
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Map}{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 5 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 5: многообразия Фреше и теорема Мозера}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 5 марта 2012
}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Полунормы на векторном пространстве}

{\bf \green Определение:}
Пусть $V$ - векторное пространство над $\R$.
Функция $\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ называется 
{\bf \blue полунормой} на
$V$, если имеет место следующее 

{\bf \purple Неравенство треугольника:} $\nu (v+v') \leq \nu(v) + \nu(v')$.\\
{\bf \purple Инвариантность относительно гомотетии:}
$\nu(\lambda v) = |\lambda| \nu(v)$.

Векторное пространство с полунормой наделено 
{\бф \блуе полуметрикой,}
по формуле $d(x,y) = \nu(x-y)$. 

{\bf \green Определение:} Множество векторов,
удовлетворяющих $\nu(x)=0$, называется {\bf \blue
нуль-пространством} полунормы.

{\bf \green Замечание:} Отображение $V\arrow \underline V$
это отображение $V$ в его факторпространство по
нуль-пространству, а $\underline V$ - нормированное
векторное пространство.

\определение
Пусть $(V, \{\nu_\alpha\})$ -- пространство, снабженное
системой полунорм. Последовательность $x_i$ {\бф \блуе 
сходится к $x$ в этой системе полунорм}, если $\lim_i \nu_\alpha(x_i-x)=0$
для всех полунорм $\nu_\alpha$.

\newpage

{\bf \blue Последовательности Коши}


{\bf \green Определение:}
Пусть $(M, \{d_\alpha\})$ пространство с семейством
полуметрик, а $\{x_i\}$ -- последовательность точек в $M$.
Говорится, что $\{x_i\}$ -- {\bf \blue последовательность Коши
относительно этого семейства полуметрик}, если 
{\purple для каждого индекса $\alpha$, и для каждого $\epsilon >0$,
почти все элементы $\{x_i\}$ лежат в $\epsilon$-шаре 
$B_{\epsilon,d_\alpha}(x)$.} Говорится, что $(M, \{d_\alpha\})$
{\bf \blue  полно}, если {\purple  каждая последовательность Коши 
имеет предел в топологии, заданной полуметриками.}


\утверждение
Пусть  $(V, \{\nu_\alpha\})$ -- пространство с
системой полунорм. Соответствующая {\бф \ред топология хаусдорфова
тогда и только тогда, когда $\cap_\alpha N(\nu_\alpha)=0$,}
где $N(\nu_\alpha)$ -- нуль-пространства норм $\nu_\alpha$.
\ендпрооф

\определение
Система полунорм называется {\бф \блуе полной}, если
каждая последовательность $\{x_i\}$,
которая является последовательностью Коши
относительно всех полунорм $\nu_\alpha$,
сходится к какому-то $x\in V$.

\newpage

{\bf \blue Пространства Фреше}

{\bf \green Определение:}
Пусть $V$ -- топологическое векторное пространство
с хаусдорфовой топологией. Напомним, что
$V$ называется {\bf\blue пространством Фреше},
когда топология на $V$ может быть
задана полной, счетной системой полунорм
 $\{\nu_\alpha\}$.

\пример
Пусть $M$ -- локально компактное топологическое
пространство, а $V$ -- пространство непрерывных
функций на $M$. Для каждого компактного подмножества
$K \subset M$, рассмотрим полунорму на $V$,
\[
|f|_K:=\sup_{x\in K} |f(x)|
\]

{\bf \green Определение:}
Эта система полунорм задает на $V$ топологию,
которая называется
{\bf\blue топология равномерной сходимости на компактах}.

{\bf\green Замечание:} {\bf \red Эта 
система полунорм полна.} Действительно, поточечный
предел последовательности Коши существует,
и непрерывен на каждом компакте.

