
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Map}{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 7 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 7: Гладкие квартики и теорема Лефшеца о гиперплоском сечении}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 26 марта 2012
}
\end{center}


\невпаге


{\бф \блуе Теорема Мозера и отображение периодов (повторение)}

\определение
Пусть $\Diff_0(M)$ -- связная компонента группы
диффеоморфизмов, а $\Symp$ -- многообразие
Фреше всех симплектических форм на $M$.
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера $\Teich_s$ симплектических
форм на $M$} есть фактор $\Teich_s:=\Symp/\Diff_0(M)$,
с индуцированной топологией.

\определение
{\бф \блуе Отображение периодов} 
$\Teich_s\stackrel \Per \longrightarrow H^2(M,\R)$ переводит
симплектическую форму $\omega$ в ее класс когомологий
$[\omega]$.

\теорема
(Мозер)
Пусть $М$ -- компактное симплектическое многообразие,
а $\Teich_s$ -- симплектическое пространство Тейхмюллера.
В какой-то окрестности $U\subset \Teich_s$ каждой точки $x\in\Teich_s$,
{\бф \ред отображение периодов $\Teich_s\arrow H^2(M,\R)$ --
гомеоморфизм $U$ на его образ.}

Пусть $\Symp_\omega$ -- множество всех симплектических
структур на $M$, класс когомологий которых равен $[\omega]$.
Для доказательства теоремы Мозера {\бф \пурпле достаточно проверить, что
$\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega$
в какой-то окрестности $\omega$.}

\теорема
(теорема Мозера, вариант 2)\\
Пусть $\Symp_\omega^0$ -- связная компонента
$\Symp_\omega$. {\бф \ред Тогда $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на 
$\Symp_\omega^0$}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Мозера и локальная связность (повторение)}


Поскольку $\Symp_\omega$ -- открытая часть линейного
пространства, $\Symp_\omega$ локально
линейно связно.


Поэтому {\бф \пурпле теорема Мозера следует из следующей теоремы.}

\теорема
{\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\
Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических
форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$.
Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны.
{\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм
$\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.}

{\бф \греен Доказательство:}
Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения
$\frac{d\Psi_t}{dt}=X_t$, где $X_t\in TM$ -- векторное
поле, зависящее от параметра $t$.

{\бф \греен Шаг 1:} Поскольку $\omega_t$ все
когомологичны, форма $\frac {d\omega_t}{dt}$ точна.
Значит, $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t\in
\Lambda^1(M)$. Пусть $X_t$ -- векторное поле,
такое, что $\omega_t\cntrct X_t=\eta_t$. {\бф \пурпле По формуле Картана,
$\Lie_{X_t}\omega_t= d(\omega_t\cntrct X_t)= d\eta_t =\frac {d\omega_t}{dt}$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Интегрируя по $t$ обе части
$\Lie_{X_t}\omega_t=\frac {d\omega_t}{dt}$, получаем
\[
 \Psi_{t_1}^*\omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\omega_tdt
  = \int_{0}^{t_1}\frac {d\omega_t}{dt} dt =\omega_{t_1}.
\]
\endproof

\newpage

{\бф \блуе  K3-поверхности (повторение)}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухсдаль-Ламари).

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

\замечание
Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$,
значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова
характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$.

Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности:
\[\begin{array}{ccccc}
&&1&&\\
&0&&0&\\
1&&20&&1\\
&0&&0&\\
&&1&&\\
\end{array}
\]
\утверждение
{\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.}

\newpage

{\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие}
есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами
$I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют 
кватернионным соотношениям:  $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$.
{\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие}
есть гиперкомплексное многообразие, снабженное
римановой метрикой $g$, которая кэлерова
по отношению к $I,J,K$.


