
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\sf const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Ham}{\operatorname{Ham}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{{\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Симплектическая емкость, лекция 1 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Симплектическая емкость \\[15mm]
\small лекция 1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[10mm] \tiny 
25 июля 2013
\\[20mm]

{\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm]
24 - 30 августа, 2013, ЯГПУ, Ярославль, Россия

}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Алгебра де Рама}


\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие.
Обозначим за $\Lambda^i M$ {\бф \блуе пространство дифференциальных
$i$-форм на $M$,} то есть антисимметричных $i$-форм на
$TM$. Определим умножение
$\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$
как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$,
где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение 
$\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j}
T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$,
a $\Pi$ -- кососимметризация тензора.

\утверждение
{\бф \пурпле Это умножение ассоциативно, и
удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$.}


\определение
Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ 
с определенной выше алгебраической структурой
называется {\бф\блуе алгеброй де Рама} многообразия.

\замечание Пусть $\phi:\; M_1 \arrow M_2$ -- гладкое отображение
многообразий. Тогда задано отображение 
$\phi^*:\; \Lambda^* M_2 \arrow \Lambda^* M_1$, переводящее
дифференциальную форму $\eta \in \Lambda^kM_2$ в
форму $(v_1, ..., v_k)\in TM_1 \arrow \eta(D_\phi v_1, ..., D_\phi(v_k))$.

\невпаге

{\bf \блуе  Дифференциал де Рама}


\определение
{\бф\блуе Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$
есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим
условиям. \\
\hphantom{MM} (i) Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$,
$df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, 
который равен дифференциалу $df\in \Omega^1 M$. \\
\hphantom{MM}
(ii) {\бф \блуе (Правило Лейбница)}
$d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge
db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$. \\
\hphantom{MM}
(iii) $d^2=0$.

\утверждение \\
{\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается
этими условиями.}

{\бф \греен Однозначность определения:}
Алгебра де Рама порождена $C^\infty M$ и 
1-формами вида $df$, а на таких формах
дифференциал де Рама уже задан.

{\бф \греен Существование, для $M=\R^n$:} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные
функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то
моном, полученный произведением нескольких $dt_i$.
Дифференциал де Рама
переводит $f \alpha$ в 
$\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$,
для любой функции $f\in C^\infty \R^n$.

\невпаге

{\bf \блуе  Дифференциал де Рама (продолжение)}

\утверждение \\
{\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается
этими условиями.}

{\бф \греен Однозначность определения:}
Алгебра де Рама порождена $C^\infty M$ и 
1-формами вида $df$, а на таких формах
дифференциал де Рама уже задан.

{\бф \греен Существование, для $M=\R^n$:} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные
функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то
моном, полученный произведением нескольких $dt_i$.
Дифференциал де Рама
переводит $f \alpha$ в 
$\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$,
для любой функции $f\in C^\infty \R^n$.

{\бф \греен Существование, для любого многообразия:}
Зададим $d$ локально по формуле, указанной выше. {\бф \пурпле Это определение
согласовано с заменой координат в силу единственности $d$,}
значит, $d$ согласован с переклейкой карт.
 \ендпрооф

\определение
Дифференциальная форма называется {\бф \блуе замкнутой},
если она лежит в ядре $d$, и {\бф \блуе точной}, если
она лежит в образе $d$. Пространство 
$H^i(M):=\frac{\ker d}{im d}\restrict{\Lambda^i M}$
называется {\бф\блуе $i$-й группой когомологий де Рама}
многообразия $M$.

\newpage

{\бф \блуе Интегрирование дифференциальных форм}

\определение
{\бф \блуе Форма ориентации} (она же {\бф \блуе форма объема})
$n$-мерного многообразия есть нигде не зануляющаяся дифференциальная 
форма $\eta \in \Lambda^n M$.

