
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
russcorr, russlh, units}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\sf const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{{\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ��������������� �������, ������ 3 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ��������������� ������� \\[15mm]
\small ������ 3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[10mm] \tiny 
27 ���� 2013
\\[20mm]

{\tiny\bf ������ �������������� ����� "������� � ���������"\\[2mm]
24 - 31 �������, 2013, ����, ���������, ������

}
\end{center}


\newpage

{\�� \���� ��������������� ������������}


\�����������
������������������ 2-����� $\omega$ �� ��������� ������������ $V$
���������� {\�� \���� �������������}, ��� {\�� \���� ���������������},
���� ��� �������
���������� $x\in V$ �������� $y\in V$ �����, ��� $\omega(x,y)\neq 0$.


\���������
{\�� \��� ������ ������������� 
������������������ ����� ������������ � ��������� ������ ���
\[ \begin{pmatrix}
\omega=\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}
\end{pmatrix}.
\]}
���� ���������� ��������������� ����� � $V^*$ ���
$x_1, y_1, x_2, y_2, ...$, ����� $\omega$ ����� ��������
� ���� $\omega=\sum_i x_i\wedge y_i$.

\�����������
{\�� \���� ����������} �� $n$-������ ��������� ������������ ���� 
��������� ������ � $\Lambda^n V$. {\�� \���� ����������} �� 
$n$-������ ������������ ���� ����� �� ������������ $n$-�����.

\���������
{\�� \������ ��������������� ������������ ������ �������������.}
�������������, 
$\omega^n=n! x_1\wedge y_1 \wedge x_2 \wedge y_2 \wedge ... \wedge x_n \wedge y_n$.

\newpage

{\�� \���� ��������������� ������������}


\�����������
����� $M$ -- ������������. ���������������� �����
$\omega\in \Lambda^2M$ ���������� {\��\���� ���������������},
���� ��� ����������� � ������ �����, � ��������.

\�����������
������������� $\phi:\; M \arrow M'$ ���������������
������������ $(M, \omega)$ � $(M',\omega')$
���������� {\�� \���� ������������������},
���� $\phi^*\omega'=\omega$.

\���������
{\�� \������ ��������������� ��������� ������� 
��������������� ������������ � ��������� �� �����������������.}

\�����������
{\�� \���� ��������������� ���} ������� $r$ ���� ���
������� $r$ � $\R^{2n}$ � ��������������� ����������,
������� ������������ ������ $\omega=\sum_i dx_i\wedge dy_i$
�� $\R^n$ ($x_i, y_i$ -- ����������).

\�������
{\�� \���� (������� �����):}
{\�� \��� ��������������� ������������ �������� ��������������� 
���������������� ����} (� ����������� ������ ����� �����).


\newpage

{\�� \���� ��������������� �������}
\newcommand{\capa}{\operatorname{\sf cap}}

\�����������
����� $(M,\omega)$ -- ���������������
�������, � $r$ -- �������� �������� ����
��������������� ����� ��� �� �����������, ������� ���������������
������������ � $M$. ����� $\capa_G(M,\omega):=\pi r^2$ ���������� 
{\��\���� ��������������� �������� �������} ������������ $M$.

\�����������
{\�� \���� 
��������������� �������} ���� 
$\R^{2n}\times B_r$, ��� $\R^{2n}$ �������� �������
��������������� ������ $dx\wedge dy$, � $B_r$ -- ���������������
��� ������� $r$ � $\R^2$. 

\�������
{\�� \���� (������)}\\
{\�� \��� ��������������� ������� ���������������� ��������
����� $\pi r^2$}

{\�� \����� ����� �������� �������.}


\newpage

{\�� \���� ����������� ��������� �� ��������� ������������}


\����������� 
{\�� \���� ����������� ����������} �� ������������ ���������
������������ $V$ ���������� �����������
$I\in \End(V)$, ��������������� $I^2=-\Id_V$. 

