\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\доказательствошаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Аменабельные группы, лекция 4 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Аменабельные группы \\[15mm] \small лекция 4} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 7 августа 2011 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm] 1 - 7 августа, 2011, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \невпаге {\bf \blue Аменабельные группы (повторение)} {\small Для любого множества $S$, обозначим за $2^S$ {\бф \пурпле множество его подмножеств.} Обозначим за $A \coprod B$ {\бф \пурпле объединение непересекающихся подмножеств $S$.}} \определение Функция $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе конечно\--ад\-ди\-тив\-ной мерой}, если верно свойство {\bf\блуе конечной аддитивности}: $\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. \определение Пусть $G$ -- группа, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ -- отображение {\бф \блуе левого сдвига}, переводящее $x$ в $gx$. Функция $2^G \stackrel \mu \arrow \R$ называется {\бф \блуе левоинвариантной}, если $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ для любого $A \subset G$. \определение Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если $\mu(S)=1$. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе аменабельной}, если существует конечно-аддитивная левоинвариантная вероятностная мера $\mu:\; 2^G \arrow \R^{\geq 0}$. \newpage {\bf \blue Множества Фёлнера} Обозначим число элементов конечного множества за $|A|$. \определение Пусть $A, B\subset S$ -- множества. {\бф \блуе симметрическая разность} $A$ и $B$ -- это $A \triangle B:= (A \cup B)\backslash (A \cap B)$. \определение Пусть $G$ -- группа, а $F_n \subset G$ -- последовательность подмножеств. $\{F_n\}$ называется {\бф \блуе последовательностью Фёльнера} (F\o lner sequence), если для каждого $g\in G$, $\lim_n \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}=0$. \теорема Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера. {\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. } (было на первой лекции) \теорема {\бф \блуе (Теорема Фёльнера)}\\ {\бф \ред Аменабельная группа содержит последовательность Фёльнера.} Доказательство будет. \невпаге \newpage {\бф \блуе Банаховы пространства (повторение)} {\bf \green Определение:} \\ Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$, снабженное метрикой, которая инвариантна относительно параллельных переносов, то есть имеет вид $x,y \arrow \|x-y\|$, и удовлетворяет $\nu(\lambda x) = |\lambda| \nu(x)$,\\ для любых $x\in V$, и любого $\lambda\in \R$. В такой ситуации $V$ называется {\bf \blue нормированным пространством}. {\bf\green Определение:} Пусть $(V,\nu)$ -- нормированное пространство. Напомним, что $(V, \nu)$ называется {\bf\blue банаховым}, если оно полно, как метрическое пространство. \упражнение Докажите, что {\bf \пурпле любое конечномерное нормированное пространство -- банахово.} \определение Пусть $S$ -- счетное множество, а $\ell^\infty(S)$ -- пространство ограниченных $\R$-значных функций на $S$. Определим {\bf\блуе $\ell^\infty$-норму} на $\ell^\infty(S)$ формулой $|f|_{\ell^\infty}:= \sup_S |f|$. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле $\ell^\infty(S)$ -- банахово пространство.} \newpage {\бф \блуе Примеры банаховых пространств} \определение Пусть $S$ -- счетное множество, а $\ell^1(S)$ -- пространство суммируемых $\R$-значных функций на $S$. Определим {\bf\блуе $\ell^1$-норму} на $\ell^1(S)$ формулой $|f|_{\ell^1}:= \sum_S |f|$. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле $\ell^1(S)$ -- банахово пространство.