
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
russcorr, russlh, units}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\sf const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Симплектическая емкость, лекция 2 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Симплектическая емкость \\[15mm]
\small лекция 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[10mm] \tiny 
26 июля 2013
\\[20mm]

{\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm]
24 - 30 августа, 2013, ЯГПУ, Ярославль, Россия

}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Симплектические многообразия}


\определение
Кососимметрическая 2-форма $\omega$ на векторном пространстве $V$
называется {\бф \блуе невырожденной}, или {\бф \блуе симплектической},
если для каждого
ненулевого $x\in V$ найдется $y\in V$ такой, что $\omega(x,y)\neq 0$.


\замечание
{\бф \ред Каждая невырожденная 
кососимметрическая форма записывается в некотором базисе как
\[ \begin{pmatrix}
\omega=\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}
\end{pmatrix}.
\]}
Если обозначить соответствующий базис в $V^*$ как
$x_1, y_1, x_2, y_2, ...$, форма $\omega$ будет записана
в виде $\omega=\sum_i x_i\wedge y_i$.

\определение
{\бф \блуе Ориентация} на $n$-мерном векторном пространстве есть 
ненулевой вектор в $\Lambda^n V$. {\бф \блуе Ориентация} на 
$n$-мерном многообразии есть нигде не зануляющаяся $n$-форма.

\замечание
{\бф \пурпле Симплектическое пространство всегда ориентировано.}
Действительно, 
$\omega^n=n! x_1\wedge y_1 \wedge x_2 \wedge y_2 \wedge ... \wedge x_n \wedge y_n$.

\newpage

{\бф \блуе Симплектические многообразия}


\определение
Пусть $M$ -- многообразие. Дифференциальная форма
$\omega\in \Lambda^2M$ называется {\бф\блуе симплектической},
если она невырождена в каждой точке, и замкнута.

\определение
Диффеоморфизм $\phi:\; M \arrow M'$ симплектических
многообразий $(M, \omega)$ и $(M',\omega')$
называется {\бф \блуе симплектоморфизмом},
если $\phi^*\omega'=\omega$.

\замечание
{\бф \пурпле Симплектическая геометрия изучает 
симплектические многообразия с точностью до симплектоморфизма.}

\определение
{\бф \блуе Симплектический шар} радиуса $r$ есть шар
радиуса $r$ в $\R^2n$ с симплектической структурой,
которая индуцирована формой $\omega=\sum_i dx_i\wedge dy_i$
на $\R^n$ ($x_i, y_i$ -- координаты).

\теорема
{\бф \блуе (Теорема Дарбу):}
{\бф \ред Симплектическое многообразие локально симплектоморфно 
симплектическому шару} (в окрестности каждой своей точки).


\newpage

{\бф \блуе Симплектическая емкость}
\newcommand{\capa}{\operatorname{\sf cap}}

\определение
{\бф \блуе Симплектическая емкость} (по Экланду-Хоферу) 
есть функционал $\capa$, который ставит
каждому симплектическому многообразию $(M,\omega)$ число $\capa(M,\omega)$,
удовлетворяющее следующим условиям.

{\бф \ред 1. Монотонность.} 
Если существует симплектическое
вложение $(M,\omega)\hookrightarrow (M',\omega')$, то 
$\capa(M,\omega)\leq \capa(M',\omega')$.

{\бф \ред 2. Конформная инвариантность.}
 $\capa(M,\omega)= \lambda^{-2}\capa(M,\lambda\omega)$.

{\бф \ред 3. Нетривиальность.} 
$0<\capa(B_r,\omega)<\infty$, где
$(B_r,\omega)$ -- симплектический шар.

\определение
Пусть $(M,\omega)$ -- симплектическая
емкость, а $r$ -- супремум радиусов всех
симплектических шаров той же размерности, которые симплектоморфно
вкладываются в $M$. Число $\capa_G(M,\omega):=\pi r^2$ называется 
{\бф\блуе симплектической емкостью Громова} многообразия $M$.


\newpage

{\бф \блуе Симплектическая емкость по Громову}

\определение
{\бф \блуе Симплектический объем} симплектического многообразия
$(M,\omega)$ размерности $2n$ есть интеграл $\int_M\omega^n$.

