\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 09.04.2012



\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   09.04.2012}

\begin{document}


\listok{9}{Комплексные поверхности 9: 
потоки на многообразиях}
\lhead{\small Комплексные поверхности, листок 9: 
потоки на многообразиях}


\задача
Докажите, что топология $C^k$ на $C^\infty M$ не зависит
от выбора метрики на $M$. 
\ез

\задача
Докажите, что слабая топология на обобщенных функциях
локально выпукла.
\ез


\задача
Докажите, что пространство потоков -- это пополнение
$\Lambda^{p,q}(M)$ в слабейшей топологии, в которой
спаривание с пространством тест-форм непрерывно.
\ез

\задача
Пусть $\eta$ -- положительный поток на
компактном комплексном многообразии $M$, $\omega$ --
эрмитова форма, а $\int_M\eta\wedge\omega=0$.
Докажите, что $\eta=0$.
\ез


\задача
Напомним, что аффинная функция на векторном пространстве
-- это сумма линейного функционала и постоянного отображения.
Пусть даны два выпуклых, открытых, непересекающихся подмножества
$A$, $B$ в топологическом векторном пространстве $V$. Докажите, что
найдется непрерывная аффинная функция на $V$, строго положительная на одном
из них, и строго отрицательная на другом.
\ез


\задача
В условиях предыдущей задачи, пусть $A$, $B$ -
непересекающиеся {\ем замкнутые} выпуклые подмножества.
Всегда ли найдется непрерывная аффинная функция $\mu$ на 
$V$, строго положительная на одном из них, и строго
отрицательная на другом? 
\ез


\end{document}