} \упражнение Докажите, что {\бф \ред двойственное пространство к $\ell^1(S)^*$ это $\ell^\infty(S)$}. \упражнение Докажите, что {\бф \ред $\ell^1(S)$ вложено в двойственное пространство к $\ell^\infty(S)^*$, но не изоморфно ему.} \определение Пусть $S$ -- счетное множество, а $\ell^2(S)$ -- пространство с $\R$-значных функций на $S$, таких, что $\sum_S |f|^2<\infty$ (такие функции называются {\бф \блуе квадратично-интегрируемыми}. Определим {\bf\блуе $\ell^2$-норму} на $\ell^1(S)$ формулой $|f|_{\ell^1}:= \left(\sum_S |f|^2\right)^{\frac 1 2}$. \упражнение {\бф \пурпле Докажите, что это банахово пространство.} Докажите, что $\ell^2(S)^*$ канонически изоморфно $\ell^2(S)$. \невпаге {\бф \блуе Свойство (T) Каждана (повторение)} \определение {\бф \блуе Гильбертово пространство} $H$ есть полное бесконечномерное эрмитово пространство, изоморфное пространству $\ell^2(\Z)$ квадратично-суммируемых последовательностей. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе группой Каждана}, если выполнено {\бф \блуе свойство (Т)}: (Т) Для любого изометрического действия $G$ на гильбертовом пространстве $H$, {\бф \ред $G$ сохраняет какую-то фиксированную точку $h\in H$.} \замечание Изначально Каждан определял (Т) иначе, а это определение принадлежит Серру; его равносильность определению Каждана называется Delorme-Guichardet Theorem. {\бф \греен Свойства групп Каждана:} 1. Группы Каждана конечно порождены. 2. Фактор группы Каждана по ее коммутанту конечен. 3. Любая нормальная подгруппа группы Каждана $G$ имеет конечный индекс, или лежит в центре $G$ и конечна. \невпаге {\бф \блуе Группы Каждана и аменабельные группы} \теорема Пусть $G$ -- аменабельная группа. {\bf \red Тогда свойство (Т) для $G$ не выполняется.} \доказательствошаг Пусть $S$ -- набор образующих для $G$. Выберем последовательность Фёльнера $\{F_i\}$ таким образом, чтобы $\frac {|F_n\triangle L_s(F_n)|}{|F_n|} < \frac 1{2^n}.$ Тогда для любого $g\in G$ имеем \[ \frac {|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|} < \frac {|g|}{2^n}. \] (следует из неравенства треугольника для $A\triangle B$). {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим $H=\ell^2({\Bbb N},\ell^2(G))$ -- пространство последовательностей $\{f_i\in \ell^2(G)\}$, таких, что $\sum \|f_i\|^2\leq \infty$. Оно очевидно гильбертово, и снабжено действием $G$ сдвигами, которое имеет неподвижную точку - 0. {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим последовательность $\goth h=\{h_i\in \ell^2(G)\}$, где $h_i := \frac{\chi_{F_i}}{|F_i|^{1/2}}$. Тогда $|h_i-L_g h_i| \leq \frac{\chi_{F_n\triangle L_g(F_n)}}{|F_i|^{1/2}}$ и в силу шага 1, ее $\ell^2$-норма удовлетворяет \[ \|h_i-L_g h_i\|^2_{\ell^2}\leq \frac {|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}\leq \frac {|g|}{2^n}. \] \невпаге {\бф \блуе Группы Каждана и аменабельные группы (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} Мы получаем, что для любого $g\in G$, последовательность $\{h_i-L_g h_i\}= {\goth h}-g{\goth h}$ лежит в $\ell^2(({\Bbb N},\ell^2(G)$. {\бф \греен Шаг 5:} {\bf \red Определим действие $G$ на $H$ формулой $g({\goth f})= L_g{\goth f} + ({\goth h}-L_g{\goth h})$.} Если ${\goth f}$ -- неподвижная точка этого действия, то $(1-L_g)({\goth f}-{\goth h})$ для любого $g\in G$. {\бф \греен Шаг 6:} Пусть $\{f_i\in \ell^2(G)\}$ -- последовательность, соответствующая ${\goth f}$. {\бф \пурпле Тогда $L_g(f_i-h_i)= f_i-h_i$ для любого $g\in G$.} {\бф \греен Шаг 7:} Значит, {\bf \red $f_i-h_i$ -- $G$-инвариантная, квадратично суммируемая функция на $G$,} то есть $f_i-h_i=0$. {\бф \греен Шаг 8:} Поскольку последовательность $\{h_i\in \ell^2(G)\}$ удовлетворяет $\|h_i\|_{\ell^2}=1$, {\bf \purple она не квадратично суммируема, то есть не лежит в $H$.