\определение
{\бф \блуе Дифференциальная форма с компактным носителем}
есть форма, равная нулю вне компактного подмножества.
Пространство дифференциальных форм с компактным
носителем обозначается $\Lambda^k_c(M)$.

\определение
{\бф \блуе Интеграл} $n$-формы по $n$-мерному
многообразию $M$ есть функционал
$\int_M:\; \Lambda^n_c M \arrow \R$, обладающий следующими свойствами.\\
{\бф \ред 1. $\int_M$ инвариантен относительно диффеоморфизмов:}
для любого диффеоморфизма $\phi:\; M \arrow N$
и $n$-формы $\eta\in \Lambda^n_c N$, имеем $\int_N \phi^* \eta = \int_M \eta$.
\\
{\бф \ред 2. Положительность интеграла:} \\ для любой формы ориентации
$\eta$ и ненулевой неотрицательной функции $f$ с компактным носителем,
$\int_M f\eta >0$\\
{\bf \ред  3. Нормализация:} \\если $M$ есть тор $\R^n/\Z^n$,
а форма ориентации равна $\eta=dx_1 \wedge dx_2 \wedge ... \wedge dx_n$,
имеем $\int_M \eta=1$.

\newpage

{\бф \блуе Интегрирование дифференциальных форм (продолжение)}

\определение
{\бф \блуе Интеграл} $n$-формы по $n$-мерному
многообразию $M$ есть функционал
$\int_M:\; \Lambda^n_c M \arrow \R$, обладающий следующими свойствами.\\
{\бф \ред 1. $\int_M$ инвариантен относительно диффеоморфизмов:}
для любого диффеоморфизма $\phi:\; M \arrow N$
и $n$-формы $\eta\in \Lambda^n_c N$, имеем $\int_N \phi^* \eta = \int_M \eta$.
\\
{\бф \ред 2. Положительность интеграла:} \\ для любой формы ориентации
$\eta$ и ненулевой неотрицательной функции $f$ с компактным носителем,
$\int_M f\eta >0$\\
{\bf \ред  3. Нормализация:} \\если $M$ есть тор $\R^n/\Z^n$,
а форма ориентации равна $\eta=dx_1 \wedge dx_2 \wedge ... \wedge dx_n$,
имеем $\int_M \eta=1$.

\теорема
{\бф \пурпле Интеграл существует и однозначно определен
вышеприведенными условиями} {\бф \ред (докажите это)}.

\теорема {\бф \блуе Формула Стокса:} 
Пусть $M$ -- многообразие с краем $\6M$. Тогда 
$\int_M d\eta = \int_{\6 M}\eta$.


\замечание
Воспользовавшись разбиением единицы,
интеграл можно доопределить до функционала $\int_M:\; \eta \mapsto ]0,\infty]$ 
на формах объема, даже когда $M$ некомпактно. 
Такой функционал называется {\бф \блуе объемом многообразия}.


\newpage

{\бф \блуе Симплектические многообразия}


\определение
Кососимметрическая 2-форма $\omega$ на векторном пространстве $V$
называется {\бф \блуе невырожденной}, или {\бф \блуе симплектической},
если для каждого
ненулевого $x\in V$ найдется $y\in V$ такой, что $\omega(x,y)\neq 0$.


\замечание
{\бф \ред Каждая невырожденная 
кососимметрическая форма записывается в некотором базисе как
\[ \begin{pmatrix}
\omega=\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}
\end{pmatrix}.
\]}
Если обозначить соответствующий базис в $V^*$ как
$x_1, y_1, x_2, y_2, ...$, форма $\omega$ будет записана
в виде $\omega=\sum_i x_i\wedge y_i$.

\определение
{\бф \блуе Ориентация} на $n$-мерном векторном пространстве есть 
ненулевой вектор в $\Lambda^n V$. {\бф \блуе Ориентация} на 
$n$-мерном многообразии есть нигде не зануляющаяся $n$-форма.

