

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\доказательствошаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Аменабельные группы, лекция 4 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Аменабельные группы \\[15mm]
\small лекция 4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[10mm] \tiny 
7 августа 2011
\\[20mm]

{\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm]
1 - 7 августа, 2011, ЯГПУ, Ярославль, Россия

}
\end{center}



\невпаге

{\bf \blue Аменабельные группы (повторение)}


{\small Для любого множества $S$, обозначим за $2^S$ {\бф \пурпле
множество его подмножеств.}
Обозначим за $A \coprod B$ {\бф \пурпле
объединение непересекающихся подмножеств $S$.}}

\определение
Функция $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе конечно\--ад\-ди\-тив\-ной мерой},
если верно свойство {\bf\блуе конечной аддитивности}:
$\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. 

\определение
Пусть $G$ -- группа, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ --
отображение {\бф \блуе левого сдвига}, переводящее $x$ в $gx$.
Функция  $2^G \stackrel \mu 
\arrow \R$ называется {\бф \блуе левоинвариантной}, 
если $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ для любого $A \subset G$.

\определение
Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если
$\mu(S)=1$.


\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе аменабельной}, если
существует конечно-аддитивная левоинвариантная вероятностная мера
$\mu:\; 2^G \arrow \R^{\geq 0}$.

\newpage

{\bf \blue Множества Фёлнера}

Обозначим число элементов конечного множества за $|A|$.

\определение
Пусть $A, B\subset S$ -- множества. {\бф \блуе симметрическая разность}
$A$ и $B$ -- это $A \triangle B:= (A \cup B)\backslash (A \cap B)$.

\определение
Пусть $G$ -- группа, а $F_n \subset G$ -- последовательность подмножеств.
$\{F_n\}$ называется {\бф \блуе последовательностью Фёльнера}
(F\o lner sequence), если для каждого $g\in G$, 
$\lim_n \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}=0$.

\теорема
Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера.
{\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. } 

(было на первой лекции)

\теорема {\бф \блуе (Теорема Фёльнера)}\\
{\бф \ред Аменабельная группа содержит последовательность Фёльнера.}

Доказательство будет.

\невпаге

\newpage

{\бф \блуе Банаховы пространства (повторение)}


{\bf \green Определение:} \\
Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$, снабженное 
метрикой, которая
инвариантна относительно параллельных переносов,
то есть имеет вид  $x,y \arrow \|x-y\|$, 
и удовлетворяет $\nu(\lambda x) = |\lambda| \nu(x)$,\\
для любых  $x\in V$, и  любого $\lambda\in \R$.
В такой ситуации $V$ называется {\bf \blue нормированным пространством}.

{\bf\green Определение:} Пусть $(V,\nu)$ -- нормированное
пространство. Напомним, что $(V, \nu)$ называется {\bf\blue банаховым},
если оно полно, как метрическое пространство.

\упражнение Докажите, что {\bf \пурпле любое конечномерное
нормированное пространство -- банахово.}

\определение
Пусть $S$ -- счетное множество, а $\ell^\infty(S)$ -- пространство
ограниченных $\R$-значных функций на $S$.
Определим {\bf\блуе $\ell^\infty$-норму} на $\ell^\infty(S)$
формулой $|f|_{\ell^\infty}:= \sup_S |f|$. 

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле $\ell^\infty(S)$ -- банахово пространство.}

\newpage

{\бф \блуе Примеры банаховых пространств}



\определение
Пусть $S$ -- счетное множество, а $\ell^1(S)$ -- пространство
суммируемых $\R$-значных функций на $S$.
Определим {\bf\блуе $\ell^1$-норму} на $\ell^1(S)$
формулой $|f|_{\ell^1}:= \sum_S |f|$. 


\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле $\ell^1(S)$ -- банахово пространство.}


\упражнение
Докажите, что {\бф \ред двойственное пространство
к $\ell^1(S)^*$ это $\ell^\infty(S)$}.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред  $\ell^1(S)$ вложено в
двойственное пространство к $\ell^\infty(S)^*$, но не изоморфно ему.}


\определение
Пусть $S$ -- счетное множество, а $\ell^2(S)$ -- пространство
с $\R$-значных функций на $S$, таких, что $\sum_S |f|^2<\infty$
(такие функции называются {\бф \блуе квадратично-интегрируемыми}.
Определим {\bf\блуе $\ell^2$-норму} на $\ell^1(S)$
формулой $|f|_{\ell^1}:= \left(\sum_S |f|^2\right)^{\frac 1 2}$. 

\упражнение {\бф \пурпле Докажите, что это банахово пространство.}
Докажите, что $\ell^2(S)^*$ канонически изоморфно $\ell^2(S)$.


