\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, units} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\sf const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Симплектическая емкость, лекция 3 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Симплектическая емкость \\[15mm] \small лекция 3} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 27 июля 2013 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm] 24 - 31 августа, 2013, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \newpage {\бф \блуе Симплектические многообразия} \определение Кососимметрическая 2-форма $\omega$ на векторном пространстве $V$ называется {\бф \блуе невырожденной}, или {\бф \блуе симплектической}, если для каждого ненулевого $x\in V$ найдется $y\in V$ такой, что $\omega(x,y)\neq 0$. \замечание {\бф \ред Каждая невырожденная кососимметрическая форма записывается в некотором базисе как \[ \begin{pmatrix} \omega=\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix} \end{pmatrix}. \]} Если обозначить соответствующий базис в $V^*$ как $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$, форма $\omega$ будет записана в виде $\omega=\sum_i x_i\wedge y_i$. \определение {\бф \блуе Ориентация} на $n$-мерном векторном пространстве есть ненулевой вектор в $\Lambda^n V$. {\бф \блуе Ориентация} на $n$-мерном многообразии есть нигде не зануляющаяся $n$-форма. \замечание {\бф \пурпле Симплектическое пространство всегда ориентировано.} Действительно, $\omega^n=n! x_1\wedge y_1 \wedge x_2 \wedge y_2 \wedge ... \wedge x_n \wedge y_n$. \newpage {\бф \блуе Симплектические многообразия} \определение Пусть $M$ -- многообразие. Дифференциальная форма $\omega\in \Lambda^2M$ называется {\бф\блуе симплектической}, если она невырождена в каждой точке, и замкнута. \определение Диффеоморфизм $\phi:\; M \arrow M'$ симплектических многообразий $(M, \omega)$ и $(M',\omega')$ называется {\бф \блуе симплектоморфизмом}, если $\phi^*\omega'=\omega$. \замечание {\бф \пурпле Симплектическая геометрия изучает симплектические многообразия с точностью до симплектоморфизма.} \определение {\бф \блуе Симплектический шар} радиуса $r$ есть шар радиуса $r$ в $\R^{2n}$ с симплектической структурой, которая индуцирована формой $\omega=\sum_i dx_i\wedge dy_i$ на $\R^n$ ($x_i, y_i$ -- координаты). \теорема {\бф \блуе (Теорема Дарбу):} {\бф \ред Симплектическое многообразие локально симплектоморфно симплектическому шару} (в окрестности каждой своей точки). \newpage {\бф \блуе Симплектическая емкость} \newcommand{\capa}{\operatorname{\sf cap}} \определение Пусть $(M,\omega)$ -- симплектическая емкость, а $r$ -- супремум радиусов всех симплектических шаров той же размерности, которые симплектоморфно вкладываются в $M$. Число $\capa_G(M,\omega):=\pi r^2$ называется {\бф\блуе симплектической емкостью Громова} многообразия $M$. \определение {\бф \блуе Симплектический цилиндр} есть $\R^{2n}\times B_r$, где $\R^{2n}$ снабжено обычной симплектической формой $dx\wedge dy$, а $B_r$ -- симплектический шар радиуса $r$ в $\R^2$. \теорема {\бф \блуе (Громов)}\\ {\бф \ред Симплектическая емкость симплектического цилиндра равна $\pi r^2$} {\бф \греен Будет доказана сегодня.} \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры на векторном пространстве} \определение {\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном пространстве $V$ называется эндоморфизм $I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. \замечание Продолжим $I$ на тензоры формулой $I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$ {\бф \пурпле Группа, порожденная $I$, изоморфна $\Z/4\Z$.