\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Аменабельные группы, лекция 2 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Аменабельные группы \\[15mm] \small лекция 2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 3 августа 2011 \\[20mm] {\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm] 1 - 7 августа, 2011, ЯГПУ, Ярославль, Россия } \end{center} \newpage {\bf \blue Метрические пространства} {\bf \blue Определение:} Пусть $M$ - множество. {\bf \green Метрикой} на $M$ называется функция $d:\; M\times M\arrow \R^{\geq 0}$, удовлетворяющая следующим условиям \begin{description} \item[\red Невырожденность:]\ \ $d(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$. \item[\red Симметричность:]\ \ $d(x,y)=d(y,x)$ \item[\red Неравенство треугольника:]\ \ $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$ \end{description} для любых точек $x,y,z\in M$. {\bf \green Метрика - математическая абстракция, отвечающая интуитивному представлению о <<расстоянии>>} \newpage {\blue\bf Последовательности Коши} {\green \bf Определение:} Пусть $x\in M$ точка в метрическом пространстве. Открытый {\bf \blue $\epsilon$-шар} $B_\epsilon(x)$ в с центром в $x$ - множество всех точек, отстоящих от $x$ меньше, чем на $\epsilon$: \[ B_\epsilon(x)= \{ y\in M\ \ | \ \ d(x,y) < \epsilon\} \] {\green \bf Определение:} Пусть $M$ - метрическое пространство. Последовательность $\{\alpha_i\}$ точек из $M$ называется {\bf \blue последовательностью Коши}, если для каждого $\epsilon>0$, все элементы последовательности $\{\alpha_i\}$, кроме конечного числа, содержатся в некотором $\epsilon$-шаре. {\bf \red Не путать со сходимостью!} {\purple Все сходящиеся последовательности - последовательности Коши, но не все последовательности Коши сходятся.} {\green \bf Определение:} Пусть $M$ - метрическое пространство. Последовательность $\{\alpha_i\}$ точек из $M$ {\bf \blue сходится к $x\in M$}, если в любом $\epsilon$-шаре $B_\epsilon(x)$ содержатся все члены $\{\alpha_i\}$, кроме конечного числа. В этом случае также говорят, что $x$ - это {\bf \blue предел} последовательности $\{\alpha_i\}$. Метрическое пространство $M$ называется {\bf \blue полным}, если у любой последовательности Коши есть предел. \newpage {\bf \blue Расстояние Хаусдорфа} {\bf \green Определение:} Подмножество $Z\subset M$ называется {\bf\blue ограниченным}, если оно содержится в шаре $B_C(x)$. {\bf \green Определение:} {\bf\blue $\epsilon$-окрестность} $Z\subset M$ - объединение всех $B_\epsilon(x)$, для $x\in Z$. Обозначим ее за $Z(\epsilon)$. {\bf \green Определение:} Пусть $Z_1, Z_2$ - замкнутые, ограниченные подмножества $M$. Определим {\bf \blue расстояние Хаусдорфа} $d_H(Z_1, Z_2)$ как инфимум всех $\epsilon$ таких, что $Z_1\subset Z_2(\epsilon)$, $Z_2\subset Z_1(\epsilon)$ {\bf \green Утверждение:} {\bf \red $d_H$ задает метрику на множестве замкнутых, ограниченных подмножеств.} \newpage {\bf \blue Компактность} \определение Метрическое пространство $M$ называется {\бф \блуе компактным}, если любое из следующих равносильных условий выполнено. 1. Из каждого открытого покрытия $M$ можно выбрать конечное подпокрытие. 2. Любая система вложенных замкнутых подмножеств $M$ имеет общую точку. 3. Любая последовательность точек в $M$ имеет предельную точку. 4. Любая ограниченная непрерывная функция $f:\; M \arrow \R$ достигает максимума в какой-то точке $M$. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле эти условия равносильны для метрических пространств,} а (1) и (2) -- для топологических пространств. Придумайте контрпримеры к равносильности 2, 3, 4 для топологических пространств. \упражнение Пусть $M$ -- компакт. Докажите, что {\бф \ред множество компактных подмножеств $M$ компактно в метрике $d_H$.} \newpage {\bf \blue Расстояние Громова-Хаусдорфа} \определение Отображение, сохраняющее расстояния, называется {\бф \блуе изометрическим}. \определение {\бф \блуе Диаметр} метрического пространства $M$ есть \[ \sup_{x,y\in M}d(x,y).\] \упражнение Пусть $X$, $Y$ -- метрические пространства диаметра $d$. Докажите, что существует метрическое пространство $M$ диаметра $\leq 3d$, {\бф \пурпле снабженное изометрическими вложениями $X \hookrightarrow M$, $Y \hookrightarrow M$.