\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 5 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 5: многообразия Фреше и теорема Мозера} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 5 марта 2012 } \end{center} \newpage {\bf \blue Полунормы на векторном пространстве} {\bf \green Определение:} Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$. Функция $\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ называется {\bf \blue полунормой} на $V$, если имеет место следующее {\bf \purple Неравенство треугольника:} $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.\\ {\bf \purple Инвариантность относительно гомотетии:} $\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$. Векторное пространство с полунормой наделено {\бф \блуе полуметрикой,} по формуле $d(x,y) = \nu(x-y)$. {\bf \green Определение:} Множество векторов, удовлетворяющих $\nu(x)=0$, называется {\bf \blue нуль-пространством} полунормы. {\bf \green Замечание:} Отображение $V\arrow \underline V$ это отображение $V$ в его факторпространство по нуль-пространству, а $\underline V$ - нормированное векторное пространство. \определение Пусть $(V, \{\nu_\alpha\})$ -- пространство, снабженное системой полунорм. Последовательность $x_i$ {\бф \блуе сходится к $x$ в этой системе полунорм}, если $\lim_i \nu_\alpha(x_i-x)=0$ для всех полунорм $\nu_\alpha$. \newpage {\bf \blue Последовательности Коши} {\bf \green Определение:} Пусть $(M, \{d_\alpha\})$ пространство с семейством полуметрик, а $\{x_i\}$ -- последовательность точек в $M$. Говорится, что $\{x_i\}$ -- {\bf \blue последовательность Коши относительно этого семейства полуметрик}, если {\purple для каждого индекса $\alpha$, и для каждого $\epsilon >0$, почти все элементы $\{x_i\}$ лежат в $\epsilon$-шаре $B_{\epsilon,d_\alpha}(x)$.} Говорится, что $(M, \{d_\alpha\})$ {\bf \blue полно}, если {\purple каждая последовательность Коши имеет предел в топологии, заданной полуметриками.} \утверждение Пусть $(V, \{\nu_\alpha\})$ -- пространство с системой полунорм. Соответствующая {\бф \ред топология хаусдорфова тогда и только тогда, когда $\cap_\alpha N(\nu_\alpha)=0$,} где $N(\nu_\alpha)$ -- нуль-пространства норм $\nu_\alpha$. \ендпрооф \определение Система полунорм называется {\бф \блуе полной}, если каждая последовательность $\{x_i\}$, которая является последовательностью Коши относительно всех полунорм $\nu_\alpha$, сходится к какому-то $x\in V$. \newpage {\bf \blue Пространства Фреше} {\bf \green Определение:} Пусть $V$ -- топологическое векторное пространство с хаусдорфовой топологией. Напомним, что $V$ называется {\bf\blue пространством Фреше}, когда топология на $V$ может быть задана полной, счетной системой полунорм $\{\nu_\alpha\}$. \пример Пусть $M$ -- локально компактное топологическое пространство, а $V$ -- пространство непрерывных функций на $M$. Для каждого компактного подмножества $K \subset M$, рассмотрим полунорму на $V$, \[ |f|_K:=\sup_{x\in K} |f(x)| \] {\bf \green Определение:} Эта система полунорм задает на $V$ топологию, которая называется {\bf\blue топология равномерной сходимости на компактах}. {\bf\green Замечание:} {\bf \red Эта система полунорм полна.} Действительно, поточечный предел последовательности Коши существует, и непрерывен на каждом компакте. \newpage {\bf \blue Пространство гладких функций на отрезке} {\bf \green Определение:} Пусть $C^\infty([0,1])$ -- пространство гладких функций на отрезке. Рассмотрим, для каждого $n$, норму $|f|_{C^n}$, определенную следующим образом: \[ |f|_{C^0}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, \ \ |f|_{C^1}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+ |f'(x)|, \ \ ..., \] \[ |f|_{C^n}:= \sup_{x\in [0,1]} \sum_{i=0}^n |f^{(i)}(x)| . \] {\bf\green Утверждение:} \\ {\bf \red $C^\infty([0,1])$ с такой системой полунорм -- пространство Фреше.} {\bf \green Доказательство:} Поскольку \[ |\phi|_{C^n} \geq \left|\phi^{(k)}\right|_{C^{n-k}}, \] {\bf\purple для любой последовательности Коши $\{f_i\}$, $\{f_i^{(k)}\}$ -- тоже последовательность Коши.