
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 4 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 4: связность Леви-Чивита и локальная теорема Торелли}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 27 февраля 2012
}
\end{center}

\невпаге

{\bf \blue Связность на расслоении}

{\small \замечание
{\бф \red Пространство сечений расслоения $B$ на гладком
многообразии обозначается $B$.}}

\определение
{\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$
есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$
удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
для любых  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\замечание
Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то 
{\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное 
как $\langle\nabla b, X\rangle$.}

\замечание
{\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном
расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле
\[ 
  \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle
  = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle).
\]

\замечание
Для любого тензорного расслоения
${\cal B}_1:=
B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$
{\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$}
по {\бф \блуе формуле Лейбница:}
\[
\nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2).
\]

\замечание
Связности образуют {\бф \ред аффинное пространство} над
пространством сечений расслоения $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.


\newpage

{\bf \blue Формула Картана}

\утверждение
Для любого $\eta \in \Lambda^1 M$, и $X,Y\in TM$
имеем
{\бф \блуе\[
d\eta(X,Y) = \eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)).
\]}

\доказательство

1. {\бф \пурпле Обе стороны уравнения удовлетворяют правилу Лейбница.}

3. {\бф \пурпле Для  $\eta=df$, обе стороны уравнения равны нулю. }

4. Дифференциал де Рама есть {\бф \ред единственное} отображение
\[ d:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^{*+1}(M), \]
удовлетворяющее правилу Лейбница и $d^2=0$.


\newpage

{\bf \blue Кручение}

\определение 
Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, 
\[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\]
 {\бф\блуе Кручение $\nabla$} 
задается формулой $\Alt \circ \nabla - d$,
где $\Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$
- внешнее умножение. Кручение есть отображение
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.

\замечание
\begin{align*}
T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\
= &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta=
f T_\nabla(\eta).
\end{align*}
{\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.}

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}

\newpage

{\bf \blue Кручение и коммутатор векторных полей}

\замечание
По формуле Картана,
\begin{align*}
T_\nabla(\eta)(X,Y) = &\nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X)-
d\eta(X,Y) \\ =& \nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X)
-\eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)).
\end{align*}
С другой стороны,
$\nabla_X(\eta)(Y)= \Lie_X(\eta(Y)) - \eta(\nabla_X(Y))$.
Сравнивая и сокращая $\Lie_X(\eta(Y))$,  $\Lie_Y(\eta(X))$,
получаем
\[
T_\nabla(\eta)(X,Y)=\eta\bigg(\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg).
\]
{\бф \ред Кручение часто определяют как отображение
$\Lambda^2 TM \arrow TM$ формулой
$\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]$.}
{\бф \блуе Это оператор, двойственный определенному выше.}

\невпаге

{\bf \blue Аффинные пространства}

\определение
{\бф \блуе Торсор} над группой $G$ есть пространство
$X$, снабженное свободным и транзитивным действием $G$,
$g,x \arrow \rho(g,x).$

\определение
{\бф \блуе Морфизм} торсоров $(X,G,\rho) \stackrel \Psi \arrow (X',G',\rho')$
есть пара $\Psi_X:\; X\arrow X', \Psi_G:\; G \arrow G'$,
где $\Psi_G$ есть гомоморфизм групп, и согласованное
с действием $G,G'$ на $X, X'$ так:
$\Psi_X(\rho(g,x)) = \rho'(\Psi_G(g),\Psi_X(x))$

\замечание
{\бф \пурпле Торсоры образуют категорию.}

\определение
{\бф \блуе Аффинное пространство} есть
торсор над линейным пространством $V$,
которое называется его {\бф \блуе линеаризацией}.

\замечание
{\бф \пурпле Действие $V$ на $A$ обозначается $a,v \arrow a +v$.}

\определение
{\бф\блуе Морфизм} аффинных пространств есть
морфизм соответствующих торсоров.


\замечание
Это то же самое, что 
отображение $A \stackrel {\Psi_A} \arrow A'$, плюс гомоморфизм
линеаризаций $L\stackrel {\Psi_L} \arrow L'$
такой, что $\Psi_A(a+l) = \Psi_A(a) + \Psi_L(l)$.

\newpage

{\bf \blue Линеаризация кручения}


\замечание
Если $\nabla_1$ и $\nabla_2$ -- связности на расслоении
$B$, их разность есть сечение $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.
{\бф \блуе Пространство ${\cal A}(B)$ связностей на $B$
есть аффинное пространство}, то есть торсор над 
пространством сечений $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$.