\невпаге 

{\бф \блуе Свойство (T) Каждана (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Гильбертово пространство} $H$ есть полное
бесконечномерное эрмитово пространство,
изоморфное пространству $\ell^2(\Z)$ квадратично-суммируемых
последовательностей.


\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе группой Каждана},
если выполнено {\бф \блуе свойство (Т)}:

(Т) Для любого изометрического действия $G$ на
гильбертовом пространстве $H$, {\бф \ред $G$ сохраняет какую-то
фиксированную точку $h\in H$.}

\замечание Изначально Каждан определял (Т) иначе,
а это определение принадлежит Серру; его равносильность
определению Каждана называется Delorme-Guichardet Theorem.


{\бф \греен Свойства групп Каждана:}

1. Группы Каждана конечно порождены.

2. Фактор группы Каждана по ее коммутанту конечен.

3. Любая нормальная подгруппа группы Каждана $G$
имеет конечный индекс, или лежит в центре $G$ и конечна.

\невпаге

{\бф \блуе  Группы Каждана и аменабельные группы}

\теорема
Пусть $G$ -- аменабельная группа. {\bf \red Тогда свойство (Т)
для $G$ не выполняется.}

\доказательствошаг
Пусть $S$ -- набор образующих для $G$. 
Выберем последовательность Фёльнера $\{F_i\}$ таким образом, чтобы
$\frac {|F_n\triangle L_s(F_n)|}{|F_n|} < \frac 1{2^n}.$
Тогда для любого $g\in G$ имеем 
\[
  \frac {|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|} < \frac {|g|}{2^n}.
\]
(следует из неравенства треугольника для $A\triangle B$).

{\бф \греен Шаг 2:} 
Рассмотрим $H=\ell^2({\Bbb  N},\ell^2(G))$ -- пространство последовательностей
$\{f_i\in \ell^2(G)\}$, таких, что 
$\sum \|f_i\|^2\leq \infty$. Оно очевидно
гильбертово, и снабжено действием $G$ сдвигами, которое имеет
неподвижную точку - 0. 

{\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим последовательность
$\goth h=\{h_i\in \ell^2(G)\}$, где $h_i := \frac{\chi_{F_i}}{|F_i|^{1/2}}$.
Тогда 
$|h_i-L_g h_i| \leq  \frac{\chi_{F_n\triangle L_g(F_n)}}{|F_i|^{1/2}}$
и в силу шага 1, ее $\ell^2$-норма удовлетворяет
\[
\|h_i-L_g h_i\|^2_{\ell^2}\leq \frac {|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}\leq 
 \frac {|g|}{2^n}.
\]

\невпаге

{\бф \блуе  Группы Каждана и аменабельные группы (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 4:} Мы получаем, что для любого $g\in G$,
последовательность $\{h_i-L_g h_i\}= {\goth h}-g{\goth h}$
лежит в $\ell^2(({\Bbb N},\ell^2(G)$. 

{\бф \греен Шаг 5:} {\bf \red Определим действие $G$ на $H$ формулой
$g({\goth f})= L_g{\goth f} + ({\goth h}-L_g{\goth h})$.}
Если ${\goth f}$ -- неподвижная точка этого действия, то
$(1-L_g)({\goth f}-{\goth h})$ для любого $g\in G$.

{\бф \греен Шаг 6:} Пусть $\{f_i\in \ell^2(G)\}$ -- последовательность,
соответствующая ${\goth f}$. {\бф \пурпле 
Тогда $L_g(f_i-h_i)= f_i-h_i$ для любого
$g\in G$.}

{\бф \греен Шаг 7:}
Значит, {\bf \red $f_i-h_i$ -- 
$G$-инвариантная, квадратично суммируемая функция на $G$,}
то есть $f_i-h_i=0$. 

{\бф \греен Шаг 8:} Поскольку последовательность
$\{h_i\in \ell^2(G)\}$ удовлетворяет $\|h_i\|_{\ell^2}=1$,
{\bf \purple она не квадратично суммируема, то есть не лежит в $H$.}
Мы пришли к противоречию! Значит, {\bf \red у действия $G$ на $H$
нет неподвижных точек.} \endproof


\невпаге

{\бф \блуе  $\ell^\infty$ и среднее (повторение)}

\определение
Пусть $S$ -- множество, а $\ell^\infty(S)$ -- пространство
ограниченных $\R$-значных функций на $S$.
Определим {\bf\блуе $\ell^\infty$-норму} на $\ell^\infty(S)$
формулой $|f|_{\ell^\infty}:= \sup_S |f|$.

\определение
{\бф \блуе Среднее} на $S$ есть непрерывный
функционал \\ $\Av_S:\; \ell^\infty(S)\arrow \R$, который
удовлетворяет следующим условиям: \\
1. $\Av_S(\chi_S)=1$, где $\chi_S\in \ell^\infty(S)$ есть 
функция, отображающая $S$ в 1. \\
2. $\Av_S(f) \geq 0$ для любой неотрицательной функции $f\in \ell^\infty(S)$.