\теорема
Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $[\omega]\in H^2(M,\R)$ ee 
кэлеров класс,  $\Omega$ -- голоморфная симплектическая
форма. Предположим, что $\Re\Omega^2=[\omega]^2$. Тогда
{\бф \ред на $(M,I)$ существует и единственна гиперкэлерова
структура, такая, что $[\omega_I]=[\omega]$,
$\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$.}

\определение
Для гиперкэлеровой структуры на поверхности,
$\int_M \omega_I\wedge \omega_J=\int \omega_I\wedge \omega_K=
\int \omega_J\wedge \omega_K=0$, $\int_M \omega_I^2=
\int_M \omega_J^2=\int_M \omega_K^2$ {\бф \ред (проверьте это).}
Назовем базис, удовлетворяющий этим условиям, {\бф \блуе
конформно ортонормальным}.


\невпаге

{\бф \блуе  Отображение периодов для гиперкэлеровых структур \\
(повторение)}


\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}
\newcommand{\St}{\operatorname{\sf St}}
\newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}}
\newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}}


\определение
{\бф \блуе Группа изотопий} $\Diff_0(M)$ многообразия $M$ есть связная
компонента группы диффеоморфизмов $M$.

\определение
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich_{hk}(M)$ гиперкэлеровых
структур есть фактор пространства всех гиперкэлеровых
структур на $M$ по $\Diff_0(M)$.


\определение
Обозначим за $\St^c_3(H^2(M,\R))$ пространство конформно
ортонормированных троек классов $\omega_1, \omega_2, \omega_3\in H^2(M,\R)$.
{\бф \блуе Отображение периодов} 
$\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$
переводит гиперкэлерову структуру $I,J,K, g$ в тройку 
$\omega_I, \omega_J,\omega_K\in \St^c_3(H^2(M,\R))$

\определение
{\бф \блуе Открытое отображение} есть отображение,
переводящее открытые множества в открытые.

\теорема
Пусть $M$ - К3-поверхность. Тогда {\бф \ред отображение
$\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\longrightarrow \St^c_3(H^2(M,\R))$
 открыто в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}.

\невпаге

{\бф \блуе  Комплексные структуры и симплектические 2-формы \\ (повторение)}

\определение
Пусть $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- комплексная 2-форма. Такая форма
называется {\бф \блуе невырожденной}, если $\Re \Omega$ либо
$\Im \Omega$ -- невырожденные 2-формы.

\теорема
Пусть $M$ -- вещественное 4-мерное многообразие, а 
 $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- замкнутая, невырожденная комплексная 2-форма.
Предположим, что $\Omega^2=0$. Тогда {\бф \ред на $M$ существует комплексная
структура $I$ такая, что $\Omega$ -- голоморфная симплектическая
форма на $(M,I)$.}

\утверждение
Пусть $M$ -- К3-поверхность,
а $V$ -- множество всех невырожденных комплексных 2-форм
$\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$.
Рассмотрим проективизацию ${\Bbb  P}V:=V/\C^*$.
Тогда {\бф \пурпле множество ${\Bbb  P}V$ находится в биективном соответствии
с множеством $\Comp(M)$ комплексных структур на $M$.}


\невпаге

{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера и отображение периодов\\ (повторение)}


\определение 
Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти
комплексных структур на многообразии, с топологией,
индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров.
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур
есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$
есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов).

\определение
Пусть $M$ есть К3-поверхность.
{\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel 
\Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$
сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую
$H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$.

\невпаге

{\бф \блуе  Пространство периодов для К3-поверхности (повторение)}

\замечание
Пусть $l\in \Per(\Teich(M))$ - класс когомологий в образе
отображения периодов. Тогда $l\wedge l=0$ (потому что это
(2,0)-форма) и $l\wedge \bar l>0$, потому что $l=\xi\wedge\zeta$
для каких-то $\xi,\zeta\in \Lambda^{1,0}(M,I)$ и 
и $l\wedge\bar l=\xi\wedge\zeta\wedge \bar\xi\wedge\bar\zeta$. 
локально в окрестности каждой точки $M$.

