\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 3 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 3: теорема Калаби-Яу} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 20 февраля 2012 } \end{center} \newpage {\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$ } \определение Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие, $I:\; TM \arrow TM$ -- {\бф \блуе оператор комплексной структуры}, $I^2=-\Id_{TM}$. {\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется формулой $d^c:=I^{-1} d I$. \утверждение Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие. Тогда {\bf \blue $\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$ -- компоненты в разложении Ходжа $d$}: $\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. \теорема Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие. {\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны:} 1. $I$ интегрируемо.\ \ 2. $\6^2=0$.\ \ 3. $\bar\6^2=0$.\ \ 4. $dd^c =- d^c d$\ \ 5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$. \определение {\бф \блуе Кэлерово многообразие} есть комплексное эрмитово многообразие $(M,I,g)$, {\бф \блуе кэлерова форма} которого $\omega(x,y)=g(x,Iy)$ замкнута. \замечание На кэлеровом многообразии имеет место коммутационное соотношение: $[dd^c, \Lambda]=\Delta$, где $\Lambda:\; \Lambda^{p,q}(M)\arrow \Lambda^{p-1,q-1}(M)$ оператор, сопряженный $L(\eta)=\eta\wedge\omega$, а $\Delta:= dd^*+d^*d$ - оператор Лапласа. Значит, $\ker\left(dd^c\restrict{C^\infty M})\right)\subset \ker \Delta$. Но {\бф \пурпле все гармонические функции на компактном многообразии постоянны}, что дает $\ker\left(dd^c\restrict{C^\infty M}\right)=const$. \newpage {\bf \blue $dd^c$-лемма} \теорема Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\ 1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. 2. $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая. \\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\ {\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.} \определение {\бф\блуе Кэлеров класс} $[\omega]\in H^2(M)$ есть класс когомологий кэлеровой формы. \следствие Если $\omega, \omega'$ -- две формы с одинаковым кэлеровым классом, то $\omega' = \omega +dd^c \phi$ для какой-то функции $\phi$. \замечание Если $\phi$ такая функция, что $|dd^c\phi|_g <1$ везде на $M$, то {\бф \пурпле $\omega +dd^c \phi$ -- тоже кэлерова форма.} \замечание $\ker dd^c=\const$ на компактном многообразии, значит, множество кэлеровых метрик с заданным кэлеровым классом {\бф \ред отождествляется с открытым подмножеством в $C^\infty M/\const$. } \newpage {\bf \blue Векторные расслоения} \определение {\бф \блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $М$ есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей. \определение {\бф \блуе Голоморфное векторное расслоение} на гладком многообразии $М$ есть локально тривиальный пучок $\calo_M$-модулей. \определение $B_{C^\infty}:=B \otimes_{\calo_M} C^\infty M$ называется {\бф\блуе гладкое векторное расслоение, ассоциированное с голоморфным расслоением $B$.} \замечание Пусть $M$ -- комплексное многообразие. Тогда {\бф \пурпле оператор $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$ $\calo_M$-линейный}. \определение Пусть $B$ -- голоморфное расслоение. Рассмотрим оператор $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$, переводящий $b\otimes f$ в $b\otimes \bar\6 f$, где $b\in B$ голоморфное сечение, а $f$ гладкая функция. Этот оператор зовется {\бф\блуе оператор голоморфной структуры} на голоморфном расслоении. {\бф \ред Он определен корректно в силу $\calo_M$-линейности $\bar\6$.} \замечание Ядро $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$ {\bf \red совпадает с образом $B$} при естественном вложении $B\hookrightarrow B_{C^\infty}$, $b \arrow b \otimes 1$. \newpage {\bf \blue Оператор голоморфной структуры} \определение {\бф \блуе $\bar\6$-оператор} на гладком комплексном векторном расслоении $V$ над есть оператор $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$, удовлетворяющий $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$ для любых $f\in C^\infty M, b\in V$. \замечание $\bar\6$-оператор {\бф \пурпле можно продолжить до \[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\] } по формуле $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + (-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, где $b\in V$ и $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$. \замечание {\bf \purple Легко видеть, что $\bar\6^2=0$,} если $\bar\6$ -- оператор голоморфной структуры на голоморфном расслоении $B$. \теорема (Атья-Ботт) Пусть $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$ -- $\bar\6$-оператор на комплексном векторном расслоении, причем $\bar\6^2=0$. {\бф \ред Тогда $B:=\ker \bar\6\subset V$ есть голоморфное расслоение того же ранга, и $V=B_{\C^\infty}$.