\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Аменабельные группы, лекция 2 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Аменабельные группы и парадокс Банаха-Тарского \\[15mm] \small лекция 1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 11 декабря 2013 \\[20mm] {\tiny\bf Школа-конференция лаборатории Чебышева, \\[2mm] Репино, 8-13 декабря 2013 года } \end{center} \newpage \newpage {\бф \блуе Аменабельные группы (повторение)} {\small Для любого множества $S$, обозначим за $2^S$ {\бф \пурпле множество его подмножеств.} Обозначим за $A \coprod B$ {\бф \пурпле объединение непересекающихся подмножеств $S$.}} \определение Функция $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе конечно\--ад\-ди\-тив\-ной мерой}, если верно свойство {\bf\блуе конечной аддитивности}: $\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. \определение Пусть $G$ -- группа, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ -- отображение {\бф \блуе левого сдвига}, переводящее $x$ в $gx$. Функция $2^G \stackrel \mu \arrow \R$ называется {\бф \блуе левоинвариантной}, если $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ для любого $A \subset G$. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе аменабельной}, если существует ненулевая конечно-аддитивная левоинвариантная мера $2^G \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$. \утверждение {\бф \ред Любая подгруппа аменабельной группы аменабельна; расширение аменабельной группы с помощью аменабельной аменабельно; $Z$, $Z^n$, конечные группы, их расширения аменабельны.} \newpage {\бф \блуе $\ell^\infty$ и среднее (повторение)} \определение Пусть $S$ -- множество, а $\ell^\infty(S)$ -- пространство ограниченных $\R$-значных функций на $S$. Определим {\bf\блуе $\ell^\infty$-норму} на $\ell^\infty(S)$ формулой $|f|_{\ell^\infty}:= \sup_S |f|$. \определение {\бф \блуе Среднее} на $S$ есть непрерывный функционал \\ $\int:\; \ell^\infty(S)\arrow \R$, который удовлетворяет следующим условиям: 1. $\int(\chi_S)=1$, где $\chi_S\in \ell^\infty(S)$ есть функция, отображающая $S$ в 1. 2. $\int(f) \geq 0$ для любой неотрицательной функции $f\in \ell^\infty(S)$. \newpage {\бф \блуе Аменабельность и взятие и среднего} \теорема Группа $G$ {\бф \ред аменабельна тогда и только тогда, когда на $\ell^\infty(G)$ задано $G$-инвариантное среднее.} \замечание {\бф \пурпле Из этого сразу следует аменабельность подгруппы:} чтобы взять среднее функции $f$ на $G_1\subset G$, возьмем по представителю $r$ в каждом смежном классе $G/G_1$, и напишем $\tilde f(x):=f(xr^{-1})$, где $r$ в том же смежном классе. \замечание {\бф \пурпле Также из этого следует аменабельность расширения:} если $0\arrow G_1 \arrow G_2\stackrel \pi \arrow G_3\arrow 0$ -- точная последовательность групп, $G_1, G_3$ аменабельны, возьмем функцию $f_2$ на $G_2$, получим функцию $f_3$ на $G_3$ по формуле $f_3(x):=\int_{\pi^{-1}(x)}f_2$ и усредним. \newpage {\бф \блуе Равносоставленные множества (повторение)} Пусть $X$ -- множество с транзитивным действием группы $G$. \определение Два подмножества $A, B \subset X$ называются {\бф \блуе равносоставленными} (или {\бф \блуе равноразложимыми}) по отношению к действию $G$, если $A=\coprod_{i=1}^k A_i$, $B=\coprod _{i=1}^kB_i$, и существуют $g_1,..., g_k$, переводящие $A_i$ в $B_i$: $g_i(A_i)=B_i$. \теорема {\бф \блуе (Банаха-Шредера-Бернштейна)}\\ Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$, $A, B\subset X$ подмножества, причем $A$ равносоставлено с подмножеством $B$, а $B$ равносоставлено с подмножеством $A$. {\бф \ред Тогда $A$ и $B$ равносоставлены.