��� $SL(2, \Z)$ ���� �������
� $SL(2, \R)$.} �������������, ��������������� ������� $\Omega$
�������� $\Gamma:=SL(2, \Z)$
� ��������� ������������ ${\Bbb H}^2=SL(2,\R)/S^1$,
������������ �� ��������, ����� �������� �����.
�� ����� �������, ��� ��������������� ������� $\Gamma$ ��
$SL(2,\R)$ (����������� ��� $\Omega$ �� ����� $S^1$)
���� ����� �������� �����.

\newpage

{\��\���� ������� ������ � �����-������}

\�����������
����� $G$ -- ������ ��, ���������� �������.
{\�� \��� ����� $G$ ������������.}

\��������������
{\�� \������ $x\in G$ ��������� ������ �� $\Gamma \backslash G$
� �������� ���� ����� �� ��������� $\chi(x)$.} � ������
�������, $(R_x\mu_\Gamma)(\Gamma \backslash G)= 
\chi(x) \mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)$. ���������
����� ������������ ����������� ������������
���������������, $\chi(x)=1$. \��������

%\���������
%� ����������, ��� ������ �� �������������� �� ��������� ��������������,
%�� ���� {\�� \������ ����� ���� ����� ���� ������ ����, � ��������.}

\������� {\�� \���� (������ � �����-������)}\\
����� $G\subset GL(n, \R)$ ������ ��, �������� �������
�������������� ��������� � ������������� ��������������.
�����������, ��� �� ���������� ������������� �������������
�� $G$ � $GL(1, \R)$, ������������ ���������� � 
������������� ��������������. {\�� \��� ����� ������ 
$G_\Z= G\cap SL(n, \Z)$ �������� �������� � $G$.}

\���������
� �� ���� ���������� ������� ������ � �����-������,
�� ��� �� ����������, ���������� � ���� �������, ��������
�� ������ �������� ������ $SL(2, \Z)\subset SL(2, \R)$,
� ���������� ������ � ���� ������ ����� ���������
���������������.


\newpage

{\��\���� �������������� ������� � ������� ��������� �� �������������}


\�����������
����� $G\subset GL(n)$ -- ���������, �������� 
�������� �������������� ��������� ��� $k=\R$ ��� $k=\C$. ����� $G$
���������� {\�� \���� �������������� �������}.
���������� ���������
$\Gamma, \Gamma'\subset G$ ���������� {\�� \����
������������}, ���� $\Gamma\cap \Gamma'$ �����
�������� ������ � $\Gamma$ � � $\Gamma'$.
{\�� \���� �������������� �������} � ��������������
������ $G$ ���� �������, ������� ���������� � 
$G\cap GL(n,\Z)$.

%\����������� 
%{\�� \���� ����������������}
%������������ �������������� ������ ���� ������ ��� $\C$, �������� ���� ��
%��������������� �����������.

\����������� ����� $G$ -- �����������
������ ��. Ee {\�� \���� ��������� �������} ����
������������ ������� ��������� $H$, ������������
������� ����� ����������� $\dim H$. �� {\�� \���� 
������������ ����} ���� ����������� ������� $H$
�� ������������� ����������� �������.

% �� {\�� \���� ����} ���� �����������
%������������� ����������� ���� � $G$. {\�� \���� $\R$-����}
%������������ �������������� ������ $G$ ���� $\r�(G_\C)- r$,
%��� $\r�(G_\C)$ -- ���� �� ���������������, � $r$ -- �����������
%������������� ����������� ���� � $G$.


\������� {\�� \���� (������� ��������� �� �������������)}\\
����� $\Gamma\subset G$ -- ������� � �������
�������������� ������ �� $G$, � ������������ ������ $> 2$.
{\�� \��� ����� $\Gamma$ ��������� �������������� �������.}


\newpage

{\��\���� ��������������� ������������}

\���������� ����� $p, q>0$.
{\�� \������
��������, ��� $SO(p,q)$ ����� ����� ��� ���������� ���������.}

\����������� ������� ����������
$SO(p,q)$ ������������ $SO^+(p,q)$. 

