\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 20.02.2012
% version 1.1, 22.02.2012 odin opechatka
% version 1.3, 2.11.2016 задачу 2 поправил

\newcommand{\version}{version 1.3,\ \   02.11.2016}

\begin{document}


\listok{3}{Комплексные поверхности 3: \\
гиперкэлеровы структуры и К3 поверхности}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 3: К3 поверхности}

\задача
Пусть $L\in H^{1,1}(M, \Z)$  -- класс когомологий
на К3-поверхности, причем $L^2\geq -2$. Докажите, что 
либо $L$, либо $-L$ можно представить голоморфной кривой.
\ез

\задача
Пусть $L\in H^{1,1}(M, \Z)$  -- класс когомологий
на К3-поверхности $M$, причем $L^2=-2$. Докажите, что 
$L$ представляется кривой, одна из компонент которой
рациональна.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- голоморфно симплектическая
кэлерова поверхнпсть, причем $b_1(M)\neq 0$.
Докажите, что $M$ это компактный тор.
\ез 

\задача
Пусть на многообразии $M$ заданы две симплектические
формы $\omega_1, \omega_2$, причем
$\omega_1^2=\omega_2^2$, а $\omega_1\wedge \omega_2=0$.
Докажите, что $M$ -- комплексное, голоморфно симплектическое
 многообразие, а $\dim_\C M=2$.
\ез

\задача
Пусть $\phi$ -- автоморфизм К3-поверхности,
сохраняющий симплектическую структуру и кэлеров класс.
Докажите, что $\phi$ -- автоморфизм конечного порядка.
\ез

\определение
{\бф Решетка} есть конечно-порожденный $\Z$-модуль
без кручения. {\бф Билинейная форма} на решетке есть
билинейное симметричное отображение $L\otimes_\Z L \arrow Z$
\ео

\задача
Пусть $L$ -- решетка с невырожденной неопределенной 
билинейной симметричной формой $q$ (не обязательно
унимодулярной). Докажите, что группа $O(L,q)$
бесконечна.
\ез


\задача
Пусть $L$ -- решетка с неопределенной унимодулярной
билинейной симметричной формой $q$, которая нечетна.
Докажите, что $q$ диагонализуется в каком-то базисе.
\ез

\задача[*]
Докажите аналогичную классификационную
теорему для четных форм: в каком-то базисе,
$q$ будет выражаться как сумма блоков, состоящих
из двумерных гиперболических решеток и $E_{\pm 8}$.
\ез




\end{document}