\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, units} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\sf const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Симплектическая емкость, лекция 2 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Симплектическая емкость \\[15mm] \small лекция 2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 26 июля 2013 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm] 24 - 30 августа, 2013, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \newpage {\бф \блуе Симплектические многообразия} \определение Кососимметрическая 2-форма $\omega$ на векторном пространстве $V$ называется {\бф \блуе невырожденной}, или {\бф \блуе симплектической}, если для каждого ненулевого $x\in V$ найдется $y\in V$ такой, что $\omega(x,y)\neq 0$. \замечание {\бф \ред Каждая невырожденная кососимметрическая форма записывается в некотором базисе как \[ \begin{pmatrix} \omega=\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix} \end{pmatrix}. \]} Если обозначить соответствующий базис в $V^*$ как $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$, форма $\omega$ будет записана в виде $\omega=\sum_i x_i\wedge y_i$. \определение {\бф \блуе Ориентация} на $n$-мерном векторном пространстве есть ненулевой вектор в $\Lambda^n V$. {\бф \блуе Ориентация} на $n$-мерном многообразии есть нигде не зануляющаяся $n$-форма. \замечание {\бф \пурпле Симплектическое пространство всегда ориентировано.} Действительно, $\omega^n=n! x_1\wedge y_1 \wedge x_2 \wedge y_2 \wedge ... \wedge x_n \wedge y_n$. \newpage {\бф \блуе Симплектические многообразия} \определение Пусть $M$ -- многообразие. Дифференциальная форма $\omega\in \Lambda^2M$ называется {\бф\блуе симплектической}, если она невырождена в каждой точке, и замкнута. \определение Диффеоморфизм $\phi:\; M \arrow M'$ симплектических многообразий $(M, \omega)$ и $(M',\omega')$ называется {\бф \блуе симплектоморфизмом}, если $\phi^*\omega'=\omega$. \замечание {\бф \пурпле Симплектическая геометрия изучает симплектические многообразия с точностью до симплектоморфизма.} \определение {\бф \блуе Симплектический шар} радиуса $r$ есть шар радиуса $r$ в $\R^2n$ с симплектической структурой, которая индуцирована формой $\omega=\sum_i dx_i\wedge dy_i$ на $\R^n$ ($x_i, y_i$ -- координаты). \теорема {\бф \блуе (Теорема Дарбу):} {\бф \ред Симплектическое многообразие локально симплектоморфно симплектическому шару} (в окрестности каждой своей точки). \newpage {\бф \блуе Симплектическая емкость} \newcommand{\capa}{\operatorname{\sf cap}} \определение {\бф \блуе Симплектическая емкость} (по Экланду-Хоферу) есть функционал $\capa$, который ставит каждому симплектическому многообразию $(M,\omega)$ число $\capa(M,\omega)$, удовлетворяющее следующим условиям. {\бф \ред 1. Монотонность.} Если существует симплектическое вложение $(M,\omega)\hookrightarrow (M',\omega')$, то $\capa(M,\omega)\leq \capa(M',\omega')$. {\бф \ред 2. Конформная инвариантность.} $\capa(M,\omega)= \lambda^{-2}\capa(M,\lambda\omega)$. {\бф \ред 3. Нетривиальность.