

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 3 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 3: теорема Калаби-Яу}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 20 февраля 2012
}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Скрученный дифференциал $d^c$ }

\определение Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие,
$I:\; TM \arrow TM$ -- {\бф \блуе оператор комплексной структуры},
$I^2=-\Id_{TM}$. {\бф \blue скрученный дифференциал} $d^c$ определяется
формулой $d^c:=I^{-1} d I$.

\утверждение
Пусть $(M,I)$ - комплексное многообразие.
Тогда  {\bf \blue  
$\6:= \frac{d + \1 d^c}2$, $\bar \6:= \frac{d - \1 d^c}2$
-- компоненты в разложении Ходжа $d$}: 
$\6= d^{1,0}$, $\bar\6= d^{0,1}$. 

\теорема 
Пусть $(M,I)$ -- почти комплексное многообразие.
{\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны:}

1. $I$ интегрируемо.\ \ 2. $\6^2=0$.\ \ 
3. $\bar\6^2=0$.\ \ 
4. $dd^c =- d^c d$\ \ 
5. $dd^c= 2 \1 \6\bar\6$.

\определение
{\бф \блуе Кэлерово многообразие} есть комплексное эрмитово 
многообразие $(M,I,g)$, {\бф \блуе кэлерова форма} которого
$\omega(x,y)=g(x,Iy)$ замкнута.

\замечание
На кэлеровом многообразии
имеет место коммутационное соотношение:
$[dd^c, \Lambda]=\Delta$, где 
$\Lambda:\; \Lambda^{p,q}(M)\arrow \Lambda^{p-1,q-1}(M)$
оператор, сопряженный $L(\eta)=\eta\wedge\omega$,
а $\Delta:= dd^*+d^*d$ - оператор Лапласа.
Значит, $\ker\left(dd^c\restrict{C^\infty M})\right)\subset \ker \Delta$.
Но {\бф \пурпле все гармонические функции на компактном многообразии постоянны},
что дает $\ker\left(dd^c\restrict{C^\infty M}\right)=const$.

\newpage

{\bf \blue $dd^c$-лемма}

\теорема
Пусть $\eta$ - форма на компактном кэлеровом
многообразии, которая удовлетворяет какому-то из условий\\
1. $\eta$ -- точная (p,q)-форма. 2.  $\eta$ -- $d^c$-точная, $d$-замкнутая.
\\ 3. $\eta$ -- $\6$-точная, $\bar\6$-замкнутая.\\
{\бф \ред Тогда $\eta \in \im dd^c=\im \6\bar \6$.}


\определение
{\бф\блуе  Кэлеров класс} $[\omega]\in H^2(M)$ 
есть класс когомологий кэлеровой формы.

\следствие
Если $\omega, \omega'$ -- две формы с одинаковым
кэлеровым классом, то $\omega' = \omega +dd^c \phi$
для какой-то функции $\phi$.

\замечание
Если $\phi$ такая функция, что $|dd^c\phi|_g <1$ везде на $M$,
то {\бф \пурпле $\omega +dd^c \phi$ -- тоже кэлерова форма.}

\замечание
$\ker dd^c=\const$ на компактном многообразии, 
значит, множество кэлеровых метрик с заданным кэлеровым 
классом {\бф \ред отождествляется с открытым подмножеством в
$C^\infty M/\const$. }


\newpage

{\bf \blue Векторные расслоения}

\определение
{\бф \блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $М$
есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.

\определение
{\бф \блуе Голоморфное векторное расслоение} на гладком многообразии $М$
есть локально тривиальный пучок $\calo_M$-модулей.

\определение
$B_{C^\infty}:=B \otimes_{\calo_M} C^\infty M$ 
называется {\бф\блуе гладкое векторное расслоение,
ассоциированное с голоморфным расслоением $B$.}

\замечание
Пусть $M$ -- комплексное многообразие. Тогда
{\бф \пурпле оператор $\bar\6:\; C^\infty M \arrow \Lambda^{0,1}(M)$
$\calo_M$-линейный}.

