\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 6 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 6: теорема Торелли для К3-поверхностей} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 19 марта 2012 } \end{center} \newpage {\bf \blue Пространства Фреше (повторение)} {\bf \green Определение:} Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$. Функция $\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\bf \blue полунормой} на $V$, если имеет место следующее \\ (*) {\bf \purple Неравенство треугольника:} $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.\\ (**) {\bf \purple Инвариантность относительно гомотетии:} $\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$.\\ Векторное пространство с полунормой наделено {\бф \блуе полуметрикой,} по формуле $d(x,y) = \nu(x-y)$. \определение Пусть $(V, \{\nu_\alpha\})$ -- пространство, снабженное системой полунорм. Последовательность $x_i$ {\бф \блуе сходится к $x$ в этой системе полунорм}, если $\lim_i \nu_\alpha(x_i-x)=0$ для всех полунорм $\nu_\alpha$. Говорится, что $(M, \{d_\alpha\})$ {\bf \blue полно}, если {\бф \purple каждая последовательность Коши имеет предел в топологии, заданной полуметриками.} {\bf \green Определение:} Пусть $V$ -- топологическое векторное пространство с хаусдорфовой топологией. $V$ называется {\bf\blue пространством Фреше}, когда топология на $V$ может быть задана полной, счетной системой полунорм $\{\nu_\alpha\}$. \newpage {\bf \blue Пространство гладких функций на отрезке (повторение)} {\bf \green Определение:} Пусть $C^\infty([0,1])$ -- пространство гладких функций на отрезке. Рассмотрим, для каждого $n$, норму $|f|_{C^n}$, определенную следующим образом: \[ |f|_{C^0}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, \ \ |f|_{C^1}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+ |f'(x)|, \ \ ..., \] \[ |f|_{C^n}:= \sup_{x\in [0,1]} \sum_{i=0}^n |f^{(i)}(x)| . \] {\bf\green Утверждение:} \\ {\bf \red $C^\infty([0,1])$ с такой системой полунорм -- пространство Фреше.} {\bf \green Доказательство:} Поскольку \[ |\phi|_{C^n} \geq \left|\phi^{(k)}\right|_{C^{n-k}}, \] {\bf\purple для любой последовательности Коши $\{f_i\}$, $\{f_i^{(k)}\}$ -- тоже последовательность Коши.} Предел последовательности $\{f_i\}$ будет $k$-кратной первообразной для предела $\{f_i^{(k)}\}$, значит, предел $\{f_i\}$ -- гладкий. \невпаге {\бф \блуе Многообразия Фреше (повторение)} \определение {\бф \блуе Многообразие Фреше} есть топологическое пространство, снабженное атласом $\{U_i\}$, где каждая из карт $U_i$ реализована как открытое подмножество в каком-то пространстве Фреше, а все функции перехода гладкие. \определение {\бф \блуе Гладкое отображение} многообразий Фреше - такое, которое задается гладкими отображениями в каждой из карт. \определение Группа Ли-Фреше есть группа, снабженная структурой многообразия Фреше, таким образом, что все групповые операции являются гладкими. \замечание Заменив "Фреше" на "банаховы", получим определение {\бф \блуе банахова многообразия} и {\бф \блуе банаховой группы Ли}. \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера (повторение)} \замечание Отныне и до конца лекции, {\бф \пурпле многообразие $M$ предполагается компактным.} \определение Пусть $\Diff_0(M)$ -- связная компонента группы диффеоморфизмов, а $\Symp$ -- многообразие Фреше всех симплектических форм на $M$. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера $\Teich_s$ симплектических форм на $M$} есть фактор $\Teich_s:=\Symp/\Diff_0(M)$, с индуцированной топологией. \замечание Аналогичным образом определяется пространство Тейхмюллера комплексных структур, эрмитовых, кэлеровых, гиперкэлеровых и так далее. \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера и отображение периодов (повторение)} \определение {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich_s\stackrel \Per \longrightarrow H^2(M,\R)$ переводит симплектическую форму $\omega$ в ее класс когомологий $[\omega]$. \теорема (Мозер) Пусть $М$ -- компактное симплектическое многообразие, а $\Teich_s$ -- симплектическое пространство Тейхмюллера. В какой-то окрестности $U\subset \Teich_s$ каждой точки $x\in\Teich_s$, {\бф \ред отображение периодов $\Teich_s\arrow H^2(M,\R)$ -- гомеоморфизм $U$ на его образ.} \замечание Таким образом, {\бф \пурпле пространство Тейхмюллера для симплектических структур на $M$ является многообразием.} Пусть $\Symp_\omega$ -- множество всех симплектических структур на $M$, класс когомологий которых равен $[\omega]$. Для доказательства теоремы Мозера {\бф \пурпле достаточно проверить, что $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega$ в какой-то окрестности $\omega$.} \теорема (теорема Мозера, вариант 2)\\ Пусть $\Symp_\omega^0$ -- связная компонента $\Symp_\omega$. {\бф \ред Тогда $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega^0$} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера и локальная связность (повторение)} Поскольку $\Symp_\omega$ -- открытая часть линейного пространства, $\Symp_\omega$ локально линейно связно. Поэтому {\бф \пурпле теорема Мозера следует из следующей теоремы.} \теорема {\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\ Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$. Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны. {\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм $\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.} {\бф \греен Доказательство:} Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения $\frac{d\Psi_t}{dt}=V_t$, где $V_t\in TM$ -- векторное поле, зависящее от параметра $t$. \невпаге {\бф \блуе Доказательство теоремы Мозера (повторение)} \теорема {\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\ Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$. Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны. {\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм $\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.} {\бф \греен Доказательство:} Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения $\frac{d\Psi_t}{dt}=V_t$, где $V_t\in TM$ -- векторное поле, зависящее от параметра $t$. {\бф \греен Шаг 1:} Поскольку $\omega_t$ все когомологичны, форма $\frac {d\omega_t}{dt}$ точна. Значит, $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t\in \Lambda^1(M)$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $X_t$ -- векторное поле, такое, что $\omega_t\cntrct X_t=\eta_t$. По формуле Картана, $\Lie_{X_t}\omega_t= d(\omega_t\cntrct X_t)= d\eta_t =\frac {d\omega_t}{dt}$. {\бф \греен Шаг 3:} Интегрируя по $t$ обе части $\Lie_{X_t}\omega_t=\frac {d\omega_t}{dt}$, получаем \[ \Psi_{t_1}^*\omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\omega_tdt = \int_{0}^{t_1}\frac {d\omega_t}{dt} dt =\omega_{t_1} \] \endproof \newpage {\бф \блуе K3-поверхности (повторение)} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухсдаль-Ламари). \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \утверждение {\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.} \newpage {\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие} есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами $I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям: $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$. {\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие} есть гиперкомплексное многообразие, снабженное римановой метрикой $g$, которая кэлерова по отношению к $I,J,K$. \замечание Кэлеровость $I$ равносильна условию $\nabla(I)=0$, где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита, a гиперкэлеровость -- {\бф \ред условию $\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$ плюс кватернионные соотношения.