
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Map}{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 8 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 9: К3, квадрики, решетки, потоки на многообразиях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 9 апреля 2012
}
\end{center}


\невпаге

{\бф \блуе  K3-поверхности (повторение)}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухсдаль-Ламари).

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

\замечание
Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$,
значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова
характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$.

Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности:
\[\begin{array}{ccccc}
&&1&&\\
&0&&0&\\
1&&20&&1\\
&0&&0&\\
&&1&&\\
\end{array}
\]
\утверждение
{\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.}


\невпаге


\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}
\newcommand{\St}{\operatorname{\sf St}}
\newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{Null}}
\newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}}


{\бф \блуе  Пространство периодов для К3-поверхности (повторение)}

\определение 
Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти
комплексных структур на многообразии, с топологией,
индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров.
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур
есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$
есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов).

\определение
Пусть $M$ есть К3-поверхность.
{\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel 
\Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$
сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую
$H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$.

\определение
{\бф\блуе  Пространство периодов} К3-поверхности
есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$
состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что
$l\wedge l=0$ и $l\wedge \bar l>0$. {\бф \блуе
Отображение периодов} есть отображение
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$.

Основной результат прошлой лекции:

\теорема
{\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)}
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ 
{\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности
каждой точки $I\in\Teich(M)$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Пространство периодов и $++$-грассманиан (повторение)}


Пусть $V$ -- вещественное векторное
пространство, снабженное 
скалярным произведением $q$. Обозначим
за $\Perspace(V)$ множество прямых 
$l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих
$q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть
$\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных
2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких,
что $q\restrict W$ положительно определено.

\утверждение
Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$,
рассмотрим оператор поворота на
$\frac \pi 2$ против часовой стрелки:
$I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за
$P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую,
порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$.
Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию 
$P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.}

\следствие
{\бф \ред Пространство периодов для К3-поверхности
изоморфно $SO(19,3)/SO(2)\times SO(19,1)$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Гладкие квартики (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая
гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым
однородным полиномом степени 4.

\замечание
По формуле Эйлера, каноническое расслоение
на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения,
примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$,
дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$,
а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$,
{\бф \пурпле имеем $K_Z=\calo(m-n-1)$.}

\следствие
Для гладкой квартики в $\C P^3$, $n=3$, $m=4$, значит $K_Z=\calo_Z$. 
Поэтому
{\бф \пурпле гладкая квартика есть поверхность с тривиальным
каноническим классом.}

\замечание
В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду
подразумевать квартики размерности 2.}

\теорема
{\бф \ред Гладкая двумерная квартика является  К3-поверхностью}.

\невпаге

{\бф \блуе Пространство $H^{1,1}(M,\Z)$ и линейные расслоения (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Группа Нерона-Севери} $NS(M)$ многообразия $M$
есть образ $\Pic(M)$ в $H^2(M,\Z)$.

\определение
Обозначим за $H^{1,1}(M,\Z)$ {\bf \blue множество целочисленных
классов когомологий, которые лежат в $H^{1,1}(M)$.}

\утверждение
{\bf \purple
Если группа $H^2(M,\Z)$ -- без кручения, то $NS(M)=H^{1,1}(M,\Z)$.}

\утверждение
Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность,
а $W:=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$. {\bf \red Тогда $H^{1,1}_I(M,\R)=W^\bot$ }
(ортогональное дополнение).

\следствие
Для любой К3, {\бф \пурпле $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ --
множество целочисленных векторов, ортогональных 
$W=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$.}

\следствие
Для общей К3-поверхности, {\бф \ред группа $\Pic(M,I)$ тривиальна.}


\невпаге

{\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара (повторение)}

\теорема
Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, причем
группа $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ одномерна,
$NS(M,I)=\Z\cdot \eta$. Обозначим за $L$
образующую $\Pic(M,I)$,
$c_1(L)=\eta$. Предположим, что $(L,L)>0$.
{\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ обильно.}

\утверждение
Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $H^{1,1}_I(M,\Z)$ -- ее
решетка Нерона-Севери. {\бф \ред Поверхность $(M,I)$ изоморфна квартике
тогда и только тогда, когда $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ содержит
очень обильное расслоение $L$ с $(L,L)=4$.}

{\смалл \определение}
{\бф \блуе Базисная точка} линейного расслоения
есть такая точка, где все его сечения зануляются.
Расслоение {\бф \блуе не имеет базисных точек},
если оно глобально порождено.

