\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\sf const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}} \newcommand{\Zar}{{\operatorname{\sf Zar}}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Теория Ратнер, лекция 1 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теорема Ратнер \\[15mm] \small лекция 1: решетки в группах Ли} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 26 июля 2014 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия IV"\\[2mm] 24 - 31 июля, 2014, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \newpage {\бф\блуе Группы Ли} \определение {\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное групповой структурой, таким образом, что групповые операции $x, y \arrow xy$ и $x\arrow x^{-1}$ суть гладкие отображения. \замечание {\бф \блуе Непрерывная группа} есть топологическое многообразие, снабженное групповой структурой таким образом, что групповые операции $x, y \arrow xy$ и $x\arrow x^{-1}$ непрерывны. Непрерывные группы допускают гладкую структуру (5-я проблема Гильберта, решенная Глизоном, Монтгомери, Зиппиным и Ямабе, 1952-1953; {\бф \ред очень трудная}). \определение Левая {\бф \блуе мера Хаара} есть гладкая мера на группе Ли, инвариантная относительно левых сдвигов $L_x(g)=xg$. \замечание {\бф \пурпле Правые сдвиги коммутируют с левыми,} соответственно, переводят меру Хаара в меру Хаара (возможно, другую). \newpage {\бф\блуе Унимодулярные группы} \теорема {\бф \ред Мера Хаара существует, и единственна с точностью до постоянного множителя.} \доказательство Гладкие меры суть формы объема на касательном расслоении. Если задана форма объема $\nu$ на $T_e G$, то {\бф \пурпле форма объема $\nu_x$ на $T_x G$ получается из формулы $\nu_x=L^*_{x^{-1}}\nu$.} Это дает существование левоинвариантной меры. Единственность следует из того, что выбор $\nu$ однозначен с точностью до константы: $\nu\in \Lambda^{\dim G}T_e G=\R$. \ендпрооф \определение Группа Ли называется {\бф \блуе унимодулярной}, если ее левая мера Хаара $\mu$ инвариантна относительно правых сдвигов. \замечание Пусть $\mu$ есть левая мера Хаара. Отображение $x\stackrel \chi \arrow \frac{R_x^*\mu}{\mu}$ задает гомоморфизм из $G$ в мультипликативную группу $\R^{>0}$. В частности, {\бф \ред любая группа $G$ такая, что $G=[G,G]$ унимодулярна.} \пример {\бф \пурпле Группа аффинных преобразований $\R^2$ не унимодулярна} {\бф \ред (докажите это)!} \newpage {\бф\блуе Решетки в группах Ли} \упражнение Пусть $G$ -- группа Ли, $\Gamma\subset G$ -- дискретная подгруппа, а $\Gamma \backslash G$ -- фактор по левому действию $\Gamma$. {\бф \ред Докажите, что $\Gamma \backslash G$ есть гладкое, хаусдорфово многообразие.} \определение В этих условиях, возьмем левую меру Хаара $\mu$ на $G$. Поскольку отображение $\pi:\; G\arrow \Gamma \backslash G$ -- накрытие, у каждой точки есть окрестность $U$, диффеоморфная шару, такая, что $\pi^{-1}(U)= \Gamma\cdot U$ есть объединение $|\Gamma|$ шаров, диффеоморфных $U$. Определим {\бф\блуе меру Хаара} $\mu_\Gamma$ на $\Gamma \backslash G$ формулой $\mu_\Gamma(U)= \mu(U_1)$, где $U_1$ есть любой из связных прообразов $U$, при условии, что $U_1$ диффеоморфен $U$. \замечание Это то же самое, что {\бф \пурпле определить $\mu_\Gamma$ дифференциальной формой $\eta$ такой, что $\pi^*\eta$ есть форма объема меры Хаара.