\задача
Докажите, что при $n=1$, {\bf \purple любые два симплектических
многообразия одинакового симплектического объема, гомеоморфных
диску, являются симплектоморфными.}

\замечание
Нетривиальность емкости Громова следует из
того, что симплектический объем многообразия ограничивает
сверху симплектический объем шара, который туда вкладывается.

\определение
{\бф \блуе 
Симплектический цилиндр} есть 
$\R^{2n}\times B_r$, где $\R^{2n}$ снабжено обычной
симплектической формой $dx\wedge dy$, а $B_r$ -- симплектический
шар радиуса $r$ в $\R^2$. 

\теорема
{\бф \блуе (Громов)}\\
{\бф \ред Симплектическая емкость симплектического цилиндра
равна $\pi r^2$}

\замечание Получается, что объем цилиндра бесконечный, а 
его симплектическая емкость конечна.

\newpage

{\бф \блуе Теорема Экланда-Хофера}


\теорема
{\бф \блуе (Экланд-Хофер)}\\
Диффеоморфизм симплектических многообразий, сохраняющий ориентацию,
{\бф \ред является симплектоморфизмом тогда
и только тогда, когда он сохраняет громовскую емкость}
всех подмножеств.

%\определение
%Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство.
%{\бф\блуе Антисимплектическое отображение} есть линейное
%отображение $A$ такое, что $A(\omega)=-\omega$,

\определение
{\бф \блуе Эллипсоид} в векторном пространстве $V$
есть множество точек вида $\{v \in V\ \ | \ \ q(v,v)< C\}$,
где $q$ -- положительно определенное скалярное произведение.

{\бф \греен Теорема Экланда-Хофера выводится из ее линейного аналога.}

\теорема
{\бф \блуе (Экланд-Хофер, линейная версия)}\\
Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство,
а $\phi:\; V \arrow V$ сохраняет ориентацию и симплектическую емкость всех
эллипсоидов. {\бф \ред Тогда $\phi$ сохраняет симплектическую форму.}


{\бф \греен Будет доказана в конце этой лекции.}


\newpage

{\бф \блуе Открыто-компактная топология}

{\бф \греен План дальнейших действий:}

0. Определить топологию на отображениях и на подмножествах.

1. Вывести Экланда-Хофера из линейной версии.

2. Доказать линейную версию.

\определение
Пусть $\phi_i:\; M \arrow M$ -- последовательность отображений
метрических пространств, $\phi:\; M \arrow M$ отображение, 
причем для каждого компакта $K\subset M$, имеем 
$\lim_i \sup_{x\in K}d(\phi(x), \phi_i(x))=0$.
В такой ситуации говорится, что {\бф \блуе $\phi_i$ сходится
к $\phi$ в открыто-компактной топологии.}

\замечание
Открыто-компактная топология на пространстве
отображений {\бф \ред не зависит от выбора метрики
на топологическом пространстве $M$} {\бф \ред (докажите это!)}

\newpage

{\бф \блуе Метрика Хаусдорфа}

{\bf \green Определение:}
Пусть $M$ -- метрическое пространство.
{\bf\blue $\epsilon$-окрестность} $Z\subset M$ - объединение всех
$\epsilon$-шаров с центрами в $Z$. Обозначим ее за $Z(\epsilon)$.

\определение
{\бф \блуе Метрика Хаусдорфа} на компактных подмножествах метрического
пространства определяется так: $d_H(X,Y)$ есть инфимум всех $\epsilon$
таких, что $X(\epsilon)\supset Y$ и $Y(\epsilon)\supset X$ 

{\бф \греен Свойства метрики Хаусдорфа}

1. Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Тогда {\бф \блуе топология Хаусдорфа}
на компактных подмножествах $M$, заданная метрикой Хаусдорфа,
{\бф \пурпле не зависит от выбора метрики на $M$.}

2. Если $\phi_i:\; M \arrow M$ -- последовательность отображений,
сходящихся к $\phi$ в открыто-компактной топологии, a $K\subset M$ 
компакт, то {\бф \пурпле $\phi_i(K)$ сходится к $\phi(K)$ в 
топологии Хаусдорфа.}

\замечание
Довольно часто удобно рассматривать "метрику Хаусдорфа"
на множестве открытых подмножеств, замыкания которых
компактны. {\бф \пурпле Это на самом деле полуметрика} (два открытых
множества с одинаковым замыканием отстоят друг от друга
на расстояние 0).

