\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Аменабельные группы, лекция 3 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Аменабельные группы \\[15mm] \small лекция 3} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 6 августа 2011 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm] 1 - 7 августа, 2011, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \newpage {\bf \blue Литература} {\small {\бф \греен Аменабельность:} * http://terrytao.wordpress.com/2008/02/14/kleiners-proof-of-gromovs-theorem/\\ * http://terrytao.wordpress.com/2009/04/14/some-notes-on-amenability/ {\бф \греен Геометрическая теория групп: } * Wolfgang Lueck, ``Survey on geometric group theory'',\\ http://arxiv.org/abs/0806.3771 \\ * Wolfgang Lueck, ``On the Farrell-Jones and related Conjectures'',\\ http://arxiv.org/abs/0710.2269 {\бф \греен Свойство Каждана Т} * Bekka, de la Harpe, Valette, (2008), Kazhdan's property (T)\\ http://perso.univ-rennes1.fr/bachir.bekka/KazhdanTotal.pdf {\бф \греен Метрическая геометрия:} * Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. "Курс метрической геометрии"\\ * Громов М. "Гиперболические группы" {\бф \греен Риманова геометрия:} * Громов, ``Знак и геометрический смысл кривизны''\\ * Милнор, "Теория Морса" \\ * Бессе А. Многообразия Эйнштейна \\ * Gallot S., Hulin D., Lafontaine J. Riemannian geometry } \newpage {\bf \blue Граф Кэли (повторение)} {\бф \ред Все группы лекции предполагаются по умолчанию конечно порожденными}. \определение {\бф \блуе Набор образующих} группы $G$ есть множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$. {\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что $s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.} \определение Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих. {\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида $g$ и $gs_i$. \пример Граф Кэли для $\Z^n$ с обычным набором образующих есть кубическая решетка. \begin{center} \epsfig{file=recipr5.png,width=0.25\linewidth} \end{center} \newpage {\bf \blue Метрика слов на группе} \определение С каждым графом связано {\бф \блуе топологическое пространство графа}: набор отрезков, соединяющих набор отмеченных точек -- вершин. {\бф \блуе Оно снабжено метрикой,} таким образом, что каждое ребро изометрично отрезку длины 1, и {\бф \ред расстояние между точками $a,b$ -- длина кратчайшего пути из $a$ в $b$.} \определение {\бф \блуе Метрика слов на группе} $d_S(\cdot, \cdot)$ есть метрика на группе $G$ с системой образующих $S$, полученная ограничением обычной метрики на графе Кэли. \замечание Обозначим за $|x|_S$ расстояние $d_S(e,x)$. Тогда {\бф \блуе $|x|_S$ есть минимальная длина слова $W$, составленного из букв $s_i\in S$ такого, что произведение всех букв $W$ составляет $x$.} \newpage {\bf \blue Группы полиномиального и экспоненциального роста (повторение)} Пусть $G, S$ -- группа с заданной системой образующих, а $\Gamma_S$ -- ее граф Кэли. {\бф \ред Обозначим за $b_s(N)$} число вершин графа в шаре радиуса $N$ с центром в $e$. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе группой полиномиального роста степени $\leq d$,} если $b_s(N) \leq C N^d+C'$ для каких-то констант $C,C'$. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе группой экспоненциального роста}, если $b_s(N) \geq \alpha^N$ для какой-то константы $\alpha >0$. \пример $\Z^n$ -- группа полиномиального роста. \пример ${\Bbb F}_n$, $n \geq 2$ -- группа экспоненциального роста. \невпаге {\bf \blue Теорема Громова} \определение {\бф \блуе Нижний центральный ряд} группы $G$ есть ряд вида \[ G_0=G \supset G_1= [G,G]\supset G_2 =[G,[G,G]] \supset G_3=[G,[G,[G,G]]]\supset ... \] \определение {\бф \блуе Нильпотентная группа} есть группа, нижний центральный ряд которой конечен и обрывается на $G_n=\{e\}$. \определение Группа называется {\бф \блуе виртуально нильпотентной}, если она содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса. {\бф \греен Теорема Громова:} {\бф \ред Любая группа полиномиального роста виртуально нильпотентна.