
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Аменабельные группы, лекция 2 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Аменабельные группы \\[15mm]
\small лекция 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[10mm] \tiny 
3 августа 2011
\\[20mm]

{\tiny\bf Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"\\[2mm]
1 - 7 августа, 2011, ЯГПУ, Ярославль, Россия

}
\end{center}

\newpage


{\bf \blue Метрические пространства}

{\bf \blue Определение:}
Пусть $M$ - множество. {\bf \green Метрикой} на $M$ называется
функция $d:\; M\times M\arrow \R^{\geq 0}$, удовлетворяющая
следующим условиям
\begin{description}
\item[\red Невырожденность:]\ \ $d(x,y)=0$ тогда и только тогда,
когда $x=y$.
\item[\red Симметричность:]\ \  $d(x,y)=d(y,x)$
\item[\red Неравенство треугольника:]\ \  $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$
\end{description}
для любых точек $x,y,z\in M$.


{\bf \green Метрика - математическая абстракция, отвечающая 
интуитивному представлению о <<расстоянии>>}

\newpage

{\blue\bf Последовательности Коши}

{\green \bf Определение:} 
Пусть $x\in M$ точка в метрическом пространстве. Открытый
{\bf \blue $\epsilon$-шар} $B_\epsilon(x)$ в с центром в 
$x$ - множество всех точек, отстоящих от $x$ меньше, 
чем на $\epsilon$:
\[
B_\epsilon(x)= \{ y\in M\ \ | \ \  d(x,y) < \epsilon\}
\]

{\green \bf Определение:} 
Пусть $M$ - метрическое пространство. 
Последовательность $\{\alpha_i\}$ точек из $M$ называется
{\bf \blue последовательностью Коши}, если для каждого 
$\epsilon>0$, все элементы последовательности 
$\{\alpha_i\}$, кроме конечного числа, содержатся в некотором
$\epsilon$-шаре. 

{\bf \red  Не путать со сходимостью!}

{\purple Все сходящиеся последовательности - последовательности
Коши, но не все последовательности Коши сходятся.}


{\green \bf Определение:} 
Пусть $M$ - метрическое пространство. 
Последовательность $\{\alpha_i\}$ точек из $M$ 
{\bf \blue сходится к $x\in M$}, если в любом
$\epsilon$-шаре $B_\epsilon(x)$ содержатся все
члены $\{\alpha_i\}$, кроме конечного числа.
 В этом случае также говорят,
что $x$ - это {\bf \blue предел} последовательности
$\{\alpha_i\}$. Метрическое пространство $M$
называется {\bf \blue полным}, если у любой
последовательности Коши есть предел.

\newpage

{\bf \blue Расстояние Хаусдорфа}

{\bf \green Определение:}
Подмножество $Z\subset M$ называется
{\bf\blue  ограниченным}, если оно содержится в шаре $B_C(x)$.

{\bf \green Определение:}
{\bf\blue $\epsilon$-окрестность} $Z\subset M$ - объединение всех
$B_\epsilon(x)$, для $x\in Z$. Обозначим ее за $Z(\epsilon)$.

{\bf \green Определение:}
Пусть $Z_1, Z_2$ - замкнутые, ограниченные подмножества $M$.
Определим {\bf \blue расстояние Хаусдорфа}
$d_H(Z_1, Z_2)$ как инфимум всех $\epsilon$ таких, что
$Z_1\subset Z_2(\epsilon)$, $Z_2\subset Z_1(\epsilon)$

{\bf \green Утверждение:}
{\bf \red $d_H$ задает метрику на множестве замкнутых,
ограниченных подмножеств.}

\newpage

{\bf \blue Компактность}

\определение
Метрическое пространство $M$ называется {\бф \блуе компактным},
если любое из следующих равносильных условий выполнено.

1. Из каждого открытого покрытия $M$ можно выбрать конечное
подпокрытие.

2. Любая система вложенных замкнутых подмножеств $M$ имеет
общую точку.

3. Любая последовательность точек в $M$ имеет предельную точку.

4. Любая ограниченная непрерывная функция 
$f:\; M \arrow \R$ достигает максимума
в какой-то точке $M$.