} $0<\capa(B_r,\omega)<\infty$, где $(B_r,\omega)$ -- симплектический шар. \определение Пусть $(M,\omega)$ -- симплектическая емкость, а $r$ -- супремум радиусов всех симплектических шаров той же размерности, которые симплектоморфно вкладываются в $M$. Число $\capa_G(M,\omega):=\pi r^2$ называется {\бф\блуе симплектической емкостью Громова} многообразия $M$. \newpage {\бф \блуе Симплектическая емкость по Громову} \определение {\бф \блуе Симплектический объем} симплектического многообразия $(M,\omega)$ размерности $2n$ есть интеграл $\int_M\omega^n$. \задача Докажите, что при $n=1$, {\bf \purple любые два симплектических многообразия одинакового симплектического объема, гомеоморфных диску, являются симплектоморфными.} \замечание Нетривиальность емкости Громова следует из того, что симплектический объем многообразия ограничивает сверху симплектический объем шара, который туда вкладывается. \определение {\бф \блуе Симплектический цилиндр} есть $\R^{2n}\times B_r$, где $\R^{2n}$ снабжено обычной симплектической формой $dx\wedge dy$, а $B_r$ -- симплектический шар радиуса $r$ в $\R^2$. \теорема {\бф \блуе (Громов)}\\ {\бф \ред Симплектическая емкость симплектического цилиндра равна $\pi r^2$} \замечание Получается, что объем цилиндра бесконечный, а его симплектическая емкость конечна. \newpage {\бф \блуе Теорема Экланда-Хофера} \теорема {\бф \блуе (Экланд-Хофер)}\\ Диффеоморфизм симплектических многообразий, сохраняющий ориентацию, {\бф \ред является симплектоморфизмом тогда и только тогда, когда он сохраняет громовскую емкость} всех подмножеств. %\определение %Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство. %{\бф\блуе Антисимплектическое отображение} есть линейное %отображение $A$ такое, что $A(\omega)=-\omega$, \определение {\бф \блуе Эллипсоид} в векторном пространстве $V$ есть множество точек вида $\{v \in V\ \ | \ \ q(v,v)< C\}$, где $q$ -- положительно определенное скалярное произведение. {\бф \греен Теорема Экланда-Хофера выводится из ее линейного аналога.} \теорема {\бф \блуе (Экланд-Хофер, линейная версия)}\\ Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство, а $\phi:\; V \arrow V$ сохраняет ориентацию и симплектическую емкость всех эллипсоидов. {\бф \ред Тогда $\phi$ сохраняет симплектическую форму.} {\бф \греен Будет доказана в конце этой лекции.} \newpage {\бф \блуе Открыто-компактная топология} {\бф \греен План дальнейших действий:} 0. Определить топологию на отображениях и на подмножествах. 1. Вывести Экланда-Хофера из линейной версии. 2. Доказать линейную версию. \определение Пусть $\phi_i:\; M \arrow M$ -- последовательность отображений метрических пространств, $\phi:\; M \arrow M$ отображение, причем для каждого компакта $K\subset M$, имеем $\lim_i \sup_{x\in K}d(\phi(x), \phi_i(x))=0$. В такой ситуации говорится, что {\бф \блуе $\phi_i$ сходится к $\phi$ в открыто-компактной топологии.} \замечание Открыто-компактная топология на пространстве отображений {\бф \ред не зависит от выбора метрики на топологическом пространстве $M$} {\бф \ред (докажите это!)} \newpage {\бф \блуе Метрика Хаусдорфа} {\bf \green Определение:} Пусть $M$ -- метрическое пространство. {\bf\blue $\epsilon$-окрестность} $Z\subset M$ - объединение всех $\epsilon$-шаров с центрами в $Z$. Обозначим ее за $Z(\epsilon)$. \определение {\бф \блуе Метрика Хаусдорфа} на компактных подмножествах метрического пространства определяется так: $d_H(X,Y)$ есть инфимум всех $\epsilon$ таких, что $X(\epsilon)\supset Y$ и $Y(\epsilon)\supset X$ {\бф \греен Свойства метрики Хаусдорфа} 1. Пусть $M$ -- топологическое пространство. Тогда {\бф \блуе топология Хаусдорфа} на компактных подмножествах $M$, заданная метрикой Хаусдорфа, {\бф \пурпле не зависит от выбора метрики на $M$.