\newpage

{\бф \блуе Симплектическая емкость и метрика Хаусдорфа}

\утверждение
Пусть $U_i$ -- последовательность выпуклых, ограниченных открытых
подмножеств $\R^{2n}$, содержащих 0, а $U$ -- их предел в метрике Хаусдорфа.
{\бф \ред Тогда $\lim_i\capa_G(U_i)=\capa_G(U)$.}

{\бф \греен Доказательство:}
Для каждого $\epsilon>0$, почти все элементы последовательности $\{U_i\}$
содержатся в $(1+\epsilon)U$ и содержат $(1-\epsilon)U$.
В такой ситуации 
\[ \sqrt{1-\epsilon}\capa_G(U)\leq 
\capa_G(U_i)\leq \sqrt{1+\epsilon}\capa_G(U).
\]
\ендпрооф


Сейчас я выведу теорему Экланда-Хофера из ее линейной версии.


\теорема
{\бф \блуе (Экланд-Хофер)}\\
Диффеоморфизм симплектических многообразий, сохраняющий ориентацию,
{\бф \ред является симплектоморфизмом тогда
и только тогда, когда он сохраняет громовскую емкость}
всех подмножеств.


\теорема
{\бф \блуе (Экланд-Хофер, линейная версия)}\\
Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство,
а $\phi:\; V \arrow V$ сохраняет ориентацию и симплектическую емкость всех
эллипсоидов. {\бф \ред Тогда $\phi$ сохраняет симплектическую форму.}


\newpage

{\бф \блуе Теорема Экланда-Хофера: доказательство}

\теорема
{\бф \блуе (Экланд-Хофер)}\\
Диффеоморфизм симплектических многообразий, сохраняющий ориентацию,
{\бф \ред является симплектоморфизмом тогда
и только тогда, когда он сохраняет громовскую емкость}
всех подмножеств.

Локально любое симплектическое многообразие изоморфно
симплектическому шару (Дарбу). Поэтому достаточно доказать
следующую более слабую форму теоремы


\теорема
Пусть $(B,\omega)\stackrel \phi \arrow (\R^{2n},\omega)$ 
 вложение, локально являющееся ориентированным диффеоморфизмом,
из симплектического шара в $\R^{2n}$ с обычной симплектической
формой, переводящее 0 в 0, и сохраняющее 
громовские симплектические емкости $\capa_G$
выпуклых подмножеств.
{\бф \ред Тогда $\phi$ сохраняет симплектическую форму.}

\дшаг
Пусть $\lambda>1$, а $\Gamma_\lambda:\; \R^n \arrow \R^n$ -- гомотетия,
переводящая $v$ в $\lambda v$. В силу конформной инвариантности
$\capa_G$, {\бф \пурпле диффеоморфизм
$\phi_\lambda:\; B \arrow \R^{2n}$,
переводящий $\phi_\lambda(v)=\Gamma_\lambda(\phi(\Gamma_\lambda^{-1}(v)))$ 
сохраняет громовские симплектические емкости.}


\newpage

{\бф \блуе Теорема Экланда-Хофера:  окончание  доказательства}

\дшаг
Пусть $\lambda>1$, а $\Gamma_\lambda:\; \R^n \arrow \R^n$ -- гомотетия,
переводящая $v$ в $\lambda v$. В силу конформной инвариантности
$\capa_G$, {\бф \пурпле диффеоморфизм
$\phi_\lambda:\; B \arrow \R^{2n}$,
переводящий $\phi_\lambda(v)=\Gamma_\lambda(\phi(\Gamma_\lambda^{-1}(v)))$ 
сохраняет громовские симплектические емкости.}

{\бф \греен Шаг 2:} Для любого диффеоморфизма 
$(B,\omega)\stackrel \phi \arrow (\R^{2n},\omega)$
и любого эллипсоида $E\subset B$, {\бф \пурпле найдется такое $\lambda_0>0$,
что $\phi_\lambda(E)$ выпуклый для любого $\lambda>\lambda_0$.}
%И действительно, $E=\{v \in B\ \ | \ \ q(v,v)< C\}$,
%что дает $\phi(E)=\{v \in B\ \ | \ \ q(\phi^{-1}v,\phi^{-1}v)< C\}$
%а функция $v \arrow q(\phi^{-1}(v),\phi^{-1}(v))$ выпукла 
%в достаточно малой области окрестности 0, что следует из
%правила дифференцирования композиции. 