\замечание
{\бф \пурпле Кручение есть аффинное отображение}
\[ {\cal A}(\Lambda^1 M) 
\arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M .
\]
потому что $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$,
где $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow
\Lambda^2M \otimes TM$ есть альтернирование по первым двум индексам.

\определение
{\бф \блуе Линеаризованное кручение} есть отображение\\
$T_{lin}=\Alt$,
\[
T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM
\arrow \Lambda^2 M  \otimes TM
\]
полученное как линеаризация кручения.


\newpage

{\bf \blue Связность Леви-Чивита}

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\утверждение
Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Тогда на 
$B$ всегда существует ортогональная связность.}

\доказательство
Выберем покрытие $\{U_i\}$, в котором $B$
тривиально и допускает ортонормальный базис.
На каждом $U_i$ выберем связность $\nabla_i$,
которая сохраняет этот базис. Пусть $\psi_i$ --
разбиение единицы, подчиненное $\{U_i\}$.
Тогда {\бф \пурпле формула $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$
определяет ортогональную связность} (проверьте это). 
\endproof

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}




\newpage

{\bf \blue Связность Леви-Чивита (существование и единственность)}


\доказательство
Выберем ортогональную связность $\nabla$ на $\Lambda^1 M$.
Пространство ортогональных связностей -- аффинное, и {\бф
\пурпле его линеаризация есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.}

{\бф \греен Шаг 1:} Отождествляя $TM$ и $\Lambda^1 M$, получаем
${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$.

{\бф \греен Шаг 2:} Линеаризованное кручение есть 
отображение
\[ T_{lin} :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)=
\Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M
\stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M =
\Lambda^2 M \otimes T M.
\]
{\бф \ред Это изоморфизм.} Справа и слева
расслоения одной размерности, так что {\бф \пурпле достаточно
доказать, что $T_{lin}$ нет ядра.} Но если $\eta \in \ker T_{lin}$,
{\бф \греен $\eta$ симметрична по первым двум аргументам
и кососимметрична по последним,} что дает
$\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$
{\бф \пурпле То есть $\sigma(\eta) =-\eta$, где $\sigma$ есть
циклическая перестановка аргументов.} Поскольку
$\sigma^3=1$, из этого следует, что $\eta=0$.

{\bf \green Шаг 3:} 
Мы получили, что {\бф \purple ортогональная связность
однозначно задается своим кручением,} ибо кручение задает изоморфизм
аффинных пространств.

{\бф \греен Шаг 4:} Возьмем $\nabla:= \nabla_0 -T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0})$.
Тогда $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_{lin}(T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$,
значит {\bf \red $\nabla$ -- связность без кручения}. \endproof


\newpage

{\bf \blue Кривизна связности (повторение)}

\определение
Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность
на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на
формах
\[
B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ...
\]
по формуле 
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$.
Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$
называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$.

\замечание 
Из соотношения $\nabla \circ \nabla^2 = \nabla^2\circ \nabla$
следует  {\бф \блуе тождество Бианки}:
$\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.

Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально,
и $\Theta_B$ есть 2-форма. 

\утверждение
{\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.}

\доказательство Для любой $2i$-формы $\theta$ имеем 
$\nabla(\theta \wedge \eta) = d\theta \wedge \eta +
\theta \wedge \nabla(\eta)$ (правило Лейбница). Тождество
Бьянки дает $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.
Следовательно, $d\Theta_B=0$. \ендпрооф

\определение
Класс когомологий $\frac{\1}{2\pi}[\Theta_B]$
называется {\бф \блуе первым классом Черна} линейного расслоения.

\невпаге

{\бф \блуе Первый класс Черна (повторение)}

\замечание
Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии,
$U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано,
а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные
на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении
$U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем
$\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}=
\phi_{\alpha\gamma}$
то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный
1-коцикл.}

\утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений
взаимно однозначно соответствуют  $H^1(M, (C^\infty
M)^*)$.}

\замечание
Из экспоненциальной точной последовательности
\[ 
0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0,
\] 
{\бф \пурпле получаем 
$0 \arrow H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z) \arrow 0$.}

\замечание Из определения ясно, что
{\bf \purple комплексное линейное расслоение топологически тривиально
$\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.}

\невпаге

{\бф \блуе Формула Гаусса-Бонне (повторение)}

\теорема
(Гаусс-Бонне)\\
При естественном отображении \[ H^2(M, \Z)\arrow H^2(M, \R)\]
класс $c_1^\Z(B)\in H^2(M, \Z)$
{\бф \ред переходит в класса Черна $c_1(B)\in H^2(M,\R)$,
выраженный через кривизну.}

\определение
Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное  кэлерово многообразие,
а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое
расслоение}, с естественной голоморфной структурой, заданной
оператором $\bar\6:\; \Lambda^{n,0}(M)\arrow
\Lambda^{n,1}(M)=\Lambda^{n,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)$.


