
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Map}{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 8 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 8: Все К3 диффеоморфны}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 2 апреля 2012
}
\end{center}


\невпаге

{\бф \блуе  K3-поверхности (повторение)}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухсдаль-Ламари).

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

\замечание
Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$,
значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова
характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$.

Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности:
\[\begin{array}{ccccc}
&&1&&\\
&0&&0&\\
1&&20&&1\\
&0&&0&\\
&&1&&\\
\end{array}
\]
\утверждение
{\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.}


\невпаге


\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}
\newcommand{\St}{\operatorname{\sf St}}
\newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{Null}}
\newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}}


{\бф \блуе  Пространство периодов для К3-поверхности (повторение)}

\определение 
Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти
комплексных структур на многообразии, с топологией,
индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров.
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур
есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$
есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов).

\определение
Пусть $M$ есть К3-поверхность.
{\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel 
\Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$
сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую
$H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$.

\определение
{\бф\блуе  Пространство периодов} К3-поверхности
есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$
состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что
$l\wedge l=0$ и $l\wedge \bar l>0$. {\бф \блуе
Отображение периодов} есть отображение
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$.

Основной результат прошлой лекции:

\теорема
{\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)}
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ 
{\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности
каждой точки $I\in\Teich(M)$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Пространство периодов и $++$-грассманиан (повторение)}


Пусть $V$ -- вещественное векторное
пространство, снабженное 
скалярным произведением $q$. Обозначим
за $\Perspace(V)$ множество прямых 
$l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих
$q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть
$\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных
2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких,
что $q\restrict W$ положительно определено.

\утверждение
Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$,
рассмотрим оператор поворота на
$\frac \pi 2$ против часовой стрелки:
$I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за
$P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую,
порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$.
Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию 
$P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.}

\следствие
{\бф \ред Пространство периодов для К3-поверхности
изоморфно $SO(19,3)/SO(2)\times SO(19,1)$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Гладкие квартики (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая
гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым
однородным полиномом степени 4.

\замечание
По формуле Эйлера, каноническое расслоение
на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения,
примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$,
дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$,
а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$,
{\бф \пурпле имеем $K_Z=\calo(m-n-1)$.}

\следствие
Для гладкой квартики в $\C P^3$, $n=3$, $m=4$, значит $K_Z=\calo_Z$. 
Поэтому
{\бф \пурпле гладкая квартика есть поверхность с тривиальным
каноническим классом.}

\замечание
В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду
подразумевать квартики размерности 2.}



\невпаге

{\бф \блуе  Гладкие квартики и теорема Лефшеца о гиперплоском сечении}

\определение
{\бф \блуе $k$-е вложение Веронезе} есть проективное вложение
$\C P^k \arrow {\Bbb P}(H^0(\calo(k))$, заданное линейной
системой $\calo(k)$. Иначе говоря, {\бф \пурпле вложение Веронезе
переводит $(t_0:t_1:...:t_n)$ в 
$(P_0(t_0,..., t_n):P_1(t_0,..., t_n):...:...)$,
где $P_i$ обозначает какой-то базис в однородных многочленах
степени $k$.}

\следствие
{\бф \пурпле Гладкая квартика есть пересечение образа $4$-го отображения
Веронезе и общей гиперплоскости. }


\теорема
{\бф \блуе (Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\
Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие
размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение,
трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i<m-1$,
отображение гомотопических групп $\pi_i(Z\cap H) \arrow\pi_i(Z)$ --
изоморфизм.}


\следствие 
{\бф \ред Гладкая двумерная квартика является \\ К3-поверхностью}.

В самом деле, $\pi_1(Z)=\pi_1(\C P^3)=0$ по теореме Лефшеца, примененной
к образу Веронезе.

\невпаге

{\бф \блуе Пространство $H^{1,1}(M,\Z)$ и линейные расслоения}

\определение
{\бф \блуе Группа Нерона-Севери} $NS(M)$ многообразия $M$
есть образ $\Pic(M)$ в $H^2(M,\Z)$.

