\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 8 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 9: К3, квадрики, решетки, потоки на многообразиях} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 9 апреля 2012 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе K3-поверхности (повторение)} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухсдаль-Ламари). \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \утверждение {\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.} \невпаге \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}} \newcommand{\St}{\operatorname{\sf St}} \newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}} \newcommand{\Null}{\operatorname{Null}} \newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}} {\бф \блуе Пространство периодов для К3-поверхности (повторение)} \определение Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти комплексных структур на многообразии, с топологией, индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$ есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов). \определение Пусть $M$ есть К3-поверхность. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$ сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую $H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$. \определение {\бф\блуе Пространство периодов} К3-поверхности есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$ состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что $l\wedge l=0$ и $l\wedge \bar l>0$. {\бф \блуе Отображение периодов} есть отображение $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$. Основной результат прошлой лекции: \теорема {\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов и $++$-грассманиан (повторение)} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство, снабженное скалярным произведением $q$. Обозначим за $\Perspace(V)$ множество прямых $l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих $q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть $\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных 2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких, что $q\restrict W$ положительно определено. \утверждение Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$, рассмотрим оператор поворота на $\frac \pi 2$ против часовой стрелки: $I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за $P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую, порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$. Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию $P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.} \следствие {\бф \ред Пространство периодов для К3-поверхности изоморфно $SO(19,3)/SO(2)\times SO(19,1)$.} \невпаге {\бф \блуе Гладкие квартики (повторение)} \определение {\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым однородным полиномом степени 4. \замечание По формуле Эйлера, каноническое расслоение на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения, примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$, дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$, а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$, {\бф \пурпле имеем $K_Z=\calo(m-n-1)$.} \следствие Для гладкой квартики в $\C P^3$, $n=3$, $m=4$, значит $K_Z=\calo_Z$. Поэтому {\бф \пурпле гладкая квартика есть поверхность с тривиальным каноническим классом.} \замечание В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду подразумевать квартики размерности 2.} \теорема {\бф \ред Гладкая двумерная квартика является К3-поверхностью}. \невпаге {\бф \блуе Пространство $H^{1,1}(M,\Z)$ и линейные расслоения (повторение)} \определение {\бф \блуе Группа Нерона-Севери} $NS(M)$ многообразия $M$ есть образ $\Pic(M)$ в $H^2(M,\Z)$. \определение Обозначим за $H^{1,1}(M,\Z)$ {\bf \blue множество целочисленных классов когомологий, которые лежат в $H^{1,1}(M)$.} \утверждение {\bf \purple Если группа $H^2(M,\Z)$ -- без кручения, то $NS(M)=H^{1,1}(M,\Z)$.} \утверждение Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, а $W:=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$. {\bf \red Тогда $H^{1,1}_I(M,\R)=W^\bot$ } (ортогональное дополнение). \следствие Для любой К3, {\бф \пурпле $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ -- множество целочисленных векторов, ортогональных $W=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$.} \следствие Для общей К3-поверхности, {\бф \ред группа $\Pic(M,I)$ тривиальна.