\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Av}{\operatorname{\sf Av}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Аменабельные группы, лекция 1 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Аменабельные группы и равносоставленные множества \\[15mm] \small лекция 1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[10mm] \tiny 10 декабря 2013 \\[20mm] {\tiny\bf Школа-конференция лаборатории Чебышева, \\[2mm] Репино, 8-13 декабря 2013 года } \end{center} \newpage {\бф \блуе Конечно-аддитивные меры на множествах} {\small Для любого множества $S$, обозначим за $2^S$ {\бф \пурпле множество его подмножеств.} Обозначим за $A \coprod B$ {\бф \пурпле объединение непересекающихся подмножеств $S$.}} \определение Функция $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе конечно\--ад\-ди\-тив\-ной мерой}, если верно свойство {\bf\блуе конечной аддитивности}: $\mu(A \coprod B) = \mu(A) + \mu(B)$. \упражнение Докажите, что конечная аддитивность равносильна условию $\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A \cap B)$ \упражнение Докажите, что конечная аддитивность равносильна условию $\mu\left(\coprod_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n \mu(A_i)$ для любого конечного набора непересекающихся подмножеств. \замечание Мера Лебега на отрезке {\бф \ред не является "конеч\-но-\-ад\-ди\-тивной мерой",} ибо {\бф \ред не определена на неизмеримых множествах.} \замечание Конечно-аддитивная мера не задает меры Лебега, ибо она {\бф \ред не обязательно счетно-аддитивна.} \упражнение Постройте нетривиальную конечно-аддитивную меру на $\Z$, которая зануляется на всех конечных множествах. \newpage {\бф \блуе Равносоставленные множества} Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$. \замечание Мы пытаемся {\бф \ред найти $G$-инвариантные конечно-аддитивные меры на $X$, или доказать, что их нет.} \определение Два подмножества $A, B \subset X$ называются {\бф \блуе равносоставленными} (или {\бф \блуе равноразложимыми} по отношению к действию $G$, если $A=\coprod_{i=1}^k A_i$, $B=\coprod _{i=1}^kB_i$, и существуют $g_1,..., g_k$, переводящие $A_i$ в $B_i$: $g_i(A_i)=B_i$. \пример {\bf \blue (теорема Бойяи-Гервина, Bolyai-Gerwien theorem)}\\ Пусть $G$ есть группа движений (сдвигов и поворотов) $\R^2$. {\бф \пурпле Тогда любые два многоугольника одинаковой площади в $\R^2$ равносоставлены.} \замечание Это нетривиальный факт (граница многоугольников мешает). Если разрешается добавлять объединение любого количества отрезков, это делается довольно просто; именно это решение было получено Бойяи (1833), Гервиным (1835) и до них Уоллесом (Wallace, 1807). \newpage {\бф \блуе Равносоставленные множества (продолжение)} \пример ({\бф \блуе третья проблема Гильберта}; решена Максом Деном, студентом Гильберта, примерно за год до того, как Гильберт ее поставил)\\ Пусть $G$ есть группа движений (сдвигов и поворотов) $\R^3$. Тогда тетраэдр (плюс объединение конечного числа плоских сегментов) {\бф \ред не равносоставлен кубу того же объема} плюс объединение конечного числа плоских сегментов. \задача {\bf \blue (Tarski's Challenge; 1925)}\\ Докажите, что квадрат в $\R^2$ равносоставлен кругу того же объема. Решение: {\бф \блуе Mikl\'os Laczkovich, 1991.} {\бф \греен Решение:} {\бф \ред $10^{50}$ частей, неизмеримых по Лебегу, доказательство использует аксиому выбора, $G$ -- группа параллельных переносов.