\упражнение Докажите, что {\бф \пурпле эти условия равносильны
для метрических пространств,} а (1) и (2) -- для 
топологических пространств. Придумайте контрпримеры
к равносильности 2, 3, 4 для топологических пространств.

\упражнение Пусть
$M$ -- компакт. Докажите, что {\бф \ред множество
компактных подмножеств $M$ компактно в
метрике $d_H$.}

\newpage

{\bf \blue Расстояние Громова-Хаусдорфа}

\определение
Отображение, сохраняющее расстояния, называется
{\бф \блуе изометрическим}.

\определение
{\бф \блуе Диаметр} метрического пространства $M$ есть
\[ \sup_{x,y\in M}d(x,y).\]

\упражнение
Пусть $X$, $Y$ -- метрические пространства
диаметра $d$. Докажите, что существует метрическое пространство
$M$ диаметра $\leq 3d$, {\бф \пурпле снабженное изометрическими вложениями
$X \hookrightarrow M$, $Y \hookrightarrow M$.}

\определение
{\bf \blue Расстояние Громова-Хаусдорфа}
$d_{GH}(X,Y)$ определяется как $\inf_M (d_H(X,Y))$,
где инфимум берется по всем $M$ и всем изометрическим
вложениям $X \hookrightarrow M$, $Y \hookrightarrow M$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред $d_{GH}$ задает метрику} на "множестве"
всех компактных метрических пространств.

\упражнение
Пусть $X, Y$ -- полные, локально компактные метрические
пространства, такие, что $d_{GH}(X,Y)=0$. {\бф \пурпле Докажите, что
$X$ и $Y$ изометричны.}

\newpage

\определение
{\бф \блуе Громовский предел} семейства метрических
пространств $\{M_i\}$ есть метрическое пространство, полученное
как предел $\{M_i\}$ в метрике  Громова-Хаусдорфа.

\begin{center}
\epsfig{file=Gromov.jpg,width=0.37\linewidth}\\
Михаил Громов \\
(р. 23 декабря 1943)
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Асимптотический конус}

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство.
{\бф \блуе Асимптотический конус} $M$ есть
громовский предел пространств $(M, a_i d)$, где
$a_i \in \R$, а $\lim a_i=0$.

\замечание
Он {\бф \ред определен неоднозначно,} у некоторых пространств есть несчетное
количество конусов. 

\утверждение
Пусть $d_{GH}(X,Y)< \infty$. Тогда любой 
асимптотический конус $X$ {\бф \ред изометричен какому-то асимптотическому
конусу $Y$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}\\
Если $d_{GH}((X,d_X),(Y,d_Y)) = C$, то  $d((X,a d_X),(Y,a d_Y)) = aC$.

{\бф \греен Шаг 2:} Если $(X,a_id_X)$ -- последовательность Коши в $d_{GH}$,
а $\lim a_i =0$, то $(Y,a_id_Y)$ -- тоже последовательность Коши,
причем \[ \lim_i d_{GH}((X,a_i d_X),(Y,a_id_Y)) =\lim a_iC =0,\]
то есть {\бф \пурпле эти последовательности эквивалентны.} \ендпрооф

\newpage

{\blue \bf Асимптотический конус (примеры)}


{\бф \греен\ем Асимптотический конус $M$ есть то, каким
образом $M$ выглядит с <<очень большого>> расстояния}


\пример $d_{GH}(\frac 1 N \Z^n, \R^n)< \frac 1 n$,
значит, $\R^n= \lim_N \frac 1 N \Z^n$.
Мы получили, что {\бф \пурпле асимптотический конус
$\Z^n$ есть $\R^n$.}


\пример
Асимптотический конус гиперболического пространства
есть дерево, от {\бф \ред каждой точки} которого отходит несчетное
множество веток.


\begin{center}
\epsfig{file=reallybushy.png,width=0.42\linewidth}\\
\end{center}


\newpage

{\blue \bf Липшицевы отображения}

{\bf \green Определение:} 
Пусть $(M_1, d_1)$ и $(M_2, d_2)$ - метрические
пространства, а $C>0$ - вещественное число. 
Отображение $f:\; M_1 \arrow M_2$ называется {\bf \blue
$C$-липшицевым} если для любых
$x, y\in M_1$, 
\[
d_2(f(x),f(y)) \leq C d_1 (x, y).
\]
{\bf \green Липшицевы отображения непрерывны.}