} \определение Пусть $\Gamma\subset G$ -- дискретная подгруппа группы $G$. Она называется {\бф \блуе решеткой}, если $\mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)<\infty$, то есть фактор $G$ по $\Gamma$ имеет конечную меру Хаара. \newpage {\бф\блуе Фундаментальная область} \замечание {\бф \пурпле $\Gamma\subset G$ является решеткой $\Leftrightarrow$ фундаментальная область ее действия на $G$ имеет конечный объем.} \begin{center} \epsfig{file=fund-domain.png,width=0.5\linewidth}\\ {\it Фундаментальная область группы $SL(2, \Z)$ действующей на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями.} \end{center} \замечание Из этой картинки следует, что {\бф \ред $SL(2, \Z)$ есть решетка в $SL(2, \R)$.} Действительно, фундаментальная область $\Omega$ действия $\Gamma:=SL(2, \Z)$ в плоскости Лобачевского ${\Bbb H}^2=SL(2,\R)/S^1$, нарисованная на картинке, имеет конечный объем. Из этого следует, что фундаментальная область $\Gamma$ на $SL(2,\R)$ (расслоенная над $\Omega$ со слоем $S^1$) тоже имеет конечный объем. \newpage {\бф\блуе Теорема Бореля и Хариш-Чандры} \утверждение Пусть $G$ -- группа Ли, содержащая решетку. {\бф \ред Тогда $G$ унимодулярна.} \доказательство {\бф \пурпле $x\in G$ действует справа на $\Gamma \backslash G$ и умножает меру Хаара на константу $\chi(x)$.} С другой стороны, $(R_x\mu_\Gamma)(\Gamma \backslash G)= \chi(x) \mu_\Gamma(\Gamma \backslash G)$. Поскольку объем многообразия инвариантен относительно диффеоморфизмов, $\chi(x)=1$. \ендпрооф %\замечание %В дальнейшем, все группы Ли предполагаются по умолчанию унимодулярными, %то есть {\бф \пурпле левые меры Хаара суть правые меры, и наоборот.} \теорема {\бф \блуе (Борель и Хариш-Чандра)}\\ Пусть $G\subset GL(n, \R)$ группа Ли, заданная набором полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. Предположим, что не существует нетривиальных гомоморфизмов из $G$ в $GL(1, \R)$, определенных полиномами с рациональными коэффициентами. {\бф \ред Тогда группа $G_\Z= G\cap SL(n, \Z)$ является решеткой в $G$.} \замечание Я не буду доказывать теорему Бореля и Хариш-Чандры, но все ее применения, полученные в этих лекциях, вытекают из одного частного случая $SL(2, \Z)\subset SL(2, \R)$, и конечность объема в этом случае можно проверить непосредственно. \newpage {\бф\блуе Арифметические решетки и теорема Маргулиса об арифметизации} \определение Пусть $G\subset GL(n)$ -- подгруппа, заданная системой полиномиальных уравнений над $k=\R$ или $k=\C$. Тогда $G$ называется {\бф \блуе алгебраической группой}. Дискретные подгруппы $\Gamma, \Gamma'\subset G$ называются {\бф \блуе соизмеримыми}, если $\Gamma\cap \Gamma'$ имеет конечный индекс в $\Gamma$ и в $\Gamma'$. {\бф \блуе Арифметическая решетка} в алгебраической группе $G$ есть решетка, которая соизмерима с $G\cap GL(n,\Z)$. %\определение %{\бф \блуе Комплексификация} %вещественной алгебраической группы есть группа над $\C$, заданная теми же %полиномиальными уравнениями. \определение Пусть $G$ -- полупростая группа Ли. Ee {\бф \блуе подгруппа Картана} есть максимальная абелева подгруппа $H$, нормализатор которой имеет размерность $\dim H$. Ее {\бф \блуе вещественный ранг} есть размерность фактора $H$ по максимальному компактному подтору. % Ее {\бф \блуе ранг} есть размерность %максимального компактного тора в $G$. {\бф \блуе $\R$-ранг} %вещественной алгебраической группы $G$ есть $\rк(G_\C)- r$, %где $\rк(G_\C)$ -- ранг ее компактификации, а $r$ -- размерность %максимального компактного тора в $G$. \теорема {\бф \блуе (теорема Маргулиса об арифметизации)}\\ Пусть $\Gamma\subset G$ -- решетка в простой алгебраической группе Ли $G$, с вещественным рангом $> 2$. {\бф \ред Тогда $\Gamma$ сопряжена арифметической решетке.