\замечание
Пусть $M$ -- компактное, кэлерово. Экспоненциальная
точная последовательность $0\arrow \Z \arrow \calo_M\arrow \calo^*_M\arrow 0$ 
дает
\[ \arrow H^1(\calo_M)\arrow \Pic(M)\arrow H^2(M,\Z)\stackrel\psi\arrow H^2(M,\calo_M)
\]
При этом $\psi$ переводит класс когомологий $v\in H^2(M,\Z)$
в его проекцию на $H^{0,2}(M)=H^2(M,\calo_M)$. Ядро 
проекции $H^2(M,\R)\stackrel \Pi \arrow H^{0,2}(M)$
есть $H^{2,0}(M)\oplus H^{1,1}(M)$, причем
каждый вещественный класс когомологий $\eta$, лежащий в ядре $\Pi$,
удовлетворяет 
\begin{multline*}
  \eta\in \left(H^{2,0}(M)\oplus H^{1,1}(M)\right)\cap 
\left(\overline{H^{2,0}(M)\oplus H^{1,1}(M)}\right)=\\
  = \left(H^{2,0}(M)\oplus H^{1,1}(M)\right)\cap  
\left(H^{0,2}(M)\oplus H^{1,1}(M)\right)=H^{1,1}(M).
\end{multline*}

\определение
Обозначим за $H^{1,1}(M,\Z)$ {\bf \blue множество целочисленных
классов когомологий, которые лежат в $H^{1,1}(M)$.}

\утверждение
В силу предыдущего замечания,
{\bf \purple
если группа $H^2(M,\Z)$ без кручения, то $NS(M)=H^{1,1}(M,\Z)$.}



\невпаге

{\бф \блуе Формула Римана-Роха-Хирцебруха (повторение)}

\определение
Пусть $L$, $L'$ -- линейные расслоения на повекрхности $X$.
Число $\int_X c_1(L)\wedge c_1(L')$ обозначается $(L,L')$,
и называется {\бф \блуе индекс пересечения}.

\определение
{\бф \блуе Эйлерова характеристика} когерентного пучка $F$ есть
число $\chi(F):= \sum_i (-1)^i \dim H^i(F)$.


Напомним {\бф \блуе формулу Римана-Роха} для поверхности:

\теорема
Для любого линейного расслоения $L$ на поверхности,
$\chi(L)= \chi(\calo_X)+ \frac{(L-K_X,L)}2$.

Для К3-поверхности, 
$\chi(\calo_X)=h^{0,0}(X) - h^{0,1}(X)+ h^{0,2}(X)=2$,
а $c_1(K_X)=0$. Получаем:

\теорема
{\бф \ред Для любого линейного расслоения $L$ на К3,
$\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2$.}


\невпаге

{\бф \блуе Линейные расслоения на К3}

Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность.
Поскольку форма пересечения совместима
с разложением Ходжа, $(H^{2,0}(M)\oplus H^{0,2}(M))^\bot=H^{1,1}(M)$.
Пространство $H^{2,0}(M)\oplus H^{0,2}(M)$
есть комплексификация $\Per(I):=\langle \Re \Omega, \Im \Omega\rangle$,
где $\Omega$ обозначает класс голоморфной симплектической формы.


\утверждение
Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность,
а $W:=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$. {\bf \red Тогда $H^{1,1}_I(M,\R)=W^\bot$ }
(ортогональное дополнение).


\следствие
Для любой К3, {\бф \пурпле $\Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ --
множество целочисленных векторов, ортогональных 
$W=\Per(I)\in G_{+,+}(H^2(M,\R))$.}

\следствие
Для общей К3-поверхности, группа $\Pic(M,I)$ тривиальна.


\определение
{\бф \блуе Очень обильное расслоение} есть линейное
расслоение вида $\phi^*(\calo(1))$,
где $\phi:\; M \hookrightarrow \C P^n$ -- проективное вложение.
{\бф \блуе Обильное расслоение} есть линейное расслоение,
положительная степень которого обильна.


\теорема {\бф \блуе (Кодаира)}
{\бф \ред Расслоение $L$ обильно тогда и только тогда,
когда $c_1(L)$ -- кэлеров класс.}


\невпаге

{\бф \блуе К3-поверхности с одномерной группой Пикара}

\теорема
{\bf \blue (Накаи-Мойшезон)}
Пусть $L$ -- голоморфное расслоение на поверхности, такое,
что $(L,L)>0$, и для любой кривой $C$, $\deg L\restrict C >0$.
{\bf \red Тогда $L$ обильно.}


{\бф \греен Теорема 1:}
Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, причем
группа $Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ одномерна,
$NS(M,I)=\Z\cdot \eta$. Обозначим за $L$
образующую $Pic(M,I)$,
$c_1(L)=\eta$. Предположим, что $(L,L)>0$.
{\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ обильно.}