\упражнение Докажите, что расстояние $d_z(x) := d(z,x)$ 
до фиксированной точки $z\in M$ -- {\бф \ред 1-липшицева функция из
$M$ в $\R$.}

\определение
Два метрических пространства называются
{\бф \блуе Липшиц-эквивалентными}, если существует
липшицева биекция $f:\; M_1\arrow M_2$, такая, что
$f^{-1}$ тоже липшицево.

\замечание
Липшицевы отображения непрерывны. {\бф \пурпле Лип\-шиц-\-эк\-ви\-ва\-лент\-ные
пространства гомеоморфны.}

\newpage

{\bf \blue Квази-изометрии}

\определение
{\бф \блуе Квази-изометрия} метрических пространств
есть отображение $f:\; (M,d) \arrow (M',d')$, удовлетворяющее
двум условиям:

1. $\frac{1}{A}\; d(x,y)-B\leq d'(f(x),f(y))\leq A\; d(x,y)+B$\\
для каких-то констант $A, B\in \R^{>0}$.

2. $d_{GH}(M', f(M))< \infty$.

\упражнение
В условии этого определения, постройте квази-изометрию
между $M'$ и $M$. Докажите, что {\бф \пурпле квази-изометрия задает 
отношение эквивалентности} на метрических пространствах.

\упражнение
Пусть $X, Y$ -- квази-изометричные пространства.
Докажите, что {\бф \пурпле их асимптотические конусы липшиц-эквивалентны.}

\newpage

{\bf \blue Граф Кэли}

{\бф \ред Все группы в сегодняшней лекции предполагаются
конечно порожденными}.

\определение
{\бф \блуе Набор образующих} группы $G$ есть 
множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$.
{\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что
$s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.}

\определение
Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих.
{\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины
которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида
$g$ и $gs_i$.

\пример
Граф Кэли для $\Z^n$ с обычным набором образующих 
есть кубическая решетка.
\begin{center}
\epsfig{file=recipr5.png,width=0.25\linewidth}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Граф Кэли для свободной группы}

\пример 
Граф Кэли для свободной группы -- регулярное дерево
\begin{center}
\epsfig{file=F2_Cayley_Graph.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm]
{\ем \бф\small Граф Кэли свободной группы ${\Bbb F}_2$
с образующими $a$, $b$, $a^{-1}$, $b^{-1}$.}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$}

\begin{center}
\epsfig{file=Kelli_graph_free_prod.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm]
{\ем \бф\small Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$.}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Граф Кэли -- квазиметрический инвариант}

\определение
С каждым графом связано
{\бф \блуе топологическое
пространство графа}: набор отрезков, соединяющих набор 
отмеченных точек -- вершин. {\бф \блуе Оно снабжено метрикой,}
таким образом, что каждое ребро изометрично отрезку длины 1, 
и {\бф \ред расстояние
между точками $a,b$ -- длина кратчайшего пути из $a$ в $b$.}

\замечание Группа $G$ действует на своем графе Кэли
левыми сдвигами, и {\бф \ред это действие изометрично} (проверьте!).

\теорема
Пусть $G$ -- группа, $S, S'$ -- два набора образующих,
а $\Gamma_S$, $\Gamma_{S'}$ -- соответствующие графы Кэли.
Тогда $\Gamma_S$ квази-изометрично $\Gamma_{S'}$.