} \невпаге {\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара (повторение)} \теорема Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, причем группа $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ одномерна, $NS(M,I)=\Z\cdot \eta$. Обозначим за $L$ образующую $\Pic(M,I)$, $c_1(L)=\eta$. Предположим, что $(L,L)>0$. {\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ обильно.} \утверждение Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $H^{1,1}_I(M,\Z)$ -- ее решетка Нерона-Севери. {\бф \ред Поверхность $(M,I)$ изоморфна квартике тогда и только тогда, когда $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ содержит очень обильное расслоение $L$ с $(L,L)=4$.} {\смалл \определение} {\бф \блуе Базисная точка} линейного расслоения есть такая точка, где все его сечения зануляются. Расслоение {\бф \блуе не имеет базисных точек}, если оно глобально порождено. \теорема Пусть $M$ -- К3-поверхность, $\Pic(M)=\Z$, а $L$ -- образующая группы Пикара, такая, что $(L,L)=4$. {\бф \ред Тогда $L$ либо $-L$ обильно и глобально порождено.} \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера квартик (повторение)} \определение Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ -- ненулевой класс когомологий на К3, $(\eta, \eta)>0$. Обозначим за $\Perspace_\eta$ множество $W\in \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$, ортогональных $\eta$. Это пространство называется {\бф \блуе пространство периодов поляризованных К3}. \определение Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ есть целочисленный класс на К3, $(\eta,\eta)=4$. Обозначим за $\Teich^q_\eta$ пространство Тейхмюллера всех $I\in \Teich_\eta$ таких, что линейное расслоение $L$ на $(M,I)$ с $c_1(L)=\eta$ обильно и глобально порождено. Пространство $\Teich^q_\eta$ называется {\бф \блуе пространством Тейхмюллера квартик}. \теорема {\бф \ред $\Teich^q_\eta$ плотно в $\Teich_\eta$.} \следствие По соображениям размерности, {\бф \пурпле пространство $\Teich^{sq}_\eta$ всех $I\in \Teich^q_\eta$ таких, что $(M,I)$ -- гладкая квартика, также плотно в $\Teich_\eta$.} \невпаге {\бф \блуе О плотности квартик (повторение)} \теорема {\бф \ред (будет доказана позже)}\\ Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$. {\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$ плотно в $\Perspace$.} \следствие {\бф \ред $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich^q_\eta$ плотно в $\Teich$.} \следствие Поскольку гладкие квартики плотны в пространстве\\ $\Sym^4 \C^4/GL(\C,4)$ всех квартик, {\бф \пурпле на каждой компоненте $\Teich^q_\eta$ есть плотное множество комплексных структур, соответствующих гладким квартикам. } \теорема {\бф \purple На пространстве Тейхмюллера К3 есть плотное множество точек, соответствующих гладким квартикам.} Поскольку гладкие квартики образуют связное, гладкое семейство, они все диффеоморфны. \следствие {\бф \ред Любая К3 диффеоморфна гладкой квартике.} \невпаге {\бф \блуе Решетки и квадрики} {\бф \греен Теорема 1:} Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$. {\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$ плотно в $\Perspace$.} Другая формулировка {\бф \греен Теорема 2:} Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$, а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ -- множество всех 2-плоскостей, ортогональных какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$ плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} \определение {\бф \блуе Нуль-квадрика}, или же {\бф \блуе световой конус} $\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ есть множество всех $l\in {\Bbb P}H^2(M, \R)$, $(l,l)=0$. \невпаге {\бф \блуе Плотные множества в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$} Пусть $A \subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- подмножество. Обозначим за $V(A)$ множество 2-плоскостей, ортогональных какому-то $v\in A$. \замечание {\bf \purple Если $B\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- множество предельных точек $A\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$, а $V(B)$ плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$, то $V(A)$ плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} \замечание {\bf \purple $V(\Null(M))=\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} Действительно, для каждой 2-плоскости в $H^2(M,\R)$, в ее ортогональном дополнении есть нуль-вектор. Объединяя эти два замечания, получаем, что Теорема 2 следует из Теоремы 3. {\бф \греен Теорема 2:} Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$, а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ -- множество всех 2-плоскостей, ортогональных какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$ плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} {\бф \греен Теорема 3:}\\ {\bf \red Множество предельных точек ${\Bbb P}{\goth R}\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$ содержит $\Null(M)$.