
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}



\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Аменабельные группы, лекция 1 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Аменабельные группы и равносоставленные множества \\[15mm]
\small лекция 1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[10mm] \tiny 
10 декабря 2013
\\[20mm]

{\tiny\bf Школа-конференция лаборатории Чебышева, \\[2mm]
Репино, 8-13 декабря 2013 года
}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Конечно-аддитивные меры на множествах}

{\small Для любого множества $S$, обозначим за $2^S$ {\бф \пурпле
множество его подмножеств.}
Обозначим за $A \coprod B$ {\бф \пурпле
объединение непересекающихся подмножеств $S$.}}

\определение
Функция $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе конечно\--ад\-ди\-тив\-ной мерой},
если верно свойство {\bf\блуе конечной аддитивности}:
$\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. 

\упражнение
Докажите, что конечная аддитивность равносильна условию
$\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A \cap B)$ 

\упражнение 
Докажите, что конечная аддитивность равносильна условию
$\mu\left(\coprod_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n \mu(A_i)$
для любого конечного набора непересекающихся подмножеств.

\замечание
Мера Лебега на отрезке {\бф \ред не является "конеч\-но-\-ад\-ди\-тивной мерой",}
ибо {\бф \ред не определена на неизмеримых множествах.}

\замечание
Конечно-аддитивная мера не задает меры Лебега, ибо она {\бф \ред не 
обязательно счетно-аддитивна.}

\упражнение 
Постройте нетривиальную конечно-аддитивную меру на $\Z$,
которая зануляется на всех конечных множествах.

\newpage

{\бф \блуе Равносоставленные множества}

Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$.

\замечание Мы пытаемся 
{\бф \ред найти $G$-инвариантные конечно-аддитивные меры на $X$, 
или доказать, что их нет.}

\определение
Два подмножества $A, B \subset X$ называются {\бф \блуе
равносоставленными} (или {\бф \блуе равноразложимыми} по отношению
к действию $G$, если $A=\coprod_{i=1}^k A_i$, $B=\coprod _{i=1}^kB_i$, и 
существуют $g_1,..., g_k$, переводящие $A_i$ в $B_i$:
$g_i(A_i)=B_i$.

\пример
{\bf \blue (теорема Бойяи-Гервина, Bolyai-Gerwien theorem)}\\
Пусть $G$ есть группа движений (сдвигов и поворотов) $\R^2$.
{\бф \пурпле Тогда любые два многоугольника  одинаковой площади 
в $\R^2$ равносоставлены.}

\замечание Это нетривиальный факт (граница многоугольников мешает).
Если разрешается добавлять объединение любого количества отрезков,
это делается довольно просто; именно это решение было получено
Бойяи (1833), Гервиным (1835) и до них Уоллесом (Wallace, 1807).

\newpage

{\бф \блуе Равносоставленные множества (продолжение)}

\пример ({\бф \блуе третья проблема Гильберта}; решена Максом Деном,
студентом Гильберта, примерно за год до того, как Гильберт ее поставил)\\
Пусть $G$ есть группа движений (сдвигов и поворотов) $\R^3$.
Тогда тетраэдр (плюс объединение конечного числа плоских сегментов)
{\бф \ред не равносоставлен кубу того же объема} плюс объединение 
конечного числа плоских сегментов.

\задача {\bf \blue (Tarski's Challenge; 1925)}\\
Докажите, что квадрат в $\R^2$ равносоставлен кругу того же
объема.

Решение: {\бф \блуе Mikl\'os Laczkovich, 1991.}

{\бф \греен Решение:}
{\бф \ред $10^{50}$ частей, неизмеримых по Лебегу, доказательство использует
аксиому выбора, $G$ -- группа параллельных переносов.}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Wikipedia_10_Hungary_Conference_by_Orsolya_86.JPG,width=0.40\linewidth}

{\bf \tiny Mikl\'os Laczkovich, (b. Budapest, 1948, February 21)\\
Hungarian Wikipedia's 10th Anniversary Conference, 15 January 2010}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Теорема Банаха-Шредера-Бернштейна}

\теорема
Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$, $A, B\subset X$
подмножества, причем $A$ равносоставлено с подмножеством $B$, а 
$B$ равносоставлено с подмножеством $A$. {\бф \ред Тогда $A$ и $B$
равносоставлены.}

\доказательство
Назовем отображение $U\stackrel \phi \arrow V$ подмножеств $X$ {\бф\блуе кусочным
$G$-сдвигом}, если $U=\coprod U_i$, и существуют $g_i\in G$
такие, что $\phi\restrict{U_i}$ есть сдвиг на $g_i$. 