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Рассмотрим $G$ как множество вершин на ее графе Кэли.
Обозначим соответствующее метрическое пространство
за $G_S$, $G_{S'}$. {\бф \пурпле Тогда $d_{GH}(G_S, \Gamma_S)= 1/2$.}

{\бф \греен Шаг 2:} В силу предыдущего шага, достаточно
доказать, что $G_S$ квази-изометрично $G_{S'}$.
Мы докажем, что {\бф \ред тавтологическая биекция $G_S \arrow G_{S'}$
-- квази-изометрия.}


\newpage

{\bf \blue Граф Кэли -- квазиметрический инвариант (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за 
$|x|_S$ расстояние $d_S(e,x)$.
Поскольку расстояние на графе Кэли
$G$-инвариантно, достаточно проверить, что {\бф \пурпле существуют константы
$A, A'$ такие, что $A|x|_S \leq |x|_{S'} \leq A'|x|_S$
для любого $x\in G$.}

\замечание
{\бф \блуе $|x|_S$ есть минимальная длина слова $W$,
составленного из букв $s_i\in S$ такого, что 
произведение всех букв $W$ составляет $x$.}

{\бф \греен Шаг 4:}
Пусть $N:= \min_{s'\in S'}|s'_i|_S$.
Это значит, что каждый $s'\in S'$ представляется
в виде произведения $\leq N$ букв $s_i \in S$.
Тогда каждое разложение $x$ в произведение $k$ букв
$s_i'\in S'$ дает разложение $x$ в произведение $Nk$ 
букв из $S$. {\bf \red Значит, $|x|_{S'} \leq N|x|_S$.}
Второе неравенство получается аналогично. \ендпрооф

\следствие
Асимптотический конус графа Кэли, как топологическое
пространство, {\бф \пурпле не зависит от выбора
образующих группы.}

\newpage

{\bf \blue Квази-изометричные группы}

\определение
Две группы $G, G'$ называются {\бф \блуе квази-изометричными},
если их графы Кэли квази-изометричны.

\определение
Свойство $X$ группы называется {\бф \блуе геометрическим},
если для любой пары квази-изометричных групп $G, G'$
($X$ выполнено для $G$) $\Leftrightarrow$ ($X$ выполнено для $G'$).

{\bf \red Геометрическая теория групп} изучает геометрические
свойства групп.

Геометрические свойства (примеры).

1. Конечность.

2. Аменабельность.

3. Виртуальная нильпотентность (группа называется
{\бф \блуе виртуально нильпотентной}, если она
содержит подгруппу конечного индекса, которая
нильпотентна).

4. Виртуальная абелевость

5. Виртуальная свобода.

\newpage

{\bf \blue Группы полиномиального и экспоненциального роста}

Пусть $G, S$ -- группа с заданной системой образующих,
а $\Gamma_S$ -- ее граф Кэли. {\бф \ред Обозначим за $b_s(N)$}
число вершин графа в шаре радиуса $N$ с центром в $e$.

\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе группой полиномиального роста степени
$\leq d$,} если $b_s(N) \leq C N^d+C'$ для каких-то констант $C,C'$.

\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе группой экспоненциального роста}, 
если $b_s(N) \geq \alpha^N$ для какой-то константы $\alpha >0$.

\упражнение
Проверьте, что {\бф \пурпле эти свойства являются геометрическими.}

\пример
$\Z^n$ -- группа полиномиального роста.

\пример
${\Bbb F}_n$, $n \geq 2$ -- группа экспоненциального роста
(проверьте это).

\теорема {\бф \блуе (Громов)}
{\бф \ред
Любая группа полиномиального роста является виртуально нильпотентной.}

\newpage

{\bf \blue Аменабельные группы (повторение)}


{\small Для любого множества $S$, обозначим за $2^S$ {\бф \пурпле
множество его подмножеств.}
Обозначим за $A \coprod B$ {\бф \пурпле
объединение непересекающихся подмножеств $S$.}}

\определение
Функция $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе конечно\--ад\-ди\-тив\-ной мерой},
если верно свойство {\bf\блуе конечной аддитивности}:
$\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. 

\определение
Пусть $G$ -- группа, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ --
отображение {\бф \блуе левого сдвига}, переводящее $x$ в $gx$.
Функция  $2^G \stackrel \mu 
\arrow \R$ называется {\бф \блуе левоинвариантной}, 
если $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ для любого $A \subset G$.

\определение
Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если
$\mu(S)=1$.

\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе аменабельной}, если
существует конечно-аддитивная левоинвариантная вероятностная мера
$\mu:\; 2^G \arrow \R^{\geq 0}$.