} \невпаге {\бф \блуе Плотные множества в световом конусе} {\бф \греен Теорема 3':} {\bf \red Любая точка $x\in\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$ является пределом последовательности $\{\underline{x_i}\}\in {\Bbb P}H^2(M,\Z)$,} причем каждый $\underline{x_i}$ представлен $x_i\in H^2(M,\Z)$, $(x_i,x_i)=4$. \дшаг Рациональные точки плотны в $\Null(M)$. Действительно, как минимум одна рациональная точка в $\Null(M)$ имеется; обозначим ее за $r$. Возьмем любую рациональную прямую $S\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$, проходящую через $r$. {\бф \ред Поскольку одна из точек пересечения $S\cap \Null(M)$ рациональна, другая тоже рациональна.} {\бф \греен Шаг 2:} Вектор $v\in H^2(M,\Z)$ называется {\бф \блуе примитивным}, если он порождает $(\R\cdot v)\cap H^2(M,\Z)$. Поскольку решетка $H^2(M,\Z)$ унимодулярна, {\бф \пурпле для любого примитивного вектора $v\in H^2(M,\Z)$ существует $v'\in H^2(M,\Z)$ такой, что $(v, v')=1$. } {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$ плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$. {\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$ такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$, а $(x_i, x_i)=4$.} \невпаге {\бф \блуе Плотные множества в световом конусе (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$ плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$. {\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$ такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$, а $(x_i, x_i)=4$.} {\бф \греен Шаг 4:} Найдем $x\in H^2(M,\Z)$ такой, что $(v, x)=1$, и пусть $y\in H^2(M,\Z)$ -- любой целочисленный вектор с ненулевым квадратом, ортогональный $v$ и $x$. Если $u=\lambda v+x+\mu y$, то $(u,u)=2\lambda +x^2 +\mu^2y^2$. Напишем $\lambda(\mu)=-1/2(x^2+\mu^2y^2-4)$. Тогда $u(\mu):=\lambda(\mu) v +x +\mu y$ -- целочисленный вектор (форма пересечения четна), причем $(u(\mu),u(\mu))=4$. {\бф \пурпле Осталось доказать, что $\lim\limits_{\mu\arrow \infty} {\Bbb P}u(\mu)={\Bbb P}v.$} {\бф \греен Шаг 5:} Выберем на $H^2(M, \R)$ положительно-определенную метрику $g$, таким образом, что $g(x,x)=g(y,y)=x(v,v)=1$, обозначим за $|\cdot|$ соответствующую норму, $|z| := g(z,z)^{1/2}$. Тогда $|u(\mu)- \lambda(\mu)v|\leq 1+ |\mu|$, а $|\lambda(\mu)v| \geq |1/2\mu^2y^2|-x^2 -4$. Получается, что со стремлением $\mu$ к бесконечности, в треугольнике $0, u(\mu), \lambda(\mu)v$ сторона $(0,\lambda(\mu)v)$ растет квадратично по $\mu$, сторона $(u(\mu), \lambda(\mu)v)$ линейно, соответственно, {\бф \пурпле угол между противолежащими к $(u(\mu), \lambda(\mu)v)$ сторонами стремится к нулю.} Мы доказали, что ${\Bbb P}v$ получено как предел целочисленных ${\Bbb P}u(\mu)$, удовлетворяющих $(u(\mu), u(\mu))=4$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Пространства Фреше (повторение)} \определение {\бф \блуе Локально выпуклое топологическое векторное пространство} это топологическое векторное пространство, базу топологии которого составляют выпуклые множества. \определение Рассмотрим векторное пространство, снабженное набором полунорм $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$ и топологией, которая задана метрикой вида $d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty \max(|x-y|_i,2^{-i}).$ Такое пространство называется {\бф \блуе пространством Фреше}, если эта метрика полна (т.е. любая последовательность Коши в этой метрике сходится). \замечание Последовательность точек сходится в топологии Фреше тогда и только тогда, когда она сходится во всех нормах $|\cdot|_i$, а базой топологии Фреше будут бесконечные пересечения $\epsilon$-шаров вида $\bigcap_{i=0}^\infty B_x(\epsilon_i,|\cdot|_i), $ во всех нормах $|\cdot|_i$ {\бф \пурпле (докажите это).