\newpage

{\bf \blue Пространство гладких функций на отрезке}

{\bf \green Определение:} Пусть $C^\infty([0,1])$ -- пространство
гладких функций на отрезке. Рассмотрим, для каждого $n$,
норму $|f|_{C^n}$, определенную следующим образом:
\[ |f|_{C^0}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, \ \ 
|f|_{C^1}= \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|+ |f'(x)|, \ \ ..., \]
\[ |f|_{C^n}:= \sup_{x\in [0,1]} \sum_{i=0}^n |f^{(i)}(x)| .
\] 

{\bf\green Утверждение:} \\ {\bf \red $C^\infty([0,1])$  с такой
системой полунорм -- пространство Фреше.}

{\bf \green Доказательство:} Поскольку
\[ |\phi|_{C^n} \geq \left|\phi^{(k)}\right|_{C^{n-k}},
\]
{\bf\purple для любой последовательности Коши $\{f_i\}$,
$\{f_i^{(k)}\}$ -- тоже последовательность Коши.}
Предел   последовательности $\{f_i\}$ будет $k$-кратной
первообразной для предела $\{f_i^{(k)}\}$, значит,
предел $\{f_i\}$ -- гладкий.

\newpage

{\bf \blue Пространства Фреше и метрики}

\утверждение
Пусть $(V, \{\nu_i\})$ -- пространство, снабженное
системой полунорм, а $d(x,y):= \sum_i \max\left (\nu_i(x,y),
\frac 1 {2^i}\right)$. Тогда $d$ задает полуметрику на $V$.
Более того, {\бф \пурпле $d$ - полная метрика тогда и только тогда, когда
$(V, \{\nu_i\})$ -- пространство Фреше.}

\доказательство 
Последовательность $\{x_i\}$ является последовательностью
Коши относительно всех $\nu_\alpha$ тогда и только тогда,
когда это последовательность Коши относительно $d$. \ендпрооф

\определение
{\бф\блуе Tрансляционно-инвариантная} значит
"инвариантная относительно параллельных переносов".


\теорема\\
Пусть $V$ -- локально выпуклое 
топологическое векторное пространство,
причем топология на $V$ может быть задана 
полной, транс\-ля\-ционно-инва\-ри\-антной метрикой $d$.
{\бф \ред Тогда $V$ есть пространство Фреше.}

{\бф \греен Доказательство см. след. слайд.}

\newpage

{\bf \blue Пространства Фреше (второе определение)}


\дшаг

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $B_\epsilon$ -- шар радиуса $\epsilon$ с центром в 0,
 $\tilde B_\epsilon$ -  выпуклая оболочка $B_\epsilon\cup - B_\epsilon$,
а \[ \nu_\epsilon(x) := 
\inf_{\lambda\in \R^{>0}}\left[\lambda^{-1}x\in \tilde B_\epsilon\right].\]
{\бф \пурпле Поскольку $\tilde B_\epsilon$ выпуклый, 
$\nu_\epsilon$ -- полунорма.}

{\бф \греен Шаг 3:} 
Последовательность $x_i$ сходится
к 0 тогда и только тогда, когда для какой-то
$\epsilon_i\arrow 0$, 
имеем $x_{i+j} \in B_{\epsilon_i}$, для всех $j\geq0$,
что дает $\nu_{\epsilon_i}(x_{i+j}) \leq 1$.

{\бф \греен Шаг 4:} В силу неравенства треугольника,
$N B_\epsilon\supset B_{N\epsilon}$ для любого $n\in {\Bbb N}$, значит, 
$\nu_{N\epsilon}\geq N \nu_{\epsilon}$. Поэтому 
$\nu_{N\epsilon}(x_{i+j}) \leq 1$ дает
$\nu_\epsilon(x_{i+j})\leq 1/N$.
Значит, {\bf \purple последовательность $\{x_i\}$
сходится к нулю в каждой из норм.}
\ендпрооф

\замечание
Можно определить пространства Фреше
как {\бф \блуе  локально выпуклые топологические векторные пространства,
допускающие трансляционно-инвариантную,
полную метрику.}


\невпаге

{\бф \блуе Дифференцирование в пространствах Фреше}

\определение
Пусть $U_i\subset F_i$, $i=1,2$ -- открытые подмножества пространств Фреше.
Непрерывное отображение $f:\; U_1 \arrow U_2$ называется
{\бф \блуе дифференцируемым}, если для любой точки $x\in U_1$ и 
любого вектора $v\in F_1$, существует предел 
$\lim_{t\arrow 0} \frac{f(x+tv)-f(x)}{t}$. Этот предел
называется {\бф \блуе производной}, а соответствующее
отображение $U_1\times F_1 \arrow F_2$ -- тоже
производной, или {\бф \блуе дифференциалом}.

