
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}



\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ������������ ������, ������ 2 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ������������ ������ � �������� ������-�������� \\[15mm]
\small ������ 1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[10mm] \tiny 
11 ������� 2013
\\[20mm]

{\tiny\bf �����-����������� ����������� ��������, \\[2mm]
������, 8-13 ������� 2013 ����
}
\end{center}
\newpage

\newpage

{\�� \���� ������������ ������ (����������)}

{\small ��� ������ ��������� $S$, ��������� �� $2^S$ {\�� \������
��������� ��� �����������.}
��������� �� $A \coprod B$ {\�� \������
����������� ���������������� ����������� $S$.}}

\�����������
������� $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ ���������� {\�� \���� �������\--��\-��\-���\-��� �����},
���� ����� �������� {\bf\���� �������� ������������}:
$\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. 


\�����������
����� $G$ -- ������, $g\in G$, � $L_g:\; G \arrow G$ --
����������� {\�� \���� ������ ������}, ����������� $x$ � $gx$.
�������  $2^G \stackrel \mu 
\arrow \R$ ���������� {\�� \���� ����������������}, 
���� $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ ��� ������ $A \subset G$.


\�����������
������ $G$ ���������� {\�� \���� ������������}, ����
���������� ��������� �������-���������� ���������������� ����
$2^G \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$.

\�����������
{\�� \��� ����� 
��������� ������������ ������ �����������; ���������� ������������
������ � ������� ������������ �����������; $Z$, $Z^n$,
�������� ������, �� ���������� �����������.}

\newpage

{\�� \����  $\ell^\infty$ � ������� (����������)}

\�����������
����� $S$ -- ���������, � $\ell^\infty(S)$ -- ������������
������������ $\R$-������� ������� �� $S$.
��������� {\bf\���� $\ell^\infty$-�����} �� $\ell^\infty(S)$
�������� $|f|_{\ell^\infty}:= \sup_S |f|$.


\�����������
{\�� \���� �������} �� $S$ ���� �����������
���������� \\ $\int:\; \ell^\infty(S)\arrow \R$, �������
������������� ��������� ��������:

1. $\int(\chi_S)=1$, ��� $\chi_S\in \ell^\infty(S)$ ���� 
�������, ������������ $S$ � 1.

2. $\int(f) \geq 0$ ��� ����� ��������������� ������� $f\in \ell^\infty(S)$.


\newpage

{\�� \���� �������������� � ������ � ��������}


\�������
������ $G$ {\�� \��� ����������� ����� � ������ �����, �����
�� $\ell^\infty(G)$ ������ $G$-������������ �������.}

\���������
{\�� \������ �� ����� ����� ������� �������������� ���������:}
����� ����� ������� ������� $f$ �� $G_1\subset G$, �������
�� ������������� $r$ � ������ ������� ������ $G/G_1$,
� ������� $\tilde f(x):=f(xr^{-1})$, ��� $r$ � ��� �� ������� ������.

\���������
{\�� \������ ����� �� ����� ������� ��������������
����������:} ���� $0\arrow G_1 \arrow G_2\stackrel \pi \arrow G_3\arrow 0$ --
������ ������������������ �����, $G_1, G_3$ �����������,
������� ������� $f_2$ �� $G_2$, ������� ������� $f_3$ �� $G_3$
�� ������� $f_3(x):=\int_{\pi^{-1}(x)}f_2$ � ��������.



\newpage

{\�� \���� ����������������� ��������� (����������)}

����� $X$ -- ��������� � ������������ ��������� ������ $G$.

\�����������
��� ������������ $A, B \subset X$ ���������� {\�� \����
������������������} (��� {\�� \���� ����������������}) �� ���������
� �������� $G$, ���� $A=\coprod_{i=1}^k A_i$, $B=\coprod _{i=1}^kB_i$, � 
���������� $g_1,..., g_k$, ����������� $A_i$ � $B_i$:
$g_i(A_i)=B_i$.