} 2. Если $\phi_i:\; M \arrow M$ -- последовательность отображений, сходящихся к $\phi$ в открыто-компактной топологии, a $K\subset M$ компакт, то {\бф \пурпле $\phi_i(K)$ сходится к $\phi(K)$ в топологии Хаусдорфа.} \замечание Довольно часто удобно рассматривать "метрику Хаусдорфа" на множестве открытых подмножеств, замыкания которых компактны. {\бф \пурпле Это на самом деле полуметрика} (два открытых множества с одинаковым замыканием отстоят друг от друга на расстояние 0). \newpage {\бф \блуе Симплектическая емкость и метрика Хаусдорфа} \утверждение Пусть $U_i$ -- последовательность выпуклых, ограниченных открытых подмножеств $\R^{2n}$, содержащих 0, а $U$ -- их предел в метрике Хаусдорфа. {\бф \ред Тогда $\lim_i\capa_G(U_i)=\capa_G(U)$.} {\бф \греен Доказательство:} Для каждого $\epsilon>0$, почти все элементы последовательности $\{U_i\}$ содержатся в $(1+\epsilon)U$ и содержат $(1-\epsilon)U$. В такой ситуации \[ \sqrt{1-\epsilon}\capa_G(U)\leq \capa_G(U_i)\leq \sqrt{1+\epsilon}\capa_G(U). \] \ендпрооф Сейчас я выведу теорему Экланда-Хофера из ее линейной версии. \теорема {\бф \блуе (Экланд-Хофер)}\\ Диффеоморфизм симплектических многообразий, сохраняющий ориентацию, {\бф \ред является симплектоморфизмом тогда и только тогда, когда он сохраняет громовскую емкость} всех подмножеств. \теорема {\бф \блуе (Экланд-Хофер, линейная версия)}\\ Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство, а $\phi:\; V \arrow V$ сохраняет ориентацию и симплектическую емкость всех эллипсоидов. {\бф \ред Тогда $\phi$ сохраняет симплектическую форму.} \newpage {\бф \блуе Теорема Экланда-Хофера: доказательство} \теорема {\бф \блуе (Экланд-Хофер)}\\ Диффеоморфизм симплектических многообразий, сохраняющий ориентацию, {\бф \ред является симплектоморфизмом тогда и только тогда, когда он сохраняет громовскую емкость} всех подмножеств. Локально любое симплектическое многообразие изоморфно симплектическому шару (Дарбу). Поэтому достаточно доказать следующую более слабую форму теоремы \теорема Пусть $(B,\omega)\stackrel \phi \arrow (\R^{2n},\omega)$ вложение, локально являющееся ориентированным диффеоморфизмом, из симплектического шара в $\R^{2n}$ с обычной симплектической формой, переводящее 0 в 0, и сохраняющее громовские симплектические емкости $\capa_G$ выпуклых подмножеств. {\бф \ред Тогда $\phi$ сохраняет симплектическую форму.} \дшаг Пусть $\lambda>1$, а $\Gamma_\lambda:\; \R^n \arrow \R^n$ -- гомотетия, переводящая $v$ в $\lambda v$. В силу конформной инвариантности $\capa_G$, {\бф \пурпле диффеоморфизм $\phi_\lambda:\; B \arrow \R^{2n}$, переводящий $\phi_\lambda(v)=\Gamma_\lambda(\phi(\Gamma_\lambda^{-1}(v)))$ сохраняет громовские симплектические емкости.} \newpage {\бф \блуе Теорема Экланда-Хофера: окончание доказательства} \дшаг Пусть $\lambda>1$, а $\Gamma_\lambda:\; \R^n \arrow \R^n$ -- гомотетия, переводящая $v$ в $\lambda v$. В силу конформной инвариантности $\capa_G$, {\бф \пурпле диффеоморфизм $\phi_\lambda:\; B \arrow \R^{2n}$, переводящий $\phi_\lambda(v)=\Gamma_\lambda(\phi(\Gamma_\lambda^{-1}(v)))$ сохраняет громовские симплектические емкости.