} \newpage \begin{center} \epsfig{file=Wikipedia_10_Hungary_Conference_by_Orsolya_86.JPG,width=0.40\linewidth} {\bf \tiny Mikl\'os Laczkovich, (b. Budapest, 1948, February 21)\\ Hungarian Wikipedia's 10th Anniversary Conference, 15 January 2010} \end{center} \newpage {\бф \блуе Теорема Банаха-Шредера-Бернштейна} \теорема Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$, $A, B\subset X$ подмножества, причем $A$ равносоставлено с подмножеством $B$, а $B$ равносоставлено с подмножеством $A$. {\бф \ред Тогда $A$ и $B$ равносоставлены.} \доказательство Назовем отображение $U\stackrel \phi \arrow V$ подмножеств $X$ {\бф\блуе кусочным $G$-сдвигом}, если $U=\coprod U_i$, и существуют $g_i\in G$ такие, что $\phi\restrict{U_i}$ есть сдвиг на $g_i$. {\bf \греен Шаг 1:} Пусть $f:\; A \hookrightarrow B$ -- вложение из $A$ в $B$, а $g :\; B \hookrightarrow A$ вложение из $B$ в $A$, заданное кусочными $G$-сдвигами. Обозначим за $A_0$ дополнение $A\backslash g(B)$. Определим индуктивно $A_i$ по формуле $A_{i+1}= f\circ g(A_i)$. Определим $A_\infty$ как пересечение образов отображений $(f\circ g)^i$ для всех $i$ (за $(f\circ g)^i$ обозначается композиция $f\circ g$ с собой $i$ раз). Легко видеть, что {\бф\purple $A$ разбивается в объединение непересекающихся подмножеств, $A= A_0 \cup A_1 \cup ... \cup A_\infty$.} \newpage {\бф \блуе Теорема Банаха-Шредера-Бернштейна (продолжение)} \теорема Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$, $A, B\subset X$ подмножества, причем $A$ равносоставлено с подмножеством $B$, а $B$ равносоставлено с подмножеством $A$. {\бф \ред Тогда $A$ и $B$ равносоставлены.} {\bf \греен Шаг 2:} Применим аналогичную процедуру к $B$, получив разбиение $B$ в объединение непересекающихся подмножеств, $B= B_0 \cup B_1 \cup ... \cup B_\infty$. Тогда $f$ задает биекцию из $A_\infty$ в $B_\infty$, и из $A_0 \cup A_2 \cup A_4 \cup ...$ в $B_1 \cup B_3 \cup B_5 \cup ...$, а $g$ задает биективное отображение из $B_0 \cup B_2 \cup B_4 \cup ...$ в $A_1 \cup A_3 \cup A_5 \cup ...$. {\bf \греен Шаг 3:} Мы разбили $A$ и $B$ на непересекающиеся подмножества, которые {\бф \пурпле попарно биективны,} и {\бф \пурпле биекции задаются кусочными $G$-сдвигами.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Парадоксальные множества} \определение Пусть $X$ -- множество с действием группы $G$. Подмножество $A\subset X$ называется {\бф\блуе парадоксальным}, если $A=A_i\coprod A_2$, причем $A_i$ равносоставлены с $A$. \замечание В силу предыдущей теоремы, достаточно найти в $A$ два непересекающиеся подмножества $A_1, A_2\subset A$ и кусочные $G$-сдвиги $\phi_i:\;A_i \arrow A$, которые инъективны. \пример {\бф \блуе (парадокс Банаха-Тарского)}\\ Пусть $G$ -- группа движений $\R^3$. Тогда единичный шар в $\R^3$ -- парадоксальное множество. \пример {\бф \блуе (парадокс Серпинского-Мазуркевича)}\\ Пусть $G$ -- группа движений $\R^2$. Тогда у $\R^2$ есть парадоксальные подмножества. \newpage {\бф \блуе Парадоксальные множества (продолжение)} \теорема {\бф \блуе фон Нойман (1929):} \\ {\бф \ред Если $G$ содержит свободную подгруппу и свободно действует на $X$, то $X$ парадоксально.} Тогда же фон Нойман определил {\бф \блуе аменабельные группы} (не допускающие парадоксальных разбиений), и предложил гипотезу {\бф \греен Гипотеза фон Ноймана:} {\бф \пурпле Группа аменабельна тогда и только тогда, когда она не содержит свободной подгруппы.} Контрпример найден А. Ольшанским (1980). \определение {\бф \блуе Монстр Тарского} есть группа $G$, порожденная двумя элементами $x$ и $y$, и такая, что любая собственная подгруппа $G$ изоморфна $\Z/p$. \теорема {\бф \ред Монстр Тарского не аменабелен.