} \определение Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$. Подмножество $A\subset X$ называется {\бф\блуе парадоксальным}, если $A=A_1\coprod A_2\coprod A_3\coprod... \coprod A_n$, причем $A_i$ равносоставлены с $A$. \лемма Пусть $X$ -- пространство с действием $G$, $X_0:= X\backslash F$, где $F$ -- конечное подмножество из $d$ элементов. {\бф \ред Пусть $X_0$ парадоксально. Тогда $X$ тоже парадоксально.} \замечание {\бф \пурпле Если группа $G$ аменабельна, то множество $X=G$ с действием $G$ на себе сдвигами не парадоксально.} \newpage {\bf \blue Свободная группа (повторение)} \определение {\бф \блуе Свободная группа} от $n$ образующих $x_1, ..., x_n$ есть группа, составленная из слов от $x_1, ..., x_n$ Элементы ${\Bbb F}_2$ суть слова, составленные из символов вида $x_i, x^{-1}_i$, с запретом на последовательное употребление $x_i, x^{-1}_i$; умножение -- последовательное написание слов с сокращением выражений вида $x_i x^{-1}_i$ и $x^{-1}_i x_i$. {\bf \green Определение:} Пусть $\Gamma$ -- связный граф, у которого есть всего одна вершина и $|I|$ ребер. Его топологическое пространство называется {\bf\blue букетом $|I|$ окружностей}. Оно имеет вид ромашки сделанной из нескольких окружностей. \теорема (Зейферт-ван Кампен) {\бф \блуе Свободная группа} ${\Bbb F}_n$ есть фундаментальная группа букета из $n$ окружностей. \теорема {\бф \ред Свободная группа ${\Bbb F}_2$ не аменабельна.} \newpage {\bf \blue Парадоксальные множества и аменабельность } \утверждение Пусть $G$ действует на $X$, $x\in X$, $A$ -- парадоксальное подмножество, а $G(A,x):=\{g\in G\ \ | gx\in A\}$. {\бф \ред Тогда $G(A,x)\subset G$ парадоксально (относительно действия $G$ на себе сдвигами справа).} \дшаг Если $A=A_1\coprod A_2$, то $G(A,x)=G(A_1,x)\coprod G(A_2,x)$. В силу равносоставленности, $A_i=\coprod A_i^j$, и существуют $g_j$, переводящие $A_1^j$ в $A_2^j$. Тогда $G(A_i,x)=\coprod_j G(A^j_i,x)$. {\бф \греен Шаг 2:} $G(A^j_1,x)=\{g\in G\ \ | gx\in A_1^j\}$, $g_jA_1^j=A_2^j$ $\Rightarrow$ $G(A^j_2,x)=\{g\in G\ \ | gg_jx\in A_1^j\}$. {\бф \пурпле Получаем, что $G(A^j_2,x)= G(A^j_1,x)g_j$.} \ендпрооф \следствие {\бф \ред Если $G$ аменабельна и действует на $X$, то $X$ не парадоксально.} \newpage {\bf \blue Свободные подгруппы в $SO(2,1)$} \теорема Пусть $G:=SO(2,1)$ -- группа движений плоскости Лобачевского. Тогда существует счетный набор $Z_i$ собственных алгебраических подмножеств коразмерности $\geq 1$ в $SO(2,1)\times SO(2,1)$ такой, что {\бф \ред для любых $x, y \in SO(2,1)\times SO(2,1)\setminus \bigcup Z_i$, порожденная ими группа свободна.