\���������
��������� $I$ �� ������� �������� 
$I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes 
I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$
{\�� \������ ������, ����������� $I$, ��������� $\Z/4\Z$.}
�������, ��� ������ ������� $t$, �����
$t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ �����������
������������ $I$.


\��������� 
���� $g$ -- ������������ ������������ ���������
������������ �� $V$, �� $g_I:=g+I(g)+ I^2(g) + I^3(g)$ 
���� ������������ ���������� � $I$-�����������:
$I(g_I)=I$. ������� �������, {\�� \��� $I$ -- �������������
�������� ������������ $g_I$.}

\�����������
������������ ������������ ��������� ������������,
� ������� $I$ ������������, ���������� {\�� \���� ���������
��������} �� $(V,I)$. �� ������  ��� ��������,
��� ��� ������ ����������.

\newpage

{\�� \���� ����������� ��������� (�����������)}

\���������
��� ����������� �������� $I$ ������� (�� ����
$I$ {\�� \��� ���������}, ������� �������, ���������������). � ����� ����,
{\�� \���� ����� ������������� �������� ���������.}

\��������� ����� $\alpha$ -- ����������� �������� $I$.
��������� $\alpha^2=-1$, ����� $\alpha=\pm \1$.

\�����������
����������� ������������ $I$, ��������������� $\1$,
������������ $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, � ��������������� $-\1$
������������ $V^{0,1}$. ��������, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$.

\��������� 
���������, � ���� ��, $I$ ������������, ��������,
��� $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. 
� ���������, ��� ������������ ���������� �����������.

\����������
��������, ��� ������������ �������� $V^{1,0}$ �� $V$ ����� $V^{0,1}$
������ ���������� ������������ ����������� $V^{1,0}arrow V$.


\����������
��������, ��� �������� ����������� ���������
{\�� \��� ���������� �������� ����������������
$V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$
���������� �����������,} ������� ��
������������ � $V\subset V\otimes_\R \C$.



\newpage

{\�� \���� �������� �����}

\�����������
{\�� \���� �������� ������������} $(V,I,g)$
���� ������������, ���������� ����������� ���������� $I$
� ��������� �������� $g$.

\���������
����� $I$ -- �������� ����������� ���������
�� ������������ ������������ $V$, � $g$ -- �������� �������.
���������� ���������� ����� $\omega(x,y) = g(x, Iy)$.
����� $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$.
������� {\�� \blue $\omega$  ���������������}.

\�����������
����� $\omega$ ���������� {\�� \���� ��������� ������} �� 
��������� ������������ $(V,I, g)$

\����������
��������, ��� � ������ $I, g, \omega$, {\�� \������ ������ ������
���������� ����� ��������� ���.}

\�����������
{\�� \���� ����� ����������� ���������} �� ������������ $�$
���� �������� $I\in \End TM$ � ������������� ������������
����������, ��������������� $I^2=-\Id_{TM}$. 

\�������

{\bf \blue ����� ����������� ������������}

\������
������� $\C^n$, � ������������ ������������ $z_i = x_i + \1 y_i$.
{\bf \purple ����� $I(dx_i) = dy_i$, $I(dy_i) = - dx_i$ -- �����
����������� ���������.}

\����������� 
����� ����������� ��������� {\�� \���� ������������},
���� ������ ����� $M$ ����� ����������� $U$ � �������� 
$U\hookrightarrow \C^n$, ����������� � ����������� ����������.
������������, ���������� ������������� ����� �����������
����������, ���������� {\�� \���� ����������� �������������}.

\�����������
{\�� \���� �������� �������} �� ����� ����������� ������������ $M$
���� �������� ��������� $g\in \Sym^2 T^*M$, �����,
��� $I$ ����������� ������������ $g$ � ������ ����� $M$.


\���������
��� ������� $I$,
{\�� \������ ������������ ��������� ������ �������} � $\Gamma(Sym^2 T^*M)$.