\теорема
{\бф \ред Любая группа полиномиального роста аменабельна.}

\newpage


{\bf \blue Множества Фёлнера (напоминание)}

Обозначим число элементов конечного множества за $|A|$.

\определение
Пусть $A, B\subset S$ -- множества. {\бф \блуе симметрическая разность}
$A$ и $B$ -- это $A \triangle B:= (A \cup B)\backslash (A \cap B)$.

\определение
Пусть $G$ -- группа, а $F_n \subset G$ -- последовательность подмножеств.
$\{F_n\}$ называется {\бф \блуе последовательностью Фёльнера}
(F\o lner sequence), если для каждого $g\in G$, 
$\lim_n \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}=0$.

\теорема
Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера.
{\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. } 

\newpage

{\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста}

Пусть $G$ -- группа полиномиального роста, снабженная
набором образующих и соответствующей метрикой. 
{\бф \блуе Обозначим шар радиуса $r$ с центром в $g$ за $B_g(r)$.}

Мы докажем, что на группе полиномиального роста
{\bf \red для подходящей последовательности $N_i \arrow \infty$
шары $\{B_e(N_i))\}$ образуют последовательность Фёльнера.}

{\бф \греен Доказательство аменабельности групп полиномиального роста.\\
Шаг 1:} Левый перенос шара дает $L_g(B_e(N))= B_g(N)\subset B_e(|g|+N)$,
где $|g|:= d(g, e)$ (здесь используется неравенство треугольника).

{\бф \греен Шаг 2:} 
\[ B_e(N)\backslash L_g(B_e(N))\subset  B_e(|g|+N)\backslash B_e(N).\]
Следовательно, 
\[
|B_e(N)\triangle gB_e(N)| \leq 2\bigg (|B_e(|g|+N)| - |B_e(N)|\bigg).
\]

\newpage

{\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $b(N):= |B_e(N)|$.
Если для каждого $k$ имеет место 
\[
\lim_{N\arrow \infty} \frac{b(N+k)-b(N)}{b(N)}=0
\] 
то 
\[
  \frac{|B_e(N)\triangle gB_e(N)|}{|B_e(N)|}
\leq 2 \frac{b(N+|g|)-b(N)}{b(N)}
\]
{\бф \пурпле
стремится к нулю, то есть $B_e(N)$ -- множества Фёльнера.}
Это имеет место, например, если $b(N)$ -- полином.

{\бф \греен Шаг 4:}
Для заданных $\epsilon >0, k\in {\Bbb N}$, рассмотрим множество
$N(\epsilon, k)$ таких $N\in {\Bbb N}$, что 
$\frac{b(N+k)-b(N)}{b(N)}<\epsilon$. Легко видеть, что
$N(\epsilon, k)$ монотонно зависят от $k$ и $\epsilon$:
\[ N(\epsilon, k)\supset N(\epsilon, k+1),
N(\epsilon+\delta, k)\supset N(\epsilon, k)
\]
для любого $\delta \geq 0$.

Если $n \notin N(\epsilon, k)$, то
$\frac{b(N+k)}{b(N)}> 1+ \epsilon$. Коль скоро
$b(N)$ растет полиномиально, {\бф \ред множество $N(\epsilon, k)$
бесконечно для любого $\epsilon, k$.}

\newpage

{\bf \blue Аменабельность групп полиномиального роста (окончание)}

{\бф \греен Шаг 5:} Возьмем последовательность $\{N_i\}$
такую, что 
\[ N_i \in N\left(\frac 1 i, i\right)\subset N\left(\frac 1 {i+1}, i+1\right)
\subset ...
\] Тогда $F_n:= B_e(N_i)$ -- последовательность
Фёльнера, так как $\forall g$ с $|g|<m$,  и любого 
$N_i\in N(\frac 1 m, m)$, имеет место неравенство
\[\frac{|B_e(N_i)\triangle gB_e(N_i)|}{|B_e(N_i)|}
\leq 2 \frac{b(N_i+|g|)-b(N_i)}{b(N_i)} \leq 2\frac{b(N_i+m)-b(N_i)}{b(N_i)}< 
\frac 2 m.
\]
\ендпрооф


\end{document}