\определение
Пусть $B$ -- голоморфное расслоение.
Рассмотрим оператор 
$\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$,
переводящий $b\otimes f$ в $b\otimes \bar\6 f$, где
$b\in B$ голоморфное сечение, а $f$ гладкая функция.
Этот оператор зовется {\бф\блуе оператор голоморфной структуры}
на голоморфном расслоении.
{\бф \ред Он определен корректно в силу $\calo_M$-линейности $\bar\6$.}

\замечание
Ядро $\bar\6:\; B_{C^\infty}\arrow B_{C^\infty}\otimes \Lambda^{0,1}(M)$
{\bf \red совпадает с образом $B$} при естественном вложении
$B\hookrightarrow B_{C^\infty}$, $b \arrow b \otimes 1$.


\newpage

{\bf \blue Оператор голоморфной структуры}

\определение
{\бф \блуе $\bar\6$-оператор} 
на гладком комплексном векторном расслоении $V$ над 
есть оператор $V \stackrel {\bar\6}\arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$,
удовлетворяющий $\bar\6(fb) = \bar\6(f)\otimes b + f\bar\6(b)$
для любых $f\in C^\infty M, b\in V$.

\замечание 
$\bar\6$-оператор {\бф \пурпле можно продолжить до 
\[ \bar\6:\; \Lambda^{0,i}(M)\otimes V \arrow \Lambda^{0,i+1}(M)\otimes V,\]
}
по формуле $\bar\6 (\eta \otimes b) = \bar\6(\eta)\otimes b + 
(-1)^{\tilde \eta}\eta\wedge\bar\6(b)$, 
где $b\in V$ и $\eta \in \Lambda^{0,i}(M)$.

\замечание
{\bf \purple Легко видеть, что $\bar\6^2=0$,} если $\bar\6$ -- оператор
голоморфной структуры на голоморфном расслоении $B$.

\теорема (Атья-Ботт)
Пусть $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
-- $\bar\6$-оператор на комплексном векторном расслоении,
причем $\bar\6^2=0$. {\бф \ред Тогда $B:=\ker \bar\6\subset V$
есть голоморфное расслоение того же ранга, и $V=B_{\C^\infty}$.}

\замечание
Мы получили {\bf \purple эквивалентность категории голоморфных расслоений,
и категории гладких комплексных расслоений, снабженных
$\bar\6$-оператором $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$
таким, что $\bar\6^2=0$.}

\невпаге

{\bf \blue Связность и голоморфная структура}

\определение
Пусть $B$ -- гладкое комплексное расслоение 
со связностью $\nabla:\; V \arrow \Lambda^1(M)\otimes V$
и голоморфной структурой $\bar\6:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V$.
Рассмотрим разложение $\nabla$ по типам,
$\nabla= \nabla^{0,1} + \nabla^{1,0}$, где
\[
\nabla^{0,1}:\; V \arrow \Lambda^{0,1}(M)\otimes V, \ \ \ 
\nabla^{1,0}:\; V \arrow \Lambda^{1,0}(M)\otimes V.
\]
Говорят что $\nabla$ {\бф \блуе совместима с голоморфной структурой},
если $\nabla^{0,1}=\bar\6$.

\определение
{\бф \блуе Эрмитово голоморфное расслоение}
есть гладкое комплексное расслоение, снабженное
эрмитовой метрикой и голоморфной структурой.

\определение
{\бф \блуе Связность Черна} на эрмитовом голоморфном
расслоении есть связность, совместимая с 
голоморфной структурой и сохраняющая метрику.

\теорема
На каждом голоморфном эрмитовом расслоении
{\бф \ред связность Черна существует и единственна.}


\newpage

{\bf \blue Кривизна связности}


\определение
Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность
на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на
формах
\[
B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ...
\]
по формуле 
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$.
Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$
называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$.