\замечание
{\бф \пурпле Симплектическое пространство всегда ориентировано.}
Действительно, 
$\omega^n=n! x_1\wedge y_1 \wedge x_2 \wedge y_2 \wedge ... \wedge x_n \wedge y_n$.

\newpage

{\бф \блуе Симплектические многообразия}


\определение
Пусть $M$ -- многообразие. Дифференциальная форма
$\omega\in \Lambda^2M$ называется {\бф\блуе симплектической},
если она невырождена в каждой точке, и замкнута.

\определение
Диффеоморфизм $\phi:\; M \arrow M'$ симплектических
многообразий $(M, \omega)$ и $(M',\omega')$
называется {\бф \блуе симплектоморфизмом},
если $\phi^*\omega'=\omega$.

\замечание
{\бф \пурпле Симплектическая геометрия изучает 
симплектические многообразия с точностью до симплектоморфизма.}

\определение
{\бф \блуе Симплектический шар} радиуса $r$ есть шар
радиуса $r$ в $\R^{2n}$ с симплектической структурой,
которая индуцирована формой $\omega=\sum_i dx_i\wedge dy_i$
на $\R^n$ ($x_i, y_i$ -- координаты).

\теорема
{\бф \блуе (Теорема Дарбу):}
{\бф \ред Симплектическое многообразие локально симплектоморфно 
симплектическому шару} (в окрестности каждой своей точки).

{\бф \пурпле Теорема Дарбу будет доказана на этой лекции.}


\newpage

{\бф \блуе Симплектическая емкость}
\newcommand{\capa}{\operatorname{\sf cap}}


\определение
{\бф \блуе Симплектический объем} симплектического многообразия
$(M,\omega)$ размерности $2n$ есть интеграл $\int_M\omega^n$.

Наука о симплектической емкости изобретена,
чтобы отвечать на следующий вопрос.

\вопрос
Пусть $A, B\subset \R^{2n}$ два подмножества одинакового объема,
гомеоморфные шару. Будут ли они симплектоморфны?
{\бф \ред Ответ: не всегда}.

\задача
Докажите, что при $n=1$, {\bf \purple любые два симплектических
многообразия одинакового симплектического объема, гомеоморфных
диску, являются симплектоморфными.}

\определение
Пусть $(M,\omega)$ -- симплектическое многообразие,
 а $r$ -- супремум радиусов всех
симплектических шаров той же размерности, которые симплектоморфно
вкладываются в $M$. Число $\capa(M,\omega):=\pi r^2$ называется 
{\бф\блуе симплектической емкостью Громова} многообразия $M$.

\newpage

{\бф \блуе Свойства симплектической емкости}


Два факта про симплектическую емкость, которые я 
докажу позже.

\теорема
{\бф \блуе (Экланд-Хофер)}\\
Диффеоморфизм симплектических многообразий, сохраняющий ориентацию,
{\бф \ред является симплектоморфизмом тогда
и только тогда, когда он сохраняет симплектическую емкость}
всех подмножеств.

\определение
{\бф \блуе 
Симплектический цилиндр} есть 
$\R^{2n}\times B_r$, где $\R^{2n}$ снабжено обычной
симплектической формой $dx\wedge dy$, а $B_r$ -- симплектический
шар радиуса $r$ в $\R^2$. 

\теорема
{\бф \блуе (Громов)}\\
{\бф \ред Симплектическая емкость симплектического цилиндра
равна $\pi r^2$}

\замечание Получается, что объем цилиндра бесконечный, а 
его симплектическая емкость конечна.

\newpage

{\бф \блуе Производная Ли}

\определение
{\бф \блуе Поток диффеоморфизмов} многообразия есть гладкое
отображение $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$, которое является
диффеоморфизмом для любого $t\in \R$. Аналогично определяется
{\бф\блуе поток симплектоморфизмов}.

\определение
Предположим, что $\phi_0=\Id_M$. Тогда
производная $\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$ есть
векторное поле, которое называется {\бф\блуе  производной
потока диффеоморфизмов}. 