\��������� 
������������ ����� ����������� �������� �� $M$ {\�� \��� �������������
������������ ������������ ����� ����������� ��������� ��������.}

\�������

{\bf \blue ��������������� ����� ����������� ������������}

\�����������
����� $(M,I)$ -- ����� ����������� ������������, �
$Z\subset M$ ��������� ��������������� (��������, ������, �� 
����������� ������ ����� ������������� $\geq 2$).
$Z$ ���������� {\�� \���� �����������������}, ��� 
{\�� \���� ����� �����������}, ���� ��� ������ �������
����� $z\in Z$, ������������ $T_zZ\subset T_zM$ 
����������� ����������� ����������.
����������������� ��������������� �����������
����������� 1 ���������� {\�� \���� ����������������� ������}.

\���������
��������������� ������������ ������������ ��������
���������������� ����� � ������ �����, ����� ��� �����
�������� ������ ��� ��������� ����� 
����� ������� ����������-������������� ���������.
{\�� \������ � ���������, �� ����� �����}.

{\�� \����� ����.} � ������ (����������������)
����� ������������ ������������ {\�� \������ ��� ������� �����������������
���������������, ����� ������ (���� ��������).}

{\�� \����� ����.} ���������� ��������� ${\goth S}$ 
���������� ����� ����������� ��������������� $(M,I)$, � ����������,
�������� �������� ���������. {\�� \������ ����� ������ ����������
��������� ${\goth S}$ -- �������� ������������� ������������������
(������) ������������.}

\�������

{\bf \blue ����� ����������� ��������������� ������������}

\�����������
����� $(M,\omega)$ -- ��������������� ������������,
� $I$ -- ����� ����������� ���������. ��� {\�� \���� ���������� � 
� ��������������� ����������}, ���� $g(x, y):= \omega(Ix, y)$,
��� �����-�� ��������� ����� $g$.

\�����������
{\�� \���� ��������������� ����� ����������� ������������}
���� ������������ $(M, \omega, I)$, ���������� ���������������
������ � ����������� � ��� ����������� 
����������.

\����������� ����� $(M, \omega)$ ������������, ����������
������������� ������������������ 2-������.
{\�� \��� ����� ������������ $C$ ����������� � $\omega$ ����� �����������
�������� ����������.}


\�������

{\bf \blue ������������ ����� ����������� ��������, ����������� � $\omega$}


{\�� \����� ����������� 1:} 
����� $(M, \omega)$ ������������, ����������
������������� ������������������ 2-������.
{\�� \��� ����� ������������ $C$ ����������� � $\omega$ ����� �����������
�������� ����������.}

\���� 
����������� $C$ � ������������� ������ $g$ �����,
��� $g^{-1}\omega$ -- ����� ����������� ���������, ����������� � $\omega$.
������������ $R$ ��������� ������ �������, �������������, ����������.
��� �������������� ������������� $C\subset R$ {\�� \������ 
���������� ���������, ���
$C$ -- �������������� ������� $R$.}

{\�� \����� ��� 2:} ����� $A:= g^{-1}\omega$, �� ���� $g(Ax,y)=\omega(x,y)$.
{\�� \������ ������� $A$ ���������������: 
$g(Ax,y)= \omega(x,y)= - \omega(y, x)=-g(Ay,x)=-g(x,Ay)$.}
���������������� ������� ����� � �����-�� �����������������
������ ��� 
 \[ \omega=\begin{pmatrix}
A=\begin{matrix}0 & \alpha_1\\ -\alpha_1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & \alpha_n \\ -\alpha_n & 0\end{matrix}
\end{pmatrix} 
\]

\�������

{\bf \blue ������������ ����� ����������� ��������, ����������� � $\omega$
(���������)}