\дшаг 
{\бф \пурпле 
Риман-Рох: $h^0(L)-h^1(L)+h^2(L)=\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2$.}
Двойственность Серра дает $H^0(L^*)^*= H^2(L\otimes K_M)=H^2(L)$,
то есть $h^0(L^*)=h^2(L)$. Поэтому
$h^0(L)+h^0(L^*)\geq 2$, то есть либо
$L$, либо $L^*$ имеет голоморфные сечения.
Заменив $L$ на $L^*$, если потребуется, {\бф \пурпле можем
считать, что $h^0(L)>0$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Поскольку у $L$ есть сечения,
$c_1(L)$ представляется кривой $C$. Поскольку $\Pic(M)$
одномерен, все классы в $H_2(M, \Z)$, представимые
кривыми, пропорциональны $\eta$, с положительным коэффициентом. Значит, 
для любой кривой $D\sim nC$, имеем 
\[
 \deg L\restrict D=\int_M c_1(L)\wedge [D]= n \int_M c_1(L)\wedge [C]=
  n (L,L)>0.
\] 
Теперь {\бф \пурпле обильность $L$ следует из Накаи-Мойшезона.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Обильные расслоения на квартиках}

%\замечание
%Пусть $L$ -- образующая Пикара на К3, $(L,L)=4$.
%В скором времени мы докажем, что $L$ либо $L^*$ не только
%обильно, но и {\бф \ред очень обильно.}


\утверждение
Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $H^{1,1}_I(M,\Z)$ -- ее
решетка Нерона-Севери. {\бф \ред Поверхность $(M,I)$ изоморфна квартике
тогда и только тогда, когда $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ содержит
очень обильное расслоение $L$ с $(L,L)=4$.}

\дшаг 
Пусть $(M,I)$ вкладывается в $\C P^3$ как гладкая
гиперповерхность степени 4, а $L=\calo(1)\restrict M$.
Тогда $(L,L)=\int_M c_1(L)\wedge c_1(L)= \int_{\C P^3} [M]\wedge [H]\wedge[H]$
где $[H]$ есть фундаментальный класс гиперплоского сечения,
а $[M]=4[H]$ -- фундаментальный класс $M$. {\бф \пурпле Поэтому $(L,L)=
\int_{\C P^3}4 [H]\wedge [H]\wedge[H]=4$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
 Пусть $M$ есть К3, а $L$ -- очень обильное расслоение
с $(L,L)=4$.
Риман-Рох: $h^0(L)=h^0(L)-h^1(L)+h^2(L)=\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2=4$.
Рассмотрим соответствующее вложение $M \arrow {\Bbb P}H^0(M,L)^*$
(оно переводит $m\in M$ и функционал $\lambda\in (L\restrict m)^*$
в $\lambda:\; H^0(M,L)\arrow \C$).
{\бф \пурпле Степень этой гиперповерхности можно вычислить по формуле
$\deg M = \int_M c_1(\calo(1))\wedge c_1(\calo(1))= (L,L)=4$.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Базисные точки}

{\смалл \определение}
{\бф \блуе Базисная точка} линейного расслоения
есть такая точка, где все его сечения зануляются.
Расслоение {\бф \блуе не имеет базисных точек},
если оно глобально порождено.

{\смалл \теорема 
{\бф \блуе (Бертини)}}
Пусть $L$ -- линейное расслоение,
а $D$ -- дивизор нулей общего сечения $L$.
{\бф \ред Тогда $D$ неособ вне базисного множества $L$.}
\ендпрооф

\теорема
Пусть $M$ -- К3-поверхность, $\Pic(M)=\Z$, 
а $L$ -- образующая группы Пикара, такая, что $(L,L)=4$. {\бф \ред Тогда 
$L$ либо $-L$ обильно и глобально порождено.}

\дшаг
Обильность $L$ либо $L^*$ доказана выше.
Заменив $L$ на $L^*$,
если потребуется, {\бф \пурпле будем считать, что $L$ обильно.}
Теперь из теоремы Римана-Роха следует, что $\dim H^0(L)=4$.