\замечание 
Из соотношения $\nabla \circ \nabla^2 = \nabla^2\circ \nabla$
следует  {\бф \блуе тождество Бианки}:
$\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.

Если $B$ -- линейное расслоение, то $\End B$ тривиально,
и $\Theta_B$ есть 2-форма. 

\утверждение
{\бф \ред Кривизна линейного расслоения -- замкнутая 2-форма.}

\доказательство Для любой $2i$-формы $\theta$ имеем 
$\nabla(\theta \wedge \eta) = d\theta \wedge \eta +
\theta \wedge \nabla(\eta)$ (правило Лейбница). Тождество
Бьянки дает $\nabla(\Theta_B\wedge \eta) = \Theta_B \wedge \nabla(\eta)$.
Следовательно, $d\Theta_B=0$. \ендпрооф

\определение
Класс когомологий $\frac{\1}{2\pi}[\Theta_B]$
называется {\бф \блуе первым классом Черна} линейного расслоения.



\newpage

{\bf \blue Кривизна связности Черна}

\утверждение
{\бф \ред Кривизна $\Theta_B$ связности Черна есть (1,1)-форма.}

\следствие
Для связности Черна $\nabla$, имеем
$\Theta_B= \{\nabla^{1,0}, \bar\6\}$.

\следствие
{\бф \ред Кривизна линейного голоморфного расслоения - 
замкнутая (1,1)-форма.}

\замечание
Пусть $L$ -- линейное расслоение, $b \in L$ -- 
нигде не зануляющееся голоморфное сечение.
{\бф \пурпле Тогда существует $(1,0)$-форма $\eta$ такая, что
$\nabla^{1,0} b=\eta\otimes b$.} Это дает
$d|b|^2= \Re g(\nabla^{1,0} b, b) = \Re\eta|b|^2$.
{\бф \ред Мы получили $\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b.$}

\замечание 
Пусть $B$ -- линейное эрмитово расслоение, а 
$b$ - незануляющееся голоморфное сечение. Тогда 
$\nabla^{1,0} b= \frac{\6 |b|^2}{|b|^2}b=
2\6\log|b| b$, что дает $\Theta_B(b)= 2\bar\6\6\log|b| b$,
{\бф \пурпле то есть $\Theta_B = -2 \6\bar\6\log|b|$}.

\следствие
Если $g' = e^{2f} g$ -- две метрики на голоморфном  линейном 
расслоении, а $\Theta, \Theta'$ -- соответствующая
кривизна, то {\бф \пурпле $\Theta' - \Theta = -2 \6\bar\6
f=\1 dd^c f$.}


\невпаге

{\бф \блуе Первый класс Черна}

\замечание
Пусть $B$ -- линейное расслоение на многообразии,
$U_\alpha$ -- его покрытие, на котором $B$ тривиализовано,
а $\phi_{\alpha\beta}$ -- функции перехода, определенные
на $U_\alpha \cap U_\beta$. На пересечении
$U_\alpha \cap U_\beta\cap U_\gamma$ имеем
$\phi_{\alpha\beta}\phi_{\beta\gamma}=
\phi_{\alpha\gamma}$
то есть {\бф \пурпле $B$ задает $(C^\infty M)^*$-значный
1-коцикл.}

\утверждение {\bf \red Классы изоморфизма расслоений
взаимно однозначно соответствуют  $H^1(M, (C^\infty
M)^*)$.}

\замечание
Из экспоненциальной точной последовательности
\[ 
0 \arrow \Z_M \arrow C^\infty M \arrow (C^\infty M)^* \arrow 0,
\] 
{\бф \пурпле получаем 
$0 \arrow H^1(M, (C^\infty M)^*) \stackrel {c_1^\Z}\arrow H^2(M, \Z) \arrow 0$.}