\определение
{\бф\блуе  Пространство периодов} К3-поверхности
есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$
состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что
$l\wedge l=0$ и $l\wedge \bar l>0$. {\бф \блуе
Отображение периодов} есть отображение
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$.

Основной результат прошлой лекции:

\теорема
{\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)}
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ 
{\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности
каждой точки $I\in\Teich(M)$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Пространство периодов и $++$-грассманиан (повторение)}


Пусть $V$ -- вещественное векторное
пространство, снабженное 
скалярным произведением $q$. Обозначим
за $\Perspace(V)$ множество прямых 
$l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих
$q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть
$\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных
2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких,
что $q\restrict W$ положительно определено.

\утверждение
Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$,
рассмотрим оператор поворота на
$\frac \pi 2$ против часовой стрелки:
$I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за
$P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую,
порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$.
Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию 
$P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.}

\следствие
{\бф \ред Пространство периодов для К3-поверхности
изоморфно $SO(19,3)/SO(2)\times SO(19,1)$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Пространство периодов и гиперкэлеровы структуры (повторение)}

\замечание
Пусть $M$ -- К3, а $\Teich_h^{\Vol}(M)$ -- пространстве Тейхмюллера
всех гиперкэлеровых структур $(M,I,J,K,g)$ таких, что $\Vol_g(M)=1$.
Рассмотрим пространство $\St_3(H^2(M,\R))$ всех 
ортонормированных троек векторов в $H^2(M,\R)$. {\бф \пурпле Раньше было доказано,
что $\Teich_h^{\Vol}(M)\stackrel \Per \longrightarrow \St_3(H^2(M,\R))$ --
открытое отображение.}


Рассмотрим следующую диаграмму пространств 
Тейхмюллера и пространств периодов:
{\small \[\begin{CD}
\Teich_h^{\Vol}(M) @>\Per >> \St_3(H^2(M,\R))\\
@VVV @VVV\\
\Teich(M) @>\Per >> \Gr_{+,+}(V) 
\end{CD}
\]}
Здесь первая вертикальная стрелка переводит
$(M,I,J,K,g)$ в $(M,I)$, вторая переводит
$(\omega_I,\omega_J,\omega_K)\in \St_3(H^2(M,\R))$
в $\langle \omega_J,\omega_K\rangle$.

\утверждение\\
{\бф \ред Все стрелки в этой диаграмме -- открытые отображения.}

\доказательство
Вертикальные стрелки представляют собой локально тривиальные 
расслоения, поэтому открыты, верхнее отображение периодов
открыто, как было уже доказано, а нижнее открыто в силу
коммутативности этой диаграммы. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе  Локальная теорема Торелли (повторение) }

\упражнение
Пусть $M$ -- К3. Рассмотрим отображение периодов
$\Psi:\; \Comp(M) \arrow \Perspace$. 
{\бф \ред Тогда все слои $\Psi$ локально линейно связны.}

\указание
Надо построить локально ретракцию из пространства невырожденных
2-форм в пространство $\widetilde \Comp(M)$ всех невырожденных, замкнутых
2-форм, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. 

\теорема
{\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)}
{\бф \ред Отображение периодов
$\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ 
{\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности
каждой точки $I\in\Teich(M)$.}

\дшаг 
Поскольку $\Per$ открыто, и непрерывно, {\бф \пурпле достаточно показать,
что в окрестности каждой точки $I\in \Teich(M)$
оно  задает биекцию этой окрестности на ее образ.}

\невпаге

{\бф \блуе  Локальная теорема Торелли (повторение)}


{\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим диаграмму
{ \[\begin{CD}
\Comp(M) @>\Psi >> \Perspace \\
@V{\Psi_0} VV @V{\Id}VV\\
\Teich(M) @>\Per >>  \Perspace 
\end{CD}
\]}
Осталось проверить, что {\бф \пурпле каждая связная компонента
слоя $\Psi$ равна связной компоненте слоя $\Psi_0$,
то есть орбите $\Diff_0(M)$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Как и в доказательстве теоремы Мозера,
мы свели локальную теорему Торелли к следующему
утверждению.

