\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 7 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 7: Гладкие квартики и теорема Лефшеца о гиперплоском сечении} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 26 марта 2012 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера и отображение периодов (повторение)} \определение Пусть $\Diff_0(M)$ -- связная компонента группы диффеоморфизмов, а $\Symp$ -- многообразие Фреше всех симплектических форм на $M$. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера $\Teich_s$ симплектических форм на $M$} есть фактор $\Teich_s:=\Symp/\Diff_0(M)$, с индуцированной топологией. \определение {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich_s\stackrel \Per \longrightarrow H^2(M,\R)$ переводит симплектическую форму $\omega$ в ее класс когомологий $[\omega]$. \теорема (Мозер) Пусть $М$ -- компактное симплектическое многообразие, а $\Teich_s$ -- симплектическое пространство Тейхмюллера. В какой-то окрестности $U\subset \Teich_s$ каждой точки $x\in\Teich_s$, {\бф \ред отображение периодов $\Teich_s\arrow H^2(M,\R)$ -- гомеоморфизм $U$ на его образ.} Пусть $\Symp_\omega$ -- множество всех симплектических структур на $M$, класс когомологий которых равен $[\omega]$. Для доказательства теоремы Мозера {\бф \пурпле достаточно проверить, что $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega$ в какой-то окрестности $\omega$.} \теорема (теорема Мозера, вариант 2)\\ Пусть $\Symp_\omega^0$ -- связная компонента $\Symp_\omega$. {\бф \ред Тогда $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega^0$} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера и локальная связность (повторение)} Поскольку $\Symp_\omega$ -- открытая часть линейного пространства, $\Symp_\omega$ локально линейно связно. Поэтому {\бф \пурпле теорема Мозера следует из следующей теоремы.} \теорема {\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\ Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$. Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны. {\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм $\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.} {\бф \греен Доказательство:} Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения $\frac{d\Psi_t}{dt}=X_t$, где $X_t\in TM$ -- векторное поле, зависящее от параметра $t$. {\бф \греен Шаг 1:} Поскольку $\omega_t$ все когомологичны, форма $\frac {d\omega_t}{dt}$ точна. Значит, $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t\in \Lambda^1(M)$. Пусть $X_t$ -- векторное поле, такое, что $\omega_t\cntrct X_t=\eta_t$. {\бф \пурпле По формуле Картана, $\Lie_{X_t}\omega_t= d(\omega_t\cntrct X_t)= d\eta_t =\frac {d\omega_t}{dt}$.} {\бф \греен Шаг 2:} Интегрируя по $t$ обе части $\Lie_{X_t}\omega_t=\frac {d\omega_t}{dt}$, получаем \[ \Psi_{t_1}^*\omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\omega_tdt = \int_{0}^{t_1}\frac {d\omega_t}{dt} dt =\omega_{t_1}. \] \endproof \newpage {\бф \блуе K3-поверхности (повторение)} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухсдаль-Ламари). \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \утверждение {\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.} \newpage {\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие} есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами $I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям: $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$. {\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие} есть гиперкомплексное многообразие, снабженное римановой метрикой $g$, которая кэлерова по отношению к $I,J,K$. \теорема Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $[\omega]\in H^2(M,\R)$ ee кэлеров класс, $\Omega$ -- голоморфная симплектическая форма. Предположим, что $\Re\Omega^2=[\omega]^2$. Тогда {\бф \ред на $(M,I)$ существует и единственна гиперкэлерова структура, такая, что $[\omega_I]=[\omega]$, $\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$.