\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 05.03.2012



\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   05.03.2012}

\begin{document}


\listok{5}{Комплексные поверхности 5: 
пространства Фреше}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 5: 
пространства Фреше }

\задача
Пусть $f:\; U_1 \arrow U_2$ -- непрерывное
отображение из подмножеств пространств Фреше,
$U_1 \subset F_1, U_2 \subset F_2$. Предположим,
что $f$ дважды дифференцируемо. Докажите, что
$f''(x, \lambda_1, \lambda_2)=f''(x, \lambda_2, \lambda_1)$
(вторая производная симметрична).
\ез

\задача
Пусть $V$ -- пространство последовательностей вещественных
чисел с топологией почленной сходимости. Докажите, что
$V$ -- пространство Фреше. Докажите, что $V$ не
допускает никакой нормы, совместимой с этой топологией
({\ем полунормы} допускает, естественно).
\ез

\задача
Пусть $M$ комплексное многообразие, 
а $V$ -- пространство голоморфных функций,
с топологией равномерной сходимости на компактах.
Докажите, что $V$ -- пространство Фреше.
\ез

\определение
{\бф Локально выпуклое} топологическое векторное пространство -
такое, в котором есть база топологии из выпуклых открытых
множеств. {\бф Tрансляционно-инвариантная} значит
"инвариантная относительно параллельных переносов".
\ео

\задача[*]
Пусть $d$ -- трансляционно-инвариантная 
метрика на топологическом векторном пространстве $V$.
Предположим, что $d$ задает на $V$ локально выпуклую
топологию. Докажите, что в $V$ шары любого радиуса 
выпуклы, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $\phi:\; X \arrow Y$ -- морфизм многообразий Фреше,
причем $Y$ конечномерно, а дифференциал $d\phi$ 
сюрьективен в каждой точке $X$. Тогда $\phi^{-1}(y)$ --
подмногообразие Фреше.
\ез

\задача
Пусть $V$ -- пространство гладких функций на окружности
с топологией Фреше, а $\Psi_\lambda:\; V \arrow V$
переводит $f$ в $x\arrow \int_0^\lambda f(x+\lambda t)dt$.
Докажите, что $\Psi_\lambda$ непрерывен, но не обратим
для бесконечного числа $\lambda\in[0,\epsilon]$.
\ез



\end{document}