} Я расскажу схему доказательства теоремы Громова, принадлежащую Брюсу Клейнеру: {\смалл \бф Bruce Kleiner, \itshape A new proof of Gromov's theorem on groups of polynomial growth,\\ \tt http://arxiv.org/abs/0710.4593 } \невпаге {\bf \blue Группа, проектирующаяся на $\Z$, и ее порядок роста} {\бф \греен Утверждение 1:} Предположим, что задано сюрьективное отображение $\phi:\; G \arrow \Z$, а $G$ -- группа полиномиального роста степени $d$. Тогда $G_0:=\ker \phi$ -- {\бф \red группа полиномиального роста, степени $\leq d-1$.} \доказательство Выберем какой-то набор элементов $S_0\subset G_0$, и пусть $g\in G$ проектируется в образующую $\Z$. Обозначим за $B_e(R,S_0)$ $R$-шар в подгруппе, порожденной $S_0$, а за $B_e(R,S_0\cup \{g\})$ -- аналогичный шар, порожденный $S_0\cup \{g\}$. {\бф \греен Шаг 1:} \[ B_e(2N,S_0\cup \{g\})\supset B_e(N,S_0)\cdot \{g^{-N}, g^{-N+1}, ... g^N\}. \] {\бф \греен Шаг 2:} Множество $B_e(N,S_0)\cdot \{g^{-N}, g^{-N+1}, ... g^N\}\subset G$ {\бф \пурпле содержит $\geq 2N|B_e(N,S_0)|$ элементов.} {\бф \греен Шаг 3:} Если $|B(N,S_0)|> C N^d$, то \[ |B(2N,S_0)\cup \{g\}|> C 2N^{d+1}= \frac C {2^n}(2N)^{d+1}. \] Значит, {\бф \пурпле группа, порожденная $S_0$ и $\{g\}$, имеет показатель степени роста на $\geq 1$ больше, чем степень роста группы, порожденной $S_0$.} \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Скрещенное произведение} \определение Пусть $K$ -- группа, а $\phi$ --действие $K$ на группе $L$ автоморфизмами. {\бф \блуе Скрещенное произведение} $L\rtimes_\phi K$ есть $L\times K$ с произведением, заданным формулой \[ (l,k)(l',k')=(ll', \phi_{l'}(k)k'). \] \упражнение Рассмотрим точную последовательность групп \[ \{e\} \arrow G_0 \arrow G \arrow \Z \arrow \{e\}. \] {\bf \blue Докажите, что $G = G_0\rtimes_\phi \Z$.} \упражнение Пусть $G_0=\Z^m$ -- абелева группа без кручения, $\phi$ -- действие $\Z$ на $G_0$, а $G= G_0\rtimes_\phi \Z$. Докажите, что {\bf \purple $G$ нильпотентна тогда и только тогда, когда матрица, $A:=\phi(1)\in GL(m,\Z)$ имеет конечный порядок,} т.е. удовлетворяет $A^N=\Id$. \упражнение В условиях предыдущей задачи, докажите, что $G$ имеет полиномиальный рост, если $A$ конечного порядка, и экспоненциальный рост, если бесконечного. \невпаге {\bf \blue Редукция теоремы Громова к существованию представлений} \упражнение (*) Пусть $G= G_0\rtimes_\phi \Z$, где $G_0$ нильпотентна. Докажите, что {\бф \ред $G$ имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда она виртуально нильпотентна.} \замечание Предположим, что всякая группа полиномиального роста допускает сюрьективное отображение в $\Z$. Пользуясь утверждением со слайда выше и индукцией по степени роста в теореме Громова, мы можем считать, что $G_0$ -- виртуально нильпотентна, а $G = G_0\rtimes_\phi \Z$. {\бф \пурпле Применив предыдущее упражнение, мы получим, что $G$ также виртуально нильпотентна.} {\бф \ред Мы свели теорему Громова к следующему утверждению.} \теорема {\бф \блуе Любая группа полиномиального роста допускает сюрьективый гомоморфизм в $\Z$.} Именно это и доказывает Клейнер. \невпаге {\bf \blue Аменабельные группы (повторение)} {\small Для любого множества $S$, обозначим за $2^S$ {\бф \пурпле множество его подмножеств.} Обозначим за $A \coprod B$ {\бф \пурпле объединение непересекающихся подмножеств $S$.