} \дшаг Рассмотрим все нетривиальные соотношения от двух элементов вида $W(x,y)=1$. Каждое из таких соотношений определяет алгебраическое подмногообразие $Z_W$ в $SO(2,1)\times SO(2,1)$; если все $Z_W$ коразмерности $\geq 1$, то все доказано. {\бф \пурпле В противном случае, $Z_W=SO(2,1)\times SO(2,1)$, потому что многообразие $SO(2,1)\times SO(2,1)$ неприводимо.} {\бф \греен Шаг 2:} Если $Z_W=SO(2,1)\times SO(2,1)$, между любыми элементами $SO(2,1)$ есть соотношение $W$; {\бф \ред тогда свободная подгруппа не вкладывается в $SO(2,1)$.} \newpage {\bf \blue Свободные подгруппы в $SO(2,1)$ (продолжение)} \теорема Пусть $G:=SO(2,1)$ -- группа движений плоскости Лобачевского. Тогда существует счетный набор $Z_i$ собственных алгебраических подмножеств коразмерности $\geq 1$ в $SO(2,1)\times SO(2,1)$ такой, что {\бф \ред для любых $x, y \in SO(2,1)\times SO(2,1)\setminus \bigcup Z_i$, порожденная ими группа свободна.} {\бф \греен Шаг 2:} Если $Z_W=SO(2,1)\times SO(2,1)$, между любыми элементами $SO(2,1)$ есть соотношение $W$; {\бф \ред тогда свободная подгруппа не вкладывается в $SO(2,1)$.} {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим риманову поверхность $S:=\C P^1 \backslash \{0,1,\infty\}$; по теореме Римана, она является фактором плоскости Лобачевского по подгруппе движений $\pi_1(S):=\Gamma\subset SO(2,1)$. {\бф \пурпле С другой стороны, $S$ гомотопически эквивалентна восьмерке, поэтому $\pi_1(S)={\Bbb F}_2$.} Противоречие! \ендпрооф \замечание Каждое алгебраическое подмногообразие положительной коразмерности имеет меру 0. Поэтому {\бф \пурпле для общих $x,y\in SO(2,1)$, $x,y$ порождают свободную группу.} \newpage {\bf \blue Свободные подгруппы в $SO(3)$} \теорема Пусть $SO(3)$ -- группа поворотов $\R^3$. Тогда существует счетный набор $Z_i$ собственных алгебраических подмножеств коразмерности 1 в $SO(3)$ такой, что {\бф \ред для любых $x, y \in SO(3)\times SO(3) \setminus \bigcup Z_i$, порожденная ими группа свободна.} \дшаг Рассмотрим все нетривиальные соотношения от двух элементов вида $W(x,y)=1$. Каждое из таких соотношений определяет алгебраическое подмногообразие $Z_W$ в $SO(3)\times SO(3)$; если все $Z_W$ коразмерности $\geq 1$, то все доказано. {\бф \пурпле В противном случае, $Z_W=SO(3)\times SO(3)$, потому что многообразие $SO(3)\times SO(3)$ неприводимо.} {\бф \греен Шаг 2:} Если соотношение $W$ выполнено в $SO(3)\times SO(3)$, оно же выполнено над $\C$, в соответствующей комплексной группе Ли $SO(3,\C)$. {\бф \пурпле Но эта группа содержит $SO(2,1)$, в которой есть свободные подгруппы.} \ендпрооф \замечание Каждое алгебраическое подмногообразие положительной коразмерности имеет меру 0. Поэтому {\бф \ред для общих $x,y\in SO(3)$, $x,y$ порождают свободную группу.} \newpage {\bf \blue Парадокс Банаха-Тарского} \теорема Рассмотрим действие $SO(3)$ на $S^2$ поворотами. {\бф \ред Тогда $S^2$ парадоксально.} \дшаг Выберем свободную подгруппу $G:={\Bbb F}_2\subset SO(3)$. Для любого нетривиального поворота $g\in SO(3)$, есть ровно две неподвижные точки $\{\pm s_g\}$, которые сохраняются $g$. Обозначим за $S_g$ счетное множество $\{s_g \ \ |\ \ g\in G\}$. Рассмотрим множество $R\subset S^2$, которое содержит по одной точке из каждой орбиты $G$, не содержащей $s_g$. {\бф \пурпле Тогда $GR=S^2\backslash P$, где $P:=G (\bigcup S_g)$ и действие $G$ на $GR$ свободно.