} \определение Пусть $h\in {\Bbb H}$ -- унитарный кватернион, а $(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерово многообразие. Тогда $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ -- тоже гиперкэлерово многообразие ({\бф \ред проверьте это}). Многообразия $(M,I,J,K,g)$ и $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ называются {\бф \блуе эквивалентными}. \невпаге {\бф \блуе Гиперкэлеровы структуры на К3-поверхности (повторение)} \теорема Пусть $(M,I,g)$ -- К3-поверхность, где $g$ -- кэлерова метрика. Тогда {\бф \ред $M$ допускает гиперкэлерову структуру $(M,I,J,K,g)$ тогда и только тогда, когда $g$ Риччи-плоская}. \теорема Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $[\omega]\in H^2(M,\R)$ ee кэлеров класс, $\Omega$ -- голоморфная симплектическая форма. Предположим, что $\Re\Omega^2=[\omega]^2$. Тогда {\бф \ред на $(M,I)$ существует и единственна гиперкэлерова структура, такая, что $[\omega_I]=[\omega]$, $\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$.} \определение Для гиперкэлеровой структуры на поверхности, $\int_M \omega_I\wedge \omega_J=\int \omega_I\wedge \omega_K= \int \omega_J\wedge \omega_K=0$, $\int_M \omega_I^2= \int_M \omega_J^2=\int_M \omega_K^2$ {\бф \ред (проверьте это).} Назовем базис, удовлетворяющий этим условиям, {\бф \блуе конформно ортонормальным}. \невпаге {\бф \блуе Отображение периодов для гиперкэлеровых структур \\ (повторение)} \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}} \newcommand{\St}{\operatorname{\sf St}} \newcommand{\Comp}{\operatorname{Comp}} \newcommand{\Perspace}{\operatorname{{\Bbb P}\sf er}} \определение {\бф \блуе Группа изотопий} $\Diff_0(M)$ многообразия $M$ есть связная компонента группы диффеоморфизмов $M$. \определение {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich_{hk}(M)$ гиперкэлеровых структур есть фактор пространства всех гиперкэлеровых структур на $M$ по $\Diff_0(M)$. \определение Обозначим за $\St^c_3(H^2(M,\R))$ пространство конформно ортонормированных троек классов $\omega_1, \omega_2, \omega_3\in H^2(M,\R)$. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ переводит гиперкэлерову структуру $I,J,K, g$ в тройку $\omega_I, \omega_J,\omega_K\in \St^c_3(H^2(M,\R))$ \определение {\бф \блуе Открытое отображение} есть отображение, переводящее открытые множества в открытые. \теорема Пусть $M$ - К3-поверхность. Тогда {\бф \ред отображение $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\longrightarrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ открыто в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}. \невпаге {\bf \blue Комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Пучок колец} есть пучок $U \arrow {\cal F}(U)$ такой, что на каждом ${\cal F}(U)$ задана структура кольца, а отображения ограничения являются гомоморфизмами. \определение {\бф \блуе Окольцованное пространство} есть топологическое пространство с заданным на нем пучком колец. \пример {\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$ голоморфных функций является окольцованным пространством.