} \определение {\bf \blue Расстояние Громова-Хаусдорфа} $d_{GH}(X,Y)$ определяется как $\inf_M (d_H(X,Y))$, где инфимум берется по всем $M$ и всем изометрическим вложениям $X \hookrightarrow M$, $Y \hookrightarrow M$. \упражнение Докажите, что {\бф \ред $d_{GH}$ задает метрику} на "множестве" всех компактных метрических пространств. \упражнение Пусть $X, Y$ -- полные, локально компактные метрические пространства, такие, что $d_{GH}(X,Y)=0$. {\бф \пурпле Докажите, что $X$ и $Y$ изометричны.} \newpage \определение {\бф \блуе Громовский предел} семейства метрических пространств $\{M_i\}$ есть метрическое пространство, полученное как предел $\{M_i\}$ в метрике Громова-Хаусдорфа. \begin{center} \epsfig{file=Gromov.jpg,width=0.37\linewidth}\\ Михаил Громов \\ (р. 23 декабря 1943) \end{center} \newpage {\bf \blue Асимптотический конус} \определение Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство. {\бф \блуе Асимптотический конус} $M$ есть громовский предел пространств $(M, a_i d)$, где $a_i \in \R$, а $\lim a_i=0$. \замечание Он {\бф \ред определен неоднозначно,} у некоторых пространств есть несчетное количество конусов. \утверждение Пусть $d_{GH}(X,Y)< \infty$. Тогда любой асимптотический конус $X$ {\бф \ред изометричен какому-то асимптотическому конусу $Y$.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}\\ Если $d_{GH}((X,d_X),(Y,d_Y)) = C$, то $d((X,a d_X),(Y,a d_Y)) = aC$. {\бф \греен Шаг 2:} Если $(X,a_id_X)$ -- последовательность Коши в $d_{GH}$, а $\lim a_i =0$, то $(Y,a_id_Y)$ -- тоже последовательность Коши, причем \[ \lim_i d_{GH}((X,a_i d_X),(Y,a_id_Y)) =\lim a_iC =0,\] то есть {\бф \пурпле эти последовательности эквивалентны.} \ендпрооф \newpage {\blue \bf Асимптотический конус (примеры)} {\бф \греен\ем Асимптотический конус $M$ есть то, каким образом $M$ выглядит с <<очень большого>> расстояния} \пример $d_{GH}(\frac 1 N \Z^n, \R^n)< \frac 1 n$, значит, $\R^n= \lim_N \frac 1 N \Z^n$. Мы получили, что {\бф \пурпле асимптотический конус $\Z^n$ есть $\R^n$.} \пример Асимптотический конус гиперболического пространства есть дерево, от {\бф \ред каждой точки} которого отходит несчетное множество веток. \begin{center} \epsfig{file=reallybushy.png,width=0.42\linewidth}\\ \end{center} \newpage {\blue \bf Липшицевы отображения} {\bf \green Определение:} Пусть $(M_1, d_1)$ и $(M_2, d_2)$ - метрические пространства, а $C>0$ - вещественное число. Отображение $f:\; M_1 \arrow M_2$ называется {\bf \blue $C$-липшицевым} если для любых $x, y\in M_1$, \[ d_2(f(x),f(y)) \leq C d_1 (x, y). \] {\bf \green Липшицевы отображения непрерывны.} \упражнение Докажите, что расстояние $d_z(x) := d(z,x)$ до фиксированной точки $z\in M$ -- {\бф \ред 1-липшицева функция из $M$ в $\R$.} \определение Два метрических пространства называются {\бф \блуе Липшиц-эквивалентными}, если существует липшицева биекция $f:\; M_1\arrow M_2$, такая, что $f^{-1}$ тоже липшицево. \замечание Липшицевы отображения непрерывны. {\бф \пурпле Лип\-шиц-\-эк\-ви\-ва\-лент\-ные пространства гомеоморфны.} \newpage {\bf \blue Квази-изометрии} \определение {\бф \блуе Квази-изометрия} метрических пространств есть отображение $f:\; (M,d) \arrow (M',d')$, удовлетворяющее двум условиям: 1. $\frac{1}{A}\; d(x,y)-B\leq d'(f(x),f(y))\leq A\; d(x,y)+B$\\ для каких-то констант $A, B\in \R^{>0}$. 2. $d_{GH}(M', f(M))< \infty$. \упражнение В условии этого определения, постройте квази-изометрию между $M'$ и $M$. Докажите, что {\бф \пурпле квази-изометрия задает отношение эквивалентности} на метрических пространствах. \упражнение Пусть $X, Y$ -- квази-изометричные пространства. Докажите, что {\бф \пурпле их асимптотические конусы липшиц-эквивалентны.} \newpage {\bf \blue Граф Кэли} {\бф \ред Все группы в сегодняшней лекции предполагаются конечно порожденными}. \определение {\бф \блуе Набор образующих} группы $G$ есть множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$. {\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что $s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.