\определение
{\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного
многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$.

\определение
{\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное
кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Калаби-Яу (повторение)}


\определение
{\бф\блуе  Кэлеров класс} $[\omega]\in H^2(M)$ 
кэлерова многообразия есть класс когомологий 
кэлеровой формы $\omega$.


\замечание
Если задана вещественная $(1,1)$-форма
$\eta$, ей соответствует симметрическая 
2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$.
{\bf \purple Это задает биекцию между
вещественными $(1,1)$-формами и 
$I$-инвариантными симметрическими 
2-формами} (проверьте это).

\определение
Зададим на каноническом расслоении эрмитову метрику
по формуле 
\[ (\alpha, \alpha') \arrow \frac{\alpha\wedge \bar
\alpha'}{\omega^n}.
\]
и пусть  $\Theta_K$ -- кривизна соответствующей
связности Черна. {\бф \блуе Кривизна Риччи $M$}
есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$.

\определение
Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если
ее кривизна Риччи равна нулю.

\теорема
(Калаби-Яу) 
Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда
существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика
в каждом кэлеровом классе.}

\newpage

{\бф \блуе  K3-поверхности (повторение)}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухсдаль-Ламари).

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

\замечание
Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$,
значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова
характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$.

Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности:
\[\begin{array}{ccccc}
&&1&&\\
&0&&0&\\
1&&20&&1\\
&0&&0&\\
&&1&&\\
\end{array}
\]

\утверждение
{\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.}

\newpage

{\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие}
есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами
$I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют 
кватернионным соотношениям:  $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$.
{\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие}
есть гиперкомплексное многообразие, снабженное
римановой метрикой $g$, которая кэлерова
по отношению к $I,J,K$.

\замечание
Кэлеровость $I$ равносильна условию $\nabla(I)=0$,
где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита,
a гиперкэлеровость -- {\бф \ред условию
$\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$
плюс кватернионные соотношения.}


\определение
Пусть $h\in {\Bbb H}$ -- унитарный кватернион, а
$(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерово многообразие. Тогда
$(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ -- тоже гиперкэлерово
многообразие ({\бф \ред проверьте это}). Многообразия
$(M,I,J,K,g)$  и $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$
называются {\бф \блуе эквивалентными}.


\невпаге

{\бф \блуе  Гиперкэлеровы структуры на К3-поверхности (повторение)}

\теорема
Пусть $(M,I,g)$ -- К3-поверхность, где $g$ -- 
кэлерова метрика. Тогда {\бф \ред $M$ допускает гиперкэлерову структуру
$(M,I,J,K,g)$ тогда и только тогда, когда $g$
Риччи-плоская}.

Выведем, для примера, из гиперкэлеровой структуры риччи-плоскость метрики.

{\бф \греен Шаг 1:}
Пусть $(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерова метрика на К3. 
Пусть {\бф \пурпле $z_1, z_2$ --
ортонормированный базис в $\Lambda_x^{1,0}M$ такой, что 
$J(z_1)=\bar z_2$} (поскольку $IJ=-JI$, оператор $J$
отображает $\Lambda^{1,0}$ в $\Lambda^{0,1}$).

{\бф \греен Шаг 2:} Записав $z_1 = e_1+\1 e_2$ и
$z_2= e_3+\1 e_4$, получаем $I(e_1)=e_2, I(e_2)=-e_1$.
Аналогично, $J(e_1)=e_3, J(e_2)=e_4$ и т.д. Словом,
{\бф \пурпле $I,J,K$ действуют на векторах $\pm e_i$ перестановками}
(допишите это действие самостоятельно).

