\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 8 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 8: Все К3 диффеоморфны} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 2 апреля 2012 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе K3-поверхности (повторение)} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухсдаль-Ламари). \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \утверждение {\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.} \невпаге \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}} \newcommand{\St}{\operatorname{\sf St}} \newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}} \newcommand{\Null}{\operatorname{Null}} \newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}} {\бф \блуе Пространство периодов для К3-поверхности (повторение)} \определение Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти комплексных структур на многообразии, с топологией, индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$ есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов). \определение Пусть $M$ есть К3-поверхность. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$ сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую $H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$. \определение {\бф\блуе Пространство периодов} К3-поверхности есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$ состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что $l\wedge l=0$ и $l\wedge \bar l>0$. {\бф \блуе Отображение периодов} есть отображение $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$. Основной результат прошлой лекции: \теорема {\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов и $++$-грассманиан (повторение)} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство, снабженное скалярным произведением $q$. Обозначим за $\Perspace(V)$ множество прямых $l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих $q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть $\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных 2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких, что $q\restrict W$ положительно определено. \утверждение Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$, рассмотрим оператор поворота на $\frac \pi 2$ против часовой стрелки: $I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за $P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую, порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$. Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию $P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.} \следствие {\бф \ред Пространство периодов для К3-поверхности изоморфно $SO(19,3)/SO(2)\times SO(19,1)$.} \невпаге {\бф \блуе Гладкие квартики (повторение)} \определение {\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым однородным полиномом степени 4. \замечание По формуле Эйлера, каноническое расслоение на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения, примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$, дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$, а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$, {\бф \пурпле имеем $K_Z=\calo(m-n-1)$.} \следствие Для гладкой квартики в $\C P^3$, $n=3$, $m=4$, значит $K_Z=\calo_Z$. Поэтому {\бф \пурпле гладкая квартика есть поверхность с тривиальным каноническим классом.} \замечание В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду подразумевать квартики размерности 2.} \невпаге {\бф \блуе Гладкие квартики и теорема Лефшеца о гиперплоском сечении} \определение {\бф \блуе $k$-е вложение Веронезе} есть проективное вложение $\C P^k \arrow {\Bbb P}(H^0(\calo(k))$, заданное линейной системой $\calo(k)$. Иначе говоря, {\бф \пурпле вложение Веронезе переводит $(t_0:t_1:...:t_n)$ в $(P_0(t_0,..., t_n):P_1(t_0,..., t_n):...:...)