} \определение Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих. {\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида $g$ и $gs_i$. \пример Граф Кэли для $\Z^n$ с обычным набором образующих есть кубическая решетка. \begin{center} \epsfig{file=recipr5.png,width=0.25\linewidth} \end{center} \newpage {\bf \blue Граф Кэли для свободной группы} \пример Граф Кэли для свободной группы -- регулярное дерево \begin{center} \epsfig{file=F2_Cayley_Graph.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm] {\ем \бф\small Граф Кэли свободной группы ${\Bbb F}_2$ с образующими $a$, $b$, $a^{-1}$, $b^{-1}$.} \end{center} \newpage {\bf \blue Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$} \begin{center} \epsfig{file=Kelli_graph_free_prod.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm] {\ем \бф\small Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$.} \end{center} \newpage {\bf \blue Граф Кэли -- квазиметрический инвариант} \определение С каждым графом связано {\бф \блуе топологическое пространство графа}: набор отрезков, соединяющих набор отмеченных точек -- вершин. {\бф \блуе Оно снабжено метрикой,} таким образом, что каждое ребро изометрично отрезку длины 1, и {\бф \ред расстояние между точками $a,b$ -- длина кратчайшего пути из $a$ в $b$.} \замечание Группа $G$ действует на своем графе Кэли левыми сдвигами, и {\бф \ред это действие изометрично} (проверьте!). \теорема Пусть $G$ -- группа, $S, S'$ -- два набора образующих, а $\Gamma_S$, $\Gamma_{S'}$ -- соответствующие графы Кэли. Тогда $\Gamma_S$ квази-изометрично $\Gamma_{S'}$. {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Рассмотрим $G$ как множество вершин на ее графе Кэли. Обозначим соответствующее метрическое пространство за $G_S$, $G_{S'}$. {\бф \пурпле Тогда $d_{GH}(G_S, \Gamma_S)= 1/2$.} {\бф \греен Шаг 2:} В силу предыдущего шага, достаточно доказать, что $G_S$ квази-изометрично $G_{S'}$. Мы докажем, что {\бф \ред тавтологическая биекция $G_S \arrow G_{S'}$ -- квази-изометрия.} \newpage {\bf \blue Граф Кэли -- квазиметрический инвариант (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $|x|_S$ расстояние $d_S(e,x)$. Поскольку расстояние на графе Кэли $G$-инвариантно, достаточно проверить, что {\бф \пурпле существуют константы $A, A'$ такие, что $A|x|_S \leq |x|_{S'} \leq A'|x|_S$ для любого $x\in G$.} \замечание {\бф \блуе $|x|_S$ есть минимальная длина слова $W$, составленного из букв $s_i\in S$ такого, что произведение всех букв $W$ составляет $x$.} {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $N:= \min_{s'\in S'}|s'_i|_S$. Это значит, что каждый $s'\in S'$ представляется в виде произведения $\leq N$ букв $s_i \in S$. Тогда каждое разложение $x$ в произведение $k$ букв $s_i'\in S'$ дает разложение $x$ в произведение $Nk$ букв из $S$. {\bf \red Значит, $|x|_{S'} \leq N|x|_S$.} Второе неравенство получается аналогично. \ендпрооф \следствие Асимптотический конус графа Кэли, как топологическое пространство, {\бф \пурпле не зависит от выбора образующих группы.} \newpage {\bf \blue Квази-изометричные группы} \определение Две группы $G, G'$ называются {\бф \блуе квази-изометричными}, если их графы Кэли квази-изометричны. \определение Свойство $X$ группы называется {\бф \блуе геометрическим}, если для любой пары квази-изометричных групп $G, G'$ ($X$ выполнено для $G$) $\Leftrightarrow$ ($X$ выполнено для $G'$). {\bf \red Геометрическая теория групп} изучает геометрические свойства групп. Геометрические свойства (примеры). 1. Конечность. 2. Аменабельность. 3. Виртуальная нильпотентность (группа называется {\бф \блуе виртуально нильпотентной}, если она содержит подгруппу конечного индекса, которая нильпотентна). 4. Виртуальная абелевость 5. Виртуальная свобода. \newpage {\bf \blue Группы полиномиального и экспоненциального роста} Пусть $G, S$ -- группа с заданной системой образующих, а $\Gamma_S$ -- ее граф Кэли. {\бф \ред Обозначим за $b_s(N)$} число вершин графа в шаре радиуса $N$ с центром в $e$. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе группой полиномиального роста степени $\leq d$,} если $b_s(N) \leq C N^d+C'$ для каких-то констант $C,C'$. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе группой экспоненциального роста}, если $b_s(N) \geq \alpha^N$ для какой-то константы $\alpha >0$. \упражнение Проверьте, что {\бф \пурпле эти свойства являются геометрическими.