{\бф \греен Теорема 1:}
Пусть $I_t:\; [0,1]\arrow \Comp(M)$ -- семейство
комплексных структур на К3, причем периоды у них
одинаковы. {\бф \ред Тогда существует
семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, 
переводящих $I_0$ в $I_t$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Мозера для отображения периодов (повторение)}

Комплексные структуры находятся в 
биективном соответствии ${\Bbb P}\widetilde \Comp(M)$, 
где $\widetilde \Comp(M)$ -- множество
замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм
$\Omega$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. 
Отображение периодов переводит $\Omega\in \widetilde \Comp(M)$ 
в его класс когомологий. Значит, Теорема 1
вытекает из следующей.

{\бф \греен Теорема 2:}
Пусть $\Omega_t:\; [0,1]\arrow \widetilde\Comp(M)$ -- семейство
замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм,
удовлетворяющих $\Omega^2=0$, причем класс когомологий 
$[\Omega_t]\in H^2(M,\C)$ не зависит от $t$.  {\бф \ред Тогда существует
семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, таких, что
$V_t^*\Omega_0=\Omega_t$.}


\дшаг
Пусть $\Omega'_t:=\frac {d\Omega_t}{dt}$.
Если найдется векторное поле $X_t$ такое, что
$\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$, то
\[
 V_{t_1}^*\Omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\Omega_tdt
  = \int_{0}^{t_1}\frac {d\Omega_t}{dt} dt =\Omega_{t_1}
\]
для потока диффеоморфизмов $V_t$, полученного
из формулы $\frac{dV_t}{dt}=X_t$. {\бф \ред Осталось найти
$X_t$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Мозера для отображения периодов (повторение)}

{\бф \ред Нам нужно найти  векторное поле $X_t$ такое, что
$\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$.}\\ 
{\бф \греен Шаг 2:} 
Отображение подстановки $\Lambda^{2,0}M\otimes_\R T_\R M\arrow \Lambda^{1,0}(M)$
сюрьективно {\бф \пурпле (проверьте).}


{\бф \греен Шаг 3:} 
Поскольку $\Omega'_t$ точна,
имеем $\Omega'_t= d\alpha_t$.
Если $\alpha_t$ -- (1,0)-форма,
ее можно получить как $\Omega_t\cntrct X_t$
в силу предыдущего шага, что дает 
$\Omega'_t=d\alpha_t = d(\Omega_t\cntrct X_t) = \Lie_{X_t}\Omega_t$.
{\бф \ред Для доказательства осталось найти
$\alpha_t \in \Lambda^{1,0}(M)$ такую, что $\Omega'_t= d\alpha_t$.}

{\бф \греен Шаг 4:} 
Дифференцируя $\Omega_t^2=0$, получаем
$\Omega'_t\wedge \Omega_t=0$. {\бф \пурпле Это дает
$\Omega'_t\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$.}

{\бф \греен Шаг 5:} 
В силу шага 3 и шага 4, {\бф \пурпле Теорема 2 следует из такой леммы.}\\
\лемма
Пусть $M$ компактное кэлерово многообразие, $H^{0,1}(M)=0$, а 
$\eta\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$ --
точная. {\бф \ред Тогда $\eta = d\alpha$, для какой-то
$\alpha \in \Lambda^{1,0}(M)$.}

\дшаг
Пусть $\eta=d\beta$, где $\beta=\beta^{1,0}+\beta^{0,1}$
Поскольку $\eta \in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$, имеем
$\bar\6(\beta^{0,1})=0$. Первые когомологии комплекса
$(\Lambda^{0,*}(M),\bar\6)$ зануляются, потому что
$H^{0,1}(M)=0$, а значит, $\beta^{0,1}= \bar\6\psi$.