} Предел последовательности $\{f_i\}$ будет $k$-кратной первообразной для предела $\{f_i^{(k)}\}$, значит, предел $\{f_i\}$ -- гладкий. \newpage {\bf \blue Пространства Фреше и метрики} \утверждение Пусть $(V, \{\nu_i\})$ -- пространство, снабженное системой полунорм, а $d(x,y):= \sum_i \max\left (\nu_i(x,y), \frac 1 {2^i}\right)$. Тогда $d$ задает полуметрику на $V$. Более того, {\бф \пурпле $d$ - полная метрика тогда и только тогда, когда $(V, \{\nu_i\})$ -- пространство Фреше.} \доказательство Последовательность $\{x_i\}$ является последовательностью Коши относительно всех $\nu_\alpha$ тогда и только тогда, когда это последовательность Коши относительно $d$. \ендпрооф \определение {\бф\блуе Tрансляционно-инвариантная} значит "инвариантная относительно параллельных переносов". \теорема\\ Пусть $V$ -- локально выпуклое топологическое векторное пространство, причем топология на $V$ может быть задана полной, транс\-ля\-ционно-инва\-ри\-антной метрикой $d$. {\бф \ред Тогда $V$ есть пространство Фреше.} {\бф \греен Доказательство см. след. слайд.} \newpage {\bf \blue Пространства Фреше (второе определение)} \дшаг {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $B_\epsilon$ -- шар радиуса $\epsilon$ с центром в 0, $\tilde B_\epsilon$ - выпуклая оболочка $B_\epsilon\cup - B_\epsilon$, а \[ \nu_\epsilon(x) := \inf_{\lambda\in \R^{>0}}\left[\lambda^{-1}x\in \tilde B_\epsilon\right].\] {\бф \пурпле Поскольку $\tilde B_\epsilon$ выпуклый, $\nu_\epsilon$ -- полунорма.} {\бф \греен Шаг 3:} Последовательность $x_i$ сходится к 0 тогда и только тогда, когда для какой-то $\epsilon_i\arrow 0$, имеем $x_{i+j} \in B_{\epsilon_i}$, для всех $j\geq0$, что дает $\nu_{\epsilon_i}(x_{i+j}) \leq 1$. {\бф \греен Шаг 4:} В силу неравенства треугольника, $N B_\epsilon\supset B_{N\epsilon}$ для любого $n\in {\Bbb N}$, значит, $\nu_{N\epsilon}\geq N \nu_{\epsilon}$. Поэтому $\nu_{N\epsilon}(x_{i+j}) \leq 1$ дает $\nu_\epsilon(x_{i+j})\leq 1/N$. Значит, {\bf \purple последовательность $\{x_i\}$ сходится к нулю в каждой из норм.} \ендпрооф \замечание Можно определить пространства Фреше как {\бф \блуе локально выпуклые топологические векторные пространства, допускающие трансляционно-инвариантную, полную метрику.} \невпаге {\бф \блуе Дифференцирование в пространствах Фреше} \определение Пусть $U_i\subset F_i$, $i=1,2$ -- открытые подмножества пространств Фреше. Непрерывное отображение $f:\; U_1 \arrow U_2$ называется {\бф \блуе дифференцируемым}, если для любой точки $x\in U_1$ и любого вектора $v\in F_1$, существует предел $\lim_{t\arrow 0} \frac{f(x+tv)-f(x)}{t}$. Этот предел называется {\бф \блуе производной}, а соответствующее отображение $U_1\times F_1 \arrow F_2$ -- тоже производной, или {\бф \блуе дифференциалом}. \определение Отображение $f:\; U_1 \arrow U_2$ называется {\бф \блуе $k$-кратно дифференцируемым}, если $k-1$-я производная $f^{(k-1)}:\; U_1 \times F_1^{k-1} \arrow F_2$ задает дифференцируемое отображение на пространствах Фреше. В этой ситуации, {\bf \blue $k$-я производная} определяется как предел \[ f^{(k)}(x, \lambda_1, ..., \lambda_{k-1}, v):= \lim_{t\arrow 0} \frac{f^{(k-1)}(x+tv)(\lambda_1, ..., \lambda_{k-1})- f(x)(\lambda_1, ..., \lambda_{k-1})}{t} \] \определение Отображение $f:\; U_1 \arrow U_2$ {\бф \блуе гладко}, если оно $k$-кратно дифференцируемо, для любого $k>0$. \невпаге {\бф \блуе Многообразия Фреше} \определение {\бф \блуе Многообразие Фреше} есть топологическое пространство, снабженное атласом $\{U_i\}$, где каждая из карт $U_i$ реализована как открытое подмножество в каком-то пространстве Фреше, а все функции перехода гладкие. \определение {\бф \блуе Гладкое отображение} многообразий Фреше - такое, которое задается гладкими отображениями в каждой из карт. \определение Группа Ли-Фреше есть группа, снабженная структурой многообразия Фреше, таким образом, что все групповые операции являются гладкими. \замечание Заменив "Фреше" на "банаховы", получим определение {\бф \блуе банахова многообразия} и {\бф \блуе банаховой группы Ли}. \невпаге {\бф \блуе Примеры многообразий Фреше} \замечание Пусть $E \stackrel \pi \arrow X$ -- векторное расслоение на компактном многообразии. Тогда {\бф \пурпле пространство гладких сечений $E$ есть пространство Фреше.