} \newpage {\бф \блуе Парадоксальные множества (продолжение)} \лемма Пусть $X$ -- пространство с действием $G$, $X_0:= X\backslash F$, где $F$ -- конечное подмножество из $d$ элементов. {\бф \ред Пусть $X_0$ парадоксально. Тогда $X$ тоже парадоксально.} \доказательство В силу парадоксальности $X_0$, оно равносоставлено с $2d+2$ копиями $X_0$. Это дает вложение $X_0\coprod X_0 \coprod F\coprod F$ в $X_0$ кусочными $G$-сдвигами. Поскольку $X_0 \coprod F$ равносоставлено с $X$, мы получаем вложение $X\coprod X$ в $X_0$ кусочными $G$-сдвигами. {\бф \пурпле Значит $X\coprod X$ вкладывается в $X$ кусочными сдвигами,} что гарантирует парадоксальность $X$ в силу теоремы Банаха-Шредера-Бернштейна. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Аменабельные группы} \определение Пусть $G$ -- группа, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ -- отображение {\бф \блуе левого сдвига}, переводящее $x$ в $gx$. Функция $2^G \stackrel \mu \arrow \R$ называется {\бф \блуе левоинвариантной}, если $\mu(L_g (A))= \mu (A)$ для любого $A \subset G$. {\bf\small \purple von Neumann, J. (1929), \\ "Zur allgemeinen Theorie des Masses", Fundamenta Mathematica 13: 73-116} \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе аменабельной}, если существует ненулевая конечно-аддитивная левоинвариантная мера $2^G \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$. \begin{center} \epsfig{file=neumannth.jpg,width=0.45\linewidth} {\bf \small John von Neumann, 1903 - 1957} \end{center} \newpage {\бф \блуе Свойства аменабельных групп} \замечание Конечные группы, очевидно, аменабельны. \утверждение Рассмотрим $X=G$ с действием $G$ на себе сдвигами. Пусть $G$ аменабельна. {\бф \ред Тогда $X$ не парадоксально.} \доказательство $\mu(A)=\mu(B)$, если $A$ и $B$ равносоставлены. Если $X$ парадоксально, это дает $\mu(X)=2\mu(X)=0$, что противоречит аменабельности. \ендпрооф \утверждение {\бф \ред Любая подгруппа аменабельной группы аменабельна.} \доказательство Пусть $G'\subset G$ -- подгруппа аменабельной группы, а $G'\backslash G$ -- множество левых классов смежности. Выберем в каждом классе по представителю, и пусть $M$ -- множество всех таких представителей. Для какого-то подмножества $R\subset G'$, {\бф \пурпле обозначим за $RM$ множество всех произведений вида $rm$, где $r\in R$, $m\in M$.} Определим $\mu_{G'}(R):= \mu_G(RM)$. {\бф \греен Шаг 1:} {\бф \ред Эта функция аддитивна,} потому что $(R\coprod R')M= RM \coprod R'M$. {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \ред Эта функция ненулевая,} потому что $\mu_{G'}(G') = \mu_G(G'M)= \mu_G(G)>0$, ибо $G' M = G$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Банаховы пространства} {\bf \green Определение:} \\ Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$, а $\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ функция со значениями в неотрицательных числах. $\nu$ называется {\bf \blue нормой} на $V$, если имеет место следующее \begin{description} \item[\red Невырожденность:] $\nu(x)>0$, если $x\neq 0$, \item[\red Неравенство треугольника:] $\nu (x+x') \leq \nu(x) + \nu(x')$. \item[\red Инвариантность относительно гомотетии:] \ \ $\nu(\lambda x) = |\lambda| \nu(x)$, \end{description} для любых $x$, $x'\in V$, и любого $\lambda\in \R$. В такой ситуации $V$ называется {\bf \blue нормированным пространством}. {\bf\green Определение:} Пусть $(V,\nu)$ -- нормированное пространство. Напомним, что $(V, \nu)$ называется {\bf\blue банаховым}, если оно полно, как метрическое пространство. \упражнение Докажите, что {\bf \пурпле любое конечномерное нормированное пространство -- банахово.