} {\бф \греен Шаг 2:} Для любого диффеоморфизма $(B,\omega)\stackrel \phi \arrow (\R^{2n},\omega)$ и любого эллипсоида $E\subset B$, {\бф \пурпле найдется такое $\lambda_0>0$, что $\phi_\lambda(E)$ выпуклый для любого $\lambda>\lambda_0$.} %И действительно, $E=\{v \in B\ \ | \ \ q(v,v)< C\}$, %что дает $\phi(E)=\{v \in B\ \ | \ \ q(\phi^{-1}v,\phi^{-1}v)< C\}$ %а функция $v \arrow q(\phi^{-1}(v),\phi^{-1}(v))$ выпукла %в достаточно малой области окрестности 0, что следует из %правила дифференцирования композиции. {\бф \греен Шаг 3:} В открытозамкнутой топологии, предел $\lim\limits_{\lambda\rightarrow \infty}\phi_\lambda$ равен дифференциалу ${\goth D}:=D_0\phi$. Для каждого эллипсоида $E\subset B$, имеем ${\goth D}(E)=\lim\limits_{\lambda\rightarrow \infty}\phi_\lambda(E)$ (в топологии, заданной метрикой Хаусдорфа). Для больших $\lambda$, множество $\phi_\lambda(E)$ выпукло, а на выпуклых множествах $\capa_G$ непрерывна в топологии, заданной метрикой Хаусдорфа. {\бф \пурпле Поэтому \[ \capa_G({\goth D}(E))=\capa_G(\phi_\lambda(E))=\capa_G(E),\] то есть ${\goth D}$ сохраняет симплектическую емкость.} {\бф \греен Шаг 3:} В силу линейной версии теоремы Экланда-Хофера, ${\goth D}=D_0\phi$ -- симплектоморфизм. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Симплектические гомеоморфизмы} \следствие Пусть $\phi:\; B \arrow \R^{2n}$ -- вложение, локально являющееся ориентированным диффеоморфизмом. Предположим к тому же, что $\phi$ сохраняет симплектическую емкость каждого эллипсоида, образ которого выпуклый. Тогда $\phi$ сохраняет симплектическую форму. \теорема {\бф \блуе (Элиашберг-Экланд-Хофер)} Пусть $(M, \omega)$ -- симплектическое многообразие. {\бф \ред Тогда группа симплектоморфизмов $M$ замкнута в открыто-компактной топологии в группе диффеоморфизмов.} \доказательство Достаточно доказать следующее, более слабое утверждение: Пусть $\phi_i:\; B \arrow \R^{2n}$ -- последовательность симплектических вложений, сходящихся к гладкому вложению $\phi:\; B \arrow \R^{2n}$. Тогда $\phi$ сохраняет симплектические емкости эллипсоидов, образ которых выпуклый. На таких эллипсоидах симплектическая емкость непрерывна, а значит $\capa_G\phi(E)=\capa_G\lim_i \phi_i(E)=\capa_G E$. \ендпрооф \упражнение {\бф \пурпле Найти дыру в этом аргументе, и заделать ее.} \определение {\бф \блуе Симплектический гомеоморфизм} есть гомеоморфизм симплектических многообразий, сохраняющий симплектическую емкость. \newpage {\бф \блуе Симплектические эллипсоиды} \утверждение Пусть $V=\R^{2n}$, $g$ положительно определенная билинейная форма на $V$, а $\omega$ невырожденная кососимметрическая. Тогда существует $g$-ортонормированный базис $v_i$ в $V$ такой, что \[ \omega=\begin{pmatrix} \omega=\begin{matrix}0 & \alpha_1\\ -\alpha_1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & \alpha_n \\ -\alpha_n & 0\end{matrix} \end{pmatrix} \ \ \ \ (*) \] {\бф \ред иначе говоря, $\omega = \sum_i \alpha_i x_i \wedge y_i$, где $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$ двойственный базис, а $0< \alpha_1 \leq \alpha_2 \leq ...\leq \alpha_n$. положительные вещественные числа, не зависящие от выбора базиса.} \доказательство Пусть $A:= g^{-1}\omega$, то есть $g(Ax,y)=\omega(x,y)$. {\бф \пурпле Матрица $A$ кососимметрична: $g(Ax,y)= \omega(x,y)= - \omega(y, x)=-g(Ay,x)=-g(x,Ay)$.