\теорема
Пусть $M$ -- К3-поверхность, $\Pic(M)=\Z$, 
а $L$ -- образующая группы Пикара, такая, что $(L,L)=4$. {\бф \ред Тогда 
$L$ либо $-L$ обильно и глобально порождено.}

\невпаге

{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера квартик (повторение)}

\определение
Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ -- ненулевой класс когомологий
на К3, $(\eta, \eta)>0$. Обозначим за $\Perspace_\eta$
множество $W\in \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$, ортогональных $\eta$.
Это пространство называется {\бф \блуе пространство
периодов поляризованных К3}.

\определение
Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ есть целочисленный 
класс на К3, $(\eta,\eta)=4$. Обозначим за
$\Teich^q_\eta$ пространство Тейхмюллера
всех $I\in \Teich_\eta$ таких, что
линейное расслоение $L$ на $(M,I)$
с $c_1(L)=\eta$ обильно и глобально порождено.
Пространство $\Teich^q_\eta$ называется {\бф \блуе
пространством Тейхмюллера квартик}.

\теорема
{\бф \ред $\Teich^q_\eta$ плотно в
$\Teich_\eta$.}

\следствие
По соображениям размерности, 
{\бф \пурпле пространство $\Teich^{sq}_\eta$ всех $I\in \Teich^q_\eta$
таких, что $(M,I)$ -- гладкая квартика,
также плотно в $\Teich_\eta$.}

\невпаге

{\бф \блуе О плотности квартик (повторение)}


\теорема
{\бф \ред (будет доказана позже)}\\
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$.
{\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$
плотно в $\Perspace$.}

\следствие
{\бф \ред $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich^q_\eta$
плотно в $\Teich$.}

\следствие
Поскольку гладкие квартики плотны в пространстве\\
$\Sym^4 \C^4/GL(\C,4)$ всех квартик, {\бф \пурпле на каждой
компоненте $\Teich^q_\eta$ есть плотное множество
комплексных структур, соответствующих 
гладким квартикам. }

\теорема
{\бф \purple На пространстве Тейхмюллера К3 есть плотное множество
точек, соответствующих гладким квартикам.}

Поскольку гладкие квартики образуют связное, гладкое семейство,
они все диффеоморфны.

\следствие
{\бф \ред Любая К3 диффеоморфна гладкой квартике.}

\невпаге

{\бф \блуе Решетки и квадрики}

{\бф \греен Теорема 1:} 
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$.
{\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$
плотно в $\Perspace$.}

Другая формулировка

{\бф \греен Теорема 2:}
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$,
а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ --
множество всех 2-плоскостей, ортогональных 
какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$
плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.}


\определение
{\бф \блуе Нуль-квадрика}, или же {\бф \блуе световой
конус} $\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$
есть множество всех $l\in {\Bbb P}H^2(M, \R)$,
$(l,l)=0$.


\невпаге

{\бф \блуе Плотные множества в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$}

Пусть $A \subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- подмножество.
Обозначим за $V(A)$ множество 2-плоскостей, ортогональных 
какому-то $v\in A$. 

\замечание
{\bf \purple Если $B\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- множество
предельных точек $A\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$, а $V(B)$ плотно
в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$, 
то $V(A)$ плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.}

\замечание
{\bf \purple $V(\Null(M))=\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} 
Действительно, для каждой 2-плоскости в $H^2(M,\R)$,
в ее ортогональном дополнении есть нуль-вектор.

Объединяя эти два замечания, получаем, что 
Теорема 2 следует из Теоремы 3.