} Мы пришли к противоречию! Значит, {\bf \red у действия $G$ на $H$ нет неподвижных точек.} \endproof \невпаге {\бф \блуе $\ell^\infty$ и среднее (повторение)} \определение Пусть $S$ -- множество, а $\ell^\infty(S)$ -- пространство ограниченных $\R$-значных функций на $S$. Определим {\bf\блуе $\ell^\infty$-норму} на $\ell^\infty(S)$ формулой $|f|_{\ell^\infty}:= \sup_S |f|$. \определение {\бф \блуе Среднее} на $S$ есть непрерывный функционал \\ $\Av_S:\; \ell^\infty(S)\arrow \R$, который удовлетворяет следующим условиям: \\ 1. $\Av_S(\chi_S)=1$, где $\chi_S\in \ell^\infty(S)$ есть функция, отображающая $S$ в 1. \\ 2. $\Av_S(f) \geq 0$ для любой неотрицательной функции $f\in \ell^\infty(S)$. \определение Для подмножества $A\subset S$, обозначим за $\chi_A\in \ell^\infty(S)$ {\бф \блуе характеристическую функцию}, которая равна $1$ на $A$ и 0 вне $A$. \определение Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если $\mu(S)=1$. \теорема Пусть $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ -- конечно-аддитивная вероятностная мера. Тогда {\бф \ред существует среднее} $\ell^\infty(S)\stackrel {\Av_S}\arrow \R$ такое, что $\Av_S \chi_A= \mu(A)$ для каждого $A\subset S$, и оно единственно. \следствие {\бф \ред Группа аменабельна тогда и только тогда, когда на ней существует среднее,} которое инвариантно относительно левых сдвигов. \newpage {\бф \блуе Почти инвариантные $L^1$-меры} \определение Пусть $G$ -- группа. Говорится, что на $G$ найдется {\бф \блуе почти инвариантная $L^1$-мера}, если задана последовательность неотрицательных, суммируемых функций $\mu_i$ на $G$ с $\sum_G \mu_i=1$, причем для любого $s\in G$, имеем \[ \lim_{i\rightarrow \infty} \sum_{g\in G} |\mu_i(g)- \mu_i(sg)| =0 \] \упражнение Докажите, что это равносильно тому, что для любого конечного $S\subset G$, любого $\epsilon >0$ найдется функция $\mu\geq 0$ на $G$ с $\sum_G \mu=1$, такое, что $\|\mu_i(g)- \mu_i(sg)\|< \epsilon$ для любого $s\in S$. \определение Функция на $G$ называется {\бф \блуе финитной}, если она равна 0 вне конечного числа $g\in G$. \замечание Поскольку финитные функции плотны в $\ell^1(G)$, {\бф \блуе почти инвариантную $L^1$-меру $\mu_i$ можно всегда выбрать финитной.} \замечание Если у $G$ есть последовательность Фёльнера, {\бф \ред в качестве $\mu_i$ всегда можно взять $\frac 1 {|F_i|}\chi_{F_i}$} (проверьте это). \newpage {\бф \блуе Теорема Фёльнера} \теорема {\бф \блуе (Теорема Фёльнера)} Пусть $G$ -- конечно порожденная группа. Тогда следующие условия равносильны. \\ (i) $G$ {\бф \пурпле аменабельна} \\ (ii) $G$ {\бф \пурпле допускает среднее}, то есть непрерывный, неотрицательный левоинвариантный функционал $\ell^\infty(G)\arrow \R$, причем $\Av_G(1)=1$.\\ (iii) На $G$ найдется {\бф \пурпле почти инвариантная $L^1$-мера}.\\ (iv) Для каждого конечного $S\subset G$, $\epsilon >0$, у $G$ найдется конечное подмножество $A$ такое, что $\frac{|A\triangle L_g(A)|}{|A|} < \epsilon$ для всех $g\in S$.\\ (v) $G$ {\бф \пурпле допускает последовательность Фёльнера.} \замечание (i) $\Leftrightarrow$ (ii) и (v) $\Rightarrow$ (i) доказаны в лекции 1, (v) $\Rightarrow$ (iii) см. выше. Для доказательства теоремы Фельнера {\bf \red остается убедиться, что (ii) $\Rightarrow$ (iii), (iii) $\Rightarrow$ (iv) и (iv)$\Rightarrow$ (v).} \newpage {\бф \блуе Теорема Фёльнера, (iii) $\Rightarrow$ (iv)} {\бф \греен Доказательство (iii) $\Rightarrow$ (iv). Шаг 1:} Пусть $\mu_\epsilon$ - финитная, неотрицательная функция, такая, что $\mu_\epsilon= \sum c_i \chi_{E_i}$, где $E_1\supset E_2 \supset E_3 \supset...