} Поэтому, для любого тензора $t$, сумма $t+ I(t) + I^2(t) + I^3(t)$ инвариантна относительно $I$. \следствие Если $g$ -- положительно определенное скалярное произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)+ I^2(g) + I^3(g)$ тоже положительно определено и $I$-инвариантно: $I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный оператор относительно $g_I$.} \определение Положительно определенное скалярное произведение, в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой метрикой} на $(V,I)$. Мы только что доказали, что она всегда существует. \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)} \следствие Все собственные значения $I$ простые (то есть $I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле, {\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.} \замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение $I$. Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$. \определение Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$, обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$ обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$. \замечание Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем, что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. В частности, это пространства одинаковой размерности. \упражнение Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$ задает изоморфизм вещественных пространств $V^{1,0}arrow V$. \упражнение Докажите, что оператор комплексной структуры {\бф \ред однозначно задается подпространством $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$ половинной размерности,} которое не пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$. \newpage {\бф \блуе Эрмитовы формы} \определение {\бф \блуе Эрмитово пространство} $(V,I,g)$ есть пространство, снабженное комплексной структурой $I$ и эрмитовой метрикой $g$. \замечание Пусть $I$ -- оператор комплексной структуры на вещественном пространстве $V$, а $g$ -- эрмитова метрика. Рассмотрим билинейную форму $\omega(x,y) = g(x, Iy)$. Тогда $\omega(x,y) = g(x, Iy) = g(Ix, I^2y) = -g(Ix, y) = -\omega(y, x)$. Поэтому {\бф \blue $\omega$ кососимметрична}. \определение Форма $\omega$ называется {\бф \блуе эрмитовой формой} на эрмитовом пространстве $(V,I, g)$ \упражнение Докажите, что в тройке $I, g, \omega$, {\бф \пурпле каждый тензор выражается через остальные два.} \определение {\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия} \пример Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$. {\bf \purple Тогда $I(dx_i) = dy_i$, $I(dy_i) = - dx_i$ -- почти комплексная структура.} \определение Почти комплексная структура {\бф \блуе интегрируема}, если каждая точка $M$ имеет окрестность $U$ и вложение $U\hookrightarrow \C^n$, совместимое с комплексной структурой. Многообразие, снабженное интегрируемой почти комплексной структурой, называется {\бф \блуе комплексным многообразием}. \определение {\бф \блуе Эрмитова метрика} на почти комплексном многообразии $M$ есть риманова структура $g\in \Sym^2 T^*M$, такая, что $I$ ортогонален относительно $g$ в каждой точке $M$. \замечание Для каждого $I$, {\бф \пурпле пространство эрмитовых метрик выпукло} в $\Gamma(Sym^2 T^*M)$. \следствие Пространство почти комплексных структур на $M$ {\бф \ред гомотопически эквивалентно пространству почти комплексных эрмитовых структур.} \невпаге {\bf \blue Подмногообразия почти комплексных многообразий} \определение Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие, а $Z\subset M$ замкнутое подмногообразие (возможно, особое, но особенности должны иметь коразмерность $\geq 2$). $Z$ называется {\бф \блуе псевдоголоморфным}, или {\бф \блуе почти комплексным}, если для каждой гладкой точки $z\in Z$, пространство $T_zZ\subset T_zM$ сохраняется комплексной структурой. Псевдоголоморфное подмногообразие комплексной размерности 1 называется {\бф \блуе псевдоголоморфной кривой}. \замечание Подмногообразие комплексного многообразия является псевдогломорфным тогда и только тогда, когда его можно локально задать как множество общих нулей системы комплексно-аналитических уравнений. {\бф \пурпле В частности, их очень много}. {\бф \греен ФАКТ.