$, где $P_i$ обозначает какой-то базис в однородных многочленах степени $k$.} \следствие {\бф \пурпле Гладкая квартика есть пересечение образа $4$-го отображения Веронезе и общей гиперплоскости. } \теорема {\бф \блуе (Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\ Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение, трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i0$, и для любой кривой $C$, $\deg L\restrict C >0$. {\bf \red Тогда $L$ обильно.} {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $(M,I)$ есть К3-поверхность, причем группа $Pic(M,I)=NS(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ одномерна, $NS(M,I)=\Z\cdot \eta$. Обозначим за $L$ образующую $Pic(M,I)$, $c_1(L)=\eta$. Предположим, что $(L,L)>0$. {\бф \ред Тогда $L$ либо $L^*$ обильно.} \дшаг {\бф \пурпле Риман-Рох: $h^0(L)-h^1(L)+h^2(L)=\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2$.} Двойственность Серра дает $H^0(L^*)^*= H^2(L\otimes K_M)=H^2(L)$, то есть $h^0(L^*)=h^2(L)$. Поэтому $h^0(L)+h^0(L^*)\geq 2$, то есть либо $L$, либо $L^*$ имеет голоморфные сечения. Заменив $L$ на $L^*$, если потребуется, {\бф \пурпле можем считать, что $h^0(L)>0$.} {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку у $L$ есть сечения, $c_1(L)$ представляется кривой $C$. Поскольку $\Pic(M)$ одномерен, все классы в $H_2(M, \Z)$, представимые кривыми, пропорциональны $\eta$, с положительным коэффициентом. Значит, для любой кривой $D\sim nC$, имеем \[ \deg L\restrict D=\int_M c_1(L)\wedge [D]= n \int_M c_1(L)\wedge [C]= n (L,L)>0. \] Теперь {\бф \пурпле обильность $L$ следует из Накаи-Мойшезона.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Обильные расслоения на квартиках} %\замечание %Пусть $L$ -- образующая Пикара на К3, $(L,L)=4$. %В скором времени мы докажем, что $L$ либо $L^*$ не только %обильно, но и {\бф \ред очень обильно.} \утверждение Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $H^{1,1}_I(M,\Z)$ -- ее решетка Нерона-Севери. {\бф \ред Поверхность $(M,I)$ изоморфна квартике тогда и только тогда, когда $\Pic(M,I)=H^{1,1}_I(M,\Z)$ содержит очень обильное расслоение $L$ с $(L,L)=4$.} \дшаг Пусть $(M,I)$ вкладывается в $\C P^3$ как гладкая гиперповерхность степени 4, а $L=\calo(1)\restrict M$. Тогда $(L,L)=\int_M c_1(L)\wedge c_1(L)= \int_{\C P^3} [M]\wedge [H]\wedge[H]$ где $[H]$ есть фундаментальный класс гиперплоского сечения, а $[M]=4[H]$ -- фундаментальный класс $M$. {\бф \пурпле Поэтому $(L,L)= \int_{\C P^3}4 [H]\wedge [H]\wedge[H]=4$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $M$ есть К3, а $L$ -- очень обильное расслоение с $(L,L)=4$. Риман-Рох: $h^0(L)=h^0(L)-h^1(L)+h^2(L)=\chi(L)= 2+ \frac{(L,L)}2=4$. Рассмотрим соответствующее вложение $M \arrow {\Bbb P}H^0(M,L)^*$ (оно переводит $m\in M$ и функционал $\lambda\in (L\restrict m)^*$ в $\lambda:\; H^0(M,L)\arrow \C$). {\бф \пурпле Степень этой гиперповерхности можно вычислить по формуле $\deg M = \int_M c_1(\calo(1))\wedge c_1(\calo(1))= (L,L)=4$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Базисные точки} {\смалл \определение} {\бф \блуе Базисная точка} линейного расслоения есть такая точка, где все его сечения зануляются. Расслоение {\бф \блуе не имеет базисных точек}, если оно глобально порождено. {\смалл \теорема {\бф \блуе (Бертини)}} Пусть $L$ -- линейное расслоение, а $D$ -- дивизор нулей общего сечения $L$. {\бф \ред Тогда $D$ неособ вне базисного множества $L$.} \ендпрооф \теорема Пусть $M$ -- К3-поверхность, $\Pic(M)=\Z$, а $L$ -- образующая группы Пикара, такая, что $(L,L)=4$. {\бф \ред Тогда $L$ либо $-L$ обильно и глобально порождено.} \дшаг Обильность $L$ либо $L^*$ доказана выше. Заменив $L$ на $L^*$, если потребуется, {\бф \пурпле будем считать, что $L$ обильно.