} \определение {\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное пространство, которое локально изоморфно (как окольцованное пространство) открытому шару $(B, \calo_B)$. \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. Пусть $(M, I)$ -- почти комплексное многообразие. Обозначим за \[ \Lambda^{*,0}(M):=\bigoplus_p\Lambda^{p,0}(M), \ \ \Lambda^{0,*}(M):=\bigoplus_q\Lambda^{0,q}(M) \] подалгебры в алгебре де Рама, порожденные $\Lambda^{1,0}(M)= (T^*M)^{1,0}$ и $\Lambda^{0,1}(M)= (T^*M)^{0,1}$ соответственно. \определение {\бф \blue Разложение Ходжа} на дифференциальных формах записывается $\Lambda^*(M) = \bigoplus_{p,q} \Lambda^{p,q}(M)$, причем $\Lambda^{p,q}(M) = \Lambda^{p,0}(M) \bigwedge \Lambda^{0,q}(M)$. \определение Функция $f:\; M \arrow \C$ на почти комплексном многообразии называется {\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$. \невпаге {\bf \blue Интегрируемые почти комплексные многообразия} \определение Почти комплексное многообразие $(M,I)$ называется {\бф \блуе интегрируемым}, если $M$, окольцованное пучком голоморфных функций, является комплексным многообразием. \определение Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие, $T^{1,0}\subset TM\otimes \C$ -- подрасслоение векторов типа $(1,0)$, а $[T^{1,0},T^{1,0}] \stackrel N\arrow TM\otimes \C / T^{1,0}$ -- скобка Фробениуса. Отождествив $TM\otimes \C / T^{1,0}$ с $T^{0,1}$, мы представим $N$ как оператор \[ N:\; \Lambda^2(T^{1,0}M) \arrow T^{0,1}M. \] \определение Этот оператор называется {\бф\блуе тензором Ниейхойса} (Nijenhuis tensor). Его можно преставить как сечение $N\in \Lambda^{2,0}M\otimes T^{0,1}M$. \теорема Пусть $(M,I)$ -- гладкое почти комплексное многообразие, причем $[T^{0,1}, T^{0,1}] \subset T^{0,1}$. {\bf \red Тогда почти комплексная структура $I$ интегрируема.} \замечание {\бф \пурпле Это то же самое, что зануление тензора Ниейхойса.} \замечание Подрасслоение $B\subset TM$, удовлетворяющее $[B,B]\subset B$, называется {\бф \блуе инволютивным.} \невпаге {\бф \блуе Комплексные структуры и симплектические 2-формы} \определение Пусть $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- комплексная 2-форма. Такая форма называется {\бф \блуе невырожденной}, если $\Re \Omega$ либо $\Im \Omega$ -- невырожденные 2-формы. \теорема Пусть $M$ -- вещественное 4-мерное многообразие, а $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$ -- замкнутая, невырожденная комплексная 2-форма. Предположим, что $\Omega^2=0$. Тогда {\бф \ред на $M$ существует комплексная структура $I$ такая, что $\Omega$ -- голоморфная симплектическая форма на $(M,I)$.} \дшаг Поскольку $\Omega^2=0$, форма $\Omega$ {\бф \ред разложима}, то есть представляется в виде $\Omega= \xi\wedge \zeta$ для каких-то 1-форм $\xi, \zeta \in \in \Lambda^2(M,\C)$ {\bf \red (докажите это).} {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \блуе Ядро} формы $\Omega$ есть множество всех векторов $x\in TM\otimes_\R \C$, таких, что $\Omega(x, \cdot)=0$. {\bf \purple В силу шага 1, $\dim_\C \ker \Omega\geq 2$.} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим $\Re\Omega$ за $\omega_1$ и $\Im\Omega$ за $\omega_2$. Поскольку $\Omega^2=0$, имеем {\бф \пурпле $\omega_1^2=\omega_2^2$ и $\omega_1\wedge\omega_2=0$.} Значит, {\бф \пурпле форма $\Omega\wedge \bar \Omega=\omega_1^2+\omega_2^2= 2\omega_1^2$ невырожденна.} \невпаге {\бф \блуе Комплексные структуры и симплектические 2-формы\\ (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим $\Re\Omega$ за $\omega_1$ и $\Im\Omega$ за $\omega_2$. Поскольку $\Omega^2=0$, имеем {\бф \пурпле $\omega_1^2=\omega_2^2$ и $\omega_1\wedge\omega_2=0$.} Значит, {\бф \пурпле форма $\Omega\wedge \bar \Omega=\omega_1^2+\omega_2^2= 2\omega_1^2$ невырожденна.} {\бф \греен Шаг 4:} Значит, $\dim_\C \ker \Omega> 2$. Поскольку $\Omega$ симплектична на $TM/\ker \Omega$, пространство $\ker \Omega$ четномерно. Из шага 2 получаем, что $\dim \ker \Omega=2$ везде на $M$, то есть {\бф \ред $\ker \Omega$ есть двумерное подрасслоение в $TM\otimes_\R \C$.} {\бф \греен Шаг 5:} По формуле Картана, $ 0 = d\Omega(x,y,z) =\Lie_x \Omega(x,y) - \Lie_y \Omega(x,z)+ \text{\ \ \ \ \ \ \ } \Lie_z\Omega(x,y)+ \Omega([x,y],z) - \Omega(y,[x,z]) + \Omega(x,[y,z]).