{\бф \греен Шаг 3:}
Рассмотрим кэлеровы формы, связанные с $I,J,K$:
$\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$. Они очень просто
записываются в этом базисе:
$\omega_I=e_1 \wedge e_2 + e_3\wedge e_4$,
$\omega_J=e_1 \wedge e_3 + e_2\wedge e_4$,
$\omega_K=e_1 \wedge e_4 - e_2\wedge e_3$.
Это дает $\omega_J+ \1 \omega_K = z_1 \wedge z_2$.
Мы получили сечение канонического расслоения.
Поскольку $\nabla \Omega=0$, {\бф \пурпле это сечение
имеет постоянную длину, голоморфно, и метрика $g$ риччи-плоская.} \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе  Гиперкэлеровы структуры на К3-поверхности:
существование и единственность}

\теорема
Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $[\omega]\in H^2(M,\R)$ ee 
кэлеров класс,  $\Omega$ -- голоморфная симплектическая
форма. Предположим, что $\Re\Omega^2=[\omega]^2$. Тогда
{\бф \ред на $(M,I)$ существует и единственна гиперкэлерова
структура, такая, что $[\omega_I]=[\omega]$,
$\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$.}

\дшаг
Выберем риччи-плоскую метрику $g$ в том же кэлеровом классе.
Она существует и единственна (Калаби-Яу). {\бф \пурпле Гиперкэлерова метрика
должна быть риччи-плоской,} что доказывает единственность
такой метрики.

{\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим $\omega_I$, $\omega_J$,
$\omega_K$ как гомоморфизмы из $TM$ в $T^*M$. Тогда
$\omega_I\circ \omega_J^{-1}=K$, $\omega_J\circ
\omega_K^{-1}=I$, $\omega_K\circ \omega_I^{-1}=J$
(проверьте это). Значит, {\бф \пурпле гиперкэлерова структура
единственным образом определяется тремя симплектическими
формами. } Теперь, единственность гиперкэлеровой структуры
на $M$ следует из шага 1.

{\бф \греен Шаг 3:} Запишем $\omega_J= \Re\Omega$,
$\omega_K=\Im\Omega$, и выразим $I,J,K$ через эти
операторы, как указано в шаге 2. Кватернионные соотношения
следуют из приведенного выше вычисления. Кэлеровость
$I,J,K$ очевидна, потому что {\бф \ред эти операторы параллельны.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе  Отображение периодов для гиперкэлеровых структур}

\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Kah}{\operatorname{Kah}}
\newcommand{\St}{\operatorname{\sf St}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}}

\замечание
Для гиперкэлеровой структуры на поверхности,
$\int_M \omega_I\wedge \omega_J=\int \omega_I\wedge \omega_K=
\int \omega_J\wedge \omega_K=0$, $\int_M \omega_I^2=
\int_M \omega_J^2=\int_M \omega_K^2$ {\бф \ред (проверьте это).}
Назовем базис, удовлетворяющий этим условиям, {\бф \блуе
конформно ортонормальным}.


\определение
{\бф \блуе Группа изотопий} $\Diff_0(M)$ многообразия $M$ есть связная
компонента группы диффеоморфизмов $M$.

\определение
{\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich_{hk}(M)$ гиперкэлеровых
структур есть фактор пространства всех гиперкэлеровых
структур на $M$ по $\Diff_0(M)$.


\определение
Обозначим за $\St^c_3(H^2(M,\R))$ пространство конформно
ортонормированных троек классов $\omega_1, \omega_2, \omega_3\in H^2(M,\R)$.
{\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$
переводит гиперкэлерову структуру $I,J,K, g$ в тройку 
$\omega_I, \omega_J,\omega_K\in \St^c_3(H^2(M,\R))$

Сейчас будет доказана такая теорема.


\теорема
Пусть $M$ - К3-поверхность. Тогда {\бф \ред образ 
$\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$
 открыт в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}.



\невпаге

{\бф \блуе  Деформации кэлеровых структур}

\замечание На любом комплексном многообразии,
форма $\omega$ кэлерова, если она типа $(1,1)$, замкнута,
и удовлетворяет $\omega(x,Ix)>0$ для всех ненулевых $x\in T_mM$.

\утверждение
Пусть $(M,I,\omega)$ -- компактное кэлерово многообразие, а
$\Kah(M)\subset H^{1,1}(M)$ -- кэлеров конус  (множество кэлеровых классов).
Введем на $H^2(M)$ евклидову метрику $E$. Тогда
{\bf \red существует $\epsilon_g >0$ такое, что $\epsilon$-шар
$B:=B_{E,\epsilon_g}([\omega])$ с центром в $\omega$
содержится в $\Kah(M)$.} Более того, $\epsilon_g$ непрерывно
зависит от $g$, $I$ и их производных.