} \замечание Мы получили {\bf \purple эквивалентность категории голоморфных расслоений, и категории гладких комплексных расслоений, снабженных $\bar\6$-оператором $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$ таким, что $\bar\6^2=0$.} \невпаге {\bf \blue Связность и голоморфная структура} \определение Пусть $B$ -- гладкое комплексное расслоение со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$ и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$. Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам, $\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где \[ \nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ \nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V. \] Говорят что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой}, если $\nabla^{0,1}=\bar\6$. \определение {\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение} есть гладкое комплексное расслоение, снабженное эрмитовой метрикой и голоморфной структурой. \определение {\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном расслоении есть связность, совместимая с голоморфной структурой и сохраняющая метрику. \теорема На каждом голоморфном эрмитовом расслоении {\бф \ред связность Черна существует и единственна.} \newpage {\bf \blue Кривизна связности} \определение Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на формах \[ B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ... \] по формуле $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$. Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$ называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$. \замечание Из соотношения $\nabla \circ \nabla^2 = \nabla^2\circ \nabla$ следует {\бф \блуе тождество Бианки}: $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$. Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально, и $\Theta_B$ есть 2-форма. \утверждение {\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.} \доказательство Для любой $2i$-формы $\theta$ имеем $\nabla(\theta \wedge \eta) = d\theta \wedge \eta + \theta \wedge \nabla(\eta)$ (правило Лейбница). Тождество Бьянки дает $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$. Следовательно, $d\Theta_B=0$. \ендпрооф \определение Класс когомологий $\frac{\1}{2\pi}[\Theta_B]$ называется {\бф \блуе первым классом Черна} линейного расслоения. \newpage {\bf \blue Кривизна связности Черна} \утверждение {\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.} \следствие Для связности Черна $\nabla$, имеем $\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$. \следствие {\бф \ред Кривизна линейного голоморфного расслоения - замкнутая (1,1)-форма.} \замечание Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- нигде не зануляющееся голоморфное сечение. {\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что $\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает $d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$. {\бф \ред Мы получили $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b.$} \замечание Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а $b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b= 2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$, {\бф \пурпле то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}. \следствие Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном линейном расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6 f=\1 dd^c f$.} \невпаге {\бф \блуе Первый класс Черна} \замечание Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии, $U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано, а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении $U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем $\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}= \phi_{\alpha\gamma}$ то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный 1-коцикл.} \утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений взаимно однозначно соответствуют $H^1(M, (C^\infty M)^*)$.