}} \определение Функция $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе конечно\--ад\-ди\-тив\-ной мерой}, если верно свойство {\bf\блуе конечной аддитивности}: $\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. \определение Пусть $G$ -- группа, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ -- отображение {\бф \блуе левого сдвига}, переводящее $x$ в $gx$. Функция $2^G \stackrel \mu \arrow \R$ называется {\бф \блуе левоинвариантной}, если $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ для любого $A \subset G$. \определение Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если $\mu(S)=1$. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе аменабельной}, если существует конечно-аддитивная левоинвариантная вероятностная мера $\mu:\; 2^G \arrow \R^{\geq 0}$. \теорема {\бф \ред Любая группа полиномиального роста аменабельна.} \newpage {\bf \blue Множества Фёлнера (повторение)} Обозначим число элементов конечного множества за $|A|$. \определение Пусть $A, B\subset S$ -- множества. {\бф \блуе симметрическая разность} $A$ и $B$ -- это $A \triangle B:= (A \cup B)\backslash (A \cap B)$. \определение Пусть $G$ -- группа, а $F_n \subset G$ -- последовательность подмножеств. $\{F_n\}$ называется {\бф \блуе последовательностью Фёльнера} (F\o lner sequence), если для каждого $g\in G$, $\lim_n \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}=0$. \теорема Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера. {\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. } {\ит \small Erling F\o lner, 18.11.1919-10.10.1991, dansk matematiker, professor ved Dan\-marks Tekniske H\o jskole 1954-74. F\o lner publicerede sammen med Harald Bohr en omfattende unders\o gelse af generaliserede n\ae sten-periodiske funktioner, som han i sin doktorafhandling fulgte op med yderligere unders\o gelser. Senere har han publiceret vigtige resultater om n\ae sten-periodiske funktioner p\aa\ grupper med anvendelser p\aa\ gruppeteori. } \newpage {\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста} Пусть $G$ -- группа полиномиального роста, снабженная набором образующих и соответствующей метрикой. {\бф \блуе Обозначим шар радиуса $r$ с центром в $g$ за $B_g(r)$.} Мы докажем, что на группе полиномиального роста {\bf \red для подходящей последовательности $N_i \arrow \infty$ шары $\{B_e(N_i))\}$ образуют последовательность Фёльнера.} {\бф \греен Доказательство аменабельности групп полиномиального роста.\\ Шаг 1:} Левый перенос шара дает $L_g(B_e(N))= B_g(N)\subset B_e(|g|+N)$, где $|g|:= d(g, e)$ (здесь используется неравенство треугольника). {\бф \греен Шаг 2:} \[ B_e(N)\backslash L_g(B_e(N))\subset B_e(|g|+N)\backslash B_e(N).\] Следовательно, \[ |B_e(N)\triangle gB_e(N)| \leq 2\bigg (|B_e(|g|+N)| - |B_e(N)|\bigg). \] \newpage {\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $b(N):= |B_e(N)|$. Если для каждого $k$ имеет место \[ \lim_{N\arrow \infty} \frac{b(N+k)-b(N)}{b(N)}=0 \] то \[ \frac{|B_e(N)\triangle gB_e(N)|}{|B_e(N)|} \leq 2 \frac{b(N+|g|)-b(N)}{b(N)} \] {\бф \пурпле стремится к нулю, то есть $B_e(N)$ -- множества Фёльнера.} Это имеет место, например, если $b(N)$ -- полином. {\бф \греен Шаг 4:} Для заданных $\epsilon >0, k\in {\Bbb N}$, рассмотрим множество $N(\epsilon, k)$ таких $N\in {\Bbb N}$, что $\frac{b(N+k)-b(N)}{b(N)}<\epsilon$. Легко видеть, что $N(\epsilon, k)$ монотонно зависят от $k$ и $\epsilon$: \[ N(\epsilon, k)\supset N(\epsilon, k+1), N(\epsilon+\delta, k)\supset N(\epsilon, k) \] для любого $\delta \geq 0$. Если $n \notin N(\epsilon, k)$, то $\frac{b(N+k)}{b(N)}> 1+ \epsilon$. Коль скоро $b(N)$ растет полиномиально, {\бф \ред множество $N(\epsilon, k)$ бесконечно для любого $\epsilon, k$.} \newpage {\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста (окончание)} {\бф \греен Шаг 5:} Возьмем последовательность $\{N_i\}$ такую, что \[ N_i \in N\left(\frac 1 i, i\right)\subset N\left(\frac 1 {i+1}, i+1\right) \subset ... \] Тогда $F_n:= B_e(N_i)$ -- последовательность Фёльнера, так как $\forall g$ с $|g|q\geq 2$, $SO(3,3, \Z)$, $Sp(n, \Z)$, $F_4(\Z)$, $Sp(n, 1, \Z)$, $n\geq 2$. {\бф \греен Свойства групп Каждана:} 1. Группы Каждана конечно порождены. 