\������
������ $SO^+(1,n)$ ����� ���� 1.
������ $SU(1,n)$ ����� ���� 2.


\�����������
{\�� \���� ��������������� ������������}, ��� ��
{\�� \���� ������������ ���������� ������������� ��������} 
${\Bbb H}^n$ ���� $SO^+(1,n)/SO(n)$, ����������
$SO^+(1,n)$-������������ ��������� ��������.

\���������
����� $x\in G/H$. ����� $G$-������������ ������� 
�� $G/H$ ��������� � ���������� ������������ � $H$-�������������
��������� �� $T_x G/H$. � ���������, {\�� \������ ��� ����������� $H$,
$G$-������������ ������� �� $G/H$ ������ ����������.}

\���������� ��������, ��� {\�� \������ $SO(n)$-������������ ������� �� $\R^n$
����������� � ��������� �� ���������. }

\���������� 
��������, ��� {\�� \��� ������ ��������������� ���������
${\Bbb H}^n$ ���� $SO^+(1,n)$.}

\newpage

{\��\���� ��������������� ������������}

\�����������
{\�� \���� ��������������� ������������} ���� ������
${\Bbb H}^n$ �� ���������� ��������� $\Gamma$, �����������
�� ${\Bbb H}^n$ ���������������� 
�����������, � � ��������������� �������� $\Omega$ ��������� ������.

\��������� 
��� {\�� \��� �����������  
������������� ������ ������� ����������, ������������� ����������
�������� � ��������� ������.}

\���������
��������������� ������ $\Gamma$ ���������������� ������������
${\Bbb H}^n/\Gamma$
�������� �������� � $\Iso({\Bbb H}^n)=SO^+(1,n)$.
�������������, {\�� \������ ��������������� ������� ��� $\Gamma$ 
� $SO^+(1,n)$ ��������� ��� $\Omega$
�� ����� $SO(n)$, � ����� �������� ����� �� ������� ������.}

\newpage

{\��\���� ���������������� �������}


\������
������ 2-������ ��������������� ������������ ���� 
$g>1$ ��������� ��������������� �������, �������
����������� � ������ ���������� ������. �����������
������������ ����� ������ ����� $6g-6$. ���������������
��������� � $SO^+(1,2)=PSL(2,\R)$ ���������� {\�� \����
���������}.

\�����������
������� ���������, ������ ������, {\�� \��� �� 
��������� ��������������.}

\��������������
�������������, ��������� � $G$, ����������� ��������������,
����� (��������) $\dim G$-������ ��������� ����������� ����������,
� ������� ������ ������������� � $6g-6$-������ ���������.
\��������

\������� {\�� \���� (���������: ������������� ������������ ������)}\\
3-������, ��������� ������������ $M$ {\�� \��� ��������� ���������������
������� ����� � ������ �����, ����� $\pi_1(M)$ ����������, 
$\pi_2(M)=0$, � ��� ������ ���������� ���� $T^2\subset M$,
��������������� ����������� ��������������� �����
$\pi_1(T^2)\arrow \pi_1(M)$ �� ����������.}


\newpage

{\��\���� ���������� �������-�������}

\�����������
������� $g\in GL(n)$ ���������� {\�� \����
������������}, ���� ��� �� ����������� �������� ����� 1,
� {\�� \���� �����������}, ���� ��� ��������������.

\���������� {\�� \���� (��������� ���������� �����)}\\
��������, ��� {\�� \��� ����� ������� $g\in GL(n)$
��������� ���������� ���� $g=su$, ��� $s$ ����������,
$u$ �����������, � $su=us$.} ��������, ��� ����� ����������
�����������.

\����������� ��� ���������� ���������� {\�� \���� �����������
�������-�������}.

\����������� ����� $G\subset GL(n)$ -- �������������� ������.
�� ������� ���������� {\�� \���� �����������}, ����
��� ����� � $GL(n)$ ���������, � {\�� \���� �������������},
���� �� �����������.