\дшаг
Рассмотрим следующую функцию на $H^{1,1}(M)$:
для каждого класса когомологий $[\eta]$ выбирается гармоничный
представитель $\eta_h$. Обозначим за $S([\eta])$ супремум
\[ S([\eta]):=\sup_M \frac{|\eta_h(x,Ix)|}{\omega(x,Ix)}.
\]
Пусть $C:= \sup_{[\eta]\in B}S([\eta])$, где $B$ есть
единичный шар в $(H^{1,1}(M), E)$. Тогда {\бф \ред все собственные
значения гармонических представителей всех классов из $B$
ограничены $C$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Значит, для
любого $\eta\in B$, все собственные 
значения $C\omega+ \eta_h$ положительны, и 
{\бф \пурпле эта форма кэлерова}.

\невпаге

{\бф \блуе  Деформации кэлеровых структур (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 2:} Значит, для
любого $\eta\in B$, все собственные 
значения $C\omega+ \eta_h$ положительны, и 
{\бф \пурпле эта форма кэлерова}.

{\бф \греен Шаг 3:} Значит, для любого $\eta$ в шаре 
радиуса $\leq 1/C$ с центром в $[\omega]$, форма
$\eta_h+\omega$ кэлерова. {\бф \ред Это доказывает
открытость кэлерова конуса в $H^{1,1}(M,\R)$.}

{\бф \греен Шаг 4:} В качестве $\epsilon_g$
можно выбрать $\frac 1 C$, а $C$ непрерывно зависит
от $g$ в силу свойств гармонической проекции.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе  Образ отображения периодов для гиперкэлеровых структур}

\теорема
Пусть $M$ - К3-поверхность. {\бф \ред Тогда образ 
$\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$
 открыт в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}.

\дшаг
Рассмотрим ортогональное дополнение 
$\langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot\subset H^2(M,\R)$.
Тогда
\[ \langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot=H^{1,1}(M,I).
\] В самом деле,
$\int \eta\wedge \Omega=0$ для любой (1,1)-формы 
$\eta$ {\бф \ред (а почему?)}, а $\dim \langle
\omega_J,\omega_K\rangle^\bot=\dim h^{1,1}(M)$
{\бф \пурпле (проверьте)}.

{\бф \греен Шаг 2:} Каждый кэлеров класс $[\omega]\in H^{1,1}(M,I)$,
удовлетворяющий \[ \int_M[\omega]^2=\int_M \Re\Omega^2,
\]
{\бф \пурпле является классом $\omega_I$ для какой-то гиперкэлеровой
структуры,} в силу доказанного выше.

\невпаге

{\бф \блуе  Образ отображения периодов для гиперкэлеровых
структур (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:}
Значит, $\Per(\Teich_{hk}(M))$ вместе с каждой тройкой
$\omega_1, \omega_2, \omega_3\in \St^c_3(H^2(M,\R))$
содержит множество всех троек вида
$\omega_1', \omega_2, \omega_3\in \St^c_3(H^2(M,\R))$,
для всех $\omega_1'\in S$, где $S\subset \langle
\omega_2,\omega_3\rangle^\bot$ -- пересечение $\Kah(M,I)$ и 
сферы радиуса $\int_M\omega_1^2$.

{\бф \греен Шаг 4:}
Пусть $\pi:\; X\arrow Y$ -- локально-тривиальное гладкое расслоение многообразий.
Назовем {\бф \блуе расслоением} такое подмножество $U\subset X$,
что все слои отображения $\pi:\; U \arrow \pi(Y)$ открыты в слоях $\pi$,
причем для каждой точки $U$ найдется окрестность $U'\subset U$,
которая локально-тривиально расслоена над $\pi(U')$. 
Мы доказали, что {\бф
\ред  забывающая проекция
$\Per(\Teich_{hk}(M)) \arrow \St^c_2(H^2(M,\R))$ -- расслоение.}

{\бф \греен Шаг 5:} 
Теперь утверждение теоремы сводится
к следующему геометрическому наблюдению:

\лемма
Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство с невырожденным
скалярным произведением, а $\St_k(V)$ -- многообразие
ортонормированных $k$-реперов. Рассмотрим
отображения забывания $\St_k(V)\arrow \St_{k-1}(V)$
(их $k$ штук: $\pi_1, ..., \pi_k$). 
Пусть $U\subset \St_k(V)$ -- какое-то
подмножество, такое, что $\pi_i\restrict U$ -- расслоение 
для всех $i$. {\бф \ред Тогда $U$ открыто
в $\St_k(V)$.}


\невпаге

{\бф \блуе  Образ отображения периодов для гиперкэлеровых
структур: простая геометрическая лемма}