{\�� \����� ��� 2:} ����� $A:= g^{-1}\omega$, �� ���� $g(Ax,y)=\omega(x,y)$.
{\�� \������ ������� $A$ ���������������: 
$g(Ax,y)= \omega(x,y)= - \omega(y, x)=-g(Ay,x)=-g(x,Ay)$.}
������, $g(A^2x,y)=g(x, A^2y)$, �� ����
$A^2$ �����������. ��������� $g(A^2x,x)=-g(Ax,Ax)$,
{\�� \������ ��� ������� ������������ ����������.}
{\�� \��� 
�� ��������, ��� ������� $B_t:=e^{-\frac{t}2\log (-A^2)}$ ��������� ����������,
�����������, � ���������� ������� �� $t$ � $A$.}


{\�� \����� ��� 3:} �������� $AB_1$ 
������������ � ��� �� ����������� � ����
\[ \begin{pmatrix}
\omega=\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}
\end{pmatrix},
\]
�� ���� ������ ����� ����������� ���������.
��������� $\omega(AB_1x, y)= g(B_1x, y)$, � $B_1$ �����������,
{\�� \������ ��� ����� ����������� ��������� ���������� � $\omega$.}

{\�� \����� ��� 4:} $g,t \arrow g(B_tx, y)$
��� $t=1$ ���� ������� $g(B_1\cdot, \cdot)\in C$,
� ��� $t=0$ ���� $g$. {\�� \������ ����� ������� $C$ ����������
��� �������������� ������� $R$.} \��������


\�������

{\bf \blue ���������� �� ������������}

\�����������
����� $M$ -- �������� ������������, � $\eta\in \Lambda^k M$ --
��������� �����. ��� ���������� {\��\���� �����������}, ���� ���
������ ������������������ ������ �������� $v_1, ..., v_k \in T_x M$,
����� $|\eta(v_1, v_2, ..., v_k)|\leq 1$. $k$-������ ���������������
$W\subset T_x M$ ���������� {\�� \���� �������} ����������, ����
��� ������-�� ��������������� ������ $v_1, ..., v_k \in W\subset T_x$,
����� $\eta(v_1, v_2, ..., v_k)=1$.


\������ ����� $(M, I, \omega)$ -- ����� ����������� ���������������
������������. ��� ����� �������������� ��������
$x, y \in T_x M$, ����� $\omega(x, y) = g(Ix, y)$.
��������� ������� $I$ ��������, ����� $|g(Ix, y)|=|\cos(\alpha)|$,
��� $\alpha$ ���� ���� ����� $Ix$ � $y$. 
{\�� \������ ������, $\omega$ ��� ����������. }

\���������
��������� $W\subset T_x M$ �������� ������� 
����� � ������ �����, ����� ��� ������-�� ������������������
������ $v, w\in W$, ����� $I(v)=\pm w$. ��� ����������� ����,
��� $W$ -- ����������� ���������������. �� ��������,
��� {\�� \��� ������ ���������� $\omega$ ���� �����������
���������������}.

\�������

{\bf \blue ������������� ���������������}
\newcommand{\Imm}{\operatorname{Imm}}

\�����������
����� $(M, g)$ -- �������� ������������, $\eta\in \Lambda^k M$ ����������,
� $Z\subset M$ ��������������� ���������������.
��� ���������� {\�� \���� �������������}, ����
$T_z Z\subset T_z M$ -- ����� ���������� ��� ����� �����
$z\in Z$.

\������
��������� ������ ��������������� ���������� ����
����������� ���������������, {\�� \������ �������������
��������������� � $(M,I,\omega)$ ��� �����������������
������}.

\��������� ����������� ������� ������������ $Z, M$.
{\�� \������ ������������ $\Imm(Z,M)$ �������� $Z\arrow M$ �������� �����������
������������� ("������������� �����").}

\�������

{\bf \blue M���������� ���������������}

\�����������
����� $\phi(Z)\subset M$ -- �������, ���������� ���������������, �������
���������� ��� ����� �������� $\phi:\; Z
\arrow M$. ���������� ������� ����� $\Vol(\phi(Z))$
��� ������� �� $\Imm(Z,M)$. ��������������� 
$\phi(Z)\subset M$ ���������� {\��\���� �����������},
���� $\phi$ -- ����� ���������� �������a ��� 
$\Vol:\; \Imm(Z,M)\arrow \R$.

