
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Аменабельные группы, лекция 3 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Аменабельные группы \\[15mm]
\small лекция 3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[10mm] \tiny 
6 августа 2011
\\[20mm]

{\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm]
1 - 7 августа, 2011, ЯГПУ, Ярославль, Россия

}
\end{center}

\newpage



{\bf \blue Литература}

{\small 
{\бф \греен Аменабельность:}

* http://terrytao.wordpress.com/2008/02/14/kleiners-proof-of-gromovs-theorem/\\
* http://terrytao.wordpress.com/2009/04/14/some-notes-on-amenability/

{\бф \греен Геометрическая теория групп: }

* Wolfgang Lueck, ``Survey on geometric group theory'',\\
http://arxiv.org/abs/0806.3771 \\
* Wolfgang Lueck, ``On the Farrell-Jones and related Conjectures'',\\
http://arxiv.org/abs/0710.2269

{\бф \греен Свойство Каждана Т}

* Bekka, de la Harpe, Valette,  (2008), 
Kazhdan's property (T)\\
http://perso.univ-rennes1.fr/bachir.bekka/KazhdanTotal.pdf

{\бф \греен Метрическая геометрия:}

* Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. "Курс метрической геометрии"\\
* Громов М. "Гиперболические группы" 

{\бф \греен Риманова геометрия:}

* Громов, ``Знак и геометрический смысл кривизны''\\
* Милнор, "Теория Морса" \\
* Бессе А. Многообразия Эйнштейна \\
* Gallot S., Hulin D., Lafontaine J. Riemannian geometry
}


\newpage

{\bf \blue Граф Кэли (повторение)}

{\бф \ред Все группы лекции предполагаются по умолчанию
конечно порожденными}.

\определение
{\бф \блуе Набор образующих} группы $G$ есть 
множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$.
{\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что
$s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.}

\определение
Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих.
{\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины
которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида
$g$ и $gs_i$.

\пример
Граф Кэли для $\Z^n$ с обычным набором образующих 
есть кубическая решетка.
\begin{center}
\epsfig{file=recipr5.png,width=0.25\linewidth}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Метрика слов на группе}


\определение
С каждым графом связано
{\бф \блуе топологическое
пространство графа}: набор отрезков, соединяющих набор 
отмеченных точек -- вершин. {\бф \блуе Оно снабжено метрикой,}
таким образом, что каждое ребро изометрично отрезку длины 1, 
и {\бф \ред расстояние
между точками $a,b$ -- длина кратчайшего пути из $a$ в $b$.}

\определение
{\бф \блуе Метрика слов на группе} $d_S(\cdot, \cdot)$ есть метрика
на группе $G$ с системой образующих $S$, полученная ограничением
обычной метрики на графе Кэли.

\замечание
Обозначим за 
$|x|_S$ расстояние $d_S(e,x)$. Тогда
{\бф \блуе $|x|_S$ есть минимальная длина слова $W$,
составленного из букв $s_i\in S$ такого, что 
произведение всех букв $W$ составляет $x$.}

\newpage

{\bf \blue Группы полиномиального и экспоненциального роста (повторение)}

Пусть $G, S$ -- группа с заданной системой образующих,
а $\Gamma_S$ -- ее граф Кэли. {\бф \ред Обозначим за $b_s(N)$}
число вершин графа в шаре радиуса $N$ с центром в $e$.

\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе группой полиномиального роста степени
$\leq d$,} если $b_s(N) \leq C N^d+C'$ для каких-то констант $C,C'$.


\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе группой экспоненциального роста}, 
если $b_s(N) \geq \alpha^N$ для какой-то константы $\alpha >0$.


\пример
$\Z^n$ -- группа полиномиального роста.

\пример
${\Bbb F}_n$, $n \geq 2$ -- группа экспоненциального роста.


\невпаге

{\bf \blue Теорема Громова}

\определение 
{\бф \блуе Нижний центральный ряд} группы $G$ есть
ряд вида
\[
G_0=G \supset G_1= [G,G]\supset G_2 =[G,[G,G]]
\supset G_3=[G,[G,[G,G]]]\supset ... 
\]

\определение {\бф \блуе Нильпотентная группа} 
есть группа, нижний центральный ряд которой
конечен и обрывается на $G_n=\{e\}$.