} \newpage {\бф\блуе Гиперболическое пространство} \упражнение Пусть $p, q>0$. {\бф \пурпле Докажите, что $SO(p,q)$ имеет ровно две компоненты связности.} \определение Связная компонента $SO(p,q)$ обозначается $SO^+(p,q)$. \пример Группа $SO^+(1,n)$ имеет ранг 1. Группа $SU(1,n)$ имеет ранг 2. \определение {\бф \блуе Гиперболическое пространство}, или же {\бф \блуе пространство постоянной отрицательной кривизны} ${\Bbb H}^n$ есть $SO^+(1,n)/SO(n)$, снабженное $SO^+(1,n)$-инвариантной римановой метрикой. \замечание Пусть $x\in G/H$. Тогда $G$-инвариантные метрики на $G/H$ находятся в биективном соответствии с $H$-инвариантными метриками на $T_x G/H$. В частности, {\бф \пурпле для компактного $H$, $G$-инвариантные метрики на $G/H$ всегда существуют.} \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле $SO(n)$-инвариантная метрика на $\R^n$ единственна с точностью до константы. } \упражнение Докажите, что {\бф \ред группа ориентированных изометрий ${\Bbb H}^n$ есть $SO^+(1,n)$.} \newpage {\бф\блуе Гиперболические многообразия} \определение {\бф \блуе Гиперболическое многообразие} есть фактор ${\Bbb H}^n$ по дискретной подгруппе $\Gamma$, действующей на ${\Bbb H}^n$ ориентированными изометриями, и с фундаментальной областью $\Omega$ конечного объема. \замечание Это {\бф \ред равносильно существованию полной метрики постоянной, отрицательной секционной кривизны и конечного объема.} \замечание Фундаментальная группа $\Gamma$ гиперболического многообразия ${\Bbb H}^n/\Gamma$ является решеткой в $\Iso({\Bbb H}^n)=SO^+(1,n)$. Действительно, {\бф \пурпле фундаментальная область для $\Gamma$ в $SO^+(1,n)$ расслоена над $\Omega$ со слоем $SO(n)$, и имеет конечный объем по теореме Фубини.} \newpage {\бф\блуе Неарифметические решетки} \пример Каждое 2-мерное ориентированное многообразие рода $g>1$ допускает гиперболическую метрику, которая единственна в каждом конформном классе. Размерность пространства таких метрик равна $6g-6$. Соответствующие подгруппы в $SO^+(1,2)=PSL(2,\R)$ называются {\бф \блуе фуксовыми}. \утверждение Фуксовы подгруппы, вообще говоря, {\бф \ред не сопряжены арифметическим.} \доказательство Действительно, подгруппа в $G$, сопряженная арифметическим, имеет (максимум) $\dim G$-мерное семейство непрерывных деформаций, а фуксовы группы деформируются в $6g-6$-мерном семействе. \ендпрооф \теорема {\бф \блуе (Перельман: геометризация многообразий Хакена)}\\ 3-мерное, компакное многообразие $M$ {\бф \ред допускает гиперболическую метрику тогда и только тогда, когда $\pi_1(M)$ бесконечно, $\pi_2(M)=0$, и для любого двумерного тора $T^2\subset M$, соответствующее отображение фундаментальных групп $\pi_1(T^2)\arrow \pi_1(M)$ не инъективно.} \newpage {\бф\блуе Разложение Жордана-Шевалле} \определение Матрица $g\in GL(n)$ называется {\бф \блуе унипотентной}, если все ее собственные значения равны 1, и {\бф \блуе полупростой}, если она диагонализуема. \упражнение {\бф \блуе (Жорданова нормальная форма)}\\ Докажите, что {\бф \ред любая матрица $g\in GL(n)$ допускает разложение вида $g=su$, где $s$ полупроста, $u$ унипотентна, а $su=us$.