} У общего (неинтегрируемого) почти комплексного многообразия {\бф \пурпле нет никаких псевдоголоморфных подмногообразий, кроме кривых (даже локально).} {\бф \греен ФАКТ.} Рассмотрим множество ${\goth S}$ компактных почти комплексных подмногообразий $(M,I)$, с топологией, заданной метрикой Хаусдорфа. {\бф \пурпле Тогда каждая компонента связности ${\goth S}$ -- локально конечномерное стратифицированное (особое) многообразие.} \невпаге {\bf \blue Почти комплексные симплектические многообразия} \определение Пусть $(M,\omega)$ -- симплектическое многообразие, а $I$ -- почти комплексная структура. Она {\бф \блуе совместима с с симплектической структурой}, если $g(x, y):= \omega(Ix, y)$, для какой-то римановой формы $g$. \определение {\бф \блуе Симплектическое почти комплексное многообразие} есть многообразие $(M, \omega, I)$, снабженное симплектической формой и совместимой с ней комплексной структурой. \утверждение Пусть $(M, \omega)$ многообразие, снабженное невырожденной кососимметрической 2-формой. {\бф \ред Тогда пространство $C$ совместимых с $\omega$ почти комплексных структур стягиваемо.} \невпаге {\bf \blue Пространство почти комплексных структур, совместимых с $\omega$} {\бф \греен УТВЕРЖДЕНИЕ 1:} Пусть $(M, \omega)$ многообразие, снабженное невырожденной кососимметрической 2-формой. {\бф \ред Тогда пространство $C$ совместимых с $\omega$ почти комплексных структур стягиваемо.} \дшаг Отождествим $C$ с пространством метрик $g$ таких, что $g^{-1}\omega$ -- почти комплексная структура, совместимая с $\omega$. Пространство $R$ римановых метрик выпукло, следовательно, стягиваемо. Для доказательства стягиваемости $C\subset R$ {\бф \пурпле достаточно убедиться, что $C$ -- деформационный ретракт $R$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $A:= g^{-1}\omega$, то есть $g(Ax,y)=\omega(x,y)$. {\бф \пурпле Матрица $A$ кососимметрична: $g(Ax,y)= \omega(x,y)= - \omega(y, x)=-g(Ay,x)=-g(x,Ay)$.} Кососимметричная матрица имеет в каком-то ортонормированном базисе вид \[ \omega=\begin{pmatrix} A=\begin{matrix}0 & \alpha_1\\ -\alpha_1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & \alpha_n \\ -\alpha_n & 0\end{matrix} \end{pmatrix} \] \невпаге {\bf \blue Пространство почти комплексных структур, совместимых с $\omega$ (окончание)} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $A:= g^{-1}\omega$, то есть $g(Ax,y)=\omega(x,y)$. {\бф \пурпле Матрица $A$ кососимметрична: $g(Ax,y)= \omega(x,y)= - \omega(y, x)=-g(Ay,x)=-g(x,Ay)$.} Значит, $g(A^2x,y)=g(x, A^2y)$, то есть $A^2$ симметрична. Поскольку $g(A^2x,x)=-g(Ax,Ax)$, {\бф \пурпле эта матрица отрицательно определена.} {\бф \ред Мы получили, что матрица $B_t:=e^{-\frac{t}2\log (-A^2)}$ корректно определена, симметрична, и непрерывно зависит от $t$ и $A$.} {\бф \греен Шаг 3:} Оператор $AB_1$ записывается в тех же координатах в виде \[ \begin{pmatrix} \omega=\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix} \end{pmatrix}, \] то есть задает почти комплексную структуру. Поскольку $\omega(AB_1x, y)= g(B_1x, y)$, а $B_1$ симметрична, {\бф \пурпле эта почти комплексная структура совместима с $\omega$.} {\бф \греен Шаг 4:} $g,t \arrow g(B_tx, y)$ при $t=1$ дает метрику $g(B_1\cdot, \cdot)\in C$, а при $t=0$ дает $g$. {\бф \пурпле Таким образом $C$ получается как деформационный ретракт $R$.