} \newpage {\бф \блуе $\ell^\infty$ и среднее} \определение Пусть $S$ -- множество, а $\ell^\infty(S)$ -- пространство ограниченных $\R$-значных функций на $S$. Определим {\bf\блуе $\ell^\infty$-норму} на $\ell^\infty(S)$ формулой $|f|_{\ell^\infty}:= \sup_S |f|$. \упражнение Докажите, что $\ell^\infty(S)$ -- банахово пространство. \определение {\бф \блуе Среднее} на $S$ есть непрерывный функционал \\ $\int:\; \ell^\infty(S)\arrow \R$, который удовлетворяет следующим условиям: 1. $\int(\chi_S)=1$, где $\chi_S\in \ell^\infty(S)$ есть функция, отображающая $S$ в 1. 2. $\int(f) \geq 0$ для любой неотрицательной функции $f\in \ell^\infty(S)$. \определение Для подмножества $A\subset S$, обозначим за $\chi_A\in \ell^\infty(S)$ {\бф \блуе характеристическую функцию}, которая равна $1$ на $A$ и 0 вне $A$. \определение Конечно-аддитивная мера $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\бф \блуе вероятностной}, если $\mu(S)=1$. \теорема Пусть $2^S \stackrel \mu \arrow \R^{\geq 0}$ -- конечно-аддитивная вероятностная мера. Тогда {\бф \ред существует среднее} $\ell^\infty(S)\stackrel \int\arrow \R$ такое, что $\int \chi_A= \mu(A)$ для каждого $A\subset S$, и оно единственно. \newpage {\бф \блуе Построение среднего} \определение {\бф \блуе Ступенчатая функция} на $S$ есть функция, принимающая конечное число значений, $f=\sum_{i=1}^n \alpha_i \chi_{A_i}$. \определение Для ступенчатой функции такого вида, напишем {\бф \блуе среднее} формулой $\int(f):= \sum_{i=1}^n \alpha_i\mu(A_i)$. {\бф \греен Доказательство существования среднего. Шаг 1:} Докажите, что {\бф \пурпле пространство ступенчатых функций плотно} в $\ell^\infty(S)$. {\бф \греен Шаг 2:} Докажите, что $f\arrow \int (f)$ {\бф \пурпле непрерывный функционал на пространстве ступенчатых функций,} с топологией, заданной $\ell^\infty$-нормой. {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $W \subset V$ -- плотное подпространство нормированного пространства, а $\kappa:\; V' \arrow \R$ -- непрерывный функционал. Докажите, что его {\бф \пурпле можно продолжить до непрерывного функционала} на $V$, и это продолжение однозначно. {\бф \греен Шаг 4:} Определим $\ell^\infty(S)\stackrel \int\arrow \R$, продолжив $\int$ с пространства ступенчатых функций по непрерывности, как в шаге 3. Докажите, что этот функционал удовлетворяет условиям определения среднего. Проверьте единственность. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Произведение аменабельных групп} \замечание Любая ненулевая конечно-аддитивная мера $\mu$ на $G$ становится вероятностной после домножения на $\mu(G)^{-1}$. {\бф \ред В дальнейшем все конечно-аддитивные меры на группах предполагаются вероятностными.} \замечание В силу предыдущей теоремы, {\бф \пурпле задание левоинвариантной вероятностной меры на $G$ равносильно заданию левоинвариантого среднего на $\ell^\infty (G)$.} \теорема {\бф \ред Произведение аменабельных групп аменабельно.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Среднее удовлетворяет очевидному соотношению $\int(f) \leq \sup f$ (проверьте это). {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим проекцию $\pi:\; G \times G' \arrow G$, и пусть $f\in \ell^{\infty}(G\times G')$ -- ограниченная функция. Обозначим за $\pi_* f$ функцию на $G$, которая задана формулой $\pi_* f(\xi):= \int_{\{\xi\}\times G'} f(\xi\times g')$. {\бф \пурпле Эта функция ограниченна,} потому что $\pi_* f(\xi) \leq \sup f$ (шаг 1). {\bf Шаг 3:} Пусть $\int(f):=\int_G \pi_* f$. {\бф \ред Это левоинвариантное среднее на $\ell^\infty (G\times G')$. } \endproof \newpage {\bf \blue Теорема Хана-Банаха} \определение {\бф \блуе выпуклым конусом} в векторном пространстве $V$ называется подмножество $A\subset V$, удовлетворяющее следующим свойствам. 