{\бф \греен Шаг 2:} Получаем
$\eta=d(\beta-d\psi)$, а
$\beta-d\psi=\beta^{1,0}+\beta^{0,1} -\6\psi-\beta^{0,1}$ -- (1,0)-форма.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе  Гладкие квартики}

\определение
{\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая
гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым
однородным полиномом степени 4.

\замечание
По формуле Эйлера, каноническое расслоение
на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения,
примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$,
дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$,
а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$,
{\бф \пурпле имеем $NZ=\calo(m-n-1)$.}

\следствие
{\бф \пурпле Гладкая квартика в $\C P^3$ есть поверхность с тривиальным
каноническим классом.}

\замечание
В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду
подразумевать квартики размерности 2.}

\невпаге

{\бф \блуе  Гладкие квартики и теорема Лефшеца о гиперплоском сечении}

\определение
{\бф \блуе $k$-е вложение Веронезе} есть проективное вложение
$\C P^k \arrow {\Bbb P}(H^0(\calo(k))$, заданное линейной
системой $\calo(k)$. Иначе говоря, {\бф \пурпле вложение Веронезе
переводит $(t_0:t_1:...:t_n)$ в 
$(P_0(t_0,..., t_n):P_1(t_0,..., t_n):...:...)$,
где $P_i$ обозначает какой-то базис в однородных многочленах
степени $k$.}

\следствие
{\бф \пурпле Гладкая квартика есть пересечение образа $4$-го отображения
Веронезе и общей гиперплоскости. }


\теорема
{\бф \блуе (Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\
Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие
размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение,
трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i<m-1$,
отображение гомотопических групп $\pi_i(Z\cap H) \arrow\pi_i(Z)$ --
изоморфизм.}

{\бф \греен Доказательство см. ниже. }

\следствие 
{\бф \ред Гладкая двумерная квартика является \\ К3-поверхностью}.

В самом деле, $\pi_1(Z)=\pi_1(\C P^3)=0$ по теореме Лефшеца, примененной
к образу Веронезе.

\невпаге

{\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$ (повторение) }

\определение Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие,
$I:\; TM \arrow TM$ -- {\бф \блуе оператор комплексной структуры},
$I^2=-\Id_{TM}$. {\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется
формулой $d^c:=I^{-1} d I$.

\утверждение
Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие.
Тогда  {\bf \blue  
$\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$
-- компоненты в разложении Ходжа $d$}: 
$\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. 

\теорема 
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие.
{\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны:}

1. $I$ интегрируемо.\ \ \\ 2. $\6^2=0$.\ \ \\
3. $\bar\6^2=0$.\ \ \\
4. $dd^c =- d^c d$\ \ \\
5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$.

\невпаге

{\бф \блуе  Плюрисубгармонические функции Морса}


\определение
Если на многообразии $M$ заданы координаты $x_1,..., x_{2n}$,
можно определить {\бф \блуе Гессиан} функции $f\in C^\infty M$:
$\Hess(f)=\sum_i \frac{d^2f}{dx_idx_j}\cdot dx_i\otimes dx_j\in \Sym^2 M$.
{\бф \пурпле В точках, где $df=0$, гессиан не зависит
от выбора координат} {\бф \ред (проверьте это).}
Функция $f$ называется {\бф \блуе морсовской},
если во всех ее критических точках, $\Hess(f)$ --
невырожденная билинейная симметрическая форма. 
{\бф \блуе Индекс} критической точки $z$ есть
количество отрицательных собственных значений
у $\Hess(f)\restrict{T_zM}$.


\определение
Функция $f$ на комплексном многообразии $M$
называется {\бф \блуе плюрисубгармонической},
если $dd^c f$ есть положительная (1,1)-форма, 
то есть $dd^cf(x,Ix)\geq 0$ для любого $x\in TM$,
и {\бф \блуе строго плюрисубгармонической},
если $dd^cf(x,Ix)>0$ для любого ненулевого $х\in TM$.