{\бф \греен Шаг 3:} В открытозамкнутой топологии,
предел $\lim\limits_{\lambda\rightarrow \infty}\phi_\lambda$ равен 
дифференциалу ${\goth D}:=D_0\phi$. Для каждого эллипсоида $E\subset B$,
имеем ${\goth D}(E)=\lim\limits_{\lambda\rightarrow \infty}\phi_\lambda(E)$
(в топологии, заданной метрикой Хаусдорфа).
Для больших $\lambda$, множество $\phi_\lambda(E)$ выпукло, а 
на выпуклых множествах $\capa_G$ непрерывна в топологии,
заданной метрикой Хаусдорфа. {\бф \пурпле Поэтому 
\[ \capa_G({\goth D}(E))=\capa_G(\phi_\lambda(E))=\capa_G(E),\]
то есть ${\goth D}$ сохраняет симплектическую емкость.}

{\бф \греен Шаг 3:}
В силу линейной версии теоремы Экланда-Хофера,
${\goth D}=D_0\phi$ -- симплектоморфизм.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Симплектические гомеоморфизмы}


\следствие
Пусть $\phi:\; B \arrow \R^{2n}$ -- вложение, локально
являющееся ориентированным диффеоморфизмом. Предположим
к тому же, что $\phi$ сохраняет симплектическую
емкость каждого эллипсоида, образ которого выпуклый.
Тогда $\phi$ сохраняет симплектическую форму.

\теорема
{\бф \блуе (Элиашберг-Экланд-Хофер)}
Пусть $(M, \omega)$ -- симплектическое многообразие.
{\бф \ред Тогда группа симплектоморфизмов $M$ замкнута в открыто-компактной
топологии в группе диффеоморфизмов.}

\доказательство
Достаточно доказать следующее, более слабое утверждение:
Пусть $\phi_i:\; B \arrow \R^{2n}$ -- последовательность
симплектических вложений, сходящихся к гладкому вложению
$\phi:\; B \arrow \R^{2n}$. Тогда $\phi$ сохраняет 
симплектические емкости эллипсоидов, образ которых выпуклый.
На таких эллипсоидах симплектическая
емкость непрерывна, а значит 
$\capa_G\phi(E)=\capa_G\lim_i \phi_i(E)=\capa_G E$.
\ендпрооф

\упражнение
{\бф \пурпле Найти дыру в этом аргументе, и заделать ее.}

\определение
{\бф \блуе Симплектический гомеоморфизм} есть гомеоморфизм
симплектических многообразий, сохраняющий симплектическую емкость.

\newpage

{\бф \блуе Симплектические эллипсоиды}

\утверждение
Пусть $V=\R^{2n}$, $g$ положительно определенная билинейная
форма на $V$, а $\omega$ невырожденная кососимметрическая.
Тогда существует $g$-ортонормированный базис $v_i$ в $V$ такой,
что 
\[ \omega=\begin{pmatrix}
\omega=\begin{matrix}0 & \alpha_1\\ -\alpha_1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & \alpha_n \\ -\alpha_n & 0\end{matrix}
\end{pmatrix} \ \  \ \  (*)
\]
{\бф \ред иначе говоря, $\omega = \sum_i \alpha_i x_i \wedge y_i$,
где $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$ двойственный базис,
а $0< \alpha_1 \leq \alpha_2 \leq ...\leq \alpha_n$.
положительные вещественные числа, не зависящие от выбора базиса.}

\доказательство
Пусть $A:= g^{-1}\omega$, то есть $g(Ax,y)=\omega(x,y)$.
{\бф \пурпле Матрица $A$ кососимметрична: 
$g(Ax,y)= \omega(x,y)= - \omega(y, x)=-g(Ay,x)=-g(x,Ay)$.}
Кососимметричная матрица имеет в каком-то базисе вид (*),
что следует, например, из классификации движений евклидова
пространства. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Симплектические эллипсоиды (другое доказательство)}