} Докажите, что такое разложение единственно. \определение Это разложение называется {\бф \блуе разложением Жордана-Шевалле}. \определение Пусть $G\subset GL(n)$ -- алгебраическая группа. Ее элемент называется {\бф \блуе полупростым}, если его образ в $GL(n)$ полупрост, и {\бф \блуе унипотентнным}, если он унипотентен. \теорема {\бф \блуе (Шевалле)}\\ Пусть $G\subset GL(n)$ -- алгебраическая группа, $g\in G$, а $g=su$ -- разложение Жордана-Шевалле. {\бф \ред Тогда $s, u$ лежат в $G$, и это разложение функториально относительно гомоморфизмов алгебраических групп.} \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Группы, порожденные унипотентами} \пример {\бф \пурпле Компактная группа не содержит нетривиальных унипотентов,} потому что каждый элемент компактной группы полупрост. \пример Группа $GL(1, k)$ не содержит нетривиальных унипотентов, для $k=\R$ или $\C$. В частности, группа $SO^+(1,1)=GL(1,\R)$ не содержит унипотентов \пример $SL(2, \R)$ порождена унипотентами {\бф \пурпле (проверьте это)}. \пример $SO^+(2,1)=PSL(2, \R)$ порождена унипотентами в силу функториальности. \пример Группы $SL(n,\R)$ и $SO^+(p,q)$, $p>q>0$ порождены своими подгруппами вида $SL(2, \R)$ и $SO^+(2,1)$, поэтому порождены унипотентами. \теорема Пусть $G$ -- простая алгебраическая группа, содержащая унипотент. {\бф \ред Тогда $G$ порождена унипотентами.} \доказательство Подгруппа $G$, порожденная унипотентами, всегда нормальна. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Теорема Ратнер о замыкании орбит} \теорема {\бф \блуе (гипотеза Рагунатана)}\\ Пусть $G$ -- группа Ли, $H\subset G$ -- подгруппа, порожденная унипотентами, а $\Gamma\subset G$ -- решетка. Рассмотрим действие $H$ на $G/\Gamma$ левыми сдвигами. и пусть $H\cdot x$ -- орбита $H$ в $G/\Gamma$. {\бф \ред Тогда существует подгруппа $S$ в $G$, содержащая $H$, и такая, что замыкание орбиты $H\cdot x$ равно $S\cdot x$.} Более того, $S$ порождена унипотентами, а группа \[ \Gamma_S:= \St_\Gamma(S\cdot x)= \{\gamma \in \Gamma\ \ |\ \ (S\cdot x) \gamma=S\cdot x\}= S\cap \Gamma^x \] {\бф \ред это решетка в $S$} (здесь $\St_\Gamma(S\cdot x)$ обозначает стабилизатор орбиты $S\cdot x$ в $\Gamma$ при правом действии $\Gamma$ на $G$). \begin{center} \epsfig{file=Marina-Ratner1979.jpg,width=0.4\linewidth}\\ {\it Марина Ратнер (1979).} \end{center} \newpage {\бф\блуе Квадратичные формы и представимость} \определение Пусть $V$ -- векторное пространство, а $q\in \Sym^2(V^*)$ -- билинейная симметрическая форма на $V$. Тогда отображение $v \arrow q(v,v)$ называется {\бф\блуе квадратичной формой} на $V$. \определение Квадратичная форма $q$ на $\R^n$ {\бф \блуе представляет число $\lambda$}, если $q(v)=\lambda$ для какого-то $v\in \Z^n$. \теорема (Лагранж) {\бф \ред Любое положительное целое число представлено формой $x^2+y^2+z^2+t^2$.} \теорема {\бф \блуе (290-theorem; Bhargava, Hanke)}\\ Пусть $q$ -- квадратичная форма с целыми коэффициентами, представляющая числа 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290. {\бф \ред Тогда $q$ представляет все положительные целые числа.} \newpage {\бф\блуе Гипотеза Оппенхейма} \определение Мы говорим, что квадратичная форма $q$ на $\R^n$ {\бф \блуе иррациональна}, если $q$ не пропорциональна форма с рациональными коэффициентами. \теорема {\бф \блуе (Оппенхейм, 1929; доказана Г. Маргулисом, 1987)}\\ Пусть $q$ -- иррациональная квадратичная форма на $\R^n$, $n >2$, сигнатуры $(m,n)$, где $m, n >0$, а $S$ -- множество чисел, представленных $q$. {\бф \ред Тогда $S$ плотно в $\R$}. {\бф \греен Доказательство в лекции 2.} \end{document}