} Теперь из теоремы Римана-Роха следует, что $\dim H^0(L)=4$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $D$ -- нетривиальная кривая, которая целиком содержится в базисном множестве $L$. Из точной последовательности $0 \arrow L(-D) \arrow L \arrow \\ L\restrict D \arrow 0$ получаем точность $0 \arrow H^0(L(-D))\arrow H^0(L) \arrow 0$ (*) (коль скоро {\бф \пурпле отображение ограничения на $D$ равно нулю}). Значит, расслоение $L(-D)$ {\бф \блуе эффективно} (имеет сечения), что может случиться только если $\calo_M(D)=L$, так как $L$ есть образующая Пикара. Но тогда $\dim H^0(L(-D))=1$, а в силу (*) оно равно 4. {\бф \ред Мы доказали, что базисное множество $L$ не содержит кривых.} \невпаге {\бф \блуе Базисные точки (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $C$ -- дивизор нулей общего сечения $L$. {\бф \пурпле Докажем, что $C$ неособо.} Если $C$ особо, по теореме Бертини оно особо в базисной точке $z$, в которой $C$ имеет кратность как минимум 2. Все другие сечения $L$ тоже особы в $z$, с той же кратностью, то есть пересекают $C$ с кратностью $2*2=4$. Поскольку сечения $L$ пересекаются с общей кратностью 4, {\бф \пурпле каждое сечение $l\in H^0(L)$ ненулевое на $C$ вне $z$.} {\бф \греен Шаг 4:} Напишем точную последовательность $0 \arrow L(-C)=\calo_M \arrow L \arrow\\ L\restrict C \arrow 0$. Получим длинную точную последовательность \[ 0 \arrow H^0(\calo_M)\arrow H^0(L)\arrow H^0(L\restrict C)\arrow H^1(\calo_M)=0, \] значит, образ ограничения $H^0(L)\arrow H^0(L\restrict C)$ имеет размерность 3. Но сечение $H^0(L\restrict C)$ определяется с точностью до константы своими нулями, то есть в силу предыдущего шага, образ ограничения $H^0(L)\arrow H^0(L\restrict C)$ должен быть одномерен. {\бф \ред Мы доказали, что дивизор нулей общего сечения $L$ гладкий}. \невпаге {\бф \блуе Базисные точки (окончание)} {\бф \греен Шаг 5:} Пусть $C$ -- дивизор нулей гладкого сечения $L$. По формуле присоединения, $NC^* \otimes K_C = K_M\restrict C =\calo_C$, что дает $L\restrict C = NC = K_C$. Из этого следует, в частности, что $\deg K_C =4$, то есть {\бф \ред $C$ -- кривая рода 3.} {\бф \греен Шаг 6:} Напишем точную последовательность \[ 0 \arrow L(-C)=\calo_M \longrightarrow L \longrightarrow L\restrict C=K_C \arrow 0. \] Получим длинную точную последовательность \[ 0 \arrow H^0(\calo_M)\arrow H^0(L) \arrow H^0(K_C)\arrow H^1(\calo_M)=0. \] Для любой кривой рода 3, пучок $K_C$ либо очень обилен (если кривая не гиперэллиптическая) либо глобально порожден (если гиперэллиптическая). В обоих случаях, {\бф \ред для каждой точки $z\in C$, найдется сечение $L$, которое в ней ненулевое.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Пространство модулей квартик (набросок)} {\бф \греен Следствие 2:} Пусть $M$ -- К3-поверхность, $\Pic(M)=\Z$, а $L$ -- обильная образующая группы Пикара, такая, что $(L,L)=4$. Рассмотрим соответствующее отображение $\psi:\; M \arrow {\Bbb P}H^0(M,L)^*=\C P^3$. {\бф \ред Тогда образ $\psi$ -- квартика}. \доказательство Поскольку у $L$ нет базисных точек, $\psi$ голоморфно. Поэтому $\deg \im \psi= \int_{\psi(M)} [H]\wedge [H]$, где $[H]$ есть класс гиперплоского сечения. Поскольку $\psi^*\calo(1)=L$, \[\deg \im \psi=\int_{\psi(M)} [H]\wedge [H] = \int_M c_1(L)\wedge c_1(L)=(L,L)=4.\] \ендпрооф \замечание Квартика в $\C P^3$ задается полиномом 4-й степени от 4 переменных. $\dim \Sym^4 \C^4=\frac {(4+4-1)!}{4!3!