\определение
Отображение  $f:\; U_1 \arrow U_2$ называется {\бф \блуе $k$-кратно
дифференцируемым}, если $k-1$-я производная
$f^{(k-1)}:\; U_1 \times F_1^{k-1} \arrow F_2$ 
задает дифференцируемое отображение на пространствах Фреше.
В этой ситуации, {\bf \blue $k$-я производная} определяется
как предел
\[
f^{(k)}(x, \lambda_1, ..., \lambda_{k-1}, v):=
\lim_{t\arrow 0} \frac{f^{(k-1)}(x+tv)(\lambda_1, ..., \lambda_{k-1})-
f(x)(\lambda_1, ..., \lambda_{k-1})}{t}
\]

\определение
Отображение $f:\; U_1 \arrow U_2$ {\бф \блуе гладко},
если оно $k$-кратно дифференцируемо, для любого $k>0$.

\невпаге

{\бф \блуе Многообразия Фреше}

\определение
{\бф \блуе Многообразие Фреше} есть топологическое
пространство, снабженное атласом $\{U_i\}$, где каждая
из карт $U_i$ реализована как открытое подмножество 
в каком-то пространстве Фреше, а все функции перехода
гладкие.

\определение
{\бф \блуе Гладкое отображение}
многообразий Фреше - такое,
которое задается гладкими отображениями в каждой из карт.

\определение
Группа Ли-Фреше есть группа, снабженная
структурой многообразия Фреше, таким образом,
что все групповые операции являются гладкими.

\замечание
Заменив "Фреше" на "банаховы", получим определение
{\бф \блуе банахова многообразия} и {\бф \блуе банаховой группы Ли}.


\невпаге

{\бф \блуе Примеры многообразий Фреше}

\замечание
Пусть $E \stackrel \pi \arrow X$ -- 
векторное расслоение на компактном многообразии. 
Тогда {\бф \пурпле пространство
гладких сечений $E$ есть пространство
Фреше.} Это доказывается тем же аргументом,
который использовали, чтоб построить структуру
Фреше на $C^\infty([0,1])$.

\пример
Пусть $E \stackrel \pi \arrow X$ -- морфизм
 многообразий, дифференциал
которого всюду имеет максимальный ранг, $X$ компактно, а
$\phi:\; X \arrow E$ -- сечение этой проекции.
Легко видеть, что для подходящей окрестности $U$
образа $\phi$, проекция $U \stackrel \pi \arrow X$ -- локально
тривиальное расслоение со слоем открытый шар.
В силу предыдущего замечания, пространство
сечений проекции $U  \arrow X$ есть пространство
Фреше. {\бф \пурпле Это задает атлас Фреше
на пространстве сечений $\pi$,} превращая
его в многообразие Фреше.

\пример
Пространство сечений гладкого расслоения
$X\times Y \arrow Y$ отождествляется с пространством
$\Map(X,Y)$ гладких отображений из $X$ в $Y$.
Значит, {\бф \ред $\Map(X,Y)$ есть многообразие Фреше.}


\невпаге

{\бф \блуе Примеры многообразий Фреше (продолжение)}

\пример
Следовательно {\бф \пурпле группа диффеоморфизмов
есть группа Фреше-Ли}.

\пример
Пусть $X$ -- гладкое многообразие.
{\бф \ред Пространство всех гладких, компактных подмногообразий
 $Y \subset X$ -- многообразие Фреше.} Для каждого
$Y\subset X$, выберем трубчатую окрестность
$U \subset X$. Небольшие деформации $Y$
задаются сечениями проекции $U\arrow Y$,
что определяет атлас.

\замечание
Замкнутое подпространство пространства Фреше - снова
пространство Фреше. Фактор пространства Фреше
по замкнутому подрпостранству является пространством
Фреше.

\пример {\бф \пурпле Пространство симплектических
форм на компактном многообразии
$M$ является многообразием Фреше.}
В самом деле, оно открыто в пространстве
всех замкнутых 2-форм. Отображение
$d:\; \Lambda^2 M \arrow \Lambda^3 M$
непрерывно в топологии Фреше, значит
его ядро замкнуто.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема об обратной функции и повороты окружности}

\замечание Теорема об обратной функции
{\бф \ред неверна} для пространств Фреше.