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $G=A\coprod B$ -- парадоксальное разложение $G$, построенное вчера. Тогда $AR \coprod BR= S^2\backslash P$, но $AR$ и $BR$ равносоставлены. {\бф \ред Мы получили, что $GR$ парадоксально.} \newpage {\bf \blue Парадокс Банаха-Тарского (продолжение)} $G\subset SO(3)$ свободная группа, $P$ -- орбиты всех точек, где $G$ действует несвободно, $GR=S^2\backslash P$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $G=A\coprod B$ -- парадоксальное разложение $G$. Тогда $AR \coprod BR= S^2\backslash P$, но $AR$ и $BR$ равносоставлены. {\бф \ред Мы получили, что $GR$ парадоксально.} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку $P:=S^2\backslash GR$ счетно, для каждого $p\in P$ множество $C_p$ всех $g\in SO(3)$ таких, что $gGR\not\supset P$, счетно. Взяв $g\in SO(3)\backslash \cap_{p\in P}C_p$, получим $gGR\supset P$. {\бф \греен Шаг 4:} Мы получили, что $S^2$ равносоставлено с подмножеством объединения 2 копий $GR$. Поскольку $GR$ парадоксально, из этого следует, что $S_2$ равносоставлено с подмножеством $GR$ {\бф \пурпле В силу Банаха-Бернштейна-Шредера, $GR$ равносоставлено с $S^2$.} Это дает парадоксальное разложение $S^2$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Супераменабельные группы} \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе супераменабельной}, если для любого действия $G$ на $X$, у $X$ нет парадоксальных подмножеств. \утверждение Пусть $G$ содержит свободную полугруппу $F$ от двух элементов (то есть в $G$ есть два элемента $x, y$ такие, что все нетривиальные слова от $x, y$ не равны 1 в группе). {\бф \ред Тогда $G$ не супераменабельна.} \доказательство Пусть $Fz$ -- орбита $F$ при действии $G$ на себе. Тогда $Fz=xFz\coprod yFz$, то есть парадоксально. \ендпрооф \лемма {\бф \блуе (лемма о пинг-понге в полугруппе)}\\ Пусть $G$ действует на $X$, причем $x$ и $y\in G$ переводят $A$ в подмножество $A$, причем $xA\cap yA=\emptyset$. {\бф \пурпле Тогда полугруппа, порожденная $x$ и $y$, свободна.} \ендпрооф \утверждение {\бф \ред Если в $X$ соблюдаются условия леммы о пинг-понге, то $A$ парадоксально.} \доказательство $xA\coprod yA \subset A$. \ендпрооф \теорема {\бф \блуе (парадокс Серпинского-Мазуркевича)}\\ {\бф \ред Группа $G:=SO(2)\ltimes \R^2$ движений плоскости не супераменабельна.} \доказательство Пусть $z$ -- трансцендентное комплексное число, $|z|=1$. Тогда любой полином с целыми коэффициентами от $z$ не равен нулю. Рассмотрим в качестве $x$ поворот на угол $Arg(z)$, в качестве $y$ сдвиг на 1, а в качестве $A\subset \R^2$ множества всех значений $P(z)$, где $P$ -- полином с целыми, неотрицательными коэффициентами. {\бф \пурпле В силу трансцендентности $z$, число $P(z)$ определяет $P$ однозначно.} Поэтому $x$ и $y$ действуют на $A$ как на множестве ${\goth P}$ таких полиномов, добавляя 1 и умножая на $z$. Поскольку $z{\goth P}\cap {\goth P}+1=\emptyset$, условия леммы о пинг-понге соблюдаются. \ендпрооф \замечание {\бф \пурпле Тем не менее, $G$ аменабельна}: $G$ есть расширение двух абелевых групп. \end{document}