{\bf \греен Шаг 1:} Пусть
$f:\; A \hookrightarrow B$ -- вложение
из $A$ в $B$, а $g :\; B \hookrightarrow A$
вложение из $B$ в $A$, заданное кусочными $G$-сдвигами.
 Обозначим
за $A_0$ дополнение $A\backslash g(B)$.
Определим индуктивно $A_i$
по формуле $A_{i+1}= f\circ g(A_i)$.
Определим $A_\infty$ как пересечение
образов отображений $(f\circ g)^i$ для всех $i$
(за $(f\circ g)^i$ обозначается композиция $f\circ g$ с
собой $i$ раз). Легко видеть, что {\бф\purple  $A$ разбивается
в объединение непересекающихся подмножеств,
$A= A_0 \cup A_1 \cup ... \cup A_\infty$.}


\newpage

{\бф \блуе Теорема Банаха-Шредера-Бернштейна (продолжение)}


\теорема
Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$, $A, B\subset X$
подмножества, причем $A$ равносоставлено с подмножеством $B$, а 
$B$ равносоставлено с подмножеством $A$. {\бф \ред Тогда $A$ и $B$
равносоставлены.}

{\bf \греен Шаг 2:} 
Применим аналогичную процедуру к $B$, получив
разбиение $B$ в объединение непересекающихся подмножеств,
$B= B_0 \cup B_1 \cup ... \cup B_\infty$.
Тогда $f$ задает биекцию из $A_\infty$ в
$B_\infty$, и из $A_0 \cup A_2 \cup A_4 \cup ...$ 
в $B_1 \cup B_3 \cup B_5 \cup ...$,
а $g$  задает биективное отображение из $B_0 \cup B_2 \cup B_4 \cup ...$ 
в $A_1 \cup A_3 \cup A_5 \cup ...$.

{\bf \греен Шаг 3:} 
Мы разбили $A$ и $B$ на непересекающиеся 
подмножества, которые {\бф \пурпле попарно биективны,}
и {\бф \пурпле биекции задаются кусочными $G$-сдвигами.}
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Парадоксальные множества}

\определение
Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$.
Подмножество $A\subset X$ называется {\бф\блуе парадоксальным}, если
$A=A_i\coprod A_2$, причем $A_i$ равносоставлены с $A$.

\замечание
В силу предыдущей теоремы, достаточно найти
в $A$ два непересекающиеся подмножества $A_1, A_2\subset A$
и кусочные $G$-сдвиги $\phi_i:\;A_i \arrow A$, которые инъективны.

\пример {\бф \блуе (парадокс Банаха-Тарского)}\\
Пусть $G$ -- группа движений $\R^3$. Тогда единичный
шар в $\R^3$ -- парадоксальное множество.

\пример {\бф \блуе (парадокс Серпинского-Мазуркевича)}\\
Пусть $G$ -- группа движений $\R^2$. Тогда у $\R^2$ есть парадоксальные
подмножества.

\newpage

{\бф \блуе Парадоксальные множества (продолжение)}

\теорема {\бф \блуе фон Нойман (1929):} \\
{\бф \ред Если $G$ содержит свободную подгруппу 
и свободно действует на $X$, то $X$ парадоксально.}

Тогда же фон Нойман определил {\бф \блуе аменабельные группы}
(не допускающие парадоксальных разбиений), и предложил гипотезу

{\бф \греен Гипотеза фон Ноймана:}
{\бф \пурпле Группа аменабельна тогда и только тогда, когда она не содержит
свободной подгруппы.}

Контрпример найден А. Ольшанским (1980).

\определение {\бф \блуе Монстр Тарского} есть группа $G$, 
порожденная двумя элементами $x$ и $y$, и такая, что
любая собственная подгруппа $G$ изоморфна $\Z/p$.