\������� {\�� \���� (������-�������-����������)}\\
����� $X$ -- ��������� � ��������� ������ $G$, $A, B\subset X$
������������, ������ $A$ ��������������� � ������������� $B$, � 
$B$ ��������������� � ������������� $A$. {\�� \��� ����� $A$ � $B$
���������������.}

\�����������
����� $X$ -- ��������� � ��������� ������ $G$.
������������ $A\subset X$ ���������� {\��\���� ��������������}, ����
$A=A_1\coprod A_2\coprod A_3\coprod... \coprod A_n$, 
������ $A_i$ ��������������� � $A$.

\�����
����� $X$ -- ������������ � ��������� $G$, $X_0:= X\backslash F$,
��� $F$ -- �������� ������������ �� $d$ ���������. 
{\�� \��� ����� $X_0$ �������������.
����� $X$ ���� �������������.}

\���������
{\�� \������ 
���� ������ $G$ �����������, �� ��������� $X=G$ � ��������� $G$ �� ����
�������� �� �������������.}

\newpage

{\bf \blue ��������� ������ (����������)}

\�����������
{\�� \���� ��������� ������} �� $n$ ���������� $x_1, ..., x_n$ 
���� ������, ������������ �� ���� �� $x_1, ..., x_n$
�������� ${\Bbb F}_2$ ����  �����, ������������
�� �������� ���� $x_i, x^{-1}_i$, � ��������
�� ���������������� ������������ $x_i, x^{-1}_i$; 
��������� -- ���������������� ��������� ����
� ����������� ��������� ���� $x_i x^{-1}_i$ � $x^{-1}_i x_i$.

 
{\bf \green �����������:}
����� $\Gamma$ -- ������� ����, � �������� ���� �����
���� ������� � $|I|$ �����. ��� �������������� ������������ ����������
{\bf\blue  ������� $|I|$ �����������}. ��� ����� ��� �������
��������� �� ���������� 
�����������.

\������� (�������-��� ������)
{\�� \���� ��������� ������} ${\Bbb F}_n$ ���� ��������������� ������
������ �� $n$ �����������.


\�������
{\�� \��� ��������� ������ ${\Bbb F}_2$ �� �����������.}


\newpage

{\bf \blue �������������� ��������� � �������������� }

\�����������
����� $G$ ��������� �� $X$, $x\in X$, $A$ -- ��������������
������������, � $G(A,x):=\{g\in G\ \ | gx\in A\}$. {\�� \��� �����
$G(A,x)\subset G$ ������������� (������������ �������� $G$ �� ����
�������� ������).}

\����
���� $A=A_1\coprod A_2$, �� $G(A,x)=G(A_1,x)\coprod G(A_2,x)$.
� ���� �������������������, $A_i=\coprod A_i^j$, � ����������
$g_j$, ����������� $A_1^j$ � $A_2^j$. ����� 
$G(A_i,x)=\coprod_j G(A^j_i,x)$.

{\�� \����� ��� 2:}  $G(A^j_1,x)=\{g\in G\ \ | gx\in A_1^j\}$,
$g_jA_1^j=A_2^j$ $\Rightarrow$ $G(A^j_2,x)=\{g\in G\ \ | gg_jx\in A_1^j\}$.
{\�� \������ ��������, ��� $G(A^j_2,x)= G(A^j_1,x)g_j$.}
\��������

\���������
{\�� \��� ���� $G$ ����������� � ��������� �� $X$, �� $X$ �� 
�������������.}


\newpage

{\bf \blue ��������� ��������� � $SO(2,1)$}

\�������
����� $G:=SO(2,1)$ -- ������ �������� ��������� ������������. ����� ����������
������� ����� $Z_i$ ����������� �������������� �����������
������������� $\geq 1$
� $SO(2,1)\times SO(2,1)$ �����, ��� {\�� \��� ��� ����� 
$x, y \in SO(2,1)\times SO(2,1)\setminus \bigcup Z_i$,
����������� ��� ������ ��������.}

\����
���������� ��� ������������� ����������� �� ���� ��������� ���� $W(x,y)=1$.
������ �� ����� ����������� ���������� �������������� ��������������� $Z_W$
� $SO(2,1)\times SO(2,1)$; ���� ��� $Z_W$ ������������� $\geq 1$, �� ��� ��������.
{\�� \������ � ��������� ������, $Z_W=SO(2,1)\times SO(2,1)$, ������ ��� 
������������ $SO(2,1)\times SO(2,1)$ �����������.}