\пример
$f=|z|^2$ строго плюрисубгармонична на $\C^n$.

\утверждение
Пусть $f$ -- строго плюрисубгармоническая функция Морса на $n$-мерном многообразии.
{\бф \ред Тогда индекс критических точек $f$ не превосходит $n$}

\невпаге

{\бф \блуе  Плюрисубгармонические функции Морса (продолжение)}

\утверждение
Пусть $f$ -- строго плюрисубгармоническая функция Морса на $n$-мерном многообразии.
{\бф \ред Тогда индекс критических точек $f$ не превосходит $n$}

\дшаг
Поскольку $dd^c f=2 \1 \6\bar\6 f$ (1,1)-форма, она $I$-инвариантна:
$dd^cf(Ix,Iy)$. Значит, $dd^cf(Ix,y)=dd^cf(I^2x,Iy) = - dd^c(x,Iy)f=dd^c(Iy,x)f$.
Мы получили, что {\бф \пурпле форма $\Hess_c(f):= dd^cf(x, Iy)$ симметрическая.}
Эта форма называется {\бф \блуе комплексный гессиан}. Для плюрисубгармонических
функций, она неотрицательно определена.

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть координаты $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$ на $M$ таковы,
что $I(dx_i)=dy_i$, а $I(dy_i)=-dx_i$. Тогда
\[dd^c(f)=
   \sum_i dx_i \wedge dy_i \left(\frac{d^2f}{dx_i^2}+\frac{d^2f}{dy_i^2}\right),
\]
что дает 
 \[ 
  \Hess_c(f)= \sum_i \left(\frac{d^2f}{dx_i^2}+\frac{d^2f}{dy_i^2}\right)
   [dx_i \otimes dx_i + dy_i \otimes dy_i]
\]
{\бф \ред Мы получили $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$.}


\невпаге

{\бф \блуе  Плюрисубгармонические функции Морса (окончание)}

{\бф \ред Мы получили $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Для любой строго плюрисубгармонической функции
Морса, все собственные значения ее комплексного гессиана
положительны. Пусть $m$ -- критическая точка $f$,
а $dz_1, ..., dz_{2n}\in T_mM$ -- базис, в котором
$\Hess(f)$ и $I\Hess(f)$ ортогональны. Такой базис 
существует для любой пары билинейных симметрических 
форм, если одна из них положительно
определена; {\бф \пурпле проверьте это},
и примените к паре форм $\Hess_c(f)$, $\Hess(f)$.


{\бф \греен Шаг 4:} Пусть
$\Hess(f)(dz_i, dz_i)=\alpha_i$, а $\Hess(f)(dz_i, dz_i)=\beta_i$.
Поскольку формы $\Hess(f)$, $I\Hess(f)$ сопряжены,
у них одинаковая сигнатура. Тогда 
$\Hess_c(f)(dz_i, dz_i)=\alpha_i+\beta_i$. 
Поскольку форма $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$
положительно определена, $\alpha_i+\beta_i> 0$,
то есть {\бф \ред как минимум половина $\alpha_i$ 
неотрицательна. } \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении}

\определение
Пусть $f$ -- функция Морса на гладком многообразии $M$,
а $\grad f$ ее градиентное векторное поле. {\бф \блуе
Стабильное многообразие} критической точки $m$ есть все
точки $z\in M$ такие, что $\lim\limits_{t\arrow \infty} e^{t \grad f}z=m$.