1. $\forall x, y\in A$, их сумма тоже лежит в $A$. 2. $\forall x\in A, \lambda\in \R^{>0}$, $\lambda x$ также лежит в $A$. \теорема {\bf \блуе (``Хана-Банаха'')} Пусть $V$ - топологическое векторное пространство, $A\subset V$ - открытый выпуклый конус, не содержащий 0, а $W\subset V$ - замкнутое подпространство, не пересекающее $A$. {\бф \ред Тогда на $V$ существует непрерывный, линейный функционал $\theta$, такой, что $\theta\restrict A> 0$, a $\theta\restrict W = 0$.} \задача Напомним, что {\бф \блуе аффинная функция} на векторном пространстве -- это сумма линейного функционала и постоянного отображения. Пусть даны два выпуклых, открытых, непересекающихся подмножества $A$, $B$ в топологическом векторном пространстве $V$. {\бф \пурпле Докажите, что найдется непрерывная аффинная функция на $V$, строго положительная на одном из них, и строго отрицательная на другом.} \невпаге {\bf \blue Аменабельность $\Z$ и теорема Хана-Банаха} \лемма Пусть $f:\; \Z \arrow \R$ -- ограниченная функция, $g\in \Z$, а $L_g:\; \Z \arrow Z$ -- левый сдвиг. {\бф \пурпле Тогда $\inf_\Z (f-L_g^* f)\leq 0$,} где $L_g^*(f)(t) = f(L_g(t))$. \доказательство Достаточно проверить для $L_g(t)=t+1$. Тогда $f-L_g^* f(t)=f(t)-f(t+1)$. Если $f(t)-f(t+1)$ неотрицательно, значит, $f$ монотонно убывает. Тогда $\lim_{t\arrow \infty}f(t)-f(t+1)=0$, потому что $f$ ограниченна. \ендпрооф \теорема {\бф \ред Группа $\Z$ аменабельна.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $V= \ell^\infty(\Z)$, $C$ -- конус функций $f:\; \Z \arrow \R$, удовлетворяющих $f> \epsilon >0$ для какого-то $\epsilon$, а $I$ -- пространство функций вида $f-L_g^* f$. {\бф \пурпле В силу предыдущей леммы, $I \cap C=0$.} {\бф \греен Шаг 2:} Применив теорему Хана-Банаха, мы получим функционал $\phi:\; \ell^\infty(\Z)\arrow \R$, который строго положителен на $C$, то есть {\бф \пурпле $\frac 1 {\phi(\chi_\Z)}\phi$ является средним.} {\бф \греен Шаг 3:} Условие $\phi\restrict I=0$ значит, что $\phi(f) = \phi(L_g^* f)$, то есть {\бф \пурпле $\phi$ инвариантно относительно левых сдвигов.} \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Множества Фёлнера} Обозначим число элементов конечного множества за $|A|$. \определение Пусть $A, B\subset S$ -- множества. {\бф \блуе симметрическая разность} $A$ и $B$ -- это $A \triangle B:= (A \cup B)\backslash (A \cap B)$. \определение Пусть $G$ -- группа, а $F_n \subset G$ -- последовательность подмножеств. $\{F_n\}$ называется {\бф \блуе последовательностью Фёльнера} (F\o lner sequence), если для каждого $g\in G$, $\lim_n \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|}=0$. \пример $F_n:= [-n,n]\subset \Z$ является последовательностью Фёльнера в $\Z$. \пример $F_n:= [-n,n]^n\subset \Z^n$ является последовательностью Фёльнера в $\Z^n$ (проверьте). \замечание Можно доказать, что {\бф \пурпле любая аменабельная группа содержит последовательность Фёльнера.} \теорема Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера. {\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. } \невпаге {\bf \blue Аменабельность групп и последовательности Фёлнера} \лемма Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера, $f:\; G \arrow \R$ -- ограниченная функция, $g\in G$, а $L_g:\; G \arrow G$ -- левый сдвиг. {\бф \ред Тогда $\inf_G (f-L_g^* f)\leq 0$,} где $L_g^*(f)(t) = f(L_g(t))$. \доказательство Для конечного подмножества $X\subset G$ и функции $f_1$ на $G$, обозначим за $\Av_X f_1$ среднее $f_1$ на $X$. Тогда \begin{multline*} \Av_{F_n}(f-L_g^* f) = \frac{\sum_{x\in