{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $D$ -- нетривиальная кривая, которая целиком содержится
в базисном множестве $L$. Из точной
последовательности $0 \arrow L(-D) \arrow L \arrow  \\  L\restrict D \arrow 0$
получаем точность
$0 \arrow H^0(L(-D))\arrow H^0(L) \arrow 0$ (*)
(коль скоро {\бф \пурпле отображение ограничения на $D$ равно нулю}).
Значит, расслоение $L(-D)$ {\бф \блуе эффективно}
(имеет сечения), что может случиться только если
$\calo_M(D)=L$, так как $L$ есть образующая Пикара.
Но тогда $\dim H^0(L(-D))=1$, а в силу (*) оно равно 4.
{\бф \ред Мы доказали, что базисное множество $L$ не содержит кривых.}

\невпаге

{\бф \блуе Базисные точки (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} 
Пусть $C$ -- дивизор нулей общего сечения $L$.
{\бф \пурпле Докажем, что $C$ неособо.} Если $C$ особо, по теореме
Бертини оно особо в базисной точке $z$, в которой $C$ 
имеет кратность как минимум 2. Все другие сечения
$L$ тоже особы в $z$, с той же кратностью, то есть
пересекают $C$ с кратностью $2*2=4$. Поскольку 
сечения $L$ пересекаются с общей кратностью 4, 
{\бф \пурпле каждое сечение $l\in H^0(L)$ ненулевое на $C$ вне $z$.}

{\бф \греен Шаг 4:}
Напишем точную последовательность
$0 \arrow L(-C)=\calo_M \arrow L \arrow\\ L\restrict C \arrow 0$.
Получим длинную
точную последовательность
\[
0 \arrow H^0(\calo_M)\arrow H^0(L)\arrow H^0(L\restrict C)\arrow 
H^1(\calo_M)=0,
\]
значит, образ ограничения $H^0(L)\arrow H^0(L\restrict C)$
имеет размерность 3. Но сечение $H^0(L\restrict C)$
определяется с точностью до константы своими нулями, то есть в силу
предыдущего шага, образ ограничения 
$H^0(L)\arrow H^0(L\restrict C)$ должен быть одномерен.
{\бф \ред Мы доказали, что дивизор нулей общего сечения $L$
гладкий}.

\невпаге

{\бф \блуе Базисные точки (окончание)}

{\бф \греен Шаг 5:}
Пусть $C$ -- дивизор нулей гладкого сечения $L$.
По формуле присоединения, $NC^* \otimes K_C = K_M\restrict C =\calo_C$,
что дает  $L\restrict C = NC = K_C$. Из этого следует, в частности,
что $\deg K_C =4$, то есть {\бф \ред $C$ -- кривая рода 3.}

{\бф \греен Шаг 6:}
Напишем точную последовательность
\[ 0 \arrow L(-C)=\calo_M \longrightarrow L \longrightarrow L\restrict C=K_C
   \arrow 0.
\]
Получим длинную
точную последовательность
\[ 0 \arrow H^0(\calo_M)\arrow H^0(L) \arrow H^0(K_C)\arrow 
H^1(\calo_M)=0. 
\]
Для любой кривой рода 3, пучок $K_C$ либо
очень обилен (если кривая не гиперэллиптическая)
либо глобально порожден (если гиперэллиптическая).
В обоих случаях, {\бф \ред для каждой точки $z\in C$,
найдется сечение $L$, которое в ней ненулевое.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Пространство модулей квартик (набросок)}

{\бф \греен Следствие 2:}
Пусть $M$ -- К3-поверхность, $\Pic(M)=\Z$, 
а $L$ -- обильная образующая группы Пикара, такая, что
$(L,L)=4$. Рассмотрим соответствующее
отображение $\psi:\; M \arrow {\Bbb P}H^0(M,L)^*=\C P^3$.
{\бф \ред Тогда образ $\psi$ -- квартика}. 

\доказательство
 Поскольку у $L$
нет базисных точек, $\psi$ голоморфно. 
Поэтому $\deg \im \psi= \int_{\psi(M)}
 [H]\wedge [H]$, где $[H]$ есть класс гиперплоского
 сечения. Поскольку $\psi^*\calo(1)=L$,
\[\deg \im \psi=\int_{\psi(M)}
 [H]\wedge [H] = \int_M c_1(L)\wedge c_1(L)=(L,L)=4.\]
\ендпрооф



\замечание
Квартика в $\C P^3$ задается полиномом 4-й степени
от 4 переменных. $\dim \Sym^4 \C^4=\frac {(4+4-1)!}{4!3!}=35$
На полиномах действует группа $GL(4,\C)$ размерности 16,
соответственно, {\бф \ред квартика определяется $35-16=19$ параметрами}.