\определение Для подмножества $A\subset S$, обозначим за
$\chi_A\in \ell^\infty(S)$ {\бф \блуе характеристическую функцию}, 
которая равна $1$ на $A$ и 0 вне $A$.

\определение
Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если
$\mu(S)=1$.

\теорема
Пусть $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ -- конечно-аддитивная вероятностная
мера. Тогда {\бф \ред существует среднее} 
$\ell^\infty(S)\stackrel {\Av_S}\arrow \R$
такое, что $\Av_S \chi_A= \mu(A)$ для каждого $A\subset S$,
и оно единственно.

\следствие
{\бф \ред Группа аменабельна тогда и только тогда, когда на ней
существует среднее,} которое инвариантно относительно левых сдвигов.

\newpage

{\бф \блуе Почти инвариантные $L^1$-меры}

\определение
Пусть $G$ -- группа.
Говорится, что на $G$ найдется {\бф \блуе почти инвариантная $L^1$-мера},
если задана последовательность неотрицательных, суммируемых
функций $\mu_i$ на $G$ с $\sum_G \mu_i=1$, причем
для любого $s\in G$, имеем 
\[  
   \lim_{i\rightarrow \infty} \sum_{g\in G} |\mu_i(g)- \mu_i(sg)| =0
\]

\упражнение 
Докажите, что это равносильно тому, что 
для любого конечного $S\subset G$, любого $\epsilon >0$
найдется функция $\mu\geq 0$ на $G$ с $\sum_G \mu=1$,
такое, что $\|\mu_i(g)- \mu_i(sg)\|< \epsilon$ для
любого $s\in S$.

\определение
Функция на $G$ называется {\бф \блуе финитной}, если
она равна 0 вне конечного числа $g\in G$.

\замечание
Поскольку финитные функции плотны в $\ell^1(G)$,
{\бф \блуе 
почти инвариантную $L^1$-меру $\mu_i$ можно 
всегда выбрать финитной.}

\замечание Если у  $G$ есть последовательность
Фёльнера, {\бф \ред в качестве $\mu_i$ всегда можно взять
$\frac 1 {|F_i|}\chi_{F_i}$} (проверьте это).

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фёльнера}

\теорема {\бф \блуе (Теорема Фёльнера)}
Пусть $G$ -- конечно порожденная группа. 
Тогда следующие условия равносильны. \\
(i) $G$ {\бф \пурпле аменабельна} \\
(ii) $G$ {\бф \пурпле допускает среднее}, то есть непрерывный, неотрицательный
левоинвариантный функционал $\ell^\infty(G)\arrow \R$,
причем $\Av_G(1)=1$.\\
(iii) На $G$ найдется {\бф \пурпле почти инвариантная $L^1$-мера}.\\
(iv) Для каждого конечного $S\subset G$, 
$\epsilon >0$, у $G$ найдется конечное подмножество
$A$ такое, что $\frac{|A\triangle L_g(A)|}{|A|} < \epsilon$ для
всех $g\in S$.\\
(v) $G$ {\бф \пурпле  допускает последовательность Фёльнера.}

\замечание  (i) $\Leftrightarrow$ (ii) и (v) $\Rightarrow$ (i)
доказаны в лекции 1, (v) $\Rightarrow$ (iii) см. выше.  
Для доказательства теоремы Фельнера {\bf \red остается убедиться, что
(ii) $\Rightarrow$ (iii), (iii) $\Rightarrow$ (iv) и (iv)$\Rightarrow$ (v).}

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фёльнера, (iii) $\Rightarrow$ (iv)}

{\бф \греен Доказательство (iii) $\Rightarrow$ (iv). Шаг 1:}
Пусть $\mu_\epsilon$ - финитная, неотрицательная функция, 
такая, что $\mu_\epsilon= \sum c_i \chi_{E_i}$, где
$E_1\supset E_2 \supset E_3 \supset...$ -- монотонная система
подмножеств $G$, а $c_i >0$, причем для любого $g\in S\subset G$,
имеем $\|\mu_\epsilon - L_g^* \mu_\epsilon\| < \epsilon$.
{\бф \пурпле Такое $\mu_\epsilon$ всегда существует в силу того, 
что финитные функции плотны в $\ell^1(G)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Поскольку
$E_i \backslash L_g(E_i)\cap L_g E_{i+j} \backslash (E_{i+j})=\emptyset,$
мы имеем
\[ |\mu_\epsilon - 
L_g^*\mu_\epsilon|\geq \sum_i c_i \chi_{E_i\triangle L_g(E_i)},
\]
для любого $i$.