\замечание Из определения ясно, что
{\bf \purple комплексное линейное расслоение топологически тривиально
$\Leftrightarrow$ $c_1^\Z(B)=0$.}

\невпаге

{\бф \блуе Первый класс Черна (продолжение)}

\теорема
(Гаусс-Бонне)\\
При естественном отображении \[ H^2(M, \Z)\arrow H^2(M, \R)\]
класс $c_1^\Z(B)\in H^2(M, \Z)$
{\бф \ред переходит в класса Черна $c_1(B)\in H^2(M,\R)$,
выраженный через кривизну.}

\определение
Пусть $(M,I, \omega)$ -- $n$-мерное  кэлерово многообразие,
а $K(M):= \Lambda^{n,0}(M)$ -- его {\бф \блуе каноническое
расслоение}, с естественной голоморфной структурой, заданной
оператором $\bar\6:\; \Lambda^{n,0}(M)\arrow
\Lambda^{n,1}(M)=\Lambda^{n,0}(M)\otimes \Lambda^{0,1}(M)$.


\определение
{\бф \блуе Первый класс Черна комплексного $n$-мерного
многообразия} есть $c_1(M):= c_1(\Lambda^{n,0}(M))$.

\определение
{\бф \блуе Многообразие Калаби-Яу} есть компактное
кэлерово многообразие с $c_1^\Z(M)=0$.


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Калаби-Яу}


\замечание
Если задана вещественная $(1,1)$-форма
$\eta$, ей соответствует симметрическая 
2-форма $g_\eta (x,y)= \eta(x, Iy)$.
{\bf \purple Это задает биекцию между
вещественными $(1,1)$-формами и 
$I$-инвариантными симметрическими 
2-формами}.

\определение
Зададим на каноническом расслоении эрмитову метрику
по формуле 
\[ (\alpha, \alpha') \arrow \frac{\alpha\wedge \bar
\alpha'}{\omega^n}.
\]
и пусть  $\Theta_K$ -- кривизна соответствующей
связности Черна. {\бф \блуе Кривизна Риччи $M$}
есть симметрическая 2-форма $\Ric(x,y)= \Theta_K(x, Iy)$.

\определение
Метрика называется {\бф \блуе риччи-плоской}, если
ее кривизна Риччи равна нулю.

\теорема
(Калаби-Яу) 
Пусть $(M,I)$ -- многообразие Калаби-Яу. {\bf \red Тогда
существует единственная риччи-плоская кэлерова метрика
в каждом кэлеровом классе.}


\newpage

{\бф \блуе  K3-поверхности (повторение)}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухсдаль-Ламари).

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

\замечание
Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$,
значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова
характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$.

Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности:
\[\begin{array}{ccccc}
&&1&&\\
&0&&0&\\
1&&20&&1\\
&0&&0&\\
&&1&&\\
\end{array}
\]

\утверждение
{\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.}

\newpage

{\бф \блуе  Связность Леви-Чивита и кэлерова геометрия}

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения: $\nabla_X(Y)- \nabla_Y(X) - [X,Y]=0$

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")\\ 
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}

\теорема
Пусть $(M,I, g)$ -- почти комплексное, эрмитово
многообразие, а $\nabla$ -- связность Леви-Чивита. 
Тогда {\бф \ред равносильны:}

{\бф \блуе (i) $\nabla(I)=0$

(ii) $d\omega=0$, и почти комплексная структура 
$I$ интегрируема.}

\newpage

{\бф \блуе Риччи-плоские метрики на К3}

{\бф \греен Теорема 1:}
Пусть $(M,I,g)$ -- К3-поверхность, где $g$ -- 
кэлерова метрика, а $\Omega$ -- ненулевое голоморфное
сечение $\Lambda^{2,0}(M,I)$. {\бф \ред Тогда следующие
условия равносильны:} (1) $g$ риччи-плоская (2)
$\nabla\Omega=0$, где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита.