{\бф \греен Теорема 2:}
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$,
а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ --
множество всех 2-плоскостей, ортогональных 
какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$
плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.}

{\бф \греен Теорема 3:}\\
{\bf \red Множество предельных точек 
${\Bbb P}{\goth R}\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$
содержит $\Null(M)$.}

\невпаге

{\бф \блуе Плотные множества в световом конусе}

{\бф \греен Теорема 3':}
{\bf \red Любая точка $x\in\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$
является пределом последовательности 
$\{\underline{x_i}\}\in {\Bbb P}H^2(M,\Z)$,} причем каждый
$\underline{x_i}$ представлен $x_i\in H^2(M,\Z)$,
$(x_i,x_i)=4$.

\дшаг
Рациональные точки плотны в $\Null(M)$.
Действительно, как минимум одна рациональная
точка в $\Null(M)$ имеется; обозначим ее за $r$.
Возьмем любую рациональную прямую $S\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$,
проходящую через $r$. {\бф \ред Поскольку одна из точек пересечения
$S\cap \Null(M)$ рациональна, другая тоже рациональна.}

{\бф \греен Шаг 2:} Вектор $v\in H^2(M,\Z)$ называется {\бф
\блуе примитивным}, если он порождает $(\R\cdot v)\cap H^2(M,\Z)$.
Поскольку решетка $H^2(M,\Z)$ унимодулярна, {\бф \пурпле для любого
примитивного вектора $v\in H^2(M,\Z)$ существует $v'\in H^2(M,\Z)$
такой, что $(v, v')=1$. }

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество
примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$
плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$.
{\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$
такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$,
а $(x_i, x_i)=4$.}

\невпаге

{\бф \блуе Плотные множества в световом конусе (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество
примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$
плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$.
{\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$
такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$,
а $(x_i, x_i)=4$.}

{\бф \греен Шаг 4:} Найдем $x\in H^2(M,\Z)$
такой, что $(v, x)=1$, и пусть $y\in H^2(M,\Z)$ -- любой
целочисленный вектор с ненулевым квадратом, ортогональный $v$ и $x$.
Если $u=\lambda v+x+\mu y$, то $(u,u)=2\lambda +x^2 +\mu^2y^2$.
Напишем $\lambda(\mu)=-1/2(x^2+\mu^2y^2-4)$. Тогда
$u(\mu):=\lambda(\mu) v +x +\mu y$ -- 
целочисленный вектор (форма пересечения четна), причем
$(u(\mu),u(\mu))=4$.  {\бф \пурпле Осталось доказать, что 
$\lim\limits_{\mu\arrow \infty} {\Bbb P}u(\mu)={\Bbb P}v.$}

{\бф \греен Шаг 5:} Выберем на $H^2(M, \R)$ положительно-определенную
метрику $g$, таким образом, что $g(x,x)=g(y,y)=x(v,v)=1$,
обозначим за $|\cdot|$ соответствующую норму, $|z| := g(z,z)^{1/2}$.
Тогда $|u(\mu)- \lambda(\mu)v|\leq 1+ |\mu|$, а 
$|\lambda(\mu)v| \geq |1/2\mu^2y^2|-x^2 -4$.
Получается, что со стремлением $\mu$ к бесконечности,
в треугольнике $0, u(\mu), \lambda(\mu)v$
сторона $(0,\lambda(\mu)v)$ растет квадратично по $\mu$, 
сторона $(u(\mu), \lambda(\mu)v)$
линейно, соответственно, {\бф \пурпле угол между противолежащими к
$(u(\mu), \lambda(\mu)v)$
сторонами стремится к нулю.} Мы доказали, что
${\Bbb P}v$ получено как предел целочисленных ${\Bbb P}u(\mu)$,
удовлетворяющих $(u(\mu), u(\mu))=4$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Пространства Фреше (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Локально выпуклое топологическое векторное пространство} это
топологическое векторное пространство, базу топологии
которого составляют выпуклые множества.