} \определение Для гиперкэлеровой структуры на поверхности, $\int_M \omega_I\wedge \omega_J=\int \omega_I\wedge \omega_K= \int \omega_J\wedge \omega_K=0$, $\int_M \omega_I^2= \int_M \omega_J^2=\int_M \omega_K^2$ {\бф \ред (проверьте это).} Назовем базис, удовлетворяющий этим условиям, {\бф \блуе конформно ортонормальным}. \невпаге {\бф \блуе Отображение периодов для гиперкэлеровых структур \\ (повторение)} \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}} \newcommand{\St}{\operatorname{\sf St}} \newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}} \newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}} \определение {\бф \блуе Группа изотопий} $\Diff_0(M)$ многообразия $M$ есть связная компонента группы диффеоморфизмов $M$. \определение {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich_{hk}(M)$ гиперкэлеровых структур есть фактор пространства всех гиперкэлеровых структур на $M$ по $\Diff_0(M)$. \определение Обозначим за $\St^c_3(H^2(M,\R))$ пространство конформно ортонормированных троек классов $\omega_1, \omega_2, \omega_3\in H^2(M,\R)$. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ переводит гиперкэлерову структуру $I,J,K, g$ в тройку $\omega_I, \omega_J,\omega_K\in \St^c_3(H^2(M,\R))$ \определение {\бф \блуе Открытое отображение} есть отображение, переводящее открытые множества в открытые. \теорема Пусть $M$ - К3-поверхность. Тогда {\бф \ред отображение $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\longrightarrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ открыто в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}. \невпаге {\бф \блуе Комплексные структуры и симплектические 2-формы \\ (повторение)} \определение Пусть $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- комплексная 2-форма. Такая форма называется {\бф \блуе невырожденной}, если $\Re \Omega$ либо $\Im \Omega$ -- невырожденные 2-формы. \теорема Пусть $M$ -- вещественное 4-мерное многообразие, а $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- замкнутая, невырожденная комплексная 2-форма. Предположим, что $\Omega^2=0$. Тогда {\бф \ред на $M$ существует комплексная структура $I$ такая, что $\Omega$ -- голоморфная симплектическая форма на $(M,I)$.} \утверждение Пусть $M$ -- К3-поверхность, а $V$ -- множество всех невырожденных комплексных 2-форм $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. Рассмотрим проективизацию ${\Bbb P}V:=V/\C^*$. Тогда {\бф \пурпле множество ${\Bbb P}V$ находится в биективном соответствии с множеством $\Comp(M)$ комплексных структур на $M$.} \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера и отображение периодов\\ (повторение)} \определение Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти комплексных структур на многообразии, с топологией, индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$ есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов). \определение Пусть $M$ есть К3-поверхность. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$ сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую $H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$. \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов для К3-поверхности (повторение)} \замечание Пусть $l\in \Per(\Teich(M))$ - класс когомологий в образе отображения периодов. Тогда $l\wedge l=0$ (потому что это (2,0)-форма) и $l\wedge \bar l>0$, потому что $l=\xi\wedge\zeta$ для каких-то $\xi,\zeta\in \Lambda^{1,0}(M,I)$ и и $l\wedge\bar l=\xi\wedge\zeta\wedge \bar\xi\wedge\bar\zeta$. локально в окрестности каждой точки $M$. \определение {\бф\блуе Пространство периодов} К3-поверхности есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$ состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что $l\wedge l=0$ и $l\wedge \bar l>0$. {\бф \блуе Отображение периодов} есть отображение $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$. Основной результат прошлой лекции: \теорема {\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов и $++$-грассманиан (повторение)} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство, снабженное скалярным произведением $q$. Обозначим за $\Perspace(V)$ множество прямых $l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих $q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть $\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных 2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких, что $q\restrict W$ положительно определено. \утверждение Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$, рассмотрим оператор поворота на $\frac \pi 2$ против часовой стрелки: $I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за $P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую, порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$. Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию $P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.} \следствие {\бф \ред Пространство периодов для К3-поверхности изоморфно $SO(19,3)/SO(2)\times SO(19,1)$.} \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов и гиперкэлеровы структуры (повторение)} \замечание Пусть $M$ -- К3, а $\Teich_h^{\Vol}(M)$ -- пространстве Тейхмюллера всех гиперкэлеровых структур $(M,I,J,K,g)$ таких, что $\Vol_g(M)=1$. Рассмотрим пространство $\St_3(H^2(M,\R))$ всех ортонормированных троек векторов в $H^2(M,\R)$. {\бф \пурпле Раньше было доказано, что $\Teich_h^{\Vol}(M)\stackrel \Per \longrightarrow \St_3(H^2(M,\R))$ -- открытое отображение.} Рассмотрим следующую диаграмму пространств Тейхмюллера и пространств периодов: {\small \[\begin{CD} \Teich_h^{\Vol}(M) @>\Per >> \St_3(H^2(M,\R))\\ @VVV @VVV\\ \Teich(M) @>\Per >> \Gr_{+,+}(V) \end{CD} \]} Здесь первая вертикальная стрелка переводит $(M,I,J,K,g)$ в $(M,I)$, вторая переводит $(\omega_I,\omega_J,\omega_K)\in \St_3(H^2(M,\R))$ в $\langle \omega_J,\omega_K\rangle$. \утверждение\\ {\бф \ред Все стрелки в этой диаграмме -- открытые отображения.} \доказательство Вертикальные стрелки представляют собой локально тривиальные расслоения, поэтому открыты, верхнее отображение периодов открыто, как было уже доказано, а нижнее открыто в силу коммутативности этой диаграммы. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Локальная теорема Торелли (повторение) } \упражнение Пусть $M$ -- К3. Рассмотрим отображение периодов $\Psi:\; \Comp(M) \arrow \Perspace$. {\бф \ред Тогда все слои $\Psi$ локально линейно связны.} \указание Надо построить локально ретракцию из пространства невырожденных 2-форм в пространство $\widetilde \Comp(M)$ всех невырожденных, замкнутых 2-форм, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. \теорема {\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} \дшаг Поскольку $\Per$ открыто, и непрерывно, {\бф \пурпле достаточно показать, что в окрестности каждой точки $I\in \Teich(M)$ оно задает биекцию этой окрестности на ее образ.} \невпаге {\бф \блуе Локальная теорема Торелли (повторение)} {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим диаграмму { \[\begin{CD} \Comp(M) @>\Psi >> \Perspace \\ @V{\Psi_0} VV @V{\Id}VV\\ \Teich(M) @>\Per >> \Perspace \end{CD} \]} Осталось проверить, что {\бф \пурпле каждая связная компонента слоя $\Psi$ равна связной компоненте слоя $\Psi_0$, то есть орбите $\Diff_0(M)$.