\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\sf const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Симплектическая емкость, лекция 1 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Симплектическая емкость \\[15mm] \small лекция 1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 25 июля 2013 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm] 24 - 30 августа, 2013, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \newpage {\бф \блуе Алгебра де Рама} \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие. Обозначим за $\Lambda^i M$ {\бф \блуе пространство дифференциальных $i$-форм на $M$,} то есть антисимметричных $i$-форм на $TM$. Определим умножение $\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$ как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$, где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение $\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j} T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$, a $\Pi$ -- кососимметризация тензора. \утверждение {\бф \пурпле Это умножение ассоциативно, и удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$.} \определение Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ с определенной выше алгебраической структурой называется {\бф\блуе алгеброй де Рама} многообразия. \замечание Пусть $\phi:\; M_1 \arrow M_2$ -- гладкое отображение многообразий. Тогда задано отображение $\phi^*:\; \Lambda^* M_2 \arrow \Lambda^* M_1$, переводящее дифференциальную форму $\eta \in \Lambda^kM_2$ в форму $(v_1, ..., v_k)\in TM_1 \arrow \eta(D_\phi v_1, ..., D_\phi(v_k))$. \невпаге {\bf \блуе Дифференциал де Рама} \определение {\бф\блуе Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$ есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим условиям. \\ \hphantom{MM} (i) Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$, $df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, который равен дифференциалу $df\in \Omega^1 M$. \\ \hphantom{MM} (ii) {\бф \блуе (Правило Лейбница)} $d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$. \\ \hphantom{MM} (iii) $d^2=0$. \утверждение \\ {\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается этими условиями.} {\бф \греен Однозначность определения:} Алгебра де Рама порождена $C^\infty M$ и 1-формами вида $df$, а на таких формах дифференциал де Рама уже задан. {\бф \греен Существование, для $M=\R^n$:} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то моном, полученный произведением нескольких $dt_i$. Дифференциал де Рама переводит $f \alpha$ в $\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$, для любой функции $f\in C^\infty \R^n$. \невпаге {\bf \блуе Дифференциал де Рама (продолжение)} \утверждение \\ {\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается этими условиями.} {\бф \греен Однозначность определения:} Алгебра де Рама порождена $C^\infty M$ и 1-формами вида $df$, а на таких формах дифференциал де Рама уже задан. {\бф \греен Существование, для $M=\R^n$:} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то моном, полученный произведением нескольких $dt_i$. Дифференциал де Рама переводит $f \alpha$ в $\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$, для любой функции $f\in C^\infty \R^n$. {\бф \греен Существование, для любого многообразия:} Зададим $d$ локально по формуле, указанной выше. {\бф \пурпле Это определение согласовано с заменой координат в силу единственности $d$,} значит, $d$ согласован с переклейкой карт. \ендпрооф \определение Дифференциальная форма называется {\бф \блуе замкнутой}, если она лежит в ядре $d$, и {\бф \блуе точной}, если она лежит в образе $d$. Пространство $H^i(M):=\frac{\ker d}{im d}\restrict{\Lambda^i M}$ называется {\бф\блуе $i$-й группой когомологий де Рама} многообразия $M$. \newpage {\бф \блуе Интегрирование дифференциальных форм} \определение {\бф \блуе Форма ориентации} (она же {\бф \блуе форма объема}) $n$-мерного многообразия есть нигде не зануляющаяся дифференциальная форма $\eta \in \Lambda^n M$. \определение {\бф \блуе Дифференциальная форма с компактным носителем} есть форма, равная нулю вне компактного подмножества. Пространство дифференциальных форм с компактным носителем обозначается $\Lambda^k_c(M)$. \определение {\бф \блуе Интеграл} $n$-формы по $n$-мерному многообразию $M$ есть функционал $\int_M:\; \Lambda^n_c M \arrow \R$, обладающий следующими свойствами.