\замечание
Пространство периодов К3 20-мерно.
{\бф \ред ``Квартики задают дивизор в пространстве модулей''}.


\newpage

{\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$ (повторение) }

\определение Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие,
$I:\; TM \arrow TM$ -- {\бф \блуе оператор комплексной структуры},
$I^2=-\Id_{TM}$. {\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется
формулой $d^c:=I^{-1} d I$.

\утверждение
Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие.
Тогда  {\bf \blue  
$\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$
-- компоненты в разложении Ходжа $d$}: 
$\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. 

\теорема 
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие.
{\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны:}

1. $I$ интегрируемо.\ \ 2. $\6^2=0$.\ \ 
3. $\bar\6^2=0$.\ \ 
4. $dd^c =- d^c d$\ \ 
5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$.


\теорема {\бф \блуе ($dd^c$-лемма)}\\
Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом
многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\
1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. \\ 2.  $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая.
\\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\
{\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.}


\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Кодаиры о стабильности}

\теорема {\бф \блуе (Теорема Кодаиры о стабильности)}\\
Пусть $M$ -- компактное многообразие, $I_t, g_t$ -- 
семейство кэлеровых структур, параметризованное $t\in \R$,
а $[\omega_t']\in H^{1,1}(M,I_t)$ -- семейство классов
когомологий. Предположим, что $[\omega'_0]$ -- кэлеров класс.
{\бф \ред 
Тогда $[\omega'_t]$ кэлеров для всех $t\in ]-\epsilon,\epsilon[$.}

\дшаг
Пусть $\omega'_0\in \Lambda^{1,1}(M,I_t)$ -- кэлерова
форма, представляющая $[\omega'_0]$.
Обозначим за $h([\omega'_t])\in \Lambda^{1,1}(M,I_t)$ гармонический
представитель $[\omega_t']$. Поскольку разность 
$\omega'_0-h([\omega'_0])$ точная и типа (1,1),
{\бф \пурпле $dd^c$-лемма дает $\omega'_0= h([\omega'_0])+ dd^c\psi$.}

{\бф \греен Шаг 2:} 
Рассмотрим следующую (1,1)-форму на $(M,I_t)$:
$h([\omega'_t])+ dd^c\psi$. Ее собственные значения,
для небольших $t$, близки к собственным значениям
$\omega'_0= h(\omega'_0)+ dd^c\psi$, то есть положительны.
{\бф \ред Значит, это кэлерова форма.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Пространство модулей почти поляризованных К3}


\определение
Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ -- ненулевой класс когомологий
на К3, $(\eta, \eta)>0$. Обозначим за $\Perspace_\eta$
множество $W\in \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$, ортогональных $\eta$.
Это пространство называется {\бф \блуе пространство
периодов поляризованных К3}.

\следствие
Множество $\Perspace_\eta$ периодов всех К3, для которых $\eta$ имеет
тип (1,1), есть 
\[ \{l\in {\Bbb P}H^2(M,\C)\ \ |\ \ (l,l)=0,
(l,\bar l)>0,\ \  (l, \eta)=0\}.
\] 
{\бф \ред Это дивизор в $\Perspace$ }  {\бф \пурпле
(проверьте это)}. 

\определение
Обозначим за $\Teich_\eta$ пространство Тейхмюллера
всех комплексных структур на K3, для которых 
класс $\eta\in H^2(M,\Z)$ имеет тип (1,1).
Это пространство называется {\бф \блуе
пространством Тейхмюллера почти поляризованных К3}.
Пространство $\Teich_\eta^{pol}\subset \Teich_\eta$,
состоящее из всех К3, для которых $\pm\eta$ -- кэлеров
класс, называется {\бф \блуе пространством Тейхмюллера 
поляризованных К3}.

\замечание
Из локальной теоремы Торелли немедленно
следует, что {\бф \ред отображение периодов 
$\Per:\; \Teich_\eta\arrow\Perspace_\eta$
этально} (локально диффеоморфизм).

\невпаге

{\бф \блуе Пространство модулей поляризованных К3}


\утверждение {\бф \ред $\Teich_\eta^{pol}$ открыто и плотно
%и локально связно 
в $\Teich_\eta$.}

\дшаг В силу теоремы Кодаиры о стабильности,
{\бф \пурпле $\Teich_\eta^{pol}$ открыто в $\Teich_\eta$.}

{\бф \греен Шаг 2:} В силу Теоремы 1,
для каждого $I\in \Teich_\eta$, для которого 
\[ \Pic(M,I)=\Per(I)^\bot \cap H^2(M,\Z)
\] 
одномерен, $\pm\eta$ -- кэлеров
класс. 