\ \ \ (*)$\\ Если $x, y \in \ker\Omega$, все слагаемые (*), кроме одного, автоматически зануляются, и мы получаем $\Omega([x,y],z)=0$ (для любого $z$), иначе говоря, $[x,y]\in \ker \Omega$, и {\бф \пурпле $\ker \Omega$ -- инволютивное подрасслоение.} {\бф \греен Шаг 6:} Локально, имеем $\Omega=\xi\wedge \zeta$. Если плоскость $\langle \xi, \zeta\rangle$, порожденная $\xi, zeta$, пересекается с $\langle \bar\xi, \bar\zeta\rangle$, мы получим $\Omega\wedge \bar \Omega=0$. В силу шага 3, это невозможно. Значит, {\бф \пурпле $\ker \Omega$ не пересекается с $\overline{\ker \Omega}$.} {\бф \греен Шаг 7:} Рассмотрим оператор $I:\; TM\arrow TM$, который равен $\1$ на $\ker \Omega$ и $-\1$ на $\overline{\ker \Omega}$. Поскольку $\bar I = I$, это оператор почти комплексной структуры. {\бф \ред $T^{1,0}M=\ker \Omega$ инволютивно, значит, $I$ интегрируема.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Отображение периодов для К3-поверхности} Мы получили такое следствие \утверждение Пусть $M$ -- К3-поверхность, а $V$ -- множество всех невырожденных комплексных 2-форм $\Omega\in \Lambda^2(M,\C)$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. Рассмотрим проективизацию ${\Bbb P}V:=V/\C^*$. Тогда {\бф \пурпле множество ${\Bbb P}V$ находится в биективном соответствии с множеством $\Comp(M)$ комплексных структур на $M$.} \определение Пусть $\Comp(M)$ есть множество всех интегрируемых почти комплексных структур на многообразии, с топологией, индуцированной топологией Фреше на пространстве тензоров. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich(M)$ комплексных структур есть факторпространство $\Comp(M)/\Diff_0(M)$, где $\Diff_0(M)$ есть {\бф \блуе группа изотопий} (связная компонента группы диффеоморфизмов). \определение Пусть $M$ есть К3-поверхность. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow {\Bbb P}H^2(M,\C)$ сопоставляет каждой комплексной структуре $I$ на $M$ прямую $H^{2,0}(M,I)\subset H^2(M,\C)$. \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов для К3-поверхности} \замечание Пусть $l\in \Per(\Teich(M))$ - класс когомологий в образе отображения периодов. Тогда $l\wedge l=0$ (потому что это (2,0)-форма) и $l\wedge \bar l>0$, потому что $l=\xi\wedge\zeta$ для каких-то $\xi,\zeta\in \Lambda^{1,0}(M,I)$ и и $l\wedge\bar l=\xi\wedge\zeta\wedge \bar\xi\wedge\bar\zeta$. локально в окрестности каждой точки $M$. \определение {\бф\блуе Пространство периодов} К3-поверхности есть пространство $\Perspace \subset {\Bbb P}H^2(M,\C)$ состоящее из всех прямых $\C\cdot l$ таких, что $l\wedge l=0$ и $l\wedge \bar l>0$. {\бф \блуе Отображение периодов} есть отображение $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$. Основной результат этой лекции: \теорема {\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} %\newpage % %{\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$ (повторение) } % %\определение Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие, %$I:\; TM \arrow TM$ -- {\бф \блуе оператор комплексной структуры}, %$I^2=-\Id_{TM}$. {\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется %формулой $d^c:=I^{-1} d I$. % %\утверждение %Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие. %Тогда {\bf \blue %$\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$ %-- компоненты в разложении Ходжа $d$}: %$\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. % %\теорема %Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие. %{\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны:} % %1. $I$ интегрируемо.\ \ 2. $\6^2=0$.\ \ %3. $\bar\6^2=0$.\ \ %4. $dd^c =- d^c d$\ \ %5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$. % % %\теорема {\бф \блуе ($dd^c$-лемма)}\\ %Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом %многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\ %1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. \\ 2. $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая. %\\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\ %{\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.