} Кососимметричная матрица имеет в каком-то базисе вид (*), что следует, например, из классификации движений евклидова пространства. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Симплектические эллипсоиды (другое доказательство)} {\бф \блуе Шаг 2:} Значит, $g(A^2x,y)=g(x, A^2y)$, то есть $A^2$ симметрична. Поскольку $g(A^2x,x)=-g(Ax,Ax)$, {\бф \пурпле эта матрица отрицательно определена.} {\бф \блуе Шаг 3:} Обозначим за $g_A$ скалярное произведение $x, y \arrow - g(A^2x, y)$, и пусть $\{x_i\}$ -- базис, в котором и $g$ и $g_A$ обе ортогональны, и $g(x_i, x_i)= 1$, $g_A(x_i, x_i)=b_i$. {\бф \ред Такой базис существует и определен однозначно с точностью до отображения, которое является изометрией относительно $g$ и $g_A$.} {\бф \блуе Шаг 4:} Поскольку $g(Ax_i, Ax_j)= b_i\delta_{ij}$, а $g_A(Ax_i, Ax_j)= -b_i^2\delta_{ij}$, вектора $b_i^{-\nicefrac 1 2}Ax_i$ тоже ортогональны относительно $g$ и $g_A$. Для всех $i$, выберем в качестве $x_{2i}$ вектор $b_{2i-1}^{-\nicefrac 1 2}Ax_{2i-1}$. В таком базисе $A$ записывается как \[ A=\begin{pmatrix} \omega=\begin{matrix}0 & \alpha_1\\ -\alpha_1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & \alpha_n \\ -\alpha_n & 0\end{matrix} \end{pmatrix}, \] где $\alpha_i =b_{2i-1}^{\nicefrac 1 2}$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Нормальная форма эллипсоида} \определение Пусть $(V, \omega)$ -- симплектическое векторное пространство. {\бф \блуе Симплектический базис} есть базис $\{x_i, y_i\}$, такой, что $\omega=\sum x_i^*\wedge y_i^*$, где $x_i^*, y_i^*\in V^*$ -- двойственный базис. \определение {\бф \блуе Нормальная форма эллипсоида $E$ в симплектическом пространстве $V$} это $E=\{v= \sum a_i x_i +b_i y_i \ \ | \ \ \sum_i (a_i^2+b_i^2)\alpha_i< 1\}$, где $\{x_i, y_i\}$ -- симплектический базис. \утверждение Для любого эллипсоида $Е$ в симплектическом пространстве {\бф \ред найдется симплектический базис, в котором эллипсоид записывается в нормальной форме,} причем числа $\alpha_i$ определены однозначно. \доказательство Действительно, пусть $x_i', y_i'$ -- ортонормированный базис, в котором $\omega$ записывается матрицей (*), а $E=\{v\in V\ \ |\ \ g(v,v)<1\}$. Тогда $x_i= x'_i \alpha_i^{-\nicefrac 1 2}, y_i =y'_i \alpha_i^{-\nicefrac 1 2}$ -- симплектический базис, а $E$ записывается в нем как $\{v= \sum a_i x_i +b_i y_i \ \ | \ \ \sum_i (a_i^2+b_i^2)\alpha_i< 1\}$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Симплектические эллипсоиды и емкость} \newcommand{\Cyl}{\operatorname{Cyl}} \утверждение Пусть $E$ -- эллипсоид в симплектическом пространстве, записанный в нормальной форме, а $\alpha_1$ -- наименьшее из чисел $\alpha_i$. {\бф \ред Тогда $\capa_G(E)=\pi \alpha_1^{-1}$.} \доказательство Рассмотрим симплектический цилиндр $\Cyl$, полученный как произведение диска $\{ax_1 + b y_1 \ \ |\ \ a^2 + b ^2 \leq \alpha_1^{-1}\}$ и векторного пространства $\langle x_2, y_2, x_3, y_3, ...\rangle$. Тогда $\Cyl \supset E \supset B_r$, где $B_r$ -- шар радиуса $r:=\alpha_1^{-\nicefrac 1 2}$. {\бф \пурпле По теореме Громова, $\capa_G(\Cyl)=\capa_G(B_r)=\pi \alpha_1^{-1}$. В силу монотонности $\capa_G$, емкость $E$ такая же.