} \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Калибрации на многообразии} \определение Пусть $M$ -- риманово многообразие, а $\eta\in \Lambda^k M$ -- замкнутая форма. Она называется {\бф\блуе калибрацией}, если для любого ортонормированного набора векторов $v_1, ..., v_k \in T_x M$, имеем $|\eta(v_1, v_2, ..., v_k)|\leq 1$. $k$-мерное подпространство $W\subset T_x M$ называется {\бф \блуе фасадом} калибрации, если для какого-то ортонормального базиса $v_1, ..., v_k \in W\subset T_x$, имеем $\eta(v_1, v_2, ..., v_k)=1$. \пример Пусть $(M, I, \omega)$ -- почти комплексное симплектическое многообразие. Для любых ортонормальных векторов $x, y \in T_x M$, имеем $\omega(x, y) = g(Ix, y)$. Поскольку матрица $I$ унитарна, имеем $|g(Ix, y)|=|\cos(\alpha)|$, где $\alpha$ есть угол между $Ix$ и $y$. {\бф \пурпле Значит, $\omega$ это калибрация. } \замечание Плоскость $W\subset T_x M$ является фасадом тогда и только тогда, когда для какого-то ортонормированного базиса $v, w\in W$, имеем $I(v)=\pm w$. Это равносильно тому, что $W$ -- комплексное подпространство. Мы получили, что {\бф \ред фасады калибрации $\omega$ суть комплексные подпространства}. \невпаге {\bf \blue Калиброванные подмногообразия} \newcommand{\Imm}{\operatorname{Imm}} \определение Пусть $(M, g)$ -- риманово многообразие, $\eta\in \Lambda^k M$ калибрация, а $Z\subset M$ ориентированное подмногообразие. Оно называется {\бф \блуе калиброванным}, если $T_z Z\subset T_z M$ -- фасад калибрации для любой точки $z\in Z$. \пример Поскольку фасады симплектической калибрации суть комплексные порпространства, {\бф \пурпле калиброванные подмногообразия в $(M,I,\omega)$ это псевдоголоморфные кривые}. \замечание Зафиксируем гладкие многообразия $Z, M$. {\бф \пурпле Пространство $\Imm(Z,M)$ иммерсий $Z\arrow M$ является бесконечным многообразием ("многообразием Фреше").} \невпаге {\bf \blue Mинимальные подмногообразия} \определение Пусть $\phi(Z)\subset M$ -- гладкое, компактное подмногообразие, которое получается как образ вложения $\phi:\; Z \arrow M$. Рассмотрим риманов объем $\Vol(\phi(Z))$ как функцию на $\Imm(Z,M)$. Подмногообразие $\phi(Z)\subset M$ называется {\бф\блуе минимальным}, если $\phi$ -- точка локального минимумa для $\Vol:\; \Imm(Z,M)\arrow \R$. \теорема {\бф \ред Калиброванные подмногообразия минимальны.} \доказательство Пусть $Z_t$ -- семейство подмногообразий, параметризованное $t\in \R$, а $Z=Z_0$ -- калиброванное. Обозначим за $\Vol$ форму риманова объема на $Z_t$. Тогда $\int_{Z_t}\eta\leq \int_{Z_t}\Vol$, причем равенство имеет место только если $Z_t$ калиброванное. Из замкнутости $\eta$ следует, что $\int_{Z_t}\eta=\const$ (теорема Стокса). С другой стороны, \[ \int_{Z}\Vol= \int_{Z}\eta =\int_{Z_t} \eta \leq \Vol(Z_t). \] Поэтому $Z$ минимально. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Симплектическая емкость и псевдоголоморфные кривые} \newcommand{\Cyl}{\operatorname{Cyl}} {\бф \греен ТЕОРЕМА 2:} Пусть $M=\C P^1 \times T^{2n}$ -- произведение $\C P^1$ и тора, снабженное стандартной симплектической структурой, а $J$ -- согласованная почти комплексная структура. {\бф \ред Тогда для каждой точки $x\in M$ найдется псевдоголоморфная кривая $S$, гомологичная $\C P^1 \times \{m \}$, и проходящая через $x$.