\дшаг
Расслоение $(p,0)$-форм голоморфно, и на этом расслоении
{\бф \пурпле связность
Леви-Чивита $\nabla$ совпадает со связностью Черна. }
Действительно, для голоморфной $(p,0)$-формы,
$\nabla^{0,1}\eta=\bar\6\eta=d\eta$ в силу отсутствия
кручения у $\nabla$, и $\nabla$ ортогональна по определению.

{\бф \греен Шаг 2:} Если $\nabla\Omega=0$,
значит, $\nabla$ переводится в себя параллельным
переносом, что дает $|\Omega|=\const$, а условие
риччи-плоскости -- $-2 \6\bar\6\log|\Omega|=0$.
То есть {\бф \пурпле 
из $\nabla\Omega=0$ следует риччи-плоскость $g$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Из риччи-плоскости $\Omega$ следует
$\6\bar\6\log|\Omega|=0$, что дает $|\Omega|=const$.
Мы получили, что $\Omega$ есть голоморфное сечение
линейного расслоения $K(M)$, имеющее постоянную длину.
В силу формулы $\nabla^{1,0} \Omega = 
2\6\log|\Omega| \Omega$, {\бф \пурпле  из этого следует, что $\Omega$
параллельна.}
\ендпрооф


\замечание 
{\бф \ред Тот же аргумент работает для любого многообразия
с тривиальным каноническим расслоением.}

\newpage

{\бф \блуе Гиперкэлеровы многообразия}

\определение
{\бф \блуе Гиперкомплексное многообразие}
есть гладкое многообразие, снабженное комплексными структурами
$I, J, K:\; TM\arrow TM$, которые удовлетворяют 
кватернионным соотношениям:  $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id$.
{\бф \блуе Гиперкэлерово многообразие}
есть гиперкомплексное многообразие, снабженное
римановой метрикой $g$, которая кэлерова
по отношению к $I,J,K$.

\замечание
Кэлеровость равносильна условию $\nabla(I)=0$,
a гиперкэлеровость - {\бф \ред условию
$\nabla(I)=\nabla(J)=\nabla(K)=0$
плюс кватернионные соотношения.}


\определение
Пусть $h\in {\Bbb H}$ -- унитарный кватернион, а
$(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерово многообразие. Тогда
$(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$ -- тоже гиперкэлерово
многообразие ({\бф \ред проверьте это}). Многообразия
$(M,I,J,K,g)$  и $(M,hIh^{-1},hJh^{-1},hKh^{-1},g)$
называются {\бф \блуе эквивалентными}.


\невпаге

{\бф \блуе  Гиперкэлеровы структуры на К3-поверхности}

\теорема
Пусть $(M,I,g)$ -- К3-поверхность, где $g$ -- 
кэлерова метрика. Тогда {\бф \ред $M$ допускает гиперкэлерову структуру
$(M,I,J,K,g)$ тогда и только тогда, когда $g$ Риччи-плоская}.

\дшаг
Пусть $(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерова метрика на К3. 
Пусть {\бф \пурпле $z_1, z_2$ --
ортонормированный базис в $\Lambda_x^{1,0}M$ такой, что 
$J(z_1)=\bar z_2$} (поскольку $IJ=-JI$, оператор $J$
отображает $\Lambda^{1,0}$ в $\Lambda^{0,1}$).

{\бф \греен Шаг 2:} Записав $z_1 = e_1+\1 e_2$ и
$z_2= e_3+\1 e_4$, получаем $I(e_1)=e_2, I(e_2)=-e_1$.
Аналогично, $J(e_1)=e_3, J(e_2)=e_4$ и т.д. Словом,
{\бф \ред $I,J,K$ действуют на векторах $\pm e_i$ перестановками}
(допишите это действие самостоятельно).