\�������
{\�� \��� ������������� ��������������� ����������.}

\��������������
����� $Z_t$ --
��������� ���������������, ����������������� $t\in \R$, �
$Z=Z_0$ -- �������������. ��������� �� $\Vol$ ����� �������� ������ �� $Z_t$.
����� $\int_{Z_t}\eta\leq \int_{Z_t}\Vol$, ������ ��������� �����
����� ������ ���� $Z_t$ �������������. 

�� ����������� $\eta$ �������, ��� $\int_{Z_t}\eta=\const$
(������� ������). � ������ �������, 
\[ \int_{Z}\Vol=
\int_{Z}\eta =\int_{Z_t} \eta \leq \Vol(Z_t).
\]
������� $Z$ ����������.
\��������

\�������

{\�� \���� ��������������� ������� � �����������������
������}
\newcommand{\Cyl}{\operatorname{Cyl}}


{\�� \����� ������� 2:}
����� $M=\C P^1 \times T^{2n}$ -- ������������
$\C P^1$ � ����, ���������� ����������� ���������������
����������, � $J$ -- ������������� ����� �����������
���������. {\�� \��� ����� ��� ������ ����� $x\in M$ ��������
����������������� ������ $S$, ������������ 
$\C P^1 \times \{m \}$, � ���������� ����� $x$.}

�� ���� ������� ��������� ������� �������.

\�������
{\�� \���� (������)}\\
{\�� \��� ��������������� ������� ����������������
�������� $\Cyl_1$ ������� 1 ����� $\pi$}.


\�������

{\�� \���� �������������� ������� �������}


\�������
{\�� \���� (������)}\\
{\�� \��� ��������������� ������� ����������������
�������� $\Cyl_1$ ������� 1 ����� $\pi$}.

\����
����� $f_1:\; B_r \arrow \Cyl_1$ -- ���������������
��������, $r>1$, a $I$ -- ������� (�������) ����� �����������
��������� �� $B_r\subset \C^{n+1}$. ���������� $M=\C P^1 \times
T^{2n}$ -- ������������
$\C P^1$ � ����, ���������� ����������� ���������������
����������, � ����� $f_2:\; \Cyl_1 \arrow \C P^1 \times
T^{2n}$ ��������������� �����������, ������� ���������
$\Cyl_1=\Delta \times \R^{2n}$ � $\C P^1 \times
T^{2n}$, ���������� �� $\Z^{2n}$,
 � ��������������� ��������� ����
$\Delta$ � $\C=\C P^1 \backslash \infty$.

{\�� \����� ��� 2:}
������� ������� $\Z^{2n}\subset \R^{2n}$
����� �������, ��� �� ��������������� �������
�������� $f_1(B_r)$. �����
���������� $f_1 \circ f_2$ ���� ���������������
�������� $B_r \arrow M=\C P^1 \times T^{2n}$.
������, {\�� \������ ������� ������� � ��������������� �������
��������� �� ���������� ����������.}

\�������
����� $M=\C P^1 \times T^{2n}$ -- ������������
$\C P^1$ � ����, ���������� ����������� ���������������
����������, � ��������������� ������� $\C P^1$, ������ $\pi$,
� $\phi:\;  B_r \arrow M$ -- ��������������� ��������.
����� $r\leq 1$.


\�������

{\�� \���� �������������� ������� ������� (�����������)}

\�������
����� $M=\C P^1 \times T^{2n}$ -- ������������
$\C P^1$ � ����, ���������� ����������� ���������������
����������, � ��������������� ������� $\C P^1$, ������ $\pi$,
� $\phi:\;  B_r \arrow M$ -- ��������������� �����������.
����� $r\leq 1$.