{\бф \блуе Шаг 2:} Значит, $g(A^2x,y)=g(x, A^2y)$, то есть
$A^2$ симметрична. Поскольку $g(A^2x,x)=-g(Ax,Ax)$,
{\бф \пурпле эта матрица отрицательно определена.}

{\бф \блуе Шаг 3:} Обозначим за $g_A$ 
скалярное произведение $x, y \arrow - g(A^2x, y)$,
и пусть $\{x_i\}$ -- базис, в котором и $g$ и $g_A$
обе ортогональны, и $g(x_i, x_i)= 1$, $g_A(x_i, x_i)=b_i$. 
{\бф \ред Такой базис существует и определен однозначно с точностью
до отображения, которое является изометрией относительно
$g$ и $g_A$.}

{\бф \блуе Шаг 4:} 
Поскольку $g(Ax_i, Ax_j)= b_i\delta_{ij}$,
а $g_A(Ax_i, Ax_j)= -b_i^2\delta_{ij}$,
вектора $b_i^{-\nicefrac 1 2}Ax_i$ тоже ортогональны
относительно $g$ и $g_A$. Для всех $i$, выберем в качестве
$x_{2i}$ вектор $b_{2i-1}^{-\nicefrac 1 2}Ax_{2i-1}$.
В таком базисе $A$ записывается
как 
\[ A=\begin{pmatrix}
\omega=\begin{matrix}0 & \alpha_1\\ -\alpha_1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & \alpha_n \\ -\alpha_n & 0\end{matrix}
\end{pmatrix},
\]
где $\alpha_i =b_{2i-1}^{\nicefrac 1 2}$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Нормальная форма эллипсоида}

\определение
Пусть $(V, \omega)$ -- симплектическое векторное пространство.
{\бф \блуе Симплектический базис} есть базис
$\{x_i, y_i\}$, такой, что  $\omega=\sum x_i^*\wedge y_i^*$,
где $x_i^*, y_i^*\in V^*$ -- двойственный базис.

\определение
{\бф \блуе Нормальная форма эллипсоида $E$ в симплектическом
пространстве $V$}
это $E=\{v= \sum a_i x_i +b_i y_i \ \ | \ \ \sum_i
(a_i^2+b_i^2)\alpha_i< 1\}$, где $\{x_i, y_i\}$ -- симплектический базис.

\утверждение Для любого эллипсоида $Е$
в симплектическом пространстве {\бф \ред найдется симплектический базис,
в котором эллипсоид записывается в нормальной форме,} причем
числа $\alpha_i$ определены однозначно. 

\доказательство Действительно,
пусть $x_i', y_i'$ -- ортонормированный базис, в котором
$\omega$ записывается матрицей (*), а $E=\{v\in V\ \ |\ \ g(v,v)<1\}$.
Тогда $x_i= x'_i \alpha_i^{-\nicefrac 1 2}, y_i =y'_i
\alpha_i^{-\nicefrac 1 2}$ -- симплектический
базис, а $E$ записывается в нем как $\{v= \sum a_i x_i +b_i y_i \ \ | \ \ \sum_i
(a_i^2+b_i^2)\alpha_i< 1\}$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Симплектические эллипсоиды и емкость}
\newcommand{\Cyl}{\operatorname{Cyl}}

\утверждение
Пусть $E$ -- эллипсоид в симплектическом пространстве,
записанный в нормальной форме, а $\alpha_1$ -- наименьшее
из чисел $\alpha_i$. {\бф \ред Тогда $\capa_G(E)=\pi \alpha_1^{-1}$.}

\доказательство
Рассмотрим симплектический цилиндр $\Cyl$, полученный как произведение
диска $\{ax_1 + b y_1 \ \ |\ \ a^2 + b ^2  \leq \alpha_1^{-1}\}$
и векторного пространства $\langle x_2, y_2, x_3, y_3, ...\rangle$. 
Тогда $\Cyl \supset E \supset B_r$,
где $B_r$ -- шар радиуса $r:=\alpha_1^{-\nicefrac 1 2}$.
{\бф \пурпле По теореме Громова, 
$\capa_G(\Cyl)=\capa_G(B_r)=\pi \alpha_1^{-1}$.
В силу монотонности $\capa_G$, емкость $E$ такая же.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Симплектические цилиндры и емкость}

\определение
Пусть $(V, \omega)$ -- симплектическое пространство,
а $W\subset V$ -- двумерное симплектическое
подпространство. Обозначим за $W^{\bot_\omega}$
ортогональное дополнение относительно симплектической формы.
{\бф\блуе Цилиндр}  $\Cyl_E\subset (V, \omega)$ есть произведение
$\Cyl_E:= E \times W^{\bot_\omega}$ эллипсоида $E\subset W$
и $W^{\bot_\omega}$. Мы рассматриваем $\Cyl_E$ как 
симплектический цилиндр в $V$.