$ -- монотонная система подмножеств $G$, а $c_i >0$, причем для любого $g\in S\subset G$, имеем $\|\mu_\epsilon - L_g^* \mu_\epsilon\| < \epsilon$. {\бф \пурпле Такое $\mu_\epsilon$ всегда существует в силу того, что финитные функции плотны в $\ell^1(G)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $E_i \backslash L_g(E_i)\cap L_g E_{i+j} \backslash (E_{i+j})=\emptyset,$ мы имеем \[ |\mu_\epsilon - L_g^*\mu_\epsilon|\geq \sum_i c_i \chi_{E_i\triangle L_g(E_i)}, \] для любого $i$. {\бф \греен Шаг 3:} Коль скоро $\|\mu_\epsilon- L_g^* \mu_\epsilon\|< \epsilon$, a $\|\mu_\epsilon\|=\sum_i c_i |E_i|=1$, получаем из шага 2, что \[ \epsilon |S|\sum_i c_i |E_i| \geq \sum_i \sum_{g\in S}c_i|E_i\triangle L_g(E_i)|. \] {\бф \греен Шаг 4:} {\бф \ред Значит, для какого-то $i$ верно неравенство \[ \epsilon |S| c_i |E_i| \geq \sum_{g\in S}c_i|E_i\triangle L_g(E_i)|.\]} Положим $A=E_i$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Теорема Фёльнера (продолжение)} \определение {\бф \блуе Выпуклое подмножество} линейного пространства есть подмножество, содержащее вместе с любыми двумя точками $a, b$ отрезок $[a,b]$. {\бф \греен Доказательство (iv) $\Rightarrow$ (v):} Возьмем $G$ как объединение возрастающей системы $S_i$, и для каждой $S_i$ возьмем $A$ как выше для $\epsilon = 1/i$. \ендпрооф {\бф \греен Доказательство (ii) $\Rightarrow$ (iii).} Пусть дано $\epsilon >0$ и конечное множество $S\subset G$ в аменабельной группе. Надо доказать, что найдется неотрицательное $\mu \in {\ell^1(G)}$ такое, что $\|L_g\mu - \mu\|_{\ell^1(G)}<\epsilon$ для всех $g\in S$. {\бф \греен Шаг 1:} Пусть $n=|S|$, а $V= \ell^1(G)^n=\ell^1(G\times S)$ -- пространство $\ell^1$-суммируемых функций из $G$ в $\R^n$. Обозначим за $A_0\subset V$ подмножество, состоящее из $n$-ок вида $(\mu, \mu, ..., \mu)$, где $\mu\in\ell^1(G)$ неотрицательная функция с $\|\mu\|_{\ell^1}=1$. Легко видеть, что {\бф \пурпле $A_0$ выпукло} (проверьте). {\бф \греен Шаг 2:} Обозначим элементы $S$ за $s_1, ..., s_n$. Пусть \[ A:=(\mu-L_{s_1}\mu, \mu-L_{s_2}\mu, ... \mu-L_{s_n}\mu).\] {\бф \пурпле Поскольку $A$ получено из $A_0$ применением линейного оператора, оно тоже выпукло.} \newpage {\бф \блуе Теорема Фёльнера, (ii) $\Rightarrow$ (iii) (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Вспомним {\бф \блуе теорему Хана-Банаха о сепарации}. Пусть $A$ -- выпуклое множество в нормированном пространстве $V$, не пересекающее $\epsilon$-окрестности 0 {\бф \ред Тогда существует непрерывный функционал $h$ на $V$, такой, что $h \restrict A >C>0$.} {\бф \пурпле Применив теорему Хана-Банаха к $A\subset V$, найдем функционал $f\in \ell^n(G\times S)^*= \ell^\infty(G\times S)$, удовлетворяющий $(\langle f, A)\geq C>0$.} {\бф \греен Шаг 4:} Функцию $f\in \ell^\infty(G\times S)$ можно рассмотреть как последовательность ограниченных функций $(f_1, ..., f_n)\in \ell^\infty(G)^n$. Возьмем функцию $\delta_g$, которая равна 1 в какой-то точке $g\in G$ и 0 во всех остальных точках. Соответствующий вектор $(\delta_g, \delta_g, ..., \delta_g)\in \ell^1(G)^n$ лежит в $A_0$, значит, \newpage {\бф \блуе Теорема Фёльнера, (ii) $\Rightarrow$ (iii) (окончание)} \[ {\goth d}_g:=(\delta_g - \delta_{s_1g}, \delta_g - \delta_{s_2g}, ..., \delta_g - \delta_{s_ng}) \in A. \] {\бф \греен Шаг 5:} Поскольку $\langle \delta_g, f_i\rangle= f_i(g)$, условие $\forall g\in G\ \ \langle {\goth d}_g, f\rangle>C$ равносильно \[ (*)\ \ \ \ \forall g\in G \ \ |\ \ \sum_i (f_i(g)-f_i(s_ig)) >C. \] {\бф \греен Шаг 5:} Условие (*) равносильно $\sum_i f_i-L_{s_i}f_i>C\chi_G$. Значит, $\sum_i \Av_G(f_i- L_{s_i} f_i)> C$, {\бф \ред что противоречит аменабельности.} \ендпрооф \end{document}