\пример Пусть $\Diff(S^1)$ -- группа диффеоморфизмов
окружности, $\Lie(S^1)$ -- ее алгебра Ли, то есть
пространство векторных полей, а $E(x):= e^x$ --
естественное отображение $\Lie(S^1)\arrow \Diff(S^1)$.
Очевидно, что $E(x)$ гладко, и его производная
в нуле -- тождественное отображение.

\теорема
{\bf \red Образ $E( \Lie(S^1))$ не содержит никакой открытой
окрестности 1 в $\Diff(S^1)$.}

\дшаг 
Любое векторное поле $v$ на $S^1$, не имеющее нулей,
сопряжено постоянному. В самом деле, выберем на
$S^1$ координаты таким образом, что $e^{tv}(0)=\lambda t$.
В этих координатах, $v$ -- постоянное.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $f\in \Diff(S^1)$ --
экспонента векторного поля, не имеющего
нулей. {\бф \purple Тогда $f$ сопряжен повороту.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема об обратной функции и повороты
окружности \\ (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $f\in \Diff(S^1)$ --
экспонента векторного поля, не имеющего
нулей. {\бф \purple Тогда $f$ сопряжен повороту.}

{\бф \греен Шаг 3:} Если $f\in E( \Lie(S^1))$ --
диффеоморфизм без неподвижных точек, то он сопряжен повороту.
Значит, {\бф \пурпле $f^n$ тождественный, либо не имеет неподвижных точек.}

{\бф \греен Шаг 4:} В любой окрестности единицы содержится
диффеоморфизм $f$, который не имеет неподвижных точек, при этом
$f^N$ имеет неподвижную точку, и не тождественный. {\бф \ред Такой диффеоморфизм
не может быть экспонентой.}
\ендпрооф

\замечание
Правильная версия теоремы об обратной функции
для пространств Фреше называется {\бф \блуе "теорема Нэша-Мозера"}
и широко используется в разных науках. Эта теорема о морфизмах
в категории {\бф \блуе "ручных многообразий Фреше"}, которая несколько уже,
чем категория всех многообразий Фреше (группа и алгебра Ли 
диффеоморфизмов лежат в этой категории, а вот экспоненциальный
морфизм - нет).

{\бф \греен Ссылка:} 
{\small Richard S. Hamilton, 
{\em The inverse function theorem of Nash and Moser},
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 7, Number 1 (1982), 65-222. }


\невпаге

{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера}

\замечание
Отныне и до конца лекции, {\бф \пурпле многообразие
$M$ предполагается компактным.}

\определение
Пусть $\Diff_0(M)$ -- связная компонента группы
диффеоморфизмов, а $\Symp$ -- многообразие
Фреше всех симплектических форм на $M$.
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера $\Teich_s$ симплектических
форм на $M$} есть фактор $\Teich_s:=\Symp/\Diff_0(M)$,
с индуцированной топологией.

\замечание
Аналогичным образом определяется
пространство Тейхмюллера комплексных
структур, эрмитовых, кэлеровых, гиперкэлеровых
и так далее.

\невпаге

{\бф \блуе Отображение периодов}

\определение
{\бф \блуе Отображение периодов} 
$\Teich_s\stackrel \Per \arrow H^2(M,\R)$ переводит
симплектическую форму $\omega$ в ее класс когомологий
$[\omega]$.

\утверждение
{\бф \ред Образ $\Per( \Teich_s)$ открыт в $H^2(M,\R)$ }

\доказательство
Введем на $M$ риманову метрику. Это позволяет
говорить о {\бф \блуе "собственных значениях"} 2-формы.