\теорема {\бф \ред Монстр Тарского не аменабелен.}

\newpage

{\бф \блуе Парадоксальные множества (продолжение)}

\лемма
Пусть $X$ -- пространство с действием $G$, $X_0:= X\backslash F$,
где $F$ -- конечное подмножество из $d$ элементов. 
{\бф \ред Пусть $X_0$ парадоксально.
Тогда $X$ тоже парадоксально.}

\доказательство
В силу парадоксальности $X_0$, оно равносоставлено с 
$2d+2$ копиями $X_0$. Это дает вложение $X_0\coprod X_0 \coprod F\coprod F$ в 
$X_0$ кусочными $G$-сдвигами. Поскольку $X_0 \coprod F$ равносоставлено с
$X$, мы получаем вложение $X\coprod X$ в $X_0$ кусочными $G$-сдвигами.
{\бф \пурпле Значит $X\coprod X$ вкладывается в $X$ кусочными сдвигами,} что 
гарантирует парадоксальность $X$ в силу 
теоремы Банаха-Шредера-Бернштейна. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Аменабельные группы}

\определение
Пусть $G$ -- группа, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ --
отображение {\бф \блуе левого сдвига}, переводящее $x$ в $gx$.
Функция  $2^G \stackrel \mu 
\arrow \R$ называется {\бф \блуе левоинвариантной}, 
если $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ для любого $A \subset G$.

{\bf\small  \purple von Neumann, J. (1929), \\
"Zur allgemeinen Theorie des Masses", Fundamenta Mathematica 13: 73-116}

\определение
Группа $G$ называется {\бф \блуе аменабельной}, если
существует ненулевая конечно-аддитивная левоинвариантная мера
$2^G \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$.

\begin{center}
\epsfig{file=neumannth.jpg,width=0.45\linewidth}

{\bf \small John von Neumann, 1903 - 1957}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Свойства аменабельных групп}

\замечание Конечные группы, очевидно, аменабельны.

\утверждение Рассмотрим $X=G$ с действием $G$ на себе сдвигами.
Пусть $G$ аменабельна. {\бф \ред Тогда $X$ не парадоксально.}

\доказательство
$\mu(A)=\mu(B)$, если $A$ и $B$ равносоставлены. 
Если $X$ парадоксально, это дает $\mu(X)=2\mu(X)=0$,
что противоречит аменабельности. \ендпрооф

\утверждение
{\бф \ред Любая подгруппа аменабельной группы аменабельна.}

\доказательство 
Пусть $G'\subset G$ -- подгруппа аменабельной группы, а
$G'\backslash G$ -- множество левых классов смежности.
Выберем в каждом классе по представителю, и пусть
$M$ -- множество всех таких представителей. Для
какого-то подмножества $R\subset G'$, {\бф \пурпле обозначим
за $RM$ множество всех произведений вида $rm$, где
$r\in R$, $m\in M$.} Определим $\mu_{G'}(R):= \mu_G(RM)$.

{\бф \греен Шаг 1:} {\бф \ред Эта функция аддитивна,} потому что
$(R\coprod R')M= RM \coprod R'M$.

{\бф \греен Шаг 2:} {\бф \ред Эта функция ненулевая,} потому что
$\mu_{G'}(G') = \mu_G(G'M)= \mu_G(G)>0$, ибо
$G' M = G$. \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Банаховы пространства}


{\bf \green Определение:} \\
Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$, а 
$\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ функция со значениями
в неотрицательных числах. $\nu$ называется {\bf \blue нормой} на
$V$, если имеет место следующее 
\begin{description}
\item[\red Невырожденность:] $\nu(x)>0$, если $x\neq 0$,
\item[\red Неравенство треугольника:] $\nu (x+x') \leq \nu(x) + \nu(x')$.
\item[\red Инвариантность относительно гомотетии:] \ \ 
$\nu(\lambda x) = |\lambda| \nu(x)$,
\end{description}
для любых $x$, $x'\in V$, и  любого $\lambda\in \R$.
В такой ситуации $V$ называется {\bf \blue нормированным пространством}.


{\bf\green Определение:} Пусть $(V,\nu)$ -- нормированное
пространство. Напомним, что $(V, \nu)$ называется {\bf\blue банаховым},
если оно полно, как метрическое пространство.


\упражнение Докажите, что {\bf \пурпле любое конечномерное
нормированное пространство -- банахово.}


\newpage

{\бф \блуе  $\ell^\infty$ и среднее}

\определение
Пусть $S$ -- множество, а $\ell^\infty(S)$ -- пространство
ограниченных $\R$-значных функций на $S$.
Определим {\bf\блуе $\ell^\infty$-норму} на $\ell^\infty(S)$
формулой $|f|_{\ell^\infty}:= \sup_S |f|$.

\упражнение
Докажите, что $\ell^\infty(S)$ -- банахово пространство.