\определение
Группа называется {\бф \блуе виртуально нильпотентной},
если она содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса.

{\бф \греен Теорема Громова:}
{\бф \ред Любая группа полиномиального роста 
виртуально нильпотентна.}

Я расскажу схему доказательства теоремы Громова, принадлежащую
Брюсу Клейнеру:

{\смалл \бф
Bruce Kleiner, 
\itshape A new proof of Gromov's theorem on groups of polynomial growth,\\
\tt http://arxiv.org/abs/0710.4593
}

\невпаге

{\bf \blue Группа, проектирующаяся на $\Z$, и ее порядок роста}

{\бф \греен Утверждение 1:}
Предположим, что задано сюрьективное
отображение $\phi:\; G \arrow \Z$, а $G$ -- группа полиномиального
роста степени $d$. Тогда $G_0:=\ker \phi$ -- {\бф \red 
группа полиномиального роста,
степени $\leq d-1$.}

\доказательство
Выберем какой-то набор элементов $S_0\subset G_0$, и пусть $g\in G$ проектируется
в образующую $\Z$.  Обозначим за $B_e(R,S_0)$ 
$R$-шар в подгруппе, порожденной $S_0$, а за 
$B_e(R,S_0\cup \{g\})$ -- аналогичный шар, порожденный
$S_0\cup \{g\}$.

{\бф \греен Шаг 1:} 
\[ 
  B_e(2N,S_0\cup \{g\})\supset B_e(N,S_0)\cdot \{g^{-N}, g^{-N+1}, ... g^N\}.
\]

{\бф \греен Шаг 2:}
Множество $B_e(N,S_0)\cdot \{g^{-N}, g^{-N+1}, ... g^N\}\subset G$
{\бф \пурпле содержит $\geq 2N|B_e(N,S_0)|$ элементов.}

{\бф \греен Шаг 3:} Если $|B(N,S_0)|> C N^d$, то
\[
  |B(2N,S_0)\cup \{g\}|> C 2N^{d+1}= \frac C {2^n}(2N)^{d+1}.
\]
Значит, {\бф \пурпле группа, порожденная $S_0$ и $\{g\}$,
имеет показатель степени роста на $\geq 1$ больше, чем степень
роста группы, порожденной $S_0$.}
\ендпрооф

\невпаге

{\bf \blue Скрещенное произведение}

\определение
Пусть $K$ -- группа, а $\phi$ --действие $K$ на группе $L$ автоморфизмами.
{\бф \блуе Скрещенное произведение} $L\rtimes_\phi K$
есть $L\times K$ с произведением, заданным формулой
\[
(l,k)(l',k')=(ll', \phi_{l'}(k)k').
\]

\упражнение
Рассмотрим точную последовательность групп
\[
\{e\} \arrow G_0 \arrow G \arrow \Z \arrow \{e\}.
\]
{\bf \blue Докажите, что $G = G_0\rtimes_\phi \Z$.}

\упражнение
Пусть $G_0=\Z^m$ -- абелева группа без кручения, $\phi$ -- действие
$\Z$ на $G_0$, а $G= G_0\rtimes_\phi \Z$. Докажите, что
{\bf \purple $G$ нильпотентна тогда и только тогда, когда матрица,
$A:=\phi(1)\in GL(m,\Z)$ имеет конечный порядок,}
т.е. удовлетворяет $A^N=\Id$.

\упражнение
В условиях предыдущей задачи, докажите, что
$G$ имеет полиномиальный рост, если $A$ конечного
порядка, и экспоненциальный рост, если бесконечного.

\невпаге

{\bf \blue Редукция теоремы Громова к существованию представлений}


\упражнение (*)
Пусть $G= G_0\rtimes_\phi \Z$, где $G_0$ нильпотентна.
Докажите, что {\бф \ред $G$ имеет полиномиальный рост тогда
и только тогда, когда она виртуально нильпотентна.}
 
\замечание
Предположим, что всякая группа полиномиального роста
допускает сюрьективное отображение в $\Z$.
Пользуясь утверждением со слайда выше и индукцией по степени роста
в теореме Громова, мы можем считать,
что $G_0$ -- виртуально нильпотентна, а $G = G_0\rtimes_\phi \Z$.
{\бф \пурпле Применив предыдущее упражнение, мы получим, что 
$G$ также виртуально нильпотентна.}

{\бф \ред  Мы свели теорему Громова к следующему утверждению.}


\теорема
{\бф \блуе Любая группа полиномиального роста 
допускает сюрьективый гомоморфизм в $\Z$.}

Именно это и доказывает Клейнер.