} {\бф \греен Шаг 3:} Как и в доказательстве теоремы Мозера, мы свели локальную теорему Торелли к следующему утверждению. {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $I_t:\; [0,1]\arrow \Comp(M)$ -- семейство комплексных структур на К3, причем периоды у них одинаковы. {\бф \ред Тогда существует семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, переводящих $I_0$ в $I_t$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера для отображения периодов (повторение)} Комплексные структуры находятся в биективном соответствии ${\Bbb P}\widetilde \Comp(M)$, где $\widetilde \Comp(M)$ -- множество замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм $\Omega$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. Отображение периодов переводит $\Omega\in \widetilde \Comp(M)$ в его класс когомологий. Значит, Теорема 1 вытекает из следующей. {\бф \греен Теорема 2:} Пусть $\Omega_t:\; [0,1]\arrow \widetilde\Comp(M)$ -- семейство замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм, удовлетворяющих $\Omega^2=0$, причем класс когомологий $[\Omega_t]\in H^2(M,\C)$ не зависит от $t$. {\бф \ред Тогда существует семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, таких, что $V_t^*\Omega_0=\Omega_t$.} \дшаг Пусть $\Omega'_t:=\frac {d\Omega_t}{dt}$. Если найдется векторное поле $X_t$ такое, что $\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$, то \[ V_{t_1}^*\Omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\Omega_tdt = \int_{0}^{t_1}\frac {d\Omega_t}{dt} dt =\Omega_{t_1} \] для потока диффеоморфизмов $V_t$, полученного из формулы $\frac{dV_t}{dt}=X_t$. {\бф \ред Осталось найти $X_t$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера для отображения периодов (повторение)} {\бф \ред Нам нужно найти векторное поле $X_t$ такое, что $\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$.}\\ {\бф \греен Шаг 2:} Отображение подстановки $\Lambda^{2,0}M\otimes_\R T_\R M\arrow \Lambda^{1,0}(M)$ сюрьективно {\бф \пурпле (проверьте).} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку $\Omega'_t$ точна, имеем $\Omega'_t= d\alpha_t$. Если $\alpha_t$ -- (1,0)-форма, ее можно получить как $\Omega_t\cntrct X_t$ в силу предыдущего шага, что дает $\Omega'_t=d\alpha_t = d(\Omega_t\cntrct X_t) = \Lie_{X_t}\Omega_t$. {\бф \ред Для доказательства осталось найти $\alpha_t \in \Lambda^{1,0}(M)$ такую, что $\Omega'_t= d\alpha_t$.} {\бф \греен Шаг 4:} Дифференцируя $\Omega_t^2=0$, получаем $\Omega'_t\wedge \Omega_t=0$. {\бф \пурпле Это дает $\Omega'_t\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$.} {\бф \греен Шаг 5:} В силу шага 3 и шага 4, {\бф \пурпле Теорема 2 следует из такой леммы.}\\ \лемма Пусть $M$ компактное кэлерово многообразие, $H^{0,1}(M)=0$, а $\eta\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$ -- точная. {\бф \ред Тогда $\eta = d\alpha$, для какой-то $\alpha \in \Lambda^{1,0}(M)$.} \дшаг Пусть $\eta=d\beta$, где $\beta=\beta^{1,0}+\beta^{0,1}$ Поскольку $\eta \in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$, имеем $\bar\6(\beta^{0,1})=0$. Первые когомологии комплекса $(\Lambda^{0,*}(M),\bar\6)$ зануляются, потому что $H^{0,1}(M)=0$, а значит, $\beta^{0,1}= \bar\6\psi$. {\бф \греен Шаг 2:} Получаем $\eta=d(\beta-d\psi)$, а $\beta-d\psi=\beta^{1,0}+\beta^{0,1} -\6\psi-\beta^{0,1}$ -- (1,0)-форма. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Гладкие квартики} \определение {\бф \блуе Гладкой квартикой} называется гладкая гиперповерхность в $\C P^n$, заданная неприводимым однородным полиномом степени 4. \замечание По формуле Эйлера, каноническое расслоение на $\C P^n$ есть $\calo(-n-1)$. Формула присоединения, примененная к гладкой поверхности $Z\subset \C P^n$ степени $m$, дает $N^*Z \otimes_{\calo_Z} K_Z = K_{\C P^n}\restrict Z$, а коль скоро $N^*Z=\calo(-m)$ и $K_{\C P^n}=\calo(-n-1)$, {\бф \пурпле имеем $NZ=\calo(m-n-1)$.} \следствие {\бф \пурпле Гладкая квартика в $\C P^3$ есть поверхность с тривиальным каноническим классом.} \замечание В дальнейшем, говоря про "гладкие квартики", {\бф \ред я буду подразумевать квартики размерности 2.