\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 27.02.2012
% version 1.1, 27.02.2012 (numeraciya)



\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   27.02.2012}

\begin{document}


\listok{4}{Комплексные поверхности 4: 
гиперкэлеровы структуры}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 4: 
гиперкэлеровы структуры }

\определение
Пусть $h\in {\Bbb H}$ -- унитарный кватернион, а
$(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерово многообразие. Тогда
$(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ -- тоже гиперкэлерово
многообразие . Многообразия
$(M,I,J,K,g)$  и $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$
называются {\бф эквивалентными}.
\ео


\задача
Пусть $(M,g)$ -- 4-мерное риманово многообразие.
Докажите, что любые две гиперкэлеровы структуры
на $(M,g)$ эквивалентны.
\ез


\задача
Пусть на 4-мерном многообразии заданы симплектические
формы $\omega_1, \omega_2, \omega_3$, удовлетворяющие
$\omega_1\wedge \omega_2=\omega_1\wedge \omega_3 = \omega_2\wedge \omega_3=0$
и $\omega_1^2=\omega_2^2=\omega_3^2$. Докажите, что
есть гиперкэлерова структура, для которой
$\omega_1=\omega_I$, $\omega_2=\omega_J$,
$\omega_3=\omega_K$.
\ез

\задача
Пусть на 4-мерном многообразии заданы симплектические
формы $\omega_1, \omega_2, \omega_3$, удовлетворяющие
$\omega_1\wedge \omega_2=\omega_1\wedge \omega_3 = \omega_2\wedge \omega_3=0$
и $\omega_1^2=\omega_2^2=-\omega_3^2$. Докажите, что
на $M$ существует связность $\nabla$ без кручения, для
которой $\nabla(\omega_1)= \nabla(\omega_2)=\nabla(\omega_3)=0$.
\ез

\задача
Пусть на компактном 4-мерном многообразии задана гиперкомплексная
структура, а $\eta$ -- точная, кватернионно-инвариантная
2-форма. Докажите, что $\eta=0$.
\ез

\задача
Пусть $(M,I,J,K)$ -- 
гиперкэлерово многообразие кватернионной размерности 1,
а $dd_J:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{1,1}(M,J)$, 
$dd_K:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{1,1}(M,K)$ -- плюрилапласианы,
связанные с комплексными структурами $J,K$.
\енум 
\итем 
Докажите, что для любой функции $\phi$,
выполнено $\omega_I\wedge dd_J \phi=0$.

\итем 
Пусть $M$ компактно. Докажите, что 
$dd_J(C^\infty M)\cap dd_K(C^\infty M)=0$.

\итем Верно ли это на некомпактном многообразии?

\итем[*]
Пусть $M$ компактно. Докажите, что для
любой точной формы, удовлетворяющей $\eta\wedge \omega_I=0$,
выполнено $\eta\in dd_J(C^\infty M)+dd_K(C^\infty M)$.
\ее
\ез

\определение
{\бф Кватернионно-эрмитова структура} на многообразии $M$ есть
действие алгебры кватернионов на $TM$ плюс риманова метрика,
инвариантная относительно $I,J,K$.
\ео



\задача
Пусть на 4-мерном многообразии $M$ заданы 
2-формы $\omega_1, \omega_2, \omega_3$, причем для любой
линейной комбинации вида $\eta= \sum \alpha_i \omega_i$,
с $\alpha_i\in C^\infty$, форма объема $\eta\wedge\eta$
ненулевая во всех точках, где хотя бы один из $\alpha_i\neq 0$.
Докажите, что на $ТM$ существует кватернионно-эрмитова
структура, такая, что соответствующие эрмитовы формы
$\omega_I, \omega_J, \omega_K$ выражаются как 
линейные комбинации $\omega_i$. Докажите, что
эта кватернионно-эрмитова структура единственна.
\ез




\end{document}