\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 4 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 4: связность Леви-Чивита и локальная теорема Торелли} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 27 февраля 2012 } \end{center} \невпаге {\bf \blue Связность на расслоении} {\small \замечание {\бф \red Пространство сечений расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.}} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$ удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то {\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} \замечание {\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле \[ \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle). \] \замечание Для любого тензорного расслоения ${\cal B}_1:= B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$ {\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$} по {\бф \блуе формуле Лейбница:} \[ \nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2). \] \замечание Связности образуют {\бф \ред аффинное пространство} над пространством сечений расслоения $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. \newpage {\bf \blue Формула Картана} \утверждение Для любого $\eta \in \Lambda^1 M$, и $X,Y\in TM$ имеем {\бф \блуе\[ d\eta(X,Y) = \eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)). \]} \доказательство 1. {\бф \пурпле Обе стороны уравнения удовлетворяют правилу Лейбница.} 3. {\бф \пурпле Для $\eta=df$, обе стороны уравнения равны нулю. } 4. Дифференциал де Рама есть {\бф \ред единственное} отображение \[ d:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^{*+1}(M), \] удовлетворяющее правилу Лейбница и $d^2=0$. \newpage {\bf \blue Кручение} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, \[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\] {\бф\блуе Кручение $\nabla$} задается формулой $\Alt \circ \nabla - d$, где $\Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$ - внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \замечание \begin{align*} T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\ = &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta= f T_\nabla(\eta). \end{align*} {\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \newpage {\bf \blue Кручение и коммутатор векторных полей} \замечание По формуле Картана, \begin{align*} T_\nabla(\eta)(X,Y) = &\nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X)- d\eta(X,Y) \\ =& \nabla_X(\eta)(Y) - \nabla_Y(\eta)(X) -\eta([X,Y])- \Lie_X(\eta(Y))+ \Lie_Y(\eta(X)). \end{align*} С другой стороны, $\nabla_X(\eta)(Y)= \Lie_X(\eta(Y)) - \eta(\nabla_X(Y))$. Сравнивая и сокращая $\Lie_X(\eta(Y))$, $\Lie_Y(\eta(X))$, получаем \[ T_\nabla(\eta)(X,Y)=\eta\bigg(\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]\bigg). \] {\бф \ред Кручение часто определяют как отображение $\Lambda^2 TM \arrow TM$ формулой $\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]$.} {\бф \блуе Это оператор, двойственный определенному выше.} \невпаге {\bf \blue Аффинные пространства} \определение {\бф \блуе Торсор} над группой $G$ есть пространство $X$, снабженное свободным и транзитивным действием $G$, $g,x \arrow \rho(g,x).$ \определение {\бф \блуе Морфизм} торсоров $(X,G,\rho) \stackrel \Psi \arrow (X',G',\rho')$ есть пара $\Psi_X:\; X\arrow X', \Psi_G:\; G \arrow G'$, где $\Psi_G$ есть гомоморфизм групп, и согласованное с действием $G,G'$ на $X, X'$ так: $\Psi_X(\rho(g,x)) = \rho'(\Psi_G(g),\Psi_X(x))$ \замечание {\бф \пурпле Торсоры образуют категорию.} \определение {\бф \блуе Аффинное пространство} есть торсор над линейным пространством $V$, которое называется его {\бф \блуе линеаризацией}. \замечание {\бф \пурпле Действие $V$ на $A$ обозначается $a,v \arrow a +v$.