\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 13.02.2012
% version 1.1, 13.02.2012 popravil pro Enrikvesa

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   13.02.2012}

\begin{document}


\listok{2}{Комплексные поверхности 2: \\
формула Римана-Роха}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 2: формула Римана-Роха}

\задача
Докажите, что характер Черна мультипликативен:
$ch_*(B\otimes B')=ch_*(B)\wedge ch_*(B')$.
\ез

\задача
Пусть $M$ - проективное многообразие, не обязательно гладкое.
Определим $K_0(M)$ как $K$-группу, порожденную когерентными
пучками, а $K^0(M)$ -- $K$-группу, порожденную векторными
расслоениями. Приведите пример, когда естественное
отображение $K^0(M) \arrow K_0(M)$ -- не изоморфизм.
\ез
\newcommand{\even}{{\rm even}}

\задача[*]
В ситуации предыдущей задачи, 
определите характер Черна $K_0(M)\arrow H^\even(M)$,
продолжающий обычный характер Черна \\ $K^0(M)\arrow H^\even(M)$. 
Докажите, что  он аддитивен.
\ез

\задача
Докажите, что на каждой компактной комплексной кривой
найдется нетривиальная мероморфная функция.
\ез


\задача
Пусть $M$ -- проективное многообразие.
Докажите, что число $\chi(L)$
выражается через $c_1(L)$ и классы Черна $M$.
\ез

\задача[*]
Рассмотрим эйлерову характеристику как
функционал на $K$-группе, $\chi:\; K(X) \arrow \Z$.
Докажите, что $\chi(F)$, как функция $[F]$, 
зависит только от классов Черна $F$ (по возможности - 
не выводя формулу Римана-Роха-Хирцебруха явно).
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ - компактное, односвязное 4-мерное многообразие
с четной формой пересечения. Докажите, что $b_2^+-b_2^-=0 \mod 8$,
где $b_2^+$, $b_2^-$ -- число положительных и отрицательных
собственных значений.
\ез

\задача
Докажите, что форма пересечения К3-поверхности четная.
\ез

\задача
{\бф Поверхность Энриквеса}
есть фактор К3-поверхности по голоморфной инволюции, которая
не имеет неподвижных точек. Докажите, что поверхность
Энриквеса имеет $h^{2,0}=0$.
\ез

\задача
Докажите, что форма пересечения на поверхности
Энриквеса - нечетная.
\ез


\end{document}