\����
������� ������� ����������� ��������� � ��������
������� �� $B_r$.
��������� �� $g_0$ 
��������������� �������� ������� �� $\phi(B_r)$. ����� $g_0$ �����
���������� �� ��������� ������� $g_1$ �� $M$ �����, ���
$g_0=g_1$ � ���� $\phi(B_{r-\epsilon})$, ��� $r-\epsilon >1$.
�������� $g_1(\cdot, \cdot) \arrow g_1(B_1\cdot, \cdot)$,
�����������  ��� �������������� ����������� 1, ����
������� $g$, ����������� � ��������������� ����������
�� $M$, � ����������� � $g_0$ � ���� $\phi(B_{r-\epsilon})$
������� ��� $B_r$ �� $B_{r-\epsilon}$, �� ��������
��������� �����������. {\�� \������ ���������� �������� 
����������� ������� � ��������� �������������. 
���������� ����������� ����� ����������� ��������� �� $M$ �����, ���
�� ����������� �� $\phi(B_r)$ ���� ������� �����������
��������� �� $B_r\subset \C^{n+1}$.}


\�������

{\�� \���� �������������� ������� ������� (���������)}


\�������
(� �������������� ���� 1)\\
����� $M=\C P^1 \times T^{2n}$ -- ������������
$\C P^1$ � ����, ���������� ����������� ���������������
����������, � ��������������� ������� $\C P^1$, ������ $\pi$,
� $\phi:\;  B_r \arrow M$ -- ���������������
�����������. {\�� \������ ����� 
���������� ����������� ����� ����������� ��������� �� $M$ �����, ���
�� ����������� �� $\phi(B_r)$ ���� ������� �����������
��������� �� $B_r\subset \C^{n+1}$.  ����� $r\leq 1$.}



{\�� \����� ��� 2:} ����� $x\in M$ ����� ������ $B_r$, � 
$S\subset M$ ����������������� ������, �������������
������� ������������ � ������� 2, $S\ni x$. �����
$\pi=\int_S \omega_M \geq
\int_{\phi^{-1}(S)}\omega$,
��� $\omega_M$ ���� ��������������� ����� �� $M$, �
$\omega$ -- ��������������� ����� �� $B_r$.
��������� $S$ ����������������,
$\int_{\phi^{-1}(S)}\omega_{B_r}$ -- �������
����� �� ����������� � $\phi(B_r)$.

{\�� \����� ��� 3:} �� �������� ��������� �����������
������ $D:= \phi^{-1}(S)$ � ���� $B_r$ � �������
�������� � ����������� ����������, ���������� ����� 0, 
������� ����� ������� $\leq \pi$. {\�� \������ �������� ���������,
������� ����������� ���� � ���� $B$ ������� 1, ���������� �����
0, � ������� $< \pi$. }
��������������� ������ ����� ��� $r>1$ ���������
�� ���������� �����������.


\�������

{\�� \���� ����������� ������ � ��������� ����}


\�����������
{\�� \���  ����� $D\subset B_1$ -- ��������� ����������� ����
� ��������� ���� � $\C^n$, ���������� ����� 0, � ������� ��
��� �������. ����� $\int_D \omega \geq \pi$.}

������� ��� �� "������� ������������".

\����� {\�� \���� (������� ������������)}
����� $(B_1, \eta)$ -- ��������� ��� � $\R^n$, ���������� �������
�������� � �����������, � $\Delta\subset B$ --
������������� ����, ���������� ����� 0, � 
��������� � $B$ (��������� � �������� ����� �������, ���
$\6 \Delta$ �������� � $\6 B_1$). {\bf \��� ��������� �� $\Delta_t$
����������� $\Delta$ � ����� ������� $t$. ����� �������
$t \arrow t^{-2} \Vol(\Delta_t)$ �����������.}

��������, $\lim\limits_{t\rightarrow 0} \Vol(\Delta_t)= \pi t^2$
(� ����� ������� ����������, ������� ���� ���������� �������).
{\�� \������ ����� � ������������ ���� $\Vol\Delta \geq \pi$.}

{\�� \����� �������������� ������� ������������. ��� 1:}
����� $C(\6\Delta)\subset B_1$ -- �����, ��������� ��
������� $\Delta$. �����
 \[ 
\Vol C(\6\Delta)\geq \int_{C(\6\Delta)}\eta=\int_\Delta\eta=\Vol\Delta
\]
(������ �� �������� ������� �� ������� ������, ���
������� $\Delta$ ��������� � �������� $C(\6\Delta)$.)