F_n}f(x)- \sum_{x\in L_g(F_n)} f(x)}{|F_n|}\leq \\ \leq \frac{\sum_{x\in F_n\triangle L_g(F_n)}|f(x)|}{|F_n|} \leq \sup_G |f| \frac{|F_n\triangle L_g(F_n)|}{|F_n|} \end{multline*} следовательно, $\lim_n\Av_{F_n}(f-L_g^* f)=0$. \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Аменабельность групп и последовательности Фёлнера\\ (продолжение)} \теорема Пусть $G$ -- группа, снабженная последовательностью Фёльнера. {\бф \ред Тогда $G$ аменабельна. } {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $V= \ell^\infty(G)$, $C$ -- конус функций $f:\; G \arrow \R$, удовлетворяющих $f> \epsilon >0$ для какого-то $\epsilon$, а $I$ -- пространство, порожденное функциями вида $f-L_g^* f$. {\бф \пурпле В силу предыдущей леммы, $I \cap C=0$.} {\бф \греен Шаг 2:} Применив теорему Хана-Банаха, мы получим функционал $\phi:\; \ell^\infty(G)\arrow \R$, который строго положителен на $C$, то есть {\бф \пурпле $\frac 1 {\phi(\chi_G)}\phi$ является средним.} {\бф \греен Шаг 3:} Условие $\phi\restrict I=0$ значит, что $\phi(f) = \phi(L_g^* f)$, то есть {\бф \пурпле $\phi$ инвариантно относительно левых сдвигов.} \ендпрооф \замечание Доказательство {\бф \греен дословно такое же,} как приведено выше для случая $\Z=G$. \newpage {\bf \blue Букет окружностей} {\bf \green Определение:} Пусть $\Gamma$ -- связный граф, у которого есть всего одна вершина и $|I|$ ребер. Его топологическое пространство называется {\bf\blue букетом $|I|$ окружностей}. Оно имеет вид ромашки сделанной из нескольких окружностей. \begin{center} \epsfig{file=buket.png,width=0.25\linewidth}\\ {\small Букет четырех окружностей} \end{center} \теорема (Зейферт-ван Кампен) {\бф \блуе Свободная группа} ${\Bbb F}_n$ есть фундаментальная группа букета из $n$ окружностей. \невпаге {\bf \blue Свободная группа не аменабельна} \теорема {\бф \ред Свободная группа ${\Bbb F}_2$ не аменабельна.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $X=G={\Bbb F}_2$ свободная группа, действующая на себе сдвигами. Для доказательства неаменабельности достаточно убедиться в том, что $X$ парадоксально. {\бф \греен Шаг 2:} Обозначим за $x, y$ образующие ${\Bbb F}_2$. Тогда элементы ${\Bbb F}_2$ суть {\бф \пурпле слова, составленные из символов вида $x, y, x^{-1}, y^{-1}$, с запретом на последовательное употребление $x, x^{-1}$ и $y, y^{-1}$.} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\Bbb F}_2(x)\subset {\Bbb F}_2$ слова $W \subset {\Bbb F}_2$, которые начинаются с $x$. Тогда {\бф \пурпле ${\Bbb F}_2(x)$ содержит $x {\Bbb F}_2(x)\coprod xy {\Bbb F}_2(x)$.} Поэтому ${\Bbb F}_2(x)$ парадоксально (оно содержит два непересекающихся подмножества $x {\Bbb F}_2(x)$ и $xy {\Bbb F}_2(x)$, с которыми равносоставлено). {\бф \греен Шаг 4:} Аналогично доказывается, что ${\Bbb F}_2(x^{-1})$, ${\Bbb F}_2(y^{-1})$, ${\Bbb F}_2(y)$ парадоксальны. Поэтому ${\Bbb F}_2\backslash \{e\}$ парадоксально. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Проблема фон Ноймана} \замечание В силу доказанного выше, {\бф \пурпле любая группа, содержащая ${\Bbb F}_2$, не аменабельна.} {\бф \греен Проблема фон Ноймана:} Пусть $G$ -- группа, которая не аменабельна. Всегда ли $G$ содержит подгруппу, изоморфную ${\Bbb F}_2$? {\бф \греен Решение (найден контрпример):}\\ {\бф \small Ol'shanskii, A. (1980), "On the question of the existence of an invariant mean on a group", Uspekhi Mat. Nauk 35 (4): 199-200.} \теорема (альтернатива Титса для аменабельных групп)\\ {\бф \ред Любая конечно-порожденная подгруппа в $GL(n)$ аменабельна, либо содержит подгруппу, изоморфную ${\Bbb F}_2$.} \end{document}