} %\невпаге % %{\бф \блуе Теорема Кодаиры о стабильности} % %\теорема {\бф \блуе (Теорема Кодаиры о стабильности)}\\ %Пусть $M$ -- компактное многообразие, $I_t, g_t$ -- %семейство кэлеровых структур, параметризованное $t\in \R$, %а $[\omega_t']\in H^{1,1}(M,I_t)$ -- семейство классов %когомологий. Предположим, что $[\omega'_0]$ -- кэлеров класс. %{\бф \ред %Тогда $[\omega'_t]$ кэлеров для всех $t\in ]-\epsilon,\epsilon[$.} % %\дшаг %Пусть $\omega'_0\in \Lambda^{1,1}(M,I_t)$ -- кэлерова %форма, представляющая $[\omega'_0]$. %Обозначим за $h([\omega'_t])\in \Lambda^{1,1}(M,I_t)$ гармонический %представитель $[\omega_t']$. Поскольку разность %$\omega'_0-h([\omega'_0])$ точная и типа (1,1), %{\бф \пурпле $dd^c$-лемма дает $\omega'_0= h([\omega'_0])+ dd^c\psi$.} % %{\бф \греен Шаг 2:} %Рассмотрим следующую (1,1)-форму на $(M,I_t)$: %$h([\omega'_t])+ dd^c\psi$. Ее собственные значения, %для небольших $t$, близки к собственным значениям %$\omega'_0= h(\omega'_0)+ dd^c\psi$, то есть положительны. %{\бф \ред Значит, это кэлерова форма.} %\ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Невырожденная нульмерная квадрика} \лемма Пусть $V$ -- 2-мерное вещественное векторное пространство, снабженное положительно определенным скалярным произведением $q$, а $V_\C:= V \otimes_\R \C$ его комплексификация. Тогда \\ $\text{\ \ \ \ }$ в $V_\C$ {\бф \пурпле есть ровно двa одномерных подпространства $L_+, L_-\subset V_\C$ таких, что $q\restrict {V_\pm}=0$} \\ $\text{\ \ \ \ }$ {\bf \purple отображение $l \arrow \Re(l)$ задает изоморфизм между $L_{\pm}$ и $V$,} причем $L_+= \bar L_-$, и {\бф \ред $L_+$ и $L_-$ задают на $V$ противоположную ориентацию}. \доказательство Пусть $x,y$ -- ортонормированный базис в $V$. Тогда $q(ax+by)=a^2 + b^2$, и это зануляется, только если $a=\pm\1 b$. Получаем $L_+=\langle x+\1y\rangle$, $L_-=\langle x-\1y\rangle$, или наоборот. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов и $++$-грассманиан} Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство, снабженное скалярным произведением $q$. Обозначим за $\Perspace(V)$ множество прямых $l\in {\Bbb P}V_\C$, удовлетворяющих $q(l,l)=0$ и $q(l, \bar l)>0$, и пусть $\Gr_{+,+}(V)$ -- пространство ориентированных 2-мерных плоскостей $W\subset V$, таких, что $q\restrict W$ положительно определено. \утверждение Для каждого $W\in \Gr_{+,+}(V)$, рассмотрим оператор поворота на $\frac \pi 2$ против часовой стрелки: $I_W:\; W \arrow W$. Обозначим за $P(W)\in {\Bbb P}V_\C$ прямую, порожденную $x+ \1 I_W(x)$, для $x\in W$. Тогда {\бф \ред $P$ задает биекцию $P:\; \Gr_{+,+}(V)\arrow \Perspace(V)$.} \дшаг Пусть $l=x+ \1 I_W(x)$. Поскольку $q(l,l) = q(x,x)-q(x,x)=0$ и $q(l, \bar l)=q(x,x)+q(x,x)>0$, {\бф \пурпле $P$ отображает $\Gr_{+,+}(V)$ в $\Perspace(V)$.} {\bf \green Шаг 2:} Для каждой точки $W\subset \Gr_{+,+}(V)$ {\бф \пурпле прообраз $L_+\in \Perspace(V)$ единственный в силу предыдущей леммы.} \ендпрооф \следствие {\бф \ред Пространство периодов для К3-поверхности изоморфно $SO(19,3)/SO(2)\times SO(19,1)$.} \невпаге {\бф \блуе Пространство периодов и гиперкэлеровы структуры} \замечание Пусть $M$ -- К3, а $\Teich_h^{\Vol}(M)$ -- пространстве Тейхмюллера всех гиперкэлеровых структур $(M,I,J,K,g)$ таких, что $\Vol_g(M)=1$. Рассмотрим пространство $\St_3(H^2(M,\R))$ всех ортонормированных троек векторов в $H^2(M,\R)$. {\бф \пурпле Раньше было доказано, что $\Teich_h^{\Vol}(M)\stackrel \Per \longrightarrow \St_3(H^2(M,\R))$ -- открытое отображение.