}=35$ На полиномах действует группа $GL(4,\C)$ размерности 16, соответственно, {\бф \ред квартика определяется $35-16=19$ параметрами}. \замечание Пространство периодов К3 20-мерно. {\бф \ред ``Квартики задают дивизор в пространстве модулей''}. \newpage {\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$ (повторение) } \определение Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие, $I:\; TM \arrow TM$ -- {\бф \блуе оператор комплексной структуры}, $I^2=-\Id_{TM}$. {\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется формулой $d^c:=I^{-1} d I$. \утверждение Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие. Тогда {\bf \blue $\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$ -- компоненты в разложении Ходжа $d$}: $\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. \теорема Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие. {\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны:} 1. $I$ интегрируемо.\ \ 2. $\6^2=0$.\ \ 3. $\bar\6^2=0$.\ \ 4. $dd^c =- d^c d$\ \ 5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$. \теорема {\бф \блуе ($dd^c$-лемма)}\\ Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\ 1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. \\ 2. $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая. \\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\ {\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Кодаиры о стабильности} \теорема {\бф \блуе (Теорема Кодаиры о стабильности)}\\ Пусть $M$ -- компактное многообразие, $I_t, g_t$ -- семейство кэлеровых структур, параметризованное $t\in \R$, а $[\omega_t']\in H^{1,1}(M,I_t)$ -- семейство классов когомологий. Предположим, что $[\omega'_0]$ -- кэлеров класс. {\бф \ред Тогда $[\omega'_t]$ кэлеров для всех $t\in ]-\epsilon,\epsilon[$.} \дшаг Пусть $\omega'_0\in \Lambda^{1,1}(M,I_t)$ -- кэлерова форма, представляющая $[\omega'_0]$. Обозначим за $h([\omega'_t])\in \Lambda^{1,1}(M,I_t)$ гармонический представитель $[\omega_t']$. Поскольку разность $\omega'_0-h([\omega'_0])$ точная и типа (1,1), {\бф \пурпле $dd^c$-лемма дает $\omega'_0= h([\omega'_0])+ dd^c\psi$.} {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим следующую (1,1)-форму на $(M,I_t)$: $h([\omega'_t])+ dd^c\psi$. Ее собственные значения, для небольших $t$, близки к собственным значениям $\omega'_0= h(\omega'_0)+ dd^c\psi$, то есть положительны. {\бф \ред Значит, это кэлерова форма.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Пространство модулей почти поляризованных К3} \определение Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ -- ненулевой класс когомологий на К3, $(\eta, \eta)>0$. Обозначим за $\Perspace_\eta$ множество $W\in \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$, ортогональных $\eta$. Это пространство называется {\бф \блуе пространство периодов поляризованных К3}. \следствие Множество $\Perspace_\eta$ периодов всех К3, для которых $\eta$ имеет тип (1,1), есть \[ \{l\in {\Bbb P}H^2(M,\C)\ \ |\ \ (l,l)=0, (l,\bar l)>0,\ \ (l, \eta)=0\}. \] {\бф \ред Это дивизор в $\Perspace$ } {\бф \пурпле (проверьте это)}. \определение Обозначим за $\Teich_\eta$ пространство Тейхмюллера всех комплексных структур на K3, для которых класс $\eta\in H^2(M,\Z)$ имеет тип (1,1). Это пространство называется {\бф \блуе пространством Тейхмюллера почти поляризованных К3}. Пространство $\Teich_\eta^{pol}\subset \Teich_\eta$, состоящее из всех К3, для которых $\pm\eta$ -- кэлеров класс, называется {\бф \блуе пространством Тейхмюллера поляризованных К3}. \замечание Из локальной теоремы Торелли немедленно следует, что {\бф \ред отображение периодов $\Per:\; \Teich_\eta\arrow\Perspace_\eta$ этально} (локально диффеоморфизм). \невпаге {\бф \блуе Пространство модулей поляризованных К3} \утверждение {\бф \ред $\Teich_\eta^{pol}$ открыто и плотно %и локально связно в $\Teich_\eta$.} \дшаг В силу теоремы Кодаиры о стабильности, {\бф \пурпле $\Teich_\eta^{pol}$ открыто в $\Teich_\eta$.} {\бф \греен Шаг 2:} В силу Теоремы 1, для каждого $I\in \Teich_\eta$, для которого \[ \Pic(M,I)=\Per(I)^\bot \cap H^2(M,\Z) \] одномерен, $\pm\eta$ -- кэлеров класс. {\бф \греен Шаг 3:} Из теоремы Торелли следует, что у каждой $l=\Per(I)$ есть окрестность в $\Perspace^\eta$, которая лежит в образе отображения периодов. Легко видеть, что {\bf \purple для общей $l'$ в $\Perspace^\eta$, группа $l'{}^\bot\cap H^2(M,\Z)$ порождена $\eta$.