\определение
Рассмотрим векторное пространство,
снабженное набором полунорм  $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$
и топологией, которая задана метрикой вида
$d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty \max(|x-y|_i,2^{-i}).$
Такое пространство называется {\бф \блуе пространством Фреше},
если эта метрика полна (т.е. любая последовательность
Коши в этой метрике сходится).

\замечание
Последовательность точек сходится в
топологии Фреше тогда и только тогда, когда
она сходится во всех нормах $|\cdot|_i$, а базой
топологии Фреше будут бесконечные пересечения
$\epsilon$-шаров вида $\bigcap_{i=0}^\infty B_x(\epsilon_i,|\cdot|_i), $
во всех нормах $|\cdot|_i$ {\бф \пурпле (докажите это).}



\невпаге

{\бф \блуе Топология Фреше на пространстве гладких функций}


\определение
Пусть $M$ - гладкое многообразие. Введем на $M$ метрику,
и пусть $\nabla^i:\; C^{\infty}(M) \arrow
\Lambda^1(М)^{\otimes i}$ - отображение, ставящее
в соответствие функции ее $i$-ю производную 
(здесь $\nabla$ обозначает связность Леви-Чивита).
Определим на пространстве функций с компактным носителем
{\бф \блуе топологию $C^k$,} заданную нормой
\[
  |\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|.
\]
\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле топология $C^k$ не зависит
от выбора метрики на $M$. }



\определение
{\бф\блуе Пространство тест-функций} -- это пространство 
функций с компактным носителем, с топологией, заданной
набором норм $|\cdot|_{C^i}$.

\замечание
Последовательность $\{a_i\}$ сходится в топологии
пространства тест-функций {\ред тогда и только тогда,
когда она сходится во всех $|\cdot|_{C^i}$.}

\упражнение
Докажите, что это пространство Фреше. Докажите, что
{\бф \пурпле топология на пространстве тест-функций не зависит от
выбора метрики на $M$.}


\невпаге

{\бф \блуе Обобщенные функции}


\определение
{\бф \блуе Обобщенной функцией} (распределением)
называется функционал на пространстве функций с компактным носителем,
непрерывный в одной из топологий $C^i$. 
На пространстве распределений задана 
{\бф\блуе слабая топология}, это слабейшая топология,
в которой спаривание с пространством тест-функций
непрерывно. 


\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле слабая топология на обобщенных функциях
локально выпукла.}


\пример
{\бф \блуе Дельта-функция} $\delta_t$ -- функционал, 
ставящий $\phi$ в соответствие $\phi(t)$, 
где $t\in M$ -- точка. Легко видеть, что дельта-функция 
непрерывна в топологии $C^0$. Ее производная
непрерывна в $C^1$, и так далее.

\невпаге

{\бф \блуе Потоки на многообразиях}


\замечание
Пусть $M$ - многообразие, $B$ - расслоение.
Введем метрику на $M$ и связность с метрикой на $B$. 
Формула 
$|\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|$ задает
норму $C^i$ на пространствах сечений $B$
с компактным носителем. Рассуждая, как для
функций, мы строим {\бф \блуе топологию Фреше} на 
пространстве сечений, и проверяем, что
она не зависит от выбора метрики. 

\определение
{\бф \блуе $(p,q)$-потоком} на комплексном $n$-мерном 
многообразии называется функционал на
пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$
 $(n-p, n-q)$-форм с компактным
носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий.

\определение
{\бф\блуе Пространство тест-форм  типа $(p,q)$}
на комплексном многообразии это пространство
$(p,q)$-форм с компактным носителем, снабженное
структурой пространства Фреше, определенной 
по нормам $C^i$.