} \невпаге {\бф \блуе Топология Фреше на пространстве гладких функций} \определение Пусть $M$ - гладкое многообразие. Введем на $M$ метрику, и пусть $\nabla^i:\; C^{\infty}(M) \arrow \Lambda^1(М)^{\otimes i}$ - отображение, ставящее в соответствие функции ее $i$-ю производную (здесь $\nabla$ обозначает связность Леви-Чивита). Определим на пространстве функций с компактным носителем {\бф \блуе топологию $C^k$,} заданную нормой \[ |\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|. \] \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле топология $C^k$ не зависит от выбора метрики на $M$. } \определение {\бф\блуе Пространство тест-функций} -- это пространство функций с компактным носителем, с топологией, заданной набором норм $|\cdot|_{C^i}$. \замечание Последовательность $\{a_i\}$ сходится в топологии пространства тест-функций {\ред тогда и только тогда, когда она сходится во всех $|\cdot|_{C^i}$.} \упражнение Докажите, что это пространство Фреше. Докажите, что {\бф \пурпле топология на пространстве тест-функций не зависит от выбора метрики на $M$.} \невпаге {\бф \блуе Обобщенные функции} \определение {\бф \блуе Обобщенной функцией} (распределением) называется функционал на пространстве функций с компактным носителем, непрерывный в одной из топологий $C^i$. На пространстве распределений задана {\бф\блуе слабая топология}, это слабейшая топология, в которой спаривание с пространством тест-функций непрерывно. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле слабая топология на обобщенных функциях локально выпукла.} \пример {\бф \блуе Дельта-функция} $\delta_t$ -- функционал, ставящий $\phi$ в соответствие $\phi(t)$, где $t\in M$ -- точка. Легко видеть, что дельта-функция непрерывна в топологии $C^0$. Ее производная непрерывна в $C^1$, и так далее. \невпаге {\бф \блуе Потоки на многообразиях} \замечание Пусть $M$ - многообразие, $B$ - расслоение. Введем метрику на $M$ и связность с метрикой на $B$. Формула $|\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|$ задает норму $C^i$ на пространствах сечений $B$ с компактным носителем. Рассуждая, как для функций, мы строим {\бф \блуе топологию Фреше} на пространстве сечений, и проверяем, что она не зависит от выбора метрики. \определение {\бф \блуе $(p,q)$-потоком} на комплексном $n$-мерном многообразии называется функционал на пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$ $(n-p, n-q)$-форм с компактным носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий. \определение {\бф\блуе Пространство тест-форм типа $(p,q)$} на комплексном многообразии это пространство $(p,q)$-форм с компактным носителем, снабженное структурой пространства Фреше, определенной по нормам $C^i$. \замечание {\бф \ред Потоки суть функционалы на $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, непрерывные в топологии тест-форм.} \замечание Также {\бф \ред потоки можно рассматривать как $(p,q)$-\-фор\-мы с коэффициентами в обобщенных функциях.} \невпаге {\бф \блуе Когомологии потоков} \замечание Гладкую $(p,q)$-форму $\psi$ можно интерпретировать как $(p,q)$-поток: для любой тест-формы $\alpha\in\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, рассмотрим функционал $\alpha \arrow \int_M \psi \wedge\alpha$. {\бф \пурпле Это задает вложение $\Lambda^{p,q}(M)\hookrightarrow {\cal D}^{p,q}(M)$ из форм в потоки. } \упражнение Докажите, {\бф \пурпле что пространство потоков -- это пополнение $\Lambda^{p,q}(M)$} в слабейшей топологии, в которой спаривание с пространством тест-форм непрерывно. \замечание Поскольку {\бф \пурпле дифференцирование вдоль векторного поля непрерывно в топологии потоков} {\бф \ред (проверьте это),} на пространстве потоков определен дифференциал де Рама, продолженный по непрерывности из пространства форм, а также дифференциалы Дольбо $\6$ и $\bar\6$. В квадрате эти дифференциалы равны нулю {\бф \пурпле (проверьте).} Это позволяет определить когомологии де Рама и Дольбо потоков. \невпаге {\бф \блуе Когомологии потоков (продолжение)} \утверждение В пространстве потоков {\бф \ред имеет место лемма Пуанкаре} (о том, что когомологии дифференциала де Рама порождены постоянными функциями) и Дольбо (о том, что {\бф \ред когомологии дифференциала Дольбо $\bar \6$ равны голоморфным функциям}). \замечание Из лемм Пуанкаре и Дольбо сразу следует, что потоки являются ацикличными резольвентами к константам и к голоморфным функциям, а значит {\бф \ред их когомологии равны обычным когомологиям де Рама и Дольбо.} \упражнение Выведите из этого, что {\бф \пурпле образ $\6$, $d$ и $\bar\6$ замкнут в пространстве потоков на компактном многообразии.