} \определение {\бф\блуе Морфизм} аффинных пространств есть морфизм соответствующих торсоров. \замечание Это то же самое, что отображение $A \stackrel {\Psi_A} \arrow A'$, плюс гомоморфизм линеаризаций $L\stackrel {\Psi_L} \arrow L'$ такой, что $\Psi_A(a+l) = \Psi_A(a) + \Psi_L(l)$. \newpage {\bf \blue Линеаризация кручения} \замечание Если $\nabla_1$ и $\nabla_2$ -- связности на расслоении $B$, их разность есть сечение $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. {\бф \блуе Пространство ${\cal A}(B)$ связностей на $B$ есть аффинное пространство}, то есть торсор над пространством сечений $\End(B)\otimes \Lambda^1 M$. \замечание {\бф \пурпле Кручение есть аффинное отображение} \[ {\cal A}(\Lambda^1 M) \arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M . \] потому что $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$, где $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow \Lambda^2M \otimes TM$ есть альтернирование по первым двум индексам. \определение {\бф \блуе Линеаризованное кручение} есть отображение\\ $T_{lin}=\Alt$, \[ T_{lin}:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM \arrow \Lambda^2 M \otimes TM \] полученное как линеаризация кручения. \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \утверждение Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Тогда на $B$ всегда существует ортогональная связность.} \доказательство Выберем покрытие $\{U_i\}$, в котором $B$ тривиально и допускает ортонормальный базис. На каждом $U_i$ выберем связность $\nabla_i$, которая сохраняет этот базис. Пусть $\psi_i$ -- разбиение единицы, подчиненное $\{U_i\}$. Тогда {\бф \пурпле формула $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$ определяет ортогональную связность} (проверьте это). \endproof \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита (существование и единственность)} \доказательство Выберем ортогональную связность $\nabla$ на $\Lambda^1 M$. Пространство ортогональных связностей -- аффинное, и {\бф \пурпле его линеаризация есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.} {\бф \греен Шаг 1:} Отождествляя $TM$ и $\Lambda^1 M$, получаем ${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$. {\бф \греен Шаг 2:} Линеаризованное кручение есть отображение \[ T_{lin} :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)= \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M \stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M = \Lambda^2 M \otimes T M. \] {\бф \ред Это изоморфизм.} Справа и слева расслоения одной размерности, так что {\бф \пурпле достаточно доказать, что $T_{lin}$ нет ядра.} Но если $\eta \in \ker T_{lin}$, {\бф \греен $\eta$ симметрична по первым двум аргументам и кососимметрична по последним,} что дает $\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$ {\бф \пурпле То есть $\sigma(\eta) =-\eta$, где $\sigma$ есть циклическая перестановка аргументов.} Поскольку $\sigma^3=1$, из этого следует, что $\eta=0$. {\bf \green Шаг 3:} Мы получили, что {\бф \purple ортогональная связность однозначно задается своим кручением,} ибо кручение задает изоморфизм аффинных пространств. {\бф \греен Шаг 4:} Возьмем $\nabla:= \nabla_0 -T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0})$. Тогда $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_{lin}(T_{lin}^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$, значит {\bf \red $\nabla$ -- связность без кручения}. \endproof \newpage {\bf \blue Кривизна связности (повторение)} \определение Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на формах \[ B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ... \] по формуле $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$. Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$ называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$. \замечание Из соотношения $\nabla \circ \nabla^2 = \nabla^2\circ \nabla$ следует {\бф \блуе тождество Бианки}: $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$. Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально, и $\Theta_B$ есть 2-форма. \утверждение {\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.