\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 19.03.2012
% version 1.1, 25.03.2012, номер поменял



\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   25.03.2012}

\begin{document}


\listok{6}{Комплексные поверхности 6: 
теорема Торелли для К3}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 6: 
теорема Торелли для К3}

\задача
Пусть $Z$ -- пространство
всех невырожденных комплексных
2-форм на компактном 4-мерном многообразии, удовлетворяющих $\Omega^2=0$,
с топологией, индуцированной с топологии Фреше на пространстве
всех 2-форм. Докажите, что $Z$ -- многообразие Фреше.
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи,
пусть $Z_0\subset Z$ -- пространство всех замкнутых
форм в $Z$. Постройте ретракцию некоторой
окрестности $Z_0\subset Z$ на $Z_0$.
\ез

\задача
Рассмотрим действие группы изотопий $\Diff_0(M)$
компактного ориентированного многообразия на пространстве
$V_\lambda$ всех невырожденных форм объема $\eta$, удовлетворяющих
$\int_M\eta=\lambda$. Докажите, что
это действие транзитивно.
\ез 

\задача
Пусть $(M,I)$ -- компактное, комплексное $n$-многообразие
с тривиальным каноническим расслоением, а 
$\Omega_t\in \Lambda^{n,0}(M,I)$ -- семейство
форм объема, таких, что $[\Omega_t]=const$.
Докажите, что существует семейство голоморфных
диффеоморфизмов $V_t$ таких, что $V_t^* \Omega_0=\Omega_t$.
\ез

\задача
Пусть $M$ есть К3-поверхность, снабженная
гиперкэлеровой структурой $(g, I,J,K)$,
а $h\in \End(TM)$ -- кватернионно-линейный
эндоморфизм. Докажите, что в какой-то точке
$M$, $h=1$.
\ез

\задача
Докажите, что на К3 нет метрики с сигнатурой (-,+,+,+).
\ез

\задача
Рассмотрим разложение 2-форм на кэлеровой К3, 
$\Lambda^2(M)=\Lambda^-(M)\oplus \Lambda^+(M)$.
Докажите, что любое сечение $\Lambda^-(M)$ где-нибудь зануляется.
\ез

\задача
Пусть $\eta$ -- 2-форма на кэлеровой
К3, такая, что $\frac{\eta \wedge \eta}{\Vol M} \leq 0$.
Докажите, что $\eta\wedge \eta$ где-нибудь зануляется.
\ез


\end{document}