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Симплектические цилиндры и емкость} \определение Пусть $(V, \omega)$ -- симплектическое пространство, а $W\subset V$ -- двумерное симплектическое подпространство. Обозначим за $W^{\bot_\omega}$ ортогональное дополнение относительно симплектической формы. {\бф\блуе Цилиндр} $\Cyl_E\subset (V, \omega)$ есть произведение $\Cyl_E:= E \times W^{\bot_\omega}$ эллипсоида $E\subset W$ и $W^{\bot_\omega}$. Мы рассматриваем $\Cyl_E$ как симплектический цилиндр в $V$. Следующее утверждение сразу вытекает из результата о симплектической емкости эллипсоида, доказанного выше. \следствие Пусть $\phi:\; V \arrow W$ -- обратимое линейное отображение симплектических пространств, сохраняющее симплектические емкости эллипсоидов. {\бф \ред Тогда $\phi$ сохраняет симплектические емкости цилиндров. } \доказательство Цилиндр $\Cyl_E:=\{ax_1 + b y_1 \ \ |\ \ a^2 + b ^2 \leq r\}$ может быть получен как объединение возрастающего семейства эллипсоидов \[ E_\alpha=\{v= \sum a_i x_i +b_i y_i \ \ | \ \ a_1^2 + b_1^2 + \sum_{i=2}^\infty \alpha(a_i^2+b_i^2)< r\}, \alpha \arrow \infty \] одинаковой емкости. Образы этих эллипсоидов имеют ту же самую емкость. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Кокасательное пространство} \определение Пусть $Z:=T^*M$ есть тотальное пространство кокасательного расслоения, $(\xi, m)\in Z$ его точка, с $m\in M$, а $\xi\in T^*_mM$. Рассмотрим проекцию $Z\stackrel \pi \arrow M$, и пусть $\theta$ -- 1-форма на $T^*M$, которая переводит $v\in T_{(\xi, m)}M$ в $\langle \xi, D_\pi(v)\rangle$. Эта форма называется {\бф\блуе гамильтонова 1-форма}. \замечание Локально в координатах гамильтонова 1-форма записывается следующим образом. Пусть $q_1, ..., q_n$ -- координаты на $V=\R^n=M$. Отождествив слои проекции с $V^*$, получим координаты $p_i, q_i$ на $T^*M$; здесь $p_i$ -- двойственный базис к $q_i$. В этих координатах, $\theta= \sum_i p_i dq_i$. {\бф \пурпле значит, $d\theta=\sum_i dp_i \wedge dq_i$ симплектична.} \определение Форма $d\theta$ на $T^*M$ называется {\бф \блуе гамильтонова симплектическая форма на кокасательном пространстве}. \newpage {\бф \блуе Лжецилиндры} \определение Пусть $W\subset V$ -- подпространство в симплектическом пространстве, а $W^{\bot_\omega}$ -- его ортогонал. Подпространство $W$ называется {\бф \блуе изотропным}, если $W \subset W^{\bot_\omega}$, и {\бф \блуе коизотропным}, если $W \supset W^{\bot_\omega}$. \замечание В силу невырожденности $\omega$, $\dim W + \dim W^{\bot_\omega}=\dim V$. Поэтому изотропные пространства имеют размерность $\leq\frac 1 2 \dim V$, а коизотропные $\geq \frac 1 2 \dim V$. \определение Пусть $W_1\subset V$ -- коизотропное подпространство коразмерности 2, $W\subset V$ дополнительное к нему двумерное подпространство, а $E_0\subset W$ эллипсоид. Произведение $W_1 \times E_0 \subset V$ называется {\бф \блуе лжецилиндром}. \теорема {\бф \ред Лжецилиндр симплектоморфен $\R^{2n}$ с обычной симплектической структурой.} \замечание Из этой теоремы следует, что {\бф \пурпле лжецилиндр не может быть симплектоморфен цилиндру.} Действительно, его симплектическая емкость бесконечна. \newpage {\бф \блуе Лжецилиндры (продолжение)} \теорема {\бф \ред Лжецилиндр $Z:=W_1 \times E_0 \subset V$ симплектоморфен $\R^{2n}$ с обычной симплектической структурой.