\\ {\бф \ред 1. $\int_M$ инвариантен относительно диффеоморфизмов:} для любого диффеоморфизма $\phi:\; M \arrow N$ и $n$-формы $\eta\in \Lambda^n_c N$, имеем $\int_N \phi^* \eta = \int_M \eta$. \\ {\бф \ред 2. Положительность интеграла:} \\ для любой формы ориентации $\eta$ и ненулевой неотрицательной функции $f$ с компактным носителем, $\int_M f\eta >0$\\ {\bf \ред 3. Нормализация:} \\если $M$ есть тор $\R^n/\Z^n$, а форма ориентации равна $\eta=dx_1 \wedge dx_2 \wedge ... \wedge dx_n$, имеем $\int_M \eta=1$. \newpage {\бф \блуе Интегрирование дифференциальных форм (продолжение)} \определение {\бф \блуе Интеграл} $n$-формы по $n$-мерному многообразию $M$ есть функционал $\int_M:\; \Lambda^n_c M \arrow \R$, обладающий следующими свойствами.\\ {\бф \ред 1. $\int_M$ инвариантен относительно диффеоморфизмов:} для любого диффеоморфизма $\phi:\; M \arrow N$ и $n$-формы $\eta\in \Lambda^n_c N$, имеем $\int_N \phi^* \eta = \int_M \eta$. \\ {\бф \ред 2. Положительность интеграла:} \\ для любой формы ориентации $\eta$ и ненулевой неотрицательной функции $f$ с компактным носителем, $\int_M f\eta >0$\\ {\bf \ред 3. Нормализация:} \\если $M$ есть тор $\R^n/\Z^n$, а форма ориентации равна $\eta=dx_1 \wedge dx_2 \wedge ... \wedge dx_n$, имеем $\int_M \eta=1$. \теорема {\бф \пурпле Интеграл существует и однозначно определен вышеприведенными условиями} {\бф \ред (докажите это)}. \теорема {\бф \блуе Формула Стокса:} Пусть $M$ -- многообразие с краем $\6M$. Тогда $\int_M d\eta = \int_{\6 M}\eta$. \замечание Воспользовавшись разбиением единицы, интеграл можно доопределить до функционала $\int_M:\; \eta \mapsto ]0,\infty]$ на формах объема, даже когда $M$ некомпактно. Такой функционал называется {\бф \блуе объемом многообразия}. \newpage {\бф \блуе Симплектические многообразия} \определение Кососимметрическая 2-форма $\omega$ на векторном пространстве $V$ называется {\бф \блуе невырожденной}, или {\бф \блуе симплектической}, если для каждого ненулевого $x\in V$ найдется $y\in V$ такой, что $\omega(x,y)\neq 0$. \замечание {\бф \ред Каждая невырожденная кососимметрическая форма записывается в некотором базисе как \[ \begin{pmatrix} \omega=\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix} \end{pmatrix}. \]} Если обозначить соответствующий базис в $V^*$ как $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$, форма $\omega$ будет записана в виде $\omega=\sum_i x_i\wedge y_i$. \определение {\бф \блуе Ориентация} на $n$-мерном векторном пространстве есть ненулевой вектор в $\Lambda^n V$. {\бф \блуе Ориентация} на $n$-мерном многообразии есть нигде не зануляющаяся $n$-форма. \замечание {\бф \пурпле Симплектическое пространство всегда ориентировано.} Действительно, $\omega^n=n! x_1\wedge y_1 \wedge x_2 \wedge y_2 \wedge ... \wedge x_n \wedge y_n$. \newpage {\бф \блуе Симплектические многообразия} \определение Пусть $M$ -- многообразие. Дифференциальная форма $\omega\in \Lambda^2M$ называется {\бф\блуе симплектической}, если она невырождена в каждой точке, и замкнута. \определение Диффеоморфизм $\phi:\; M \arrow M'$ симплектических многообразий $(M, \omega)$ и $(M',\omega')$ называется {\бф \блуе симплектоморфизмом}, если $\phi^*\omega'=\omega$. \замечание {\бф \пурпле Симплектическая геометрия изучает симплектические многообразия с точностью до симплектоморфизма.} \определение {\бф \блуе Симплектический шар} радиуса $r$ есть шар радиуса $r$ в $\R^{2n}$ с симплектической структурой, которая индуцирована формой $\omega=\sum_i dx_i\wedge dy_i$ на $\R^n$ ($x_i, y_i$ -- координаты). \теорема {\бф \блуе (Теорема Дарбу):} {\бф \ред Симплектическое многообразие локально симплектоморфно симплектическому шару} (в окрестности каждой своей точки). {\бф \пурпле Теорема Дарбу будет доказана на этой лекции.