} \доказательство Для любой $2i$-формы $\theta$ имеем $\nabla(\theta \wedge \eta) = d\theta \wedge \eta + \theta \wedge \nabla(\eta)$ (правило Лейбница). Тождество Бьянки дает $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$. Следовательно, $d\Theta_B=0$. \ендпрооф \определение Класс когомологий $\frac{\1}{2\pi}[\Theta_B]$ называется {\бф \блуе первым классом Черна} линейного расслоения. \невпаге {\бф \блуе Первый класс Черна (повторение)} \замечание Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии, $U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано, а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении $U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем $\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}= \phi_{\alpha\gamma}$ то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный 1-коцикл.} \утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений взаимно однозначно соответствуют $H^1(M, (C^\infty M)^*)$.} \замечание Из экспоненциальной точной последовательности \[ 0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0, \] {\бф \пурпле получаем $0 \arrow H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z) \arrow 0$.} \замечание Из определения ясно, что {\bf \purple комплексное линейное расслоение топологически тривиально $\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.} \невпаге {\бф \блуе Формула Гаусса-Бонне (повторение)} \теорема (Гаусс-Бонне)\\ При естественном отображении \[ H^2(M, \Z)\arrow H^2(M, \R)\] класс $c_1^\Z(B)\in H^2(M, \Z)$ {\бф \ред переходит в класса Черна $c_1(B)\in H^2(M,\R)$, выраженный через кривизну.} \определение Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное кэлерово многообразие, а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое расслоение}, с естественной голоморфной структурой, заданной оператором $\bar\6:\; \Lambda^{n,0}(M)\arrow \Lambda^{n,1}(M)=\Lambda^{n,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)$. \определение {\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$. \определение {\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Калаби-Яу (повторение)} \определение {\бф\блуе Кэлеров класс} $[\omega]\in H^2(M)$ кэлерова многообразия есть класс когомологий кэлеровой формы $\omega$. \замечание Если задана вещественная $(1,1)$-форма $\eta$, ей соответствует симметрическая 2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$. {\bf \purple Это задает биекцию между вещественными $(1,1)$-формами и $I$-инвариантными симметрическими 2-формами} (проверьте это). \определение Зададим на каноническом расслоении эрмитову метрику по формуле \[ (\alpha, \alpha') \arrow \frac{\alpha\wedge \bar \alpha'}{\omega^n}. \] и пусть $\Theta_K$ -- кривизна соответствующей связности Черна. {\бф \блуе Кривизна Риччи $M$} есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$. \определение Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если ее кривизна Риччи равна нулю. \теорема (Калаби-Яу) Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика в каждом кэлеровом классе.} \newpage {\бф \блуе K3-поверхности (повторение)} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухсдаль-Ламари). \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \утверждение {\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.} \newpage {\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие} есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами $I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям: $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$. {\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие} есть гиперкомплексное многообразие, снабженное римановой метрикой $g$, которая кэлерова по отношению к $I,J,K$. \замечание Кэлеровость $I$ равносильна условию $\nabla(I)=0$, где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита, a гиперкэлеровость -- {\бф \ред условию $\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$ плюс кватернионные соотношения.