Следующее утверждение сразу вытекает из результата
о симплектической емкости эллипсоида, доказанного выше.

\следствие
Пусть $\phi:\; V \arrow W$ -- обратимое линейное отображение
симплектических пространств, сохраняющее симплектические 
емкости эллипсоидов. {\бф \ред Тогда $\phi$ сохраняет симплектические
емкости цилиндров. }

\доказательство
Цилиндр $\Cyl_E:=\{ax_1 + b y_1 \ \ |\ \ a^2 + b ^2  \leq r\}$
может быть получен как объединение возрастающего семейства 
эллипсоидов 
\[ E_\alpha=\{v= \sum a_i x_i +b_i y_i \ \ | \ \ a_1^2
+ b_1^2 + \sum_{i=2}^\infty
\alpha(a_i^2+b_i^2)< r\}, \alpha \arrow \infty
\]
одинаковой емкости. Образы этих эллипсоидов имеют
ту же самую емкость.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Кокасательное пространство}

\определение
Пусть $Z:=T^*M$ есть тотальное пространство кокасательного
расслоения, $(\xi, m)\in Z$ его точка, с $m\in M$, а 
$\xi\in T^*_mM$. Рассмотрим проекцию $Z\stackrel \pi
\arrow M$, и пусть $\theta$ -- 1-форма на $T^*M$,
которая переводит $v\in T_{(\xi, m)}M$ в 
$\langle \xi, D_\pi(v)\rangle$.
Эта форма называется {\бф\блуе гамильтонова 1-форма}.

\замечание Локально в координатах
гамильтонова 1-форма записывается следующим
образом. Пусть $q_1, ..., q_n$ -- координаты на $V=\R^n=M$.
Отождествив слои проекции с $V^*$, получим координаты
$p_i, q_i$ на $T^*M$; здесь $p_i$ -- двойственный базис 
к $q_i$. В этих координатах, $\theta= \sum_i p_i dq_i$.
{\бф \пурпле значит, $d\theta=\sum_i dp_i \wedge dq_i$ симплектична.}

\определение
Форма $d\theta$ на $T^*M$ называется
{\бф \блуе гамильтонова симплектическая форма
на кокасательном пространстве}.

\newpage

{\бф \блуе Лжецилиндры}

\определение
Пусть $W\subset V$ -- подпространство 
в симплектическом пространстве, а $W^{\bot_\omega}$ -- его
ортогонал. Подпространство $W$ называется {\бф \блуе 
изотропным}, если $W \subset W^{\bot_\omega}$,
и {\бф \блуе коизотропным}, если $W \supset W^{\bot_\omega}$.

\замечание
В силу невырожденности $\omega$, $\dim W + \dim
W^{\bot_\omega}=\dim V$. Поэтому изотропные пространства
имеют размерность $\leq\frac 1 2 \dim V$, а коизотропные
$\geq \frac 1 2 \dim V$.

\определение
Пусть $W_1\subset V$ -- коизотропное подпространство
коразмерности 2, $W\subset V$ дополнительное к нему
двумерное подпространство, а $E_0\subset W$ эллипсоид.
Произведение $W_1 \times E_0 \subset V$ называется
{\бф \блуе лжецилиндром}.

\теорема
{\бф \ред Лжецилиндр симплектоморфен $\R^{2n}$ с обычной 
симплектической структурой.}

\замечание
Из этой теоремы следует, что {\бф \пурпле лжецилиндр не может
быть симплектоморфен цилиндру.} Действительно, его
симплектическая емкость бесконечна.