\невпаге

{\bf \blue Аменабельные группы (повторение)}


{\small Для любого множества $S$, обозначим за $2^S$ {\бф \пурпле
множество его подмножеств.}
Обозначим за $A \coprod B$ {\бф \пурпле
объединение непересекающихся подмножеств $S$.}}

\определение
Функция $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе конечно\--ад\-ди\-тив\-ной мерой},
если верно свойство {\bf\блуе конечной аддитивности}:
$\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. 

\определение
Пусть $G$ -- группа, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ --
отображение {\бф \блуе левого сдвига}, переводящее $x$ в $gx$.
Функция  $2^G \stackrel \mu 
\arrow \R$ называется {\бф \блуе левоинвариантной}, 
если $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ для любого $A \subset G$.

\определение
Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если
$\mu(S)=1$.

\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе аменабельной}, если
существует конечно-аддитивная левоинвариантная вероятностная мера
$\mu:\; 2^G \arrow \R^{\geq 0}$.

\теорема
{\бф \ред Любая группа полиномиального роста аменабельна.}

\newpage


{\bf \blue Множества Фёлнера (повторение)}

Обозначим число элементов конечного множества за $|A|$.

\определение
Пусть $A, B\subset S$ -- множества. {\бф \блуе симметрическая разность}
$A$ и $B$ -- это $A \triangle B:= (A \cup B)\backslash (A \cap B)$.

\определение
Пусть $G$ -- группа, а $F_n \subset G$ -- последовательность подмножеств.
$\{F_n\}$ называется {\бф \блуе последовательностью Фёльнера}
(F\o lner sequence), если для каждого $g\in G$, 
$\lim_n \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}=0$.

\теорема
Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера.
{\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. } 

{\ит \small Erling F\o lner, 18.11.1919-10.10.1991, dansk
matematiker, professor ved Dan\-marks Tekniske H\o jskole
1954-74. F\o lner publicerede sammen med Harald Bohr en
omfattende unders\o gelse af generaliserede n\ae
sten-periodiske funktioner, som han i sin doktorafhandling
fulgte op med yderligere unders\o gelser. Senere har han
publiceret vigtige resultater om n\ae sten-periodiske
funktioner p\aa\ grupper med anvendelser p\aa\
gruppeteori.
}


\newpage

{\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста}

Пусть $G$ -- группа полиномиального роста, снабженная
набором образующих и соответствующей метрикой. 
{\бф \блуе Обозначим шар радиуса $r$ с центром в $g$ за $B_g(r)$.}

Мы докажем, что на группе полиномиального роста
{\bf \red для подходящей последовательности $N_i \arrow \infty$
шары $\{B_e(N_i))\}$ образуют последовательность Фёльнера.}

{\бф \греен Доказательство аменабельности групп полиномиального роста.\\
Шаг 1:} Левый перенос шара дает $L_g(B_e(N))= B_g(N)\subset B_e(|g|+N)$,
где $|g|:= d(g, e)$ (здесь используется неравенство треугольника).

{\бф \греен Шаг 2:} 
\[ B_e(N)\backslash L_g(B_e(N))\subset  B_e(|g|+N)\backslash B_e(N).\]
Следовательно, 
\[
|B_e(N)\triangle gB_e(N)| \leq 2\bigg (|B_e(|g|+N)| - |B_e(N)|\bigg).
\]

\newpage

{\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $b(N):= |B_e(N)|$.
Если для каждого $k$ имеет место 
\[
\lim_{N\arrow \infty} \frac{b(N+k)-b(N)}{b(N)}=0
\] 
то 
\[
  \frac{|B_e(N)\triangle gB_e(N)|}{|B_e(N)|}
\leq 2 \frac{b(N+|g|)-b(N)}{b(N)}
\]
{\бф \пурпле
стремится к нулю, то есть $B_e(N)$ -- множества Фёльнера.}
Это имеет место, например, если $b(N)$ -- полином.