} \определение Пусть $h\in {\Bbb H}$ -- унитарный кватернион, а $(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерово многообразие. Тогда $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ -- тоже гиперкэлерово многообразие ({\бф \ред проверьте это}). Многообразия $(M,I,J,K,g)$ и $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ называются {\бф \блуе эквивалентными}. \невпаге {\бф \блуе Гиперкэлеровы структуры на К3-поверхности (повторение)} \теорема Пусть $(M,I,g)$ -- К3-поверхность, где $g$ -- кэлерова метрика. Тогда {\бф \ред $M$ допускает гиперкэлерову структуру $(M,I,J,K,g)$ тогда и только тогда, когда $g$ Риччи-плоская}. Выведем, для примера, из гиперкэлеровой структуры риччи-плоскость метрики. {\бф \греен Шаг 1:} Пусть $(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерова метрика на К3. Пусть {\бф \пурпле $z_1, z_2$ -- ортонормированный базис в $\Lambda_x^{1,0}M$ такой, что $J(z_1)=\bar z_2$} (поскольку $IJ=-JI$, оператор $J$ отображает $\Lambda^{1,0}$ в $\Lambda^{0,1}$). {\бф \греен Шаг 2:} Записав $z_1 = e_1+\1 e_2$ и $z_2= e_3+\1 e_4$, получаем $I(e_1)=e_2, I(e_2)=-e_1$. Аналогично, $J(e_1)=e_3, J(e_2)=e_4$ и т.д. Словом, {\бф \пурпле $I,J,K$ действуют на векторах $\pm e_i$ перестановками} (допишите это действие самостоятельно). {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим кэлеровы формы, связанные с $I,J,K$: $\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$. Они очень просто записываются в этом базисе: $\omega_I=e_1 \wedge e_2 + e_3\wedge e_4$, $\omega_J=e_1 \wedge e_3 + e_2\wedge e_4$, $\omega_K=e_1 \wedge e_4 - e_2\wedge e_3$. Это дает $\omega_J+ \1 \omega_K = z_1 \wedge z_2$. Мы получили сечение канонического расслоения. Поскольку $\nabla \Omega=0$, {\бф \пурпле это сечение имеет постоянную длину, голоморфно, и метрика $g$ риччи-плоская.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Гиперкэлеровы структуры на К3-поверхности: существование и единственность} \теорема Пусть $(M,I)$ -- К3-поверхность, $[\omega]\in H^2(M,\R)$ ee кэлеров класс, $\Omega$ -- голоморфная симплектическая форма. Предположим, что $\Re\Omega^2=[\omega]^2$. Тогда {\бф \ред на $(M,I)$ существует и единственна гиперкэлерова структура, такая, что $[\omega_I]=[\omega]$, $\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$.} \дшаг Выберем риччи-плоскую метрику $g$ в том же кэлеровом классе. Она существует и единственна (Калаби-Яу). {\бф \пурпле Гиперкэлерова метрика должна быть риччи-плоской,} что доказывает единственность такой метрики. {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим $\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$ как гомоморфизмы из $TM$ в $T^*M$. Тогда $\omega_I\circ \omega_J^{-1}=K$, $\omega_J\circ \omega_K^{-1}=I$, $\omega_K\circ \omega_I^{-1}=J$ (проверьте это). Значит, {\бф \пурпле гиперкэлерова структура единственным образом определяется тремя симплектическими формами. } Теперь, единственность гиперкэлеровой структуры на $M$ следует из шага 1. {\бф \греен Шаг 3:} Запишем $\omega_J= \Re\Omega$, $\omega_K=\Im\Omega$, и выразим $I,J,K$ через эти операторы, как указано в шаге 2. Кватернионные соотношения следуют из приведенного выше вычисления. Кэлеровость $I,J,K$ очевидна, потому что {\бф \ред эти операторы параллельны.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Отображение периодов для гиперкэлеровых структур} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Kah}{\operatorname{Kah}} \newcommand{\St}{\operatorname{\sf St}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \замечание Для гиперкэлеровой структуры на поверхности, $\int_M \omega_I\wedge \omega_J=\int \omega_I\wedge \omega_K= \int \omega_J\wedge \omega_K=0$, $\int_M \omega_I^2= \int_M \omega_J^2=\int_M \omega_K^2$ {\бф \ред (проверьте это).} Назовем базис, удовлетворяющий этим условиям, {\бф \блуе конформно ортонормальным}. \определение {\бф \блуе Группа изотопий} $\Diff_0(M)$ многообразия $M$ есть связная компонента группы диффеоморфизмов $M$. \определение {\бф \блуе Пространство Тейхмюллера} $\Teich_{hk}(M)$ гиперкэлеровых структур есть фактор пространства всех гиперкэлеровых структур на $M$ по $\Diff_0(M)$. \определение Обозначим за $\St^c_3(H^2(M,\R))$ пространство конформно ортонормированных троек классов $\omega_1, \omega_2, \omega_3\in H^2(M,\R)$. {\бф \блуе Отображение периодов} $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ переводит гиперкэлерову структуру $I,J,K, g$ в тройку $\omega_I, \omega_J,\omega_K\in \St^c_3(H^2(M,\R))$ Сейчас будет доказана такая