\определение
Пусть $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$ -- поток
диффеоморфизмов, а $v:=\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$
соответствующее векторное поле.
{\бф \блуе Производная Ли вдоль $v$},
есть отображение $\Lie_v:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^i M$,
полученное как $\Lie_v (\eta) := \frac {\phi^*_t\eta}{dt}\restrict{t=0}$. 

\теорема {\бф \блуе (Формула Картана)}\\
\[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где
$\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор,
а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму.

\newpage

{\бф \блуе Формула Картана (набросок доказательства)}

\теорема {\бф \блуе (Формула Картана)}
\[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где
$\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор $\{a,b\}=ab+ba$,
а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму.

\дшаг
Проверяем, что $\Lie_v$ и $\{d, i_v\}$ -- дифференцирования
алгебры де Рама, коммутирующие с $d$.

{\бф \греен Шаг 2:} Проверяем, что они совпадают на функциях.

{\бф \греен Шаг 3:} Проверяем, что {\бф \пурпле дифференцирования $\Lambda^* M$,
которые совпадают на функциях и коммутируют с $d$, равны.}
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Потоки диффеоморфизмов (окончание)}

\определение
Для любого потока диффеоморфизмов $\phi_t$, найдется
векторное поле $v_t$ такое, что 
$\phi_t^*(\Lie_{v_t}\eta)=\frac{\phi_t^*\eta}{dt}$
Такое векторное поле называется {\бф \блуе касательное
к потоку диффеоморфизмов в точке $t=c$.}

\теорема {\бф \блуе 
(основная теорема теории обыкновенных дифференциальных уравнений;
теорема Пикара-Линделефа)}\\
Пусть $\{v_t\}$ -- семейство векторных полей
на компактном многообразии $M$, которое гладко параметризовано $t\in\R$.
Тогда {\бф \ред каждый диффеоморфизм $\phi_0$ единственным образом
продолжается до потока диффеоморфизмов $\phi_t$, касательного к $v_t$
в каждом $t\in \R$.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Гамильтоновы векторные поля}

\замечание
Пусть $\phi_t:\; M \arrow M$ -- поток симплектоморфизмов,
а $v_t$ -- соответствующее векторное поле. Тогда $\Lie_{v_t}(\omega)=0$,
что дает по формуле Картана $0=i_{v_t} d\omega+ di_{v_t}\omega=di_{v_t}\omega$,
то есть {\бф \ред 1-форма $i_v\omega=\omega(v, \cdot)$ замкнута.}

\определение
Векторное поле $v$ называется {\бф \блуе симплектическим},
если 1-форма $i_v\omega$ замкнута (это равносильно $\Lie_{v}(\omega)=0$),
и {\бф \блуе гамильтоновым}, если $i_v\omega$ точна.
Поток симплектоморфизмов $\phi_t$ называется {\бф \блуе потоком
гамильтоновых симплектоморфизмов}, если касательные
векторные поля  гамильтоновы.

\следствие
{\бф \пурпле Отображение $v \arrow i_v(\omega)$ задает биекцию 
между гамильтоновыми векторными полями и точными формами.}
Таким образом, существует биекция между $C^\infty M/\const$
и пространством $\Ham(M)$ гамильтоновых векторных полей.

\определение
{\бф \блуе Гамильтониан} гамильтонова векторного поля $v$
есть функция $H_v$, такая, что $dH_v = i_v(\omega)$.

\newpage

{\бф \блуе Гамильтоновы симплектоморфизмы}

\следствие
{\бф \пурпле Отображение $v \arrow i_v(\omega)$ задает биекцию 
между гамильтоновыми векторными полями и точными формами.}
Таким образом, существует биекция между $C^\infty M/\const$
и пространством $\Ham(M)$ гамильтоновых векторных полей.

