\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 02.04.2012



\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   02.04.2012}

\begin{document}


\listok{8}{Комплексные поверхности 8: 
диффеоморфность К3}
\lhead{\small Комплексные поверхности, листок 8: 
диффеоморфность К3}

\задача
Пусть $M$ -- К3, а  ${\goth R}_k\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=k$, $к$ четно.
Докажите, что множество предельных точек ${\Bbb P} {\goth R}_k$
есть световой конус $Null(M)$ (множество всех векторов
с квадратом 0).
\ез

\задача[*]
Докажите, что группа $O(H^2(M,\Z))$ автоморфизмов решетки
когомологий К3 действует транзитивно
на множестве ${\goth R}_k$, для каждого $k$.
\ез

\задача[*]
Докажите, что группа $O(H^2(M,\Z))$
порождена инволюциями.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- К3. Докажите, что $M$ проективна
тогда и только тогда, когда в $H^{1,1}(M,\Z)$
найдется класс, квадрат которого положителен.
\ез


\задача
Пусть $M$ есть К3, а $L$ -- обильное расслоение,
которое порождает $Pic(M)$. Предположим, что
$(L,L)=6$. Докажите, что общее сечение $L$
гладко, а $L$ глобально порождено.
\ез

\задача
Пусть $M$ есть К3, а $\phi:\; M \arrow C$ -- 
сюрьективное, голоморфное отображение на кривую.
Докажите, что $C$ есть $\C P^1$. 
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи, докажите, что общий
слой $\phi$ есть эллиптическая кривая.
\ез

\задача
Пусть $L$ -- обильное расслоение на К3,
которое порождает $Pic(M)$.
Докажите, что $L\otimes L$ глобально порождено.
\ез

\end{document}