теорема. \теорема Пусть $M$ - К3-поверхность. Тогда {\бф \ред образ $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ открыт в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}. \невпаге {\бф \блуе Деформации кэлеровых структур} \замечание На любом комплексном многообразии, форма $\omega$ кэлерова, если она типа $(1,1)$, замкнута, и удовлетворяет $\omega(x,Ix)>0$ для всех ненулевых $x\in T_mM$. \утверждение Пусть $(M,I,\omega)$ -- компактное кэлерово многообразие, а $\Kah(M)\subset H^{1,1}(M)$ -- кэлеров конус (множество кэлеровых классов). Введем на $H^2(M)$ евклидову метрику $E$. Тогда {\bf \red существует $\epsilon_g >0$ такое, что $\epsilon$-шар $B:=B_{E,\epsilon_g}([\omega])$ с центром в $\omega$ содержится в $\Kah(M)$.} Более того, $\epsilon_g$ непрерывно зависит от $g$, $I$ и их производных. \дшаг Рассмотрим следующую функцию на $H^{1,1}(M)$: для каждого класса когомологий $[\eta]$ выбирается гармоничный представитель $\eta_h$. Обозначим за $S([\eta])$ супремум \[ S([\eta]):=\sup_M \frac{|\eta_h(x,Ix)|}{\omega(x,Ix)}. \] Пусть $C:= \sup_{[\eta]\in B}S([\eta])$, где $B$ есть единичный шар в $(H^{1,1}(M), E)$. Тогда {\бф \ред все собственные значения гармонических представителей всех классов из $B$ ограничены $C$.} {\бф \греен Шаг 2:} Значит, для любого $\eta\in B$, все собственные значения $C\omega+ \eta_h$ положительны, и {\бф \пурпле эта форма кэлерова}. \невпаге {\бф \блуе Деформации кэлеровых структур (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Значит, для любого $\eta\in B$, все собственные значения $C\omega+ \eta_h$ положительны, и {\бф \пурпле эта форма кэлерова}. {\бф \греен Шаг 3:} Значит, для любого $\eta$ в шаре радиуса $\leq 1/C$ с центром в $[\omega]$, форма $\eta_h+\omega$ кэлерова. {\бф \ред Это доказывает открытость кэлерова конуса в $H^{1,1}(M,\R)$.} {\бф \греен Шаг 4:} В качестве $\epsilon_g$ можно выбрать $\frac 1 C$, а $C$ непрерывно зависит от $g$ в силу свойств гармонической проекции. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Образ отображения периодов для гиперкэлеровых структур} \теорема Пусть $M$ - К3-поверхность. {\бф \ред Тогда образ $\Teich_{hk}(M)\stackrel \Per\arrow \St^c_3(H^2(M,\R))$ открыт в $\St^c_3(H^2(M,\R))$}. \дшаг Рассмотрим ортогональное дополнение $\langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot\subset H^2(M,\R)$. Тогда \[ \langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot=H^{1,1}(M,I). \] В самом деле, $\int \eta\wedge \Omega=0$ для любой (1,1)-формы $\eta$ {\бф \ред (а почему?)}, а $\dim \langle \omega_J,\omega_K\rangle^\bot=\dim h^{1,1}(M)$ {\бф \пурпле (проверьте)}. {\бф \греен Шаг 2:} Каждый кэлеров класс $[\omega]\in H^{1,1}(M,I)$, удовлетворяющий \[ \int_M[\omega]^2=\int_M \Re\Omega^2, \] {\бф \пурпле является классом $\omega_I$ для какой-то гиперкэлеровой структуры,} в силу доказанного выше. \невпаге {\бф \блуе Образ отображения периодов для гиперкэлеровых структур (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Значит, $\Per(\Teich_{hk}(M))$ вместе с каждой тройкой $\omega_1, \omega_2, \omega_3\in \St^c_3(H^2(M,\R))$ содержит множество всех троек вида $\omega_1', \omega_2, \omega_3\in \St^c_3(H^2(M,\R))$, для всех $\omega_1'\in S$, где $S\subset \langle \omega_2,\omega_3\rangle^\bot$ -- пересечение $\Kah(M,I)$ и сферы радиуса $\int_M\omega_1^2$. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\pi:\; X\arrow Y$ -- локально-тривиальное гладкое расслоение многообразий. Назовем {\бф \блуе расслоением} такое подмножество $U\subset X$, что все слои отображения $\pi:\; U \arrow \pi(Y)$ открыты в слоях $\pi$, причем для каждой точки $U$ найдется окрестность $U'\subset U$, которая локально-тривиально расслоена над $\pi(U')$. Мы доказали, что {\бф \ред забывающая проекция $\Per(\Teich_{hk}(M)) \arrow \St^c_2(H^2(M,\R))$ -- расслоение.} {\бф \греен Шаг 5:} Теперь утверждение теоремы сводится к следующему геометрическому наблюдению: \лемма Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство с невырожденным скалярным произведением, а $\St_k(V)$ -- многообразие ортонормированных $k$-реперов. Рассмотрим отображения забывания $\St_k(V)\arrow \St_{k-1}(V)$ (их $k$ штук: $\pi_1, ..., \pi_k$). Пусть $U\subset \St_k(V)$ -- какое-то подмножество, такое, что $\pi_i\restrict U$ -- расслоение для всех $i$. {\бф \ред Тогда $U$ открыто в $\St_k(V)$.