{\бф \греен Шаг 4:}
Для заданных $\epsilon >0, k\in {\Bbb N}$, рассмотрим множество
$N(\epsilon, k)$ таких $N\in {\Bbb N}$, что 
$\frac{b(N+k)-b(N)}{b(N)}<\epsilon$. Легко видеть, что
$N(\epsilon, k)$ монотонно зависят от $k$ и $\epsilon$:
\[ N(\epsilon, k)\supset N(\epsilon, k+1),
N(\epsilon+\delta, k)\supset N(\epsilon, k)
\]
для любого $\delta \geq 0$.

Если $n \notin N(\epsilon, k)$, то
$\frac{b(N+k)}{b(N)}> 1+ \epsilon$. Коль скоро
$b(N)$ растет полиномиально, {\бф \ред множество $N(\epsilon, k)$
бесконечно для любого $\epsilon, k$.}

\newpage

{\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста (окончание)}

{\бф \греен Шаг 5:} Возьмем последовательность $\{N_i\}$
такую, что 
\[ N_i \in N\left(\frac 1 i, i\right)\subset N\left(\frac 1 {i+1}, i+1\right)
\subset ...
\] Тогда $F_n:= B_e(N_i)$ -- последовательность
Фёльнера, так как $\forall g$ с $|g|<m$,  и любого 
$N_i\in N(\frac 1 m, m)$, имеет место неравенство
\[\frac{|B_e(N_i)\triangle gB_e(N_i)|}{|B_e(N_i)|}
\leq 2 \frac{b(N_i+|g|)-b(N_i)}{b(N_i)} \leq 2\frac{b(N_i+m)-b(N_i)}{b(N_i)}< 
\frac 2 m.
\]
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Свойство (T) Каждана}

\определение
{\бф \блуе Гильбертов базис} в эрмитовом векторном
пространстве $H$ есть минимальный набор векторов,
такой, что их линейные комбинации плотны в $H$.

\определение
{\бф \блуе Гильбертово пространство} $H$ есть полное
бесконечномерное эрмитово пространство,
снабженное счетным гильбертовым базисом.

\упражнение Докажите, что {\бф \пурпле все гильбертовы
пространства изоморфны} как эрмитовы векторные пространства.

\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе группой Каждана},
если выполнено {\бф \блуе свойство (Т)}:

(Т) Для любого изометрического действия $G$ на
гильбертовом пространстве $H$, {\бф \ред $G$ сохраняет какую-то
фиксированную точку $h\in H$.}


\замечание Изначально Каждан определял (Т) иначе,
а это определение принадлежит Серру; его равносильность
определению Каждана называется Delorme-Guichardet Theorem.

\невпаге

{\бф \блуе Д. А. Каждан}


\begin{center}
\epsfig{file=David_Kazhdan.jpg,width=0.37\linewidth}\\
David Kazhdan \\
(р. 20 июня 1946)
\end{center}

{\small \bf
David Kazhdan,  {\itshape "On the connection of the dual space of a
group with the structure of its closed subgroups",}
Functional analysis and its applications 1 (1): 63-65, (1967).
}


\невпаге

{\бф \блуе Свойство (T) Каждана (продолжение)}

\упражнение
Пусть $s$ есть изометрия $H$. Докажите, что $s$ аффинно.


{\бф \греен Тривиальный пример:} $\Z$ действует на
$H$ сдвигами на вектор $v$, очевидно, без неподвижных
точек. 

\следствие Абелева группа $\Z^n$ 
не обладает свойством (Т).

{\бф \греен Еще примеры:} 
$SL(n,\Z)$ для $n\geq 3$, $SO(p, q,\Z)$, $p>q\geq 2$, 
$SO(3,3, \Z)$, $Sp(n, \Z)$, $F_4(\Z)$, $Sp(n, 1, \Z)$, $n\geq 2$.

{\бф \греен Свойства групп Каждана:}

1. Группы Каждана конечно порождены.

2. Фактор группы Каждана по ее коммутанту конечен.

3. Любая нормальная подгруппа группы Каждана $G$
имеет конечный индекс, или лежит в центре $G$ и конечна.


\невпаге

{\бф \блуе Гармонические функции на графах}

\замечание
Все графы
предполагаются не имеющими изолированных вершин.
Любое ребро графа канонически
отождествлено с отрезком $[0,1]$. 