} В силу шага 2, $\Per^{-1}(l')\in \Teich_\eta^{pol}$. Значит, $\Teich_\eta^{pol}$ плотно в $\Teich_\eta$. %{\бф \греен Шаг 4:} Дополнение %$\Teich_\eta\backslash \Teich_\eta^{pol}$ %содержится во множестве тех $I\in \Teich_\eta$, %у которых $\rk \Pic(I)>1$. В силу теоремы Торелли, %это объединение счетного набора дивизоров. Дополнение %к счетному набору дивизоров связно. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера квартик} \определение Пусть $\eta\in H^2(M,\Z)$ есть целочисленный класс на К3, $(\eta,\eta)=4$. Обозначим за $\Teich^q_\eta$ пространство Тейхмюллера всех $I\in \Teich_\eta$ таких, что линейное расслоение $L$ на $(M,I)$ с $c_1(L)=\eta$ обильно и глобально порождено. Пространство $\Teich^q_\eta$ называется {\бф \блуе пространством Тейхмюллера квартик}. \замечание В силу Следствия 2, для каждой $I\in \Teich^q_\eta$, расслоение $L$ задает отображение $(M,I)$ в $\C P^3$, образ которого -- квартика; и все гладкие квартики получаются таким образом. \замечание Мы получили отображение $\Teich^q_\eta\arrow \Sym^4 \C^4/GL(\C,4)$, сюрьективное на множество гладких квартик. Поскольку {\бф \пурпле размерность пространства квартик равна размерности $\Teich^q_\eta$,} в общей точке это отображение -- иммерсия. \утверждение {\бф \ред $\Teich^q_\eta$ плотно в $\Teich_\eta$.} \доказательство Точно такое же, как доказательство плотности $\Teich_\eta^{pol}$ в $\Teich_\eta$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе О плотности квартик} \теорема {\бф \ред (будет доказана позже)}\\ Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$. {\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$ плотно в $\Perspace$.} \следствие {\бф \ред $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich^q_\eta$ плотно в $\Teich$.} \доказательство В силу предыдущей теоремы, множество \\ \[ \Per^{-1}\left(\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta\right)= \bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich_\eta \] плотно в $\Teich=\Per^{-1}(\Perspace)$. С другой стороны, $\Teich^q_\eta$ плотно в $\Teich_\eta$. Значит, $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Teich^q_\eta$ плотно в $\Teich$. \ендпрооф \следствие Поскольку гладкие квартики плотны в пространстве\\ $\Sym^4 \C^4/GL(\C,4)$ всех квартик, {\бф \пурпле на каждой компоненте $\Teich^q_\eta$ есть плотное множество комплексных структур, соответствующих гладким квартикам. } \невпаге {\бф \блуе О плотности квартик (продолжение)} Мы доказали такую теорему \теорема {\бф \purple На пространстве Тейхмюллера К3 есть плотное множество точек, соответствующих гладким квартикам.} Поскольку гладкие квартики образуют связное, гладкое семейство, они все диффеоморфны. \следствие {\бф \ред Любая К3 диффеоморфна гладкой квартике.} * * * Осталось доказать: \теорема Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$. {\бф \ред Тогда $\bigcup_{\eta\in {\goth R}}\Perspace_\eta$ плотно в $\Perspace$.} Другая формулировка {\бф \греен Теорема 2:} Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$, а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ -- множество всех 2-плоскостей, ортогональных какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$ плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} \невпаге {\бф \блуе Плотные множества в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$} Пусть $A \subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- подмножество. Обозначим за $V(A)$ множество 2-плоскостей, ортогональных какому-то $v\in A$. \определение {\бф \блуе Нуль-квадрика}, или же {\бф \блуе световой конус} $\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ есть множество всех $l\in {\Bbb P}H^2(M, \R)$, $(l,l)=0$. \замечание {\bf \purple Если $B\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$ -- множество предельных точек $A\subset {\Bbb P}H^2(M, \R)$, то $V(A)$ плотно в $V(B)$.