} Это доказывается тем же аргументом, который использовали, чтоб построить структуру Фреше на $C^\infty([0,1])$. \пример Пусть $E \stackrel \pi \arrow X$ -- морфизм многообразий, дифференциал которого всюду имеет максимальный ранг, $X$ компактно, а $\phi:\; X \arrow E$ -- сечение этой проекции. Легко видеть, что для подходящей окрестности $U$ образа $\phi$, проекция $U \stackrel \pi \arrow X$ -- локально тривиальное расслоение со слоем открытый шар. В силу предыдущего замечания, пространство сечений проекции $U \arrow X$ есть пространство Фреше. {\бф \пурпле Это задает атлас Фреше на пространстве сечений $\pi$,} превращая его в многообразие Фреше. \пример Пространство сечений гладкого расслоения $X\times Y \arrow Y$ отождествляется с пространством $\Map(X,Y)$ гладких отображений из $X$ в $Y$. Значит, {\бф \ред $\Map(X,Y)$ есть многообразие Фреше.} \невпаге {\бф \блуе Примеры многообразий Фреше (продолжение)} \пример Следовательно {\бф \пурпле группа диффеоморфизмов есть группа Фреше-Ли}. \пример Пусть $X$ -- гладкое многообразие. {\бф \ред Пространство всех гладких, компактных подмногообразий $Y \subset X$ -- многообразие Фреше.} Для каждого $Y\subset X$, выберем трубчатую окрестность $U \subset X$. Небольшие деформации $Y$ задаются сечениями проекции $U\arrow Y$, что определяет атлас. \замечание Замкнутое подпространство пространства Фреше - снова пространство Фреше. Фактор пространства Фреше по замкнутому подрпостранству является пространством Фреше. \пример {\бф \пурпле Пространство симплектических форм на компактном многообразии $M$ является многообразием Фреше.} В самом деле, оно открыто в пространстве всех замкнутых 2-форм. Отображение $d:\; \Lambda^2 M \arrow \Lambda^3 M$ непрерывно в топологии Фреше, значит его ядро замкнуто. \невпаге {\бф \блуе Теорема об обратной функции и повороты окружности} \замечание Теорема об обратной функции {\бф \ред неверна} для пространств Фреше. \пример Пусть $\Diff(S^1)$ -- группа диффеоморфизмов окружности, $\Lie(S^1)$ -- ее алгебра Ли, то есть пространство векторных полей, а $E(x):= e^x$ -- естественное отображение $\Lie(S^1)\arrow \Diff(S^1)$. Очевидно, что $E(x)$ гладко, и его производная в нуле -- тождественное отображение. \теорема {\bf \red Образ $E( \Lie(S^1))$ не содержит никакой открытой окрестности 1 в $\Diff(S^1)$.} \дшаг Любое векторное поле $v$ на $S^1$, не имеющее нулей, сопряжено постоянному. В самом деле, выберем на $S^1$ координаты таким образом, что $e^{tv}(0)=\lambda t$. В этих координатах, $v$ -- постоянное. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $f\in \Diff(S^1)$ -- экспонента векторного поля, не имеющего нулей. {\бф \purple Тогда $f$ сопряжен повороту.} \невпаге {\бф \блуе Теорема об обратной функции и повороты окружности \\ (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $f\in \Diff(S^1)$ -- экспонента векторного поля, не имеющего нулей. {\бф \purple Тогда $f$ сопряжен повороту.} {\бф \греен Шаг 3:} Если $f\in E( \Lie(S^1))$ -- диффеоморфизм без неподвижных точек, то он сопряжен повороту. Значит, {\бф \пурпле $f^n$ тождественный, либо не имеет неподвижных точек.} {\бф \греен Шаг 4:} В любой окрестности единицы содержится диффеоморфизм $f$, который не имеет неподвижных точек, при этом $f^N$ имеет неподвижную точку, и не тождественный. {\бф \ред Такой диффеоморфизм не может быть экспонентой.} \ендпрооф \замечание Правильная версия теоремы об обратной функции для пространств Фреше называется {\бф \блуе "теорема Нэша-Мозера"} и широко используется в разных науках. Эта теорема о морфизмах в категории {\бф \блуе "ручных многообразий Фреше"}, которая несколько уже, чем категория всех многообразий Фреше (группа и алгебра Ли диффеоморфизмов лежат в этой категории, а вот экспоненциальный морфизм - нет). {\бф \греен Ссылка:} {\small Richard S. Hamilton, {\em The inverse function theorem of Nash and Moser}, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 7, Number 1 (1982), 65-222. } \невпаге {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} \замечание Отныне и до конца лекции, {\бф \пурпле многообразие $M$ предполагается компактным.