} \невпаге {\бф \блуе Образ отображения периодов для гиперкэлеровых структур: простая геометрическая лемма} \лемма Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство с невырожденным скалярным произведением, а $\St_k(V)$ -- многообразие ортонормированных $k$-реперов. Рассмотрим отображения забывания $\St_k(V)\arrow \St_{k-1}(V)$ (их $k$ штук: $\pi_1, ..., \pi_k$). Пусть $U\subset \St_k(V)$ -- какое-то подмножество, такое, что $\pi_i\restrict U$ -- расслоение для всех $i$. {\бф \ред Тогда $U$ открыто в $\St_k(V)$.} \дшаг Зафиксируем первую компоненту $v_1$ репера, и пусть $U(v_1)$ -- все реперы из $U$, у которых первая компонента равна $v_1$. Тогда $U(v_1)\subset \St_{k-1}(v_1^\bot)$ удовлетворяет условиям леммы, и {\бф \пурпле по индукции можно считать его открытым.} {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим композицию двух забываний, $\St_k(V)\stackrel{\pi_{ij}}\arrow \St_{k-2}(V)$. Слой $\pi_{ij}\restrict U$ - реперы из $U$, у которых зафиксированы все компоненты $v_1, ..., v_n$, кроме $i$-й и $j$-й. В силу предыдущего шага, это открытое подмножество в $\St_2(W)$, где $W$ -- ортогональное дополнение к $v_1,..., \check v_i, ..., \check v_j, ..., v_n$. {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим пространство $U_1:=\pi_i(U)$. В силу предыдущего шага, {\бф \пурпле $\pi_j:\; U_1\arrow \pi_j(U_1)$ есть расслоение,} значит, $U_1\subset \St_{k-1}(V)$ удовлетворяет условиям леммы, и можно считать его открытым в $\St_{k-1}(V)$. {\бф \ред Поскольку $U$ расслоено над $U_1$ с открытыми слоями, оно тоже открыто.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Классификация форм пересечения (повторение)} \определение Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется {\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$, {\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$, и {\бф\блуе нечетной} если нет. \определение Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной}, если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$. \теорема\\ {\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\ Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$. {\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную прямую сумму} подпространств с билинейной формой, которая имеет вид $\left [ \begin{smallmatrix} 0 &1\\ 1&0 \end{smallmatrix}\right ]$ (такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств $E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$: \[ \left [ \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right ], \] или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака. \невпаге {\бф \блуе Форма пересечения для К3-поверхности} \лемма Пусть $\eta$ -- нечетная форма пересечения на $V:=\Z^n$, а $P:={\Bbb P}(V\otimes_\Z \R)$ -- соответствующее проективное пространство. Обозначим за $R$ множество нечетных векторов $r\in V$. Тогда образ $\pi(R)$ в $P$ плотен. \дшаг Пусть $s\in V$ -- любой вектор. Для доказательства плотности $R$ в $P$ {\бф \пурпле достаточно найти элемент из $\pi(R)$ в любой окрестности $\pi(S)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $r_0\in R$. Последовательность $r_0 + 2N s$ состоит из нечетных векторов, а ее образ в $P$ сходится к $s$. \ендпрооф \теорема {\bf \red Форма пересечения К3-поверхности $M$ четная.} \дшаг В силу доказанного выше, множество $K$ кэлеровых форм $M$ открыто в $H^2(M, \R)$. Значит, его проективизация ${\Bbb P}K$ открыта в ${\Bbb P}H^2(M,\R)$. {\бф \греен Шаг 2:} Если форма пересечения $H^2(M,\Z)$ нечетна, в силу предыдущей леммы, найдется нечетный целочисленный класс $r$ с $\pi(r)\in {\Bbb P}K$. Тогда $r\in H^{1,1}(M,\Z)$, значит, {\bf \red существует голоморфное расслоение $L$ с $c_1(L)=r$.} Но $\chi(L) = 2+ \frac 1 2 \int_M r\wedge r$ по формуле Римана-Роха. Значит, {\bf \purple самопересечение $r$ четно.} \endproof \end{document}