2. Фактор группы Каждана по ее коммутанту конечен. 3. Любая нормальная подгруппа группы Каждана $G$ имеет конечный индекс, или лежит в центре $G$ и конечна. \невпаге {\бф \блуе Гармонические функции на графах} \замечание Все графы предполагаются не имеющими изолированных вершин. Любое ребро графа канонически отождествлено с отрезком $[0,1]$. \определение Пусть $\Gamma$ -- граф, а $f:\; \Gamma \arrow \R$ -- функция на его топологическом пространстве. {\бф \блуе Гармоническая функция} на графе есть функция, линейная на ребрах, такая, что для любой вершины $v$, имеем $\sum_\gamma \frac{d}{dx}f\restrict \gamma=0$, где сумма берется по ребрам, примыкающим к $v$. Это условие утверждает, что сумма производных $f$ по всем ребрам, примыкающим к $v$, равна нулю. \замечание Иначе говоря, {\бф \пурпле производные $f$ по всем ребрам графа удовлетворяют закону токов Кирхгофа.} \определение Функция $f$ на графе $\Gamma$ называется {\бф \блуе функцией полиномиального роста} степени $\leq d$, если для какой-то точки $c\in \Gamma$ и $C>0$, для всех шаров $B_c(R)$ с центром в $c$ имеем $\sup_{B_c(R)} |f| \leq C R^d$. \теорема {\бф \блуе (Теорема Клейнера)} Пусть $G$ -- группа полиномиального роста, а $\Gamma$ ее граф Кэли. Обозначим за $V_d$ пространство гармонических функций полиномиального роста степени $\leq d$ на $\Gamma$. {\бф\ред Тогда $V_d$ конечномерно.} \невпаге {\бф \блуе Гармоничность и функционал энергии.} \замечание Аналогичным образом определяется {\бф \блуе гармоническое отображение в векторное пространство.} \определение Пусть $G$ -- счетная группа, которая действует изометриями на гильбертовом пространстве $H$. Определим {\бф \блуе энергию} точки $v\in H$ формулой $E(v):= \sum_{g\in G}\|v-g(v)\|^2$. \теорема (Кореваар-Шоен, Мок) Пусть $G$ -- группа полиномиального роста, которая действует изометриями на гильбертовом пространстве $H$, с конечной энергией. {\бф \ред Тогда у энергии $E$ найдется локальный минимум на $H$.} \замечание Пусть $v$ -- минимум энергии действия $G$ на $H$. Рассмотрим вложение графа Кэли $\Gamma_G$ в $H$, переводящее вершины $g$ в $g(v)$, а ребра в прямолинейные отрезки. {\бф \ред Тогда это отображение гармонично.} \невпаге {\бф \блуе Схема доказательства Клейнера теоремы Громова.} \утверждение Пусть группа $G$ аменабельна. {\бф \ред Тогда она не обладает свойством (Т).} \следствие {\бф \пурпле Существует действие $G$ на гильбертовом пространстве $H$, с конечной энергией.} \следствие Существует {\бф \пурпле гармоническое, $G$-эквивариантное отображение} $\xi:\; \Gamma_G\arrow H$. {\бф \греен Шаг 1:} Поскольку $\xi$ $G$-эквивариантно, оно {\бф \пурпле липшицево.} {\бф \греен Шаг 2:} По теореме Клейнера, пространство гармонических липшицевых функций на $\Gamma_G$ конечномерно. Значит, {\бф \ред образ $\Gamma_G$ сидит в конечномерном подпространстве $H$.} {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Мы получили представление $G$ в группе $A$ аффинных изометрий $\R^n$.} \невпаге {\бф \блуе Схема доказательства Клейнера теоремы Громова (продолжение).} \теорема {\бф \блуе "Альтернатива Титса"}\\ Пусть $\Gamma\subset A$ -- конечно-порожденная подгруппа группы Ли. Тогда {\бф \блуе $\Gamma$ виртуально разрешима, либо содержит свободную группу ${\Bbb F}_2$.} {\бф \греен Шаг 4:} Образ $G$ в $A$ бесконечен и разрешим, значит, {\бф \пурпле фактор этого образа по коммутанту -- бесконечная коммутативная группа.} {\бф \греен Шаг 5:} Применяя классификацию коммутативных групп, получаем сюрьективный гомоморфизм $G\arrow \Z$. {\бф \ред Это и нужно для доказательства теоремы Громова.} \end{document}