} \newpage {\бф \блуе Симплектическая емкость} \newcommand{\capa}{\operatorname{\sf cap}} \определение {\бф \блуе Симплектический объем} симплектического многообразия $(M,\omega)$ размерности $2n$ есть интеграл $\int_M\omega^n$. Наука о симплектической емкости изобретена, чтобы отвечать на следующий вопрос. \вопрос Пусть $A, B\subset \R^{2n}$ два подмножества одинакового объема, гомеоморфные шару. Будут ли они симплектоморфны? {\бф \ред Ответ: не всегда}. \задача Докажите, что при $n=1$, {\bf \purple любые два симплектических многообразия одинакового симплектического объема, гомеоморфных диску, являются симплектоморфными.} \определение Пусть $(M,\omega)$ -- симплектическое многообразие, а $r$ -- супремум радиусов всех симплектических шаров той же размерности, которые симплектоморфно вкладываются в $M$. Число $\capa(M,\omega):=\pi r^2$ называется {\бф\блуе симплектической емкостью Громова} многообразия $M$. \newpage {\бф \блуе Свойства симплектической емкости} Два факта про симплектическую емкость, которые я докажу позже. \теорема {\бф \блуе (Экланд-Хофер)}\\ Диффеоморфизм симплектических многообразий, сохраняющий ориентацию, {\бф \ред является симплектоморфизмом тогда и только тогда, когда он сохраняет симплектическую емкость} всех подмножеств. \определение {\бф \блуе Симплектический цилиндр} есть $\R^{2n}\times B_r$, где $\R^{2n}$ снабжено обычной симплектической формой $dx\wedge dy$, а $B_r$ -- симплектический шар радиуса $r$ в $\R^2$. \теорема {\бф \блуе (Громов)}\\ {\бф \ред Симплектическая емкость симплектического цилиндра равна $\pi r^2$} \замечание Получается, что объем цилиндра бесконечный, а его симплектическая емкость конечна. \newpage {\бф \блуе Производная Ли} \определение {\бф \блуе Поток диффеоморфизмов} многообразия есть гладкое отображение $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$, которое является диффеоморфизмом для любого $t\in \R$. Аналогично определяется {\бф\блуе поток симплектоморфизмов}. \определение Предположим, что $\phi_0=\Id_M$. Тогда производная $\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$ есть векторное поле, которое называется {\бф\блуе производной потока диффеоморфизмов}. \определение Пусть $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$ -- поток диффеоморфизмов, а $v:=\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$ соответствующее векторное поле. {\бф \блуе Производная Ли вдоль $v$}, есть отображение $\Lie_v:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^i M$, полученное как $\Lie_v (\eta) := \frac {\phi^*_t\eta}{dt}\restrict{t=0}$. \теорема {\бф \блуе (Формула Картана)}\\ \[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где $\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор, а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму. \newpage {\бф \блуе Формула Картана (набросок доказательства)} \теорема {\бф \блуе (Формула Картана)} \[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где $\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор $\{a,b\}=ab+ba$, а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму. \дшаг Проверяем, что $\Lie_v$ и $\{d, i_v\}$ -- дифференцирования алгебры де Рама, коммутирующие с $d$. {\бф \греен Шаг 2:} Проверяем, что они совпадают на функциях. {\бф \греен Шаг 3:} Проверяем, что {\бф \пурпле дифференцирования $\Lambda^* M$, которые совпадают на функциях и коммутируют с $d$, равны.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Потоки диффеоморфизмов (окончание)} \определение Для любого потока диффеоморфизмов $\phi_t$, найдется векторное поле $v_t$ такое, что $\phi_t^*(\Lie_{v_t}\eta)=\frac{\phi_t^*\eta}{dt}$ Такое векторное поле называется {\бф \блуе касательное к потоку диффеоморфизмов в точке $t=c$.} \теорема {\бф \блуе (основная теорема теории обыкновенных дифференциальных уравнений; теорема Пикара-Линделефа)}\\ Пусть $\{v_t\}$ -- семейство векторных полей на компактном многообразии $M$, которое гладко параметризовано $t\in\R$. Тогда {\бф \ред каждый диффеоморфизм $\phi_0$ единственным образом продолжается до потока диффеоморфизмов $\phi_t$, касательного к $v_t$ в каждом $t\in \R$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Гамильтоновы векторные поля} \замечание Пусть $\phi_t:\; M \arrow M$ -- поток симплектоморфизмов, а $v_t$ -- соответствующее векторное поле. Тогда $\Lie_{v_t}(\omega)=0$, что дает по формуле Картана $0=i_{v_t} d\omega+ di_{v_t}\omega=di_{v_t}\omega$, то есть {\бф \ред 1-форма $i_v\omega=\omega(v, \cdot)$ замкнута.