\определение
{\бф \блуе Гамильтониан} гамильтонова векторного поля $v$
есть функция $H_v$, такая, что $dH_v = i_v(\omega)$.

\следствие
Потоки $\phi_t$, $\phi_0=\Id_M$
гамильтоновых симплектоморфизмов параметризуются
гладкими семействами гамильтонианов $H_t$.

\следствие
Гамильтоновых симплектоморфизмов {\бф \ред очень много}.

\newpage

{\бф \блуе Теорема Мозера}


\теорема {\бф \блуе (теорема Мозера)}
Пусть $\omega_t$ -- гладкое 
семейство симплектических форм на компактном
многобразии $M$. Предположим, что
классы когомологий $\omega_t$ равны для всех $t$.
{\бф \ред Тогда найдется поток диффеоморфизмов
$\Psi_t\in \Diff_0(M)$, с $\Psi_0=\Id$,
такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.}


\дшаг
Поскольку $\omega_t$ все
когомологичны, форма $\frac {d\omega_t}{dt}$ точна.
Значит, $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t\in
\Lambda^1(M)$.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $v_t$ -- касательное
векторное поле к $\Psi_t$.
$\Psi_t^*\omega_t=\omega$ равносильно
$\frac{d\Psi_t^*\omega_t}{dt}=0$. Но 
\[ \frac{d\Psi_t^*\omega_t}{dt}=
\Psi^*_t(d\eta_t+ \Lie_{v_t}\omega_t);
\]
{\bf \purple это выражение зануляется тогда и только тогда, когда
$d\eta_t+ \Lie_{v_t}\omega_t=0$.}

{\бф \греен Шаг 3:} 
По формуле Картана, $\Lie_{v_t}\omega_t=d(i_{vt}\omega_t)$,
то есть для $\Psi_t^*\omega_t=\omega$ 
нам нужно $d(i_{v_t}\omega_t)=-d\eta_t$.
Поскольку $\omega$ невырождена, 
$x\arrow i_{x}\omega_t$ -- биективное отображение из $TM$ в $\Lambda^1M$
а значит, {\bf \purple 
существует $v_t\in TM$ такое, что $i_{v_t}\omega_t=-\eta_t$.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Теорема Дарбу}

\теорема
{\бф \ред Симплектическое многообразие локально симплектоморфно 
симплектическому шару} (в окрестности каждой своей точки).

\дшаг
Достаточно проверить, что для любой симплектической формы 
$\omega_1$ на $\R^{2n}$, существует окрестность нуля $U$, 
такая. что $(U,\omega_1)$ симплектоморфно симплектическому
шару.

{\бф \греен Шаг 2:} Выберем координаты $x_i, y_i$ на $\R^{2n}$ таким
образом, что $\omega_1\restrict{T_0\R^{2n}}=\omega_0\restrict{T_0\R^{2n}}$,
где $\omega_0=\sum_i dx_i \wedge dy_i$. 

{\бф \греен Шаг 3:}
Форма $\omega_t:=t\omega+(1-t)\omega_0$ невырождена в 0. Выберем 
стягиваемую окрестность $U\ni 0$ такую, что
$\omega_t$ невырождена в $U$ для $t\in[0,1]$
{\бф \пурпле (проверьте, что это можно сделать)}.

{\бф \греен Шаг 4:} В $U$ формы $\omega_t$ невырождены
и когомологичны; пусть $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$,
где $\eta_t$ гладко зависит от $t$.
Возьмем векторное поле $v_t:=-\omega_t^{-1}(\eta_t)$.
В небольшой окрестности 0, это векторное поле можно
проинтегрировать до диффеоморфизма $\Psi_t$. {\бф \пурпле Аргумент,
который использовался в доказательстве теоремы Мозера, дает 
$d\eta_t+ \Lie_{v_t}\omega_t=0$, что влечет
$\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$, то есть $\omega_0$ диффеоморфно
$\omega_1$ в какой-то окрестности 0.}
\ендпрооф

\end{document}