} Рассмотрим следующую диаграмму пространств Тейхмюллера и пространств периодов: {\small \[\begin{CD} \Teich_h^{\Vol}(M) @>\Per >> \St_3(H^2(M,\R))\\ @VVV @VVV\\ \Teich(M) @>\Per >> \Gr_{+,+}(V) \end{CD} \]} Здесь первая вертикальная стрелка переводит $(M,I,J,K,g)$ в $(M,I)$, вторая переводит $(\omega_I,\omega_J,\omega_K)\in \St_3(H^2(M,\R))$ в $\langle \omega_J,\omega_K\rangle$. \утверждение\\ {\бф \ред Все стрелки в этой диаграмме -- открытые отображения.} \доказательство Вертикальные стрелки представляют собой локально тривиальные расслоения, поэтому открыты, верхнее отображение периодов открыто, как было уже доказано, а нижнее открыто в силу коммутативности этой диаграммы. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Локальная теорема Торелли} \упражнение Пусть $M$ -- К3. Рассмотрим отображение периодов $\Psi:\; \Comp(M) \arrow \Perspace$. {\бф \ред Тогда все слои $\Psi$ локально линейно связны.} \указание Надо построить локально ретракцию из пространства невырожденных 2-форм в пространство $\widetilde \Comp(M)$ всех невырожденных, замкнутых 2-форм, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. \теорема {\бф \блуе (Локальная теорема Торелли для К3)} {\бф \ред Отображение периодов $\Teich(M)\stackrel \Per\longrightarrow\Perspace$ {\бф \блуе этально}, т.е. задается гомеоморфизмом в окрестности каждой точки $I\in\Teich(M)$.} \дшаг Поскольку $\Per$ открыто, и непрерывно, {\бф \пурпле достаточно показать, что в окрестности каждой точки $I\in \Teich(M)$ оно задает биекцию этой окрестности на ее образ.} \невпаге {\бф \блуе Локальная теорема Торелли (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим диаграмму { \[\begin{CD} \Comp(M) @>\Psi >> \Perspace \\ @V{\Psi_0} VV @V{\Id}VV\\ \Teich(M) @>\Per >> \Perspace \end{CD} \]} Осталось проверить, что {\бф \пурпле каждая связная компонента слоя $\Psi$ равна связной компоненте слоя $\Psi_0$, то есть орбите $\Diff_0(M)$.} {\бф \греен Шаг 3:} Как и в доказательстве теоремы Мозера, мы свели локальную теорему Торелли к следующему утверждению. {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $I_t:\; [0,1]\arrow \Comp(M)$ -- семейство комплексных структур на К3, причем периоды у них одинаковы. {\бф \ред Тогда существует семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, переводящих $I_0$ в $I_t$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера для отображения периодов} Комплексные структуры находятся в биективном соответствии ${\Bbb P}\widetilde \Comp(M)$, где $\widetilde \Comp(M)$ -- множество замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм $\Omega$, удовлетворяющих $\Omega^2=0$. Отображение периодов переводит $\Omega\in \widetilde \Comp(M)$ в его класс когомологий. Значит, Теорема 1 вытекает из следующей. {\бф \греен Теорема 2:} Пусть $\Omega_t:\; [0,1]\arrow \tilde\Comp(M)$ -- семейство замкнутых, невырожденных комплексных 2-форм, удовлетворяющих $\Omega^2=0$, причем класс когомологий $[\Omega_t]\in H^2(M,\C)$ не зависит от $t$. {\бф \ред Тогда существует семейство диффеоморфизмов $V_t\in \Diff_0(M)$, таких, что $V_t^*\Omega_0=\Omega_t$.} \дшаг Пусть $\Omega'_t:=\frac {d\Omega_t}{dt}$. Если найдется векторное поле $X_t$ такое, что $\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$, то \[ V_{t_1}^*\Omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\Omega_tdt = \int_{0}^{t_1}\frac {d\Omega_t}{dt} dt =\Omega_{t_1} \] для потока диффеоморфизмов $V_t$, полученного из формулы $\frac{dV_t}{dt}=X_t$. {\бф \ред Осталось найти $X_t$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера для отображения периодов (продолжение)} {\бф \ред Нам нужно найти векторное поле $X_t$ такое, что $\Lie_{X_t} \Omega_t = \Omega'_t$.}\\ {\бф \греен Шаг 2:} Отображение подстановки $\Lambda^{2,0}M\otimes_\R T_\R M\arrow \Lambda^{1,0}(M)$ сюрьективно {\бф \пурпле (проверьте).} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку $\Omega'_t$ точна, имеем $\Omega'_t= d\alpha_t$. Если $\alpha_t$ -- (1,0)-форма, ее можно получить как $\Omega_t\cntrct X_t$ в силу предыдущего шага, что дает $\Omega'_t=d\alpha_t = d(\Omega_t\cntrct X_t) = \Lie_{X_t}\Omega_t$. {\бф \ред Для доказательства осталось найти $\alpha_t \in \Lambda^{1,0}(M)$ такую, что $\Omega'_t= d\alpha_t$.} {\бф \греен Шаг 4:} Дифференцируя $\Omega_t^2=0$, получаем $\Omega'_t\wedge \Omega_t=0$. {\бф \пурпле Это дает $\Omega'_t\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$.} {\бф \греен Шаг 5:} В силу шага 3 и шага 4, {\бф \пурпле Теорема 2 следует из такой леммы.}\\ \лемма Пусть $M$ компактное кэлерово многообразие, а $\eta\in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$ -- точная. {\бф \ред Тогда $\eta = d\alpha$, для какой-то $\alpha \in \Lambda^{1,0}(M)$.} \дшаг Пусть $\eta=d\beta$, где $\beta=\beta^{1,0}+\beta^{0,1}$ Поскольку $\eta \in \Lambda^{1,1}(M) + \Lambda^{2,0}(M)$, имеем $\bar\6(\beta^{0,1})=0$. Первые когомологии комплекса $(\Lambda^{0,*}(M),\bar\6)$ зануляются, потому что $H^{0,1}(M)=0$, а значит, $\beta^{0,1}= \bar\6\psi$. {\бф \греен Шаг 2:} Получаем $\eta=d(\beta-d\psi)$, а $\beta-d\psi=\beta^{1,0}+\beta^{0,1} -\6\psi-\beta^{0,1}$ -- (1,0)-форма. \ендпрооф %\дшаг Обозначим за $I_t$ %комплексные структуры, которые заданы $\Omega_t$. %Пусть $[\omega]\in H^2(M,\R)$ -- %кэлеров класс на $(M,I_0)$. Поскольку %$H^{1,1}(M,I_t)= \langle [\Re\Omega_t], [\Im %\Omega_t]\rangle^\bot$, получаем, что {\bf \purple $[\omega]$ -- класс типа %(1,1) на $[0,1]$.} % %{\бф \греен Шаг 2:} %По теореме Кодаиры о стабильности, $[\omega]$ остается %кэлеровым на каком-то отрезке $[0,\epsilon]$. %В силу компактности $[0,1]$, %остаточно доказать, что искомый диффеоморфизм %$V_t$ существует на отрезке $[0,\epsilon]$. %Поэтому, {\bf \purple можно предположить, что класс %$[\omega]$ остается кэлеровым на отрезке $[0,1]$.} % % %\невпаге % %{\бф \блуе Теорема Мозера для отображения периодов (продолжение)} % % %{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $\omega_t$ % Риччи-плоские кэлеровы формы %на $(M,I_t)$, $[\omega_t]=[\omega]$. Применив теорему Мозера, можно %найти семейство диффеоморфизмов $V_t$, такое, что %$V_t^*\omega_t=\omega_0$. Иначе говоря, {\bf \red можно %считать форму $\omega:=\omega_t$ независимой от $t$.} % %{\бф \греен Шаг 4:} Пусть %$\Omega'_t:=\frac {d\Omega_t}{dt}$. %Поскольку $\Omega_t^2=0$ и %$\Omega_t\wedge \omega=0$, имеем %$\Omega'_t\wedge \Omega_t=0$ и %$\Omega'_t\wedge \omega=0$. % %{\бф \греен Шаг 5:} %Поскольку $\omega$ Риччи-плоская, %имеем $\Re\Omega_t\wedge \Re\Omega_t=\Im\Omega_t\wedge \Im\Omega_t= \omega^2$. %Дифференцируя, получаем %$\Re\Omega_t'\wedge \Re\Omega_t=\Im\Omega_t'\wedge \Im\Omega_t=0$. % % %{\бф \греен Шаг 6:} %Разложим $\Omega'_t$ по типам, %$\Omega'_t= \Omega'_t{}^{1,1} + \Omega'_t{}^{2,0}$. %В силу предыдущего шага, $\Omega'_t{}^{2,0}= f \1 \Omega_t$, %где $f$ есть вещественнозначная функция. % % % % % %Тогда $(\Omega_t')^2= (\Omega'_t{}^{1,1})^2$. % % %{\бф \греен Шаг 6:} Для (1,1)-формы $\eta$, удовлетворяющей %$\eta\wedge \omega=0$ (такие формы называются {\бф \блуе %примитивными}), имеем $\eta\wedge\eta = - |\eta|^2 \Vol_M$ %{\бф \ред (проверьте это)}. Поэтому %\[ 0=\int_M (\Omega'_t)^2 = \int_M(\Omega'_t{}^{1,1})^2 = % - \int_M|\Omega'_t{}^{1,1}|^2 \Vol_M, %\] %что дает $\Omega'_t{}^{1,1}=0$. % %{\бф \греен Шаг 7:} Мы получили, что $\Omega'_t$ %пропорциональна $\Omega_t$: $\Omega_t'=\lambda\Omega_t$. %Поскольку $0=\bar\6 \lambda \Omega_t=(\bar\6 %\lambda)\wedge \Omega_t$, {\бф \пурпле функция $\lambda$ %голоморфна, то есть постоянна.} {\бф \ред Значит, $\Omega_t'=0$ и $\Omega_t$ не %зависит от $t$.} \ендпрооф \end{document}