} \определение Векторное поле $v$ называется {\бф \блуе симплектическим}, если 1-форма $i_v\omega$ замкнута (это равносильно $\Lie_{v}(\omega)=0$), и {\бф \блуе гамильтоновым}, если $i_v\omega$ точна. Поток симплектоморфизмов $\phi_t$ называется {\бф \блуе потоком гамильтоновых симплектоморфизмов}, если касательные векторные поля гамильтоновы. \следствие {\бф \пурпле Отображение $v \arrow i_v(\omega)$ задает биекцию между гамильтоновыми векторными полями и точными формами.} Таким образом, существует биекция между $C^\infty M/\const$ и пространством $\Ham(M)$ гамильтоновых векторных полей. \определение {\бф \блуе Гамильтониан} гамильтонова векторного поля $v$ есть функция $H_v$, такая, что $dH_v = i_v(\omega)$. \newpage {\бф \блуе Гамильтоновы симплектоморфизмы} \следствие {\бф \пурпле Отображение $v \arrow i_v(\omega)$ задает биекцию между гамильтоновыми векторными полями и точными формами.} Таким образом, существует биекция между $C^\infty M/\const$ и пространством $\Ham(M)$ гамильтоновых векторных полей. \определение {\бф \блуе Гамильтониан} гамильтонова векторного поля $v$ есть функция $H_v$, такая, что $dH_v = i_v(\omega)$. \следствие Потоки $\phi_t$, $\phi_0=\Id_M$ гамильтоновых симплектоморфизмов параметризуются гладкими семействами гамильтонианов $H_t$. \следствие Гамильтоновых симплектоморфизмов {\бф \ред очень много}. \newpage {\бф \блуе Теорема Мозера} \теорема {\бф \блуе (теорема Мозера)} Пусть $\omega_t$ -- гладкое семейство симплектических форм на компактном многобразии $M$. Предположим, что классы когомологий $\omega_t$ равны для всех $t$. {\бф \ред Тогда найдется поток диффеоморфизмов $\Psi_t\in \Diff_0(M)$, с $\Psi_0=\Id$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.} \дшаг Поскольку $\omega_t$ все когомологичны, форма $\frac {d\omega_t}{dt}$ точна. Значит, $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t\in \Lambda^1(M)$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $v_t$ -- касательное векторное поле к $\Psi_t$. $\Psi_t^*\omega_t=\omega$ равносильно $\frac{d\Psi_t^*\omega_t}{dt}=0$. Но \[ \frac{d\Psi_t^*\omega_t}{dt}= \Psi^*_t(d\eta_t+ \Lie_{v_t}\omega_t); \] {\bf \purple это выражение зануляется тогда и только тогда, когда $d\eta_t+ \Lie_{v_t}\omega_t=0$.} {\бф \греен Шаг 3:} По формуле Картана, $\Lie_{v_t}\omega_t=d(i_{vt}\omega_t)$, то есть для $\Psi_t^*\omega_t=\omega$ нам нужно $d(i_{v_t}\omega_t)=-d\eta_t$. Поскольку $\omega$ невырождена, $x\arrow i_{x}\omega_t$ -- биективное отображение из $TM$ в $\Lambda^1M$ а значит, {\bf \purple существует $v_t\in TM$ такое, что $i_{v_t}\omega_t=-\eta_t$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Теорема Дарбу} \теорема {\бф \ред Симплектическое многообразие локально симплектоморфно симплектическому шару} (в окрестности каждой своей точки). \дшаг Достаточно проверить, что для любой симплектической формы $\omega_1$ на $\R^{2n}$, существует окрестность нуля $U$, такая. что $(U,\omega_1)$ симплектоморфно симплектическому шару. {\бф \греен Шаг 2:} Выберем координаты $x_i, y_i$ на $\R^{2n}$ таким образом, что $\omega_1\restrict{T_0\R^{2n}}=\omega_0\restrict{T_0\R^{2n}}$, где $\omega_0=\sum_i dx_i \wedge dy_i$. {\бф \греен Шаг 3:} Форма $\omega_t:=t\omega+(1-t)\omega_0$ невырождена в 0. Выберем стягиваемую окрестность $U\ni 0$ такую, что $\omega_t$ невырождена в $U$ для $t\in[0,1]$ {\бф \пурпле (проверьте, что это можно сделать)}. {\бф \греен Шаг 4:} В $U$ формы $\omega_t$ невырождены и когомологичны; пусть $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t$ гладко зависит от $t$. Возьмем векторное поле $v_t:=-\omega_t^{-1}(\eta_t)$. В небольшой окрестности 0, это векторное поле можно проинтегрировать до диффеоморфизма $\Psi_t$. {\бф \пурпле Аргумент, который использовался в доказательстве теоремы Мозера, дает $d\eta_t+ \Lie_{v_t}\omega_t=0$, что влечет $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$, то есть $\omega_0$ диффеоморфно $\omega_1$ в какой-то окрестности 0.} \ендпрооф \end{document}