\замечание
{\бф \ред Потоки суть функционалы на $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$,
непрерывные в топологии тест-форм.}


\замечание
Также {\бф \ред потоки можно рассматривать как  $(p,q)$-\-фор\-мы
с коэффициентами в обобщенных функциях.}


\невпаге

{\бф \блуе Когомологии потоков}

\замечание
Гладкую $(p,q)$-форму $\psi$ можно интерпретировать
как $(p,q)$-поток: для любой тест-формы
$\alpha\in\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, рассмотрим
функционал $\alpha \arrow \int_M \psi \wedge\alpha$.
{\бф \пурпле 
Это задает вложение $\Lambda^{p,q}(M)\hookrightarrow {\cal D}^{p,q}(M)$
из форм в потоки. }

\упражнение
Докажите, {\бф \пурпле что пространство потоков -- это пополнение
$\Lambda^{p,q}(M)$} в слабейшей топологии, в которой
спаривание с пространством тест-форм непрерывно.


\замечание
Поскольку {\бф \пурпле дифференцирование вдоль векторного
поля непрерывно в топологии потоков} {\бф \ред (проверьте это),}
на пространстве потоков определен дифференциал де Рама,
продолженный по непрерывности из пространства форм,
а также дифференциалы Дольбо $\6$ и $\bar\6$.
В квадрате эти дифференциалы равны нулю {\бф \пурпле (проверьте).}
Это позволяет определить когомологии де Рама и
Дольбо потоков.

\невпаге

{\бф \блуе Когомологии потоков (продолжение)}

\утверждение
В пространстве потоков {\бф \ред имеет место лемма Пуанкаре} (о том,
что когомологии дифференциала де Рама порождены постоянными 
функциями) и Дольбо (о том,
что {\бф \ред когомологии дифференциала Дольбо $\bar \6$ равны 
голоморфным функциям}). 

\замечание
 Из лемм Пуанкаре и Дольбо
сразу следует, что потоки являются ацикличными
резольвентами к константам и к голоморфным функциям,
а значит {\бф \ред их когомологии равны обычным когомологиям
де Рама и Дольбо.}


\упражнение 
Выведите из этого, что
{\бф \пурпле образ $\6$, $d$ и $\bar\6$
замкнут в пространстве потоков на компактном
многообразии.}


\невпаге

{\бф \блуе Положительные (1,1)-формы}


\определение
{\бф\блуе Положительная $(1,1)$-форма} -- это вещественная
(1,1)-форма $\alpha$, удовлетворяющая $\alpha(x,Ix) \geq 0$,
для любого вещественного векторного поля $x$.

\замечание
Локально, положительную (1,1)-форму можно представить в виде
$\alpha= \sum_i \1\alpha_i dz_1 \wedge d\bar z_i,$
где $dz_i$ - базис в $\Lambda^{0,1}(M)$, а $\alpha_i\geq 0$ --
вещественные функции {\бф \пурпле (проверьте это)}.


\определение
{\бф \блуе Выпуклым конусом} в векторном пространстве $V$ называется
подмножество $A\subset V$, удовлетворяющее следующим свойствам.\\
1. $\forall x, y\in A$, их сумма тоже лежит в $A$.\\
2. $\forall x\in A, \lambda\in \R^{>0}$, $\lambda x$ 
также лежит в $A$.

\замечание
Положительные $(1,1)$-формы образуют выпуклый конус
в пространстве вещественных (1,1)-форм.

\определение
Пусть $M$ - комплексное, $n$-мерное многообразие.
$(n-1,n-1)$-поток $\eta$ называется {\бф \блуе положительным}
если $\int_M \eta \wedge \alpha\geq 0$ для любой
положительной $(1,1)$-формы,


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Хана-Банаха}


\теорема
{\бф \блуе (Теорема Хана-Банаха)}
Пусть $V$ - топологическое
векторное пространство, $A\subset V$ - 
открытый выпуклый конус, не содержащий 0,
$W\subset V$ - замкнутое подпространство, а
$\theta_W$ - непрерывный линейный функционал
на $W$, положительный на $W\cap A$. {\бф \ред Тогда на $V$ 
существует непрерывный линейный функционал $\theta$,
такой, что $\theta\restrict A> 0$,
а $\theta\restrict W = \theta_W$. }

\доказательство В следующей лекции, если слушатели пожелают.
\ендпрооф


\определение
{\бф \блуе Строго положительная (1,1)-форма} --- форма, лежащая
во внутренности положительного конуса.