{\�� \����� ��� 2:} ���� $Z_W=SO(2,1)\times SO(2,1)$,
����� ������ ���������� $SO(2,1)$ ���� ����������� $W$; {\�� \��� �����
��������� ��������� �� ������������ � $SO(2,1)$.}

\newpage

{\bf \blue ��������� ��������� � $SO(2,1)$ (�����������)}


\�������
����� $G:=SO(2,1)$ -- ������ �������� ��������� ������������. ����� ����������
������� ����� $Z_i$ ����������� �������������� �����������
������������� $\geq 1$
� $SO(2,1)\times SO(2,1)$ �����, ��� {\�� \��� ��� ����� 
$x, y \in SO(2,1)\times SO(2,1)\setminus \bigcup Z_i$,
����������� ��� ������ ��������.}

{\�� \����� ��� 2:} ���� $Z_W=SO(2,1)\times SO(2,1)$,
����� ������ ���������� $SO(2,1)$ ���� ����������� $W$; {\�� \��� �����
��������� ��������� �� ������������ � $SO(2,1)$.}

{\�� \����� ��� 3:} ���������� �������� ����������� 
$S:=\C P^1 \backslash \{0,1,\infty\}$; �� ������� ������,
��� �������� �������� ��������� ������������ �� ��������� ��������
$\pi_1(S):=\Gamma\subset SO(2,1)$. {\�� \������ 
� ������ �������, $S$ �������������
������������ ���������, ������� $\pi_1(S)={\Bbb F}_2$.}
������������! \��������

\��������� ������ �������������� ���������������
������������� ������������� ����� ���� 0. �������
{\�� \������ ��� ����� $x,y\in SO(2,1)$, $x,y$ ���������
��������� ������.}

\newpage

{\bf \blue ��������� ��������� � $SO(3)$}

\�������
����� $SO(3)$ -- ������ ��������� $\R^3$. ����� ����������
������� ����� $Z_i$ ����������� �������������� ����������� ������������� 1
� $SO(3)$ �����, ��� {\�� \��� ��� ����� $x, y \in SO(3)\times SO(3)
\setminus \bigcup Z_i$,
����������� ��� ������ ��������.}

\����
���������� ��� ������������� ����������� �� ���� ��������� ���� $W(x,y)=1$.
������ �� ����� ����������� ���������� �������������� ��������������� $Z_W$
� $SO(3)\times SO(3)$; ���� ��� $Z_W$ ������������� $\geq 1$, �� ��� ��������.
{\�� \������ � ��������� ������, $Z_W=SO(3)\times SO(3)$, ������ ��� 
������������ $SO(3)\times SO(3)$ �����������.}

{\�� \����� ��� 2:} ���� ����������� $W$ ��������� � 
$SO(3)\times SO(3)$, ��� �� ��������� ��� $\C$, �
��������������� ����������� ������ �� $SO(3,\C)$. 
{\�� \������ �� ��� ������ �������� $SO(2,1)$, � ������� ����
��������� ���������.}
\��������

\��������� ������ �������������� ���������������
������������� ������������� ����� ���� 0. �������
{\�� \��� ��� ����� $x,y\in SO(3)$, $x,y$ ���������
��������� ������.}

\newpage

{\bf \blue �������� ������-��������}

\�������
���������� �������� $SO(3)$ �� $S^2$ ����������. {\�� \���
����� $S^2$ �������������.}

\���� ������� ��������� ��������� 
$G:={\Bbb F}_2\subset SO(3)$. ��� ������
�������������� �������� $g\in SO(3)$, ���� ����� ���
����������� ����� $\{\pm s_g\}$, ������� ����������� $g$.  
��������� �� $S_g$ ������� ��������� $\{s_g \ \ |\ \ g\in G\}$.
���������� ��������� $R\subset S^2$, �������
�������� �� ����� ����� �� ������ ������ $G$, ��
���������� $s_g$. {\�� \������ ����� $GR=S^2\backslash P$,
��� $P:=G (\bigcup S_g)$
� �������� $G$ �� $GR$ ��������.}