\�������

{\�� \���� ������� ������������}

{\small
\����� {\�� \���� (������� ������������)}
����� $(B_1, \eta)$ -- ��������� ��� � $\R^n$, ���������� �������
�������� � �����������, � $\Delta\subset B$ --
������������� ����, ���������� ����� 0, � 
��������� � $B$ (��������� � �������� ����� �������, ���
$\6 \Delta$ �������� � $\6 B_1$). {\bf \��� ��������� �� $\Delta_t$
����������� $\Delta$ � ����� ������� $t$. ����� �������
$t \arrow t^{-2} \Vol(\Delta_t)$ �����������.}

{\�� \����� ��������������. ��� 1:}
����� $C(\6\Delta)\subset B_1$ -- �����, ��������� ��
������� $\Delta$. �����
 \[ 
\Vol C(\6\Delta)\geq \int_{C(\6\Delta)}\eta=\int_\Delta\eta=\Vol\Delta
\]
(������ �� �������� ������� �� ������� ������, ���
������� $\Delta$ ��������� � �������� $C(\6\Delta)$.)}


{\�� \����� ��� 2:} ������� ��� ������� ������ ����
$\Vol C(\6\Delta)=\frac 1 2 l(\6\Delta)$, ���
$l(\6\Delta)$ -- ����� ������� $\6\Delta$.
������, $\Vol\Delta\leq \frac 1 2 l(\6\Delta)$.

{\�� \����� ��� 3:} �� �� �����������, �����������
� $\Delta_t$, ���� $t^{-2}\Vol\Delta_t\leq \frac 1 {2t} l(\6\Delta_t)$.
� ������ �������, $\frac d {dt} \Vol\Delta_t\geq l(\6\Delta_t)$.

{\�� \����� ��� 4:} ��������� �� $f(t)$ ������� $t \arrow \Vol\Delta_t$.
����������� ���� 3 ���� $f(t) \leq \frac t 2 f'(t)$. �����
{ \small \[
\frac d{dt} t^{-2}f(t) = t^{-2}f'(t)- 2t^{-3}f(t)\geq  t^{-2}f'(t)-t^{-2}f'(t)=0.
\]}
\��������


%\�������
%
%{\�� \���� ����������������� ������ � ����������������
%������� �����}
%
%����� $M$ -- ����� ����������� ������������, $S$ --
%���������� ����������� ������������ (����������� ������), 
%� $\Imm(S,M)$ ������������ ������� �������� �� $S$ � $M$,
%� ${\goth J}$ ������������ ����� ����������� �������� �� $M$.
%���������� ��������, ������� ������ � ������������ 
%������ $S\stackrel \phi\hookrightarrow M$ 
%� ����� ����������� ��������� $I\in {\goth J}$
%������� $O(\phi,I):=\Hom(T^{1,0}S, \phi^*T{0,1}(M,I))$,
%������� �������� ������������ � ������������������
%����������� $\phi$. ������������ $\Imm(S,M)$ �
%${\goth J}$ �������� �������������� �����.
%
%\�����������
%����������� $O:\; \Imm(S,M)\times {\goth J}$
%
%
%
%\newpage
%
%{\bf \blue ������� ������� � ������������}
%
%��������� ������� ������� ���������� ����������
%������ ����������������� ������. �� ��������������
%������ ������.
%
%\�������
%����� $M$ -- ���������� ����� ����������� ��������
%������������, � ${\goth S}_C$ -- ������������
%����������������� ������ �� $M$ � ��������� ������� �� ������
%$C$, ���������� �������� ���������. {\�� \��� ����� ${\goth S}_C$
%���������.}






\end{document}