} \определение Пусть $\Diff_0(M)$ -- связная компонента группы диффеоморфизмов, а $\Symp$ -- многообразие Фреше всех симплектических форм на $M$. {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера $\Teich_s$ симплектических форм на $M$} есть фактор $\Teich_s:=\Symp/\Diff_0(M)$, с индуцированной топологией. \замечание Аналогичным образом определяется пространство Тейхмюллера комплексных структур, эрмитовых, кэлеровых, гиперкэлеровых и так далее. \невпаге {\бф \блуе Отображение периодов} \определение {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich_s\stackrel \Per \arrow H^2(M,\R)$ переводит симплектическую форму $\omega$ в ее класс когомологий $[\omega]$. \утверждение {\бф \ред Образ $\Per( \Teich_s)$ открыт в $H^2(M,\R)$ } \доказательство Введем на $M$ риманову метрику. Это позволяет говорить о {\бф \блуе "собственных значениях"} 2-формы. {\бф \греен Шаг 1:} Для каждой невырожденной формы $\omega$ с собственными значениями $\alpha_i$, {\бф \пурпле сумма $\omega+\eta$ невырождена, если все собственные значения $\eta$ меньше $\min |\alpha_i|$. } {\бф \греен Шаг 2:} Выберем какую-то метрику на $H^2(M,\R)$, пусть $V\subset \Lambda^2(M,\R)$ $b_1$-мерное пространство замкнутых форм, которое проектируется на $H^2(M,\R)$ изоморфно. Пусть $\alpha$ есть имфимум модулей всех собственных значений $\omega$ на $M$. Обозначим за $B$ единичный шар в $V$, и пусть $S$ есть супремум всех модулей собственных значений для всех $\eta\in B$. Тогда {\бф \пурпле для любой $\eta \in \frac{\alpha}{S} B$, сумма $\eta+\omega$ замкнута и невырождена.} {\бф \греен Шаг 3:} Значит, $\Teich_s\stackrel \Per \arrow H^2(M,\R)$ {\бф \пурпле сюрьективен на шаре $[\omega]+ \frac{\alpha}{S} B$ с центром в $[\omega]$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера и пространства Тейхмюллера} \теорема (Мозер) В какой-то окрестности $U\subset \Teich_s$ каждой точки $x\in\Teich_s$, {\бф \ред отображение периодов $\Teich_s\arrow H^2(M,\R)$ -- гомеоморфизм $U$ на его образ.} \замечание Таким образом, {\бф \пурпле пространство Тейхмюллера для симплектических структур на $M$ является многообразием.} Пусть $\Symp_\omega$ -- множество всех симплектических структур на $M$, класс когомологий которых равен $[\omega]$. Для доказательства теоремы Мозера {\бф \пурпле достаточно проверить, что $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega$ в какой-то окрестности $\omega$.} \теорема (теорема Мозера, вариант 2)\\ Пусть $\Symp_\omega^0$ -- связная компонента $\Symp_\omega$. {\бф \ред Тогда $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega^0$} \невпаге {\бф \блуе Теорема Мозера и локальная связность} Поскольку $\Symp_\omega$ -- открытая часть линейного пространства, $\Symp_\omega$ локально линейно связно. Поэтому {\бф \пурпле теорема Мозера следует из следующей теоремы.} \теорема {\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\ Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$. Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны. {\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм $\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.} {\бф \греен Доказательство:} Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения $\frac{d\Psi_t}{dt}=V_t$, где $V_t\in TM$ -- векторное поле, зависящее от параметра $t$. \невпаге {\бф \блуе Доказательство теоремы Мозера} \теорема {\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\ Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$. Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны. {\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм $\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.} {\бф \греен Доказательство:} Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения $\frac{d\Psi_t}{dt}=V_t$, где $V_t\in TM$ -- векторное поле, зависящее от параметра $t$. {\бф \греен Шаг 1:} Поскольку $\omega_t$ все когомологичны, форма $\frac {d\omega_t}{dt}$ точна. Значит, $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t\in \Lambda^1(M)$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $X_t$ -- векторное поле, такое, что $\omega_t\cntrct X_t=\eta_t$. По формуле Картана, $\Lie_{X_t}\omega_t= d(\omega_t\cntrct X_t)= d\eta_t =\frac {d\omega_t}{dt}$. {\бф \греен Шаг 3:} Интегрируя по $t$ обе части $\Lie_{X_t}\omega_t=\frac {d\omega_t}{dt}$, получаем \[ \Psi_{t_1}^*\omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\omega_tdt = \int_{0}^{t_1}\frac {d\omega_t}{dt} dt =\omega_{t_1} \] \endproof \end{document}