} \пример $\Z^n$ -- группа полиномиального роста. \пример ${\Bbb F}_n$, $n \geq 2$ -- группа экспоненциального роста (проверьте это). \теорема {\бф \блуе (Громов)} {\бф \ред Любая группа полиномиального роста является виртуально нильпотентной.} \newpage {\bf \blue Аменабельные группы (повторение)} {\small Для любого множества $S$, обозначим за $2^S$ {\бф \пурпле множество его подмножеств.} Обозначим за $A \coprod B$ {\бф \пурпле объединение непересекающихся подмножеств $S$.}} \определение Функция $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе конечно\--ад\-ди\-тив\-ной мерой}, если верно свойство {\bf\блуе конечной аддитивности}: $\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. \определение Пусть $G$ -- группа, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ -- отображение {\бф \блуе левого сдвига}, переводящее $x$ в $gx$. Функция $2^G \stackrel \mu \arrow \R$ называется {\бф \блуе левоинвариантной}, если $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ для любого $A \subset G$. \определение Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если $\mu(S)=1$. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе аменабельной}, если существует конечно-аддитивная левоинвариантная вероятностная мера $\mu:\; 2^G \arrow \R^{\geq 0}$. \теорема {\бф \ред Любая группа полиномиального роста аменабельна.} \newpage {\bf \blue Множества Фёлнера (напоминание)} Обозначим число элементов конечного множества за $|A|$. \определение Пусть $A, B\subset S$ -- множества. {\бф \блуе симметрическая разность} $A$ и $B$ -- это $A \triangle B:= (A \cup B)\backslash (A \cap B)$. \определение Пусть $G$ -- группа, а $F_n \subset G$ -- последовательность подмножеств. $\{F_n\}$ называется {\бф \блуе последовательностью Фёльнера} (F\o lner sequence), если для каждого $g\in G$, $\lim_n \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}=0$. \теорема Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера. {\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. } \newpage {\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста} Пусть $G$ -- группа полиномиального роста, снабженная набором образующих и соответствующей метрикой. {\бф \блуе Обозначим шар радиуса $r$ с центром в $g$ за $B_g(r)$.} Мы докажем, что на группе полиномиального роста {\bf \red для подходящей последовательности $N_i \arrow \infty$ шары $\{B_e(N_i))\}$ образуют последовательность Фёльнера.} {\бф \греен Доказательство аменабельности групп полиномиального роста.\\ Шаг 1:} Левый перенос шара дает $L_g(B_e(N))= B_g(N)\subset B_e(|g|+N)$, где $|g|:= d(g, e)$ (здесь используется неравенство треугольника). {\бф \греен Шаг 2:} \[ B_e(N)\backslash L_g(B_e(N))\subset B_e(|g|+N)\backslash B_e(N).\] Следовательно, \[ |B_e(N)\triangle gB_e(N)| \leq 2\bigg (|B_e(|g|+N)| - |B_e(N)|\bigg). \] \newpage {\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $b(N):= |B_e(N)|$. Если для каждого $k$ имеет место \[ \lim_{N\arrow \infty} \frac{b(N+k)-b(N)}{b(N)}=0 \] то \[ \frac{|B_e(N)\triangle gB_e(N)|}{|B_e(N)|} \leq 2 \frac{b(N+|g|)-b(N)}{b(N)} \] {\бф \пурпле стремится к нулю, то есть $B_e(N)$ -- множества Фёльнера.} Это имеет место, например, если $b(N)$ -- полином. {\бф \греен Шаг 4:} Для заданных $\epsilon >0, k\in {\Bbb N}$, рассмотрим множество $N(\epsilon, k)$ таких $N\in {\Bbb N}$, что $\frac{b(N+k)-b(N)}{b(N)}<\epsilon$. Легко видеть, что $N(\epsilon, k)$ монотонно зависят от $k$ и $\epsilon$: \[ N(\epsilon, k)\supset N(\epsilon, k+1), N(\epsilon+\delta, k)\supset N(\epsilon, k) \] для любого $\delta \geq 0$. Если $n \notin N(\epsilon, k)$, то $\frac{b(N+k)}{b(N)}> 1+ \epsilon$. Коль скоро $b(N)$ растет полиномиально, {\бф \ред множество $N(\epsilon, k)$ бесконечно для любого $\epsilon, k$.} \newpage {\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста (окончание)} {\бф \греен Шаг 5:} Возьмем последовательность $\{N_i\}$ такую, что \[ N_i \in N\left(\frac 1 i, i\right)\subset N\left(\frac 1 {i+1}, i+1\right) \subset ... \] Тогда $F_n:= B_e(N_i)$ -- последовательность Фёльнера, так как $\forall g$ с $|g|