{\�� \����� ��� 2:} �����
$G=A\coprod B$ -- �������������� ���������� $G$,
����������� �����. ����� 
$AR \coprod BR= S^2\backslash P$, �� $AR$ � $BR$
���������������. {\�� \��� �� ��������, ��� $GR$ �������������.}

\newpage

{\bf \blue �������� ������-�������� (�����������)}

$G\subset SO(3)$ ��������� ������,
$P$ -- ������ ���� �����, ��� $G$ ��������� ����������,
$GR=S^2\backslash P$. 

{\�� \����� ��� 2:} �����
$G=A\coprod B$ -- �������������� ���������� $G$. �����
$AR \coprod BR= S^2\backslash P$, �� $AR$ � $BR$
���������������. {\�� \��� �� ��������, ��� $GR$ �������������.}

{\�� \����� ��� 3:} ��������� $P:=S^2\backslash GR$ ������,
��� ������� $p\in P$ ��������� $C_p$ ���� $g\in SO(3)$ �����, ���
$gGR\not\supset P$, ������. ���� $g\in SO(3)\backslash \cap_{p\in P}C_p$,
������� $gGR\supset P$.

{\�� \����� ��� 4:}  �� ��������, ��� $S^2$ ��������������� 
� ������������� ����������� 2 ����� $GR$. ��������� $GR$ �������������,
�� ����� �������, ��� $S_2$ ��������������� � ������������� $GR$
{\�� \������ � ���� ������-����������-�������, $GR$ ��������������� � $S^2$.}
��� ���� �������������� ���������� $S^2$.
\��������

\newpage


{\bf \blue ����������������� ������}

\����������� ������ $G$ ���������� {\�� \���� �����������������}, ����
��� ������ �������� $G$ �� $X$, � $X$ ��� �������������� �����������.
 
\�����������
����� $G$ �������� ��������� ���������� $F$ �� ���� ���������
(�� ���� � $G$ ���� ��� �������� $x, y$ �����, ��� ��� �������������
����� �� $x, y$ �� ����� 1 � ������). 
{\�� \��� ����� $G$ �� ����������������.}

\�������������� ����� $Fz$ -- ������ $F$  ��� �������� $G$ �� ����.
����� $Fz=xFz\coprod yFz$, �� ���� �������������. \��������

\����� {\�� \���� (����� � ����-����� � ����������)}\\
����� $G$ ��������� �� $X$, ������ $x$ � $y\in G$ ��������� $A$ � ������������
$A$, ������ $xA\cap yA=\emptyset$. {\�� \������ ����� ����������, �����������
$x$ � $y$, ��������.}
\��������

\�����������
{\�� \��� 
���� � $X$ ����������� ������� ����� � ����-�����, �� $A$ �������������.}

\�������������� $xA\coprod yA \subset A$. \��������


\�������
{\�� \���� (�������� �����������-�����������)}\\
{\�� \��� 
������ $G:=SO(2)\ltimes \R^2$ �������� ��������� �� ����������������.}

\��������������
����� $z$ -- ��������������� ����������� �����, $|z|=1$.
����� ����� ������� � ������ �������������� �� $z$ �� ����� ����.
���������� � �������� $x$ ������� �� ���� $Arg(z)$, � �������� $y$
����� �� 1, � � �������� $A\subset \R^2$ ��������� ���� ��������
$P(z)$, ��� $P$ -- ������� � ������, ���������������� ��������������.

{\�� \������ � ���� ����������������� $z$, 
����� $P(z)$ ���������� $P$ ����������.} ������� $x$ � $y$ ���������
�� $A$ ��� �� ��������� ${\goth P}$ 
����� ���������, �������� 1 � ������� �� $z$.
��������� $z{\goth P}\cap {\goth P}+1=\emptyset$, �������
����� � ����-����� �����������.
\��������

\���������
{\�� \������
��� �� �����, $G$ �����������}: $G$ ���� ���������� ���� �������� �����.



\end{document}