} \дшаг Выберем симплектический базис в $V$ таким образом, что $W_1=\langle x_1, x_2, x_3, y_3, x_4, y_4, ...\rangle$. Проектируя $E$ на $\langle y_1, y_2\rangle$ вдоль $W_1$, получим эллипсоид в $\langle y_1, y_2\rangle$. Поэтому можно считать, что $E\subset \langle y_1, y_2\rangle$. Это дает $Z= \langle x_1, x_2\rangle \times E\times \langle x_3, y_3, x_4, y_4, ...\rangle$. Поэтому {\бф \пурпле достаточно доказать, что лжецилиндр $Z= \langle x_1, x_2\rangle \times E$ изоморфен $\R^4$ с обычной симплектической структурой.} {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим проекцию $Z\arrow E$ вдоль $\langle x_1, x_2\rangle$. Форма $\omega$ отождествляет слои этой проекции с $T^*E=\langle y_1, y_2\rangle$. {\бф \пурпле Значит, $Z$ симплектоморфно $T^*E$ с гамильтоновой симплектической структурой.} Поскольку $E$ диффеоморфно $\R^2$, $Z$ симплектоморфно $T^*\R^2$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Доказательство линейной версии Экланда-Хофера} \следствие Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство, а $\phi:\; V \arrow V$ сохраняет симплектическую емкость всех эллипсоидов. {\бф \ред Тогда $\phi$ переводит коизотропные пространства коразмерности 2 в коизотропные.} \доказательство Пусть $Z\subset V$ -- цилиндр или лжецилиндр, $Z= W\times E$. Подпространство $W$ можно реконструировать из $E$ следующим образом: это совокупность всех векторов $v\in V$ таких, что $\lambda v \in Z$ для любого $\lambda\in \R$. Оно коизотропно тогда и только тогда, когда $Z$ лжецилиндр. {\бф \пурпле Поскольку $\phi$ сохраняет емкость цилиндров (которая конечна), $\phi$ переводит цилиндры в цилиндры и лжецилиндры в лжецилиндры.} \ендпрооф Теперь линейная версия Экланда-Хофера следует из такой леммы \лемма Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство, а $\phi:\; V \arrow V$ переводит коизотропные пространства коразмерности 2 в коизотропные. {\бф \ред Тогда $\phi$ умножает симплектическую форму на константу.} \newpage {\бф \блуе Коизотроплые подпространства и симплектичность} \лемма Пусть $V, \omega$ -- симплектическое пространство, а $\phi:\; V \arrow V$ переводит коизотропные пространства коразмерности 2 в коизотропные. {\бф \ред Тогда $\phi$ умножает симплектическую форму на константу.} \доказательство Рассмотрим биекцию, переводящую гиперплоскость $W\subset V$ коразмерности 2 в ее аннулятор $\Ann (W)\subset V^*$ (размерности 2). Легко видеть, что $W$ коизотропно тогда и только тогда, когда $\Ann(W)$ изотропно. Поэтому $\phi^*:\; V \arrow V$ сохраняет двумерные изотропные плоскости. Мы свели лемму к следующей. \лемма Пусть $V$ -- векторное пространство, $\omega_1, \omega_2$ -- симплектические формы, причем любая 2-мерная плоскость изотропна в $\omega_1$ тогда и только тогда, когда она изотропна в $\omega_2$. {\бф \ред Тогда $\omega_1$, $\omega_2$ пропорциональны.} \доказательство В условиях леммы, $\omega_1(x, y)=0$ $\Leftrightarrow$ $\omega_2(x, y)=0$. Домножив одну из форм на константу, получим $\omega_1(a,b)=\omega_2(a,b)\neq 0$ для каких-то $a, b$. Тогда $\omega_1(a,c)=\omega_2(a,c)$ для любого $c$ (иначе $\omega_1(a, c-tb)$ будет равно нулю, для подходящего $t\in \R$, а $\omega_2(a,c)$ не будет). Применив этот аргумент второй раз, получим $\omega_1(c,c')=\omega_2(c,c')$ для любых $c, c'\in V$. \ендпрооф \end{document}