{\бф \греен Шаг 1:} Для каждой невырожденной
формы $\omega$ с собственными значениями
$\alpha_i$, {\бф \пурпле сумма $\omega+\eta$ невырождена,
если все собственные значения $\eta$ меньше
$\min |\alpha_i|$. }

{\бф \греен Шаг 2:} Выберем какую-то метрику
на $H^2(M,\R)$, пусть $V\subset \Lambda^2(M,\R)$
$b_1$-мерное пространство замкнутых форм, которое
проектируется на $H^2(M,\R)$ изоморфно.  Пусть
$\alpha$ есть имфимум модулей всех собственных 
значений $\omega$ на $M$. Обозначим
за $B$ единичный шар в $V$, и пусть $S$ есть супремум всех
модулей собственных значений для всех $\eta\in B$. Тогда
{\бф \пурпле для любой $\eta \in \frac{\alpha}{S} B$, сумма
$\eta+\omega$ замкнута и невырождена.}

{\бф \греен Шаг 3:} Значит, $\Teich_s\stackrel \Per \arrow H^2(M,\R)$
{\бф \пурпле сюрьективен на шаре $[\omega]+ \frac{\alpha}{S} B$ с центром
в $[\omega]$.} \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Мозера и пространства Тейхмюллера}

\теорема
(Мозер)
В какой-то окрестности $U\subset \Teich_s$ каждой точки $x\in\Teich_s$,
{\бф \ред отображение периодов $\Teich_s\arrow H^2(M,\R)$ --
гомеоморфизм $U$ на его образ.}

\замечание
Таким образом, {\бф \пурпле пространство Тейхмюллера
для симплектических структур на $M$ является многообразием.}


Пусть $\Symp_\omega$ -- множество всех симплектических
структур на $M$, класс когомологий которых равен $[\omega]$.
Для доказательства теоремы Мозера {\бф \пурпле достаточно проверить, что
$\Diff_0(M)$ действует транзитивно на $\Symp_\omega$
в какой-то окрестности $\omega$.}

\теорема
(теорема Мозера, вариант 2)\\
Пусть $\Symp_\omega^0$ -- связная компонента
$\Symp_\omega$. {\бф \ред Тогда $\Diff_0(M)$ действует транзитивно на 
$\Symp_\omega^0$}


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Мозера и локальная связность}


Поскольку $\Symp_\omega$ -- открытая часть линейного
пространства, $\Symp_\omega$ локально
линейно связно.


Поэтому {\бф \пурпле теорема Мозера следует из следующей теоремы.}

\теорема
{\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\
Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических
форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$.
Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны.
{\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм
$\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.}

{\бф \греен Доказательство:}
Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения
$\frac{d\Psi_t}{dt}=V_t$, где $V_t\in TM$ -- векторное
поле, зависящее от параметра $t$.

\невпаге

{\бф \блуе Доказательство теоремы Мозера}


\теорема
{\бф \блуе (теорема Мозера, канонический вариант)}\\
Пусть $\omega_t$ -- семейство симплектических
форм на $M$, гладко зависящих от параметра $t$.
Предположим, что все $\omega_t$ когомологичны.
{\бф \ред Тогда найдется диффеоморфизм
$\Psi_t\in \Diff_0(M)$, такой, что $\Psi_t^*\omega_0=\omega_t$.}

{\бф \греен Доказательство:}
Мы построим $\Psi_t$ как решение уравнения
$\frac{d\Psi_t}{dt}=V_t$, где $V_t\in TM$ -- векторное
поле, зависящее от параметра $t$.

{\бф \греен Шаг 1:} Поскольку $\omega_t$ все
когомологичны, форма $\frac {d\omega_t}{dt}$ точна.
Значит, $\frac {d\omega_t}{dt}=d \eta_t$, где $\eta_t\in
\Lambda^1(M)$.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $X_t$ -- векторное поле,
такое, что $\omega_t\cntrct X_t=\eta_t$. По формуле Картана,
$\Lie_{X_t}\omega_t= d(\omega_t\cntrct X_t)= d\eta_t =\frac {d\omega_t}{dt}$.

{\бф \греен Шаг 3:} Интегрируя по $t$ обе части
$\Lie_{X_t}\omega_t=\frac {d\omega_t}{dt}$, получаем
\[
 \Psi_{t_1}^*\omega_0 = \int_{0}^{t_1}\Lie_{X_t}\omega_tdt
  = \int_{0}^{t_1}\frac {d\omega_t}{dt} dt =\omega_{t_1}
\]
\endproof




\end{document}