} \замечание {\bf \purple $V(\Null(M))=\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} Действительно, для каждой 2-плоскости в $H^2(M,\R)$, в ее ортогональном дополнении есть нуль-вектор. Объединяя эти два замечания, получаем, что Теорема 2 следует из Теоремы 3. {\бф \греен Теорема 2:} Пусть ${\goth R}\subset H^2(M,\Z)$ -- множество всех векторов $v$ таких, что $(v,v)=4$, а $W_{{\goth R}}\subset \Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$ -- множество всех 2-плоскостей, ортогональных какому-то $v\in {\goth R}$. {\bf \red Тогда $W_{{\goth R}}$ плотно в $\Gr_{+,+}(H^2(M,\R))$.} {\бф \греен Теорема 3:}\\ {\bf \red Множество предельных точек ${\Bbb P}{\goth R}\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$ содержит $\Null(M)$.} \невпаге {\бф \блуе Плотные множества в световом конусе} {\бф \греен Теорема 3':} {\bf \red Любая точка $x\in\Null(M)\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$ является пределом последовательности $\{\underline{x_i}\}\in {\Bbb P}H^2(M,\Z)$,} причем каждый $\underline{x_i}$ представлен $x_i\in H^2(M,\Z)$, $(x_i,x_i)=4$. \дшаг Рациональные точки плотны в $\Null(M)$. Действительно, как минимум одна рациональная точка в $\Null(M)$ имеется; обозначим ее за $r$. Возьмем любую рациональную прямую $S\subset {\Bbb P}H^2(M,\R)$, проходящую через $r$. {\бф \ред Поскольку одна из точек пересечения $S\cap \Null(M)$ рациональна, другая тоже рациональна.} {\бф \греен Шаг 2:} Вектор $v\in H^2(M,\Z)$ называется {\бф \блуе примитивным}, если он порождает $(\R\cdot v)\cap H^2(M,\Z)$. Поскольку решетка $H^2(M,\Z)$ унимодулярна, {\бф \пурпле для любого примитивного вектора $v\in H^2(M,\Z)$ существует $v'\in H^2(M,\Z)$ такой, что $(v, v')=1$. } {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$ плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$. {\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$ такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$, а $(x_i, x_i)=4$.} \невпаге {\бф \блуе Плотные множества в световом конусе (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за ${\goth S}$ множество примитивных целых нуль-векторов. В силу шага 1, ${\Bbb P}{\goth S}$ плотно в $\Null(M)$. Пусть $v\in {\goth S}$. {\бф \пурпле Осталось найти последовательность $x_i\in H^2(M,\Z)$ такую, что проективизации $\{{\Bbb P}x_i\}$ сходятся к ${\Bbb P}v$, а $(x_i, x_i)=4$.} {\бф \греен Шаг 4:} Найдем $x\in H^2(M,\Z)$ такой, что $(v, x)=1$, и пусть $y\in H^2(M,\Z)$ -- любой целочисленный вектор с ненулевым квадратом, ортогональный $v$ и $x$. Если $u=\lambda v+x+\mu y$, то $(u,u)=2\lambda +x^2 +\mu^2y^2$. Напишем $\lambda(\mu)=-1/2(x^2+\mu^2y^2-4)$. Тогда $u(\mu):=\lambda(\mu) v +x +\mu y$ -- целочисленный вектор (форма пересечения четна), причем $(u(\mu),u(\mu))=4$. {\бф \пурпле Осталось доказать, что $\lim\limits_{\mu\arrow \infty} {\Bbb P}u(\mu)={\Bbb P}v.$} {\бф \греен Шаг 5:} Выберем на $H^2(M, \R)$ положительно-определенную метрику $g$, таким образом, что $g(x,x)=g(y,y)=x(v,v)=1$, обозначим за $|\cdot|$ соответствующую норму, $|z| := g(z,z)^{1/2}$. Тогда $|u(\mu)- \lambda(\mu)v|\leq 1+ |\mu|$, а $|\lambda(\mu)v| \geq |1/2\mu^2y^2|-x^2 -4$. Получается, что со стремлением $\mu$ к бесконечности, в треугольнике $0, u(\mu), \lambda(\mu)v$ сторона $(0,\lambda(\mu)v)$ растет квадратично по $\mu$, сторона $(u(\mu), \lambda(\mu)v)$ линейно, соответственно, {\бф \пурпле угол между противолежащими к $(u(\mu), \lambda(\mu)v)$ сторонами стремится к нулю.} Мы доказали, что ${\Bbb P}v$ получено как предел целочисленных ${\Bbb P}u(\mu)$, удовлетворяющих $(u(\mu), u(\mu))=4$. \ендпрооф \end{document}