} \замечание Из экспоненциальной точной последовательности \[ 0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0, \] {\бф \пурпле получаем $0 \arrow H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z) \arrow 0$.} \замечание Из определения ясно, что {\bf \purple комплексное линейное расслоение топологически тривиально $\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.} \невпаге {\бф \блуе Первый класс Черна (продолжение)} \теорема (Гаусс-Бонне)\\ При естественном отображении \[ H^2(M, \Z)\arrow H^2(M, \R)\] класс $c_1^\Z(B)\in H^2(M, \Z)$ {\бф \ред переходит в класса Черна $c_1(B)\in H^2(M,\R)$, выраженный через кривизну.} \определение Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное кэлерово многообразие, а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое расслоение}, с естественной голоморфной структурой, заданной оператором $\bar\6:\; \Lambda^{n,0}(M)\arrow \Lambda^{n,1}(M)=\Lambda^{n,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)$. \определение {\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$. \определение {\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Калаби-Яу} \замечание Если задана вещественная $(1,1)$-форма $\eta$, ей соответствует симметрическая 2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$. {\bf \purple Это задает биекцию между вещественными $(1,1)$-формами и $I$-инвариантными симметрическими 2-формами}. \определение Зададим на каноническом расслоении эрмитову метрику по формуле \[ (\alpha, \alpha') \arrow \frac{\alpha\wedge \bar \alpha'}{\omega^n}. \] и пусть $\Theta_K$ -- кривизна соответствующей связности Черна. {\бф \блуе Кривизна Риччи $M$} есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$. \определение Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если ее кривизна Риччи равна нулю. \теорема (Калаби-Яу) Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика в каждом кэлеровом классе.} \newpage {\бф \блуе K3-поверхности (повторение)} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухсдаль-Ламари). \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \утверждение {\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.} \newpage {\бф \блуе Связность Леви-Чивита и кэлерова геометрия} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения: $\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]=0$ \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии")\\ Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } \теорема Пусть $(M,I, g)$ -- почти комплексное, эрмитово многообразие, а $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. Тогда {\бф \ред равносильны:} {\бф \блуе (i) $\nabla(I)=0$ (ii) $d\omega=0$, и почти комплексная структура $I$ интегрируема.} \newpage {\бф \блуе Риччи-плоские метрики на К3} {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $(M,I,g)$ -- К3-поверхность, где $g$ -- кэлерова метрика, а $\Omega$ -- ненулевое голоморфное сечение $\Lambda^{2,0}(M,I)$. {\бф \ред Тогда следующие условия равносильны:} (1) $g$ риччи-плоская (2) $\nabla\Omega=0$, где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. \дшаг Расслоение $(p,0)$-форм голоморфно, и на этом расслоении {\бф \пурпле связность Леви-Чивита $\nabla$ совпадает со связностью Черна. } Действительно, для голоморфной $(p,0)$-формы, $\nabla^{0,1}\eta=\bar\6\eta=d\eta$ в силу отсутствия кручения у $\nabla$, и $\nabla$ ортогональна по определению. {\бф \греен Шаг 2:} Если $\nabla\Omega=0$, значит, $\nabla$ переводится в себя параллельным переносом, что дает $|\Omega|=\const$, а условие риччи-плоскости -- $-2 \6\bar\6\log|\Omega|=0$. То есть {\бф \пурпле из $\nabla\Omega=0$ следует риччи-плоскость $g$.} {\бф \греен Шаг 3:} Из риччи-плоскости $\Omega$ следует $\6\bar\6\log|\Omega|=0$, что дает $|\Omega|=const$. Мы получили, что $\Omega$ есть голоморфное сечение линейного расслоения $K(M)$, имеющее постоянную длину. В силу формулы $\nabla^{1,0} \Omega = 2\6\log|\Omega| \Omega$, {\бф \пурпле из этого следует, что $\Omega$ параллельна.} \ендпрооф \замечание {\бф \ред Тот же аргумент работает для любого многообразия с тривиальным каноническим расслоением.} \newpage {\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия} \определение {\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие} есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами $I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям: $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$. {\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие} есть гиперкомплексное многообразие, снабженное римановой метрикой $g$, которая кэлерова по отношению к $I,J,K$. \замечание Кэлеровость равносильна условию $\nabla(I)=0$, a гиперкэлеровость - {\бф \ред условию $\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$ плюс кватернионные соотношения.