} \невпаге {\бф \блуе Положительные (1,1)-формы} \определение {\бф\блуе Положительная $(1,1)$-форма} -- это вещественная (1,1)-форма $\alpha$, удовлетворяющая $\alpha(x,Ix) \geq 0$, для любого вещественного векторного поля $x$. \замечание Локально, положительную (1,1)-форму можно представить в виде $\alpha= \sum_i \1\alpha_i dz_1 \wedge d\bar z_i,$ где $dz_i$ - базис в $\Lambda^{0,1}(M)$, а $\alpha_i\geq 0$ -- вещественные функции {\бф \пурпле (проверьте это)}. \определение {\бф \блуе Выпуклым конусом} в векторном пространстве $V$ называется подмножество $A\subset V$, удовлетворяющее следующим свойствам.\\ 1. $\forall x, y\in A$, их сумма тоже лежит в $A$.\\ 2. $\forall x\in A, \lambda\in \R^{>0}$, $\lambda x$ также лежит в $A$. \замечание Положительные $(1,1)$-формы образуют выпуклый конус в пространстве вещественных (1,1)-форм. \определение Пусть $M$ - комплексное, $n$-мерное многообразие. $(n-1,n-1)$-поток $\eta$ называется {\бф \блуе положительным} если $\int_M \eta \wedge \alpha\geq 0$ для любой положительной $(1,1)$-формы, \невпаге {\бф \блуе Теорема Хана-Банаха} \теорема {\бф \блуе (Теорема Хана-Банаха)} Пусть $V$ - топологическое векторное пространство, $A\subset V$ - открытый выпуклый конус, не содержащий 0, $W\subset V$ - замкнутое подпространство, а $\theta_W$ - непрерывный линейный функционал на $W$, положительный на $W\cap A$. {\бф \ред Тогда на $V$ существует непрерывный линейный функционал $\theta$, такой, что $\theta\restrict A> 0$, а $\theta\restrict W = \theta_W$. } \доказательство В следующей лекции, если слушатели пожелают. \ендпрооф \определение {\бф \блуе Строго положительная (1,1)-форма} --- форма, лежащая во внутренности положительного конуса. \замечание {\бф \блуе Многообразие называется кэлеровым, если на нем существует строго положительная, замкнутая форма.} Это одно из определений. \замечание Иначе говоря, {\бф \пурпле кэлеровость равносильна тому, что открытый конус $A$ строго положительных форм пересекается с линейным пространством $W$ замкнутых форм.} \невпаге {\бф \блуе Замкнутые потоки} \утверждение {\бф \ред Если поток $\theta$, заданный на компактном многообразии, зануляется на замкнутых формах, то он точен.} \дшаг Действительно, \[ 0 = \int_M \theta \wedge d \alpha= (-1)^{\deg \theta} \int_M d\theta \wedge \alpha, \] значит, {\бф \пурпле $d\theta$ зануляется на любой тест-форме, значит, он равен нулю. } {\бф \греен Шаг 2:} Класс когомологий $\theta$ равен нулю, потому что {\бф \пурпле для ненулевого класса когомологий существует замкнутая форма $\alpha$ с $\int_M \theta \wedge \alpha\neq 0$} (в силу двойственности Пуанкаре). \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Потоки, зануляющиеся на замкнутых (1,1)-формах} \лемма Пусть $M$ -- компактное комплексное $n$-мерное многообразие, а $\theta$ -- $(n-1,n-1)$-поток, который зануляется на замкнутых $(1,1)$-формах. {\бф \ред Тогда $\theta$ -- $(n-1,n-1)$-часть точного потока $\tilde \theta$.} \дшаг Пусть $V$ -- пространство 2-форм, с топологией Фреше. Пространство (1,1)-форм замкнуто в $V$, пространство замкнутых форм тоже замкнуто. Пусть $W$ -- подпространство в $V$, порожденное замкнутыми формами и $(1,1)$-формами. Оно замкнуто. Определим функционал $\theta_1$ на $W$ так: на $(1,1)$-формах $\theta_1=\theta$, на замкнутых формах $\theta_1=0$. {\бф \греен Шаг 2:} Применим теорему Хана-Банаха к $W$, построенному выше, и пустому $A$. Тогда $\theta_1$ продолжается до функционала $\tilde \theta$ на $V$. {\бф \пурпле По построению $\tilde\theta$ зануляется на замкнутых 2-формах, значит, в силу предыдущего утверждения он точен.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Харви-Лоусона} \теорема {\бф \блуе (Харви-Лоусон, 1983)}\\ Пусть $M$ -- компактное комплексное многообразие. Тогда следующие утверждения равносильны. (а) $M$ не допускает кэлеровой метрики. (б) На $M$ существует ненулевой положительный $(n-1,n-1)$-поток, который является $(n-1,n-1)$-частью точного. \дшаг Пусть $V$ - пространство вещественных $(1,1)$-\-форм на $M$, с топологией пространства Фреше, $A\subset V$ -- строго положительные $(1,1)$-формы, а $W\subset V$ -- пространство замкнутых $(1,1)$-форм. Если $M$ не кэлерово, то $A\cap W=\emptyset$. По теореме Хана-Банаха {\бф \ред существует непрерывный функционал $\theta$ на $V$, зануляющийся на $W$, и положительный на $A$.} {\бф \греен Шаг 2:} Непрерывные функционалы на $V$ -- это $(n-1,n-1)$-потоки. {\бф \пурпле В силу предыдущей леммы, $\theta$ есть $(n-1,n-1)$-часть точного потока.} {\бф \греен Шаг 3:} Если положительный поток $\theta$ на кэлеровом многообразии $(M, \omega)$ является $(n-1,n-1)$-частью точного потока, то $\int_M \theta \wedge \omega=0$, но в этом случае $\theta=0$ {\bf \purple (проверьте это).} \ендпрооф \end{document}