{\бф \греен Шаг 3:} Коль скоро 
$\|\mu_\epsilon- L_g^* \mu_\epsilon\|< \epsilon$, a 
$\|\mu_\epsilon\|=\sum_i c_i |E_i|=1$, получаем из шага 2, что
\[
\epsilon |S|\sum_i c_i |E_i| \geq \sum_i \sum_{g\in S}c_i|E_i\triangle L_g(E_i)|.
\]

{\бф \греен Шаг 4:} 
{\бф \ред Значит, для какого-то $i$ верно неравенство
\[ \epsilon |S| c_i |E_i| \geq \sum_{g\in S}c_i|E_i\triangle L_g(E_i)|.\]}
Положим $A=E_i$. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фёльнера (продолжение)}

\определение {\бф \блуе Выпуклое подмножество}
линейного пространства есть подмножество, содержащее
вместе с любыми двумя точками $a, b$ отрезок $[a,b]$.

{\бф \греен Доказательство (iv) $\Rightarrow$ (v):}
Возьмем $G$ как объединение возрастающей системы $S_i$,
и для каждой $S_i$ возьмем $A$ как выше для $\epsilon = 1/i$.  \ендпрооф

{\бф \греен Доказательство (ii) $\Rightarrow$ (iii).}
Пусть дано $\epsilon >0$ и конечное множество $S\subset G$
в аменабельной группе. Надо доказать, что найдется 
неотрицательное $\mu \in {\ell^1(G)}$ такое, что
$\|L_g\mu - \mu\|_{\ell^1(G)}<\epsilon$ для всех $g\in S$.


{\бф \греен Шаг 1:} 
Пусть $n=|S|$, а $V= \ell^1(G)^n=\ell^1(G\times S)$ -- пространство
$\ell^1$-суммируемых функций из $G$ в $\R^n$. Обозначим за
$A_0\subset V$ подмножество, состоящее из $n$-ок 
вида $(\mu, \mu, ..., \mu)$, где $\mu\in\ell^1(G)$ 
неотрицательная функция с $\|\mu\|_{\ell^1}=1$.
Легко видеть, что {\бф \пурпле $A_0$ выпукло} (проверьте).


{\бф \греен Шаг 2:} Обозначим элементы $S$ за
$s_1, ..., s_n$. Пусть 
\[ A:=(\mu-L_{s_1}\mu, \mu-L_{s_2}\mu, ... \mu-L_{s_n}\mu).\]
{\бф \пурпле  Поскольку $A$ получено из $A_0$ применением линейного
оператора, оно тоже выпукло.}

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фёльнера, (ii) $\Rightarrow$ (iii) (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} 
Вспомним {\бф \блуе теорему Хана-Банаха о сепарации}.
Пусть $A$ -- выпуклое множество в нормированном
пространстве $V$, не пересекающее $\epsilon$-окрестности 0
{\бф \ред Тогда существует непрерывный функционал $h$ на $V$, 
такой, что $h \restrict A >C>0$.}

{\бф \пурпле Применив теорему Хана-Банаха к $A\subset V$,
найдем функционал $f\in \ell^n(G\times S)^*= \ell^\infty(G\times S)$,
удовлетворяющий $(\langle f, A)\geq C>0$.}


{\бф \греен Шаг 4:} 
Функцию $f\in \ell^\infty(G\times S)$
можно рассмотреть как последовательность
ограниченных функций $(f_1, ..., f_n)\in \ell^\infty(G)^n$.

Возьмем функцию $\delta_g$, которая равна 1 в какой-то 
точке $g\in G$ и 0 во всех остальных точках. Соответствующий
вектор $(\delta_g, \delta_g, ..., \delta_g)\in \ell^1(G)^n$
лежит в $A_0$, значит, 

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фёльнера, (ii) $\Rightarrow$ (iii) (окончание)}

\[ 
  {\goth d}_g:=(\delta_g - \delta_{s_1g}, \delta_g - \delta_{s_2g}, ..., 
  \delta_g - \delta_{s_ng}) \in A.
\]

{\бф \греен Шаг 5:} 
Поскольку $\langle \delta_g, f_i\rangle= f_i(g)$,
условие $\forall g\in G\ \ \langle {\goth d}_g, f\rangle>C$ равносильно
\[
 (*)\ \ \ \ \forall g\in G \ \ |\ \ \sum_i (f_i(g)-f_i(s_ig)) >C.
\]

{\бф \греен Шаг 5:}
Условие (*) равносильно $\sum_i f_i-L_{s_i}f_i>C\chi_G$.
Значит, $\sum_i \Av_G(f_i- L_{s_i} f_i)> C$, {\бф \ред что
противоречит аменабельности.} \ендпрооф



\end{document}