\определение
{\бф \блуе Среднее} на $S$ есть непрерывный
функционал \\ $\int:\; \ell^\infty(S)\arrow \R$, который
удовлетворяет следующим условиям:

1. $\int(\chi_S)=1$, где $\chi_S\in \ell^\infty(S)$ есть 
функция, отображающая $S$ в 1.

2. $\int(f) \geq 0$ для любой неотрицательной функции $f\in \ell^\infty(S)$.

\определение Для подмножества $A\subset S$, обозначим за
$\chi_A\in \ell^\infty(S)$ {\бф \блуе характеристическую функцию}, 
которая равна $1$ на $A$ и 0 вне $A$.

\определение
Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если
$\mu(S)=1$.

\теорема
Пусть $2^S \stackrel \mu 
\arrow \R^{\geq 0}$ -- конечно-аддитивная вероятностная
мера. Тогда {\бф \ред существует среднее} 
$\ell^\infty(S)\stackrel \int\arrow \R$
такое, что $\int \chi_A= \mu(A)$ для каждого $A\subset S$,
и оно единственно.

\newpage

{\бф \блуе  Построение среднего}

\определение
{\бф \блуе Ступенчатая функция} на $S$ есть функция,
принимающая конечное число значений,  
$f=\sum_{i=1}^n \alpha_i \chi_{A_i}$.

\определение 
Для ступенчатой функции такого вида, 
напишем {\бф \блуе среднее} формулой $\int(f):= \sum_{i=1}^n \alpha_i\mu(A_i)$.

{\бф \греен Доказательство существования среднего.
 Шаг 1:}
Докажите, что {\бф \пурпле пространство ступенчатых
функций плотно} в $\ell^\infty(S)$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Докажите, что $f\arrow \int (f)$ {\бф \пурпле непрерывный функционал на пространстве
ступенчатых функций,} с топологией, заданной $\ell^\infty$-нормой.

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть 
$W \subset V$ -- плотное подпространство нормированного
пространства, а $\kappa:\; V' \arrow \R$ --
непрерывный функционал. Докажите, что его {\бф \пурпле можно продолжить
до непрерывного функционала} на $V$, и это продолжение однозначно.

{\бф \греен Шаг 4:} Определим $\ell^\infty(S)\stackrel \int\arrow \R$,
продолжив $\int$ с пространства ступенчатых функций по непрерывности,
как в шаге 3. Докажите, что этот функционал удовлетворяет 
условиям определения среднего. Проверьте единственность.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе  Произведение аменабельных групп}

\замечание
Любая ненулевая конечно-аддитивная мера $\mu$ на $G$ становится
вероятностной после домножения на $\mu(G)^{-1}$.
{\бф \ред В дальнейшем все конечно-аддитивные меры на группах
предполагаются вероятностными.} 

\замечание В силу предыдущей теоремы,
{\бф \пурпле задание левоинвариантной вероятностной меры на $G$ равносильно
заданию левоинвариантого среднего на $\ell^\infty (G)$.}

\теорема
{\бф \ред Произведение аменабельных групп аменабельно.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
 Среднее удовлетворяет очевидному соотношению
$\int(f) \leq \sup f$ (проверьте это).

{\бф \греен Шаг 2:}
Рассмотрим проекцию $\pi:\; G \times G' \arrow G$,
и пусть $f\in \ell^{\infty}(G\times G')$ -- ограниченная функция.
Обозначим за $\pi_* f$ функцию на $G$, которая
задана формулой $\pi_* f(\xi):= \int_{\{\xi\}\times G'} f(\xi\times g')$.
{\бф \пурпле Эта функция ограниченна,} потому что $\pi_* f(\xi) \leq \sup f$
(шаг 1).

{\bf Шаг 3:} Пусть $\int(f):=\int_G \pi_* f$. {\бф \ред Это левоинвариантное
среднее на $\ell^\infty (G\times G')$. }
\endproof

\newpage

{\bf \blue Теорема Хана-Банаха}


\определение
{\бф \блуе выпуклым конусом} в векторном пространстве $V$ называется
подмножество $A\subset V$, удовлетворяющее следующим свойствам.

1. $\forall x, y\in A$, их сумма тоже лежит в $A$.

2. $\forall x\in A, \lambda\in \R^{>0}$, $\lambda x$ 
также лежит в $A$.