} Из этой теоремы выводится теорема Громова. \теорема {\бф \блуе (Громов)}\\ {\бф \ред Симплектическая емкость симплектического цилиндра $\Cyl_1$ радиуса 1 равна $\pi$}. \невпаге {\бф \блуе Доказательство теоремы Громова} \теорема {\бф \блуе (Громов)}\\ {\бф \ред Симплектическая емкость симплектического цилиндра $\Cyl_1$ радиуса 1 равна $\pi$}. \дшаг Пусть $f_1:\; B_r \arrow \Cyl_1$ -- симплектическое вложение, $r>1$, a $I$ -- обычная (плоская) почти комплексная структура на $B_r\subset \C^{n+1}$. Рассмотрим $M=\C P^1 \times T^{2n}$ -- произведение $\C P^1$ и тора, снабженное стандартной симплектической структурой, и пусть $f_2:\; \Cyl_1 \arrow \C P^1 \times T^{2n}$ симплектическое отображение, которое переводит $\Cyl_1=\Delta \times \R^{2n}$ в $\C P^1 \times T^{2n}$, факторизуя по $\Z^{2n}$, и симплектоморфно отображая диск $\Delta$ в $\C=\C P^1 \backslash \infty$. {\бф \греен Шаг 2:} Выберем решетку $\Z^{2n}\subset \R^{2n}$ таким образом, что ее фундаментальная область содержит $f_1(B_r)$. Тогда помпозиция $f_1 \circ f_2$ дает симплектическое вложение $B_r \arrow M=\C P^1 \times T^{2n}$. Значит, {\бф \пурпле теорема Громова о симплектической емкости выводится из следующего результата.} \теорема Пусть $M=\C P^1 \times T^{2n}$ -- произведение $\C P^1$ и тора, снабженное стандартной симплектической структурой, с симплектическим объемом $\C P^1$, равным $\pi$, а $\phi:\; B_r \arrow M$ -- симплектическое вложение. Тогда $r\leq 1$. \невпаге {\бф \блуе Доказательство теоремы Громова (продолжение)} \теорема Пусть $M=\C P^1 \times T^{2n}$ -- произведение $\C P^1$ и тора, снабженное стандартной симплектической структурой, с симплектическим объемом $\C P^1$, равным $\pi$, а $\phi:\; B_r \arrow M$ -- симплектическое отображение. Тогда $r\leq 1$. \дшаг Выберем плоскую комплексную структуру и эрмитову метрику на $B_r$. Обозначим за $g_0$ соответствующую эрмитову метрику на $\phi(B_r)$. Тогда $g_0$ можно продолжить до римановой метрики $g_1$ на $M$ такой, что $g_0=g_1$ в шаре $\phi(B_{r-\epsilon})$, где $r-\epsilon >1$. Операция $g_1(\cdot, \cdot) \arrow g_1(B_1\cdot, \cdot)$, построенная при доказательстве Утверждения 1, дает метрику $g$, совместимую с симплектической структурой на $M$, и совпадающую с $g_0$ в шаре $\phi(B_{r-\epsilon})$ Заменив шар $B_r$ на $B_{r-\epsilon}$, мы получаем следующее утверждение. {\бф \пурпле Достаточно доказать утверждение теоремы в следующем предположении. Существует совместимая почти комплексная структура на $M$ такая, что ее ограничение на $\phi(B_r)$ дает обычную комплексную структуру на $B_r\subset \C^{n+1}$.} \невпаге {\бф \блуе Доказательство теоремы Громова (окончание)} \теорема (в предположениях Шага 1)\\ Пусть $M=\C P^1 \times T^{2n}$ -- произведение $\C P^1$ и тора, снабженное стандартной симплектической структурой, с симплектическим объемом $\C P^1$, равным $\pi$, а $\phi:\; B_r \arrow M$ -- симплектическое отображение. {\бф \пурпле Пусть существует совместимая почти комплексная структура на $M$ такая, что ее ограничение на $\phi(B_r)$ дает обычную комплексную структуру на $B_r\subset \C^{n+1}$. Тогда $r\leq 1$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $x\in M$ образ центра $B_r$, а $S\subset M$ псевдоголоморфная кривая, существование которой утверждается в теореме 2, $S\ni x$. Тогда $\pi=\int_S \omega_M \geq \int_{\phi^{-1}(S)}\omega$, где $\omega_M$ есть симплектическая форма на $M$, а $\omega$ -- симплектическая форма на $B_r$. Поскольку $S$ псевдоголоморфно, $\int_{\phi^{-1}(S)}\omega_{B_r}$ -- риманов объем ее пересечения с $\phi(B_r)$. {\бф \греен Шаг 3:} Мы получили замкнутую комплексную кривую $D:= \phi^{-1}(S)$ в шаре $B_r$ с плоской метрикой и комплексной структурой, проходящую через 0, риманов объем которой $\leq \pi$. {\бф \пурпле Применив гомотетию, получим собственный диск в шаре $B$ радиуса 1, проходящий через 0, и площади $< \pi$. } Несуществование такого диска для $r>1$ выводится из следующего утверждения. \невпаге {\бф \блуе Комплексные кривые в единичном шаре} \утверждение {\бф \ред Пусть $D\subset B_1$ -- замкнутый комплексный диск в единичном шаре в $\C^n$, проходящий через 0, и гладкий на его границе. Тогда $\int_D \omega \geq \pi$.