\лемма
Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство с невырожденным
скалярным произведением, а $\St_k(V)$ -- многообразие
ортонормированных $k$-реперов. Рассмотрим
отображения забывания $\St_k(V)\arrow \St_{k-1}(V)$
(их $k$ штук: $\pi_1, ..., \pi_k$). 
Пусть $U\subset \St_k(V)$ -- какое-то
подмножество, такое, что $\pi_i\restrict U$ -- расслоение 
для всех $i$. {\бф \ред Тогда $U$ открыто
в $\St_k(V)$.}

\дшаг
Зафиксируем первую компоненту $v_1$ репера,
и пусть $U(v_1)$ -- все реперы из $U$,
у которых первая компонента равна $v_1$.
Тогда $U(v_1)\subset \St_{k-1}(v_1^\bot)$
удовлетворяет условиям леммы, и {\бф \пурпле по индукции можно
считать его открытым.}

{\бф \греен Шаг 2:} 
Рассмотрим композицию двух забываний,
$\St_k(V)\stackrel{\pi_{ij}}\arrow \St_{k-2}(V)$. 
Слой $\pi_{ij}\restrict U$ - реперы из $U$, у которых зафиксированы
все компоненты $v_1, ..., v_n$, кроме $i$-й и $j$-й.
В силу предыдущего шага, это открытое подмножество в
$\St_2(W)$, где $W$ -- ортогональное дополнение
к $v_1,..., \check v_i, ..., \check v_j, ...,  v_n$.

{\бф \греен Шаг 3:} 
Рассмотрим пространство $U_1:=\pi_i(U)$.
В силу предыдущего шага, {\бф \пурпле $\pi_j:\; U_1\arrow \pi_j(U_1)$
есть расслоение,}
значит, $U_1\subset \St_{k-1}(V)$ удовлетворяет условиям леммы,
и можно считать его открытым в $\St_{k-1}(V)$. {\бф \ред Поскольку
$U$ расслоено над $U_1$ с открытыми слоями, оно тоже открыто.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе  Классификация форм пересечения (повторение)}


\определение
Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется
{\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$,
{\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$,
и {\бф\блуе  нечетной} если нет.

\определение
Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной},
если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$.

\теорема\\ 
{\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\
 Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$.
{\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную прямую сумму} подпространств
с билинейной формой, которая имеет вид 
$\left [ \begin{smallmatrix}
0 &1\\
1&0
\end{smallmatrix}\right ]$
(такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств
$E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$:
\[ 
\left [
\begin{smallmatrix}
 2 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
-1 &  2 & -1&  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
 0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 &  0 & -1 \\
 0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & 0 \\
 0 &  0 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 & 2
\end{smallmatrix}\right ],
\]
или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака.


\невпаге

{\бф \блуе  Форма пересечения для К3-поверхности}

\лемма
Пусть $\eta$ -- нечетная форма пересечения
на $V:=\Z^n$, а $P:={\Bbb P}(V\otimes_\Z \R)$ --
соответствующее проективное пространство. Обозначим
за $R$ множество нечетных векторов $r\in V$.
Тогда образ $\pi(R)$ в $P$ плотен.

\дшаг Пусть $s\in V$ -- любой
вектор. Для доказательства плотности $R$ в $P$ {\бф
\пурпле достаточно
найти элемент из $\pi(R)$ в любой окрестности $\pi(S)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $r_0\in R$. Последовательность 
$r_0 + 2N s$ состоит из нечетных векторов, а ее образ 
в $P$ сходится к $s$. \ендпрооф

\теорема
{\bf \red Форма пересечения К3-поверхности $M$ четная.}

\дшаг
В силу доказанного выше, множество $K$ кэлеровых
форм $M$ открыто в $H^2(M, \R)$. Значит, 
его проективизация ${\Bbb P}K$ открыта в ${\Bbb
P}H^2(M,\R)$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Если форма пересечения $H^2(M,\Z)$ нечетна, в 
силу предыдущей леммы, найдется нечетный целочисленный класс
$r$ с $\pi(r)\in {\Bbb P}K$. Тогда $r\in H^{1,1}(M,\Z)$,
значит, {\bf \red существует голоморфное расслоение $L$ с $c_1(L)=r$.}
Но $\chi(L) = 2+ \frac 1 2 \int_M r\wedge r$
по формуле Римана-Роха. Значит, {\bf \purple самопересечение $r$
четно.}
\endproof


\end{document}