} \определение Пусть $h\in {\Bbb H}$ -- унитарный кватернион, а $(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерово многообразие. Тогда $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ -- тоже гиперкэлерово многообразие ({\бф \ред проверьте это}). Многообразия $(M,I,J,K,g)$ и $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ называются {\бф \блуе эквивалентными}. \невпаге {\бф \блуе Гиперкэлеровы структуры на К3-поверхности} \теорема Пусть $(M,I,g)$ -- К3-поверхность, где $g$ -- кэлерова метрика. Тогда {\бф \ред $M$ допускает гиперкэлерову структуру $(M,I,J,K,g)$ тогда и только тогда, когда $g$ Риччи-плоская}. \дшаг Пусть $(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерова метрика на К3. Пусть {\бф \пурпле $z_1, z_2$ -- ортонормированный базис в $\Lambda_x^{1,0}M$ такой, что $J(z_1)=\bar z_2$} (поскольку $IJ=-JI$, оператор $J$ отображает $\Lambda^{1,0}$ в $\Lambda^{0,1}$). {\бф \греен Шаг 2:} Записав $z_1 = e_1+\1 e_2$ и $z_2= e_3+\1 e_4$, получаем $I(e_1)=e_2, I(e_2)=-e_1$. Аналогично, $J(e_1)=e_3, J(e_2)=e_4$ и т.д. Словом, {\бф \ред $I,J,K$ действуют на векторах $\pm e_i$ перестановками} (допишите это действие самостоятельно). {\бф \греен Шаг 3:} Рассмотрим кэлеровы формы, связанные с $I,J,K$: $\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$. Они очень просто записываются в этом базисе: $\omega_I=e_1 \wedge e_2 + e_3\wedge e_4$, $\omega_J=e_1 \wedge e_3 + e_2\wedge e_4$, $\omega_K=e_1 \wedge e_4 - e_2\wedge e_3$. Это дает $\omega_J+ \1 \omega_K = z_1 \wedge z_2$. Мы получили сечение канонического расслоения. Поскольку $\nabla \Omega=0$, {\бф \ред это сечение имеет постоянную длину, голоморфно, и метрика $g$ риччи-плоская.} \невпаге {\бф \блуе Гиперкэлеровы структуры на К3-поверхности (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} Наоборот, если $g$ -- риччи-плоская метрика на К3, а $\Omega$ -- голоморфное сечение канонического расслоения длины 1, напишем $\omega_J:= \Re\Omega$ и $\omega_J:= \Im \Omega$, и пусть $J,K:\; TM \arrow TM$ автоморфизмы, полученные из $g(x,Jy)=\omega_J(x,y)$ и $g(x,Ky)=\omega_K(x,y)$. Вышеприведенное вычисление показывает, что {\бф \пурпле $(I,J,K)$ удовлетворяет кватернионным соотношениям}. {\бф \греен Шаг 5:} В условиях предыдущего шага, операторы $I,J,K$ сохраняются связностью, потому что они выражаются через формы $\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$, {\бф \пурпле которые параллельны по Теореме 1.} {\бф \ред Значит, $(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерово.} \ендпрооф \определение {\бф\блуе Голоморфное симплектическое многообразие} есть комплексное $2n$-мерное многообразие $(M,I)$, снабженное замкнутой 2-формой $\Omega\in \Lambda^{2,0}(M,I)$ такой, что $\Omega^n$ -- невырожденное сечение канонического расслоения. \замечание В силу доказанного выше, кэлерова комплексная поверхность {\бф \пурпле допускает гиперкэлерову структуру тогда и только тогда, когда она голоморфно симплектичма.} Таких поверхностей ровно две: тор и К3. \невпаге {\бф \блуе Гиперкэлеровы и голоморфно симплектические многообразия} \утверждение {\бф \пурпле Любое гиперкэлерово многообразие голоморфно симплектично.} \дшаг Напишем кэлеровы формы, связанные с $I,J,K$: $\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$. Любая их линейная комбинация замкнута. {\бф \ред Осталось доказать, что $\Omega:= \omega_J+\1\omega_K$ имеет тип (2,0) на $(M,I)$.} В этом можно убедиться, записав кватернионное действие в базисе, как мы делали для К3, или следующим образом. {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим действие алгебры Ли ${\goth u}(1)$ на $T(M,I)$, и продолжим на тензоры по формуле Лейбница. Получаем: $t\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}= (p-q)\1$. {\бф \греен Шаг 3:} Легко видеть, что $t(J)=[I,J]=2K, t(K)=[I,K]=-2J$, что дает $t(\omega_J)=-2 \omega_K, t(\omega_K)=2 \omega_J$. Значит, $t(\Omega)=-2\omega_K+2\1\omega_J= 2\1\Omega$. \ендпрооф \замечание Обратное тоже верно, и выводится (с некоторым трудом) из теоремы Калаби-Яу. Пусть $(M,I)$ -- кэлерово, голоморфно симплектическое многообразие. {\бф \ред Тогда $(M,I)$ допускает гиперкэлерову метрику, единственную в любом заданном кэлеровом классе.} \end{document}