} Выведем его из "формулы монотонности". \лемма {\бф \блуе (формула монотонности)} Пусть $(B_1, \eta)$ -- единичный шар в $\R^n$, снабженный плоской метрикой и калибрацией, а $\Delta\subset B$ -- калиброванный диск, проходящий через 0, и замкнутый в $B$ (вложенный с границей таким образом, что $\6 \Delta$ попадает в $\6 B_1$). {\bf \ред Обозначим за $\Delta_t$ пересечение $\Delta$ с шаром радиуса $t$. Тогда функция $t \arrow t^{-2} \Vol(\Delta_t)$ неубывающая.} Очевидно, $\lim\limits_{t\rightarrow 0} \Vol(\Delta_t)= \pi t^2$ (в очень большом увеличении, гладкий диск становится плоским). {\бф \пурпле Лемма о монотонности дает $\Vol\Delta \geq \pi$.} {\бф \греен Доказательство формулы монотонности. Шаг 1:} Пусть $C(\6\Delta)\subset B_1$ -- конус, натянутый на границу $\Delta$. Тогда \[ \Vol C(\6\Delta)\geq \int_{C(\6\Delta)}\eta=\int_\Delta\eta=\Vol\Delta \] (первое из равенств следует из теоремы Стокса, ибо граница $\Delta$ совпадает с границей $C(\6\Delta)$.) \невпаге {\бф \блуе Формула монотонности} {\small \лемма {\бф \блуе (формула монотонности)} Пусть $(B_1, \eta)$ -- единичный шар в $\R^n$, снабженный плоской метрикой и калибрацией, а $\Delta\subset B$ -- калиброванный диск, проходящий через 0, и замкнутый в $B$ (вложенный с границей таким образом, что $\6 \Delta$ попадает в $\6 B_1$). {\bf \ред Обозначим за $\Delta_t$ пересечение $\Delta$ с шаром радиуса $t$. Тогда функция $t \arrow t^{-2} \Vol(\Delta_t)$ неубывающая.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $C(\6\Delta)\subset B_1$ -- конус, натянутый на границу $\Delta$. Тогда \[ \Vol C(\6\Delta)\geq \int_{C(\6\Delta)}\eta=\int_\Delta\eta=\Vol\Delta \] (первое из равенств следует из теоремы Стокса, ибо граница $\Delta$ совпадает с границей $C(\6\Delta)$.)} {\бф \греен Шаг 2:} Формула для площади конуса дает $\Vol C(\6\Delta)=\frac 1 2 l(\6\Delta)$, где $l(\6\Delta)$ -- длина границы $\6\Delta$. Значит, $\Vol\Delta\leq \frac 1 2 l(\6\Delta)$. {\бф \греен Шаг 3:} То же рассуждение, примененное к $\Delta_t$, дает $t^{-2}\Vol\Delta_t\leq \frac 1 {2t} l(\6\Delta_t)$. С другой стороны, $\frac d {dt} \Vol\Delta_t\geq l(\6\Delta_t)$. {\бф \греен Шаг 4:} Обозначим за $f(t)$ функцию $t \arrow \Vol\Delta_t$. Утверждение шага 3 дает $f(t) \leq \frac t 2 f'(t)$. Тогда { \small \[ \frac d{dt} t^{-2}f(t) = t^{-2}f'(t)- 2t^{-3}f(t)\geq t^{-2}f'(t)-t^{-2}f'(t)=0. \]} \ендпрооф %\невпаге % %{\бф \блуе Псевдоголоморфные кривые и бесконечномерная %теорема Сарда} % %Пусть $M$ -- почти комплексное многообразие, $S$ -- %компактное комплексное многообразие (комплексная кривая), %а $\Imm(S,M)$ пространство гладких иммерсий из $S$ в $M$, %а ${\goth J}$ пространство почти комплексных структур на $M$. %Рассмотрим оператор, который ставит в соответствие %кривой $S\stackrel \phi\hookrightarrow M$ %и почти комплексной структуре $I\in {\goth J}$ %сечение $O(\phi,I):=\Hom(T^{1,0}S, \phi^*T{0,1}(M,I))$, %которое является препятствием к псевдголоморфности %отображения $\phi$. Пространства $\Imm(S,M)$ и %${\goth J}$ являются многообразиями Фреше. % %\утверждение %Отображение $O:\; \Imm(S,M)\times {\goth J}$ % % % %\newpage % %{\bf \blue Теорема Громова о компактности} % %Следующие теоремы Громова составляют содержание %теории псевдоголоморфных кривых. Их доказательство %весьма сложно. % %\теорема %Пусть $M$ -- компактное почти комплексное эрмитово %многообразие, а ${\goth S}_C$ -- пространство %псевдоголоморфных кривых на $M$ с римановым объемом не больше %$C$, снабженное метрикой Хаусдорфа. {\бф \ред Тогда ${\goth S}_C$ %компактно.} \end{document}