{\бф \греен Шаг 3:} 
Из теоремы Торелли следует, что у каждой
$l=\Per(I)$ есть окрестность в $\Perspace^\eta$,
которая лежит в образе отображения периодов.
Легко видеть, что {\bf \purple для общей $l'$ в $\Perspace^\eta$,
группа $l'{}^\bot\cap H^2(M,\Z)$ порождена $\eta$.}
В силу шага 2, $\Per^{-1}(l')\in \Teich_\eta^{pol}$.
Значит, $\Teich_\eta^{pol}$ плотно
в $\Teich_\eta$.

%{\бф \греен Шаг 4:} Дополнение
%$\Teich_\eta\backslash \Teich_\eta^{pol}$
%содержится во множестве тех $I\in \Teich_\eta$, 
%у которых $\rk \Pic(I)>1$. В силу теоремы Торелли,
%это объединение счетного набора дивизоров. Дополнение
%к счетному набору дивизоров связно. 

\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера квартик}


\определение
Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ есть целочисленный 
класс на К3, $(\eta,\eta)=4$. Обозначим за
$\Teich^q_\eta$ пространство Тейхмюллера
всех $I\in \Teich_\eta$ таких, что
линейное расслоение $L$ на $(M,I)$
с $c_1(L)=\eta$ обильно и глобально порождено.
Пространство $\Teich^q_\eta$ называется {\бф \блуе
пространством Тейхмюллера квартик}.

\замечание
В силу Следствия 2, для каждой
$I\in \Teich^q_\eta$, расслоение
$L$ задает отображение $(M,I)$ в $\C P^3$,
образ которого -- квартика; и все гладкие квартики
получаются таким образом.

\замечание
Мы получили отображение
$\Teich^q_\eta\arrow \Sym^4 \C^4/GL(\C,4)$,
сюрьективное на множество гладких квартик.
Поскольку {\бф \пурпле размерность пространства
квартик  равна размерности $\Teich^q_\eta$,}
в общей точке это отображение -- иммерсия.


\утверждение
{\бф \ред $\Teich^q_\eta$ плотно в
$\Teich_\eta$.}

\доказательство
Точно такое же, как доказательство
плотности
$\Teich_\eta^{pol}$ в $\Teich_\eta$. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе О плотности квартик}


\теорема
{\бф \ред (будет доказана позже)}\\
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$.
{\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$
плотно в $\Perspace$.}

\следствие
{\бф \ред $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich^q_\eta$
плотно в $\Teich$.}

\доказательство В силу предыдущей теоремы, множество \\
\[
 \Per^{-1}\left(\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta\right)=
  \bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich_\eta
\]
плотно в $\Teich=\Per^{-1}(\Perspace)$. С другой стороны,
$\Teich^q_\eta$ плотно в $\Teich_\eta$. Значит,
$\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich^q_\eta$
плотно в $\Teich$. \ендпрооф

\следствие
Поскольку гладкие квартики плотны в пространстве\\
$\Sym^4 \C^4/GL(\C,4)$ всех квартик, {\бф \пурпле на каждой
компоненте $\Teich^q_\eta$ есть плотное множество
комплексных структур, соответствующих 
гладким квартикам. }

\невпаге

{\бф \блуе О плотности квартик (продолжение)}

Мы доказали такую теорему

\теорема
{\бф \purple На пространстве Тейхмюллера К3 есть плотное множество
точек, соответствующих гладким квартикам.}

Поскольку гладкие квартики образуют связное, гладкое семейство,
они все диффеоморфны.

\следствие
{\бф \ред Любая К3 диффеоморфна гладкой квартике.}

* * * 

Осталось доказать:

\теорема
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$.
{\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$
плотно в $\Perspace$.}

Другая формулировка

{\бф \греен Теорема 2:}
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$,
а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ --
множество всех 2-плоскостей, ортогональных 
какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$
плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.}

\невпаге

{\бф \блуе Плотные множества в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$}

Пусть $A \subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- подмножество.
Обозначим за $V(A)$ множество 2-плоскостей, ортогональных 
какому-то $v\in A$. 