\определение
Пусть $\Gamma$ -- граф,
а $f:\; \Gamma \arrow \R$ -- функция на его топологическом
пространстве. {\бф \блуе Гармоническая функция} на графе
есть функция, линейная на ребрах, такая, что
для любой вершины $v$, имеем
$\sum_\gamma \frac{d}{dx}f\restrict \gamma=0$,
где сумма берется по ребрам, примыкающим к $v$.
Это условие утверждает, что сумма производных $f$
по всем ребрам, примыкающим к $v$, равна нулю.

\замечание
Иначе говоря, {\бф \пурпле производные $f$ по всем ребрам графа
удовлетворяют закону токов Кирхгофа.}

\определение
Функция $f$ на графе $\Gamma$ называется
{\бф \блуе функцией полиномиального роста} степени $\leq d$,
если для какой-то точки $c\in \Gamma$ и $C>0$, для всех
шаров $B_c(R)$ с центром в $c$ имеем 
$\sup_{B_c(R)} |f| \leq C R^d$.

\теорема
{\бф \блуе (Теорема Клейнера)}
Пусть $G$ -- группа полиномиального роста, а $\Gamma$ ее
граф Кэли.
Обозначим за $V_d$ пространство гармонических функций 
полиномиального роста степени $\leq d$ на $\Gamma$.
{\бф\ред Тогда $V_d$ конечномерно.}

\невпаге

{\бф \блуе Гармоничность и функционал энергии.}


\замечание
Аналогичным образом определяется {\бф \блуе гармоническое
отображение в векторное пространство.}


\определение
Пусть $G$ -- счетная группа, которая
действует изометриями на гильбертовом
пространстве $H$. Определим {\бф \блуе энергию}
точки $v\in H$ формулой $E(v):= \sum_{g\in G}\|v-g(v)\|^2$.


\теорема
(Кореваар-Шоен, Мок)
Пусть $G$ -- группа полиномиального роста, которая
действует изометриями на гильбертовом
пространстве $H$, с конечной энергией. 
{\бф \ред Тогда у энергии $E$ найдется локальный минимум
на $H$.}

\замечание
Пусть $v$ -- минимум энергии действия $G$ на $H$.
Рассмотрим вложение графа Кэли $\Gamma_G$ в $H$, переводящее
вершины $g$ в $g(v)$, а ребра в прямолинейные отрезки.
{\бф \ред Тогда это отображение гармонично.}


\невпаге

{\бф \блуе Схема доказательства Клейнера теоремы Громова.}

\утверждение
Пусть группа $G$ аменабельна. {\бф \ред Тогда она не обладает
свойством (Т).} 

\следствие
{\бф \пурпле Существует действие $G$ на гильбертовом пространстве $H$,
с конечной энергией.}

\следствие 
Существует {\бф \пурпле гармоническое, $G$-эквивариантное отображение}
 $\xi:\; \Gamma_G\arrow H$.

{\бф \греен Шаг 1:}
Поскольку $\xi$ $G$-эквивариантно, оно {\бф \пурпле липшицево.}

{\бф \греен Шаг 2:} По теореме Клейнера, пространство
гармонических липшицевых функций на $\Gamma_G$
конечномерно. Значит, {\бф \ред образ $\Gamma_G$ сидит в
конечномерном подпространстве $H$.}

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Мы получили представление $G$ в группе
$A$ аффинных изометрий $\R^n$.}

\невпаге

{\бф \блуе Схема доказательства Клейнера теоремы Громова (продолжение).}

\теорема {\бф \блуе "Альтернатива Титса"}\\
Пусть $\Gamma\subset A$ -- конечно-порожденная
подгруппа группы Ли. Тогда {\бф \блуе $\Gamma$ виртуально разрешима, 
либо содержит свободную группу ${\Bbb F}_2$.}

{\бф \греен Шаг 4:} Образ $G$ в $A$ бесконечен и разрешим,
значит, {\бф \пурпле фактор этого образа по коммутанту -- бесконечная
коммутативная группа.}

{\бф \греен Шаг 5:} Применяя классификацию коммутативных
групп, получаем сюрьективный гомоморфизм $G\arrow \Z$.
{\бф \ред Это и нужно для доказательства теоремы Громова.}


\end{document}
