\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 22.04.2012



\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   22.04.2012}

\begin{document}


\listok{11}{Комплексные поверхности 11: 
эллиптические операторы и принцип максимума}
\lhead{\small Комплексные поверхности, листок 11: 
принцип максимума}


\задача
Пусть $u$ -- гладкая функция на компакте, удовлетворяющая
$L(u)= u^3$, где $L$ -- эллиптический оператор второго порядка,
зануляющийся на константах.
Докажите, что $u=0$.
\ез

\задача
Пусть  $L$ -- эллиптический оператор второго порядка
на компакте, зануляющийся на константах,  а $L^*$ --
сопряженный эллиптический оператор. Предположим, что
$\ker L^*$ одномерно, и порождено функцией $u$,
которая где-то на $M$ положительна, а где-то 
отрицательна. Найдите в $\im L$ ненулевую
функцию, которая везде неотрицательна.
Докажите, что таких функций не бывает.
\ез

\задача
Пусть $L$ -- эллиптический оператор второго порядка
на компактном многообразии $M$ с границей.
"Проблема Лиувилля" состоит в поиске 
решений уравнения $L(u)=v$, где известно $v$
и $u\restrict {\6M}$. Докажите, что
решение проблемы Лиувилля единственно,
или приведите контрпример.
\ез

\задача
("Непрерывность решения проблемы Лиувилля")
В условиях предыдущей задачи, пусть $L(u_1)=v_1$,
$L(u_2)=v_2$. Докажите, что есть оценка вида
$\sup_M |u_1-u_2|\leq \sup_{\6M}|u_1-u_2|+C$,
где $C$ -- константа, которая зависит от $M,L$, и $v_1-v_2$.
\ез

\задача
("Проблема Нойманна")
Пусть $M$ -- компактное многообразие с границей,
а $L$ -- эллиптический оператор второго порядка.
Докажите, что решение уравнения
$L(u)=0$ однозначно определяется функцией
$\frac{\partial u}{\partial v}\restrict{\6M}$,
где $\frac{\partial}{\partial v}$ обозначает
единичный нормальный вектор к $\6M$.
\ез

\задача
("Сильный принцип сравнения")
Пусть $M$ -- компактное многообразие с границей,
а $L$ -- эллиптический оператор второго порядка.
Предположим, что $L(u)\geq L(v)$ на $M$,
а $u\leq v$ на $\6M$. Докажите, что
$L(u)<L(v)$ во всех внутренних точках $M$,
либо $u=v$.
\ез

\задача[*]
Пусть $R=\Z^n$ -- решетка, а $L$ --
{\бф дискретный оператор Лапласа},
переводящий функцию $u$ на $R$ в
$L(u)(z)= \frac 1 {|C|}\sum_{z_i\in C} u(z_i)-u(z)$,
где $C$ -- множество вершин решетки, отстоящих от $z$
на 1. Пусть $u\in \ker L$. Докажите, что $u$
не может иметь локального максимума на $R$.
\ез




\end{document}