\теорема {\bf \блуе (``Хана-Банаха'')}
Пусть $V$ - топологическое
векторное пространство, $A\subset V$ - 
открытый выпуклый конус, не содержащий 0,
а $W\subset V$ - замкнутое подпространство,
не пересекающее $A$. {\бф \ред Тогда на $V$
существует непрерывный, линейный функционал $\theta$,
такой, что $\theta\restrict A> 0$, a $\theta\restrict W = 0$.}


\задача
Напомним, что {\бф \блуе аффинная функция} на векторном пространстве
-- это сумма линейного функционала и постоянного отображения.
Пусть даны два выпуклых, открытых, непересекающихся подмножества
$A$, $B$ в топологическом векторном пространстве $V$. {\бф \пурпле Докажите, что
найдется непрерывная аффинная функция на $V$, строго положительная на одном
из них, и строго отрицательная на другом.}


\невпаге

{\bf \blue Аменабельность $\Z$ и теорема Хана-Банаха}

\лемма
Пусть $f:\; \Z \arrow \R$ -- ограниченная функция, $g\in \Z$, а 
$L_g:\; \Z \arrow Z$ -- левый сдвиг. {\бф \пурпле 
Тогда $\inf_\Z (f-L_g^* f)\leq 0$,}
где $L_g^*(f)(t) = f(L_g(t))$.

\доказательство
Достаточно проверить для $L_g(t)=t+1$. Тогда $f-L_g^* f(t)=f(t)-f(t+1)$.
Если $f(t)-f(t+1)$ неотрицательно, значит, $f$ монотонно убывает.
Тогда $\lim_{t\arrow \infty}f(t)-f(t+1)=0$, потому что $f$
ограниченна. \ендпрооф

\теорема
{\бф \ред Группа $\Z$ аменабельна.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $V= \ell^\infty(\Z)$,
$C$ -- конус функций $f:\; \Z \arrow \R$, удовлетворяющих
$f> \epsilon >0$ для какого-то $\epsilon$, а $I$ -- пространство
функций вида $f-L_g^* f$. {\бф \пурпле В силу предыдущей леммы,
$I \cap C=0$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Применив теорему Хана-Банаха,
 мы получим функционал 
$\phi:\; \ell^\infty(\Z)\arrow \R$, который строго положителен
на $C$, то есть {\бф \пурпле $\frac 1 {\phi(\chi_\Z)}\phi$ является средним.}

{\бф \греен Шаг 3:} Условие $\phi\restrict I=0$ значит, что
$\phi(f) = \phi(L_g^* f)$, то есть {\бф \пурпле $\phi$ инвариантно
относительно левых сдвигов.} \ендпрооф

\невпаге

{\bf \blue Множества Фёлнера}

Обозначим число элементов конечного множества за $|A|$.

\определение
Пусть $A, B\subset S$ -- множества. {\бф \блуе симметрическая разность}
$A$ и $B$ -- это $A \triangle B:= (A \cup B)\backslash (A \cap B)$.

\определение
Пусть $G$ -- группа, а $F_n \subset G$ -- последовательность подмножеств.
$\{F_n\}$ называется {\бф \блуе последовательностью Фёльнера}
(F\o lner sequence), если для каждого $g\in G$, 
$\lim_n \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}=0$.

\пример
$F_n:= [-n,n]\subset \Z$ является последовательностью Фёльнера в $\Z$.

\пример
$F_n:= [-n,n]^n\subset \Z^n$ является последовательностью Фёльнера в $\Z^n$
(проверьте).

\замечание 
Можно доказать, что {\бф \пурпле любая аменабельная группа содержит
последовательность Фёльнера.}

\теорема
Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера.
{\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. } 


\невпаге

{\bf \blue Аменабельность групп и последовательности Фёлнера}


\лемма
Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера,
$f:\; G \arrow \R$ -- ограниченная функция, $g\in G$, а 
$L_g:\; G \arrow G$ -- левый сдвиг. {\бф \ред
Тогда $\inf_G (f-L_g^* f)\leq 0$,}
где $L_g^*(f)(t) = f(L_g(t))$.

