\documentclass[8pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-13mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-27mm}
\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 28.05.2012


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   28.05.2012}

\begin{document}



\listok{14}{Комплексные поверхности:  экзамен}
\lhead{\small Комплексные поверхности, задачи для экзамена}

{\small Для сдачи экзамена на оценку $5-k$ надо сдать
по одной задаче из $4-k$ разделов.}

\subsection{К3 поверхности и теорема Римана-Роха}

\задача
Пусть $L$ -- обильное расслоение на К3 поверхности.
Докажите, что у $L$ нет базисных точек (точек,
в которых все сечения зануляются).
\ез

\задача
Пусть $L$ -- обильное расслоение на К3 поверхности.
Докажите, что $L\otimes L$ глобально порождено.
\ез

\задача
Пусть $M$ - К3-поверхность, снабженная
гиперкэлеровой структурой, а $S\cong S^2$ -- семейство
всех комплексных структур, индуцированных
кватернионами. Обозначим за  $S_{alg}\subset S$ 
множество алгебраических комплексных структур. 
Докажите, что $S_{alg}$ плотно и счетно в $S$.
\ез

\subsection{Метрики Годушона}

\определение
{\бф Степень} линейного расслоения $L$
на $n$-мерном комплексном
многообразии $M$ с метрикой Годушона $\omega$
есть число $\int_M \Theta_L \wedge \omega^{n-1}$
где $\Theta_L$ -- кривизна связности Черна на $L$.
\ео



\задача
Пусть $M$ поверхность Хопфа, с заданной на ней
метрикой Годушона, а $K_M$ -- каноническое
расслоение. Докажите, что $\deg K_M <0$.
\ез 



\задача
Метрика $\omega$ на эрмитовом $n$-многообразии называется
балансированной (balanced), если $d(\omega^{n-1})=0$.
Приведите пример компактного комплексного
многообразия, не допускающего такой метрики, для $n>2$.
\ез


\subsection{Теория Ходжа}

\задача
Пусть $M$ -- компактная поверхность, а $\eta$ -
положительная $(1,1)$-форма на $M$, которая
является $(1,1)$-частью замкнутой. Докажите, что
$\eta$ замкнута.
\ез


\задача
Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность
с $b_2=0$. Докажите, что любое линейное
расслоение на $M$ допускает плоскую связность,
совместимую с голоморфной структурой.
\ез


\задача
Пусть $M$ - комплексное многообразие, 
$\mathop{Pic}_0(M)$ - группа голоморфных линейных расслоений с тривиальным
классом Черна, а $\mathop{Fl}(M)\subset \mathop{Pic}_0(M)$ - группа линейных расслоений,
которые допускают плоскую, унитарную связность. 
Постройте естественный изоморфизм между \\
$\mathop{Pic}_0(M)/\mathop{Fl}(M)$ и $H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)$,
где $H^1_a(\calo_M)$ - классы когомологий, представимые
замкнутыми, антиголоморфными формами.
\ез



\subsection{Геометрия комплексных поверхностей}

\задача
Пусть $M$ -- некэлерова поверхность, гладко
расслоенная над эллиптической кривой со слоем
эллиптическая кривая (такая поверхность
называется {\бф поверхность Кодаиры}).
Найдите числа Бетти $M$.
\ез



\задача
Пусть $M$ - поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$,
а $C\subset M$ - гладкая кривая. Докажите, что
она эллиптическая.
\ез


\end{document}