} \невпаге {\бф \блуе Гладкие квартики и теорема Лефшеца о гиперплоском сечении} \определение {\бф \блуе $k$-е вложение Веронезе} есть проективное вложение $\C P^k \arrow {\Bbb P}(H^0(\calo(k))$, заданное линейной системой $\calo(k)$. Иначе говоря, {\бф \пурпле вложение Веронезе переводит $(t_0:t_1:...:t_n)$ в $(P_0(t_0,..., t_n):P_1(t_0,..., t_n):...:...)$, где $P_i$ обозначает какой-то базис в однородных многочленах степени $k$.} \следствие {\бф \пурпле Гладкая квартика есть пересечение образа $4$-го отображения Веронезе и общей гиперплоскости. } \теорема {\бф \блуе (Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\ Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение, трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i0$ для любого ненулевого $х\in TM$. \пример $f=|z|^2$ строго плюрисубгармонична на $\C^n$. \утверждение Пусть $f$ -- строго плюрисубгармоническая функция Морса на $n$-мерном многообразии. {\бф \ред Тогда индекс критических точек $f$ не превосходит $n$} \невпаге {\бф \блуе Плюрисубгармонические функции Морса (продолжение)} \утверждение Пусть $f$ -- строго плюрисубгармоническая функция Морса на $n$-мерном многообразии. {\бф \ред Тогда индекс критических точек $f$ не превосходит $n$} \дшаг Поскольку $dd^c f=2 \1 \6\bar\6 f$ (1,1)-форма, она $I$-инвариантна: $dd^cf(Ix,Iy)$. Значит, $dd^cf(Ix,y)=dd^cf(I^2x,Iy) = - dd^c(x,Iy)f=dd^c(Iy,x)f$. Мы получили, что {\бф \пурпле форма $\Hess_c(f):= dd^cf(x, Iy)$ симметрическая.} Эта форма называется {\бф \блуе комплексный гессиан}. Для плюрисубгармонических функций, она неотрицательно определена. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть координаты $x_1, y_1, x_2, y_2, ...$ на $M$ таковы, что $I(dx_i)=dy_i$, а $I(dy_i)=-dx_i$. Тогда \[dd^c(f)= \sum_i dx_i \wedge dy_i \left(\frac{d^2f}{dx_i^2}+\frac{d^2f}{dy_i^2}\right), \] что дает \[ \Hess_c(f)= \sum_i \left(\frac{d^2f}{dx_i^2}+\frac{d^2f}{dy_i^2}\right) [dx_i \otimes dx_i + dy_i \otimes dy_i] \] {\бф \ред Мы получили $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$.} \невпаге {\бф \блуе Плюрисубгармонические функции Морса (окончание)} {\бф \ред Мы получили $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$.} {\бф \греен Шаг 3:} Для любой строго плюрисубгармонической функции Морса, все собственные значения ее комплексного гессиана положительны. Пусть $m$ -- критическая точка $f$, а $dz_1, ..., dz_{2n}\in T_mM$ -- базис, в котором $\Hess(f)$ и $I\Hess(f)$ ортогональны. Такой базис существует для любой пары билинейных симметрических форм, если одна из них положительно определена; {\бф \пурпле проверьте это}, и примените к паре форм $\Hess_c(f)$, $\Hess(f)$. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\Hess(f)(dz_i, dz_i)=\alpha_i$, а $\Hess(f)(dz_i, dz_i)=\beta_i$. Поскольку формы $\Hess(f)$, $I\Hess(f)$ сопряжены, у них одинаковая сигнатура. Тогда $\Hess_c(f)(dz_i, dz_i)=\alpha_i+\beta_i$. Поскольку форма $\Hess_c(f)= \Hess(f) + I\Hess(f)$ положительно определена, $\alpha_i+\beta_i> 0$, то есть {\бф \ред как минимум половина $\alpha_i$ неотрицательна. } \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении} \определение Пусть $f$ -- функция Морса на гладком многообразии $M$, а $\grad f$ ее градиентное векторное поле. {\бф \блуе Стабильное многообразие} критической точки $m$ есть все точки $z\in M$ такие, что $\lim\limits_{t\arrow \infty} e^{t \grad f}z=m$. \упражнение Пусть $Z_m$ -- стабильное многообразие критической точки $m$ индекса $p$. {\бф \пурпле Докажите, что $Z_m$ гладкое, $p$-мерное подмногообразие в $M$.} \теорема {\бф \блуе (Теорема Лефшеца о гиперплоском сечении)}\\ Пусть $Z\subset \C P^n$ -- гладкое, проективное многообразие размерности $m$, а $H\subset \C P^n$ -- гиперплоское сечение, трансверсально пересекающее $Z$. Тогда {\бф \ред для любого $i