\определение
{\бф \блуе Нуль-квадрика}, или же {\бф \блуе световой
конус} $\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$
есть множество всех $l\in {\Bbb P}H^2(M, \R)$,
$(l,l)=0$.

\замечание
{\bf \purple Если $B\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- множество
предельных точек $A\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$,
то $V(A)$ плотно в $V(B)$.}

\замечание
{\bf \purple $V(\Null(M))=\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} 
Действительно, для каждой 2-плоскости в $H^2(M,\R)$,
в ее ортогональном дополнении есть нуль-вектор.

Объединяя эти два замечания, получаем, что 
Теорема 2 следует из Теоремы 3.

{\бф \греен Теорема 2:}
Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- 
множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$,
а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ --
множество всех 2-плоскостей, ортогональных 
какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$
плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.}

{\бф \греен Теорема 3:}\\
{\bf \red Множество предельных точек 
${\Bbb P}{\goth R}\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$
содержит $\Null(M)$.}

\невпаге

{\бф \блуе Плотные множества в световом конусе}

{\бф \греен Теорема 3':}
{\bf \red Любая точка $x\in\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$
является пределом последовательности 
$\{\underline{x_i}\}\in {\Bbb P}H^2(M,\Z)$,} причем каждый
$\underline{x_i}$ представлен $x_i\in H^2(M,\Z)$,
$(x_i,x_i)=4$.

\дшаг
Рациональные точки плотны в $\Null(M)$.
Действительно, как минимум одна рациональная
точка в $\Null(M)$ имеется; обозначим ее за $r$.
Возьмем любую рациональную прямую $S\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$,
проходящую через $r$. {\бф \ред Поскольку одна из точек пересечения
$S\cap \Null(M)$ рациональна, другая тоже рациональна.}

{\бф \греен Шаг 2:} Вектор $v\in H^2(M,\Z)$ называется {\бф
\блуе примитивным}, если он порождает $(\R\cdot v)\cap H^2(M,\Z)$.
Поскольку решетка $H^2(M,\Z)$ унимодулярна, {\бф \пурпле для любого
примитивного вектора $v\in H^2(M,\Z)$ существует $v'\in H^2(M,\Z)$
такой, что $(v, v')=1$. }

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество
примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$
плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$.
{\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$
такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$,
а $(x_i, x_i)=4$.}

\невпаге

{\бф \блуе Плотные множества в световом конусе (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество
примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$
плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$.
{\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$
такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$,
а $(x_i, x_i)=4$.}

{\бф \греен Шаг 4:} Найдем $x\in H^2(M,\Z)$
такой, что $(v, x)=1$, и пусть $y\in H^2(M,\Z)$ -- любой
целочисленный вектор с ненулевым квадратом, ортогональный $v$ и $x$.
Если $u=\lambda v+x+\mu y$, то $(u,u)=2\lambda +x^2 +\mu^2y^2$.
Напишем $\lambda(\mu)=-1/2(x^2+\mu^2y^2-4)$. Тогда
$u(\mu):=\lambda(\mu) v +x +\mu y$ -- 
целочисленный вектор (форма пересечения четна), причем
$(u(\mu),u(\mu))=4$.  {\бф \пурпле Осталось доказать, что 
$\lim\limits_{\mu\arrow \infty} {\Bbb P}u(\mu)={\Bbb P}v.$}

{\бф \греен Шаг 5:} Выберем на $H^2(M, \R)$ положительно-определенную
метрику $g$, таким образом, что $g(x,x)=g(y,y)=x(v,v)=1$,
обозначим за $|\cdot|$ соответствующую норму, $|z| := g(z,z)^{1/2}$.
Тогда $|u(\mu)- \lambda(\mu)v|\leq 1+ |\mu|$, а 
$|\lambda(\mu)v| \geq |1/2\mu^2y^2|-x^2 -4$.
Получается, что со стремлением $\mu$ к бесконечности,
в треугольнике $0, u(\mu), \lambda(\mu)v$
сторона $(0,\lambda(\mu)v)$ растет квадратично по $\mu$, 
сторона $(u(\mu), \lambda(\mu)v)$
линейно, соответственно, {\бф \пурпле угол между противолежащими к
$(u(\mu), \lambda(\mu)v)$
сторонами стремится к нулю.} Мы доказали, что
${\Bbb P}v$ получено как предел целочисленных ${\Bbb P}u(\mu)$,
удовлетворяющих $(u(\mu), u(\mu))=4$.
\ендпрооф


\end{document}