{\бф \греен Шаг 3:}
Рассмотрим кэлеровы формы, связанные с $I,J,K$:
$\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$. Они очень просто
записываются в этом базисе:
$\omega_I=e_1 \wedge e_2 + e_3\wedge e_4$,
$\omega_J=e_1 \wedge e_3 + e_2\wedge e_4$,
$\omega_K=e_1 \wedge e_4 - e_2\wedge e_3$.
Это дает $\omega_J+ \1 \omega_K = z_1 \wedge z_2$.
Мы получили сечение канонического расслоения.
Поскольку $\nabla \Omega=0$, {\бф \ред это сечение
имеет постоянную длину, голоморфно, и метрика $g$ риччи-плоская.}



\невпаге

{\бф \блуе  Гиперкэлеровы структуры на К3-поверхности (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 4:}
Наоборот, если $g$ -- риччи-плоская метрика на К3,
а $\Omega$ -- голоморфное сечение канонического 
расслоения длины 1, напишем $\omega_J:= \Re\Omega$
и $\omega_J:= \Im \Omega$, и пусть $J,K:\; TM \arrow TM$
автоморфизмы, полученные из $g(x,Jy)=\omega_J(x,y)$
и $g(x,Ky)=\omega_K(x,y)$. Вышеприведенное вычисление
показывает, что {\бф \пурпле $(I,J,K)$ удовлетворяет кватернионным
соотношениям}.


{\бф \греен Шаг 5:} В условиях предыдущего шага,
операторы $I,J,K$ сохраняются связностью, потому что
они выражаются через формы $\omega_I$, $\omega_J$,
$\omega_K$, {\бф \пурпле которые параллельны по Теореме 1.}
{\бф \ред Значит, $(M,I,J,K,g)$ -- гиперкэлерово.}
\ендпрооф

\определение
{\бф\блуе Голоморфное симплектическое многообразие}
есть комплексное $2n$-мерное многообразие $(M,I)$, снабженное
замкнутой 2-формой $\Omega\in \Lambda^{2,0}(M,I)$ такой, что
$\Omega^n$ -- невырожденное сечение канонического расслоения.

\замечание
В силу доказанного выше,
кэлерова комплексная поверхность {\бф \пурпле допускает
гиперкэлерову структуру тогда и только тогда, когда она голоморфно
симплектичма.} Таких поверхностей ровно две: тор и К3.


\невпаге

{\бф \блуе Гиперкэлеровы и голоморфно симплектические многообразия}

\утверждение
{\бф \пурпле Любое гиперкэлерово многообразие голоморфно симплектично.}

\дшаг
Напишем кэлеровы формы, связанные с $I,J,K$:
$\omega_I$, $\omega_J$, $\omega_K$. Любая их линейная
комбинация замкнута. {\бф \ред Осталось доказать, что $\Omega:= \omega_J+\1\omega_K$
имеет тип (2,0) на $(M,I)$.} В этом можно убедиться, записав
 кватернионное действие в базисе, как мы делали для К3, 
или следующим образом.

{\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим действие алгебры Ли ${\goth u}(1)$
на $T(M,I)$, и продолжим на тензоры по формуле Лейбница. Получаем:
$t\restrict{\Lambda^{p,q}(M)}= (p-q)\1$. 

{\бф \греен Шаг 3:} 
Легко видеть, что
$t(J)=[I,J]=2K, t(K)=[I,K]=-2J$, что дает
$t(\omega_J)=-2 \omega_K, t(\omega_K)=2 \omega_J$.
Значит, $t(\Omega)=-2\omega_K+2\1\omega_J= 2\1\Omega$.
\ендпрооф

\замечание
Обратное тоже верно, и выводится (с некоторым трудом)
из теоремы Калаби-Яу. Пусть $(M,I)$ -- кэлерово, голоморфно симплектическое
многообразие. {\бф \ред Тогда $(M,I)$ допускает гиперкэлерову
метрику, единственную в любом заданном кэлеровом классе.}




\end{document}