\newpage

{\бф \блуе Лжецилиндры (продолжение)}

\теорема
{\бф \ред Лжецилиндр $Z:=W_1 \times E_0 \subset V$
симплектоморфен $\R^{2n}$ с обычной 
симплектической структурой.}

\дшаг
Выберем симплектический базис в $V$ таким образом, что
$W_1=\langle x_1, x_2, x_3, y_3, x_4, y_4, ...\rangle$. 
Проектируя $E$ на $\langle y_1, y_2\rangle$ вдоль $W_1$,
получим эллипсоид в $\langle y_1, y_2\rangle$. Поэтому
можно считать, что $E\subset \langle y_1, y_2\rangle$.
Это дает $Z= \langle x_1, x_2\rangle \times E\times
\langle x_3, y_3, x_4, y_4, ...\rangle$.
Поэтому {\бф \пурпле достаточно доказать, что лжецилиндр
$Z= \langle x_1, x_2\rangle \times E$ изоморфен $\R^4$
с обычной симплектической структурой.}

{\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим проекцию $Z\arrow E$ вдоль
$\langle x_1, x_2\rangle$. Форма $\omega$ отождествляет
слои этой проекции с $T^*E=\langle y_1, y_2\rangle$.
{\бф \пурпле Значит, $Z$ симплектоморфно $T^*E$ с гамильтоновой
симплектической структурой.} Поскольку $E$ диффеоморфно
$\R^2$, $Z$ симплектоморфно $T^*\R^2$. \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Доказательство линейной версии Экланда-Хофера}

\следствие
Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство,
а $\phi:\; V \arrow V$ сохраняет симплектическую емкость всех
эллипсоидов. {\бф \ред Тогда $\phi$ переводит коизотропные
пространства коразмерности 2 в коизотропные.}

\доказательство
Пусть $Z\subset V$ -- цилиндр или лжецилиндр,
$Z= W\times E$. Подпространство $W$ можно реконструировать
из $E$ следующим образом: это совокупность всех векторов
$v\in V$ таких, что $\lambda v \in Z$ для любого
$\lambda\in \R$. Оно коизотропно тогда и только тогда,
когда $Z$ лжецилиндр. {\бф \пурпле Поскольку $\phi$ сохраняет емкость
цилиндров (которая конечна), $\phi$ переводит
цилиндры в цилиндры и лжецилиндры в лжецилиндры.}
\ендпрооф

Теперь линейная версия Экланда-Хофера
следует из такой леммы

\лемма
Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство,
а $\phi:\; V \arrow V$  переводит коизотропные
пространства коразмерности 2 в коизотропные.
{\бф \ред Тогда $\phi$ умножает симплектическую форму
на константу.}

\newpage

{\бф \блуе Коизотроплые подпространства и симплектичность}


\лемма
Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство,
а $\phi:\; V \arrow V$  переводит коизотропные
пространства коразмерности 2 в коизотропные.
{\бф \ред Тогда $\phi$ умножает симплектическую форму
на константу.}

\доказательство
Рассмотрим биекцию, переводящую гиперплоскость
$W\subset V$ коразмерности 2 в ее аннулятор $\Ann
(W)\subset V^*$ (размерности 2). Легко видеть, что $W$
коизотропно тогда и только тогда, когда $\Ann(W)$
изотропно. Поэтому $\phi^*:\; V \arrow V$ сохраняет
двумерные изотропные плоскости. Мы свели лемму к
следующей.

\лемма
Пусть $V$ -- векторное пространство,
$\omega_1, \omega_2$ -- симплектические формы, причем
любая 2-мерная плоскость изотропна в $\omega_1$ 
тогда и только тогда, когда она изотропна в $\omega_2$. 
{\бф \ред Тогда $\omega_1$, $\omega_2$ пропорциональны.}

\доказательство
В условиях леммы, $\omega_1(x, y)=0$ $\Leftrightarrow$
$\omega_2(x, y)=0$. Домножив одну из форм на константу,
получим $\omega_1(a,b)=\omega_2(a,b)\neq 0$ для каких-то
$a, b$. Тогда $\omega_1(a,c)=\omega_2(a,c)$ для любого $c$
(иначе $\omega_1(a, c-tb)$ будет равно нулю, для
подходящего $t\in \R$, а $\omega_2(a,c)$ не будет).
Применив этот аргумент второй раз, получим
$\omega_1(c,c')=\omega_2(c,c')$ для любых $c, c'\in V$.
\ендпрооф


\end{document}