\упражнение
Пусть $Z_m$ -- стабильное многообразие критической
точки $m$ индекса $p$. {\бф \пурпле Докажите, что $Z_m$ гладкое, $p$-мерное
подмногообразие в $M$.}


\теорема
{\бф \блуе (Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\
Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие
размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение,
трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i<m-1$,
отображение гомотопических групп $\pi_i(Z\cap H) \arrow\pi_i(Z)$ --
изоморфизм.}

\дшаг 
Рассмотрим функцию $f:=|z|^2$
на $\C P^n\backslash H=\C^n$, пошевелим ее таким образом,
чтобы она оставалось плюрисубгармоничной, но стала морсовской
на $Z\backslash (H\cap Z)$ {\бф \ред (докажите, что это возможно)}.


\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $S_i\subset Z\backslash (H\cap Z)$ -- стабильные
множества всех критических точек $f$ на $Z$. Тогда {\бф \пурпле
$Z\cap H$ является деформационным ретрактом $Z_0:=Z \backslash \bigcup_i S_i$}.
Для доказательства сего, рассмотрим отображение
$z \arrow e^{t\grad f}$, и устремим $t$ к бесконечности;
для любого $z\in Z_0$, {\бф \ред предел лежит на $Z\cap H$,
и непрерывно зависит от $t\in[0, \infty]$ и $z$.}


{\бф \греен Шаг 3:}
Поскольку $f$ плюрисубгармонична, 
индекс критических точек $f$ не превосходит $n$.
Значит, $\dim S_i \leq n$. В силу предыдущего шага,
$Z_0$ гомотопически эквивалентно $H\cap Z$.
Теперь {\бф \пурпле теорема Лефшеца вытекает из следующей 
топологической леммы.}


\лемма
Пусть $Z$ -- гладкое многообразие, а $S_i$ -- набор 
гладких подмногообразий в $Z$, $\codim \dim S_i \geq n$.
Обозначим за $Z_0$ дополнение $Z_0:=Z \backslash \bigcup_i S_i$
Тогда естественное вложение $Z_0\arrow Z$ 
{\бф \ред индуцирует изоморфизм гомотопических групп}
$\pi_i(Z_0) \cong \pi_i(Z)$ для всех $i<n-1$,
и сюрьективно для $i=n-1$.

\невпаге

{\бф \блуе  Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении (окончание)}


\лемма
Пусть $Z$ -- гладкое многообразие, а $S_i$ -- набор 
гладких подмногообразий в $Z$, $\codim \dim S_i \geq n$.
Обозначим за $Z_0$ дополнение $Z_0:=Z \backslash \bigcup_i S_i$
Тогда естественное вложение $Z_0\arrow Z$ 
{\бф \ред индуцирует изоморфизм гомотопических групп}
$\pi_i(Z_0) \cong \pi_i(Z)$ для всех $i<n-1$,
и сюрьективно для $i=n-1$.

\дшаг
Чтобы убедиться, что $\pi_i(Z_0)\stackrel j\arrow \pi_i(Z)$
сюрьективно, возьмем какой-то элемент в $\pi_i(Z)$,
{\бф \пурпле представим его иммерсией сферы $\Sigma^i\arrow Z$ и 
продеформируем эту сферу, чтобы она стала трансверсальна
к $S_i$.} Это можно сделать, когда $i<\codim_M S_i \leq n-1$.
Поскольку $\Sigma^i\subset Z_0$, ее класс в $\pi_i(Z)$
 лежит в образе $j$.

{\bf \green Шаг 2:}  
Пусть $\Sigma^i\arrow Z_0$ -- отображение сферы,
гомотопное нулю в $Z$. {\бф \пурпле Гомотопию можно изобразить
как отображение из $i+1$-мерного 
шара $B^{i+1}$ в $Z$, граница которого переходит на $\Sigma^i$.}
И сферу и гомотопию можно выбрать гладкой, потом пошевелить, чтобы
образ $B^{i+1}$ пересекал $S_i$ трансверсально.
Поэтому, если $i+1< \codim S_i \geq n$, образ шара
не будет пересекать $S_i$, что дает гомотопию образа 
$\Sigma^i$ в точку внутри $Z_0$. \ендпрооф.




\end{document}