\замечание
{\бф \блуе Многообразие называется кэлеровым, если
на нем существует строго положительная,
замкнутая форма.} Это одно из определений.

\замечание
Иначе говоря, {\бф \пурпле кэлеровость равносильна тому,
что открытый конус $A$ строго положительных форм
пересекается с линейным пространством  $W$ замкнутых форм.}

\невпаге

{\бф \блуе Замкнутые потоки}



\утверждение
{\бф \ред Если поток $\theta$, заданный
на компактном многообразии, зануляется на замкнутых формах,
то он точен.}

\дшаг 
Действительно, 
\[ 0 = 
\int_M \theta \wedge d \alpha= 
(-1)^{\deg \theta} \int_M d\theta \wedge  \alpha,
\]
значит, {\бф \пурпле $d\theta$ зануляется на любой тест-форме, значит,
он равен нулю. }

{\бф \греен Шаг 2:} Класс когомологий $\theta$ 
равен нулю, потому что {\бф \пурпле для ненулевого класса когомологий
существует замкнутая форма $\alpha$
с $\int_M \theta \wedge \alpha\neq 0$}
(в силу двойственности Пуанкаре).
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Потоки, зануляющиеся на замкнутых (1,1)-формах}



\лемма
Пусть $M$ -- компактное комплексное
$n$-мерное многообразие, а $\theta$ -- 
$(n-1,n-1)$-поток, который зануляется
на замкнутых $(1,1)$-формах. 
{\бф \ред Тогда $\theta$ -- $(n-1,n-1)$-часть точного потока
$\tilde \theta$.}

\дшаг
Пусть $V$ -- пространство 2-форм,
с топологией Фреше. Пространство (1,1)-форм 
замкнуто в $V$, пространство замкнутых
форм тоже замкнуто. Пусть $W$ -- подпространство
в $V$, порожденное замкнутыми формами и $(1,1)$-формами.
Оно замкнуто.   Определим функционал $\theta_1$
на $W$ так: на $(1,1)$-формах $\theta_1=\theta$,
на замкнутых формах $\theta_1=0$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Применим теорему Хана-Банаха к $W$, построенному выше,
и пустому $A$. Тогда $\theta_1$ 
продолжается до функционала $\tilde \theta$ на $V$.
{\бф \пурпле По построению $\tilde\theta$
зануляется на замкнутых 2-формах, значит,
в силу предыдущего утверждения он точен.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Харви-Лоусона}


\теорема
{\бф \блуе (Харви-Лоусон, 1983)}\\ 
Пусть $M$ --  компактное комплексное многообразие.
Тогда следующие утверждения равносильны.
(а) $M$ не допускает кэлеровой метрики. (б) На $M$ существует
ненулевой положительный $(n-1,n-1)$-поток, который является
$(n-1,n-1)$-частью точного.

\дшаг
 Пусть $V$ - пространство 
вещественных $(1,1)$-\-форм на $M$, с топологией пространства 
Фреше, $A\subset V$ -- строго положительные $(1,1)$-формы, 
а $W\subset V$ -- пространство
замкнутых $(1,1)$-форм. Если $M$ не кэлерово, то 
$A\cap W=\emptyset$. По теореме Хана-Банаха {\бф \ред существует непрерывный
функционал $\theta$ на $V$, зануляющийся на $W$,
и положительный на $A$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Непрерывные
функционалы на $V$ -- это $(n-1,n-1)$-потоки.
{\бф \пурпле В силу предыдущей леммы, $\theta$
есть $(n-1,n-1)$-часть точного потока.}


{\бф \греен Шаг 3:} 
Если положительный поток $\theta$ на кэлеровом многообразии 
$(M, \omega)$ является $(n-1,n-1)$-частью точного потока, то 
$\int_M \theta \wedge \omega=0$, но в этом
случае $\theta=0$ {\bf \purple (проверьте это).}
\ендпрооф






\end{document}