\������� {\�� \���� (�������)}\\
����� $G\subset GL(n)$ -- �������������� ������,
$g\in G$, �  $g=su$ -- ���������� �������-�������.
{\�� \��� ����� $s, u$ ����� � $G$, � ��� ���������� �������������
������������ ������������� �������������� �����.}
\��������

\newpage

{\��\���� ������, ����������� ������������}

\������
{\�� \������ ���������� ������ �� �������� ������������� �����������,}
������ ��� ������ ������� ���������� ������ ���������.

\������
������ $GL(1, k)$ �� �������� ������������� �����������,
��� $k=\R$ ��� $\C$. � ���������, ������ $SO^+(1,1)=GL(1,\R)$ �� ��������
�����������

\������
$SL(2, \R)$ ��������� ������������ {\�� \������ (��������� ���)}.

\������
$SO^+(2,1)=PSL(2, \R)$ ��������� ������������ � ���� ����������������.

\������
������ $SL(n,\R)$ � $SO^+(p,q)$, $p>q>0$ 
��������� ������ ����������� ���� $SL(2, \R)$ �
$SO^+(2,1)$, ������� ��������� ������������.

\�������
����� $G$ -- ������� �������������� ������, ���������� ���������.
{\�� \��� ����� $G$ ��������� ������������.}

\��������������
��������� $G$, ����������� ������������, ������ ���������.
\��������

\newpage

{\��\���� ������� ������ � ��������� �����}

\������� {\�� \���� (�������� ����������)}\\
����� $G$ -- ������ ��, $H\subset G$ -- ���������,
����������� ������������, � $\Gamma\subset G$ -- �������. 
���������� �������� $H$ �� $G/\Gamma$ ������ ��������.
� ����� $H\cdot x$ -- ������ $H$ � $G/\Gamma$.
{\�� \��� ����� ���������� ��������� $S$ � $G$, ���������� $H$,
� �����, ��� ��������� ������ $H\cdot x$ �����
$S\cdot x$.} ����� ����, $S$ ��������� ������������, � ������
\[
\Gamma_S:= \St_\Gamma(S\cdot x)=
\{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}= S\cap \Gamma^x
\]
{\�� \��� ��� ������� � $S$}
(����� $\St_\Gamma(S\cdot x)$ ���������� ������������ ������ 
$S\cdot x$ � $\Gamma$ ��� ������ �������� $\Gamma$ �� $G$).

\begin{center}
\epsfig{file=Marina-Ratner1979.jpg,width=0.4\linewidth}\\
{\it ������ ������ (1979).}
\end{center}

\newpage

{\��\���� ������������ ����� � ��������������}

\�����������
����� $V$ -- ��������� ������������, � $q\in \Sym^2(V^*)$ --
���������� �������������� ����� �� $V$. ����� 
����������� $v \arrow q(v,v)$ ���������� {\��\���� ������������
������} �� $V$.

\�����������
������������ ����� $q$ �� $\R^n$ {\�� \���� ������������ ����� $\lambda$}, ����
$q(v)=\lambda$ ��� ������-�� $v\in \Z^n$.

\������� (�������)
{\�� \��� ����� ������������� ����� ����� ������������ ������
$x^2+y^2+z^2+t^2$.}


\������� {\�� \���� (290-theorem; Bhargava, Hanke)}\\
����� $q$ -- ������������ ����� � ������ ��������������, ��������������
����� 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22,
23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203,
290. {\�� \��� ����� $q$ ������������ ��� ������������� ����� �����.}

\newpage

{\��\���� �������� ����������}

\�����������
�� �������, ��� ������������ ����� $q$ �� $\R^n$ {\�� \���� �������������},
���� $q$ �� ��������������� ����� � ������������� ��������������.


\������� {\�� \���� (���������, 1929; �������� �. ����������, 1987)}\\
����� $q$ -- �������������� ������������ ����� �� $\R^n$,
$n >2$, ��������� $(m,n)$, ��� $m, n >0$, � $S$ -- ���������
�����, �������������� $q$. {\�� \��� ����� $S$ ������ � $\R$}.

{\�� \����� �������������� � ������ 2.}


\end{document}