\доказательство
Для конечного подмножества $X\subset G$  и функции $f_1$ на $G$,
обозначим за $\Av_X f_1$ среднее $f_1$ на $X$.
Тогда 
\begin{multline*}
  \Av_{F_n}(f-L_g^* f) = 
\frac{\sum_{x\in F_n}f(x)- \sum_{x\in L_g(F_n)} f(x)}{|F_n|}\leq \\ 
\leq \frac{\sum_{x\in F_n\triangle L_g(F_n)}|f(x)|}{|F_n|}
\leq  \sup_G |f| \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}
\end{multline*}
следовательно, $\lim_n\Av_{F_n}(f-L_g^* f)=0$.
\ендпрооф

\невпаге

{\bf \blue Аменабельность групп и последовательности Фёлнера\\ (продолжение)}

\теорема
Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера.
{\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. }

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} 
Пусть $V= \ell^\infty(G)$,
$C$ -- конус функций $f:\; G \arrow \R$, удовлетворяющих
$f> \epsilon >0$ для какого-то $\epsilon$, а $I$ -- пространство,
порожденное функциями вида $f-L_g^* f$. {\бф \пурпле В силу предыдущей леммы,
$I \cap C=0$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Применив теорему Хана-Банаха,
 мы получим функционал 
$\phi:\; \ell^\infty(G)\arrow \R$, который строго положителен
на $C$, то есть {\бф \пурпле $\frac 1 {\phi(\chi_G)}\phi$ является средним.}

{\бф \греен Шаг 3:} Условие $\phi\restrict I=0$ значит, что
$\phi(f) = \phi(L_g^* f)$, то есть {\бф \пурпле $\phi$ инвариантно
относительно левых сдвигов.} \ендпрооф

\замечание
Доказательство {\бф \греен дословно такое же,} 
как приведено выше для случая $\Z=G$.

\newpage
 

{\bf \blue Букет окружностей}
 
{\bf \green Определение:}
Пусть $\Gamma$ -- связный граф, у которого есть всего
одна вершина и $|I|$ ребер. Его топологическое пространство называется
{\bf\blue  букетом $|I|$ окружностей}. Оно имеет вид ромашки
сделанной из нескольких 
окружностей.
\begin{center}
\epsfig{file=buket.png,width=0.25\linewidth}\\
{\small Букет четырех окружностей}
\end{center}

\теорема (Зейферт-ван Кампен)
{\бф \блуе Свободная группа} ${\Bbb F}_n$ есть фундаментальная группа
букета из $n$ окружностей.

\невпаге

{\bf \blue Свободная группа не аменабельна}

\теорема
{\бф \ред Свободная группа ${\Bbb F}_2$ не аменабельна.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} 
Пусть $X=G={\Bbb F}_2$ свободная группа, действующая на себе
сдвигами. Для доказательства неаменабельности
достаточно убедиться в том, что $X$ парадоксально.

{\бф \греен Шаг 2:}
Обозначим за $x, y$ образующие ${\Bbb F}_2$.
Тогда элементы ${\Bbb F}_2$ суть {\бф \пурпле слова, составленные
из символов вида $x, y, x^{-1}, y^{-1}$, с запретом
на последовательное употребление $x, x^{-1}$ и $y, y^{-1}$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\Bbb F}_2(x)\subset {\Bbb F}_2$ 
слова $W \subset {\Bbb F}_2$, которые начинаются с $x$.
Тогда {\бф \пурпле
${\Bbb F}_2(x)$ содержит $x {\Bbb F}_2(x)\coprod xy {\Bbb F}_2(x)$.}
Поэтому ${\Bbb F}_2(x)$ парадоксально (оно содержит два непересекающихся
подмножества $x {\Bbb F}_2(x)$ и $xy {\Bbb F}_2(x)$, с которыми
равносоставлено).

{\бф \греен Шаг 4:} Аналогично доказывается, что
 ${\Bbb F}_2(x^{-1})$, ${\Bbb F}_2(y^{-1})$, ${\Bbb F}_2(y)$
парадоксальны. Поэтому ${\Bbb F}_2\backslash \{e\}$ парадоксально.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Проблема фон Ноймана}

\замечание
В силу доказанного выше, {\бф \пурпле любая группа, содержащая 
${\Bbb F}_2$, не аменабельна.}

{\бф \греен Проблема фон Ноймана:} Пусть $G$ -- группа, 
которая не аменабельна. Всегда ли $G$ содержит подгруппу,
изоморфную ${\Bbb F}_2$? 

{\бф \греен Решение (найден контрпример):}\\
{\бф \small Ol'shanskii, A. (1980), "On the question of the existence
of an invariant mean on a group", Uspekhi Mat. Nauk 35
(4): 199-200.} 

\теорема (альтернатива Титса для аменабельных групп)\\
{\бф \ред Любая конечно-порожденная подгруппа в $GL(n)$
аменабельна, либо содержит подгруппу,
изоморфную  ${\Bbb F}_2$.}





\end{document}
